Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Chuyên đề
TÍCH PHÂN
Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
THPT Phan Đình Phùng
Đồng HớiTháng 04 - 2012
y
xO−2 2
1 y = 2x− x2
Copyright c©2012 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.
Mục lục
Chương 1. Nguyên Hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. Nguyên Hàm.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1. Khái niệm nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3. Tính chất của nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1. Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 2. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1. Tích Phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.1. Khái niệm tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2. Tính chất của tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.3. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1. Phương pháp hệ số bất định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2. Phương pháp đổi biến dạng 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3. Phương pháp đổi biến dạng 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.4. Phương pháp tích phân từng phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1. Dạngb∫a
sinmxcosnxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2. Dạngb∫a
{f(sinx); cosx} dx hoặcb∫a
{f(cosx); sinx} dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3. Dạngb∫a
{f(tanx); 1
cos2x
}dx hoặc
b∫a
{f(cotx); 1
sin2x
}dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.4. Dạnga∫0
f(x)dx, trong đó a ∈{π2 , π,
π4 , ...
}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chương 3. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1. Tính Diện Tích Tình Phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2. Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Chương 4. Một Số Bài Toán Chọn Lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1. Tích Phân Hữu Tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. Tích Phân Vô Tỉ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3. Tích Phân Mũ - Lôgarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4. Tích Phân Lượng Giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
PHỤ LỤC 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
PHỤ LỤC 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
ĐÁP SỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3
Chương 1
Nguyên Hàm
1.1. Nguyên Hàm.
1.1.1. Khái niệm nguyên hàm.
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếuF ′(x) = f(x), với mọi x thuộc K.
Ví dụ 1.1.a) Hàm số F (x) = x3 là nguyên hàm của f(x) = 3x2 trên R vì
(x3)′
= 3x2, với mọi x ∈ R.b) Hàm số F (x) = cosx là nguyên hàm của f(x) = sinx trên R vì (sinx)′ = cosx, với mọi x ∈ R.
Nhận xét. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạngF (x) + C với C ∈ R, gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, ký hiệu là
∫f(x)dx. Vậy∫
f(x)dx = F (x) + C (1.1)
Ví dụ 1.2.∫
5x4dx = x5 + C.∫
1
2√xdx =
√x+ C.
∫exdx = ex + C.
Lưu ý.• Người ta cũng dùng ký hiệu
∫f(x)dx để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f .
• Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
1.1.2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.
Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm.Việc tìm nguyên hàm của mộthàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản hơn. Sau đây là nguyên hàm củamột số hàm số đơn giản thường gặp.
1.∫
0dx = C 6.∫axdx =
ax
ln a+ C (0 < a 6= 1)
2.∫dx = x+ C 7.
∫cosxdx = sinx+ C
3.∫xαdu =
xα+1
α+ 1+ C (α 6= −1) 8.
∫sinxdx = − cosx+ C
4.∫
1
xdx = ln |x|+ C 9.
∫1
cos2xdx = tanx+ C
5.∫exdx = ex + C 10.
∫1
sin2xdx = − cotx+ C
Ví dụ 1.3.
a)∫x2012dx =
x2013
2013+ C. b)
∫1
x2dx =
∫x−2dx =
x−1
−1+ C = −1
x+ C.
c)∫ √
xdx =
∫x
12dx =
x32
32
+ C =2x√x
3+ C. d)
∫1
5√x3dx =
∫x−
35dx =
55√x2
2+ C.
5
Nguyễn Minh Hiếu
1.1.3. Tính chất của nguyên hàm.
Định lý 1.2. Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên K thì
a)∫
[f(x)± g(x)] dx =
∫f(x)dx±
∫g(x)dx; b)
∫kf(x)dx = k
∫f(x)dx (k 6= 0).
Ví dụ 1.4.
a)∫ (
2x3 − 3x2 + 1)dx =
∫2x3dx−
∫3x2dx+
∫1dx =
1
2x4 − x3 + x+ C.
b)∫ (
ex − 1
x+ 2x
)dx =
∫exdx−
∫1
xdx+
∫2xdx = ex − ln |x|+ 2x
ln 2+ C.
c)∫x2 − 3x+ 1
xdx =
∫ (x− 3 +
1
x
)dx =
∫xdx−
∫3dx+
∫1
xdx =
1
2x2 − 3x+ ln |x|+ C.
d)∫
3sin2x− 4cos2x
sin2xcos2xdx =
∫ (3
cos2x− 4
sin2x
)dx = 3
∫1
cos2xdx−4
∫1
sin2xdx = 3 tanx+4 cotx+C.
Ví dụ 1.5. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 4x3 − 3x2 + 2, biết F (−1) = 3.
Lời giải. Ta có∫f(x)dx =
∫(4x3 − 3x2 + 2)dx = x4 − x3 + 2x + C. Vì F (x) là một nguyên hàm của
f(x) nên có dạng F (x) = x4−x3 + 2x+C. Mặt khác F (−1) = 3⇒ C = 3. Do đó F (x) = x4−x3 + 2x+ 3.
Ví dụ 1.6. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x) =1
xthỏa F (1) = −1. Tìm x để 2F (x) =
1
F (x) + 1−1.
Lời giải. Ta có∫f(x)dx =
∫1
xdx = ln |x| + C. Vì F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng
F (x) = ln |x|+C. Mặt khác F (1) = −1⇒ C = −1. Do đó F (x) = ln |x|−1. Khi đó 2F (x) =1
F (x) + 1−1⇔
2(ln |x|−1) =1
ln |x|−1⇔
{ln |x| 6= 02ln2 |x| − ln |x| − 1 = 0
⇔[
ln |x| = 1ln |x| = −1
2
⇔
[x = ±ex = ± 1√
e
(thỏa mãn). Vậy
x = ±e và x = ± 1√e.
BÀI TẬP
1.1. Tìm các họ nguyên hàm sau
a)∫ (
x7 + 4x3 −√x)dx. b)
∫ (3√x+ 1− 1√
x
)dx. c)
∫ (3x2 + 1
)(2x− 3) dx.
d)∫ √
x(√x− 2x
)(x+ 1) dx. e)
∫ (3 sinx+
2
x
)dx. f)
∫ (3 cosx− 3x−1
)dx.
1.2. Tìm các họ nguyên hàm sau
a)∫x+√x+ 1
3√x
dx b)∫x3 + 5x2 − 3x+
√x
x√x
dx. c)∫
4x + 1
2xdx.
d)∫
2x − 1
exdx. e)
∫tan2 xdx. f)
∫1
sin2xcos2xdx.
1.3. Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau
a) f(x) = 2− x2, biết F (2) =7
3. b) f(x) = x− 1
x2+ 2, biết F (1) = 2.
c) f(x) = (x+ 1)(x− 1) + 1, biết F (0) = 1. d) f(x) = 3√x+ x3 + 1, biết F (1) = 2.
e) f(x) = ax+b
x2, biết F (−1) = 2, F (1) = 4 và F (2) = 5.
6
Chương 1. Nguyên Hàm
1.2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm.
1.2.1. Phương pháp đổi biến số.
Định lý 1.3. Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao chof [u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f , tức là
∫f(u)du = F (u) + C thì∫
f [u(x)]u′(x)dx = F [u(x)] + C (1.2)
Nhận xét. Trong thực hành công thức (1.2) thường được viết như sau∫f [u(x)]u′(x)dx =
∫f [u(x)] du(x) = F [u(x)] + C (1.3)
Đặc biệt vì d(Ax+B) = Adx⇒ dx = 1Ad(Ax+B) nên ta có∫
f (Ax+B) dx =
∫f (Ax+B)
1
Ad(Ax+B) =
1
AF (Ax+B) + C (1.4)
Ví dụ 1.7. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
∫(3x+ 3)9dx. b) I =
∫7
2− 9xdx. c) I =
∫ (e3x+1 + cos 5x
)dx.
d) I =
∫4x− 1
2x+ 1dx. e) I =
∫sin2xdx. f) I =
∫sin 5x sinxdx.
Lời giải.
a) I =1
3
∫(3x+ 3)9d(3x+ 3) =
1
3
(3x+ 3)10
10+ C =
1
30(3x+ 3)10 + C.
b) I = −1
9
∫7
2− 9xd(2− 9x) = −7
9ln |2− 9x|+ C.
c) I =
∫e3x+1dx+
∫cos 5xdx =
1
3
∫e3x+1d(3x+ 1) +
1
5
∫cos 5xd (5x) =
1
3e3x+1 +
1
5sinx+ C.
d) I =
∫ (2− 3
2x+ 1
)dx =
∫2dx− 1
2
∫3
2x+ 1d(2x+ 1) = 2x− 3
2ln |2x+ 1|+ C.
e) I =
∫1− cos 2x
2dx =
∫ (1
2− 1
2cos 2x
)dx =
1
2
∫dx− 1
4
∫cos 2xd (2x) =
1
2x− 1
4sin 2x+ C.
f) I =1
2
∫(cos 4x− cos 6x) dx =
1
8
∫cos 4xd (4x)− 1
12
∫cos 6xd (6x) =
1
8sin 4x− 1
12sin 6x+ C
Ví dụ 1.8. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
∫x(x2 + 1)
2012dx. b) I =
∫tanxdx. c) I =
∫ex
ex + 1dx.
d) I =
∫ √1 + lnx
xdx. e) I =
∫cos5xdx. f) I =
∫x√
x2 + 1dx.
Lời giải.
a) I =1
2
∫(x2 + 1)
2012d(x2 + 1) =
1
2
(x2 + 1)2013
2013+ C =
(x2 + 1)2013
4026+ C.
b) I =
∫sinx
cosxdx = −
∫1
cosxd (cosx) = − ln |cosx|+ C.
c) I =
∫1
ex + 1d (ex + 1) = ln |ex + 1|+ C.
d) I =
∫(1 + lnx)
12d (1 + lnx) =
(1 + lnx)32
32
+ C =2 (1 + lnx)
√1 + lnx
3+ C.
e) I =
∫cos4x cosxdx =
∫ (1− sin2x
)2d (sinx) = sinx− 2sin3x
3+
sin5x
5+ C.
f) C1: I =1
2
∫ (x2 + 1
)− 12d(x2 + 1
)=
1
2
(x2 + 1
) 12
12
+ C =√x2 + 1 + C.
C2: I =
∫d(√
x2 + 1)
=√x2 + 1 + C.
7
Nguyễn Minh Hiếu
Ví dụ 1.9. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
∫x (x− 1)2012dx. b) I =
∫x3
x2 + 1dx. c) I =
∫x5√x3 + 1dx.
d) I =
∫e2x√ex + 1
dx. e) I =
∫2 lnx− 1
x lnxdx. f) I =
∫sin3x
√1 + cosxdx.
Lời giải.a) Đặt u = x− 1⇒ du = dx. Ta có
I =
∫(u+ 1)u2012du =
∫ (u2013 + u2012
)du
=u2014
2014+u2013
2013+ C =
(x− 1)2014
2014+
(x− 1)2013
2013+ C
b) Đặt u = x2 + 1⇒ du = 2xdx. Ta có
I =
∫x2x
x2 + 1dx =
1
2
∫u− 1
udu =
1
2
∫ (1− 1
u
)du
=1
2(u− ln |u|) + C =
1
2
(x2 + 1
)− 1
2ln(x2 + 1
)+ C
c) Đặt u =√x3 + 1⇔ u2 = x3 + 1⇒ 2udu = 3x2dx. Ta có
I =
∫x3x2
√x3 + 1dx =
∫ (u2 − 1
)u
2u
3du =
2
3
∫ (u4 − u2
)du
=2
3
(u5
5+u3
3
)+ C =
2(√
x3 + 1)5
15+
2(√
x3 + 1)3
9+ C
d) Đặt u =√ex + 1⇔ u2 = ex + 1⇒ 2udu = exdx. Ta có
I =
∫ex.ex√ex + 1
dx =
∫u2 − 1
u2udu = 2
∫ (u2 − 1
)du
= 2
(u3
3− u)
+ C =2(√ex + 1
)33
− 2√ex + 1 + C
e) Đặt u = lnx⇒ du =1
xdx. Ta có
I =
∫2u− 1
udu =
∫ (2− 1
u
)du
= 2u− ln |u|+ C = 2 lnx− ln |lnx|+ C
f) Đặt u =√
1 + cosx⇔ u2 = 1 + cosx⇒ 2udu = − sinxdx. Ta có
I =
∫sin2x sinx
√1 + cosxdx =
∫ (1− cos2x
)√1 + cosx sinxdx
= −∫ (
1−(u2 − 1
)2)u.2udu = −
∫ (−u4 + 2u2
)2u2du = 2
∫ (u6 − 2u4
)du
= 2
(u7
7− 2u5
5
)+ C =
2(√
1 + cosx)7
7−
4(√
1 + cosx)5
5+ C
1.2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần.
Định lý 1.4. Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−
∫v(x)u′(x)dx (1.5)
8
Chương 1. Nguyên Hàm
Công thức (1.5) gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần và được viết gọn dưới dạng∫udv = uv −
∫vdu (1.6)
Ví dụ 1.10. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
∫(x− 1) exdx. b) I =
∫x cosxdx. c) I =
∫x2 lnxdx.
d) I =
∫ln (2x+ 1) dx. e) I =
∫x2e2x−1dx. f) I =
∫ex sinxdx.
Lời giải.
a) Đặt{u = x− 1dv = exdx
⇒{du = dxv = ex
. Ta có
I = (x− 1)ex −∫exdx = (x− 1)ex − ex + C = (x− 2)ex + C
b) Đặt{u = xdv = cosxdx
⇒{du = dxv = sinx
. Ta có
I = x sinx−∫
sinxdx = x sinx+ cosx+ C
c) Đặt{u = lnxdv = x2dx
⇒{du = 1
xdx
v = x3
3
. Ta có
I =x3
3lnx−
∫x3
3
1
xdx =
x3
3lnx− 1
3
∫x2dx =
x3
3lnx− x3
9+ C
d) Đặt{u = ln(2x+ 1)dv = dx
⇒{du = 2
2x+1dx
v = x. Ta có
I = x ln(2x+ 1)−∫
2x
2x+ 1dx =
∫ (1− 1
2x+ 1
)dx = x− 1
2ln |2x+ 1|+ C
e) Đặt{u = x2
dv = e2x−1dx⇒{du = 2xdxv = 1
2e2x−1 . Ta có
I =1
2x2e2x−1 −
∫xe2x−1dx =
1
2x2e2x−1 − I1
Đặt{u = xdv = e2x−1dx
⇒{du = dxv = 1
2e2x−1 . Ta có
I1 =1
2xe2x−1 − 1
2
∫e2x−1dx =
1
2xe2x−1 − 1
4e2x−1 + C
Vậy I =1
2x2e2x−1 −
(1
2xe2x−1 − 1
4e2x−1
)+ C =
1
4
(2x2 − 2x+ 1
)e2x−1 + C.
f) Đặt{u = ex
dv = sinxdx⇒{du = exdxv = − cosx
. Ta có
I = −ex cosx+
∫ex cosxdx = −ex cosx+ I1
Lại đặt{u = ex
dv = cosxdx⇒{du = exdxv = sinx
. Ta có
I1 = ex sinx−∫ex sinxdx = ex sinx− I
Vậy I = −ex cosx+ ex sinx− I ⇔ I =1
2ex (sinx− cosx) + C.
9
Nguyễn Minh Hiếu
BÀI TẬP
1.4. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
∫ √3x− 1dx. b) I =
∫1
4x2 + 4x+ 1dx. c) I =
∫4x2 − x+ 3
2x+ 1dx.
d) I =
∫1√
3x+ 1 +√
3x− 1dx. e) I =
∫tan2xdx. f) I =
∫cos 7x cosxdx.
g) I =
∫sin4xdx. h) I =
∫1
1 + cosxdx. i) I =
∫1
cos4xdx.
1.5. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
∫x
1 + x2dx. b) I =
∫sin3xdx. c) I =
∫sin3x
cosxdx.
d) I =
∫1
e−x + 1dx. e) I =
∫lnx(1− 3 lnx)
xdx. f) I =
∫1
x(ln2x− 4 lnx+ 4)dx.
