ya bX e $$ =+ +$ - Facultad de Economía - Universidad ... · PDF fileIntroducción a la Econometría 62 Profesor Genaro Sánchez Barajas VII. MODELO LINEAL SIMPLE, MLS: EJERCICIOS

Introducción a la Econometría

62 Pro fesor Genaro Sánchez Barajas

VII. MODELO LINEAL SIMPLE, MLS: EJERCICIOS RESUELTOS:9 ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN APLICADO A LA ECONOMÍA MEXICANA, CON MÉTODOS COMPLEMENTARIOS Y/O DIFERENTES9 VII.1 Ejemplos Referidos a la Regresión Simple Suponga que el consumo (Y) y el ingreso (X) para los últimos 4 años (en millones de pesos) son los siguientes: Año (Yi) (Xi) yi xi xi yi xi

2 1 3 5 -2 -2 4 4 2 4 6 -1 -1 1 1 3 5 8 0 +1 0 1 4 8 9 +3 +2 6 4

n=4 20 28 0 0 11 10 =Y 20/4=5 =X 28/4=7

Se desea probar la hipótesis de que el consumo en México depende de las variaciones que experimenta el ingreso, los pasos son los siguientes: 1. Se establece la relación económica entre ambas variables a través de la ecuación de regresión:

$ $ $y a b X e= + +

Donde: $y es el consumo estimado en la muestra del consumo real $a , $b son los estimadores de los parámetros reales: a y b e = y - $y residuo o diferencia Para encontrar los valores de $a y $b se usan las ecuaciones normales siguientes:

Y na b X

XY a X b X

= +

= +

∑∑∑∑∑

$ $

$ $ 2

Cuya solución nos permite obtener:

( )∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

−

−= 22

2

ˆXXn

XYXYXa = $ $a Y bX= −



“y”

( )22ˆ

∑∑∑ ∑ ∑

−

−=

XXnYXXYn

b

Observaciones: A menudo para simplificar operaciones se desvían los valores de x e y con respecto a X e Y para obtener $b ; y las literales xi e yi se usan para:

x X Xi i= − e y Y Yi i= −

Por lo tanto, el cálculo de los estimadores es:

$ .bx yxi i

i

= = =∑∑ 2

1110

11

$ $ ( . ) .a Y bX= − = − = −5 11 7 2 7 Así, la ecuación de regresión estimada es: $ . .y Xi= − +2 7 11 Obsérvese que $b tiene signo positivo, lo cual es bueno por que corrobora la teoría económica de que a medida que aumenta el ingreso (X) también aumenta el consumo (Y). 2. Una vez obtenidos los parámetros $a y $b , se prueba su significación estadística, es decir, se verifica si hay o no relación entre el ingreso (X) y el consumo (Y). Para ello se requieren las varianzas de los dos:

Var.aX

n x

Var bx

ui

i

ui

$

. $

=

=

∑∑

∑

σ

σ

22

2

22

1 donde uσ es la varianza residual

Como generalmente se desconoce σ u2 , la varianza residual, se estima con S2 que es un estimador

insesgado de σ u2 , cuya formula es:

Se

n kui2 22

= =−

∑$σ

n = número de observaciones k = número de parámetros estimados



Así, los estimadores insesgados de las varianzas de $a y $b son:

Se

n kX

n x

Se

n k x

ai i

i

bi

i

$

$

22 2

2

22

2

1

=−

=−

∑ ∑∑

∑∑

Derivado de lo anterior podemos decir en general que aS ˆ y bS ˆ son los errores estándar de los

estimadores. Como iU tiene distribución normal, Yi , $a , $b también se distribuyen normalmente, y

como la muestra n = 4 es decir, menor que 30, usamos t con n - k grados de libertad para probar la hipótesis y construir intervalos de confianza para $a y $b . Para ello, a partir de los datos de la tabla anterior, se requiere hacer adicionalmente los siguientes cálculos.

Año $yi e Y yi i i= − $ ei2 Xi

2 xi2 yi

2

1 2.8 +0.2 0.04 25 4 4 2 3.9 +0.1 0.01 36 1 1 3 6.1 -1.1 1.21 64 1 0 4 7.2 +0.8 0.64 81 4 9

n = 4 20 0 1.9 206 10 14 Puesto que:

2.7)9(1.17.2ˆ1.6)8(1.17.2ˆ9.3)6(1.17.2ˆ8.2)5(1.17.2ˆ

.

ˆˆˆ

4

3

2

1

=+−==+−==+−==+−=

+=

yyyy

ssustituimoXbay ii



Gráficamente:

-3-2-1012345678

0 2 4 6 8 10

Ingreso

Con

sum

o

y

x

con estos datos ahora calculamos

Calculamos:

3082.0

0950.020

9.1)10()24(

9.1)(

2118.2

8925.480

4.391)10(4

206)24(

9.1

ˆ

2

22ˆ

ˆ

2

222ˆ

=

==−

=−

=

=

==−

=−

=

∑∑

∑∑∑

b

i

ib

a

i

iia

Sxkn

eS

Sxn

XkneS

Así, las hipótesis nulas ( Ho) y alternativas ( Ha) se plantean de la siguiente manera: Ho: a = 0 Ho: b = 0 Ha: a ≠ 0 Ha: b ≠ 0

2207.12118.2

07.2ˆ

ˆ

−=−−

=−

=a

a Saat 5691.3

3082.001.1ˆ

ˆ=

−=

−=

bb S

bbt

iXy 1.17.2ˆ +−=



Como se recordará, en el análisis de regresión se espera rechazar Ho y aceptar Ha , es decir que a y b sean diferentes de cero y por consiguiente, decir que hay relación de Y con X. Ahora bien, puesto que tα con un nivel de significación del 10% y 2 grados de libertad, es igual a +

− 2.910 en tablas (Apéndice IV) decimos que t∝ +

− = 2.920 < tb =3.5691; Luego b es significativo, de tal manera que aceptamos Ha. Concluimos señalando que si hay relación lineal entre X e Y. También decimos que $a no es significativo lo cual, sin embargo, no preocupa por que no se usa para estos fines. Gráficamente: H0:b= 0 Ha=b ≠0

-2.920 b +2.920 αt

Como btt ˆ<α rechazamos H0. Al usar E-views, la última columna del cuadro que aparece en la pantalla del monitor indica la probabilidad de cometer error I: rechazar H0 cuando es cierta, con α=5%, al cual le corresponde una probabilidad de 0.000, lo cual indica que b es significativa estadísticamente, es distinta de cero; en ese caso, se verá en las sesiones de computación, aceptamos Ha. Con base en lo anterior: Se corrobora la teoría económica de que el ingreso determina el consumo. Pero ¿En que magnitud, que porcentaje de los cambios en Y son explicados por los cambios en la variable X? La respuesta se obtiene calculando R2 que es igual al coeficiente de determinación cuya formula es:

Ryy

ey

i

i

i

i

22

2

2

21= = −∑∑

∑∑

$

Donde: 22 )(∑ ∑ −= iii YYy

En nuestro ejemplo: %42.868642.01357.0114

9.111 2

22 ≅≅−=−=−=

∑∑

i

i

ye

R

Rechazamos

Aceptamos Ha Aceptamos Ha



En este sentido el coeficiente de correlación r R= 2 = 9296.08642. = o 92.96% indica que existe una alta correlación de carácter positivo entre X e Y; el cual es positivo por que $b es positivo. Estos indicadores se interpretan así: El estimador $a = -2.7 es la ordenada al origen Y, o el valor del consumo total cuando el ingreso disponible es cero.

El estimador $ .b dYdX

= = 11 es la pendiente de la línea de regresión estimada que mide la

proporción marginal al consumo PMC o el cambio en el consumo que produce el cambio en una unidad adicional en el ingreso disponible. Derivado de b se puede obtener la elasticidad ingreso del consumo E que mide el cambio porcentual en el consumo como resultado de un cambio porcentual en el ingreso disponible y cuya formula es:

7857.075

1.1ˆ ===YXbE

También se puede construir el intervalo de confianza para $a y $b .; en la practica se determina sólo para la pendiente, es decir, para $b con la formula:

b b t Sb

= ±$ $α

donde: b = parámetro de la población. Con dos grados de libertad y con: ∝ = 5% tenemos ξ = nivel de confianza = 95% se busca el valor de t∝ en el apéndice IV y se halla que t∝ = ± 4.303 Luego el intervalo de confianza al 95% para b esta dado por:

3261.11.1)3082.0)(303.4(1.1

ˆˆ

±=±=

±= bStbb α

De tal manera que b se halla entre -0.2261 y 2.4261 por lo que -.0.2261< b< 2.4261 con una confianza o seguridad del 95% y una probabilidad de 5% de que no esté en dicho intervalo. Recuérdese que las ecuaciones para las relaciones verdaderas (en la población) y estimadas (con la muestra) entre X e Y son respectivamente:

iii bXaY µ++= “y”



$ $ $y a bX ei i i= + +

Las ecuaciones para las regresiones verdadera (población) y la estimada (con la muestra) entre X e Y son respectivamente:

ii bXaYE +=)(

“ y ”

$ $ $y a bXi= + Se acostumbra presentar en forma resumida los resultados de la siguiente manera:

$ . .y X i= − +2 71 11 R2 = 0.8642 r = 0.9296

VII.2 Ejemplos Referidos a la Regresión y Correlación Múltiples Supóngase ahora que el Consumo (Y) depende del ingreso y de la inversión (Z), tal que:

$ ( , )Y f X Z= Cuy a ecuación de regres ión es $Y a bX cZi i= + + Para encont rar los valores de a, b y c se neces it an las s iguient es ecuaciones normales :

$ $ $ $

$ $ $ $

$ $ $ $

y na b x c z

y x a x b x c x z

y z a z b x z c z

i i i

i i i i i i

i i i i i i

= + +

= + +

= + +

∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑

2

2

Resolviendo es t e s is t ema de ecuaciones s imult áneas , t enemos:



$ ( )( ) ( )( )( )( ) ( )

$( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

$ $ $

bx y z z y x z

x z x z

cz y x x y x z

x z x z

a Y bX cZ

i i i i i i i

i i i i

i i i ii i i i

i i i i

i i

=−

−

=−

−

= − −

∑∑∑ ∑∑∑∑

∑∑∑ ∑∑∑∑

2

2 2 2

2

2 2 2

Aquí $a t ambién es la ordenada al origen; $b y $c se denominan coeficient es de regres ión p arciales p or que $b , p or ejemp lo, mide el cambio en Y p or variaciones unit arias en X i (el ingreso), mient ras se mant iene cons t ant e la invers ión (Z i); igualment e, $c mide los cambios en Y como result ado de cambios unit arios en la invers ión (Z i), mient ras el ingreso (X i) se mant iene cons t ant e. As í, t omando como referencia los dat os ant eriores p ara Yi , X i, les agregamos los de Z i y t enemos .

Año Yi Xi Zi yi xi z i xiyi z iyi xiz i x i2 z i

2

1 3 5 1 -2 -2 -1 4 2 2 4 1 2 4 6 2 -1 -1 0 1 0 0 1 0 3 5 8 3 0 +1 +1 0 0 1 1 1 4 8 9 2 +3 +2 0 6 0 0 4 0 n=4 20 28 8 0 0 0 11 2 3 10 2

Y X Zy Y Y x X X z Z Zi i i i i i

= = =

= − = − = −

5 7 2; ;; ;

Sus t it uy endo:

[ ] 8182.23636.21815.105)2(1818.1)7)(4545.1()5(ˆ

1818.11113

9203320

)3()2)(10()3)(11()10)(2(

ˆ

4545.11116

920622

)3()2)(10()3)(2()2)(11(ˆ

2

2

−=+−=−−−=

−=−

=−−

=−

−=

==−+

=−

−=

a

c

b

La ecuación de regres ión será: iii ZXy 1818.14545.18182.2ˆ −+−= Para encont rar cada $yi sus t it uimos los valores de X i e Z i:



9091.73636.20909.138182.2)2(1818.1)9(4545.18182.2ˆ2727.55455.36364.118182.2)3(1818.1)8(4545.18182.2ˆ5455.33636.27272.88182.2)2(1818.1)6(4545.18182.2ˆ

2727.31818.12727.78182.2)1(1818.1)5(4545.18182.2ˆ

4

3

2

1

=−+−=−+−==−+−=−+−==−+−=−+−=

=−+−=−+−=

yyyy

Para p robar la s ignificación de los p arámet ros $, $, $a b c hacemos los s iguient es cálculos a p art ir de la t abla ant erior:

Año Y X Z $yi e e2 yi2

1 3 5 1 3.2727 -0.2727 0.0744 4 2 4 6 2 3.5455 0.4545 0.2066 1 3 5 8 3 5.2727 -0.2727 0.0744 0 4 8 9 2 7.9091 0.0909 0.0083 9

n=4 20 28 8 20 0 0.3636 14 Sabiendo que p ara p robar la s ignificación es t adís t ica de los p arámet ros $, $, $a b c se requiere conocer sus varianz as que vienen dadas p or: Como dijimos ant es $a no es de int erés p rimordial, luego:

∑ ∑∑∑

∑ ∑∑∑

−=

−=

222

22

222

22

)(ˆ

)(ˆ

iiii

iu

iiii

iu

zxzxx

cVar

zxzxz

bVar

σ

σ

Ahora bien, como no conocemos σ u2 , usamos S2, la varianz a res idual, como su

es t imador insesgado, es decir E (S2) = : σ u2

S2 = $σ uie

n k2

2

=−

∑

donde: n = número de años k = número de es t imaciones , de p arámet ros es t imados As í, los es t imadores insesgados de la varianz a de $, $b c , serán:



Se

n kz

x z x zS S

Se

n kx

x z x zS S

bi i

i i i ib b

ci i

i i i ic c

$ $ $

$ $ $

( );

( );

22 2

2 2 22

22 2

2 2 22

=− −

=

=− −

=

∑ ∑∑ ∑∑

∑ ∑∑ ∑∑

donde: S Sb c$ $, son los errores es t ándar de los es t imadores

Sus t it uy endo t enemos:

5749.0;3305.0116360.3

1110

*1

3636.0)3()2)(10(

1034

3636.0

2570.0;0661.0117272.0

112

*1

3636.0)3()2)(10(

234

3636.0

ˆ22ˆ

ˆ22ˆ

====−

=−

=

====−

=−

=

cc

bb

SS

SS

VII.2.1 Prue ba de h i póte s i s con t, F, X2, LM y Jarque -Be ra Para probar l as h i póte s i s nul as Pl ante amos: t ambién: H o: b = 0 H o: c = 0 H a: b ≠ 0 H a: c ≠ 0 luego:

6595.5

2570.004545.1

ˆ

ˆ

=−=

=−=b

b Sbbt

0556.2

5749.001818.1

ˆ

ˆ

−=−−=

=−

=c

c Scct

As í, ahora buscamos en el Ap éndice que t rae los valores “ t eóricos” de t , vemos que el valor de t∝ con ∝=5% y un grado de libert ad, es t∝ =± 12.706. Como t b, t c no exceden t∝ decimos que b, c no son es t adís t icament e s ignificat ivos , es decir, se rechaz a H a y en es t e caso, se concluy e diciendo que se acep t a H o, lo que indica que no hay relación de Y con X e Z . Gráficament e p ara b H0:b= 0



