YILDIZLARIN İÇ YAPI MODELLERİ

INTRODUCTION TO STELLAR ATMOSPHERES AND INTERIORS

EVA NOVOTNY

- Model B: Konvektif Zarf ve Radyatif Çekirdek - Yayınlanmış Tablolardan Elde Edilen Politropik İçyapı Modelleri

- Schwarzschild Dönüşümü

Sinan ALİŞ 2602050063

Haziran 2006

3. MODEL B : KONVEKTİF ZARF VE RADYATİF ÇEKİRDEK 3-1) PROBLEMİN TANIMI: Bu konunun amacı konvektif zarfı ve radyatif çekirdeği olan homojen bir model oluşturabilmektir. Bunun için öncelikle Güneş’in ilkel haline benzeyen bir model oluşturmaya çalışalım. İç yapı parametrelerini şu şekilde alalım: M = M =1.991 × 1033 gr, X = 0.72 Y = 0.26, Z =0.02 (μ = 0,679). Zarfın n = 1.5 politropik indeksine sahip olduğu varsayılmaktadır. Yüzeydeki sınır şartları: P = T = 0 ve r = R alınabilir. Eğer hesaplamaya yüzeyden başlarsak; R, L ve K değerlerini varsaymamız gerekir. Diğer yandan, merkezden başlarsak sadece Pc ve Tc değerlerini varsaymamız gerekir. Yoğunluğun sıfır olduğu Mr kütlesinin 1 M☼ olması gerekmez. Bu yaklaşımın avantajı, tek bir integrasyon ile ulaşılabilecek bir denge modeli olmasıdır. (Yanlış kütle bile olsa). Burada yapılan hesapların sonuçları gerçekte 0.6 M☼’lik bir model oluşturmaktadır. Önemli amacımız olan radyatif çekirdek ve konvektif zarf hesaplamalarını yansıtsa dahi başarısız bir ilk deneme olarak düşünülmektedir. Merkezi basınç ve sıcaklık, Pc = 157 × 1015 dyne cm-2, Tc = 1.200 × 107 °K olarak alınabilir. Bütün değerler, sınır şartlarını sağlayan tahminler olarak görülmektedir. Pc ve Tc’nin bazı kombinasyonları merkezde konveksiyonu oluştururken, diğerlerini tamamen radyatif yaratmaktadır. Bununla beraber diğerleri yarıçapla artan bir yoğunluk üretmektedirler ki; bu da ancak sıra dışı şartlarda görülebilir. Burada seçilen merkezi değerler istenen modeli oluşturmaktadır. 3-2) RADYATİF ÇEKİRDEK Öncelikle κ ve ε için karşılaşılan basınçlarla ve sıcaklıklarla uyumlu açık formülleri elde etmeliyiz. Pc ve Tc’ye karşılık gelen yoğunluk ρc = 96.41 g / cm-3

Opasiteyi Kramers’in bağlı-serbest geçişler için verdiği kanun ile ele aldık

1(1034.4 25

Zg

tbf

bf×

== κκ + X) 5.3Tρ

1

bf

tρ değeri de Tablo (10-15)’ten 20 olarak alınmıştır.

ffκ ve eσ ’nin hesaplamaları bfκ ’den dikkate değer ölçüde az çıkmaktadır. Burada da

ihmal edilmişlerdir. ε, enerji üretim hızının değeri Tablo (10-13A)’dan elde edilebilir. Burada hesaplanan model, bütün sıcaklıklar için şu ilişkiyi kullanmaktadır: ε = εpp = .100 X2 ρ T7

4

CN çevrimi bu düşük sıcaklıklarda etkili değildir ve ihmal edilmiştir. (Tablo 10-9) Şimdi Mr, P, Lr ve T için başlangıç değerini hesaplıyoruz. Mr = 0.4038 r3

P = 157 – 129.8r2

Lr = 4.185r3

T = 1.2 – 0.3695r2. Türevler, (10-13)’ten (10-16)’ya kadar olan denklemler ile hesaplanmıştır.

2009260.0 rTPh

drdMh r = (10-84)

2914.4rM

TPh

drdPh r−= (10-85)

2220003537.0 rThPdr

dLh r = (10-86)

25.8

2

00003374.0rL

TPh

drdTh r−= (10-87)

Başlangıç değerleri hesaplandığında, Mr ve Lr formülleri (10-85) ve (10-87) denklemlerinde yerine yazılmalıdır. Mr ve Lr sadece bir veya iki anlamlı basamağa sahiptirler. Daha sonra farklar hesaplanır. ( 1Δ, 2Δ, ...) Tablo (10-7)’deki veri seti oluşturulur. Bölüm (1-3A)’da belirtildiği gibi, integrasyon yapılır ve her satırdan sonra radyatif dengenin sağlanıp sağlanmadığına bakılır.

2

n + TdPd

loglog1 = (6-53) eşitsizliği kullanılarak,

n + 1drhdTdrhdP

PT

TdPd

//

loglog

== hesaplanır.