1.6. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
∫x2
(1− x)100dx. b) I =
∫ [x(x2 + 1
)]5dx. c) I =
∫x5 − 2x2
x3 + 1dx.
d) I =
∫sin 2xesin
2xdx. e) I =
∫1
ex + e−x + 2dx. f) I =
∫1
x lnx. ln(lnx)dx.
1.7. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
∫xexdx. b) I =
∫(2x− 1) sin 2xdx. c) I =
∫x3 lnxdx.
d) I =
∫ln(x2 + 2x
)dx. e) I =
∫x2 cosxdx. f) I =
∫ex cos 2xdx.
10
Chương 2
Tích Phân
2.1. Tích Phân.
2.1.1. Khái niệm tích phân.
Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên
hàm của f trên K thì hiệu số F (b)− F (a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và ký hiệu làb∫af(x)dx.
Nhận xét.
a) Nếu a < b thì ta gọib∫af(x)dx là tích phân của f trên đoạn [a; b].
b) Hiệu số F (b)− F (a) còn được ký hiệu là F (x)|ba. Khi đó
b∫a
f(x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a) (2.1)
c) Tích phân không phụ thuộc biến số, tức làb∫af(x)dx =
b∫af(t)dt =
b∫af(u)du = ... = F (b)− F (a).
Ví dụ 2.1. Tính các tích phân sau
a) I =
1∫0
5x4dx. b) I =
e∫1
dx
x. c) I =
π6∫
0
cos 3xdx.
d) I =
ln 2∫0
e−xdx. e) I =
1∫12
(2x− 1)2012dx. f) I =
1∫−1
√5− 4xdx.
Lời giải.a) I = x5
∣∣10
= 1. b) I = ln |x||e1 = ln e− ln 1 = 1.
c) I =1
3sin 3x
∣∣∣∣π60
=1
3sin
π
2− 1
3sin 0 =
1
3. d) I = −e−x
∣∣ln 2
0= −
(e− ln 2 − e0
)=
1
2.
e) I =1
2
(2x− 1)2013
2013
∣∣∣∣∣1
12
=1
4026. f) I =
1∫−1
(5− 4x)12dx = −1
4
(5− 4x)32
32
∣∣∣∣∣1
−1
=13
3.
2.1.2. Tính chất của tích phân.
Định lý 2.2. Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có
1)
a∫a
f(x)dx = 0. 2)
b∫a
f(x)dx = −a∫b
f(x)dx.
11
Nguyễn Minh Hiếu
3)
b∫a
f(x)dx+
c∫b
f(x)dx =
c∫a
f(x)dx.
4)
b∫a
[f(x)± g(x)]dx =
b∫a
f(x)dx±b∫a
g(x)dx. 5)
b∫a
kf(x)dx = k
b∫a
f(x)dx (k ∈ R).
Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau
a) I =
2∫1
(6x2 − 4x+ 1
)dx. b) I =
ln 2∫0
(ex + 2x) dx. c) [CĐ-2010] I =
1∫0
2x− 1
x+ 1dx.
d) I =
π8∫
0
cos22xdx. e) I =
π4∫
0
2cos2x+ 1
1− sin2xdx. f) I =
3∫2
1√x+ 1−
√x− 1
dx.
Lời giải.a) I =
(2x3 − 2x2 + x
)∣∣21
= 9.
b) I =(ex + x2
)∣∣ln 2
0= 1 + ln22.
c) I =
1∫0
(2− 3
x+ 1
)dx = (2x− 3 ln |x+ 1|)|10 = 2− 3 ln 2.
d) I =1
2
π8∫
0
(1 + cos 4x) dx =1
2
(x+
1
4sin 4x
)∣∣∣∣π80
=π + 2
16.
e) I =
π4∫
0
2cos2x+ 1
cos2xdx =
π4∫
0
(2 +
1
cos2x
)dx = (2x+ tanx)|
π40 =
π + 2
2.
f) I =
3∫2
(√x+ 1 +
√x− 1
)dx =
3∫2
((x+ 1)
12 + (x− 1)
12
)dx
=2
3
((x+ 1)
32 + (x− 1)
32
)∣∣∣∣32
=7− 3
√3 + 2
√2
3.
Tổng quát 2.1. I =
∫1√
ax+ b±√ax+ c
dx. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
2.1.3. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài toán 2.1. Tính tích phân I =
b∫a
|f(x)| dx.
Phương pháp.• Cho f(x) = 0⇒ x = xi (chỉ lấy những xi thuộc khoảng (a; b)).
• Khi đó I =xi∫a|f(x)| dx+
b∫xi
|f(x)| dx.
• Xét dấu f(x) trên các khoảng (a;xi) và (xi; b) để phá giá trị tuyệt đối.
Lưu ý. Để xét dấu f(x) trên (a;xi) ta lấy x0 ∈ (a;xi) thay vào f(x) để xác định dấu.
Ví dụ 2.3. Tính các tích phân sau
a) I =
2∫−2
|x− 1| dx. b) [D-03] I =
2∫0
∣∣x2 − x∣∣ dx. c) I =
2∫−2
|2x− |x+ 1|| dx.
12
Chương 2. Tích Phân
Lời giải.
a) I =
1∫−2
|x− 1| dx+
2∫1
|x− 1| dx =
1∫−2
(1− x) dx+
2∫1
(x− 1) dx
=
(x− 1
2x2)∣∣∣∣1−2
+
(1
2x2 − x
)∣∣∣∣21
=9
2+
1
2= 5.
b) I =
1∫0
∣∣x2 − x∣∣ dx+
2∫1
∣∣x2 − x∣∣ dx =
1∫0
(x− x2
)dx+
2∫1
(x2 − x
)dx
=
(1
2x− 1
3x3)∣∣∣∣1
0
+
(1
3x3 − 1
2x
)∣∣∣∣21
=1
6+
5
6= 1.
c) I =
−1∫−2
|2x+ x+ 1| dx+
2∫−1
|2x− x− 1| dx =
−1∫−2
|3x+ 1| dx+
1∫−1
|x− 1| dx+
2∫1
|x− 1| dx
=
−1∫−2
(−3x− 1) dx+
1∫−1
(1− x) dx+
2∫1
(x− 1) dx
=
(−3x2
2− x)∣∣∣∣−1−2
+
(x− 1
2x2)∣∣∣∣1−1
+
(1
2x2 − x
)∣∣∣∣21
=7
2+ 2 +
1
2= 6.
BÀI TẬP
2.1. Tính các tích phân sau
a) I =
1∫0
e2−5xdx. b) I =
π6∫
0
sin(
2x+π
6
)dx. c) I =
π6∫
0
1
cos22xdx.
d) I =
1∫0
(−2x+ 1)7dx. e) I =
2∫1
3√
3x+ 2dx. f) I =
0∫−1
4
(3− 5x)3dx.
2.2. Tính các tích phân sau
a) I =
4∫1
(2x+
√x)dx. b) I =
4∫2
(x+
1
x
)2
dx. c) I =
π2∫
0
(1 + sin
x
2
)cos
x
2dx.
d) I =
π2∫
0
cos 3x cosxdx. e) I =
1∫0
x2 − 3x+ 3
x− 2dx. f) I =
1∫0
x(x− 1)2009dx.
2.3. Tính các tích phân sau
a) I =
4∫0
|3− x| dx. b) I =
2∫0
∣∣x2 − 3x+ 2∣∣ dx. c) I =
3∫−2
(|x+ 1|+ |x− 2|) dx.
d) I =
3∫0
∣∣∣√x2 − 4x+ 4− 1∣∣∣ dx. e) I =
2π∫0
√1− cos 2xdx. f) [BĐT-103] I =
2π∫0
√1 + sinxdx.
2.2. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân.
2.2.1. Phương pháp hệ số bất định.
Mệnh đề 2.3. Mọi đa thức bậc n, (n ≥ 3) đều phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất vàcác tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0.
13
Nguyễn Minh Hiếu
Bài toán 2.2. Tính tích phân I =
b∫a
f(x)
g(x)dx, trong đó bậc f(x) < bậc g(x).
Phương pháp. Phân tích tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân có mẫu là các nhịthức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0 hoặc các lũy thừa của chúng.
Lưu ý.a) Nếu bậc f(x) ≥ bậc g(x) thì chia f(x) cho g(x).b) Trong thực hành ta thường gặp các trường hợp sau
• ax+ b
(x− x1) (x− x2)=
A
x− x1+
B
x− x2. • ax+ b
(x− x0)2=
A
x− x0+
B
(x− x0)2.
• ax2 + bx+ c
(a1x+ b1)(a2x2 + b2x+ c2)=
A
a1x+ b1+
B
a2x2 + b2x+ c2+
C (2a2x+ b2)
a2x2 + b2x+ c2(tam thức vô nghiệm).
Sau khi phân tích như trên ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc phương pháp trị số riêng đểtìm A,B,C, ...
Ví dụ 2.4. Tính các tích phân sau
a) I =
5∫3
1
(x− 2) (x+ 1)dx. b) I =
1∫0
5x− 13
x2 − 5x+ 6dx. c) I =
1∫0
x4
x2 − 1dx.
d) I =
1∫0
3x− 1
x2 + 6x+ 9dx. e) I =
2∫1
x2 − 3x+ 2
x (x2 + 2x+ 1)dx. f) [BĐT-78] I =
1∫0
4x− 2
(x+ 2)(x2 + 1)dx.
Lời giải.a) C1: (Phương pháp đồng nhất hệ số)
Ta có1
(x− 2) (x+ 1)=
A
x− 2+
B
x+ 1=A (x+ 1) +B (x− 2)
(x− 2) (x+ 1)=
(A+B)x+A− 2B
(x− 2) (x+ 1).
Đồng nhất hệ số được{A+B = 0A− 2B = 1
⇔{A = 1
3B = −1
3
. Khi đó
I =1
3
5∫3
1
x− 2dx− 1
3
5∫3
1
x+ 1dx =
1
3(ln |x− 2| − ln |x+ 1|)
∣∣∣∣53
=1
3ln 2
C2: (Phương pháp trị số riêng)
Ta có1
(x− 2) (x+ 1)=
A
x− 2+
B
x+ 1=A (x+ 1) +B (x− 2)
(x− 2) (x+ 1)⇒ 1 = A (x+ 1) +B (x− 2).
Cho x = 2 được A =1
3; cho x = −1 được B = −1
3. Khi đó
I =1
3
5∫3
1
x− 2dx− 1
3
5∫3
1
x+ 1dx =
1
3(ln |x− 2| − ln |x+ 1|)
∣∣∣∣53
=1
3ln 2
C3: (Kỹ thuật thêm bớt hay còn gọi là kỹ thuật nhảy tầng lầu)
I =1
3
5∫3
(x+ 1)− (x− 2)
(x− 2) (x+ 1)dx =
1
3
5∫3
(1
x− 2− 1
x+ 1
)dx
=1
3(ln |x− 2| − ln |x+ 1|)
∣∣∣∣53
=1
3ln 2
b) Ta có5x− 13
x2 − 5x+ 6=
5x− 13
(x− 3)(x− 2)=
A
x− 3+
B
x− 2=
(A+B)x− 2A− 3B
(x− 3)(x− 2).
14
Chương 2. Tích Phân
Đồng nhất hệ số được{A+B = 5−2A− 3B = −13
⇔{A = 2B = 3
. Khi đó
I = 2
1∫0
1
x− 3dx+ 3
1∫0
1
x− 2dx = 2 ln |x− 3||10 + 3 ln |x− 2||10 = − ln 18
c) Ta có I =
3∫2
(x2 + 1 +
1
x2 − 1
)dx =
(x3
3+ x
)∣∣∣∣32
+
3∫2
1
x2 − 1dx =
22
3+
3∫2
1
x2 − 1dx.
Lại có1
x2 − 1=
1
(x− 1)(x+ 1)=
A
x− 1+
B
x+ 1=
(A+B)x+A−B(x− 1)(x+ 1)
.
Đồng nhất hệ số được{A+B = 0A−B = 1
⇔{A = 1
2B = −1
2
. Khi đó
I =22
3+
1
2
3∫2
1
x− 1dx− 1
2
3∫2
1
x+ 1dx =
22
3+
1
2(ln |x− 1| − ln |x+ 1|)
∣∣∣∣32
=22
3+
1
2ln
3
2
d) Ta có3x− 1
x2 + 6x+ 9=
3x− 1
(x+ 3)2=
A
x+ 3+
B
(x+ 3)2=A(x+ 3) +B
(x+ 3)2=Ax+ 3A+B
(x+ 3)2.
Đồng nhất hệ số được{A = 33A+B = −1
⇔{A = 3B = −10
. Khi đó
I = 3
1∫0
1
x+ 3dx− 10
1∫0
1
(x+ 3)2dx = 3 ln |x+ 3||10 +
10
x+ 3
∣∣∣∣10
= 3 ln4
3− 5
6
e) Ta cóx2 − 3x+ 2
x (x2 + 2x+ 1)=x2 − 3x+ 2
x(x+ 1)2=A
x+
B
x+ 1+
C
(x+ 1)2
=A(x+ 1)2 +Bx(x+ 1) + Cx
x(x+ 1)2=
(A+B)x2 + (2A+B + C)x+A
x(x+ 1)2.
Đồng nhất hệ số được
A+B = 12A+B + C = −3A = 2
⇔
A = 2B = −1C = −6
. Khi đó
I = 2
2∫1
1
xdx−
2∫1
1
x+ 1dx− 6
2∫1
1
(x+ 1)2dx =
(2 ln |x| − ln |x+ 1|+ 6
x+ 1
)∣∣∣∣21
= ln8
3− 1
f) Ta có4x− 2
(x+ 2)(x2 + 1)=
A
x+ 2+
B
x2 + 1+
2Cx
x2 + 1=A(x2 + 1
)+B(x+ 2) + 2Cx(x+ 2)
(x+ 2)(x2 + 1)
=(A+ 2C)x2 + (B + 4C)x+A+ 2B
(x+ 2)(x2 + 1).
Đồng nhất hệ số được
A+ 2C = 0B + 4C = 4A+ 2B = −2
⇔
A = −2B = 0C = 1
. Khi đó
I = −2
1∫0
1
x+ 2dx+
1∫0
2x
x2 + 1dx =
(−2 ln |x+ 2|+ ln
∣∣x2 + 1∣∣)∣∣1
0= ln
8
9
Ví dụ 2.5. Tính các tích phân sau
a) I =
√3∫
1
1
x+ x3dx. b) I =
2∫1
1− x4
x+ x5dx. c) [BĐT-15] I =
1∫0
1
(x2 − 3x+ 2)2dx.
15
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) I =
√3∫
1
1
x+ x3dx =
√3∫
1
1
x (1 + x2)dx =
√3∫
1
x2 + 1− x2
x (1 + x2)dx =
√3∫
1
(1
x− x
1 + x2
)dx
=
(ln |x| − 1
2ln∣∣1 + x2
∣∣)∣∣∣∣√3
1
=1
2ln
3
2.
b) I =
2∫1
1− x4
x (1 + x4)dx =
2∫1
1 + x4 − 2x4
x (1 + x4)dx =
2∫1
1
xdx− 2
2∫1
x3
1 + x4dx
=
(ln |x| − 1
2ln∣∣1 + x4
∣∣)∣∣∣∣21
=1
2ln
8
17
c) I =
1∫0
1
(x2 + 3x+ 2)2dx =
1∫0
[(x+ 2)− (x+ 1)
(x+ 1)(x+ 2)
]2dx =
1∫0
(1
x+ 1− 1
x+ 2
)2
dx
=
1∫0
[1
(x+ 2)2+
1
(x+ 1)2− 2
(x+ 1)(x+ 2)
]dx = − 1
x+ 1
∣∣∣∣10
− 1
x+ 2
∣∣∣∣10
− 2
1∫0
(x+ 2)− (x+ 1)
(x+ 1)(x+ 2)dx
=2
3− 2
1∫0
1
x+ 1dx−
1∫0
1
x+ 2dx
=2
3− 2 (ln |x+ 1| − ln |x+ 2|)|10 =
2
3+ 2 ln
3
4
Nhận xét. Rõ ràng đối với các bài tập trong ví dụ 2.5 dùng kỹ thuật thêm bớt là tốt hơn dùng phươngpháp hệ số bất định.