Ha=b ≠0

-12.706 b +12.706 αt

Gráficamente para c H0: c= 0 Ha=c ≠0

-12.706 c +12.706 αt

Como btt ˆ>α y que ct , aceptamos H0 es decir no hay relación de Y con X e Z. Igualmente, al usar E-views, la columna “probabilidad”, en este caso debe mostrar una probabilidad diferente de cero, lo cual indica que b y c no son estadísticamente significativas. Por otra parte, E-views también usa la ESTADÍSTICA JARQUE-BERA (JB) para probar el comportamiento de la hipótesis o supuestos establecidos cuando usamos el método de mínimos cuadrados ordinarios para estimar los valores poblacionales, basados en los momentos de una variable (Sánchez Barajas. 2005:98). Se plantea: H0= JB=0 Supone que hay normalidad Ha= JB≠ 0 Supone que no hay normalidad

Rechazamos


Rechazamos




Si E-views indica que el valor de JB es menor que el valor de χ 2 (chi-cuadrada), estadística con la que se compara por corresponder a la estadística no paramétrica, es decir que la variable no tiene un comportamiento normal (con simetría respecto a la media aritmética), entonces aceptamos H0 porque revela que el modelo tiende a la normalidad; aceptamos las 7 hipótesis. Mientras JB más se aproxime a cero, mayor será el comportamiento lineal del modelo. E-views también calcula estadísticas para probar la correlación serial, con la prueba LM, mismo que verifica el grado de asociación entre la variable endógena y el residual rezagado (n) en ciertos periodos. Cuando el residual rezagado digamos, para uno o dos periodos es mayor que cero, se dice que hay cierto grado de asociación con la variable endógena y que existe correlación en el modelo. Como se verá posteriormente, lo anterior no siempre es bueno porque en los estudios sobre series de tiempo, se dice que hay correlación parcial cuando los errores asociados con las observaciones en cierto momento son llevadas a periodos futuros; por el momento digamos que nos interesa ver si hay correlación de Y con ie . En seguida se calcula R2 , que en regres ión múlt ip le se det ermina as í:

9740.0143636.0

11R 2

22 =−=−=

∑∑

i

i

ye

Al resp ect o como se recordará, el valor de R2 oscila ent re 0 y 1. Es cero cuando la ecuación de regres ión no exp lica nada de la relación en Y; es 1 cuando s i exp lica t odo y p or ello t odos los p unt os se ubican sobre la línea de regres ión. En es t e caso vemos que R2 t iene un valor muy cercano a 1, se dice que X e Z i s í exp lican a Y. Sí R2 hubiera result ado cercana a 0, se diría que X e Z i no exp licaban a Y p or lo t ant o no t iene caso calcular r , coeficient e de correlación. Por otra parte cuando se toma e n cuanta l a re ducci ón de grados de l i be rtad a medida que se agregan variables indep endient es , como en es t e caso, se calcula R 2 , que es R2 ajustado , y cuy a fórmula es :

R R nn k

2 21 11

= − −−−

( )

Con nues t ros dat os sería:

9220.0078.013414

)9740.01(12 =−=−−

−−=R



VII .3. El uso de vari abl es fi cti ci as como vari abl es expl i cati vas en l a regresi ón y correl aci ón múl ti pl e.

Coment a el Profesor M ason ( 2001, 480) que en ocas iones es convenient e usar variables cualit at ivas , denominadas fict icias , dicot ómicas , binarias , cat egóricas o dummy (en inglés ), p ara exp licar mejor la variable dep endient e, t ambién llamada endógena o exp licada. Ahora bien, has t a el moment o hemos usado variables cuant it at ivas como variables exógenas ; s in embargo, una vez que se t oma la decis ión de t ambién incluir variables cualit at ivas ( ficticias), p or ejemp lo el sexo, religión, ocup ación, grado de es t udios , et c. éstas sólo t ienen dos result ados , que se codifican como 1 y 0, es decir al describir una cualidad, se codifican con 1 s i la t ienen y 0 cuando no la t ienen. Ejemp lo: la Emp resa “ Arriba Juárez ” desea calcular los cos t os de calefacción (Y) durant e el invierno p asado y verificar s i t ienen dichos cos t os relación con la t emp erat ura (X 1), el ais lamient o t érmico (X 2), y la exis t encia de un “ garage” en las casas (X 3). As í, la variable indep endient e “ garage” es cualit at iva y se define con 0 cuando las casas no t engan garage y con 1 cuando lo t engan. Para ello t oma una mues t ra de 20 casas y encuent ra que: Casa Y= cos t o

calefacción. X 1=T emp erat ura grados , Farenhait

X 2=ais lamiemt o p ulgadas de p rot ección:

X 3= garage

1 $250 35 3 0 2 360 29 4 1 3 165 36 7 0 4 43 60 6 0 5 92 65 5 0 6 200 30 5 0 7 355 10 6 1 8 290 7 10 1 9 230 21 9 0

10 120 55 2 0 11 73 54 12 0 12 205 48 5 1 13 400 20 5 1 14 320 39 4 0 15 72 60 8 0



16 272 20 5 1 17 94 58 7 0 18 191 40 8 1 19 235 21 9 0 20 139 30 9 0

Resolviendo el modelo p or MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS se encont ró la s iguient e ecuación de regres ión múlt ip le: Y= 393.67-3.9628X1-11.334X2+77.43X3 Donde 393.67=a ; 3.9628=b ; 11.334=c ; 77.43=d Al analiz ar los s ignos de los coeficient es o p arámet ros se observa que la t eoría económica se cump le p orque efect ivament e hay una relación inversa ent re Y e X1, como t ambién exis t e con X2, p ero en cambio, es p os it iva con X3. Lo ant erior es un buen indicio que indica que podemos hacer el análisis deseado. Con es t as referencias , ent onces digamos p or ejemp lo, que se t ienen dos casas iguales , una junt o a la ot ra, en Ciudad Juárez , una t iene garage y la ot ra no; ambas t ienen 3 p ulgadas de ais lamient o t érmico y la t emp erat ura media en enero fue de 20 grados farengheit . Para la casa s in garage, X3 se sus t it uy e p or 0 en la ecuación de regres ión. As í, el cos t o es t imado de calefacción es de $280.90/mes , y a que Y= 393.67-3.9628(20)-11.334(3)+77.43(0)= $ 280.90 Para la casa con garaje, X3=1, luego Y= 393.67-3.9628(20)-11.334(3)+77.43(1)= $ 358.30/mes Su diferencia es 358.30-280.90= $77.40, luego se es t ima que el cos t o de calent ar una casa con garage es $77.40 may or que el cos t o de una casa equivalent e s in garage. Pero ¿es s ignificat iva es t adís t icament e es t a diferencia? La respuesta se obt iene p robando la hip ót es is nula s iguient e. Ho: d=0 ; Ha: d ≠ 0 Con α = 5% se p rueba la hip ót es is usando la es t adís t ica t como en los ejemp los ant eriores , t al que se obt iene la t calculada (t ambién llamada emp ìrica) igual a 3.40, misma que se comp ara con la t de t ablas (t ambién llamada t eórica), la cual con α = 5% y n-k= 20-4 = 16 grados de libert ad result ó ser igual a 2.21. Como la t emp írica



result ó es t ar fuera de la z ona de acep t ación de la Ho, es decir, es t á en la z ona de rechaz o de que d=0, ent onces vemos que el coeficient e de regres ión d no es cero, acep t amos la Ha, de manera que concluimos indicando que el garage s i es una variable exp licat iva de los cos t os de calefacción en las casas , p or lo que $ 77.40 es una diferencia s ignificat iva en el cos t o de calent ar una casa en invierno en Ciudad Juárez . Luego ent onces s i es convenient e incluir la variable indep endient e X3 en el anális is de cos t os de calefacción. VII.3.1 El coe fi ci e nte de corre l aci ón de S pe arman. Dominick Salvat ore (1993:105) p resent a el s iguient e ejemp lo ilus t rat ivo sobre cómo medir la asociación que exis t e ent re dos variables cualit at ivas . Dados os s iguient es dat os

a) Hallar el rango o coeficient e de correlación de Sp earman ent re la not a de mit ad de curso y el rango del CI (coeficient e de int eligencia) de una mues t ra aleat oria de 10 es t udiant es de una gran clase, t al como la de la t abla s iguient e.

b) ¿Cuándo se usa la correlación p or rango? Re spue stas: Con los s iguient es dat os :

Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Nota de mitad de curso 77 78 65 84 84 88 67 92 68 96Grado de CI 7 6 8 5 4 3 9 1 10 2

Nota de mitad de curso y rangos de CI

a) )1(

61 2

2'

−−= ∑

nnD

r

donde D= diferencia ent re rangos de p ares corresp ondient es de las dos variables (en orden ascendent e o descendent e, con el rango medio as ignado a observaciones del mismo valor). N= número de observaciones .

94.099063

1)99(10)50.10(6

1)1(

61 2

2' ≅−=−=

−−= ∑

nnD

r



nNota de ciclo mitad de ciclo

Rango sobre medio ciclo Grado de CI D D2

1 96 1 2 -1 12 92 2 1 1 13 88 3 3 0 04 84 4.5 4 0.5 0.255 84 4.5 5 -0.5 0.256 78 6 6 0 07 77 7 7 0 08 68 8 10 -2 49 67 9 9 0 0

10 65 10 8 2 410.5

Cálculos para hallar el coefic iente de correlación por rangos

∑ =2D b) La correlación p or rangos se usa con dat os cualit at ivos t ales como p rofes ión, educación, sexo, et c. cuando, p or la ausencia de valores numéricos , no se p uede encont rar el coeficient e de correlación. La correlación p or rangos t ambién se usa cuando no se t ienen disp onibles valores p recisos p ara t odas o algunas de las variables (as í que, una vez más , no se p uede encont rar el coeficient e de correlación). Aún más , con un gran número de observaciones de valores grandes , r’ se p uede hallar como una es t imación de r con el fin de evit ar cálculos muy disp endiosos (s in embargo, el fácil acceso a las comp ut adoras ha eliminado es t a raz ón p ara usar r’). VII.4 Exáme ne s sobre re gre s i ón y corre l aci ón EXAMEN UNO : REGRES IÓ N Y CO RRECCIÓ N S IMPLE. Nombre del alumno:____________________________________________________ P lant eamient o: La t eoría económica es t ablece que el consumo, Yi, es función del ingreso, X i, relación que en los últ imos años es :



Años Yi Xi

1 102 1142 100 1183 108 1264 110 1305 122 1366 124 1407 128 1488 130 1569 142 160

10 148 16411 150 17012 154 178

Se es t ima la regres ión y se hallan los s iguient es result ados : =iY 2.30+0.86X i

donde: a= 2.30, b=0.86 Sa= 7.17, Sb=0.05 Pregunt as :

1. ¿Cuál es el s ignificado de a y de b? El es t imador a=2.30 es la ordenada al origen y el valor del consumo t ot al cuando el ingreso disp onible es cero. Como a>0 se confirma que s iemp re habrá un consumo

bás ico. El es t imador 86.0==dXdYb es la p endient e de la línea de regres ión es t imada.

M ide la p rop ens ión marginal al consumo o el cambio que exp eriment a el consumo con el cambio en una unidad adicional en el ingreso. Como 0<b<1 confirma la t eoría del consumo de que las p ersonas increment an sus gas t os de consumo cuando aument a el ingreso disp onible, p ero en menor p rop orción que es t e.

2. Sabiendo que YXb=η

Donde: =η Elas t icidad ingreso del consumo

145=X 127=Y

Calcule e int erp ret e η

T enemos 98.086.0*127145

=== bYX

η

Int erp ret ación: η mide el cambio p orcent ual en consumo derivado de un cambio p orcent ual en el ingreso disp onible.



3. Describa las hip ót es is nula y alt ernat iva p ara p robar la s ignificancia es t adís t ica

de los p arámet ros de la ecuación de regres ión es t imada. Para p robar la s ignificación es t adís t ica de los p arámet ros p oblacionales α y β con los mues t rales a y b es t ablecemos: Hip ót es is nula: H o: α =0 versus H A: α 0 H o: β ≠0 versus H A: β ≠ 0 Al inves t igador le int eresa rechaz ar H o y acep t ar H A, es decir que α y β ≠0 con una p rueba de dos colas , p or lo general salvo p lant eamient os esp ecíficos .

4. ¿Cuál es la forma de la dis t ribución mues t ral de a y b?. Como se sup one que iµ t iene una dis t ribución normal, Yi t ambién t iene una dis t ribución normal (dado que se sup one que Xi es fija). Como result ado a y b t ambién t ienen dis t ribución normal.

5. ¿Qué dis t ribución se usa p ara p robar la s ignificación es t adís t ica de α y β ?. Se establece usar la distribución t de student porque α y β tienen distribución normal, pero se desconocen, y n<30.

6. ¿Para que s irven los grados de libert ad y cuánt os son? Los grados de libert ad s irven p ara mejorar la exact it ud o bondad de ajus t e de los es t imadores a y b. Se calculan con n -k =12-2=10

7. Con α =5% p ruebe s i α y β son es t adís t icament e s ignificat ivos . Int erp ret e los result ados .

32.017.7

030.2ˆ

ˆ

=−

=−

=a

a Saat . Dado que ±=αt 2.228 en una p rueba de dos colas decimos

que no es s ignificat iva es t adís t icament e: no rechaz amos Ho:

Igualment e s i 2.1705.0

086.0ˆ

ˆ=

−=

−=

bb S

bbt . Como t b>t a decidimos acep t ar H A y decimos

que β es es t adís t icament e s ignificat iva, que X i s i exp lica a Yi. Observación s i hubiéramos acep t ado H o, no se cump liría la relación hip ot ét ica de Yi con X i, mismo que debemos modificar y rees t imar has t a lograr una relación es t imada de consumo sat is fact oria.

8. Const ruy a la banda de confianz a al 95% p ara α y β . La banda o intervalo de confianza se construye así: 97.1530.2)17.7(228.230.2 ±=±=±= aSta αα



T al que α es t á ent re –13.67 y 18.27 con confianz a del 95%. Como dice Salvat ore (1991:103) el int ervalo es más amp lio (e insensat o), lo cual es consecuencia de que alt ament e ins ignificat iva. Para β t enemos 11.0860.0)05.0(228.286.0 ±=±=±= bStb αβ , decimos que β está entre 0.75 y 0.97, en otras palabras 0.75< β <0.97 con 95% de confianza. Al no incluir este intervalo de confianza el cero podemos decir que Xi si explica a Yi.

9. ¿Cuánt os usos t iene el error es t ándar de Sa y Sb? Aquí son 2: p robar hip ót es is y p ara la banda de confianz a p ero t ambién s irve p ara obt ener mat emát icament e el t amaño de la mues t ra.

10.Encont rar R2 con cualquiera de los mét odos conocidos e int erp rét elo. T enemos R2=0.9687 ó 96.87% indica que la variable dep endient e es exp licada en un 96.87% p or las variables indep endient es .

EXAMEN DO S : REGRES IÓ N Y CO RRECCIÓ N S IMPLE. Nombre del alumno:____________________________________________________

1. ¿Porqué es mejor el mét odo de mínimos cuadrados p ara es t imar p arámet ros mues t rales de los p arámet ros de la p oblación?

2. Exp lique las p rop iedades de los es t imadores obt enidos con el mét odo de mínimos cuadrados .

3. ¿Qué es un es t imador insesgado? 4. ¿Qué es un es t imador cons is t ent e? 5. ¿Qué es un es t imador suficient e? 6. ¿Qué es un es t imador eficient e? 7. Exp lica las hip ót es is de sup ues t os bás icos del modelo de regres ión lineal

clás ico. 8. Con los dat os de Yi: invers ión en miles de p esos , X i: t asa de int erés en

p orcient os , es t ime la ecuación de regres ión de Yi sobre X i.