Değer 2.5’e düşünce integrasyon, konvektif sıcaklık gradyenti ile devam etmelidir. Tablo (10-7)’deki çekirdek sınırının yeterli doğruluğu r = 0.8’de olmaktadır. 3-3) KONVEKTİF ZARF Dönüştürülmüş değişkenler kullanılarak elde edilmiş olan çözümler adyabatik zarflar içindi. Ancak burada spesifik model için yeni bir model elde edilecektir. Artık P ve Lr için integrasyonlara devam edilmeyecektir. T için integrasyon tamamlandıktan sonra P’yi şu ilişkiden bulabiliriz: P = К’ T2.5,

К’, r = 0.8 de 5..2TP oranı olarak tanımlanmaktadır. Bununla beraber yuvarlama

hatalarını ve konvektif ve radyatif bölgelerin temel benzerliklerini elemine etmek için r = 1.2’ye kadar P’yi integre etmeye devam edilecektir.

h dT / dr türevi 24.0rM

kGH

drdT rμ−= (10-19) denkleminden hesaplanacaktır,

3

2965.1rMh

drdTh r−=

Lr’nin integrasyonu diğer integrasyonlar tamamlanana kadar ertelenebilir. Bu durumda h dLr / dr sütununun tamamı ve farklar, bir kerede hesaplanabilir ve sonra Lr, satır satır integrasyonla bulunur. r = 1.2 satırına ulaşıldığında К’ için ortalama ( r = 0.8’den r = 1.2’ye kadar) bulunur ; К’ = (P / T2.5)av=97.8 Bu değer modelin devamında P’nin hesabında kullanılır. (Tablo 10-8A). h dMr / dr değeri şimdi,

25.19057.0 rhTdr

dMh r = (10-88)

ifadesinden bulunabilir. (10-84) denklemlerindeki P / T, К’ T1.5 ile yer değiştirmiştir. Tablonun sonuna doğru Lr açıkça sabit bir değere ulaşmaktadır. Fakat r, Mr, ve T yüzey değerlerine ulaşmadan pek belli olmaz. Ekstrapolasyon yüzeyin, Mr = 1,194 ve r = 2.61 olduğunda ulaşılacağını söylemektedir. Bu değerleri kullanarak yüzeyin yakınında integrasyon başlatılmış ve içerilere doğru devam ettirilmiştir. (Tablo 10-8B). Sıcaklık için başlangıç değerleri denklem

)11(25.4 Rr

Mk

GHT −= μ (10-41)

ile verilmiştir.

)61.211(347.2 −=

rT

r = R dışındaki satırlarda Mr değeri sayısal integrasyon ile elde edilmiştir. Mr yüzeye yakın yerlerde yavaşça değiştiğinden 1Δ’in olması önemli bir hataya neden olmaktadır. h dMr / dr için denklem (10-88) kullanılmıştır. Daha önce olduğu gibi P şu şekilde hesaplanmıştır: P = 97.8 T2.5

Tablo (10-8A) ve Tablo (10-8B)’nin karşılaştırılması, yuvarlama hatalarının limitleri dahilinde uyum içindedir.

4

5

6

ρ , κ ve ε değerleri (Tablo 10-9)’da listelenmektedir. Sonuçta çıkan yapı Şekil (10-4A)’dan (10-4E)’ye kadar gösterilmektedir. 3-4) SONUÇLARIN TARTIŞILMASI Açıktır ki burada elde edilen model tasarlanandan daha az kütlelidir. Ana hedef olan 1 Güneş kütlesindeki model oluşturmayı gerçekleştirmek için Pc ve Tc’yi değiştirmemiz gerekiyor. (Yarıçap ve ışınımgücünün anakola uygun hale gelene kadar). Probleme bir diğer yaklaşım, tavsiye edilen kütleyi ve yarıçap, ışınımgücü ve К’ parametresi için tahmin edilen değerleri kullanarak, integrasyonu yüzeyden başlatmaktır.

Hesaplarımızda 0.6 M

☼’lik bir model elde etmemizden dolayı bunun yerini H-R

Diyagramında işaretlemek istiyoruz. Etkin sıcaklık L ve R’den bulunmuştur ve Şekil (10-5)’te görsel çift bileşenlere göre göreli konumu işaretlenmiştir.

7

Modelimizde Şekil (10-6)’da kütle – lüminozite ilişkisinde gayet iyi bir konumda olurken, H-R diyagramında anakolun solunda yer almıştır. Anakoldaki bir yıldızın yarıçapı ve lüminozitesi ile uyumlu ve aynı kütle ve kimyasal kompozisyonda bir model elde elde edebilmek için; Pc ve Tc’yi değiştirmek gerekmektedir. Gerçekçi bir modelde κ ve ε için daha doğru ifadelere ihtiyaç vardır. Maddenin iyonizasyon derecesi ve iyonlaşmadan dolayı ideal gaz kanunundan ayrılması da göz önüne alınmalıdır. Ayrıca modelin yarıçapı, yüzeyin yakınındaki konvektif tabakalar için kullanılan teoriye bağlıdır ve sınır şartları için en basit denklemler kullanılmıştır. Hatta, H2 molekülünün oluşumu, düşük sıcaklıklarda modeli önemli derecede etkilemektedir.

Bizim modelimiz, aynı kütleli ama şimdiye kadar bahsedilen iyileştirmeler yapılmış başka bir modelle karşılaştırılabilir. Örnek olarak Copeland ve ark (1970) çalışması verilebilir. Buradaki kimyasal kompozisyon X = 0.70 ve Y = 0.02 değerleri ile bizim kullandığımıza benzemektedir. Karışım uzunluğunun, yükseklik ölçeğine oranı 1.5’tir.

8

R / R☼ L/L☼ Teff (K) Tc (K) ρc (gm/cm3) Model B 0.375 0.40 7500 1.20x107 96.4 Copeland ve ark. 0.569 0.095 4270 0.99x107 91.2

*Bu model H. Copeland, J. O. Jensen ve H. E. Jorgensen tarafından hesaplanmıştır.