2.2.2. Phương pháp đổi biến dạng 1.
Bài toán 2.3. Tính tích phân I =
b∫a
f(x)dx.
Phương pháp.• Đặt x = ϕ(t)⇒ dx = ϕ′(t)dt.• Đổi cận: x = a⇒ t = α; x = b⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b).
• Khi đó I =
β∫α
f (ϕ(t))ϕ′(t)dt.
Lưu ý.
• a2 + x2 : x = |a| tan t, t ∈(−π
2;π
2
). •
√a2 − x2 : x = |a| sin t t ∈
[−π
2;π
2
].
•√x2 − a2 : x =
|a|sin t
t ∈[−π
2;π
2
]\ {0}.
Ví dụ 2.6. Tính các tích phân sau
a) I =
1∫0
1
1 + x2dx. b) I =
1∫0
1
3 + x2dx. c) I =
1∫0
x3
x8 + 1dx.
d) I =
1∫0
√1− x2dx. e) I =
√2
2∫0
x2√1− x2
dx. f) I =
2∫2√3
1
x√x2 − 1
dx.
Lời giải.
a) Đặt x = tan t, t ∈(−π
2;π
2
)⇒ dx =
1
cos2 tdt = (1 + tan2 t)dt.
16
Chương 2. Tích Phân
Đổi cận: x = 0⇒ t = 0; x = 1⇒ t =π
4. Ta có
I =
π4∫
0
1
1 + tan2t(1 + tan2t)dt =
π4∫
0
dt = t|π40 =
π
4
b) Đặt x =√
3 tan t, t ∈(−π
2;π
2
)⇒ dx =
√3
cos2 tdt =
√3(1 + tan2 t)dt.
Đổi cận: x = 0⇒ t = 0; x = 1⇒ t =π
6. Ta có
I =
π6∫
0
1
3 + 3tan2t
√3(1 + tan2t
)dt =
1√3
π6∫
0
dt =1√3t|π60 =
π
6√
3
c) Đặt x4 = tan t, t ∈(−π
2;π
2
)⇒ 4x3dx =
1
cos2 tdt = (1 + tan2 t)dt.
Đổi cận: x = 0⇒ t = 0; x = 1⇒ t =π
4. Ta có
I =1
4
π4∫
0
1
1 + tan2t(1 + tan2t)dt =
1
4
π4∫
0
dt =1
4t
∣∣∣∣π40
=π
16
d) Đặt x = sin t, t ∈[−π
2;π
2
]⇒ dx = cos tdt.
Đổi cận: x = 0⇒ t = 0; x = 1⇒ t =π
2. Ta có
I =
π2∫
0
√1− sin2t cos tdt =
π2∫
0
cos2tdt =1
2
π2∫
0
(1 + cos 2t) dt =
(1
2t+
1
4sin 2t
)∣∣∣∣π20
=π
4
e) Đặt x = sin t, t ∈[−π
2;π
2
]⇒ dx = cos tdt.
Đổi cận: x = 0⇒ t = 0; x =
√2
2⇒ t =
π
4. Ta có
I =
π4∫
0
sin2t√1− sin2t
cos tdt =
π4∫
0
sin2tdt =1
2
π4∫
0
(1− cos 2t) dt =
(1
2t− 1
4sin 2t
)∣∣∣∣π40
=π − 2
8
f) Đặt x =1
sin t, t ∈
[−π
2;π
2
]\ {0} ⇒ dx = − cos t
sin2 tdt.
Đổi cận: x =2√3⇒ t =
π
3; x = 2⇒ t =
π
6. Ta có
I =
π3∫
π6
1
1sin t
√1
sin2t− 1
cos t
sin2tdt =
π3∫
π6
dt = t|π3π6
=π
6
Ví dụ 2.7. Tính các tích phân sau
a) I =
1∫0
1
x2 + x+ 1dx. b) I =
1∫0
√2x− x2dx. c) I =
√2∫
0
√2 + x
2− xdx.
d) I =
1∫0
x2 + x+ 2
x3 + x2 + x+ 1dx. e) I =
2∫1
1
x2√
1 + x2dx. f) I =
π∫−π
sin2x
3x + 1dx.
17
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Ta có I =
1∫0
1(x+ 1
2
)2+ 3
4
dx.
Đặt x+1
2=
√3
2tan t, t ∈
(−π
2;π
2
)⇒ dx =
√3
2
1
cos2 tdt =
√3
2(1 + tan2 t)dt.
Đổi cận: x = 0⇒ t =π
6; x = 1⇒ t =
π
3. Ta có
I =
π3∫
π6
134tan2t+ 3
4
√3
2(1 + tan2t)dt =
2√3
π3∫
π6
dt =2√3t
∣∣∣∣π3π6
=π
3√
3
Tổng quát 2.2. I =
∫1
ax2 + bx+ cdx (với ∆ là biệt thức của mẫu)
• Nếu ∆ > 0 thì I =
∫1
a(x− x1)(x− x2)dx.
• Nếu ∆ = 0 thì I =
∫1
a(x− x0)2dx.
• Nếu ∆ < 0 thì I =
∫1
u2 +A2dx.
b) Ta có I =
1∫0
√1− (x− 1)2dx.
Đặt x− 1 = sin t, t ∈[−π
2;π
2
]⇒ dx = cos dt.
Đổi cận: x = 0⇒ t = −π2; x = 1⇒ t = 0. Ta có
I =
0∫−π
2
√1− sin2t cos tdt =
0∫−π
2
cos2tdt =1
2
0∫−π
2
(1 + cos2t) dt =
(1
2t+
1
4sin 2t
)∣∣∣∣0−π
2
=π
4
Tổng quát 2.3. I =
∫ √ax2 + bx+ cdx =
∫ √A2 − u2dx (trong đó a < 0 và ∆ > 0)
c) Ta có I =
√2∫
0
2 + x√4− x2
dx.
Đặt x = 2 sin t, t ∈[−π
2;π
2
]⇒ dx = 2 cos dt.
Đổi cận: x = 0⇒ t = 0; x =√
2⇒ t =π
4. Ta có
I =
π4∫
0
2 + 2 sin t√4− 4sin2t
2 cos tdt = 2
π4∫
0
(1 + sin t) dt = (2t− 2 cos t)|π40 = 2−
√2 +
1
2π
Tổng quát 2.4. I =
∫ √a+ x
a− xdx =
∫a+ x√a2 − x2
dx (a > 0).
d) Ta có I =
1∫0
x2 + x+ 2
x3 + x2 + x+ 1dx =
1∫0
x2 + x+ 2
x2 (x+ 1) + x+ 1dx =
1∫0
x2 + 1 + x+ 1
(x+ 1) (x2 + 1)dx
=
1∫0
(1
x+ 1+
1
x2 + 1
)dx = ln |x+ 1||10 +
1∫0
1
x2 + 1dx = ln 2 +
1∫0
1
x2 + 1dx.
18
Chương 2. Tích Phân
Đặt x = tan t, t ∈(−π
2;π
2
)⇒ dx =
1
cos2 tdt = (1 + tan2 t)dt.
Đổi cận: x = 0⇒ t = 0; x = 1⇒ t =π
4. Ta có
I = ln 2 +
π4∫
0
1
tan2t+ 1(1 + tan2t)dt = ln 2 +
π4∫
0
dt = ln 2 + t|π40 = ln 2 +
π
4
e) C1: Đặt x = tan t, t ∈(−π
2;π
2
)⇒ dx =
1
cos2 tdt.
Đổi cận: x = 1⇒ t =π
4; x = 2⇒ arctan 2. Ta có
I =
arctan 2∫π4
1
tan2t√
1 + tan2t
1
cos2tdt =
arctan 2∫π4
cos t
sin2tdt = − 1
sin t
∣∣∣∣arctan 2
π4
=2√
2−√
5
2
C2: Đặt x =1
t⇒ dx = − 1
t2dt. Đổi cận: x = 1⇒ t = 1; x = 2⇒ t =
1
2. Ta có
I =
1∫12
1
1t2
√1 + 1
t2
1
t2dt =
1∫12
t√1 + t2
dt =1
2
1∫12
1√1 + t2
d(1 + t2) =√
1 + t2∣∣∣112
=2√
2−√
5
2
Tổng quát 2.5. I =
∫1
(1 + xn) n√
1 + xndx. Đặt x =
1
t.
f) Đặt x = −t⇒ dx = −dt. Đổi cận: x = −π ⇒ t = π; x = π ⇒ t = −π. Ta có
I =
π∫−π
sin2 (−t)3−t + 1
dt =
π∫−π
sin2t13t + 1
dt =
π∫−π
3tsin2t
1 + 3tdt =
π∫−π
3xsin2x
1 + 3xdx
Suy ra 2I =
π∫−π
(sin2x
1 + 3x+
3xsin2x
1 + 3x
)dx =
π∫−π
sin2xdx =
(1
2x− 1
4sin 2x
)∣∣∣∣π−π
= π ⇔ I =π
2.
Tổng quát 2.6. I =
a∫−a
f(x)dx. Đặt x = −t.
2.2.3. Phương pháp đổi biến dạng 2.
Bài toán 2.4. Tính tích phân I =
b∫a
f [u(x)]u′(x)dx.
Phương pháp.• Đặt u = u(x)⇒ du = u′(x)dx.• Đổi cận: x = a⇒ u = u(a); x = b⇒ u = u(b).
• Khi đó I =
b∫a
f (u) du.
Lưu ý. u(x) thường nằm trong dấu lũy thừa, lượng giác, trên số mũ, dưới mẫu hay cả dấu căn, dấu lôgarit.
19
Nguyễn Minh Hiếu
Ví dụ 2.8. Tính các tích phân sau
a) I =
1∫0
x3(1 + x4
)3dx. b) I =
1∫0
x+ 2
x2 + 4x+ 7dx. c) [DB-02] I =
1∫0
x3
x2 + 1dx.
d) [BĐT-18] I =
1∫0
x
(x+ 1)3dx. e) I =
1∫0
x5(x2 + 1
)2011dx. f) I =
2∫1
(2x− 1)10
(x+ 1)12dx.
Lời giải.
a) I =1
4
1∫0
(1 + x4
)3d(1 + x4
)=
1
16
(1 + x4
)4∣∣∣∣10
=15
16.
b) I =1
2
1∫0
1
x2 + 4x+ 7d(x2 + 4x+ 7
)=
1
2ln∣∣x2 + 4x+ 7
∣∣∣∣∣∣10
=1
2ln
12
7.
c) I =
1∫0
(x− x
x2 + 1
)dx =
1∫0
xdx− 1
2
1∫0
1
x2 + 1d(x2 + 1
)=x2
2
∣∣∣∣10
− 1
2ln∣∣x2 + 1
∣∣∣∣∣∣10
=1
2− 1
2ln 2.
d) Đặt u = x+ 1⇒ du = dx. Đổi cận: x = 0⇒ u = 1; x = 1⇒ u = 2. Ta có
I =
2∫1
u− 1
u3du =
2∫1
(1
u2− 1
u3
)du =
(−1
u+
1
2u2
)∣∣∣∣21
=1
8
e) Ta có I =
1∫0
x4x(x2 + 1
)2012dx.
Đặt u = x2 + 1⇒ du = 2xdx. Đổi cận: x = 0⇒ u = 1; x = 1⇒ u = 2. Ta có
I =1
2
2∫1
(u− 1)2u2012du =1
2
2∫1
(u2014 − 2u2013 + u2012
)du
=1
2
(u2015
2015− 2u2014
2014+u2013
2013
)∣∣∣∣21
=2025079.22012 − 1
4084588365
f) Ta có I =
2∫1
(2x− 1
x+ 1
)10
.1
(x+ 1)2dx.
Đặt u =2x− 1
x+ 1⇒ du =
3
(x+ 1)2dx. Đổi cận: x = 1⇒ u =
1
2; x = 2⇒ u = 1. Ta có
I =1
3
1∫12
u10du =u11
33
∣∣∣∣112
=2047
67584
Tổng quát 2.7. I =
∫(ax+ b)n
(cx+ d)n+2dx =
∫ (ax+ b
cx+ d
)n 1
(cx+ d)2dx. Đặt u =
ax+ b
cx+ d.
Ví dụ 2.9. Tính các tích phân sau
a) [DB-03] I =
1∫0
x3√
1− x2dx. b) [D-2011] I =
4∫0
4x− 1√2x+ 1 + 2
dx. c) I =
6∫2
1
2x+ 1 +√
4x+ 1dx.
d) [A-03] I =
2√3∫
√5
1
x√x2 + 4
dx. e) I =
64∫1
1√x+ 3√xdx. f) I =
1∫0
1√(x+ 1) (x+ 8)
dx.
20
Chương 2. Tích Phân
Lời giải.
a) Ta có I =
1∫0
x2x√
1− x2dx.
Đặt u =√
1− x2 ⇔ u2 = 1− x2 ⇒ 2udu = −2xdx. Đổi cận: x = 0⇒ u = 1; x = 1⇒ u = 0. Ta có
I =
1∫0
(1− u2
)u.udu =
1∫0
(u2 − u4
)du =
(u3
3− u5
5
)∣∣∣∣10
=2
15
c) Đặt u =√
2x+ 1⇔ u2 = 2x+ 1⇒ 2udu = 2dx. Đổi cận: x = 0⇒ u = 1; x = 4⇒ u = 3. Ta có
I =
3∫1
2(u2 − 1
)− 1
u+ 2udu =
3∫1
2u3 − 3u
u+ 2du =
3∫1
(2u2 − 4u+ 5− 10
u+ 2
)du
=
(2u3
3− 2u2 − 10 ln |u+ 2|
)∣∣∣∣31
=34
3+ 10 ln
3
5
c) Đặt u =√
4x+ 1⇔ u2 = 4x+ 1⇒ udu = 2dx. Đổi cận: x = 2⇒ u = 3; x = 6⇒ u = 5. Ta có
I =1
2
5∫3
1u2−12 + 1 + u
udu =
5∫3
u
u2 + 2u+ 1du =
5∫3
u+ 1− 1
(u+ 1)2du
=
5∫3
(1
u+ 1− 1
(u+ 1)2
)du =
(ln |u+ 1|+ 1
u+ 1
)∣∣∣∣53
= ln3
2− 1
12
d) Ta có I =
2√3∫
√5
x
x2√x2 + 4
dx.
Đặt u =√x2 + 4⇔ u2 = x2 + 4⇒ udu = xdx. Đổi cận: x =
√5⇒ u = 3; x = 2
√3⇒ u = 4. Ta có
I =
4∫3
u
(u2 − 4)udu =
4∫3
1
(u− 2) (u+ 2)du =
1
4
4∫3
(u+ 2)− (u− 2)
(u− 2) (u+ 2)du
=1
4
4∫3
(1
u− 2− 1
u+ 2
)du =
1
4(ln |u− 2| − ln |u+ 2|)
∣∣∣∣43
=1
4ln
5
3
e) Đặt u = 6√x⇔ u6 = x⇒ 6u5du = dx. Đổi cận: x = 1⇒ u = 1; x = 64⇒ u = 2. Ta có
I =
2∫1
1
u3 + u26u5du = 6
2∫1
u3
u+ 1du = 6
2∫1
(u2 − u+ 1− 1
u+ 1
)du
= 6
(u3
3− u2
2+ u− ln |u+ 1|
)∣∣∣∣21
= 11 + 6 ln2
3
f) Đặt u =√x+ 1 +
√x+ 8
⇒ du =
(1
2√x+ 1
+1
2√x+ 8
)dx =
√x+ 1 +
√x+ 8
2√
(x+ 1)(x+ 8)dx⇔ 2
udu =
1√(x+ 1)(x+ 8)
dx.
Đổi cận: x = 0⇒ u = 1 + 2√
2; x = 1⇒ u = 3 +√
2. Ta có
I =
3+√2∫
1+2√2
2
udu = 2 ln |u||3+
√2
1+2√2
= 2 ln3 +√
2
1 + 2√
2
21
Nguyễn Minh Hiếu
Tổng quát 2.8. I =
∫1√
(ax+ b)(ax+ c)dx. Đặt u =
√|ax+ b|+
√|ax+ c|.