Yi Miles de pesos

Xi Tasa de interés

6 98 108 87 77 10

12 49 58 59 6

10 810 711 49 9

10 511 8

9. Con los datos anteriores probar con un nivel de significación del 5%, la significación

estadística de los parámetros α y β . 10. Hallar e interpretar R2 y 2R

Curso de introducción a la econometría: Facultad de Economía de la UNAM Dr. Genaro Sánchez Barajas : Segundo examen parcial. Nombre del alumno………………………………………………………calif_______ Regresión y Correlación Múltiples Suponga que la teoría económica establece que la rentabilidad de la inversión (Y) depende de la tasa de interés (X) y de la inflación (Z), tal que:

$ ( , )Y f X Z= T omando como referenci a l os datos para Yi , Xi , Zi y s i t enemos . A ñ o Y i X i Zi 1 7 9 1



2 8 8 2 3 7 9 3 4 8 7 2 Pre guntas: 1.- Obt enga la ecuación de regres ión: $Y a bX cZi i= + + 2.- Encuent re el valor p ara cada $yi donde i=1,2,3,4: 3.- Encuent re el valor del error res idual 4.- Pruebe la hip ót es is nula de que la rent abilidad de la invers ión dep ende de la t asa de int erés y de inflación, con un nivel de s ignificación del 5% e int erp ret e los result ados . 5.-Calcule R, R2, R 2 e interprete sus resultados. Observaciones: la respuesta a cada pregunta vale 20 puntos. Se puede usar la calculadora, las tablas estadísticas y los formularios de cada tema. VIII. MODELO LINEAL GENERAL O MÚLTIPLE, MLG: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN MÚLTIPLE APLICADA A LA VERIFICACIÓN DE UNA TEORÍA ECONÓMICA Con el fin de ilustrar el uso de este instrumental en el desarrollo de una teoría económica a continuación se presenta un caso. Hasta el momento hemos visto como se construye matemáticamente la relación entre una variable dependiente (Y) y las independientes: X1, X2, en esta ocasión, aprovechando la exposición anterior, también aplicaremos la regresión múltiple considerando el factor tiempo. Este factor es muy importante por que además de que permite conocer el dinamismo del fenómeno bajo estudio (Y), permite predecirlo, es decir, estimar su valor futuro.



La predicción es muy importante en economía por que permite visualizar, con cierta seguridad, cual será el comportamiento de una variable (Y) en el futuro, en función de las variables independientes: X1, X2 . VIII.1 Ecuación de Regresión Múltiple Con base en este enfoque a continuación se expone un ejercicio que permitirá ilustrar: a) Como se prueba la teoría económica de que el consumo (Y) depende del ingreso disponible (después de impuestos) (X1) y de la inflación (X2); de X1 en forma positiva y de X2 en forma negativa. b) Su comportamiento futuro Así, para desarrollar el primer punto diremos que los datos en los últimos 10 años están expresados en millones de pesos para Y, X1 y en porcentajes para X2 . De esta manera la ecuación de regresión que servirá para probar la teoría económica quedará planteada de la siguiente manera:

ii uXcXbay +++= 2ˆˆˆˆ donde: $y= Y calculada o estimada ui expresa que no hay una relación exacta de Y con respecto a X1 “y” X2 por lo que ui es conocido como el complemento residual Así, para encontrar $y se requiere conocer los valores de $, $, $a b c mismos que se determinan con las tres ecuaciones normales siguientes:

$ $ $ $ .$ $ $ $

$ $ $ $

Y na b X c X

YX a X b X c X X

YX a X b X X c X

= + +

= + +

= + +

∑∑∑∑ ∑∑∑

∑∑∑∑

1 2

1 1 12

1 2

2 2 1 2 22

Cuando se expresan en forma de desviaciones con respecto a la media aritmética se pueden resolver simultáneamente para $ $b y c , así:



$ ( )( ) ( )( )( )( ) ( )

$( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

:

$ $ $

bx y x x y x x

x x x x

cx y x x y x x

x x x xtal que

a Y bX cX

=−

−

=−

−

= − −

∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

1 22

2 1 2

12

22

1 22

2 12

1 1 2

12

22

1 22

1 2

Se dice que $ $b y c son estimadores óptimos lineales insesgados, es decir:

∈( $ )b = b parámetro de la población ∈( $c ) = c parámetro de la población

∈ es el símbolo de la esperanza matemática. En una regresión múltiple $, $b c son estimadores parciales de $y . Una vez establecidos tanto la teoría económica como la metodología para probarla, con los datos que aparecen en la tabla 1, hacemos los siguientes cálculos para obtener $, $, $a b c . Tabla 1: Relación del consumo (Y) con el ingreso (X1) y la inflación (X2) (del año 1 al 10)

Años Y X1 X2 y x1 x2 yx1 x 12 x 2

2 x1 x2 x2 y 1 3 1 8 -3.1 -4.65 +0.9 14.415 21.623 0.81 -4.185 -2.79 2 2 2 15 -4.1 -3.65 +7.9 14.965 13.323 62.41 -28.835 -32.39 3 4 2.5 10 -2.1 -3.15 +2.9 6.615 9.923 8.41 -9.135 -6.09 4 5 3 9 -1.1 -2.65 +1.9 2.915 7.023 3.61 -5.035 -2.09 5 5 4 7 -1.1 -1.65 -0.1 1.815 2.723 0.01 +0.165 +0.11 6 7 5 6 +0.9 -0.65 -1.1 -0.585 0.423 1.21 +0.715 -0.99 7 6 7 8 -0.1 +1.35 +0.9 -0.135 1.823 0.81 +1.215 -0.09 8 8 8 4 +1.9 +2.35 -3.1 4.465 5.523 9.61 -7.285 -5.89 9 9 9 3 +2.9 +3.35 -4.1 9.715 11.223 16.81 -13.735 -11.89 10 12 15 1 +5.9 +9.35 -6.1 55.165 87.423 37.21 -57.035 -35.99

n=10 61 56.5 71 0 0 0 109.349 161.03 140.9 -123.15 -98.10

Nota: Y, X1,X2 son los valores originales, en tanto que y,x1 y x2 son minúsculas e indican las desviaciones de los términos con respecto a sus medias respectivas. Cuyas medias son:



YXX

=

=

=

615657 1

1

2

...

Sustituyendo tenemos:

8638.52379.24741.21.6)1.7)(3152.0()65.5)(4379.0(1.6ˆ

3152.077.392,771.330,2

92.165,1569.558,2233.466,1304.797,15

)15.123()09.140)(03.161()15.123)(349.109()03.161)(1.98(

ˆ

4379.077.392,769.237,3

93.165,1569.558,2201.081,127.318.15

)15.123()09.140)(03.161()15.123)(10.98()09.140)(349.109(ˆ

2

2

=+−=−−−=

−=−

=−+−

=−

−−−=

==−

−=−−

−−−=

a

c

b

Observamos que $b = 0.4379 tiene signo positivo y $c= -0.3152 tiene signo negativo. Estos resultados confirman la teoría económica, motivo por el cual podemos continuar probando la relación que tiene el consumo (Y) con el ingreso (X1) y la inflación (X2). Por consiguiente, la ecuación de regresión múltiple es:

$y = 5.8638 + 0.4379X1- 0.3152X2 Con Eviews file/new/workfile/workfile Range/Undated or irregular/ escribimos en stsrt date 1 y en end date/ok vamos al menu de Quick Empty Group (edit series) y escribimos los datos de Y, X1, X2 name group 01/ok/ salimos haciendo clic en la “celda roja” /Quick/Estimate Equation aparece la pantalla y escribimos Y C X1 X2/ok/ y aparece la ecuación de regresión Y=5.8+.4X1-0.39X2/name/eq01/ok. Vamos a Quick/Group Statistics/Correlations/ aparece en pantalla “Series List” y escibimos Y X1 X2/ ok aparece coeficiente de correlación parcial name/Group 02/ok para graficar: Quick/graph/line graph/ series list: Y X1 X2/ok y aparece la gráfica. Ahora bien en virtud de que no hay una relación lineal exacta de Y con X1 y X2, necesitamos calcular la relación residual que se expresa con ui; misma que no conocemos porque pertenece al universo, razón por la cual es estimada mediante ei , cuyo cuadrado ei

2 , minimiza la suma de cuadrados de todos los residuos: ei

2∑

Para obtener ei (donde (i) = 1,2,3... ...8,9,10), antes necesitamos determinar $yi para cada uno de los 10 años. Así:



1170.12)1(3152.0)15(4379.08637.5ˆ8592.8)3(3152.0)9(4379.08637.5ˆ1061.8)4(3152.0)8(4379.08637.5ˆ

4074.6)8(3152.0)7(4379.08637.5ˆ1620.6)6(3152.0)5(4379.08637.5ˆ4089.5)7(3152.0)4(4379.08637.5ˆ3406.4)9(3152.0)3(4379.08637.5ˆ

8065.3)10(3152.0)5.2(4379.08637.5ˆ0115.2)15(3152.0)2(4379.08637.5ˆ

7800.3)8(3152.0)1(4379.08637.5ˆ

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

=−+==−+==−+=

=−+==−+==−+==−+=

=−+==−+=

=−+=

yyyyyyyyyy

Nota: estos resultados están ”redondeados”; la computadora ofrece más decimales; por ello las cifras no coinciden exactamente con las que se obtienen al correr los datos en computadora Estos resultados aparecen en la continuación de la tabla 1 en la columna integrada por iY . Continuación... ...Tabla 1: Relación del consumo (Y) con el ingreso (X1) y la inflación (X2) (del año 1 al 10)

Años $yi e =Y - $yi e2 2y

1 3.7800 -0.7800 0.6084 9.61 2 2.0115 -0.0115 0.0001 16.81 3 3.8065 0.1936 0.0375 4.41 4 4.3406 0.6594 0.4348 1.21 5 5.4089 -0.4089 0.1672 1.21 6 6.1620 0.8380 0.7022 0.81 7 6.4074 -0.4074 0.1660 0.01 8 8.1061 -0.1061 0.0113 3.61 9 8.8592 0.1408 0.0198 8.41 10 12.1170 -0.1170 0.0137 34.81 ∑ 61.0000 0.0000* 2.1610 80.9

* Existen pequeñas diferencias debido a la magnitud de los decimales. La suma técnicamente da cero

Observe que la suma de ∑ $yi = 61es la misma que ∑ Y = 61 y por ello la suma de 0ˆ =−=∑ yYe ;

sin embargo, cada dato difiere y ello requiere obtener ∑ e2 = 2.1610, para probar que es un mínimo. VIII.2 Significación Estadística de b y c



Con base en los cálculos anteriores es posible obtener yYei ˆ−= y la 1610.2)( 22 ˆ =−=∑ yYe en

la forma que aparecen en las columnas correspondientes en la continuación de la tabla 1.

Como se observa la 0)( ˆ =−∑ yY , mientras que 1610.2)(2

ˆ =−∑ yY esto proviene de la solución

de:

0137.0;1170.01170.1212

0198.0;1408.08592.890113.0;10160.01016.88

1660.0;4074.04074.66

7022.0;8380.01620.67

1672.0;4089.04089.554348.0;6594.03406.45

0375.0;1936.08065.34

0001.0;0115.00115.22

6084.0;7800.07800.33

2110

219

218

217

216

215

214

213

212

211

=−=−=

=+=−=

=−=−=

=−=−=

=+=−=

=−=−=

==−=

==−=

=−=−=

=−=−=

eeeeee

eeeeee

eeee

eeee

∑ = 1610.22e

Con estos valores podemos probar la significación estadística de los parámetros poblacionales b, c, calculando primero las varianzas de los estimadores. Las fórmulas de las varianzas son:

Var bx

x x x x

Var cx

x x x x

u

u

$( )

$( )

=−

=−

∑∑∑∑

∑∑∑∑

σ

σ

2 22

12

22

1 22

2 1

2

12

22

1 22

No se acostumbra calcular la varianza de $a (pendiente al origen) por que no ayuda a probar la teoría económica, ya que $yi = $a cuando X1 = 0; X2 = 0 puesto que lo que se desea es probar las variaciones de $yi en función de las variaciones de X1 , X2 . Por otra parte, como σ u

2 es desconocida por que es del universo, se estima con S2 , como una estimación insesgada, es decir, E (S2) = σ u

2 .



Su formula es: Se

n kui2 22

= =−

∑$σ

donde: n = número de términos (10 en este ejemplo) k = número de parámetros estimados (3 en este ejemplo) Por lo que el numero de los grados de libertad es de: 10 - 3 = 7 Con estas referencias, las estimaciones insesgadas de las varianzas de c,b tendrán las siguientes fórmulas:

S Var be

n kx

x x x xS S

S Var ce

n kx

x x x xS S

bi

b b

ci

c c

$ $ $

$ $ $

( $ )( )

;

( $ )( )

;

22

22

12

22

1 22

2

22

1

2

12

22

1 22

2

= =− −

=

= =− −

=

∑ ∑∑∑∑

∑ ∑∑∑∑

Sb$

2 , Sc$2 son los errores estándar de $, $b c con los que se pueden probar las hipótesis sobre b, c,

relativos a que hay o no hay relación de Y con respecto a X1, X2, con la estadística t de Student porque n < 30 términos:

Para b: Para c:

Ho: b = 0 Ho: c = 0 Ha: b ≠ 0 Ha: c ≠ 0

t b bSb

b

=−$

$

t c cSc

c$

$

$=

−

Estas t`s “empíricas” u observadas se confrontan con las t`s ”teóricas” o de tablas. Estas últimas se denotan con las literales t∝ , donde ∝ = nivel de significación que junto con los grados de libertad (n-k) determinan los puntos “críticos” donde se toma la decisión de aceptar o rechazar Ho.