Daha doğru olan bu model, daha düşük bir merkezi sıcaklığa, yoğunluğa ve böylece daha düşük bir merkezi basınca sahiptir. Yüzey değerleri bu modeli aşağı anakola yerleştirmiştir.

Aslında bir altcüce yıldıza uygun bir model hesaplandığı görülebilir. Bununla beraber durum böyle değildir. Pop II yıldızlarının bir karakteristiği olarak, bu yıldızların bazıları düşük metal yoğunluğundan dolayı anakolun sol tarafında yer alırlar. Altcüce yıldızların atmosferlerinde morötesi ve mavi dalgaboyu bölgelerinde metal çizgilerinden dolayı Pop I yıldızlarında olduğundan çok daha az ışınım engellemesi olur. Dolayısıyla bu kısa dalgaboyu bölgesinde aynı ışınımgüçlü Pop I yıldızlarından daha yüksek oranda ışınım geçecektir. Blanketing etkisinin eksikliği hesaba katılarak, parlaklıkların ve renklerin düzeltilmesi ile bu altcüce yıldızlar Pop I anakoluna yakınlaşacaktırlar. Hyades kümesindeki gibi bulunan diğer düşük parlaklıklı yıldızlar muhtemelen daha farklı bir yapıya sahiptirler.

9

Değinilmesi gereken bir nokta daha vardır: Eğer hesaplamaya yüzeyden başlarsak, 2.5 değerine karşın dlogP / dlogT oranının test edilmesi ile, yüzey tabakalarının radyatif dengede olduklarını bulmalıyız. Şimdi tam tersinin doğru olduğunun bilinmesine rağmen, Güneş’e ait önceki modeller radyatif zarflar ve konvektif çekirdekle yapılmıştı. Göreli olarak ince olan tabakanın hemen altında konveksiyon bölgesi olduğunun gösterilmesi için Hidrojenin iyonizasyonu göz önüne alınmalıdır. Burada bunu ihmal etmekteyiz.

4. YAYINLANMIŞ TABLOLARDANDAN ELDE EDİLEN POLİTROPİK İÇYAPI MODELLERİ

4-1) GENEL TARTIŞMA

Lane – Emden denkleminin sonuç tablolarına ölçekleme faktörü uygularsak bazı yaklaşık sonuçlar elde edilir. Modeller, merkezden yüzeye yıldızlar, tamamen politropik göstermesine rağmen, yerlerini sayısal integrasyona dayanan yöntemlere bıraktılar. Bununla beraber basitlikten dolayı politropik modellerin hesaplanması daha öğreticidir. Kısım 2 ve 3’teki Model A ve B’yi karşılaştıracağımız modeller elde edilecektir.

10

On yıllar önce Eddington, aşağıdaki düşünceler ışığında basınç ve yoğunluk arasındaki ilişkiyi politropik forma dönüştürmüştür.

Pg = Gaz basıncı

Prad = radyasyon basıncı

P = Pg + Prad

β = PPg olsun

11

θθχχ υυ

2cos),(1)( ∫=

kürerad I

CP dw (2-11) denklemindeki Iν(θ)’yı Bν(T) ile

değiştirmek iyi bir yaklaşım olacaktır. Frekans üzerinden integre edilirse,

∫ ∫∞

=küre

rad dTBC

P0

2cos)(.1 θνν dw

=3

41 4 ππσ T

C elde edilir.

12

13

4.)( TTBπσ

= (1-9) denklemi kullanılarak

Prad = 31 a T4 = ( 1 - β ) P (10-89)

ve

Pg = PTHk βρμ

= (10-90) elde edilir

(10-90) denkleminden elde edilen T’yi elemine ederek ve (10-89)’ a bölerek,

343

1

44

)(1)(3 ρμβ

βμ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

Hk

aP (10-91)

elde edilir. Bu denklem (6-5)’deki forma sahiptir.

P = κ ργ (10-92)

Bu çıkarımın ρ’nun üssü olan γ’nın spesifik ısıların oranını yorumlamaya gerek duyulmadığına dikkat edilmelidir. β’nın değeri eğer radyatif denge varsa ve κLr / Mr

yıldızın tamamında sabit kalıyorsa, sabit olmaktadır. κLr / Mr ; genel opasitenin ortalama enerji üretim hızıyla çarpımı ile orantılıdır. Bu, Eddington’un zamanı için makul bir varsayım olmakla beraber, bugün κLr / Mr’nin ve β ve κ’nın yıldız içerisinde değiştiğini biliyoruz. Buna rağmen, Eddington’un varsayımına devam ederek β’yı sabit tutuyoruz ve daha da ilerleyerek μ’yü de sabit kabul ediyoruz. (10-92) denklemindeki κ’nın yıldızın iç yapısı boyunca sabit olduğunu varsayıyoruz. Dolayısıyla indeksi;

31

1=

−=γ

n olan bir politropik modeli göz önüne alıyoruz.

Ayrıca n = 1.5 olan ve konvektif denge uygun bir örnek de ele alıncaktır.

Bu iki politropik indeks için gerekenler Tablo (10-11) ve Tablo (10-12)’de verilmiştir. Sütunlardaki parametreler şu anlamlara sahiptir.