Ví dụ 2.10. Tính các tích phân sau
a) [D-09] I =
3∫1
1
ex − 1dx. b) I =
ln 2∫0
1
1 + e−xdx. c) [A-2010] I =
1∫0
x2 + ex + 2x2ex
1 + 2exdx.
d) [DB-03] I =
ln 5∫ln 2
e2x√ex − 1
dx. e) I =
ln 5∫ln 2
ex
(10− ex)√ex − 1
dx. f) [B-2010] I =
e∫1
lnx
x(2 + lnx)2dx.
g) I =
e∫1
1 + ln3x
xdx. h) I =
√e∫
1
1
x(ln2x− 3 lnx+ 2
)dx. i) [B-04] I =
e∫1
√1 + 3 lnx. lnx
xdx.
Lời giải.
a) I =
3∫1
ex − (ex − 1)
ex − 1dx =
3∫1
(ex
ex − 1− 1
)dx = (ln |ex − 1| − x)|31 = ln
(e2 + e+ 1
)− 2.
b) I =
ln 2∫0
1
1 + 1exdx =
ln 2∫0
ex
1 + exdx =
ln 2∫0
1
1 + exdex = ln |1 + ex||ln 2
0 = ln3
2.
c) I =
1∫0
x2 (1 + 2ex) + ex
1 + 2exdx =
1∫0
(x2 +
ex
1 + 2ex
)dx =
1∫0
x2dx+1
2
1∫0
1
1 + 2exd(1 + 2ex)
=x3
3
∣∣∣∣10
+1
2ln |1 + 2ex|
∣∣∣∣10
=1
3+
1
2ln
1 + 2e
3.
d) Ta có I =
ln 5∫ln 2
ex.ex√ex − 1
dx.
Đặt u =√ex − 1⇔ u2 = ex − 1⇒ 2udu = exdx. Đổi cận: x = ln 2⇒ u = 1; x = ln 5⇒ u = 4. Ta có
I =
4∫1
u2 + 1
u2udu = 2
4∫1
(u2 + 1
)du = 2
(u3
3+ u
)∣∣∣∣41
=20
3
e) Đặt u =√ex − 1⇔ u2 = ex − 1⇒ 2udu = exdx.
Đổi cận: x = ln 2⇒ u = 1; x = ln 5⇒ u = 2. Ta có
I =
2∫1
1
(9− u)u2udu =
1
3
2∫1
(3 + u) + (3− u)
(3 + u)(3− u)du =
1
3
2∫1
(1
3− u+
1
3 + u
)du
=1
3(ln |3 + u| − ln |3− u|)
∣∣∣∣21
=1
3ln
5
2
f) Đặt u = 2 + lnx⇒ du =1
xdx. Đổi cận: x = 1⇒ u = 2; x = e⇒ u = 3. Ta có
I =
3∫2
u− 2
u2du =
3∫2
(1
u− 2
u2
)du =
(ln |u|+ 2
u
)∣∣∣∣32
= ln3
2− 1
3
g) I =
e∫1
1 + ln3x
xdx =
e∫1
(1 + ln3x
)d lnx =
(lnx+
ln4x
4
)∣∣∣∣e1
=5
4.
22
Chương 2. Tích Phân
h) Đặt u = lnx⇒ du =1
xdx. Đổi cận: x = 1⇒ u = 0; x =
√e⇒ u =
1
2. Ta có
I =
12∫
0
1
u2 − 3u+ 2du =
12∫
0
(u− 1)− (u− 2)
(u− 1)(u− 2)du =
12∫
0
(1
u− 2− 1
u− 1
)du
= (ln |u− 2| − ln |u− 1|)||120 = ln
3
2
i) Đặt u =√
1 + 3 lnx⇔ u2 = 1 + 3 lnx⇒ 2udu =3
xdx.
Đổi cận: x = 1⇒ u = 1; x = e⇒ u = 2. Ta có
I =
2∫1
uu2 − 1
3.2u
3du =
2
9
2∫1
(u4 − u2
)du =
2
9
(u5
5− u3
3
)∣∣∣∣21
=116
135
2.2.4. Phương pháp tích phân từng phần.
Bài toán 2.5. Tính tích phân I =
b∫a
u(x).v′(x)dx.
Phương pháp.
• Đặt{u = u(x)dv = v′(x)dx
⇒{du = u′(x)dxv =
∫v′(x)dx (chọn C = 0)
.
• Khi đó I = uv|ba −b∫a
vdu.
Lưu ý. Trong tích phân từng phần ta thường gặp các trường hợp sau
• I =
∫{P (x); ex} dx u = P (x)
• I =
∫ {P (x); sinx, cosx,
1
cos2x,
1
sin2x
}dx u = P (x)
• I =
∫{P (x); lnx} dx u = lnx
• I =
∫{ex; sinx, cosx} dx u = ex
(hoặc u = sinx, cosx
)Ví dụ 2.11. Tính các tích phân sau
a) [D-06] I =
1∫0
(x− 2) e2xdx. b) [CĐ-09] I =
1∫0
(e−2x + x
)exdx.c) I =
π2∫
0
(x+ 1) sin 2xdx.
d) I =
π2∫
0
x (2 + sinx) dx. e) [D-08] I =
2∫1
lnx
x3dx. f) [D-04] I =
3∫2
ln(x2 − x
)dx.
Lời giải.
a) Đặt{u = x− 2dv = e2xdx
⇒{du = dxv = 1
2e2xdx
. Ta có
I =1
2(x− 2)e2x
∣∣∣∣10
− 1
2
1∫0
e2xdx = −e2
2+ 1− 1
4e2x∣∣∣∣10
=5− 3e2
4
b) Ta có I =
1∫0
(e−2x + x
)exdx =
1∫0
e−xdx+
1∫0
xexdx = −e−x∣∣10
+
1∫0
xexdx = 1− 1
e+
1∫0
xexdx.
23
Nguyễn Minh Hiếu
Đặt{u = xdv = exdx
⇒{du = dxv = ex
. Ta có
I = 1− 1
e+ xex|10 −
1∫0
exdx = 1− 1
e+ e− ex|10 = 2− 1
e
c) Đặt{u = x+ 1dv = sin 2xdx
⇒{du = dxv = −1
2 cos 2x. Ta có
I = −1
2(x+ 1) cos 2x
∣∣∣∣π20
+1
2
π2∫
0
cos 2xdx =π
4+ 1 +
1
4sin 2x
∣∣∣∣π20
=π + 4
4
d) Đặt{u = xdv = (2 + sinx)dx
⇒{du = dxv = 2x− cosx
. Ta có
I = x(2x− cosx)|π20 −
π2∫
0
(2x− cosx)dx =π2
2−(x2 − sinx
)∣∣π20
=π2
4+ 1
e) Đặt{u = lnxdv = 1
x3dx⇒{du = 1
xdxv = − 1
2x2. Ta có
I = − lnx
2x2
∣∣∣∣21
+1
2
2∫1
1
x3dx = −1
8ln 2− 1
4x2
∣∣∣∣21
=3
16− 1
8ln 2
f) Đặt{u = ln
(x2 − x
)dv = dx
⇒{du = 2x−1
x2−xdx
v = x. Ta có
I = x ln(x2 − x
)∣∣32−
3∫2
x2x− 1
x2 − xdx = 3 ln 6− 2 ln 2−
3∫2
2x− 1
x− 1dx
= 3 ln 6− 2 ln 2−3∫
2
(2 +
1
x− 1
)dx = 3 ln 6− 2 ln 2− (2x+ ln |x− 1|)|32 = 3 ln 3− 2
Ví dụ 2.12. Tính các tích phân sau
a) I =
π4∫
0
x
1 + cos 2xdx. b) I =
e∫1
x2 + 1
xlnxdx. c) I =
0∫−1
x(e2x + 3
√x+ 1
)dx.
d) [B-09] I =
3∫1
3 + lnx
(1 + x)2dx. e) I =
ln 3∫0
xex√ex + 1
dx. f) [B-2011] I =
π3∫
0
1 + x sinx
cos2xdx.
Lời giải.
a) Ta có I =
π4∫
0
x
2cos2xdx.
Đặt{u = xdv = 1
2cos2xdx⇒{du = dxv = 1
2 tanx. Ta có
I =1
2x tanx
∣∣∣∣π40
− 1
2
π4∫
0
tanxdx =π
8− 1
2
π4∫
0
sinx
cosxdx =
π
8+
1
2
π4∫
0
1
cosxd cosx
=π
8+
1
2ln |cosx|
∣∣∣∣π40
=π
8− 1
4ln 2
24
Chương 2. Tích Phân
b) Ta có I =
e∫1
(x+
1
x
)lnxdx =
e∫1
x lnxdx+
e∫1
lnx
xdx =
e∫1
x lnxdx+ln2x
2
∣∣∣∣e1
=
e∫1
x lnxdx+1
2
Đặt{u = lnxdv = xdx
⇒{du = 1
xdx
v = x2
2
. Ta có
I =1
2+x2
2lnx
∣∣∣∣e1
−e∫
1
x2
2
1
xdx =
1
2+e2
2− 1
2
e∫1
xdx =1
2+e2
2− x2
4
∣∣∣∣e1
=e2 + 3
4
c) Ta có I =
0∫−1
x(e2x + 3
√x+ 1
)dx =
0∫−1
xe2xdx+
0∫−1
x 3√x+ 1dx = I1 + I2.
Đặt{u = xdv = e2xdx
⇒{du = dxv = 1
2e2x . Ta có
I1 =1
2xe2x
∣∣∣∣0−1− 1
2
0∫−1
e2xdx =1
2e2− 1
4e2x∣∣∣∣0−1
=3
4e2− 1
4
Đặt u = 3√x+ 1⇔ u3 = x+ 1⇒ 3u2du = dx. Đổi cận: x = −1⇒ u = 0; x = 0⇒ u = 1. Ta có
I2 =
1∫0
(u3 − 1
)u.3u2du = 3
1∫0
(u6 − u3
)du = 3
(u7
7− u4
4
)∣∣∣∣10
= − 9
28
Vậy I = I1 + I2 =3
4e2− 1
4− 9
28=
3
4e2− 4
7.
d) Đặt
{u = 3 + lnxdv = 1
(1+x)2⇒{du = 1
xdxv = − 1
1+x
. Ta có
I = −3 + lnx
1 + x
∣∣∣∣31
+
3∫1
1
x(1 + x)dx =
3− ln 3
4+
3∫1
1 + x− xx(1 + x)
dx =3− ln 3
4+
3∫1
(1
x− 1
1 + x
)dx
=3− ln 3
4+ (ln |x| − ln |1 + x|)|31 =
1
4
(3 + ln
27
16
)
e) Đặt
{u = x
dv = ex√ex+1
⇒{du = dxv = 2
√ex + 1
. Ta có
I = 2x√ex + 1
∣∣ln 3
0− 2
ln 3∫0
√ex + 1dx = 4 ln 3− 2
ln 3∫0
ex√ex + 1
exdx
Lại đặt u =√ex + 1⇔ u2 = ex + 1⇒ 2udu = exdx.
Đổi cận: x = 0⇒ u =√
2; x = ln 3⇒ u = 2. Ta có
I = 4 ln 3− 2
2∫√2
u
u2 − 12udu = 4 ln 3− 4
2∫√2
(1 +
1
u2 − 1
)du
= 4 ln 3− 4t|2√2− 2
2∫√2
(u+ 1)− (u− 1)
(u+ 1)(u− 1)du = 4 ln 3− 8 + 4
√2− 2
2∫√2
(1
u− 1− 1
u+ 1
)du
= 4 ln 3− 8 + 4√
2− 2 (ln |u− 1| − ln |u+ 1|)|2√2
= 6 ln 3− 8 + 4√
2 + 4 ln(√
2− 1)
25
Nguyễn Minh Hiếu
f) Ta có I =
π3∫
0
1
cos2xdx+
π3∫
0
x sinx
cos2xdx = tanx|
π30 +
π3∫
0
x sinx
cos2xdx =
√3 +
π3∫
0
x sinx
cos2xdx.
Đặt{u = x
dv = sinxcos2x
dx⇒{du = dxv = 1
cosx
. Ta có
I =√
3 +x
cosx
∣∣∣π30−
π3∫
0
1
cosxdx =
√3 +
2π
3−
π3∫
0
cosx
cos2xdx =
√3 +
2π
3−
π3∫
0
1
1− sin2xd (sinx)
=√
3 +2π
3− 1
2
π3∫
0
1− sinx+ 1 + sinx
(1− sinx)(1 + sinx)d (sinx) =
√3 +
2π
3− 1
2
π3∫
0
(1
1 + sinx+
1
1− sinx
)d (sinx)
=√
3 +2π
3− 1
2(ln |1 + sinx| − ln |1− sinx|)
∣∣∣∣π30
=√
3 +2π
3− ln
(2 +√
3)
Ví dụ 2.13. Tính các tích phân sau
a) I =
ln 2∫0
x2exdx. b) [DB-07] I =
π2∫
0
x2 cosxdx. c) [D-07] I =
e∫1
x3ln2xdx.
d) I =
π2∫
0
ex cosxdx. e) [BĐT-37] I =
π∫0
e2xsin2xdx. f) I =
eπ∫1
cos (lnx) dx.
g) [DB-03] I =
1∫0
x3ex2dx. h) [DB-04] I =
π2∫0
√x sin
√xdx. i) I =
e5∫e2
lnx. ln (lnx)
xdx.
Lời giải.
a) Đặt{u = x2
dv = exdx⇒{du = 2xdxv = ex
. Ta có
I = x2ex∣∣ln 2
0−
ln 2∫0
ex2xdx = 2ln22−ln 2∫0
2xexdx
Lại đặt{u = 2xdv = exdx
⇒{du = 2dxv = ex
. Ta có
I = 2ln22− 2xex|ln 20 +
ln 2∫0
2exdx = 2ln22− 4 ln 2 + 2ex|ln 20 = 2ln22− 4 ln 2 + 2
b) Đặt{u = x2
dv = cosxdx⇒{du = 2xdxv = sinx
. Ta có
I = x2 sinx∣∣π20−
π2∫
0
2x sinxdx =π2
4−
π2∫
0
2x sinxdx
Lại đặt{u = 2xdv = sinxdx
⇒{du = 2dxv = − cosx
. Ta có
I =π2
4+ 2x cosx|
π20 −
π2∫
0
2 cosxdx =π2
4− 2 sinx|
π20 =
π2
4− 2
26
Chương 2. Tích Phân
c) Đặt{u = ln2xdv = x3dx
⇒{du = 2 lnx
x dx
v = x4
4
. Ta có
I =x4
4ln2x
∣∣∣∣e1
−e∫
1
x4
4
2 lnx
xdx =
e4
4− 1
2
e∫1
x3 lnxdx
Lại đặt{u = lnxdv = x3dx
⇒{du = 1
xdx
v = x4
4
. Ta có
I =e4
4− 1
2
x4
4lnx
∣∣∣∣e1
− 1
4
e∫1
x3dx
=e4
4− 1
2
(e4
4− x4
16
∣∣∣∣e1
)=
5e4 − 1
32
d) Đặt{u = ex
dv = cosxdx⇒{du = exdxv = sinx
. Ta có
I = ex sinx|π20 −
π2∫
0
ex sinxdx = eπ2 −
π2∫
0
ex sinxdx
Lại đặt{u = ex
dv = sinxdx⇒{du = exdxv = − cosx
. Ta có
I = eπ2 −
−ex cosx|π20 +
π2∫
0
ex cosxdx
= eπ2 − 1− I ⇔ I =
eπ2 − 1
2
e) Ta có I =
π∫0
e2xsin2xdx =1
2
π∫0
e2x (1− cos 2x) dx =1
4e2x∣∣∣∣π0
− 1
2
π∫0
e2x cos 2xdx =e2π − 1
4− 1
2I1.
