CAŁKI KRZYWOLINIOWE

Całka krzywoliniowa pierwszego rodzaju (nieskierowana)

Rozważmy łuk gładki L ⊂ R2 o równaniach parametrycznych:

x = x(t), y = y(t), t ∈ 〈α, β〉

Długość l tego łuku jest równa

l =β∫α

√[x′(t)]2 + [y′(t)]2dt

Łukowi L nie nadajemy żadnego kierunku - jest to łuk nieskierowany.Przypuśćmy, że w każdym punkcie łukuL określona jest pewna funkcja dwóch zmiennychf (x, y).

Przedział 〈α, β〉 dzielimy punktami t1, t2, ..., tn−1 na n podprzedziałów, przy czym

α = t0 < t1 < t2 < ... < tn−1 < tn = β

Podziałowi temu odpowiada podział łuku L na n części punktami A1 , A2, ... , An−1,przy czym długości tych części są równe odpowiednio

∆lk =tk∫

tk−1

√[x′(t)]2 + [y′(t)]2dt, k = 1, 2, ..., n

W każdym podprzedziale 〈tk−1, tk〉 wybieramy następnie punkt τk. Punktowi temuodpowiada na łuku L punkt C(xk, yk).

Utwórzmy sumęSn =

n∑k=1

f (xk, yk)∆lk

i rozważmy normalny ciąg podziałów przedziału 〈α, β〉.

Definicja 1 (całki krzywoliniowej nieskierowanej).Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału 〈α, β〉 ciąg sum całkowych(Sn) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktówτk, to tę granicę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji f (x, y) połuku L i oznaczamy symbolem ∫

Lf (x, y)dl

W skrócie ∫Lf (x, y)dl def= lim

δn→0

n∑k=1

f (xk, yk)∆lk

gdzie δn oznacza średnicę podziału przedziału 〈α, β〉 na n części.

Analogicznie definiujemy całkę krzywoliniową nieskierowaną w przestrzeni R3.

Wniosek 1 (zastos. geometryczne całek krzywoliniowych nieskier.).

1. Długość |L| łuku gładkiego L dana jest wzorem

|L| =∫Ldl

2. Jeżeli f (x, y) jest funkcją ciągłą i f (x, y) > 0 na łuku L, to pole |S| powierzchniwalcowej równoległej do osi OZ i ograniczonej z góry przez wykres funkcjif (x, y), a z dołu przez łuk L leżący na płaszczyźnie XOY wyraża się wzorem

|S| =∫Lf (x, y)dl

Twierdzenie 1 (o zamianie całki krzywol. nieskierowanej w R2).Jeżeli funkcja f (x, y) jest ciągła na otwartym, zwykłym łuku gładkim L ⊂ R2 oprzedstawieniu parametrycznym

x = x(t), y = y(t), t ∈ 〈α, β〉

to całka krzywoliniowa∫Lf (x, y)dl istnieje, przy czym

∫Lf (x, y)dl =

β∫αf (x(t), y(t))

√[x′(t)]2 + [y′(t)]2dt

Wniosek 1. Jeżeli krzywa L jest określona równaniem y = g(x) dla a ¬ x ¬ b, tozachodzi wzór ∫

Lf (x, y)dl =

b∫af (x, g(x))

√1 + [g′(x)]2dx

Twierdzenie 2 (o zamianie całki krzywol. nieskierowanej w R3).Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciągła na otwartym, zwykłym łuku gładkim L ⊂ R3 oprzedstawieniu parametrycznym

x = x(t), y = y(t), z = z(t) t ∈ 〈α, β〉

to całka krzywoliniowa∫Lf (x, y, z)dl istnieje, przy czym

∫Lf (x, y, z)dl =

β∫αf (x(t), y(t), z(t))

√[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2dt

Całka krzywoliniowa drugiego rodzaju (skierowana)

Rozważmy otwarty łuk gładki na płaszczyźnie R2 o równaniach parametrycznych:

x = x(t), y = y(t), t ∈ 〈α, β〉

Wartości α parametru t odpowiada punkt A(x(α), y(α)) ∈ R2, natomiast wartości βpunkt B(x(β), y(β)) ∈ R2.Łukowi temu można nadać kierunek, przyjmując A za początek łuku i B za koniec, albona odwrót.

Definicja 2.Jeśli kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru mówimy, że przedsta-wienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek są zgodne. W przeciwnym przypadkumówimy, że przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek są niezgodne.Łuk, któremu nadano kierunek nazywamy łukiem skierowanym.Stosujemy oznaczenia

_AB lub

^AB – łuk o początku A i końcu B

_BA lub

^BA – łuk o początku B i końcu A

Piszemy, że_AB= −

_BA, co oznacza, że łuki

_AB i

_BA różnią się tylko kierunkiem.