αξ r= (6-8) (10-93)

Rr

=0ξξ (10-94)

cTT

=θ (6-9) (10-95)

14

drdT

Tdd

c

αξθ=

c

n

ρρθ = (6-11) (10-96)

c

n

PP

=+1θ (6-11A) (10-97)

c

Mdd

ρπαξθξ ξ

32

4=− (6-16) (10-98)

U ve V fonksiyonları Kısım 2-3B’de tartışılmıştır. θ sıfıra doğru azaldıkça yıldızın yüzeyine ulaşılmaktadır.

4-2) n=3 İÇİN BİR MODEL (MODEL A İLE KARŞILAŞTIRMA)

Kısım 2’deki A modeline karşılık gelen politropik çözümün n=3 olduğu bulunmuştur. Verilen nicelikler;

M = 2.5 M☼ = 4.962x1033 gr

R = 1.59 R☼ = 11.05x1010cm

(10-93) denkleminden,

89685.61005.11 10

0

×==

ξα R (10-99)

=1.6022x1010 cm

ve (10-98) denkleminden

0

234ξ

ξθξπα

ρ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

=

dd

Mc (10-100)

( ) 0182.2106022.14

10962.4310

33

×

×=

π

= 47.57 gr / cm3 elde edilir.

15

Bu sabitlerle 2

11)/1(

4)1(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +=

−

Gn n

c

πκρ

α (6-13) denkleminden κ ‘yu bulabiliriz.

1)/1(

2

)1(4

−+= n

cnGραπκ (10-101)

3

2

2108

)57.47(4

)106022.1)(10668.6(4−

− ××=

π

= 0.7060 x 1015 (cgs biriminde)

Ayrıca

nccP

11+= κρ (6-5) (10-102)

= 121.7 x 1015 dyne cm-2

ve

c

cc

PkHT

ρμ

= ( Kısım 2’deki μ = 0.5340 olarak)

= 1.656 x 107 K

Sonra modeldeki herhangi bir nokta için,

ncθρρ = (10-103)

1+= ncPP θ (10-104)

θcTT = (10-105)

( )[ ]( )[ ]

0

2

2

ξξθξξθξ

ddddMM

−−

= (10-106)

(10-3A)’dan (10-3B)’ye kadar olan şekiller politrop ile A modelini Kushwaha (Tablo 10-6) tarafından elde edilen çözümlerle karşılaştırılmaktadır. Model A’nın çekirdek ve zarfa düzgün bir uyum göstermediği görülmektedir. Lr fonksiyonu, sayısal integrasyon olmadan elde edilmemektedir ve dolayısıyla burada göz önüne alınmamıştır. Farkların en büyük olduğu, küçük yarıçaplarda politrop, Kushwaha’nın çözümünde A modelinden daha yakındır.

16

Politropik çözüm, genel radyatif durum için hesaplamalarda dikkate değer bir basitleştirme yapmaktadır. κ opasitesine ya da enerji üretim hızı ε’na ait bilgiye ihtiyaç yoktur. Aslında, yıldızın parlaklığını söylemeye bile gerek yoktur. Eğer ışınımgücü hakkında veya enerji kaynaklarının dağılımı hakkında bilgiye ihtiyaç duyulursa, Lξ için bir integrasyon (10-83) denklemindeki Emden değişkeni cinsinden yapılabilir.

4-3) n = 1.5 İÇİN BİR MODEL (MODEL B İLE KARŞILAŞTIRMA)

Kısım 3’teki B modeline verilen merkezi basınç ve sıcaklık için verilen başlangıç değerleri şöyledir:

Pc =157 x 1015 dyne / cm2

Tc = 1.20 x 107 K

B modeli yarıçapın büyük kısmında konvektif olduğunda, n = 3 yerine n = 1.5 politropik indeks alınmıştır. İlgili Emden fonksiyonları Tablo (10-12)’de verilmiştir.

(10-103), (10-104) ve (10-105) denklemleri yıldızın içindeki herhangi bir ξ yarıçapı için ρ, P ve T’yi vermektedir. ρc ise Pc ve Tc’den hesaplanmıştır.

ρc = 96.41 gm cm-3 ( Kısım 3’teki μ = 0.6079 olarak)

Dolayısıyla Denklem (10-102)

κ = 0.7745 x 1014 vermekte ve denklem (10-101)

α = 0.7099 x 1010 cm olduğunu göstermektedir.

Bu değerle (10-93) denklemine göre verilen herhangi bir ξ için r hesaplanabilir. (10-99) ve (10-100) denklemlerini kullanarak,

R = 2.59 x 1010 cm = 0.372 R☼

M = 1.176 x 1033 gm = 0.591 M☼ elde edilir.

Bu değerler B modelinin kütle ve yarıçap değerleri ile uyum içerisindedir:

R = 2.61 x 1010 cm = 0.375 R☼

M = 1.194 x 1033 gm = 0.600 M☼

Politropik çözümü ve sayısayl integrasyonu grafik olarak karşılaştırmak için, B modelinin kütle ve yarıçap değerleri kullanılmıştır. Böylece iki çözüm de ortak bir yarıçapın fonksiyonu olarak çizdirilebilir.