Đặt{u = e2x
dv = cos 2xdx⇒{du = 2e2xdxv = 1
2 sin 2x. Ta có
I1 =1
2e2x sin 2x
∣∣∣∣π0
−π∫
0
e2x sin 2xdx = −π∫
0
e2x sin 2xdx
Lại đặt{u = e2x
dv = sin 2xdx⇒{du = 2e2xdxv = −1
2 cos 2x. Ta có
I1 = −
−1
2e2x cos 2x
∣∣∣∣π0
+
π∫0
e2x cos 2xdx
=e2π − 1
2− I1 ⇔ I1 =
e2π − 1
4
Vậy I =e2π − 1
4− 1
2
e2π − 1
4=e2π − 1
8.
f) Đặt{u = cos(lnx)dv = dx
⇒{du = − 1
x sin(lnx)dxv = x
. Ta có
I = x cos(lnx)|eπ
1 +
eπ∫1
sin (lnx) dx = −eπ − 1 +
eπ∫1
sin (lnx) dx
Lại đặt{u = sin(lnx)dv = dx
⇒{du = 1
x cos(lnx)dxv = x
. Ta có
I = −eπ − 1 + x sin(lnx)|eπ
1 −eπ∫1
cos (lnx) dx = −eπ − 1− I ⇔ I = −eπ + 1
2
27
Nguyễn Minh Hiếu
g) Đặt t = x2 ⇒ dt = 2xdx. Đổi cận: x = 0⇒ t = 0; x = 1⇒ t = 1. Ta có I =1
2
1∫0
tetdt.
Lại đặt{u = tdv = etdt
⇒{du = dtv = et
. Ta có
I =1
2
tet∣∣10−
1∫0
etdt
=1
2
(e− et
∣∣10
)=
1
2
h) Đặt t =√x⇔ t2 = x⇒ 2tdt = dx. Đổi cận: x = 0⇒ t = 0; x = π2 ⇒ t = π. Ta có
I =
π∫0
t sin t.2tdt =
π∫0
2t2 sin tdt
Đặt{u = 2t2
dv = sin tdt⇒{du = 4tdtv = − cosx
. Ta có
I = −2t2 cos t∣∣π0
+
π∫0
4t cos tdt = 2π2 +
π∫0
4t cos tdt
Lại đặt{u = 4tdv = cos tdt
⇒{du = 4dtv = sin t
. Ta có
I = 2π2 + 4t sin t|π0 − 4
π∫0
sin tdt = 2π2 + 4 cos t|π0 = 2π2 − 8
i) Đặt t = lnx⇒ dt =1
xdx. Đổi cận: x = e2 ⇒ t = 2; x = e5 ⇒ t = 5. Ta có I =
5∫2
t ln tdt.
Đặt{u = ln tdv = tdt
⇒{du = 1
t dt
v = t2
2
. Ta có
I =t2
2ln t
∣∣∣∣52
−5∫
2
t2
2
1
tdt =
25
2ln 5− 2 ln 2− 1
2
5∫2
tdt
=25
2ln 5− 2 ln 2− 1
4t2∣∣∣∣52
=25
2ln 5− 2 ln 2− 21
4
BÀI TẬP
2.4. Tính các tích phân sau
a) I =
1∫0
1
x2 − 5x+ 6dx. b) [BĐT-82] I =
0∫−1
5x− 3
x2 − 3x+ 2dx. c) [DB-07] I =
1∫0
x (x− 1)
x2 − 4dx.
d) I =
1∫0
2x+ 1
x2 + 2x+ 1dx. e) [BĐT-03] I =
1∫0
3x+ 1
(x+ 1)3dx. f) [BĐT-26] I =
0∫−1
3x2 + 3x+ 3
x3 − 3x+ 2dx.
2.5. Tính các tích phân sau
a) I =
2∫1
1
x (x4 + 1)dx. b) I =
1∫12
1
x7 − 4x3dx. c) I =
1∫0
1
(x+ 3)2(x+ 1)2dx.
28
Chương 2. Tích Phân
2.6. Tính các tích phân sau
a) I =
a∫0
1
a2 + x2dx (a > 0). b) I =
a2∫
0
1√a2 − x2
dx (a > 0). c) I =
2a∫2a√3
1
x√x2 − a2
dx (a > 0).
d) I =
1∫0
x
x4 + 1dx. e) I =
2∫0
x2√
4− x2dx. f) I =
√3∫
0
∣∣1− x2∣∣1 + x2
dx.
2.7. Tính các tích phân sau
a) I =
2∫0
x√
2x− x2dx. b) I =
5∫2
√−x2 + 4x+ 5dx. c) I =
2∫0
2x+ 3
x2 + 2x+ 4dx.
d) I =
1∫0
x
x4 + x2 + 1dx. e) [DB-04] I =
2∫0
x4 − x+ 1
x2 + 4dx. f) I =
1∫0
x4 + x2 + 1
x6 + 1dx.
2.8. Tính các tích phân sau
a) I =
1∫12
1
(1 + x3) 3√
1 + x3dx. b) I =
1∫−√3
1√(1 + x2)3
dx. c) I =
1∫−1
1
(1 + ex) (1 + x2)dx.
d) I =
1∫−1
x4
2011x + 1dx. e) I =
π4∫
−π4
sin6x+ cos6x
1 + 6xdx. f) I =
1∫−1
ln(x+
√x2 + 1
)dx.
2.9. Tính các tích phân sau
a) I =
1∫0
x(x− 1)2012dx. b) I =
0∫−1
(x+ 1)(x2 + 2x+ 2
)2012dx. c) I =
1∫0
x5(1− x3
)6dx.
d) I =
1∫0
5x
(x2 + 4)2dx. e) I =
1∫0
x3
(x2 + 1)3dx. f) I =
1∫0
(x+ 1)2010
(x+ 2)2012dx.
2.10. Tính các tích phân sau
a) I =
1∫0
x2 8√
1− xdx. b) I =
1∫0
x15√
1 + 3x8dx. c) I =
√3∫
0
x3√x2 + 1
dx.
d) I =
√3∫
0
x5 + 2x3√x2 + 1
dx. e) I =
2∫1
x
1 +√x− 1
dx. f) I =
4√7∫0
x3
1 + 3√x4 + 1
dx.
2.11. Tính các tích phân sau
a) [BĐT-85] I =
2∫1
1
x√
1 + x3dx. b) I =
4∫√7
1
x√x2 + 9
dx. c) I =
6√3∫1
√1 + x6
xdx.
d) I =
3∫−1
x− 3
3√x+ 1 + x+ 3
dx. e) I =
1∫0
x
(5− 2x2)√
6x2 + 1dx. f) I =
0∫−1
1√(2x− 1)(2x− 3)
dx.
2.12. Tính các tích phân sau
a) I =
π2∫
0
ecos2x sinx cosxdx. b) I =
π4∫
0
(tanx+ esinx cosx
)dx. c) I =
2∫−1
ex
2 + exdx.
d) I =
1∫0
ex (1 + x)
1 + xexdx. e) I =
ln 5∫ln 2
(ex + 1) ex√ex + 1
dx. f) I =
ln 3∫0
√ex + 1dx.
29
Nguyễn Minh Hiếu
g) I =
ln 4∫ln 2
1√ex − 1
dx. h) I =
ln 5∫0
ex√ex − 1
ex + 3dx. i) [B-06] I =
ln 5∫ln 3
1
ex + 2e−x − 3dx.
2.13. Tính các tích phân sau
a) I =
eπ2∫
1
cos (lnx)
xdx. b) I =
π3∫
π4
ln (tanx)
sin 2xdx. c) I =
e∫1
√1 + lnx
xdx.
d) [DB-05]
e2∫1
ln2x
x√
lnx+ 1dx. e) I =
√e∫
1
3− 2 lnx
x√
1 + 2 lnxdx. f) I =
e∫1
2 lnx+ 3
x(lnx+ 2)2dx.
2.14. Tính các tích phân sau
a) I =
1∫0
xexdx. b) I =
1∫0
x√exdx. c) [TN-09] I =
1∫0
(2x+ xex) dx.
d) I =
1∫0
(xe2x − x√
4− x2
)dx. e) I =
1∫0
(x2 + 2x)exdx. f) I =
1∫0
(4x2 − 2x− 1
)e2xdx.
2.15. Tính các tích phân sau
a) [TN-09] I =
π∫0
x (1 + cosx) dx. b) I =
π2∫
0
(2x− 1) cosxdx. c) I =
π2∫
0
(2x− 1) cos2xdx.
d) I =
π3∫
π4
x
sin2xdx. e) I =
π2∫
0
(x2 − 2x+ 3) sinxdx. f) I =
π∫0
x sinxcos2xdx.
2.16. Tính các tích phân sau
a) [DB-05] I =
e∫1
x2 lnxdx. b) [DB-06] I =
2∫1
(x− 2) lnxdx. c) I =
1∫0
ln (2x+ 1) dx.
d) [D-2010] I =
e∫1
(2x− 3
x
)lnxdx. e) I =
5∫2
2x2 − 2x− 1
x− 1ln (x− 1) dx. f) I =
2∫1
ln (1 + x)
x2dx.
2.17. Tính các tích phân sau
a) I =
π2∫
0
excos2xdx. b) I =
π2∫
0
e3x sin 5xdx. c) I =
eπ2∫
1
sin (lnx) dx.
d) I =
π2∫
0
ecosx sin 2xdx. e) I =
π2∫
0
esin2x sinxcos3xdx. f) I =
π2∫
0
sin 2x ln(1 + cos2x
)dx.
2.3. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác.
2.3.1. Dạngb∫a
sinmxcosnxdx.
Phương pháp.• Nếu m lẻ thì đặt u = cosx. • Nếu n lẻ thì đặt u = sinx.• Nếu m,n dương chẵn thì hạ bậc.• Nếu m = 0 và n âm chẵn thì đặt u = tanx. • Nếu n = 0 và m âm chẵn thì đặt u = cotx.
30
Chương 2. Tích Phân
Ví dụ 2.14. Tính các tích phân sau
a) I =
π4∫
0
sin2xdx. b) I =
π4∫
0
tanxdx. c) I =
π2∫
0
cos5xdx.
d) I =
π4∫
0
1
cos4xdx. e) I =
π2∫
π3
1
sinxdx. f) I =
π4∫
0
1
cos3xdx.
g) I =
π3∫
0
sin2x tanxdx. h) I =
π4∫
0
sin2x
cos4xdx. i) I =
π3∫
π6
1
cosxsin2xdx.
Lời giải.
a) I =1
2
π4∫
0
(1− cos 2x) dx =
(1
2x− 1
4sin 2x
)∣∣∣∣π40
=π
8− 1
4.
b) I =
π4∫
0
sinx
cosxdx = −
π4∫
0
1
cosxd (cosx) = − ln |cosx||
π40 =
1
2ln 2.
c) I =
π2∫
0
cos4x cosxdx =
π2∫
0
(1− sin2x
)2d (sinx) =
(sinx− 2sin3x
3+
sin5x
5
)∣∣∣∣π2
0
=6
15.
d) I =
π4∫
0
1
cos2x
1
cos2xdx =
π4∫
0
(1 + tan2x
)d (tanx) =
(tanx+
tan3x
3
)∣∣∣∣π4
0
=4
3.
e) C1: I =
π2∫
π3
sinx
sin2xdx = −
π2∫
π3
1
1− cos2xd (cosx) = −1
2
π2∫
π3
1− cosx+ 1 + cosx
(1− cosx)(1 + cosx)d (cosx)
= −1
2
π2∫
π3
(1
1 + cosx+
1
1− cosx
)d (cosx) = −1
2(ln |1 + cosx| − ln |1− cosx|)
∣∣∣∣π2π3
=1
2ln 3.
C2: I =
π2∫
π3
1
2 sin x2 cos x2
dx =
π2∫
π3
1
2cos2 x2 tan x2
dx
=
π2∫
π3
1
tan x2
d(
tanx
2
)= ln
∣∣∣tanx
2
∣∣∣∣∣∣π2π3
=1
2ln 3.
f) I =
π6∫
0
cosx
cos4xdx =
π6∫
0
1(1− sin2x
)2d (sinx) =1
4
π6∫
0
[1 + sinx+ 1− sinx
(1 + sinx)(1− sinx)
]2d (sinx)
=1
4
π6∫
0
[1
1− sinx+
1
1 + sinx
]2d (sinx)
=1
4
π6∫
0
[1
(1− sinx)2+
1
(1 + sinx)2+
2
(1− sinx) (1 + sinx)
]2d (sinx)
=1
4
(1
1− sinx− 1
1 + sinx
)∣∣∣∣π60
+1
4
π6∫
0
1− sinx+ 1 + sinx
(1− sinx)(1 + sinx)d (sinx)
31
Nguyễn Minh Hiếu
=1
3+
1
4
π6∫
0
(1
1 + sinx+
1
1− sinx
)d (sinx)
=1
3+
1
4(ln |1 + sinx| − ln |1− sinx|)
∣∣∣∣π60
=1
3+
1
4ln 3.
g) I =
π3∫
0
sin2x sinx
cosxdx =
π3∫
0
cos2x− 1
cosxd (cosx) =
π3∫
0
(cosx− 1
cosx
)d (cosx)
=
(cos2x
2− ln |cosx|
)∣∣∣∣π3
0
= ln 2− 3
8.
h) I =
π4∫
0
1− cos2x
cos6xdx =
π4∫
0
(1
cos6x− 1
cos4x
)dx =
π4∫
0
1
cos4x
1
cos2xdx−
π4∫
0
1
cos2x
1
cos2xdx
=
π4∫
0
(1 + tan2x
)2d (tanx)−
π4∫
0
(1 + tan2x
)d (tanx)
=
(tanx+
2tan3x
3+
tan5x
5
)∣∣∣∣π4
0
−(
tanx+tan3x
3
)∣∣∣∣π4
0
=8
15.
i) I =
π3∫
π6
cosx
cos2xsin2xdx =
π3∫
π6
1(1− sin2x
)sin2x
d (sinx) =
π3∫
π6
1− sin2x+ sin2x(1− sin2x
)sin2x
d (sinx)
=
π3∫
π6
(1
sin2x+
1
1− sin2x
)d (sinx) =
π3∫
π6
1
sin2xd (sinx) +
1
2
π3∫
π6
1− sinx+ 1 + sinx
(1− sinx)(1 + sinx)d (sinx)
= − 1
sinx
∣∣∣∣π3π6
+1
2
π3∫
π6
(1
1 + sinx+
1
1− sinx
)d (sinx)
= 2− 2√3
+1
2(ln |1 + sinx| − ln |1− sinx|)
∣∣∣∣π3π6
= 2− 2√3
+ ln
(1 +
2√3
).
2.3.2. Dạngb∫a
{f(sinx); cosx} dx hoặcb∫a
{f(cosx); sinx} dx.
Phương pháp. Đặt u = sinx hoặc u = cosx.
Ví dụ 2.15. Tính các tích phân sau
a) [B-03] I =
π4∫
0
1− 2sin2x
1 + sin 2xdx. b) [B-05] I =
π2∫
0
sin 2x cosx
1 + cosxdx.
c) [D-05] I =
π2∫
0
(esinx + cosx
)cosxdx. d) [A-2011] I =
π4∫
0
x sinx+ (x+ 1) cosx
x sinx+ cosxdx.
e) [A-06] I =
π2∫
0
sin 2x√cos2x+ 4sin2x
dx. f) I =
π2∫
0
cosx√7 + cos 2x
dx.
Lời giải.
a) I =
π4∫
0
cos 2x
1 + sin 2xdx =
1
2
π4∫
0
1
1 + sin 2xd (1 + sin 2x) =
1
2ln |1 + sin 2x|
∣∣∣∣π40
=1
2ln 2.
32
Chương 2. Tích Phân
b) Ta có I = 2
π2∫
0
sinxcos2x
1 + cosxdx.
Đặt u = 1 + cosx⇒ du = − sinxdx. Đổi cận: x = 0⇒ u = 2; x =π
2⇒ u = 1. Ta có
I = 2
2∫1
(u− 1)2
udu = 2
2∫1
(u− 2 +
1
u
)du = 2
(u2
2− 2u+ ln |u|
)∣∣∣∣21
= 2 ln 2− 1
c) I =
π2∫
0
(esinx + cosx
)cosxdx =
π2∫
0
esinx cosxdx+
π2∫
0
cos2xdx
=
π2∫
0
esinxd (sinx) +1
2
π2∫
0
(1 + cos 2x) dx = esinx∣∣π20
+
(1
2x+
1
4sin 2x
)∣∣∣∣π20
= e+π
4− 1.
d) Ta cos I =
π4∫
0
x sinx+ x cosx+ cosx
x sinx+ cosxdx =
π4∫
0
(1 +
x cosx
x sinx+ cosx
)dx
= x|π40 +
π4∫
0
x cosx
x sinx+ cosxdx =
π
4+
π4∫
0
x cosx
x sinx+ cosxdx.