Así, para probar Ho primero calculamos Sb$2 , Sc$

2 ; sustituyendo los valores de las tablas en las

fórmulas originales:

0761.00058.0;0058.0;

0058.0)0187.0(3087.05.522,7

9.1409225.165,154225.688,22

9.1403087.0

)15.123()9.140)(0250.161(9.140

3101610.2

)()ˆ(

ˆ2ˆ

2221

22

21

22

22ˆ

===

===−

=

=−−−

=−−

==∑ ∑ ∑

∑∑

bb

ib

SS

xxxxx

knebVarS

también

0812.00066.0;0066.0;

0066.0)0214.0(3087.05.522,7

03.1619225.165,154225.688,22

03.1613087.0

)15.123()9.140)(0250.161(0250.161

3101610.2

)()ˆ(

ˆ2ˆ

2221

22

21

2

12

2ˆ

===

===−

=

=−−−−−

==∑ ∑ ∑

∑∑

cc

ic

SS

xxxxx

kne

cVarS

Por lo tanto las t`s empíricas serán:

7542.50761.0

04379.0ˆ

ˆ=

−=

−=

bb S

bbt 8017.30812.0

03087.0ˆ

ˆˆ −=

−−=

−=

cc S

cct

Ahora se determina con ∝ = 5% y 7 grados de libertad (n-k), el valor en tablas de tα = ±2 365. . Vemos que b, y c son estadísticamente significativos. Interpretación económica: Sí hay relación del consumo (Y) con el ingreso (X1) y la inflación (X2); luego entonces se sigue confirmando nuestra teoría. VIII.3 Determinación del Grado (o porcentaje) de la Relación que Existe entre Y y las Variables Explicativas X1, X2



Para llevar a cabo la determinación del grado de la relación que existe entre la variable dependiente o explicada y las variables independientes o explicativas primero se determina el Coeficiente de Determinación Múltiple. La formula y el cálculo del coeficiente puede plantearse de la siguiente manera:

%33.973973.0

0267.019.80

1610.211

2

2

22

oR

ye

Ri

i

=

−=−=−=∑∑

Interpretación: El ingreso y la inflación determinan el 97.33% de los cambios que experimenta el consumo. Si tomamos en cuenta la reducción en los grados de libertad conforme aumenta el número de variables independientes (aquí se supone que antes el consumo sólo era función del ingreso -regresión simple- y ahora hemos agregado la inflación como variable explicativa adicional), entonces se debe calcular el R2 ajustado o R 2 , cuya formula es:

9656.0

0343.01)2857.1)(0267.0(1)2857.1)(9733.01(1

310110)9733.01(11)1(1

2

22

=

−=−=−−=

−−−−=

−−−−=

R

knnRR

Interpretación: R 2 es un indicador más exacto que R2 VIII.4 Prueba de la Significación Global de la Regresión Múltiple9 En este caso la hipótesis nula se prueba con F, estadística que se refiere al análisis de varianza que es el cociente de dividir la varianza explicada entre la varianza no explicada. Su formula es:

Fy

ke

n k

Rk

Rn k

k n k

i

i− − = −

−

= −−

−

∑

∑1

2

2

2

21 1

1,

$( )

( )( )

( )

donde: (k-1) son los grados de libertad de la varianza explicada (n-k) los grados de libertad de la varianza no explicada (ya es conocido el significado de n y k) Como en el caso anterior - cuando usamos t - se requiere encontrar en tablas la “F teórica” con un cierto valor de ∝ para confrontarla con la “F empírica”. Así, primero calculamos la F empírica:



0526.1280038.04866.0

79733.01

29733.0

7,2 ==−

=F

Si decimos que ∝ = 1%, buscamos F∝ en tablas con 2 grados de libertad para el numerador (varianza explicada) y 7 grados de libertad para el denominador, vemos que F∝ = 9.55. Como F2,7 = 128.0526 > F∝ = 9.55 decimos que se acepta la hipótesis alternativa (se rechaza la hipótesis nula) de que b y c, y R2 son significativamente diferentes de cero. Lo anterior indica que a través de una sola estadística se confirma la hipótesis que hemos venido desarrollando de que: Y = f(X1,X2). VIII.5 Coeficiente de Correlación Parcial Este coeficiente es útil por que mide la correlación neta entre la variable dependiente (Y) y una variable independiente (sea X1 o X2) después de excluir la influencia que sobre ellas ejerce la(s) otra(s) variable(s) independiente(s) en el modelo uniecuacional. Notación: ry x x1 2, es la correlación parcial entre X1 e Y después de eliminar el impacto de X2

sobre Y e X1. Sus fórmulas son:

rr r r

r ry x x

y x yx x x

x x yx1 2

1 2 1 2

1 2 21 12 2,

,

,

=−

− −

En forma análoga:

rr r r

r ryx x

yx yx x x

x x yx2 1

2 1 1 2

1 2 21 12 2,

,

,

=−

− −

Para ello necesitamos hacer los siguientes cálculos a partir de la tabla 1:

ryx

x y

ryx

x y

rx x

x x

yx

yx

x x

1

2

1 2

1

12 2

2

22 2

1 2

22

12

109 3516103 80 9

109 3512 68 8 99

109 3511399

0959

98 1140 9 80 9

9811187 8 99

981106 71

0 919

12315140 9 16103

123151187 12 68

12315150 51

0 818

= = = = =

= =−

=−

=−

= −

= = − = − = − = −

∑∑ ∑

∑∑ ∑

∑∑ ∑

.. .

.( . )( . )

..

.

.. .

.( . )( . )

..

.

.. .

.( . )( . )

..

.

Sustituyendo:



%8.83838.0

838.0161.0135.0

)282.0)(574.0(784.0919.0

08.033.0)818.0)(959.0()919.0(

11

%6.93936.0

222.0208.0

)387.0)(574.0()751.0()959.0(

15.033.0)818.0)(919.0()959.0(

11

12

221

2112

12

21

221

2121

21

,

2,

2

,,

,

2,

2,

,

orluego

rr

rrrr

énibmat

or

rr

rrrr

xxy

xyxx

xxxyxyxxy

xxy

xyxx

xxxyxyxxy

−=

−=−

=+−

=

=−−−

=−−

−=

=

==−

=

=−−−

=−−

−=

Como r y ry x x y x x1 2 2 10 936 0838, ,. " " .= = −

Se dice que el ingreso (X1) es más importante explicando las variaciones del consumo (Y) que la inflación (X2); obviamente en sentido inverso, como lo indica la teoría económica. Se acostumbra presentar en forma resumida los resultados estadísticos, mismos que en computadora suelen aparecer así: bo = 5.80083749 Sb&&

2 = 0.005779 Sb&& = 0.076 b1 = 0.44219342 Sc$

2 = 0.006604 Sc$ = 0.081 b2 =-0.3097507 R2 = 0.97330500 R2ajus = 0.965678 calculado tablas t1 = 5.817014 2.36 t2 = -3.811620 2.36 F = 124.7400 6.54



Las relaciones de Y con X1, X2 gráficamente se expresan así: Actual Ajustado Residual Gráficamente 1.0986122886 1.0289711374 0.0696411512 | . | * . | 0.6931471805 1.12658750472 -0.433440324 |* . | . | 1.3862943611 1.32569568282 0.0605986783 | . | * . | 1.6094379124 1.42605193427 0.1833859781 | . | *. | 1.6094379124 1.60787004333 0.0015678691 | . * . | 1.9459101490 1.7376480515 0.2082620975 | . | * | 1.7917594692 1.78985074501 0.0019087242 | . * . | 2.0794415416 2.03328216598 0.0461593757 | . |* . | 2.1972245773 2.15869999287 0.0385245844 | . |* . | 2.4849066497 2.66151478441 -0.176608134 | .* | . | VIII.6 Predicción Para conocer el consumo, por ejemplo en el año 12, suponemos que el ingreso en ese año será de 16 y la inflación 1.5 sustituimos en la ecuación de regresión y encontramos: y12 = 5.800837 + 0.442193(16) - 0.305791 (1.5) = 5.800837 + 7.075088 -

0.4586865 y12 = 12.4113

Lo anterior usando Eviews requiere de los siguientes pasos: 1.- Estimar la ecuación de regresión 2.- En la pantalla de Workfile modificar el Rango RANGE y el SMPL ahora será de 1 12 3.- En la línea de comando digitar el comando DATA seguido de las variables independientes que son las que conocemos sus valores futuros, así el consumo (X1) para el año 12 tiene un valor de 16 y para la inflación (X2) es 1.5 4.- En la ventana aparece un botón que se llama Forecast, se da un clic y aparece una pantalla que nos solicita el nombre y periodo a que se desea pronosticas (por default aparece el nombre de la variable dependientes con una F, para nuestro ejemplo será YF), en la parte baja de la ventana muestra el periodo de tiempo (SMPL) 1 12 y se da OK. 5.- Se muestra una pantalla como la siguiente



0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

YF ± 2 S.E.

Forecast: YFActual: YForecast sample: 1 12Included observations: 10

Root Mean Squared Error 0.464715Mean Absolute Error 0.369380Mean Abs. Percent Error 7.645546Theil Inequality Coefficient 0.034564 Bias Proportion 0.000000 Variance Proportion 0.006764 Covariance Proportion 0.993236

6.- En la pantalla de Workfile se selecciona la variable Y y YF para conocer el valor pronosticado, o bien en la línea de comando digitar el comando SHOW seguido de Y y YF y enter, de igual manera muestra los valores.

obs Y YF 1 3 3.76502492522 2 2 2.03896311067 3 4 3.80881355932 4 5 4.33966101695 5 5 5.4013559322 6 7 6.1533000997 7 6 6.41818544367 8 8 8.09938185444 9 9 8.85132602193

10 12 12.1239880359 11 7.25770687936 12 12.4113060818

VIII.7 Cálculo de la Elasticidad Con base en la información anterior se puede obtener: VIII.7.1La Elasticidad Ingreso del Consumo: Mide el cambio porcentual en los niveles del consumo

como consecuencia de un cambio porcentual en el ingreso disponible (después de impuestos). Es importante señalar que la elasticidad no es constante, es decir, cambia en cada uno de los puntos de la función de regresión. Su cálculo puede hacerse con la formula:

E b XYib$

$ . ..

. ( . ) .= = = =1 0 44 5656 1

0 44 0 92 0 40



VIII.7.2 De manera similar se puede obtener la Elasticidad Precio de la Demanda Cuya interpretación es similar a la elasticidad ingreso, pero ahora referida a los precios. Como no hay datos, conceptualmente se mide con:

Ep = Parámetro estimado multiplicado por el cociente que resulta de dividir la media de los precios entre la media de la demanda o consumo

VIII.7.3 Con base en lo anterior podemos obtener la Elasticidad Inflación del Consumo así:

E c XYic$ $ . .

.. ( . ) .= = − = − = −2 0 3171

610 31 116 0 36



Curso de introducción a la econometría: Facultad de Economía de la UNAM Dr. Genaro Sánchez Barajas : Tercer examen parcial. Nombre del alumno………………………………………………………calif_______ Tema: Marco teórico de la expresión matemática de una teoría económica y de su verificación estadística. I.-Conteste con una “ X” en SI cuando la afirmación sea verdadera y también con una “ X” en NO cuando la afirmación sea falsa: 1.- Una variable cualitativa no se puede expresar cuantitativamente: Si___; No____. 2.-Una variable dicotómica puede tomar más de dos valores: Si_____; No________ 3.-Para predecir la variable dependiente es necesario que antes se conozcan los valores proyectados de las variables explicativas en el tiempo: SI:_______; NO:___________ 4.- Cuando se verifica la hipótesis de la relación entre la variable dependiente con las independientes, se espera que idealmente el valor del coeficientes de correlación múltiple no sea semejante a los valores de los coeficientes de correlación parcial: SI:__; NO__. 5.- Cuando se verifica con la estadística F que las variables independientes si explican a la variable dependiente, teóricamente se debe de verificar con la prueba t de Student que cada una de las variables independientes también explican a la dependiente: SI___; NO____. 6.- Al correr la regresión, cuando los signos de los coeficientes obtenidos de las variables regresoras no coinciden con la concepción teórica de su relación con la variable regresada, se debe cambiar de variable regresora: SI____; NO______: 7.- Al probar una hipótesis nula con la t de Student, si la t real o calculada es mayor que la t teórica o de tablas, se acepta dicha hipótesis nula: SI____;NO_____. 8.- Cuando F real o calculada es menor que F teórica o de tablas rechazamos la hipótesis nula: SI_____; NO____. : 9.- en una regresión múltiple si al probar una hipótesis nula con ciertos grados de libertad y nivel de significación, cuando los valores de t no son estadísticamente significativos pero F si lo es, se dice que posiblemente se violó algún de los supuestos del modelo de estimación: SI____; NO______. 10.-Conocido el valor del coeficiente de la variable explicativa X, su media aritmética como la de la variable explicada

Y, la elasticidad se calcula asXYbE ˆ= : SI__;NO___.

Observaciones: Cada una de las respuestas correctas vale 10 puntos en escala de 0 a 100. No se puede usar la calculadora, ni las tablas estadísticas ni la bibliografía correspondiente a cada tema.



IX. TRANSFORMACIONES DE FORMAS FUNCIONALES NO LINEALES EN LINEALES IX.1 Propósito En economía existen fenómenos que no siempre tienen un comportamiento lineal, digamos como el comportamiento del valor de las acciones de cualquier empresa en el mercado bursátil. Este comportamiento se detecta al graficar los valores del fenómeno y obtener un diagrama de dispersión en forma de “sierras”; también ello se comprueba cuando cierta teoría económica así lo establece, digamos el valor de la producción en función de los insumos de mano de obra y de capital. Comenta el profesor Salvatore (1991, p. 136) que la teoría económica puede a veces sugerir la forma funcional de una relación económica; también, que la dispersión de los valores observados puede sugerir la forma funcional apropiada en una relación de dos variables, y que cuando ninguna teoría ni dispersión de puntos es de ayuda, la función lineal se trata usualmente primero debido a la simplicidad. Algunas de las transformaciones de funciones no lineales a lineales más útiles y comunes son las funciones logaritmo doble o doble-log, recíproca, y la polinomial. Una de las ventajas de la forma doble-log es que las pendientes representan elasticidades. La función semilog es apropiada cuando la variable dependiente crece en el tiempo a un ritmo relativamente constante, como en el caso de la fuerza laboral y de la población. Las funciones recíprocas y polinomial son apropiadas para estimar curvas de costo medio y costo total. La estimación de una función doble-log transformada por el método de MCO arroja estimadores de pendiente insesgados. Sin ambago b0=antilo b0* es un estimador sesgado pero consistente de b0. El hecho de que b0 sea sesgado no es de mucha importancia, porque la constante no muestra un interés especial en economía. En las otras funciones transformadas b0 también es insesgado. Se recomienda trasformar estas “formas funcionales” no lineales en lineales cuando se aplica el análisis de regresión con el objeto de que al utilizar el método de mínimos cuadrados, se obtengan funciones lineales trasformadas cuyas pendientes sean estimadores insesgados. Estas “nuevas” pendientes aparte de ser insesgadas, su valor es igual a la elasticidad de la variable dependiente con respecto a la independiente o explicativa, como es el caso de la forma funcional doble logarítmica. IX.2 Formas Funcionales Transformadas más usadas en Economía: Doble Logarítmica, Exponencial, Semilogarítmica, Recíproca y Polinomial La forma funcional Y aX beu

= $ $ se puede transformar en la doble logarítmica log log $ log logY a b X eu= + + . La función exponencial Y abx= se transforma en log log logY a bX= + que es semilogaritmica por que sólo transforma Y, etc.