17

0ξα R=

= 0.71433 x 1010 cm,

( )[ ]0

234 ξξθξπαρ

ddM

c −=

= 96.04 gm cm-3,

1)/1(

2

)1(4

−+= n

cnGραπκ

= 0.7842 x 1014

nccP /11+= κρ

= 158.4 x 1015 dyne cm-2,

c

cc

PkHT

ρμ

=

= 1.215 x 107 K

Yine ρ, P, T ve M, r’nin fonksiyonu olarak (10-93) ve (10-103) – (10-106) denklemleri kullanılarak bulunabilir. (10-4A)’dan (10-4D)’ye kadar olan şekiller sonuçları göstermektedir. Bu sefer politropik çözüm oldukça iyi bir yaklaşım olmuştur.

5. SCHWARZSCHILD DÖNÜŞÜMÜ

Belirli koşullar altında, M, R, L, X ve Z değerleri için verilen bir denge modeli başka bir denge modeline dönüştürülebilir. Bu yeni modeldeki parametrelerin değerleri farklı olabilir. Yeni modeldeki P, T, ρ, Mr ve Lr değerleri, sabit bir ölçek çarpanı ile orijinal modeldeki değerlerle ilişkilidir. Dolayısıyla, örnek için, r / R’nin bir fonksiyonu olarak ρ / ρc iki durumda da aynıdır. Bu şekilde ilişkili olan iki modele “homologous” denir. n politropik indeksinin oluşturduğu örnekler homologous ailesine örnektir.

Schwarzschild, verilen herhangi bir yıldızın tekil özellikleri çıkarıldığında integrasyonların boyutsuz değişkenler kullanılarak nasıl yapılacağını göstermiştir. Boyutsuz değişkenler ile yıldıza ait çekirdek ve zarf için bir denge çözümü elde edildiğinde, uygun ölçek çarpanları belirlenerek bir yıldız modeli elde edilmiş olur. Şimdi Schwarzschild dönüşüm denklemleri ve yukarı ve aşağı anakol yıldızlarına uygulanma yöntemi açıklanacaktır. Kısım 3’teki B modelinin daha küçük kütleli bir modele dönüştürüldüğü sayısal bir gösterim sonra verilecektir.

18

5-1) DENKLEMLER

Şimdi r ve Mr’yi maksimum değerlerine orantılı olarak alalım.

r = Rx

Mr = Mq

burada x ve q; r ve Mr’de yeni değişkenler olsun. Ayrıca,

P = Qp

T = St

olsunlar. p ve t; P ve T’nin yerini alan yeni değişkenler. Q ve S ise sabit. (10-13) denklemi ile;

224 xR

St

Qp

k

H

dx

dq

R

Mμπ= (10-107)

ve (10-14) denkleminden,

22xR

MqStQp

kGH

dxdp

RQ μ−= (10-108)

Q ve S’yi bu iki denklemdeki sabitlerden kurtulacak şekilde tanımlayabiliriz:

2xtp

dxdq

=

ve

2xq

tp

dxdp

−=

Q ve S için ifadeler, (10-107) ve (10-108) denklemlerinin sabit çarpanları eşitlenerek elde edilebilir.

24 RSQ

kH

RM μπ

= (10-109)

ve

2RM

SQ

kGH

RQ μ= (10-110)

Son ilişki şunu vermektedir:

RM

kGHS μ=

19

ve (10-109) denkleminden,

4

2

4 RMGQ

π=

elde edilir. Q ve S sabitlerinin belirlenmesiyle, konvektif durum için geçerli olan form denklem (10-17)’nin incelenmesiyle elde edilir.

dxdp

RQ

QpSt

dxdt

RS 4.0=

dxdp

pt

dxdt 4.0=

Logaritmik türevlerde dönüşüm katsayıları ihmal edildiğinden, katsayılar orijinal denklemdeki çarpanları içermektedirler. İntegrasyondan dolayı son denklem;

log p = 2.5 log t + sabit

veya

5.2Etp = (10-111)

haline gelir. Bu denklem (10-9) ile yer değiştirir. Orijinal değişkenlere dönüşüm E’nin belirlenebilmesini sağlar.

5.25.2

2

44 TMR

GHkEP

GMR

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

μπ

fakat

5.2'TKP = (10-112)

olduğundan,

5.15.05.25.2

5.1 '4 RMKkHGE μπ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= olur.

Eğer Lr = Lƒ ilişkisiyle verilen bir ƒ değişkeni tanımlarsak, geri kalan diferansiyel denklemler sabit katsayılar içerirler. κ ’yı şu şekilde yazarsak;

5.30Tρκκ = ve )1(1034.4 25

0 xzgtx

bf+=κ

ve radyatif sıcaklık gradyenti için (10-15) denklemini de kullanarak,

20

( )( ) ( )25.8

2

02

2

163

RxStLfQp

kH

acdxdt

RS κμ

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

veya

25.8

2

xf

tpC

dxdt

−=

elde edilir. Burada;

5.5

5.0

5.70

5.73

41

43

MLR

GHk

acC

μκ

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ‘dur.

Benzer şekilde , (10-16) denklemi ile

( ) ( ) ( )2222210

2

)4 RxStQpXXkH

dxdf

RL −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= υμεπ

veya

222 xtDpdxdf −= υ

elde edilir.

Burada 3

2

210)(41

+

+

= υ

υυ ε

π LRMXX

kGHD

Dönüşüm yapılmış denklemler ve değişkenler* şöyledir:

Rrx = (10-113)

MMq r= (10-114)

LLf r= (10-115)

4

2

4/

RGMPpπ

= (10-116)

RM

kGHTt μ/= (10-117)

2xtp

dxdq

= (10-118)

21

2xq

tp

dxdp

−= (10-119)

222 xtDpdxdf −= υ (10-120)

25.8

2

xf

tpC

dxdt

−= (radyatif) (10-121)

p = Et2.5’ye eşdeğer olan (10-122)

dxdp

pt

dxdt 4.0= (10-123) (konvektif)

*Burada hala, kimyasal kompozisyonun yıldız boyunca homojen olduğunu ve opasite kaynağının esas olarak bağlı-serbest geçişler olduğunu varsayıyoruz. Radyasyon basıncı ve dejenerelik ihmal edilmiştir.