Đặt u = x sinx+ cosx⇒ du = (x cosx) dx. Đổi cận: x = 0⇒ u = 1; x =π
4⇒ u =
4 + π
4√
2. Ta có
I =π
4+
4+π4√
2∫1
1
udu = ln |u||
4+π4√2
1 =π
4+ ln
4 + π
4√
2
e) Đặt u =√
cos2 x+ 4 sin2 x⇔ u2 = cos2 x+ 4 sin2 x⇒ 2udu = 6 sinx cosxdx.Đổi cận: x = 0⇒ u = 1; x =
π
2⇒ u = 2. Ta có
I =2
3
2∫1
1
uudu =
2
3u
∣∣∣∣21
=2
3
f) Ta có I =
π2∫
0
cosx√8− 2sin2x
dx =1√2
π2∫
0
cosx√4− sin2x
dx.
Đặt sinx = 2 sin t, t ∈[−π
2 ; π2]⇒ cosxdx = 2 cos tdt.
Đổi cận: x = 0⇒ t = 0; x =π
2⇒ t =
π
6. Ta có
I =
√2
2
π6∫
0
1√4− 4sin2t
cos tdt =
√2
2
π6∫
0
dt =
√2
2t
∣∣∣∣∣π6
0
=
√2π
12
2.3.3. Dạngb∫a
{f(tanx); 1
cos2x
}dx hoặc
b∫a
{f(cotx); 1
sin2x
}dx.
Phương pháp. Đặt u = tanx hoặc u = cotx.
Ví dụ 2.16. Tính các tích phân sau
a) I =
π4∫
0
1
cos2x(
1cos2x
+ 2 tanx)dx. b) [A-08] I =
π6∫
0
tan4x
cos 2xdx.
33
Nguyễn Minh Hiếu
c) I =
π2∫
0
1
3sin2x+ cos2xdx. d) I =
π2∫
0
1
1 + sinxdx.
e) I =
π2∫
0
1
1 + sinx+ cosxdx. f) [BĐT-57] I =
π6∫
0
1
cosx cos(x+ π
4
)dx.Lời giải.
a) I =
π4∫
0
1
1 + tan2x+ 2 tanxd (tanx) =
π4∫
0
1
(tanx+ 1)2d (tanx+ 1) = − 1
tanx+ 1
∣∣∣∣π40
=1
2.
b) I =
π6∫
0
tan4x
2cos2x− 1dx =
π6∫
0
tan4x
cos2x(2− 1
cos2x
)dx =
π6∫
0
tan4x
1− tan2xd (tanx)
=
π6∫
0
(−tan2x− 1 +
1
2
1− tanx+ 1 + tanx
(1− tanx)(1 + tanx)
)d (tanx)
=
π6∫
0
(−tan2x− 1 +
1
2
(1
1 + tanx+
1
1− tanx
))d (tanx)
=
(−tan3x
3− tanx+
1
2(ln |1 + tanx| − ln |1− tanx|)
)∣∣∣∣π6
0
=1
2ln(
2 +√
3)− 10
√3
27.
c) Ta có I =
π4∫
0
1
3sin2x+ cos2xdx+
π2∫
π4
1
3sin2x+ cos2xdx
=
π4∫
0
1
cos2x (3tan2x+ 1)dx+
π2∫
π4
1
sin2x (3 + cot2x)dx = I1 + I2
Đặt√
3 tanx = tan t, t ∈(−π
2;π
2
)⇒√
31
cos2xdx =
1
cos2tdt =
(1 + tan2t
)dt.
Đổi cận: x = 0⇒ t = 0; x =π
4⇒ t =
π
3. Ta có
I1 =1√3
π3∫
0
1
tan2t+ 1
(1 + tan2t
)dt =
1√3t
∣∣∣∣π30
=π
3√
3
Đặt cotx =√
3 tan t, t ∈(−π
2;π
2
)⇒ − 1
sin2xdx =
√3
cos2tdt =
√3(1 + tan2t
)dt.
Đổi cận: x =π
4⇒ t =
π
6; x =
π
2⇒ t = 0. Ta có
I2 =
π6∫
0
1
3 + 3tan2t
√3(1 + tan2t
)dt =
1√3t
∣∣∣∣π60
=π
6√
3
Vậy I = I1 + I2 =π
3√
3+
π
6√
3=
π
2√
3.
d) I =
π2∫
0
1
1 + 2 sin x2 cos x2
dx =
π2∫
0
1
cos2 x2
(1
cos2 x2
+ 2 tan x2
)dx= 2
π2∫
0
1
1 + tan2 x2 + 2 tan x
2
d(
tanx
2
)= − 1
1 + tan x2
∣∣∣∣π20
= 1.
34
Chương 2. Tích Phân
Nhận xét. Nếu tích phân trên có cận từ 0 đếnπ
4thì có thể nhân cả tử và mẫu với 1− sinx. Còn nếu cận
từ 0 đến π thì bạn giải như thế nào ?
e) I =
π2∫
0
1
2 sin x2 cos x2 + 2cos2 x2
dx =
π2∫
0
1
2cos2 x2(tan x
2 + 1)dx
=
π2∫
0
1
tan x2 + 1
d(
tanx
2
)= ln
∣∣∣tanx
2+ 1∣∣∣∣∣∣π20
= ln 2.
f) I =√
2
π6∫
0
1
cosx (cosx− sinx)dx =
√2
π6∫
0
1
cos2x (1− tanx)dx
=√
2
π6∫
0
1
1− tanxd(tanx) = −
√2 ln |1− tanx|
∣∣∣π60
=√
2 ln3 +√
3
2.
2.3.4. Dạnga∫0
f(x)dx, trong đó a ∈{π2, π, π
4, ...}.
Phương pháp. Đặt x = a− t (đối với các tích phân chứa các biểu thức lượng giác có liên quan đến a).
Ví dụ 2.17. Tính các tích phân sau
a) I =
π∫0
x sinxcos2xdx. b) I =
π∫0
x sinx
4− cos2xdx.
c) [BĐT-91] I =
π2∫
0
sinx
sinx+ cosxdx. d) I =
π2∫
0
5 cosx− 4 sinx
(sinx+ cosx)3dx.
Lời giải.a) Đặt x = π − t⇒ dx = −dt. Đổi cận x = 0⇒ t = π; x = π ⇒ t = 0. Ta có
I =
π∫0
(π − t) sin (π − t) cos2 (π − t) dt =
π∫0
(π − t) sin tcos2tdt
=
π∫0
π sin tcos2tdt−π∫
0
t sin tcos2tdt = −ππ∫
0
cos2td (cos t)− I
⇔ 2I = −ππ∫
0
cos2td (cos t) = − πcos3t
3
∣∣∣∣π0
=2π
3⇔ I =
π
3
b) Đặt x = π − t⇒ dx = −dt. Đổi cận x = 0⇒ t = π; x = π ⇒ t = 0. Ta có
I =
π∫0
(π − t) sin (π − t)4− cos2 (π − t)
dt =
π∫0
(π − t) sin t
4− cos2tdt = π
π∫0
sin t
4− cos2tdt− I
⇔ 2I = −ππ∫
0
1
4− cos2td (cos t) = −π
4
π∫0
2− cos t+ 2 + cos t
(2− cos t)(2 + cos t)d (cos t)
⇔ I = −π8
π∫0
(1
2 + cos t+
1
2− cos t
)d (cos t) = −π
8(ln |2 + cos t| − ln |2− cos t|)
∣∣∣π0
=π
4ln 3
35
Nguyễn Minh Hiếu
c) Đặt x =π
2− t⇒ dx = −dt. Đổi cận x = 0⇒ t =
π
2; x =
π
2⇒ t = 0. Ta có
I =
π2∫
0
sin(π2 − t
)sin(π2 − t
)+ cos
(π2 − t
)dt =
π2∫
0
cos t
cos t+ sin tdt =
π2∫
0
cosx
cosx+ sinxdx
⇔ 2I =
π2∫
0
(sinx
cosx+ sinx+
cosx
cosx+ sinx
)dx =
π2∫
0
dx = x|π20 =
π
2⇔ I =
π
4
d) Đặt x =π
2− t⇒ dx = −dt. Đổi cận x = 0⇒ t =
π
2; x =
π
2⇒ t = 0. Ta có
I =
π2∫
0
5 cos(π2 − t
)− 4 sin
(π2 − t
)(sin(π2 − t
)+ cos
(π2 − t
))3dt =
π2∫
0
5 sin t− 4 cos t
(cos t+ sin t)3dt =
π2∫
0
5 sinx− 4 cosx
(cosx+ sinx)3dx
⇔ 2I =
π2∫
0
(5 cosx− 4 sinx
(sinx+ cosx)3+
5 sinx− 4 cosx
(cosx+ sinx)3
)dx =
π2∫
0
1
(sinx+ cosx)2dx
⇔ I =1
2
π2∫
0
1
2cos2(x− π
4
)dx =1
4tan
(x− π
4
)∣∣∣∣π20
=1
2
BÀI TẬP
2.18. Tính các tích phân sau
a) I =
π2∫
0
(1 + cos2
x
2
)dx. b) I =
π4∫
0
tan2xdx.
c) I =
π3∫
0
1
1 + cosxdx. d) [BĐT-104] I =
3π8∫
π8
1
sin2xcos2xdx.
e) [BĐT-71] I =
π4∫
0
cosx cos 2x sin 4xdx. f) [BĐT-74] I =
π∫0
cos3x sin 8xdx.
2.19. Tính các tích phân sau
a) [BĐT-18] I =
π∫0
cos4xdx. b) [BĐT-84] I =
π2∫
π4
1
sin4xdx.
c) I =
π2∫
0
sin3xdx. d) I =
π2∫
0
cos2xsin3xdx.
e) I =
π3∫
π6
cos3x
sin2xdx. f) I =
π3∫
π6
1
sin4x cosxdx.
2.20. Tính các tích phân sau
a) [BĐT-68] I =
π2∫
0
4sin3x
1 + cosxdx. b) I =
π2∫
0
√1 + sin2x sin 2xdx.
36
Chương 2. Tích Phân
c) I =
π2∫
0
sin 2x
4− cos2xdx. d) [A-05] I =
π2∫
0
sin 2x+ sinx√1 + 3 cosx
dx.
e) [A-09] I =
π2∫
0
(cos3x− 1
)cos2xdx. f) I =
π2∫
0
6√
1− cos3x sinxcos5xdx.
2.21. Tính các tích phân sau
a) I =
π4∫
0
sinx
2cos2x− sin2xdx. b) I =
π2∫
0
3 sinx+ 4 cosx
3sin2x+ 4cos2xdx.
c) I =
π2∫
π3
1
sin 2x− 2 sinxdx. d) I =
π2∫
0
sin 2x
3 + 4 sinx− cos 2xdx.
e) I =
π2∫
0
cosx
11− 7 sinx− cos2xdx. f) I =
π4∫
0
sin 2x
4− cos22xdx.
2.22. Tính các tích phân sau
a) I =
π3∫
π4
1
sin 2x− cos2xdx. b) I =
π6∫
0
1
sin2x− 3 sinx cosx+ 2cos2xdx.
c) I =
π3∫
π4
sinx
cos2x√
1 + cos2xdx. d) I =
π2∫
0
1
3 sinx+ 4 cosxdx.
e) I =
π12∫0
2
sin(4x+ π
3
)dx. f) I =
π4∫
0
1√2 +√
2 sin(x− π
4
)dx.2.23. Tính các tích phân sau
a) I =
π2∫
−π2
x+ cosx
4− sin2xdx. b) I =
π∫0
x sinx
1 + cos2xdx.
c) I =
π∫0
xsin5xdx. d) I =
π4∫
0
sinx
1 + sin 2xdx.
e) [BĐT-60] I =
π2∫
0
4 sinx
(sinx+ cosx)3dx. f) I =
π2∫
0
ln1 + sinx
1 + cosxdx.
37
Chương 3
Ứng Dụng Của Tích Phân
3.1. Tính Diện Tích Tình Phẳng.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là
S =
b∫a
|f(x)| dx (3.1)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là
S =
b∫a
|f(x)− g(x)| dx (3.2)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = a, y = b là
S =
b∫a
|f(y)− g(y)| dy (3.3)
Ví dụ 3.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) y = x2 − 2x; Ox; x = −1 và x = 2. b) y =−3x− 1
x− 1và hai trục tọa độ.
c) y = −x3 − 3x2 và trục hoành. d) y = x2 − 2x và y = −x2 + 4x.
a) [A-07] y = (e+ 1)x, y = (1 + ex)x. b) [B-02] y =
√4− x2
4và y =
x2
4√
2.
Lời giải.
y
xO−12
y=x2−
2x
a) Vì x2 − 2x = 0⇔[x = 0x = 2
nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
0∫−1
∣∣x2 − 2x∣∣ dx+
2∫0
∣∣x2 − 2x∣∣ dx
=
0∫−1
(x2 − 2x
)dx+
2∫0
(2x− x2
)dx
=
(x3
3− x2
)∣∣∣∣0−1
+
(x2 − x3
3
)∣∣∣∣20
=8
3(đvdt).
39
Nguyễn Minh Hiếu
b) Vì−3x− 1
x− 1= 0⇔ x = −1
3nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
0∫− 1
3
∣∣∣∣−3x− 1
x− 1
∣∣∣∣ dx =
0∫− 1
3
−3x− 1
x− 1dx =
0∫− 1
3
(−3− 4
x− 1
)dx
= (−3x− 4 ln |x− 1|)|0− 13
= ln4
3− 1 (đvdt).
y
xO
− 13
1y = −3x−1
x−1
y
xO−3
y = −x3 − 3x2
c) Vì −x3 − 3x2 = 0⇔[x = 0x = −3
nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
0∫−3
∣∣−x3 − 3x2∣∣ dx =
0∫−3
(x3 + 3x2
)dx
=
(x4
4+ x3
)∣∣∣∣0−3
=27
4(đvdt).
d) Vì x2− 2x = −x2 + 4x⇔[x = 0x = 3
nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
3∫0
∣∣(x2 − 2x)−(−x2 + 4x
)∣∣ dx =
3∫0
∣∣2x2 − 6x∣∣ dx
=
3∫0
(6x− 2x2
)dx =
(3x2 − 2x3
3
)∣∣∣∣30
= 9 (đvdt).
y
xO
y = −2x2 + 4x
2 y=x2−
2x
y
xO 1
1 + e
e) Vì (e+1)x = (1 + ex)x⇔ x (e− ex) = 0⇔[x = 0x = 1
nên diện tích hình
phẳng cần tìm là
S =
1∫0
|(e+ 1)x− (1 + ex)x| dx =
1∫0
|ex− xex| dx
=
1∫0
(ex− xex) dx =ex2
2
∣∣∣∣10
−1∫
0
xexdx =e
2−
1∫0
xexdx
Đặt{u = xdv = exdx
⇒{du = dxv = ex
. Ta có
S =e
2− xex|10 +
1∫0
ex = −e2
+ ex|10 =1
2e− 1 (đvdt).