IX.2.1 Logaritmos Comunes y Naturales Como se recordará los logaritmos comunes tienen base 10 y los naturales base e = 2.718 de manera tal que la relación entre logaritmos naturales y comunes es: logaritmo natural (ln) de X = 2.3026*logaritmo común (lc) de X Ejemplo: Cuando: X = 240; su ln = 2.3026 (2.380211) = 5.48064 X = 1480; su ln = 2.3026 (3.170262) = 7.29986 X = 410; su ln = 2.3026 (2.612784) = 6.01616 X = 450; su ln = 2.3026 (2.653223) = 6.10925 X = 3; su ln = 2.3026 (0.477100) = 1.09857 X = 2; su ln = 2.3026 (0.301000) = 0.69308 X = 8; su ln = 2.3026 (0.903100) = 2.07947 X = 1; su ln = 2.3026 (0.000000) = 0.00000 Es el investigador quien decide si trabaja con logaritmos de base 10, base e o cualquier otra base; para evitar confusiones basta pues con especificar con que base de logaritmos se trabaja. IX.3 Ejemplos Aplicando el Método de Mínimos Cuadrados Ordinarios IX.3.1 Función de Consumo Transformada a Forma Lineal Doble Logarítmica A partir de los datos de la tabla 1 hacemos los siguientes cálculos que aparecen en la tabla 2 Tabla 2: Función del Consumo Transformada a Forma Lineal Doble Logarítmica Años Y X1 X2 lnY

lnY2

ln X1 lnX2 y = lnY-Med lnY

1 3 1 8 1.098612289 1.20694896 0 2.079441542 -0.591004916 2 2 2 15 0.693147181 0.48045301 0.693147181 2.708050201 -0.996470024 3 4 2.5 10 1.386294361 1.92181206 0.916290732 2.302585093 -0.303322843 4 5 3 9 1.609437912 2.59029039 1.098612289 2.197224577 -0.080179292 5 5 4 7 1.609437912 2.59029039 1.386294361 1.945910149 -0.080179292 6 7 5 6 1.945910149 3.78656631 1.609437912 1.791759469 0.256292945 7 6 7 8 1.791759469 3.21040199 1.945910149 2.079441542 0.102142265 8 8 8 4 2.079441542 4.32407713 2.079441542 1.386294361 0.389824337 9 9 9 3 2.197224577 4.82779584 2.197224577 1.098612289 0.507607373 10 12 15 1 2.48490665 6.17476106 2.708050201 0 0.795289446 Σ 61 57 71 16.89617204 31.1133971 14.63440894 17.58931922 2.22045

Med 6.1 5.7 7.1 1.689617204 3.11133971 1.463440894 1.758931922

Continuación... ...Tabla 2: Función del Consumo Transformada a Forma Lineal Doble Logarítmica



Años y2 =(lnY-Med lnY)2 x1 = lnX1-Med lnX1 x2 = lnX2-Med lnX2 yx1 yx2 1 0.34928681 -1.463440894 0.320509619 0.864900762 -0.18942276 2 0.99295251 -0.770293713 0.949118279 0.767574595 -0.94576791 3 0.09200475 -0.547150162 0.543653171 0.165963143 -0.16490243 4 0.00642872 -0.364828605 0.438292655 0.029251699 -0.03514199 5 0.00642872 -0.077146533 0.186978227 0.006185554 -0.01499178 6 0.06568607 0.145997018 0.032827547 0.037418006 0.008413469 7 0.01043304 0.482469255 0.320509619 0.049280502 0.032737578 8 0.15196301 0.616000648 -0.372637561 0.240132044 -0.14526319 9 0.25766525 0.733783683 -0.660319634 0.372474008 -0.33518311 10 0.6324853 1.244609307 -1.758931922 0.989824645 -1.39885999 Σ 2.56533418 -8.881178 1.3227 3.52300496 -3.18838213

Continuación... ...Tabla 2: Función del Consumo Transformada a Forma Lineal Doble Logarítmica

Años x1 x2 x12

x 22

lnYc

e2

= ln(Y-Yc)2

1 -0.46904688 2.141659251 0.102726416 1.028971137 0.00484989 2 -0.73109984 0.593352406 0.900825507 1.126587505 0.187870515 3 -0.29745992 0.299373300 0.295558770 1.325695683 0.003672200 4 -0.15990170 0.133099912 0.192100451 1.426051934 0.033630417 5 -0.01442472 0.005951588 0.034960857 1.607870043 2.458210000 6 0.004792724 0.021315129 0.001077648 1.737648052 0.043373101 7 0.154636037 0.232776582 0.102726416 1.789850745 3.643230000 8 -0.22954498 0.379456797 0.138858752 2.033282166 0.002130688 9 -0.48453177 0.538438493 0.436022019 2.158699993 0.001484144 10 -2.18918304 1.549052326 3.093841507 2.661514784 0.031190433 Σ -4.41576410 5.894475785 5.298698344 16.89617204 0.308207489

Como puede observarse en la tabla 2, los pasos fueron: a) Convertir los valores de Y, X1, X2 a logaritmos naturales (ly, lx1, lx2) b) Obtener las “desviaciones” de esos logaritmos con respecto a las medias aritméticas Y X X, ,1 2 . En el caso del consumo: para el primer término, log Y1-Y ; para el último término log Y10-Y . Un procedimiento análogo se hizo para las desviaciones de los logaritmos de X1, X2 con respecto a sus X X1 2, . Como se recordará las “desviaciones” se representan con letras minúsculas, ello con el objeto de aplicar las fórmulas ya conocidas para obtener $, $, $;a b c que son:



21

221

22

21

2112

12

221

22

21

212221

ˆˆˆln

)())(())(())((

ˆln

)())(())(())((ˆln

XLogcXLogbYLoga

xxxxxxyxxyx

c

xxxxxxyxxyx

b

−−=

−−

=

−−

=

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

c) Sustituyendo en las fórmulas los datos de la tabla 2 tenemos:

6.147.057.069.1)76.1)(27.0()46.1)(39.0(68.1ˆln

27.061.1123.3

)42.4()29.5)(89.5(56.1579.18

)42.4()29.5)(89.5()42.4)(52.3()89.5)(19.3(

ˆln

39.063.1156.4

53.1916.3110.1466.18

)42.4()29.5)(89.5()42.4)(19.3()3.5)(52.3(ˆln

22

2

=+−=−−−=

−=−

=−−

+−=

−−−−−

=

==−−=

−−−−−=

a

c

b

d) La ecuación de regresión será :

log Yc = 1.6 + 0.39 logX1-0.27 logX2

e) Para determinar la ei2∑ relación residual primero obtenemos las Y`s calculados o estimadas

así:: ln Y1 = 1.6 + 0.39 (0) - 0.27 (2.07) = 1.6 - 0.55 = 1.05 ln Y2 = 1.6 + 0.39 (0.69) - 0.27 (2.70) = 1.6 + 0.27- 0.72 = 1.15 * * * * ln Y5 = 1.6 + 0.39 (1.39) - 0.27 (1.94) = 1.6 + 0.54- 0.52 = 1.62 * * * ln Y10 = 1.6 + 0.39 (2.70) - 0.27 (0) = 1.6 + 1.05 = 2.65 Nota: a cada uno de estos diez valores de Yc, se le saca el antilogaritmo



f) Luego que se tiene Y, Yc se obtiene ei = yi - Yc, misma que se eleva al cuadrado (ei)2 y se obtiene su suma que de acuerdo con la tabla 2 tenemos ei

2∑ =0.30 g) En seguida se prueba la significación estadística de b y c para ello obtenemos:

S Var be

n kx

x x x xS

S Var ce

n kx

x x x xS

bi

b

ci

c

$ $

$ $

( $ )( )

. ; .

( $ )( )

. ; .

22

22

12

22

1 22

22

1

2

12

22

1 22

0 000395 0 019

0 000489 0 022

= =− −

= =

= =− −

= =

∑ ∑∑∑∑

∑ ∑∑∑∑

Con ello probamos Ho:

Para b Para c Ho: b = 0 Ho: c = 0 HA: b ≠ 0 HA: c ≠ 0

tb = =0 390 019

205..

. tc =−

= −0 27

0 02212 27.

..

Con α = 1% y 7 grados de libertad 499.3±=αt luego b y c son estadísticamente significativos, indicando que si hay relación del consumo con el ingreso y la inflación. h) Ahora calculamos:

Rey

o

luego r R o

la R R nn k

o

i

i

22

2

2

2 2

1 0 879 87 9

087 0 932 932

1 1 1 0845 84 5

= − =

= = =

= − −−−

=

∑∑

. . %

. . . %

( ) . . %

i) La prueba de la significación global se hace con:

Ho: b1 = b2 = ... ...bx = 0 HA: ninguna bi es cero

FR

kR

n kk n k− − = −

−−

=1

2

21

12563, ( )

( )

.



Con α = 5% y 2 y 7 grados de libertad 74.4=αF , luego como 63.2574.4 7,2 =∠= FFα , decimos que se acepta la hipótesis alternativa de que b, c, R2 son significativamente diferentes de cero. j) Cálculo de la elasticidad: Como se indicó previamente, las pendientes en esta forma funcional doble logarítmica, equivalen a las elasticidades ingreso e inflación del consumo, es decir, su valor es el valor de la elasticidad correspondiente. Como $ .b = 0 39 = elasticidad respecto del ingreso; $ .c = −0 27 = elasticidad respecto de la inflación. Nótese que estos valores son similares a los obtenidos previamente en el punto VIII.7.1 y VIII.7.3, donde Ei =0.40 y Ein = -0.36. Su diferencia se explica por el número de decimales utilizados. También comenta el profesor Dominick Salvatore que cuando la suma los coeficientes estimados (elasticidades) de las variables independientes ( cuando son factores de la producción, digamos mano de obra y capital) es mayor que uno, hay economías de escala. En este sentido el profesor Gujarati (1990 , p.153) complementa diciendo que cuando la elasticidad o pendiente de la variable independiente es menor que uno, se debe interpretar como que hay inelasticidad de la variable dependiente con respecto a la dependiente. Esto se ilustra en ejemplos subsecuentes.

IX.3.2 Ejemplo adicional de ecuación doble logarítmica

Transformación en forma lineal doble logarítmica

Con los siguientes datos y siguiendo los mismos pasos del ejemplo anterior obtenga: a). La ecuación de regresión, b). las elasticidades (economías de escala) y c). el error estándar de estimación. Así, si especificamos en el modelo uniecuacional que Y=f(X1,X2)

Año Y X1 X2 LnY LnX1 LnX2 LnY al cuadrado

2000 3 1 8 1.09 0.00 2.08 1.19

2001 2 2 9 0.69 0.69 2.19 0.48

2002 4 3 10 1.39 1.09 2.30 1.93



2003 5 4 12 1.60 1.39 2.48 2.56

Suma 14 10 39 4.77 3.17 9.05 6.16

Media 3.5 2.5 9.8 1.19 0.77 2.26 1.56

Una vez que los datos fueron convertidos a logaritmos obtenemos las “desviaciones” de los valores originales con respecto a sus medias, con objeto de ir calculando los valores necesarios para estimar los parámetros de la ecuación de regresión que facilite el cálculo de las elasticidades y del error estándar de estimación. Las desviaciones se expresan con minúsculas así:

y=LnY-media de LnY

y al cuadrado

x1=LnX1-media de LnX1

x2=LnX2-media de LnX2

yx1 yx2 x1x2 x12 x2

2

-0.1 0.01 -0.79 -0.18 0.079 0.018 0.1422 0.6241 0.0324

-0.5 0.25 -0.10 -0.07 0.05 0.035 0.0070 0.0100 0.0049

0.2 0.04 0.30 0.04 0.06 0.008 0.0120 0.0900 0.0016

0.4 0.16 0.60 0.22 0.24 0.088 0.1320 0.3600 0.0484

0.0 0.46 0.00 0.00 0.43 0.149 0.2932 1-080 0.0873

Esos resultados se sustituyen en las ecuaciones que necesitamos para obtener el valor de los coeficientes estimados. Luego si

21

221

22

21

211212

221

22

21

212221

ˆˆˆ

)())(())(())((

ˆ

)())(())(())((ˆ

XLogcXLogbYLoga

xxxxxxyxxyx

c

xxxxxxyxxyx

b

−−=

−−

=

−−

=

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑



Sustituyendo

b=(0.43)(1.0873) – (0.149)(0.2932)/(1.08)(0..873) – (0.2932) al cuadrado

b=(0.0375)-(0.0437)/0.0943 – 0.0859

b=-0.0062/0.0084

b= - 0.708

hacemos lo mismo para c

c=0.149(1.08) – 0.43(0.2932)/1.08(0.0873) – (0.2932) al cuadrado

c=0.1609 – 0.1261/0.0943 – 0.0860

c=0.0348/0.0084

c=4.19

finalmente para a

a=1.19 – (-0.708)(0.79) – 4.19(2.26)

a=1.19 + 0.56 – 9.46

a= - 7.71

a). Así la ecuación de regresión es LnYc=-7.71 – 0.708lnX1 +4.19LnX2

b). Las elasticidades son: Elasticidad de Y con respecto a X1= -0.708; de Y con respecto a X2= +4.19, de manera que si 4.19+ (-0.708)= 3.482 ≥ 1, decimos que si hay economías de escala.

c). Para calcular el error estándar de estimación tabulamos a partir de la ecuación de regresión

LnY1c= -7.71-0.708(0) + 4.19(2.08)=1.0000

lnY2c= -7.71- 0.708(0.69)+4.19(2.19)=0.9810

LnY3c= -7.71-0.708(1.09)+4.19(2.30)=1-1600

LnY4c= -7.71-0.708(1.39)+4.19(2.48)=1.6960

Tabulando tenemos



LnY LnYc Є=LnY-LnYc Є al cuadrado

1.09 1.000 +0.090 0.0081

0.69 0.981 -0.291 0.0847

1.39 1.160 +0.230 0.0529

1.60 1.696 -0.096 0.0092

∑ 0.000 0.1549

Luego el error estándar de estimación es ( )

3935.01/1549.02

21 ==−

= ∑kn

EXYXσ

IX.3.3 Función de Consumo Exponencial Transformada a Forma Lineal Semilogarítmica Una función es semilogaritmica cuando una de las variables se convierte o se transforma en logaritmos, sea X o Y. En este sentido, si se establece que sea Y la que se exprese en logaritmos, a partir de una función exponencial, ello gráficamente se expresa mediante una línea recta cuando la función se traza en una gráfica semilogaritmica; será una curva cuando se trace una gráfica con escalas ordinarias. Así, si la función es Yc = abx tomando logaritmos se trasforma en una función lineal dada por logYc = log a + log b (x). Nota: Este ejemplo se trabaja con logaritmos comunes, de base 10. Para simplificar operaciones hacemos Σx = 0. Aplicando el método de mínimos cuadrados, las dos constantes desconocidas (log a, log b) se calculan con:

log(log )

;log( log )

aY

nb

X YX

= =∑ ∑∑ 2

Tabla 3: Transformación de la Función Consumo de una Función Exponencial en Semilogarítmica

Años en Consumo



Año Unidades X Y log Y XlogY X2 logYc Yc 1 -5 3 0.4771 -2.3856 25 0.36 2.3 2 -4 2 0.3010 -1.2041 16 0.44 2.7 3 -3 4 0.6021 -1.8062 9 0.52 3.3 4 -2 5 0.6990 -1.3979 4 0.60 3.9 5 -1 5 0.6990 -0.6990 1 0.68 4.8 6 0 7 0.8451 0.0000 0 0.76 5.7 7 +1 6 0.7782 0.7782 1 0.84 6.9 8 +2 8 0.9031 1.8062 4 0.92 8.3 9 +3 9 0.9542 2.8627 9 1.00 10 10 +4 12 1.0792 4.3167 16 1.08 12 11 +5 13 1.1139 5.5697 25 1.16 14.4 Σ 0 74 8.4519 7.8407 92 8.36 74.3

Sustituyendo:

log(log ) . .

log( log ) . .