Niech dany będzie otwarty łuk zwykły skierowany_AB o przedstawieniu parametrycznym

x = x(t), y = y(t), t ∈ 〈α, β〉

zgodnym z kierunkiem tego łuku.

Ponadto niech dana będzie para uporządkowana [P (x, y), Q(x, y)] funkcji P (x, y) iQ(x, y), określonych w każdym punkcie łuku

_AB.

W każdym punkcie (x, y) tego łuku jest zatem określony wektor R o współrzędnychP (x, y) i Q(x, y), tj.

~R = [P (x, y), Q(x, y)]

Przedział 〈α, β〉 dzielimy punktami t1, t2, ..., tn−1 na n podprzedziałów, przy czym

α = t0 < t1 < t2 < ... < tn−1 < tn = β

Podziałowi temu odpowiada podział łuku_AB na n części punktami A1, A2, ... , An−1,

przy czym punkt Ak(xk, yk) = Ak(x(tk), y(tk)), dla k = 1, 2, ..., n− 1.W każdym podprzedziale 〈tk−1, tk〉, k = 1, 2, ..., n, wybieramy punkt τk. Punktowiτk ∈ 〈tk−1, tk〉 odpowiada punkt Ck(ξk, ηk) = Ck(x(τk), y(τk)), Ck ∈

_AB. Oznaczmy

∆xk = xk − xk−1, ∆yk = yk − yk−1i określmy wektory

~∆lk = [∆xk,∆yk], ~Rk = [P (ξk, ηk), Q(ξk, ηk)], k = 1, 2, ..., n

oraz utwórzmy sumę iloczynów skalarnych tych wektorów

Sn =n∑k=1

~Rk ◦ ~∆lk

tj.Sn =

n∑k=1

[P (ξk, ηk)∆xk + Q(ξk, ηk)∆yk]

Rozważmy normalny ciąg podziałów przedziału 〈α, β〉.

Definicja 3 (całki krzywoliniowej skierowanej).Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału 〈α, β〉 ciąg sum całkowych(Sn) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktówτk, to tę granicę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną (na płaszczyźnie) paryfunkcji [P (x, y), Q(x, y)] po łuku

_AB i oznaczamy symbolem

∫_AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy

W skrócie∫_AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy def= limδn→0

n∑k=1

[P (ξk, ηk)∆xk + Q(ξk, ηk)∆yk]

gdzie δn oznacza średnicę podziału przedziału 〈α, β〉 na n części.

Twierdzenie 3 (o zamianie całki krzywolin. skierowanej w R2).Jeżeli funkcje P (x, y) i Q(x, y) są ciągłe na otwartym zwykłym łuku gładkim

_AB

o przedstawieniu parametrycznym

x = x(t), y = y(t), t ∈ 〈α, β〉

zgodnym z kierunkiem tego łuku, to całka∫_AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy

istnieje, przy czym

∫_AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =β∫α

[P (x(t), y(t))x′(t) + Q(x(t), y(t))y′(t)]dt

Wniosek 2.Całki krzywoliniowe skierowane różniące się tylko kierunkiem łuku, po którymcałkujemy, mają przeciwne wartości, tj.

∫_AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = −∫_BA

P (x, y)dx + Q(x, y)dy

Wniosek 3.Jeżeli krzywa K jest sumą otwartych zwykłych łuków skierowanych, tj.

K =n∑k=1

AkAk+1

to całkę krzywoliniową skierowaną pary funkcji P (x, y) i Q(x, y) po tej krzywejokreślamy jako

∫KP (x, y)dx + Q(x, y)dy =

n∑k=1

∫_AkAk+1

P (x, y)dx + Q(x, y)dy

Niech dany będzie otwarty łuk zwykły w przestrzeni R3 o równaniach parametrycznych

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ 〈α, β〉

skierowany od punktu A(x(α), y(α), z(α)) do punktu B(x(β), y(β), z(β)).Rozważmy trójkę uporządkowaną [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] funkcji określonychna tym łuku.Całkę krzywoliniową skierowaną trójki funkcji P , Q i R po łuku

_AB⊂ R3 określamy

analogicznie jak na płaszczyźnie i oznaczamy symbolem∫_AB

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

Całkę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną w przestrzeni.