40
Chương 3. Ứng Dụng Của Tích Phân
f) Vì
√4− x2
4=
x2
4√
2⇔ 4− x2
4=x4
32⇔ x = ±2
√2 nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
2√2∫
−2√2
∣∣∣∣∣√
4− x2
4− x2
4√
2
∣∣∣∣∣dx =
2√2∫
−2√2
(√4− x2
4− x2
4√
2
)dx
=
2√2∫
−2√2
√4− x2
4dx− x3
12√
2
∣∣∣∣2√2
−2√2
=
2√2∫
−2√2
√4− x2
4dx− 8
3
Đặtx
2= 2 sin t, t ∈
[−π
2;π
2
]⇒ 1
2dx = 2 cos tdt. Đổi cận x = ±2
√2⇒ t = ±π
4. Ta có
S =
π4∫
−π4
√4− 4sin2t.4 cos tdt− 8
3=
π4∫
−π4
8cos2tdt− 8
3
= 4
π4∫
−π4
(1 + cos2t) dt− 8
3= (4t+ 2 sin 2t)|
π4
−π4− 8
3
= 2π +4
3(đvdt).
y
xO−4 4−2√
2 2√
2
y = x2
4√2 y =
√4− x2
4
Ví dụ 3.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường saua) [A-02] y =
∣∣x2 − 4x+ 3∣∣ và y = x+ 3. b) [BĐT-96] y2 = 2x và 27y2 = 8(x− 1)3.
c) y = x3; x+ y = 2 và trục hoành. d) y =27
x; y =
x2
27và y = x2.
Lời giải.
y
xO 1 3 5
8
y=x
+3
3
y=|x
2−
4x+
3|a) Vì
∣∣x2 − 4x+ 3∣∣ = x + 3 ⇔
[x = 0x = 5
và x2 − 4x + 3 = 0 ⇔[x = 1x = 3
nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
1∫0
∣∣∣∣x2 − 4x+ 3∣∣− (x+ 3)
∣∣ dx+
5∫1
∣∣∣∣x2 − 4x+ 3∣∣− (x+ 3)
∣∣ dx+
5∫3
∣∣∣∣x2 − 4x+ 3∣∣− (x+ 3)
∣∣ dx=
1∫0
∣∣x2 − 5x∣∣ dx+
3∫1
∣∣−x2 + 3x− 6∣∣ dx+
5∫3
∣∣x2 − 5x∣∣ dx
=
1∫0
(5x− x2
)dx+
3∫1
(x2 − 3x+ 6
)dx+
5∫3
(5x− x2
)dx
=
(5x2
2− x3
3
)∣∣∣∣10
+
(x3
3− 3x2
2+ 6x
)∣∣∣∣31
+
(5x2
2− x3
3
)∣∣∣∣53
=109
6(đvdt).
b) Ta có y2 = 2x⇔ x = 12y
2, 27y2 = 8(x− 1)3 ⇔ x = 1 +3
23√y2.
Vì1
2y2 = 1 +
3
23√y2 ⇔
(3√y2)3− 3 3√y2 + 2 = 0⇔ y = ±2
√2 nên diện tích hình phẳng cần tìm là
41
Nguyễn Minh Hiếu
S =
2√2∫
−2√2
∣∣∣∣12y2 −(
1 +3
23√y2)∣∣∣∣ dy =
1
2
2√2∫
−2√2
(3 3√y2 + 2− y2
)dy
=1
2
(9 3√y5
5+ 2y − y3
3
)∣∣∣∣∣2√2
−2√2
=88√
2
15(đvdt).
y
xO
−2√
2
2√
2
4
27y2 = 8(x− 1)3y2 =
2x
Nhận xét. Ở bài tập trên việc rút ẩn y theo ẩn x là khó khăn do đó đưa diện tích cần tính về tích phântheo biến y là phù hợp.
y
xO
2
21
x+y
=2
y=x3
c) C1: Ta có y = x3 ⇔ x = 3√y, x+ y = 2⇔ x = 2− y. Vì 3
√y = 2− y ⇔
y = (2− y)3 ⇔ y = 1 nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
1∫0
| 3√y − (2− y)| dy =
1∫0
(2− y − 3√y) dy
=
(2y − y2
2− y
43
43
)∣∣∣∣∣1
0
=3
4(đvdt).
C2: (Cần phải vẽ hình)Ta có x+ y = 2⇔ y = 2− x. Khi đó x3 = 0⇔ x = 0; 2− x = 0⇔ x = 2và x3 = 2 − x ⇔ x = 1. Dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cầntìm là
S =
1∫0
x3dx+
2∫1
(2− x) dx =x4
4
∣∣∣∣10
+
(2x− x2
2
)∣∣∣∣21
=3
4(đvdt).
d) Ta có x2 =x2
27⇔ x = 0, x2 =
27
x⇔ x = 3 và
x2
27=
27
x⇔ x = 9. Dựa
vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
3∫0
(x2 − x2
27
)dx+
9∫3
(27
x− x2
27
)dx
=
(x3
3− x3
81
)∣∣∣∣30
+
(27 ln |x| − x3
81
)∣∣∣∣93
= 27 ln 3 (đvdt).
y
xO
3
9
3 9
y=x2
y = 27x
y = x2
27
BÀI TẬP
3.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường saua) y = x3; Ox; x = −2 và x = 2. b) y = −x2 + 6x và trục hoành.c) y = x3 và y = −x2. d) [BĐT-95] y = x và y = sin2 x+x với 0 ≤ x ≤ π.
e) y =x (1− x)
x2 + 1và y = 0. f) y = −
√4− x2 và x2 + 3y = 0.
3.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường saua) y =
∣∣x2 − 1∣∣ và y = |x| − 1. b) y =
√x, y = 2− x và y = 0.
c) [BĐT-38] ax = y2 và ay = x2 với a > 0. d) y2 = x3 − x2 và x = 2.e) (P ) : y = x2 − 4x+ 5 và hai tiếp tuyến của (P ) tại A(1; 2) và B(4; 5).
42
Chương 3. Ứng Dụng Của Tích Phân
3.2. Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trụchoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là
Vx = π
b∫a
f2(x)dx (3.4)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x)(trong đó f(x) và g(x) cùng dấu) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là
Vx = π
b∫a
∣∣f2(x)− g2(x)∣∣ dx (3.5)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trụchoành và hai đường thẳng y = a, y = b quanh trục Oy là
Vy = π
b∫a
g2(y)dy (3.6)
Ví dụ 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong saukhi quay quanh Ox
a) y =1
3x3 − x2, y = 0, x = 0 và x = 3. b) [BĐT-42] y = xex, x = 1 và trục hoành.
c) [B-07] y = x lnx; y = 0 và x = e. d) y = 4− x2 và y = x2 + 2.
Lời giải.
y
xO 2
y = 13x
3 − x2
a) Thể tích khối tròn xoay cần tìm là
Vx = π
3∫0
(1
3x3 − x2
)2
dx = π
3∫0
(1
9x6 − 2
3x5 + x4
)dx
= π
(x7
63− x6
9+x5
5
)∣∣∣∣30
=81π
35(đvtt).
b) Vì xex = 0⇔ x = 0 nên thể tích khối tròn xoay cần tìm là
Vx = π
1∫0
(xex)2dx = π
1∫0
x2e2xdx
Đặt{u = x2
dv = e2xdx⇒{du = 2xdxv = 1
2e2x . Ta có
Vx =π
2x2e2x
∣∣∣10− π
1∫0
xe2xdx =πe2
2− π
1∫0
xe2xdx
Lại đặt{u = xdv = e2xdx
⇒{du = dxv = 1
2e2x . Ta có
Vx =πe2
2− π
2xe2x
∣∣∣10
+π
2
1∫0
e2xdx =π
4e2x∣∣∣10
=π
4
(e2 − 1
)(đvtt).
y
xO 1
ey = xex
43
Nguyễn Minh Hiếu
y
xO 1 e
y=x
lnx
c) Vì x lnx = 0⇔ x = 1 nên thể tích khối tròn xoay cần tìm là
Vx = π
e∫1
(x lnx)2dx = π
e∫1
x2ln2xdx
Đặt{u = ln2xdv = x2dx
⇒{du = 2
x lnxdx
v = x3
3
. Ta có
Vx =π
3x3ln2x
∣∣∣e1− 2π
3
e∫1
x3 lnxdx =πe3
3− 2π
3
e∫1
x3 lnxdx
Lại đặt{u = lnxdv = x2dx
⇒{du = 1
xdx
v = x3
3
. Ta có
Vx =πe3
3− 2πx3 lnx
9
∣∣∣∣e1
+2π
9
e∫1
x2dx =πe3
9+
2πx3
27
∣∣∣∣e1
=π
27
(5e3 − 2
)(đvtt).
d) Ta có 4 − x2 = x2 + 2 ⇔ x = ±1. Dựa vào hình vẽ ta có thể tích khốitròn xoay cần tìm là
Vx = π
1∫−1
[(4− x2
)2 − (x2 + 2)2]
dx
= 12π
1∫−1
(1− x2
)dx = 12π
(x− x3
3
)∣∣∣∣1−1
= 16π (đvtt).
y
xO−1 1
y = 4− x2
y = x2 + 2
Ví dụ 3.4. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong saukhi quay quanh Oy
a) [BĐT-63] y = 2x− x2 và y = 0. b) y = x2, y =27
xvà y =
x2
27.
Lời giải.a) Ta có y = 2x − x2 ⇔ (x− 1)2 = 1 − y ⇔ |x− 1| =
√1− y nên với x ≥ 1 thì x = 1 +
√1− y; với
x < 1 thì x = 1−√
1− y. Khi đó 1 +√
1− y = 1−√
1− y ⇔ y = 1. Dựa vào hình vẽ ta có thể tích khốitròn xoay cần tìm là
Vy = π
1∫0
[(1 +
√1− y
)2−(
1−√
1− y)2]
dy = 4π
1∫0
√1− ydy
y
xO−2 2
1 y = 2x− x2Đặt u =
√1− y ⇔ u2 = 1− y ⇒ 2udu = −dy.
Đổi cận: y = 0⇒ u = 1; y = 1⇒ u = 0. Ta có
Vy = 4π
1∫0
u.2udu =8πu3
3
∣∣∣∣10
=8π
3(đvtt).
44
Chương 3. Ứng Dụng Của Tích Phân
b) Từ hình vẽ thấy rằng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2; y =x2
27và y =
27
xnằm ở
góc phần tư thứ nhất. Do đó xét x, y ≥ 0 ta có y = x2 ⇔ x =√y, y =
x2
27⇔ x =
√27y và xét x, y > 0 ta
có y =27
x⇔ x =
27
y. Khi đó
√y =
√27y ⇔ y = 0;
√y =
27
y⇔ y = 9 và
√27y =
27
y⇔ y = 3. Dựa vào
hình vẽ ta có thể tích khối tròn xoay cần tìm là
Vy= π
3∫0
(√27y)2dy + π
9∫3
(27
y
)2
dy − π9∫
0
(√y)2dy
= 27π
3∫0
ydy + 729π
9∫3
1
y2dy − π
9∫0
ydy
=27πy2
2
∣∣∣∣30
− 729π
y
∣∣∣∣93
+y2
2
∣∣∣∣90
= 243π (đvtt).
y
xO
3
9
3 9−3−9
y=x2
y = 27x
y = x2
27
BÀI TẬP
3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khiquay quanh Ox
a) [BĐT-89] y = lnx, Ox và x = 2. b) y = sinx, Ox, x = 0 và x = π2 .
c) y = ex, y = e2−x, x = 0 và x = 2. d) [BĐT-66] y = −3x+10, y = 1 và y = x2 (x > 0).
3.4. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khiquay quanh Ox và Oy
a) y2 = (x− 1)3 và x = 2. b) 4y = x2 và y = x.
45
Chương 4
Một Số Bài Toán Chọn Lọc
4.1. Tích Phân Hữu Tỉ.
4.1. I =
2∫1
(1 + x)2010
x2012dx. 4.2. I =
1∫0
x2001
(x2 + 1)1002dx.
4.3. I =
3∫−1
(x3 − 3x2 + 2
)2011dx. 4.4. I =
1∫0
x2 − 1
x4 + 1dx.
4.5. I =
1∫0
x2 + 1
x4 + x2 + 1dx. 4.6. I =
2∫1
x2 − 1
x4 − 5x3 − 4x2 − 5x+ 1dx.
4.7. I =
2∫0
x+ 2
(x+ 1) (x2 + 2x+ 4)dx. 4.8. I =
2∫1
x2 − 1
(x2 − x+ 1) (x2 + 3x+ 1)dx.
4.9. I =
10√2∫1
1
x(x10 + 1)2dx. 4.10. I =
1∫0
1
x6 + 1dx.
4.2. Tích Phân Vô Tỉ.
4.11. I =
a∫0
√x2 + a2dx (a > 0). 4.12. I =
2a∫a
√x2 − a2dx (a > 0).
4.13. I =
a∫0
1√a2 + x2
dx (a > 0). 4.14. I =
2a∫a√2
1√x2 − a2
dx (a > 0).
4.15. I =
1∫12
1√x(2− x)
dx. 4.16. I =
0∫−1
x2√x2 + 2x+ 2
dx.
47
Nguyễn Minh Hiếu
4.17. I =
√3∫
1
1
(x2 + 4x)√
4− x2dx. 4.18. I =
4∫1
√2x+ 1
2x+ 3√
2x+ 1 + 3dx.
4.19. I =
1∫0
x2 − 1
(x2 + 1)√
1 + x4dx. 4.20. I =
1∫0
1
(1 + xn) n√
1 + xndx.
4.21. I =
√3∫
0
x√1 + x2 +
(√1 + x2
)3dx. 4.22. I =
1∫0
1√(x+ 1)3 (3x+ 1)
dx.
4.23. I =
1∫−1
1
1 + x+√
1 + x2dx. 4.24. I =
1∫0
1
1 +√x+√
1 + xdx.
4.25. I =
1∫12
1
x√x2 − x+ 1
dx. 4.26. I =
1∫0
1
(x+ 1)√x2 − 4x+ 5
dx.
4.27. I =
1∫0
2x+ 3
(x+ 1)√x2 + 2x+ 2
dx. 4.28. I =
3∫2
1
(x2 − 2)√x2 + 3
dx.
4.3. Tích Phân Mũ - Lôgarit.
4.29. I =
ln 2∫0
ex√1 + ex + e2x
dx. 4.30. I =
ln 3∫0
2e3x − e2x
ex√
4ex − 3 + 1dx.
4.31. I =
1∫0
(x2 + x+ 1
)ex
(x+ 1)2dx. 4.32. I =
2∫1
1 + x
x (1 + xex)dx.
4.33. I =
e∫1
xex + 1
x (ex + lnx)dx. 4.34. I =
2∫12
(1 + x− 1
x
)ex+
1xdx.
4.35. I =
e∫1
lnx√
1− lnx
x√
1 + lnxdx. 4.36. I =
e∫1
lnx
x(√
2 + lnx+√
2− lnx)dx.
4.37. I =
1∫1e
lnx
x√
1− 4 lnx− ln2xdx. 4.38. I =
e2∫e
1
x lnx. ln exdx.
48
Chương 4. Một Số Bài Toán Chọn Lọc
4.39. I =
e∫1
log32 x
x√
1 + 3ln2xdx. 4.40. I =
√3∫
0
x ln(x+√
1 + x2)
√1 + x2
dx.
4.41. I =
4∫1
x lnx
(x2 + 1)2dx. 4.42. I =
3∫1
1 + x (2 lnx− 1)
x(x+ 1)2dx.
4.43. I =
e∫1
(x3 + 1
)lnx+ 2x2 + 1
2 + x lnxdx. 4.44. I =
1∫0
(√1−√x
1 +√x− 2x ln (1 + x)
)dx.
4.4. Tích Phân Lượng Giác.
4.45. I =
π∫0
1
1 + sinxdx. 4.46. I =
π4∫
0
tan5xdx.
4.47. I =
π3∫
0
1
cos5xdx. 4.48. I =
π3∫
0
sin (α+ x)
cos2xdx.
4.49. I =
π2∫
π3
1
sinx√
1 + cosxdx. 4.50. I =
π4∫
0
sin(x− π
4
)sin 2x+ 2 (1 + sinx+ cosx)
dx.
4.51. I =
π6∫
0
sinx+ sin3x
cos 2xdx. 4.52. I =
π2∫
0
sinx√1 + cos2x
dx.
4.53. I =
π4∫
0
sinx
2 cosx+ 5 sinxcos2xdx. 4.54. I =
π6∫
0
3√
cosx− cos3x
cos3xdx.
4.55. I =
π2∫
0
sin 2x
3 + 4 sinx− cos 2xdx. 4.56. I =
π2∫
0
cos5x sin 7xdx.