aY

n

bX Y

X

= = =

= = =

∑

∑∑

8451911

0 76

7840592

0 082

Luego la ecuación de regresión transformada en logaritmos es:

log Yc = 0.76 + 0.08 X Los valores de cada Yci , donde (i) = 1,2,3... ...8,9,10,11; así se obtienen: lnYc1 = 0.76 + 0.08 (-5) = 0.76 - 0.4 = 0.36 ; su antilogaritmo es = 2.3 lnYc2 = 0.76 + 0.08 (-4) = 0.76 - 0.32 = 0.44 ; su antilogaritmo es = 2.7 lnYc3 = 0.76 + 0.08 (-3) = 0.76 - 0.24 = 0.52 ; su antilogaritmo es = 3.3 lnYc4 = 0.76 + 0.08 (-2) = 0.76 - 0.26 = 0.60 ; su antilogaritmo es = 3.9 lnYc5 = 0.76 + 0.08 (-1) = 0.76 - 0.08 = 0.68 ; su antilogaritmo es = 4.8 lnYc6 = 0.76 + 0.08 (0) = 0.76 - 0 = 0.76 ; su antilogaritmo es = 5.7 lnYc7 = 0.76 + 0.08 (1) = 0.76 + 0.08 = 0.84 ; su antilogaritmo es =6.9 lnYc8 = 0.76 + 0.08 (2) = 0.76 + 0.16 = 0.92 ; su antilogaritmo es = 8.3 lnYc9 = 0.76 + 0.08 (3) = 0.76 + 0.24 = 1.00 ; su antilogaritmo es = 10 lnYc10 = 0.76 + 0.08 (4) = 0.76 + 0.32 = 1.08 ; su antilogaritmo es = 12 lnYc11 = 0.76 + 0.08 (5) = 0.76 + 0.40 = 1.16 ; su antilogaritmo es = 14.4 Con estos resultados se pueden hacer en forma análoga los ejercicios anteriores: a) La prueba de significación estadística de los parámetros estimados



b) El cálculo de R2, r, R c) La prueba de la significación global con F IX.3.4 Función de Consumo Transformada a Forma Lineal Semilogarítmica, Usando Logaritmos Naturales Para los años 1,2,3,4 y 5 el consumo (Y) como el ingreso (X) expresados en miles de millones de pesos es: Tabla 4: Transformación de la Función Consumo e Ingreso de la Forma Lineal a Semilogarítmica usando Logaritmos Naturales

Año

Y

X

lnY

_ ln yi = LnY-LnY

_ xi = X-X

ln yixi

X2

x i2

1 7 9 1.9459 -0.2751 -2.2 0.6053 81 4.84 2 8 10 2.0794 -0.1416 -1.2 0.1699 100 1.44 3 9 10 2.1972 -0.0239 -1.2 0.0286 100 1.44 4 11 13 2.3979 0.1768 1.8 0.3182 169 3.24 5 12 14 2.4849 0.2638 2.8 0.7387 196 7.84 Σ 47 56 11.1053 0 0 1.8609 646 18.8

Las respectivas medias están dadas por:

2.11556ln

22.251053.11ln

==

==

X

Y

a) Encontrar la ecuación de regresión con y = f (x) Con esa información sustituimos en las fórmulas de los estimadores de los parámetros y encontramos:

1124.1)2.11(0988.022.2ˆlogˆln

0989.08.18

8609.1lnˆln2

=−=−=

===∑

∑

XbYa

xyx

bi

ii

Luego entonces la ecuación de regresión será: ln Yc = 1.1124 + 0.0989X b) Probar la significación estadística de los parámetros estimados.



Para ello primero se debe obtener ln $y , luego e, e S S Si b a2 2, , ,$ $∑ cuyos cálculos son:

ln Yc1 = 1.1124 + 0.0989 (9) = 2.003 * * * ln Yc5 = 1.1124 + 0.0989 (14) = 2.498 Continuación... ...Tabla 4: Transformación de la Función Consumo e Ingreso de la Forma Lineal a Semilogarítmica usando Logaritmos Naturales Años lnYc e=lnY-lnYc e i

2 Lnyi2

1 2.0033 -0.0575 0.0032 0.0756 2 2.1022 -0.0228 0.0005 0.0201 3 2.1022 0.0949 0.0090 0.0015 4 2.3992 -0.0013 0.0001 0.03125 5 2.4982 -0.0133 0.0002 0.0695 Σ 0 0.013 0.1972

Primero calculamos: Se

n ki22 0 013

5 20 0043=

−=

−=∑ . .

luego: 0299.0)8.18(5

)649(0043.021

222ˆ =

=

−=

∑∑∑

xnX

kne

S ia

por consiguiente S Sa a$ $ . .= = =2 0 0299 01730 también:

Se

n k x

S S

bi

i

b b

$

$ $

..

.

. .

22

2

2

1 0 0043 1188

0 0023

0 00023 00151

=−

=

=

= = =

∑∑

Con ello establecemos:

Ho: a = 0 Ho: b = 0 HA: a ≠ 0 HA: b ≠ 0



t a aSa

a=

−=

−=

$ ..

.$

11124 001730

6 4293 t b bSb

b

=−

=−

=$ .

..

$

0 0989 00 0151

6 5179

Con α =5% y 3 grados de libertad hallamos tα = ±3182. que es menor que ta, tb, por lo que decimos que a, b son significativamente diferentes de cero, es decir que se acepta la hipótesis alternativa; ello indica que si hay relación entre el consumo (Y) y el ingreso (X). c) Obtener R2, r:

Rey

oi

i

22

21 1 0 013001972

0 934 934= − = − =∑∑

.

.. . %

Lo anterior indica que X explica el 93.4% de los cambios que suceden en Y. En seguida obtenemos: r R= = =2 0934 0 9664. .

Lo cual significa que hay una alta correlación positiva entre X e Y, es decir, a medida que aumenta X, también lo hace Y de acuerdo con el valor de la pendiente $b . d) Predicción: Digamos que para 6 la variable X = 16 y se desea estimar el valor de Y para ese año. Sustituimos: lnYc = 1.1124 + 0.0989 (16) = 2.6962, cuyo antilogaritmo es 14.8, que es el valor estimado del consumo Y en el año 6. e) Límites de Confianza: Si se desea calcular el intervalo dentro del cual se halla contenido el valor real de Y con cierta probabilidad para el año 6, aplicamos la siguiente fórmula:

Y Yc t S f= ± α donde: Sf = error de predicción

005.0)23.01(0043.0

44.35396.122.010043.0

)8.18()2.118.14(

511

)()(11 2

22

21

222

=+=

=

++=

−++=

−−

++=∑

SXX

XYcn

SS f

luego Sf = 007. y si α = 5%; tα = ±3182. y n-k =3 tenemos:

Y Yc t SYY

f= ±= ±= ±

α

14 8 3182 00714 8 0 22

. . ( . )

. .



Interpretación: El valor real de Y para 1997 está en el intervalo de confianza 14.8 ± 0.22, con una probabilidad del 95%, cuyo limite inferior es 14.58 y el superior es 15.02. Comentarios: El ajuste con la función semilogarítmica es mejor que el ajuste con las formas lineales y polinomiales.



IX.4 Apl i caci ón de Formas Funcionales en los Modelos de Regresión

Se trabaja principalmente con modelos que son lineales en los parámetros, los cuales pueden ser o no lineales en las variables. Se consideraran algunos modelos de regresión más comúnmente útilizados, que pueden ser no lineales en las variables pero que son lineales en los parámetros o que pueden serlo mediante transformaciones apropiadas de las variables. En particular, se analizarán los siguientes modelos de regresión:

1. El modelo log-lineal 2. Modelos semilogarítmicos 3. Modelos recíprocos 4. El modelo logarítmico recíproco

Se analizan las características especiales de cada modelo, los casos en los cuales su uso es apropiado y la forma como éstos son estimados.

1.- Cómo Medir la Elasticidad: modelo log-lineal Considérese el siguiente modelo, conocido como el modelo de regresión exponencial:

ieXY iiiµββ 2= 1

el cual puede ser expresado alternativamente como:

iiii XY µββ ++= lnlnln 2 2 Obsérvense estas propiedades de los logaritmos: 1) In(AB) = In A + In B, 2) In(A/B) = In A - In B y 3) In(Ak) = k In A, suponiendo que A y B son positivos y donde k es alguna constante. donde In = logaritmo natural (es decir, logaritmo en base e y donde e = 2.718). Si se escribe (2) como

iii XY µβα ++= lnln 2 3 donde α = In β1 este modelo es lineal en los parámetros α y β2, lineal en los logaritmos de las variables Y y X y puede ser estimado por regresión MCO. Debido a esta linealidad, tales modelos se denominan modelos log-log, doble-Iog, o log-lineales. . S i l os supue stos de l mode l o cl ás i co de re gre s i ón l i ne al se cumpl e n, l os paráme tros de (3) pue de n se r e s ti mados por e l mé todo MCO cons i de rando que

iii XY µβα ++= *2

* 4



donde *iY = In Yi y *

iX = In Xi'. Los estimadores MCO obtenidos, α y 2β serán los mejores estimadores lineales insesgados de α y β2 respectivamente.

Una característica importante del modelo log-log, que lo ha hecho muy popular en el trabajo empírico, es que el coeficiente de la pendiente β2 mide la elasticidad de Y con respecto a X, es decir, el cambio porcentual en Y ante un pequeño cambio porcentual en X dado1. Así, si Y representa la cantidad demandada de un bien y X su precio unitario, �2 mide la elasticidad-precio de la demanda, un parámetro de gran interés en economía. Si la relación entre la cantidad demandada y el precio es como se muestra en la figura a, la transformación doble-Iog presentada en la figura b dará entonces la estimación de la elasticidad-precio (-β2). Figura Modelo de Elasticidad Constante. (a) y (b)

Pueden observarse dos características especiales del modelo log-lineal: el modelo supone que el coeficiente de la elasticidad entre Y y X, β2 permanece constante a través del tiempo (¿por qué?) de

1 El coef iciente de la elasticidad, en la notación de cálculo, se def ine como (dY/Y)/(dX/X) = [(dY/ dX)(X/Y)]. Nota técnica: Se observa que d(ln X)/dX = 1/X o d(ln X) = dX/X, es decir, para cambios inf initesimalmente pequeños (obsérvese el operador dif erencial d), un cambio en In X es igual al cambio relativ o o proporcional en X. En la práctica, sin embargo, si el cambio en X es pequeño, esta relación puede escribirse como: cambio en In X ≅ cambio relativ o en X, donde ≅ signif ica aproximadamente. Así, para cambios pequeños,

(In Xt - In Xt-1) ≅ (Xt – Xt-1)/Xt-1 = cambio relativ o en X A propósito, se deberá observar estos términos, a los que se hace referencia frecuentemente:

1) cambio absoluto,

2) cambio relativ o o proporcional y

3) cambio porcentual o tasa de crecimiento porcentual.

Así, (Xt – Xt-1) representa un cambio absoluto, (Xt – Xt-1)/Xt-1 = (Xt/Xt-1-1) es un cambio relativ o o proporcional y [(Xt – Xt-1)/Xt-1]IOO es el cambio porcentual, o la tasa de crecimiento. Xt y Xt-1 son los v alores actual y anterior de la v ariable X, respectiv amente.



aquí su nombre alterno modelo de elasticidad constante2. En otras palabras, como lo indica la figura b, el cambio en In Y por unidad de cambio en In X (es decir, la elasticidad, β2; permanece igual sin importar en cuál ln X se mide la elasticidad. Otro aspecto del modelo es que a pesar de que α y

2β son estimadores insesgados de α y β2, β1 (el parámetro del modelo original) al ser estimado como

1β = antilog (α ) es, de por sí, un estimador sesgado. En la mayor parte de los problemas prácticos, sin embargo, el término intersección es de importancia secundaria y no es necesario preocuparse por obtener este estimador insesgado.

En el modelo de dos variables, la forma más simple de decidir si el modelo log-lineal se ajusta a los datos es graficar el diagrama de dispersión de In Yi frente a In Xi y ver si las observaciones caen aproximadamente sobre una línea recta como en la figura b. EJEMPLO 1: GASTO EN BIENES DURADEROS RESPECTO AL GASTO DE CONSUMO PERSONAL TOTAL La tabla 1 muestra los datos sobre el gasto de consumo personal total (GCPERT), el gasto en bienes duraderos (GASBD), el gasto en bienes perecederos (GASBPER) y el gasto en servicios (GASERV), todos medidos en millones de dólares de 1992.2

Supóngase que se desea calcular la elasticidad del gasto en bienes durables respecto al gasto de consumo personal total. Al graficar el logaritmo del gasto en bienes durables en comparación con el logaritmo del gasto de consumo personal total, se observará que la relación entre las dos variables es lineal. Por tanto, el modelo del doble logaritmo podría resultar adecuado. Los resultados de la regresión son:

ln GASBDt = -936971 + 1.9056 lnGCPERTt ee = (0.4341) (0.0514) t = (-22.3370)* (37.0962)* R2 = 0.9849

donde * indica que el valor p es extremadamente pequeño,

Todos estos resultados muestran que la elasticidad de GASBD respecto a GCPERT es de casi 1.90, lo que sugiere que si el gasto personal total aumenta 1%, en promedio, el gasto en bienes duraderos se incrementa casi 1.90%, En consecuencia, el gasto en bienes duraderos es muy sensible a 2 Un modelo de elasticidad constante permitirá obtener un cambio en el ingreso total constante ante un cambio porcentual dado en precios sin importar el niv el absoluto del precio. Se debe contrastar este resultado con las

condiciones de elasticidad implicadas en una f unción de demanda lineal simple. iiii XY µββ ++= 2 . Sin

embargo, una f unción lineal simple permite obtener un cambio constante en la cantidad generado por un cambio unitario en el precio. Conf ronte esto con le que implica el modelo log-lineal para un cambio dado en el precio del dólar.



los cambios en el gasto de consumo personal. Ésta es una razón por la que los productores de bienes duraderos siguen muy de cerca los cambios en el ingreso personal y el gasto de consumo personal.

2.- Modelos Semilogarítmicos: log-lin y lin-log

Cómo medir la tasa de crecimiento: Modelo Log-Lin

Los economistas, la gente de negocios y los gobiernos frecuentemente están interesados en encontrar la tasa de crecimiento de ciertas variables económicas, tales como población, PIB, oferta monetaria, empleo, productividad, déficit comercial, etc.

Supóngase que se desea saber la tasa de crecimiento del gasto de consumo personal en servicios para los siguientes datos (ver tabla 1). Sea Yt el gasto real en servicios en el tiempo t, y Yo el valor inicial del gasto en servicios (es decir, el valor al final del cuarto trimestre de 1992). Se ha de recordar la fórmula del interés compuesto.

tt rYY )1(0 += 5

donde r es tasa de crecimiento compuesta de Y (es decir, a través del tiempo). Tomando el logaritmo natural de (5), podemos escribir

)1ln(lnln 0 rtYYt ++= 6 Ahora sea

01 lnY=β 7 )1ln(2 r+=β 8

Se puede escribir (5) así

ttY21ln ββ += 9

Agregando el término de perturbación a (9), se obtiene3 tt tY µββ ++=

21ln 10 Este modelo es igual a cualquier otro modelo de regresión lineal en el sentido de que los parámetros β1

y β2, son lineales. La única diferencia es que la variable dependiente o regresada es el logaritmo de Y y el regresor o variable explicativa es el "tiempo", que adquiere valores de 1,2,3, etc. Modelos como (10) se denominan modelos semilog porque solamente una variable (en este caso la dependiente) aparece en forma logarítmica. Para fines descriptivos, un modelo en el cual la variable regresada es logarítmica se denominará modelo log-lin. Antes de presentar los resultados de la

3 Se agrega el término error porque la f órmula de interés compuesto no se cumple exactamente.



regresión, examínense las propiedades del modelo (9). En este modelo el coeficiente de la pendiente mide el cambio proporcional constante o relativo en Y para un cambio absoluto dado en el valor de la variable independiente (en este caso la variable t), es decir,4

nteindependieiablelaenabsolutorelativocambio

edependientiablelaenrelativocambio

var

var2 =β 11

Si se multiplica el cambio relativo en Y por 100, (11) dará entonces el cambio porcentual, o la tasa de crecimiento, en Y ocasionada por un cambio absoluto en X, la variable independiente. Es decir, 100 por β2 da como resultado la tasa de crecimiento en Y; 100 por β2 se conoce en la literatura como la semielasticidad de Y respecto a X. EJEMPLO 2: LA TASA DE CRECIMIENTO DEL GASTO EN SERVICIOS Para ilustrar el modelo de crecimiento (10), considere los datos sobre el gasto en servicios proporcionados en la tabla 1. Los resultados de la regresión son los siguientes: In GASER, = 7.7890 + 0.00743t ee = (0.0023) (0.00017) t = (3387.619)* (44.2826)* R2 = 0.9894 Nota: GASER significa gasto en servicios y el asterisco (*) denota que el valor p es extremadamente pequeño. La interpretación de la ecuación es que durante un periodo de un trimestre (del primero al tercero de 1993), el gasto en servicios se incrementó a una tasa (trimestral) de 0.743%. Aproximadamente esto es igual a un crecimiento anual de 2.972%. Puesto que 7.7890 = log de GES al comienzo del periodo de análisis, si se toma su antilogaritmo se tiene 2.41390 (billones de dólares), como el valor inicial de GES (es decir, el valor al final del último trimestre de 1992). La recta de regresión obtenida mediante la ecuación del ejemplo 2, se ilustra en la figura c.