5.5

5.0

5.70

5.73

41

43

MLR

GHk

acC

μκ

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (10-124)

3

2

21041

+

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= υ

υυ

υ

εμπ LR

MXXk

GHD (10-125)

5.15.05.25.2

5.14 RMkHGE κμπ ′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (10-126)

(10-124) denklemi teorik kütle-ışınımgücü ilişkisi gibi düşünülebilir. (R’nin bu ilişkideki üssü küçük olduğundan ve anakol boyunca R yavaşça değiştiğinden) 5-2) YUKARI ANAKOLA UYGULAMA Şimdi yukarı anakoldaki bir yıldızın modelini elde etmek için bu denklemlerin nasıl çözüleceği anlatılacaktır. Radyatif zarf ve konvektif çekirdek için yapılan ayrı ayrı integrasyonlar, türdeş değişkenler U, V ve n + 1 biriminde bir arada fit edilmiştir. Çekirdek için, U, V grafiğinde tek bir eğri ile temsil edilen tekil bir çözüm vardır. Bu da n = 1.5 olan politropik modeldir. (Tablo (10-11) ve Şekil (10-1) ).

22

Zarf için (10-118), (10-119) ve (10-121) denklemlerinin integrasyonu gereklidir. Zarf için f = 1 alabiliriz çünkü enerjinin sadece çekirdekte üretildiğini varsayıyoruz. (10-121) denklemindeki C katsayısının varlığı, C’nin değişik değerleri için birçok deneme yapmayı gerektiriyor. Bu denklemler n + 1’in 2.5 olduğu ve aynı zamanda U, V eğrilerinin konvektif çekirdek için uygun olduğu duruma kadar. (Bkz. Şekil 10-1). U, V grafiğinde bu çakışma bir denge modeli için gerekli olmakla beraber yeterli değildir. Sınır şartları, aşağıdaki koşullar gerçeklendiği ölçüde yeni parametrelere ihtiyaç duymaz. x = 1: q = 1, p = 0, t = 0 (10-124) denklemi, C’nin bulunan değerle birlikte M, R, L, X ve Z’nin değerlerine bir sınırlama getirmektedir. D’nin değeri ile birlikte (10-125) denklemi ikinci bir sınırlama getirmektedir. D’yi belirlemek için, ν’ye bir değer atayarak (10-120) denkleminin integre edilmesi gerekmektedir. Bir değer seçerken, merkez yakınındaki sıcaklığı tahmin etmeli ve spesifik bir yıldız modeli tamamlandığında Tablo (10-13) ve Tablo (10-14)’ten yararlanarak kontrol edilmelidir. Belki ν için yeni bir tahmin yapmak ve hesaplamaları baştan yapmak gerekebilir. Çekirdek sınırında f’nin değeri 1’dir. (Tüm enerjinin çekirdekte üretildiği varsayıldığından)

Çekirdek sınırındaki değerleri b alt indisi ile gösterirsek,

∫ −==bx

b dxxtpDf0

2221 υ (10-127)

İntegral, merkezi pc ve tc değerlerine bağlıdır ve görülmektedir ki; fiziksel değişkenlerin yerine boyutsuz değişkenler kullanma avantajını kaybetmiş durumdayız. Bu zorluk Emden değişkenlerine yapılacak ilave bir dönüşüm ile çözülebilir. (10-93), (10-95), (10-97), (10-113), (10-116) ve (10-117) denklemlerinden,

0ξξ

==bb rr

xx (10-128)

5.2

5.2

bbb PP

pp

θθ

== (10-129)

bbb TT

tt

θθ

== (10-130)

bulunmuştur. (10-127) denklemini şu şekilde yazabiliriz:

ξζθξθ

ξυ

υ

υ

dxtp

Db

b

b

b

bb 2

0

33

3

22

1 ∫ ++

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= t

23

Böylece merkezdeki sınır şartları şu hale gelir:

ξc = 0, θc = 1

ve integralin kendisi sonlu bir sayı olur. Böylece herhangi bir bilinmeyen parametreye bağlı olmaz. xb, Pb ve tb değerleri zarf çözümünden bilinmektedir. ξb ve θb değerleri de Tablo (10-11)’den bulunmuştur. Daha sonra D’nin değeri belirlenir. Şu da belirtilmelidir ki; çekirdekteki x, p ve t’yi (10-128) ve (10-130) denklemlerinden bulunabilirken, q (10-98) denkleminin yardımı ile benzer bir dönüşümle bulunabilir:

b

rb

r

b

dddd

MM

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==

ξθξ

ξθξ

2

2

Eğer M, R, L, X ve Z’den herhangi üçü verilirse, C ve D değerlerinin kullanılmasıyla (10-124) ve (10-125) denklemleri iki bilinmeyen içim çözülebilir. Bu sonuç Vogt – Russel teoremini onaylamaktadır. Sonuç olarak, (10-113)’ten (10-117)’ye kadar olan denklemler fiziksel değişkenlere geri dönüşüme imkan vermemektedirler. κ0, ε0, ve ν değerleri P ve T ile uyumlu olmalıdır aksi halde modelin yeniden hesaplanması gerekir. Bu bölümdeki boyutsuz çözümlerin hesabında yapılan varsayımları yeniden vurgularsak: Model boyunca kimyasal kompozisyon değişmemekte, radyasyon basıncı ihmal edilmekte, zarftaki opasite katsayısı sabit ve Kramer’in bağlı – serbest geçişler için kanunu ile belirlenmekte, zarfta enerji üretimi ihmal edilmekte, merkezdeki enerji üretimi υρεε TXX 210= ile verilmekte ( ε, X1, X2 ve υ sabitler), çekirdekte sıcaklık ve basınç adyabatik gaz kanunu ile zarfta ise ideal gaz kanunu ile belirlenmekte, sıcaklık ve basınç yüzeyde yok olmakta ve κ0, ε0, ve ν modelin koşulları ile uyumlu olmalıdır. Bu kısıtlamalarla, radyatif zarf ve konvektif çekirdeğe sahip tüm modeller hesaplanan boyutsuz çözümle elde edilebilir. 5-3) AŞAĞI ANAKOLA UYGULAMA Şimdi Schwartzschild yöntemi ile adyabatik konvektif zarfa ve radyatif çekirdeğe sahip aşağıdaki anakoldaki bir yıldızın modelini elde edeceğiz.

Zarf için (10-118), (10-119) ve (10-123) denklemlerinin çözümlü gerekmektedir. p, t ve q’nun x’in fonksiyonu olarak bulunmasını sağlıyor. Yüzeydeki sınır şartları şöyledir: x = 1: q = 1, p = 0, t = 0 E parametresinin her değerine karşılık gelen sadece bir çekirdek çözümü bulunmaktadır. E’nin değeri zarfın kesirsel derinliğini belirlemektedir. Örneğin E = 0 olduğunda konvektif tabakaların derinliği sıfır olmaktadır. (radyatif zarf). Ya da

24

F = 45.48 olduğunda konvektif bölge yüzeyden merkeze kadar uzanmaktadır. E’nin çeşitli değerleri için çözümler yayınlanmış tablolarda mevcuttur. E’nin içinde K’nın bir çarpan olarak bulunması, yıldızın dış tabakalarında iyi belirlenemeyen karışım uzunluğuna bağlı olmasından dolayı, bir belirsizlik yaratmaktadır. Bu nedenle verilen herhangi bir durum için E’nin çeşitli değerleri için modeller hesaplanır.

Çekirdek için (10-118) ve (10-121) denklemlerinin aynı anda çözülmesi gerekmektedir. Merkezdeki sınır şartları şöyledir:

x = 1: q = 0, p = pc, f = 0, t = tc, tc’ye bağlılığı elemine etmek için çekirdekte geçerli olan ve yıldızla işaretlenmiş yeni değişkenler belirlenmiştir. Şimdi bu değişkenleri sabitler çerçevesinde önceki değişkenlerle (sıfır alt indisli) ilişkilendirelim.

0

*

xxx = ,

0

*

qqq = ,

0

*

ppp = ,

0

*

ttt = ,

0

*

fff = (10-131)

Böylece diferansiyel denklemler şu hale gelir:

2*20*

0

*0

*

*

0

0 xxttpp

dxdq

xq

=

2*20

*0

*0

*0

*

*

0

0

xxqq

ttpp

dxdp

xp

−=

2*20

*0

5.8*5.80

2*20

*

*

0

0

xxff

ttpp

Cdxdt

xt

−=

.2*20

2*20

2*20*

*

0

0 xxttpDpdxdf

xf −−= υυ

Aşağıdaki eşitsizliklerle bu diferansiyel denklemlerdeki sabit katsayıları eleminde edebiliriz:

100

300 =

tqxp

, 100

0 =xt

q, 1

05.9

0

02

0 =xtfp

C , 10

30

20

20 =

−

fxtp

Dυ

(10-132)

25

Beş yeni sabit için sadece dört koşul olduğundan, birini rastgele seçebiliriz: t0 = tc,

Sonra,

2**

*

*

*

xtp

dxdq

=

2*

*

*

*

*

*

xq

tp

dxdp

−=

2*

*

5.8*

2*

*

*

xf

tp

dxdt

−=

2*2*2**

*

xtpdxdf −= υ elde edilir.

Merkezdeki sınır şartları şu hale gelmiştir: x* = 1: q* = 0, p* = pc

*, f* = 0, t* = 1. pc

* değerleri belirlenmemiştir ve serbest parametre olarak bırakılmıştır. Bu dönüşümle, merkez için çözüm verilen bir υ değeri için pc

*a bağlı bir tek aile çözümü ile elde edilebilir.

U, V grafiğinde tekrar çekirdek ve zarf için uyum aranır. Merkez için çözüm, merkezdeki n+1 değeri 2.5 olduğunda zarfla aynı U, V değerine sahip olduğunda olmaktadır. (Şekil 10-2). Dolayısıyla pc

*ın her değeri bir E’ye karşılık gelmektedir.