Twierdzenie 4 (o zamianie całki krzywolin. skierowanej w R3).Jeżeli funkcje P (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) są ciągłe na otwartym zwykłym łukugładkim

_AB⊂ R3 o przedstawieniu parametrycznym

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ 〈α, β〉

zgodnym z kierunkiem tego łuku, to całka∫_AB

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

istnieje, przy czym∫_AB

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =

=β∫α[P (x(t), y(t), z(t))x′(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y′(t) + R(x(t), y(t), z(t))z′(t)]dt

Orientacja krzywej skierowanej zamkniętej względem jej wnętrza

Definicja 4.Niech krzywa K będzie kawałkami gładką, skierowaną krzywą Jordana. Niech P0oznacza dowolny punkt wewnętrzny jednego z łuków krzywej K. Rozważmy wektor~S styczny do krzywej w punkcie P0, skierowany zgodnie z kierunkiem tej krzywejoraz wektor normalny ~n powstały z obrotu wektora ~S w płaszczyźnie OXY wokółpunktu P0 o kąt π2 .Jeżeli wektor ~n jest skierowany do wnętrza D krzywej K, to mówimy, że krzywa Kjest skierowana dodatnio (zorientowana dodatnio) względem swego wnętrza. Jeżelinatomiast wektor ~n jest skierowany na zewnątrz obszaru D, to mówimy, że krzywaK jest skierowana ujemnie (zorientowana ujemnie) względem swego wnętrza.

Twierdzenie 5 (Greena).Jeżeli funkcje P (x, y) i Q(x, y) są klasy C1 w obszarze normalnym D̄ (względemosi OX i OY ), przy czym brzeg K tego obszaru jest skierowany dodatnio względemwnętrza, to ∮

KP (x, y)dx + Q(x, y)dy =

∫D

∫ ∂Q∂x− ∂P

∂y

dxdyPodany wzór nazywamy wzorem Greena.

Uwaga 1.Twierdzenie Greena jest również prawdziwe, gdy obszar D̄ można podzielić naskończoną liczbę obszarów normalnych (względem osi OX i OY ), nie mającychwspólnych punktów wewnętrznych. Obszar D̄ może być przy tym wielospójny, przyczym K oznacza wówczas sumę krzywych K1, ..., Kn stanowiących brzeg tegoobszaru i skierowanych dodatnio względem D.

Twierdzenie 6 (o niezależności całki krzyw. od drogi całkowania).Jeżeli funkcje P (x, y) i Q(x, y) są klasy C1 w obszarze jednospójnym D, to spełnienerówności

(1)∂Q

∂x=∂P

∂y

w każdym punkcie tego obszaru jest warunkiem koniecznym i wystarczającym nato, żeby całka ∫

_AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy

po otwartym, kawałkami gładkim łuku zwykłym_AB⊂ D nie zależała od kształtu

tego łuku, a tylko od punktów A i B.

Definicja 5.Wyrażenie

(2) P (x, y)dx + Q(x, y)dy

jest różniczką zupełną pewnej funkcji F (x, y) w obszarze D, jeżeli w każdym punkcietego obszaru funkcja F (x, y) spełnia następujące warunki:

(3)∂F

∂x= P (x, y) i

∂F

∂y= Q(x, y)

Definicja 6.Funkcję F (x, y) spełniającą warunki (3) w obszarze D nazywamy funkcją pierwotnąukładu dwóch funkcji P (x, y) i Q(x, y) w tym obszarze. Wyznaczenie funkcji pierwotnejF (x, y) nazywamy całkowaniem różniczki zupełnej.

Twierdzenie 7.Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie (2) było różniczkązupełną pewnej funkcji F (x, y) w obszarze D jest, aby w całym obszarze D zachodziłarówność (1).

Twierdzenie 8.Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby całka krzywoliniowa

∫_AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy

nie zależała od drogi całkowania K =_AB jest, aby wyrażenie podcałkowe było

różniczką zupełną pewnej funkcji.

Twierdzenie 9.Jeżeli wyrażenie P (x, y)dx + Q(x, y)dy, stojące pod znakiem całki krzywoliniowejjest różniczką zupełną pewnej funkcji F , to

∫_AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = F (B)− F (A)

gdzie F (x, y) oznacza dowolną funkcję pierwotną układu funkcji P (x, y) i Q(x, y).

Wniosek 2.Jeżeli funkcje P (x, y) i Q(x, y) są klasy C1 i spełniają warunek (1) w obszarzejednospójnym D, to ∫

KP (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

dla każdej, kawałkami gładkiej krzywej zamkniętej K ⊂ D.

Wniosek 4 (zastosowania geometryczne).Jeżeli K jest brzegiem obszaru normalnego D̄ (względem OX i OY ), skierowanymwzględem niego dodatnio, to pole P tego obszaru wyraża się wzorem

|P | = 12

∮Kxdy − ydx