Figura c

4 Util izando cálculo diferencial. se puede demostrar que β2 = d(ln Y)ldX = (1/Y)(dYldX) = (dYIY)ldX, que no es otra cosa que (11). Para cambios pequeños en Y y en X, esta relación puede aproximarse mediante

( )( )1

11 /

−

−−

−−

tt

ttt

XXYYY

Nota: aquí X = t.



Tasa de crecimiento instantánea vs. compuesta. El coeficiente da la tasa de crecimieto instantánea (en un punto del tiempo) y no la compuesta (durante un periodo). Pero esta última puede encontrarse a partir de (8): obtener el antilogaritmo de la β2 estimada, restarle 1 y multiplicar la diferencia por 100. Por tanto, para el ejemplo, el coeficiente de la pendiente estimado es 0.00743. Así pues, [antilog(0.00743) - 1] = 0.00746 o 0.746%. En consecuencia, en el ejemplo ilustrativo la tasa compuesta de crecimiento de gastos en servicios fue de casi 0.746% por trimestre, lo cual es un poco mayor que la tasa de crecimiento instantánea de 0.743%. Lo anterior se debe, por supuesto, al efecto compuesto.

Modelo de tendencia lineal En lugar de estimar el modelo (10), los investigadores algunas veces estiman el siguiente modelo:

tt tY µββ ++=21 12

Es decir, en lugar de hacer la regresión para el log de Y sobre el tiempo, lo hacen para Y sobre el tiempo. Un modelo de este tipo se denomina modelo de tendencia lineal y la variable tiempo t se conoce como la variable de tendencia. Si el coeficiente de la pendiente en (12) es positivo, existe una tendencia creciente en Y, mientras que si es negativa, existe una tendencia decreciente en Y.

Para los datos concernientes con el gasto en servicios que se analizaron antes, los resultados de ajustar el modelo de tendencia lineal (12) son los siguientes:

Ejemplo 3 de la Tabla 1 GASERt = 2 405.848 + 19.6920t t = (322.9855) (36.2479)

R2= 0.9843 "En contraste con la ecuación anterior, la interpretación es la siguiente: durante el periodo trimestral (del primero al tercero de 1993), en promedio, el gasto en servicios se incrementó a una tasa absoluta (nota: no relativa) de casi 20 mil millones de dólares por trimestre. Es decir, hubo una tendencia creciente en el gasto en servicios. La elección entre el modelo de crecimiento del ejemplo 2 y el modelo de tendencia lineal del ejemplo 3, dependerá de si se está interesado en el cambio relativo o absoluto en el gasto en servicios aunque, para propósitos de comparación, es el cambio relativo el que tiene mayor importancia. Es necesario observar que no se puede comparar los valores de R2 de los modelos de los ejemplos 2 y 3 porque las variables dependientes son diferentes en los dos modelos.



El modelo Lin-Log

A diferencia del modelo de crecimiento recién estudiado, en el cual se estaba interesado en encontrar el crecimiento porcentual en Y, ante un cambio unitario absoluto en X, ahora hay interés en encontrar el cambio absoluto en Y debido a un cambio porcentual en X. Un modelo que puede lograr este propósito puede escribirse como

iiii XY µββ ++= ln2 13 Para fines descriptivos, llamamos a este modelo un modelo lin-log. Interprétese el coeficiente de la pendiente β2.5 Como es usual,

Xencambio

Yencambio

ln2 =β o

Xenrelativocambio

Yencambio=2β

El segundo paso se basa en el hecho de que un cambio en el log de un número es un cambio relativo. Simbólicamente, se tiene

XXY/2 ∆

∆=β 14

donde, como es usual, ∆ denota un cambio pequeño. La ecuación anterior puede ser escrita en forma equivalente así:

∆Y =β2(∆X/X) 15 Esta ecuación plantea que el cambio absoluto en Y (= ∆Y) es igual a la pendiente multiplicada por el cambio relativo en X. S i este último es multiplicado por 100, entonces (∆Y =β2(∆X/X)) da el cambio absoluto en Y ocasionado por un cambio porcentual en X. Así, si ∆X/X cambia en 0.01 unidades (o 1 %), el cambio absoluto en Y es 0.01(β2). Por tanto, si en una aplicación se encuentra que β2 = 500, entonces el cambio absoluto en Y es (0.01)(500), o 5.0. Por consiguiente, cuando se utiliza MCO para estimar regresiones como en (13), se debe multiplicar el valor del coeficiente de la pendiente estimado, β2 por 0.01 o, lo que es lo mismo, dividido entre 100. Si no se tiene lo anterior presente, la interpretación en una aplicación será muy equivocada.

5 Nuev amente, utilizando cálculo dif erencial, se tiene

=

XdXdY 1

2β Por consiguiente,

XXY

xdXdY

/22 ∆∆

=== ββ



La pregunta práctica es: ¿cuándo resulta útil un modelo lin-log como el (13)? Se ha encontrado una interesante aplicación en los así conocidos modelos de gasto Engel. Postuló que "el gasto total que se dedica a los alimentos tiende a incrementarse en progresión aritmética, mientras que el gasto total aumenta en progresión geométrica" . EJEMPLO 4: Los datos para el modelo lin-log, se observan en la tabla 2 además si se grafican estos, se obtiene la gráfica de la figura d. Tal y como esta figura sugiere, el gasto alimenticio se incrementa en forma más lenta, conforme el gasto total aumenta, lo cual quizá proporcione sustento a la ley de Engels. Los resultados de ajustar el modelo lin-Iog a los datos son los siguientes: GASALi= -1283.912 + 257.2700 In GASTOTi

t= (-4.3848)* (5.6625)* R2 = 0.3769

Nota: (*) denota un valor p extremadamente pequeño. Interpretado de la forma antes descrita, el coeficiente de la pendiente, que vale casi 257, significa que un incremento en el gasto total en alimentos de 1 %, en promedio, propicia un incremento de casi 2.57 rupias en el gasto en alimento de las 55 familias incluidas en la muestra. (Nota: se dividió el coeficiente estimado de la pendiente entre 100.) Antes de seguir, obsérvese que si se desea calcular el coeficiente de elasticidad para los modelos lin-Iog o log-lin, se puede hacer a partir de la definición del coeficiente de elasticidad dada antes, a saber:

YX

dXdYdElasticida =

En la práctica, una vez que se conoce la forma funcional de un modelo, se pueden calcular las elasticidades aplicando la anterior definición. Figura d



3.- Modelos Reciprocos Los modelos del siguiente tipo se conocen como modelos recíprocos.

ii

i XY µββ +

+=

121 16

A pesar de que este modelo es no lineal en la variable X porque entra inversamente o en forma recíproca, el modelo es lineal en β1 y β2 y, por consiguiente, es un modelo de regresión lineal.6 Este modelo tiene las siguientes características: a medida que X aumenta indefinidamente, el término β2 (1/X) se acerca a cero (nota: β2 es una constante) y Y se aproxima al valor límite o asintótico β1. Por consiguiente, modelos tales como (16) contienen un valor asintótico o límite que tomará la variable dependiente cuando el valor de la variable X aumente indefinidamente.7

Algunas formas probables de la curva correspondiente a (16) se muestran a continuación. Como

un ejemplo de la figura e, considérense los datos proporcionados en la tabla 3.

Figura Modelo Recíproco: ii

i XY µββ +

+=

121 e

6 Si se def ine que *iX = (1/X), entonces i

ii X

Y µββ +

+=

121 es lineal en los parámetros al igual que en las

v ariables Yi y *iX

7La pendiente de ii

i XY µββ +

+=

121 es: dY/dX = -β2 (1/X2), e implica que si β2 es positiv o, la pendiente

siempre es negativ a y si β2 es negativ a, la pendiente es positiv a. Véanse f iguras e y g, respectiv amente.



Éstos son datos representativos de 64 países respecto a la mortalidad infantil y a otras variables. Por el momento, hay que concentrarse en las variables de mortalidad infantil (MI) y PIB percápita (PIBPC), mismas que se grafican en la figura h.

Figura h



Figura Modelo Recíproco: ii

i XY µββ +

+=

121 f y g

Como puede observarse, esta figura se parece a la figura a conforme el PIB per cápita se

incrementa, se esperaría que la mortalidad infantil disminuyera, debido a que las personas pueden gastar más en el cuidado de la salud, si se supone que los otros factores permanecen constantes. Pero la relación no da como resultado una recta: conforme el PIB per cápita se incrementa, al principio existe una disminución drástica en la MI, pero ésta va disminuyendo en la medida que el PIB per cápita sigue aumentando.

Si se trata de ajustar el modelo recíproco (16), se obtienen los siguientes resultados:

Ejemplo 5 de la Tabla 3

MIi = 81.79436 + 27 237.17

iPIBPC1

ee = (10.8321) (3759.999) t = (7.5511) (7.2535)

R2 = 0.4590 Conforme el PIB per cápita se incrementa indefinidamente, la mortalidad infantil se acerca a su valor asintótico de casi 82 muertes por cada millar. Como se explicó en la nota 6, el valor positivo del coeficiente de (1/PIBPCi) implica que la tasa de cambio de la MI con respecto al PIBPC es negativa. Una de las aplicaciones importantes de la figura f es la conocida curva de Phillips de macroeconomía. Con base en los datos de tasa de cambio porcentual de los salarios nominales (Y) y la tasa porcentual de desempleo (X) para el Reino Unido durante el periodo 1861 a 1957. Phillips obtuvo una curva cuya forma general se parece a la figura f y es reproducida en la figura i.



Como lo muestra la figura siguiente, existe asimetría en la respuesta de los cambios salariales al nivel de desempleo: si la tasa de desempleo está por debajo de U" (denominada por los economistas como tasa natural de desempleo) por cada unidad de cambio en el desempleo, los salarios aumentan con mayor rapidez de lo que caen debido a un cambio equivalente cuando la tasa de desempleo está por encima del nivel natural, β1 indicando la base asintótica para el cambio salarial. Este hecho particular de la curva de Phillips puede deberse a factores institucionales, tales como el poder de negociación de los sindicatos, los salarios mínimos, compensaciones por desempleo, etc. Figura Curva de Phillips i



Desde la publicación del artículo de Phillips, se ha llevado a cabo una muy extensa investigación

sobre la curva de Phillips tanto a nivel teórico como empírico. La curva de Phillips ha experimentado diversas encarnaciones. Una formulación comparativamente reciente la proporciona Olivier Blanchard, denota la tasa de inflación en el tiempo t, misma que se define como el cambio porcentual en el nivel de precios, medido por un índice de precios representativo, como el Índice de Precios al Consumidor (IPC), y si UNt denota la tasa de desempleo en el tiempo t, entonces la moderna versión de la curva de Phillips se expresa bajo el siguiente formato:

tn

tett UUN µβππ +−=− )(2 17

donde:

tπ = tasa real de inflación en el tiempo t. etπ = tasa real de inflación esperada en el tiempo t, donde la expectativa se forma en el año (t - 1)

UNt = tasa real de desempleo que prevalece en el tiempo t Un = tasa natural de desempleo en el tiempo t µt = término error estocástico

Puesto que etπ no se puede observar de manera directa, como punto de partida se puede

simplificar suponiendo que etπ = 1−tπ ; es decir, la inflación esperada este año es la tasa de inflación

que prevaleció el año anterior; por supuesto, se pueden hacer suposiciones más complicadas respecto a la formación de expectativas, en los modelos de retraso distribuido.

Al sustituir esta suposición en (17) y escribir el modelo de regresión en la forma estándar, se



obtiene la siguiente ecuación de estimación: tttt UN µββππ ++=− − 211 18

donde β1 = -β2 Un. La ecuación anterior establece que el cambio en la tasa de inflación entre los dos periodos está linealmente relacionado con la tasa de desempleo real. A priori, se espera que β2 sea negativa (¿por qué?) y β1 positiva (esto se debe a que β2 es negativa y Un es positiva).

A propósito, la relación Phillips dada en (17) se conoce en la literatura como la curva de Phillips

modificada, la curva de Phillips de expectativas aumentadas (para indicar que 1−tπ significa la inflación esperada), o la curva de Phillips aceleradora (para sugerir que una baja tasa de desempleo propicia un incremento en la tasa de inflación y por consiguiente provoca una aceleración del nivel de precios).

A manera de ilustración de la curva de Phillips modificada, en la tabla 4 se presentan datos sobre la inflación medida por el porcentaje anual en el Índice de Precios al Consumidor (IPCon inflación) y la tasa de desempleo para el periodo 1960-1998. La tasa de desempleo representa la tasa de desempleo civil. A partir de estos datos se obtuvo el cambio en la tasa de inflación ( 1−− tt ππ ) y se graficó respecto a la tasa de desempleo civil; se está utilizando el IPC como una medida de la inflación. La gráfica resultante aparece en la figura j.

Como se esperaba, la relación entre el cambio en la tasa de inflación y la tasa de desempleo es negativa (un desempleo bajo provoca un incremento en la tasa de inflación y por consiguiente una aceleración del nivel de precios, de ahí el nombre de curva aceleradora de Phillips).

Al observar la figura j, no resulta obvio si un modelo de regresión lineal (una recta) o un modelo

recíproco sea el que se ajuste con los datos; tal vez haya una relación curvilínea entre las dos variables. Sin embargo, hay que tener presente que para el modelo recíproco se espera que sea negativo el término intersección y la pendiente positiva, como se hizo énfasis en la nota 6.