Çekirdek ve zarf için herhangi bir uygun değer çifti için, denklem (10-131)’de belirtilen beş sabit ortaya çıkmaktadır. Çekirdek çözümü x*, q*, p*, f* ve t* ile yapılabilirken, zarf x, q, p ve t ile çözülebilmektedir. Bu değerlerin (10-131)deki ilk dört denklemde yerine yazılmasıyla x0, q0, p0 ve t0 bulunabilir. f0’ı bulmak için (10-120) denklemi integre etmek gerekmektedir. Bu integrasyondan,

∫ −=−=1

2221 1/b

b

xbf dxxtpDff υ (10-133) elde edilmektedir.

Burada b alt indisi çekirdekteki ve zarftaki sınırı ifade etmektedir. fb ve D belirlenememektedir ancak integrasyona dayanan bir yöntem bu değerleri ve f0’ı bulmaya yarayabilir. D için bir başlangıç tahmini (10-133) denkleminden fb’nin bulunmasına imkan veriyor. Daha sonra (10-133)’in son denkleminden f0 bulunmakta ve (10-132) denkleminden D için yeni bir değer bulunabilmektedir. Bu

26

işlem gerektiği kadar devam ettirilir. x0, q0, p0, f0 ve t0 bilindiği taktirde çekirdekteki değişkenleri x, q, p f ve t cinsinden ifade edebiliriz. C’nin değeri (10-132)’deki üçüncü denklemden bulunabilir. Yukarı anakolda olduğu gibi, C ve D; M, R, L, X ve Z’den ikisinin belirlenmesi için iki koşulu oluşturuyorlar. Bu sonuç, eğer herhangi bir durum için bir şekilde E’nin (veya pc*’ın) değeri biliniyorsa Vogt-Russell teoremini doğrular. Fiziksel değişkenler (10-113) – (10-117) denklemlerinden bulunabilir. Yapılan varsayımları özetlersek; kimyasal kompozisyon model boyunca homojen, radyasyon basıncı ihmal edilmiş, opasite katsayısı sabit olmak üzere Kramer’in bağlı-serbest geçiş kanunu ile belirli, enerji üretim hızı ile verilmekte (ενρεε TXX 210= 0, X1, X2 ve ν sabit), zarfta sıcaklık ve basınç adyabatik gaz kanunu ile çekirdekte ideal gaz kanunu ile belirli, sıcaklık ve basınç yüzeyde yok oluyorlar ve κ0, ε0 ve ν değerleri sonuçtaki modelle uyumlu olmalıdırlar. Bu kısıtlamalarla ve E’nin değerinin bilinmesiyle radyatif çekirdeğe ve konvektif zarfa sahip tüm modeller boyutsuz çözümler ile elde edilebilir. 5-4) DÖNÜŞTÜRÜLMÜŞ BİR MODEL Kısım 3’te, normal kimyasal kompozisyonda homojen bir yıldız için model yapılmış ancak Pc ve Tc değerleri anakolun altında yeralmıştı. Konvektif zarfın büyük derinliği aslında yıldızın temel yapısının daha geç tipten bir yıldıza uygun olduğunu göstermektedir. Böyle bir yıldız daha az parlak ve daha az kütleli olduğundan, modelimizi orjinal kütlenin 2/3’ü kütleli (0.4 M ) bir hale dönüştürebiliriz. X, Z, κ0, ε0 ve ν’nün değişmediği varsayılmıştır. (10-124), (10-125) ve (10-126) denklemlerinden görülebileceği üzere herhangi bir modelin karakteristiklerini içermektedir. Orjinal modelin sembolleri üssüz, yeni modelin sembolleri üs işaretli olarak kullanılmıştır. C’nin değeri iki durumda da aynı olduğundan (10-124) denkleminden, ( )( )( )

15.5'

5.0''

=MM

RRLL

elde edilir. Benzer şekilde, (10-125)’den, ( )

( )( )17''

6'

=RRLL

MM (ν = 4)

bulunur. Bu denklemlerin M′ / M = 2 / 3 için çözülmesi ile, R′ / R = 0.9694 L′ / L =0.1091 elde edilir. (10-116) ve (10-117) denklemlerinden

27

( )( )

5033.04'

2''

==RR

MMPP

6877.0'

''

==RRMM

TT

ve özel olarak Tablo (10-7)’den,

215' /100.795033.0 cmdynexPP cc ==

KxTT cc7' 10825.06877.0 ==

3' /6.70 cmgrc =ρ

2' /7.465033.0 cmdynePP bb ==

KxTT bb

7' 10673.06877.0 ==

3' /1.51 cmgrb =ρ

bulunmuştur. T ve ρ’nun değerleri ile Tablo (10-15) göstermektedir ki; 20=bfgt

varsayımı hala geçerlidir. Tablo (10-13A) ve Tablo (10-13B) göstermektedir ki; ε şu formülden hesaplanmalıdır:

57

257

2 0944.009.10866.0 TXTX ρρε =×= buna göre daha önce varsayılan ifadeyle merkezdeki değerler %30 daha yüksek çıkmaktadırlar. Şekil (10-5)’teki H-R diyagramında ve Şekil (10-6)’daki kütle-ışınımgücü diyagramında B modelinin ve dönüştürülmüş modelin yerleri karşılaştırılmıştır. Beklendiği gibi dönüştürülmüş model daha iyi bir uyum göstermiştir. Bununla beraber gerçekçi bir model, B modelinde belirtilen teorik iyileştirmelerin yapıldığı bir model olur.

Tablo (10-10)’da bu modellerdeki bazı boyutsuz parametreler listelenmektedir. B modeline ait olan veriler kullanılsa da, dönüştürülmüş modelinkiler de eş geçerliliktedir.

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38