4.57. I =
π6∫
0
sin(x− π
4
)sinx−
√3 cosx
dx. 4.58. I =
π3∫
π6
cotx
sinx sin(x+ π
4
)dx.
4.59. I =
π2∫
0
sinx(sinx+
√3 cosx
)3dx. 4.60. I =
π2∫
0
3√
sinx3√
sinx+ 3√
cosxdx.
49
Nguyễn Minh Hiếu
4.61. I =
π2∫
0
sin2012x
sin2012x+ cos2012xdx. 4.62. I =
π3∫
0
x2
(x sinx+ cosx)2dx.
4.63. I =
π2∫
0
1 + sinx
1 + cosxexdx. 4.64. I =
1∫−1
cosx ln2 + x
2− xdx.
4.65. I =
π4∫
0
tanx ln (cosx)
cosxdx. 4.66. I =
π2∫
0
ln(1 + sinx)1+cosx
1 + cosxdx.
50
PHỤ LỤC 1
PHỤ LỤC 1
1. Các quy tắc tính đạo hàm.
1. (u± v)′ = u′ ± v′. 4.(uv
)′= u′v−uv′
v2.
2. (uv)′ = u′v + uv′. 5.(1v
)′= − v′
v2.
3. (ku)′ = ku′. 6. y′x = y′u.u′x.
2. Bảng đạo hàm của các hàm số thường gặp.
Đạo hàm của hàm số y = f(x) Đạo hàm của hàm số y = f [u(x)]
1. c′ = 0 (c = const)
2. x′ = 1
3. (xα)′ = αxα−1 (uα)′ = αuα−1.u′
4.(1x
)′= − 1
x2(x 6= 0)
(1u
)′= − u′
u2(u 6= 0)
5. (√x)′= 1
2√x
(x > 0) (√u)′= u′
2√u
(u > 0)
6. (sinx)′ = cosx (sinu)′ = u′ cosu
7. (cosx)′ = − sinx (cosu)′ = −u′ sinu8. (tanx)′ = 1
cos2 x(cosx 6= 0) (tanu)′ = u′
cos2 u(cosu 6= 0)
9. (cotx)′ = − 1sin2 x
(sinx 6= 0) (cotu)′ = − u′
sin2 u(sinu 6= 0)
10. (ex)′ = ex (eu)′ = eu
11. (ax)′ = ax ln a (0 < a 6= 1) (au)′ = u′au ln a (0 < a 6= 1)
12. (lnx)′ = 1x (x > 0) (lnu)′ = u′
u (u > 0)
13. (logax)′ = 1x ln a (0 < a 6= 1, x > 0) (logau)′ = u′
u ln a (0 < a 6= 1, u > 0)
3. Bảng nguyên hàm mở rộng.
1.∫
1a2+x2
dx = 1a arctan x
a + C
2.∫
1a2−x2dx = 1
2a ln∣∣∣a+xa−x
∣∣∣+ C
3.∫
1√x2+a2
dx = ln(x+√x2 + a2
)+ C
4.∫
1√a2−x2dx = arcsin x
|a| + C
5.∫
1x√x2−a2dx = 1
a arccos x|a| + C
6.∫
1x√x2+a2
dx = − 1a ln
∣∣∣a+√x2+a2x
∣∣∣+ C
7.∫ √
a2 + x2dx = x2
√a2 + x2 + a2
2 ln(x+√x2 + a2
)+ C
8.∫ √
a2 − x2dx = x2
√a2 − x2 + a2
2 arcsinxa + C
9.∫eax sin bxdx = eax
a2+b2(a sin bx− b cos bx) + C
10.∫eax cos bxdx = eax
a2+b2(a cos bx+ b sin bx) + C
Lưu ý. Bảng này chỉ dùng để tra cứu không được sử dụng trong chương trình phổ thông.
51
Nguyễn Minh Hiếu
PHỤ LỤC 2
1. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
0 π6
π4
π3
π2 π
α 00 300 450 600 900 1800
sinα 0 12
√22
√32 1 0
cosα 1√32
√22
12 0 1
tanα 0√33 1
√3 || 0
cotα ||√
3 1√33 0 ||
2. Đẳng thức lượng giác cơ bản.
1. sin2α+ cos2α = 1. 4. tanα. cotα = 1.
2. 1 + tan2α =1
cos2α. 5. tanα =
sinα
cosα.
3. 1 + cot2α =1
sin2α. 6. cotα =
cosα
sinα
3. Công thức lượng giác.
Công thức cộng. Công thức biến đổi tích thành tổng.
1. cos (a− b) = cos a cos b+ sin a sin b. 10. cos a cos b = 12 [cos (a− b) + cos (a+ b)].
2. cos (a+ b) = cos a cos b− sin a sin b. 11. sin a sin b = 12 [cos (a− b)− cos (a+ b)].
3. sin (a− b) = sin a cos b− cos a sin b. 12. sin a cos b = 12 [sin (a− b) + sin (a+ b)].
4. sin (a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b. Công thức biến đổi tổng thành tích.
5. tan (a− b) =tan a− tan b
1 + tan a tan b. 13. cosu+ cos v = 2 cos
u+ v
2cos
u− v2
.
6. tan (a+ b) =tan a+ tan b
1− tan a tan b. 14. cosu− cos v = −2 sin
u+ v
2sin
u− v2
.
Công thức nhân đôi. 15. sinu+ sin v = 2 sinu+ v
2cos
u− v2
.
7. sin 2a = 2 sin a cos a. 16. sinu− sin v = 2 cosu+ v
2sin
u− v2
.
8. cos 2a = cos2a− sin2a. Công thức nhân ba.
8a. cos 2a = 2cos2a− 1. 17. sin 3a = 3 sin a− 4sin3a.
8b. cos 2a = 1− 2sin2a. 18. cos 3a = 4cos3a− 3 cos a.
9. tan 2a =2 tan a
1− tan2a. Công thức khác.
Công thức hạ bậc. 19. sinx+ cosx =√
2 sin(x+ π
4
).
8c. cos2a =1 + cos 2a
2. 20. sinx− cosx =
√2 sin
(x− π
4
).
8d. sin2a =1− cos 2a
2. 21. sin4x+ cos4x = 1− 1
2sin22x.
8e. tan2a =1− cos 2a
1 + cos 2a. 22. sin6x+ cos6x = 1− 3
4sin22x.
52
ĐÁP SỐ
ĐÁP SỐ
Chương 1. Nguyên Hàm
1.1a) x8
8 +x4− 2x√x
3 +C. b) 3x 3√x4 +x−2
√x+C. c) 3x4
2 −3x3+x2−3x+C. d) x3
3 + x2
2 −4x3√x
7 − 4x2√x
5 +C.
e) −3 cosx+2 ln |x|+C. f) 3 sinx− 3x
3. ln 3 +C. 1.2a) 3x53
5 + 6x76
7 + 3x23
2 +C. b) 2x2√x
5 + 10x√x
3 −6√x+lnx+C.
c) 2x
ln 2 −1
2x ln 2 + C. d) 2x
(ln 2−1)ex + 1ex + C e) tanx − x + C. f) tanx − cotx + C. 1.3a) 2x − x3
3 + 1. b)
x2
2 + 1x + 2x− 3
2 . c)x3
3 + 1. d) 3x43
4 + x4
4 + x. e) x2
6 + 1x + 17
6 . 1.4a)2(3x−1)
√3x−1
9 + C. b) − 12(2x+1) + C. c)
x2− 32x+ 9
4 ln |2x+ 1|+C. d) 19
[(3x+ 1)
√3x+ 1− (3x− 1)
√3x− 1
]+C. e) tanx− x+C. f) 1
12 sin 6x+116 sin 8x+C. g) 3x
8 −14sin3x cosx− 3
8 sinx cosx+C. h) tan x2 +C. i) tanx+ tan3x
3 +C. 1.5a) 12 ln(1+x2)+C.
b) cos3x3 − cosx+C. c) −1
2sin2x− ln [cosx] +C. d) − 1ex+1 +C. e) 1
2 ln2x− ln3x+C. f) − 1lnx−2 +C. 1.6a)
− 149(x−1)98 −
197(x−1)97 −
199(x−1)99 + C. b) x16
16 + 5x14
14 + 5x12
12 + x10 + 5x8
8 + x6
6 + C. c) x3
3 − ln(x3 + 1) + C.
d) esin2 x +C. e) − 1
ex+1 +C. f) ln [ln(lnx)] +C. 1.7a) (x− 1) ex +C. b) 12 (sin 2x+ cos 2x)− x cos 2x+C.
c) 14x
4 lnx − 116x
4 + C. d) x ln(x2 + 2x
)+ 2 ln (x+ 2) − 2x + C. e) x2 sinx + 2x cosx − 2 sinx + C. f)
15ex (cos2x+ 2 sin 2x) + C.
Chương 2. Tích Phân
2.1a) 715 . b)
√34 . c)
√32 . d) 0. e) 4−
3√6254 . f) 11
288 . 2.2a)593 . b)
27512 . c)
12 +√
2. d) 0. e) e− 12− ln 2. f) − 1
4042110 .2.3a) 5. b) 1. c) 21. d) 3
2 . e) 4√
2. f) 4√
2. 2.4a) 43 . b) ln 512
2187 . c) 1 + ln 23√3. d) −1
2 + 2 ln 2. e) 34 . f)
32 − ln 2.
2.5a) 14 ln 32
17 . b) −38 + 1
32 ln 37 . c)
748 + 1
4 ln 23 2.6a)
π4a . b)
π6 . c)
π6a . d)
π8 . e) π. f)
√3− 2 + π
3 . 2.7a)π2 . b)
9π4 .
c) π√3
18 + ln 3. d) π√3
18 . e) 17π8 −
163 −
12 ln 2. f) 5π
12 . 2.8a)3√42 −
3√33 . b)
√3+√2
2 . c) π4 . d)
15 . e)
5π32 . f) 0. 2.9a)
14054182 . b)
34 . c)
1168 . d)
18 . e)
116 . f)
42011−12011.62011
. 2.10a) 10243825 . b)
29270 . c)
43 . d)
265 . e)
113 − 4 ln 2. f) 3
8 + 34 ln 3
2 .
2.11a) 23 ln(√
2 + 1) − 12 ln 2. b) 1
6 ln 74 . c)
2−√2
3 + 13 ln 1+
√2
3 . d) 6 ln 3 − 8. e) 118 ln(4 +
√7) − 1
16 ln 15. f)12 ln 2−
√3
4+√15. 2.12a) e−1
2 . b) e√22 +ln
√2−1. c) ln e2+2
e−1+2. d) ln(e+1). e) 4
√6−2
√3. f) 4−2
√2+ln 3+2
√2
ln 3 . g)π6 . h) 4−π. i) ln 15
14 . 2.13a) 1. b) 7576 . c)
4√2−23 . d) 8
√3
5 −1615 . e)
10√2−113 . f) 2 ln 3
2 −16 . 2.14a) 1. b) 4− 2
√e.
c) 2. d)√
3− e2−74 . e) e. f) −1. 2.15a) π2
2 − 2. b) π − 3. c) π2
8 −π4 −
12 . d)
12 ln 3
2 + π4 −
π√3
9 . e) π − 1. f) π3 .
2.16a) 2e3+19 . b)54 − ln 4. c) 3
2 ln 3 − 1. d) e2−22 . e) 48 ln 2 − 2 ln2 2 − 27
2 . f) 3 ln 2 − 32 ln 3. 2.17a) 2
5eπ2 − 3
4 .b) 3e3π
34 + 534 . c)
12e
π2 + 1
2 . d) 2. e) e2 − 1. f) 2 ln 2− 1. 2.18a) 3π
4 + 12 . b) 1− π
4 . c)√33 . d) 1
4 . e)44105 . f)
3041155 .
2.19a) 3π8 . b) 4
3 . c)23 . d)
215 . e)
52 −
7√3
6 . f) 143 −
26√3
27 + ln(1 + 2√3). 2.20a) 2. b) 4
√2−23 . c) ln 4
3 . d)3427 . e)
815−
π4 . f)
1291 . 2.21a)
√33 ln (
√3−1)(
√6+2)
4 . b) π√3
6 +ln 3. c) −14−
ln 38 . d) ln 2− 1
2 . e) ln 2− 13 ln 5. f) ln 3
8 . 2.22a)ln(2√3−1)2 . b) ln 6−
√3
6−2√3. c)√
5−√
3. d) ln 65 . e) ln 3
4 . f) 1. 2.23a) ln 32 . b) π2
4 . c) 8π15 . d)
√2 ln(1 +
√2)− 2−
√2
4 .e) 2. f) 0.
Chương 3. Ứng Dụng Của Tích Phân
3.1a) 8. b) 36. c) 112 . d)
π2 . e)
π4 + 1
2 ln 2− 1. f) 4π+√3
3 . 3.2a) 73 . b)
76 . c)
a2
3 . d)3215 . e)
94 . 3.3a) 2π(ln 2− 1)2.
b) π2
4 . c) π(e2 − 1)2 d) 56π5 . 3.4a) VOx = π
4 và VOy = 9635 . b) VOx = 128
15 và VOy = 323 .
Chương 4. Một Số Bài Toán Chọn Lọc
4.1 42011−320112011.22011
. 4.2 11001.21002
. 4.3 0. 4.4 12√2
ln(3 − 2√
2). 4.5 π2√3. 4.6 1
7 ln 34 . 4.7
π6√3
+ ln 36 . 4.8 1
4 ln 1511 .
4.9 110 ln 4
3 −160 . 4.10
π6 + ln(2+
√3)
2√3
. 4.11 a2[√2−ln(
√2−1)]
2 . 4.12 a2√
3 − a2 ln(2+√3)
2 . 4.13 ln(√
2 + 1). 4.14
ln 2+√3
1+√2. 4.15 π
6 . 4.16 2 − 3√2
+ 12 ln(1 +
√2). 4.17 1
8 ln 2+√3
3 + 18√3
(arctan 4
3 − arctan(
2 + 2√3
)). 4.18
3−√
3+4 ln 2+√3
5 −ln 1+√3
4 . 4.19− π4√2. 4.20 1
n√2 . 4.21 2√
3−2√
2. 4.22√
2−1. 4.23 1. 4.24 3−√2−ln(1+
√2)
2 .
4.25 ln 3+2√3
3 . 4.26 1√10
ln 7+5√2
2+√5. 4.27 ln 2(9+4
√5)
(1+√2)(1+
√5). 4.28 1
2√10
ln (2√3−√15)(√14+2
√5)
(2√3+√15)(√14−2
√5). 4.29 ln 5
√3+2√21
3(2+√3)
.
53
Nguyễn Minh Hiếu
4.30 8−ln 53 . 4.31 e
2 . 4.32 1 + ln 2(1+e)1+2e2
. 4.33 ln(1 + ee)− 1. 4.34 32e
52 . 4.35 1− π
4 . 4.36√
3 + 1−4√2
3 . 4.37√
6−√
3 + arcsin 1√7− 2 arcsin 2√
7. 4.38 ln 4
3 . 4.396√3−10
3 ln3 2. 4.40 2 ln(2 +
√3)−
√3. 4.41 81
68 ln 2− 14 ln 17.
4.42 52 ln 3− 3 ln 2− 1
2 . 4.43e3−13 + ln 2+e
2 . 4.44 3−π2 . 4.45 2. 4.46 1
2 ln 2− 14 . 4.47
11√3
4 + 38 ln(2 +
√3).
4.48 cosα + sinα ln(2 +√
3). 4.49 1 −√63 + 1
2√2
ln 21. 4.50 1 − 32√2. 4.51
√3−24 + ln (
√2−1)(
√6+2)
(√2+1)(
√6−2) . 4.52
ln(1 +√
2). 4.53 258 ln 3 − 10
3 ln 2 − 1. 4.546√35 . 4.55 ln 2 − 1
2 . 4.5616 . 4.57
(1−√3) ln 38 + (1+
√3)π
24 . 4.582√6
3 −√22 ln 3. 4.59 3
√3
24 + 116 ln 3+
√3√
3−1 . 4.60π4 . 4.61
π4 . 4.62
3√3−π
3+√3π. 4.63 e
π2 . 4.64 0. 4.65
√2− 1− 1√
2ln 2.
4.66 2 ln 2− 1.
54