Upload
others
View
18
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Clasa a X-a – Etapa 3 - Problema 4
Enunţ: Fie ∈ℂ, ,x y z cu = = = 1x y z . Demonstraţi că
− + − + − ≥ − ⋅ − ⋅ −x y y z z x x y y z z x .
Soluţie. Fie ∈ℝ, ,α β γ şi ∈ℂ, , ,x y z u . Atunci are loc egalitatea
( ) ( ) ( ) ( )+ + − + + = + + − + − + −
− − − − − −
2 2 2 2
2 22
α β γ u αa βb γc α β γ α u x β u x γ u z
αβ x y αγ x z βγ y z,
vezi articolul: N. Bourbăcuţ, O identitate cu numere complexe şi consecinţele
sale geometrice, Recreaţii Matematice, 2011.
Atunci obţinem
( ) ( )+ + − + − + − ≥ − + − + −2 2 22 2 2α β γ α u x β u y γ u z αβ x y αγ x z βγ y z .
Alegem = 0u şi avem
( )+ + ≥ − + − + −2 2 22α β γ αβ x y αγ x z βγ y z .
Fie = −α y z , = −β x z şi = −γ x y şi obţinem concluzia.