Figura Curva de Phillips Modificada j

Ejemplo 6 de la Tabla 4: Modelo lineal: ( 1−− tt ππ ) = 4.1781 - 0.6895 UNt



t = (3.9521) (-4.0692) R2 = 0.3150 Para el modelo recíproco: Ejemplo 7 de la Tabla 4

( 1−− tt ππ ) = -3.2514 + 18.5508

tUN1

t = (-2.9715) (3.0625)

R2 = 0.2067 Todos los coeficientes estimados en ambos modelos son significativos estadística e individualmente, además todos los valores de p son menores que el nivel 0.005. El modelo del ejemplo 6 muestra que si la tasa de desempleo baja un punto porcentual, en promedio, el cambio en la tasa de inflación aumenta 0.7 puntos porcentuales, y viceversa. El modelo del ejemplo 7 revela que incluso si la tasa de desempleo se incrementara de manera indefinida, el máximo cambio en la tasa de inflación bajaría y sería de 3.25 puntos porcentuales. A propósito, de la ecuación del modelo 6, se puede calcular la tasa de desempleo natural subyacente, de la siguiente forma:

0596.66895.01781.4

ˆˆ

2

1 ==−

=ββnU 19

Es decir, la tasa de desempleo natural es de casi 6.06%. Los economistas sitúan la tasa natural entre el 5 y el 6%, aunque en años recientes la tasa real de desempleo para Estados Unidos ha sido mucho más baja.

4.- Modelo log hipérbola o recíproco logarítmico

Se concluy e este análisis de los modelos recíp rocos, estudiando el modelo recíp roco logarítmico, que toma la siguiente forma:

ii

i XY µββ +

−=

1ln 21 20

Su forma se ilustra en la figura k. Se muestra al principio Y se incrementa a una tasa creciente (es decir, la curva es convexa al inicio) y luego aumenta a una tasa decreciente (la curva se convierte en cóncava).8 20 Por consiguiente, este modelo sería apropiado para representar una función de

8 Del cálculo, se puede demostrar que

=

−−= 2222

11)(lnXX

YdXd ββ Pero

dXdY

YY

dXd 1)(ln =



producción a corto plazo. Recuerde que los cursos de microeconomía que si el trabajo y el capital son insumos en una función de producción y si se mantiene constante el insumo capital pero se incrementa el insumo trabajo, la relación entre producto y trabajo a corto plazo se parecerá a la figura k. Figura del Modelo Recíproco Logarítmico k

ELECCIÓN DE LA FORMA FUNCIONAL Se analizaron las distintas formas funcionales que un modelo empírico puede tomar, incluso dentro de los confines de los modelos de regresión lineal en el parámetro. La elección de una forma funcional particular puede ser relativamente fácil para el caso de dos variables, ya que se pueden graficar las variables y tener así una ligera idea respecto al modelo apropiado. La elección se vuelve mucho más complicada cuando se considera el modelo de regresión múltiple que involucra más de una variable independiente. 1. Es una buena práctica calcular la tasa de cambio (es decir, la pendiente) de la regresada, con respecto a la regresora, así como conocer la elasticidad de la regresada con respecto a la regresara. Para los diversos modelos estudiados en este capítulo, se proporcionan en la tabla 5 las fórmulas necesarias para los coeficientes de la pendiente y de la elasticidad de los distintos modelos. El conocimiento de tales fórmulas ayudarán a comparar los diversos modelos. 2. Los coeficientes del modelo escogido deberán satisfacer determinadas expectativas a priori. Por ejemplo, si se está considerando la demanda de automóviles como una función del precio y de otras variables, se deberá esperar un coeficiente negativo para la variable precio. 3. Algunas veces tal vez más de un modelo se ajuste razonablemente bien a un determinado conjunto de datos dados. En la curva de Phillips modificada, un modelo lineal y otro recíproco se ajustaron a

Al sustituir, se obtiene 22 XY

dXdY β= que es la pendiente de Y respecto a X.



los datos. En ambos casos, los coeficientes resultaron adecuados para las expectativas previas y fueron estadísticamente significativos. Una gran diferencia fue que el valor R2 del modelo lineal fue mayor que el del modelo recíproco. Por tanto, se podría tener una ligera preferencia por el modelo lineal en comparación con el recíproco. Pero se debe asegurar de que al comparar dos valores de R2 la variable dependiente (o regresada) de los dos modelos sea la misma; la(s) regresor(as) pueden tomar cualquier forma. 4. En general no se debe sobrevaluar la medición de R2 en el sentido de creer que mientras más alta sea r mejor será el modelo. Si R2 se incrementa conforme se añaden más regresoras al modelo. Lo que reviste mayor importancia es la justificación teórica del modelo elegido, los signos de los coeficientes estimados y su importancia estadística. Si un modelo es bueno bajo estos criterios, entonces quizá resulte aceptable un modelo con una R2 menor.

Tabla 5

Modelo Ecuación Pendiente

=

dXdY

Elasticidad

=

YX

dXdY

Lineal XY i 2ββ += β2

YX

2β

Log-lineal o log-Iog XY i lnln 2ββ +=

XY

2β β2

Log-lin XY i 2ln ββ += β2(Y) β2(Y)

Lin-Iog XY i ln2ββ +=

X1

2β

Y1

2β

Recíproco

+=

XY i

12ββ

− 22

1X

β

−

XY1

2β

Log recíproco

−=

XY i

1ln 2ββ

XY

2β

X1

2β



Tabla 1obs GASER GASBD GASBPER GCPERT1993.I 2445.3 504 1337.5 4286.81993.II 2455.9 519.3 1347.8 4322.81993.III 2480 529.9 1356.8 4366.61993.IV 2494.4 542.1 1361.8 43981994.I 2510.9 550.7 1378.4 4439.41994.II 2531.4 558.8 1385.5 4472.21994.III 2543.8 561.7 1393.2 4498.21994.IV 2555.9 576.6 1402.5 4534.11995.I 2570.4 575.2 1410.4 4555.31995.II 2594.8 583.5 1415.9 4593.61995.III 2610.3 595.3 1418.5 4623.41995.IV 2622.9 602.4 1425.6 46501996.I 2648.5 611 1433.5 4692.11996.II 2668.4 629.5 1450.4 4746.61996.III 2688.1 626.5 1454.7 4768.31996.IV 2701.7 637.5 1465.1 4802.61997.I 2722.1 656.3 1477.9 4853.41997.II 2743.6 653.8 1477.1 4872.71997.III 2775.4 679.6 1495.7 49471997.IV 2804.8 648.8 1494.3 49811998.I 2829.3 710.3 1521.2 5055.11998.II 2866.8 729.4 1540.9 5130.21998.III 2904.8 733.7 1549.1 5181.8

GASER = Gasto en serviciosGASBD = Gasto en bienes duraderosGASBPER = Gasto en bienes perecederosGCPERT = Gasto de consumo personal

Dependent Variable: LNGASBD Method: Least Squares Sample: 1993:1 1998:3 Included observations: 23

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -9.697098 0.434127 -22.33702 0.0000



LNGCPERT 1.905633 0.051370 37.09622 0.0000

R-squared 0.984969 Mean dependent var 6.407036Adjusted R-squared 0.984253 S.D. dependent var 0.106162S.E. of regression 0.013322 Akaike info criterion -

5.715894Sum squared resid 0.003727 Schwarz criterion -

5.617155Log likelihood 67.73278 F-statistic 1376.130Durbin-Watson stat 2.363903 Prob(F-statistic) 0.000000

Dependent Variable: LNGASER Method: Least Squares Sample: 1993:1 1998:3 Included observations: 23


C 7.789009 0.002299 3387.619 0.0000TIEMPO 0.007426 0.000168 44.28262 0.0000

R-squared 0.989404 Mean dependent var 7.878118Adjusted R-squared 0.988900 S.D. dependent var 0.050633S.E. of regression 0.005335 Akaike info criterion -

7.546278Sum squared resid 0.000598 Schwarz criterion -

7.447539Log likelihood 88.78220 F-statistic 1960.950Durbin-Watson stat 0.257547 Prob(F-statistic) 0.000000

Dependent Variable: GASER Method: Least Squares Sample: 1993:1 1998:3 Included observations: 23


C 2405.848 7.448782 322.9855 0.0000TIEMPO 19.69200 0.543258 36.24795 0.0000

R-squared 0.984269 Mean dependent var 2642.152Adjusted R-squared 0.983520 S.D. dependent var 134.6207S.E. of regression 17.28210 Akaike info criterion 8.620161Sum squared resid 6272.093 Schwarz criterion 8.718900Log likelihood -97.13185 F-statistic 1313.914



Durbin-Watson stat 0.216969 Prob(F-statistic) 0.000000



Tabla 2obs GASAL GASTOT obs GASAL GASTOT

1 217 382 31 470 6632 196 388 32 322 6773 303 391 33 540 6804 270 415 34 433 6905 325 456 35 295 6956 260 460 36 340 6957 300 472 37 500 6958 325 478 38 450 7209 336 494 39 415 721

10 345 516 40 540 73011 325 525 41 360 73112 362 554 42 450 73313 315 575 43 395 74514 355 579 44 430 75115 325 585 45 332 75216 370 586 46 397 75217 390 590 47 446 76918 420 608 48 480 77319 410 610 49 352 77320 383 616 50 410 77521 315 618 51 380 78522 267 623 52 610 78823 420 627 53 530 79024 300 630 54 360 79525 410 635 55 305 80126 220 64027 403 648 GASAL= Gasto en Alimentos28 350 650 GASTOT= Gasto Total29 390 65530 385 662

Dependent Variable: GASAL Method: Least Squares Sample: 1 55 Included observations: 55


C -1283.912 292.8105 -4.384788 0.0001LNGASTOT 257.2700 45.43413 5.662484 0.0000

R-squared 0.376938 Mean dependent var 373.3455Adjusted R-squared 0.365182 S.D. dependent var 83.43510S.E. of regression 66.47732 Akaike info criterion 11.26728Sum squared resid 234219.4 Schwarz criterion 11.34028Log likelihood -307.8503 F-statistic 32.06372Durbin-Watson stat 2.104537 Prob(F-statistic) 0.000001



Tabla 3

Obs MI TAF PIBPC TFT Obs MI TAF PIBPC TFT1 128 37 1870 6.66 36 41 66 1620 3.912 204 22 130 6.15 37 312 11 190 6.73 202 16 310 7 38 77 88 2090 4.24 197 65 570 6.25 39 142 22 900 5.435 96 76 2050 3.81 40 262 22 230 6.56 209 26 200 6.44 41 215 12 140 6.257 170 45 670 6.19 42 246 9 330 7.18 240 29 300 5.89 43 191 31 1010 7.19 241 11 120 5.89 44 182 19 300 7

10 55 55 290 2.36 45 37 88 1730 3.4611 75 87 1180 3.93 46 103 35 780 5.6612 129 55 900 5.99 47 67 85 1300 4.8213 24 93 1730 3.5 48 143 78 930 514 165 31 1150 7.41 49 83 85 690 4.7415 94 77 1160 4.21 50 223 33 200 8.4916 96 80 1270 5 51 240 19 450 6.517 148 30 580 5.27 52 312 21 280 6.518 98 69 660 5.21 53 12 79 4430 1.6919 161 43 420 6.5 54 52 83 270 3.2520 118 47 1080 6.12 55 79 43 1340 7.1721 269 17 290 6.19 56 61 88 670 3.5222 189 35 270 5.05 57 168 28 410 6.0923 126 58 560 6.16 58 28 95 4370 2.8624 12 81 4240 1.8 59 121 41 1310 4.8825 167 29 240 4.75 60 115 62 1470 3.8926 135 65 430 4.1 61 186 45 300 6.927 107 87 3020 6.66 62 47 85 3630 4.128 72 63 1420 7.28 63 178 45 220 6.0929 128 49 420 8.12 64 142 67 560 7.230 27 63 19830 5.2331 152 84 420 5.79 MI = Mortalidad Infantil32 224 23 530 6.5 TAF = Tasa de alfabetismo femenina33 142 50 8640 7.17 PIBPC =Pib per capita en 198034 104 62 350 6.6 TFT = Tasa de ferti lidad total35 287 31 230 7

Fertil idad y otros datos para 64 paises



Dependent Variable: MI Method: Least Squares Sample: 1 64 Included observations: 64


C 81.79436 10.83206 7.551136 0.00001/PIBPC 27273.17 3759.999 7.253503 0.0000

R-squared 0.459051 Mean dependent var 141.5000Adjusted R-squared 0.450326 S.D. dependent var 75.97807S.E. of regression 56.33016 Akaike info criterion 10.93109Sum squared resid 196731.4 Schwarz criterion 10.99855Log likelihood -347.7948 F-statistic 52.61330Durbin-Watson stat 1.959368 Prob(F-statistic) 0.000000

Tabla 4

Año TSINF TSDES Año TSINF TSDES1960 1.7 5.5 1985 3.6 7.21961 1 6.7 1986 1.9 71962 1 5.5 1987 3.6 6.21963 1.3 5.7 1988 4.1 5.51964 1.3 5.2 1989 4.8 5.31965 1.6 4.5 1990 5.4 5.61966 2.9 3.8 1991 4.2 6.81967 3.1 3.8 1992 3 7.51968 4.2 3.6 1993 3 6.91969 5.5 3.5 1994 2.6 6.11970 5.7 4.9 1995 2.8 5.61971 4.4 5.9 1996 3 5.41972 3.2 5.6 1997 2.3 4.91973 6.2 4.9 1998 1.6 4.51974 11 5.61975 9.1 8.5 TSINF=Tasa de inflación1976 5.8 7.7 TSDES=Tasa de desempleo1977 6.5 7.11978 7.6 6.11979 11.3 5.81980 13.5 7.11981 10.3 7.61982 6.2 9.71983 3.2 9.61984 4.3 7.5

Tasas de inflación y de desempleo para USA, 1960-1998



Curso de introducción a la econometría: Facultad de Economía de la UNAM Dr. Genaro Sánchez Barajas : Cuarto examen parcial. Nombre del alumno………………………………………………………calif_______ Tema: Marco teórico de la transformación de formas funcionales no lineales en lineales A.-Conteste con una “ X” en SI cuando la afirmación sea verdadera y también con una “ X” en NO cuando la afirmación sea falsa: 1.-El diagrama de dispersión, la elasticidad y R2 no ayudan a seleccionar la forma funcional adecuada para transformar la no lineal: Si___; No____. 2.- El especialista Dominick salvadores dice que “ Cuando ninguna teoría de la dispersión de puntos es de ayuda, la función lineal se trata usualmente primero debido a su simplicidad”: SI_____;NO_____. 3.-Las transformaciones de funciones no lineales a lineales mas útiles y comunes son la log-log,log-lin,lin-log, reciproca y polinomial: Si_____; No________ 4.- Al usar la log-log el coeficiente de la variable independiente es un estimador insesgado : SI:_______; NO:___________ 5.-Al usar la log-log la elasticidad de la variable regresada se obtiene directamente de los valores de las pendientes de las regresoras: SI:__; NO__. 6.-Al usar la log-log con las pendientes de las variables regresoras no siempre se obtienen economías de escala: SI___; NO____. 7.-Al usar la log-log si las variables regresoras son factores de la producción, con sus pendientes se pueden obtener economías de escala cuando la su suma es mayor que 1: SI____; NO______: 8.-Con la forma funcional semilogarítmica se puede calcular la tasa de crecimiento de la variable regresada con la pendiente de la regresora: SI____;NO_____. 9.- Con la forma funcional recíproca no se puede calcular la curva de Phillips: SI_____; NO____. :

10.- La siguiente es la fórmula de la elasticidad del modelo log recíproco:

X1

2β : SI____; NO______.

B. Observaciones: Cada una de las respuestas correctas vale 10 puntos en escala de 0 a 100. No se puede usar la calculadora, ni las tablas estadísticas ni la bibliografía correspondiente a cada tema.

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ya bX e $$ =+ +$ - Facultad de Economía - Universidad ... · PDF fileIntroducción a la Econometría 62 Profesor Genaro Sánchez Barajas VII. MODELO LINEAL SIMPLE, MLS: EJERCICIOS