ynas Mart vi£ius Manstammartynas/MM_riz_vald.pdf · Kai albama k apie rizik¡, paprastai eja i²ry²k du jos ai: v palydo tumas neuºtikrin b ei galimi ... diser-tacijoje e: ra²

Martynas Manstavi£ius

Rizikos valdymas. Paskaitu konspektas.

Vilnius

Redaguota: 2015 03 18

Turinys

1 Rizika kaip j¡ suvokiame ir kas jai budinga 4

1.1 Vidurkine nauda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Rizikos priemoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Absoliutus prie²i²kumas rizikai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Santykinis prie²i²kumas rizikai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Vidurkinedispersine analize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Finansu istaigos ir ju kasdiene rizika 37

2.1 Rizikos ru²ys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Kaip rmos matuoja ir atsiºvelgia i rizik¡? . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Kredito rizikos vertinimas 54

3.1 Isipareigojimu neivykdymo tikimybe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Pozi ijos verte, esant nemokumui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Nuostolis del isipareigojimu neivykdymo . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 Netiketini nuostoliai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Paskolu portfelis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6 Ekonominis kapitalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.7 Korelia ijos ir faktoriniai modeliai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Koreliuotu isipareigojimu neivykdymu modeliavimas 71

4.1 Bernulio ir Puasono modeliai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 CreditPortfolioView apºvalga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3 Daugiau apie CreditMetri s ir KMV Portfolio Manager . . . . . . 80

4.4 CreditRisk+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Literatura 90

ii

1 Rizika kaip j¡ suvokiame ir kas jai budinga

odi rizika gyvenime girdime itin daºnai, ta£iau ar tikrai ²is ºodis visiems vienodai

suprantamas? Vieni rizikuoja prekiaudami vertybiniais popieriais, kiti investuodami

i verslo pletr¡, dar kiti nuspedami kitu metu or¡ ir tinkamai parinkdami augintin¡

ºemes ukio kultur¡. Yra ir tokiu, kurie rizikuoja savo ir kitu gyvybe bei turtu

sesdami girti uº vairo. Ivairiausiu pavyzdºiu ilgai ie²koti nereikia. Rizikuojame

svarstydami kaip rytoj apsirengti, bendraudami su sergan£iais gripu, vaik²£iodami

tamsiais pakampiais . . . .

Akivaizdu tik viena kiekvienas, susim¡sts apie koki¡ nors rizik¡, stengiasi j¡

kaip imanoma sumaºinti, modeliuoti ar valdyti. Norint tai padaryti matemati²kai,

butina i²siai²kinti, k¡ vadiname rizika ir kas jai budinga. Kai kalbama apie rizik¡,

paprastai i²ry²keja du jos palydovai: neuºtikrintumas bei galimi padariniai. Daºnai

neºinome, ar kas nors ivyks. Kita vertus, susim¡stome, ar busimas ivykis mums

sukels kokiu nors (daºniausiai neigiamu) pasekmiu ir, apskritai, ar verta jaudintis.

Tad pradekime nuo neuºtikrintumo ir rizikingu ivykiu.

1.1 apibreºimas. Rizikingu laikysime bet kuri gyvenimo ivyki, kurio pasirodymas

ateityje nera butinas arba apie kurio egzistavim¡ nesame tikri.

Toks rizikingo ivykio apibreºimas yra labai platus, rizikingu ivykiu gyvenime

gausu. Norime ar ne, dauguma musu sprendimu yra rizikingi vien jau todel, kad

kaskart kaºko neºinome. Tiksliai negalime pasakyti, ar mums vykstant i darb¡ lis,

ar paveluosim i svarbu susitikim¡ del gatveje ivykusios avarijos, transporto kam²£io.

Neºinome, ar inia ija valstybeje smarkiai padides, o musu padeti indeliai nuvertes.

Tad kaip visus rizikingus ivykius pamatuoti, kaip pasirinkti sprendim¡, kuris rizik¡

sumaºintu? Ir apskritai, ar realu tiketis, kad toks uºmojis igyvendinamas? Nieko

nenustebinsime pasak, kad rizikai vertinti geriausiai tinka tikimybiu teorija. Butent

tikimybiu teorija pades apsisprsti, kuris i² keliu sprendimu yra maºiau ar net ma-

ºiausiai rizikingas.

odis rizika kartais kei£iamas ºodºiu neapibreºtumas. Butent su neapibreº-

tumu rizik¡ 1921 metais susiejo Frank'as Knight'as. Pasak jo, rizika yra neapi-

breºtumas, kuri galime i²matuoti atsiºvelgdami i vidin objektu ar ivykiu simetrij¡,

homogeni²kus statistikinius duomenis, o neapibreºtum¡, kurio i²matuoti negalime,

vadiname tiesiog netikrumu. Pastarajam priskirtinos ivairios ºmoniu nuomones.

Apie galimus rizikos padarinius Knight'o apibreºime uºsiminta nebuvo. Taigi rizik-

ing¡ ivyki reiktu suprasti kaip toki, kurio pasirodym¡ galima nusakyti tikimybemis,

pvz., pinigo arba herbo pasirodym¡ metant simetri²k¡ (ideali¡) monet¡, o neapi-

breºt¡ ivyki siulyta suprasti kaip tikimybemis nenusakom¡, pvz., ºemes drebejim¡

4

5

tam tikroje pasaulio ²alyje. Visgi tokia ivykiu klasika ija nera lengva. Daug kas

priklauso nuo to, kaip suprantame ir interpretuojame tikimybes. Frank'as Knight'as

palaike objektyviu tikimybiu ²alininkus. Jis teige, kad tikimybes ivykiams galime

priskirti ra ionaliai, jos yra loginio m¡stymo rezultatas. Pavyzdºiui, jei du ºmones

ºino t¡ pa£i¡ informa ij¡ apie ivyki, tai jie jam suteiks vienodas tikimybes. Kita

vertus, ne visk¡ mokame objektyviai ivertinti ar i²matuoti. Todel, tikimybes verti-

nant subjektyviai, Knight'o rizikos apibreºimas netenka prasmes. tai paprastas

pavyzdys. Tarkime, lo²iate kazino. Jei mestas kauliukas rodys ²e²is, neteksite ²imto

litu. Kitais atvejais nuostoliu nepatirsite. Ar smarkiai rizikuojate? Tiksliau, re-

miantis jusu subjektyvia nuomone, kokia tikimybe, kad pralo²ite ²imt¡ litu? Daug

nem¡st galite atsakyti, jog viena ²e²toji. Ta£iau dar nevelu susim¡styti ir atsakym¡

pakeisti! Juolab pamir²ome pamineti, kad metamas kauliukas turi de²imt sienu.

Taigi kartais susiduriame su neuºtikrintumu, nors patys to nepastebime. Nesame

tikri ne vien todel, kad neºinome busimo ivykio rezultato, bet ir todel, kad kartais

t¡ ivyki papras£iausiai ignoruojame. Kitaip tariant, tikimybes (geriausiu atveju)

atspindi musu suvokt¡ netikrum¡. Subjektyvi¡ tikimybiu interpreta ij¡ palaike

nansu portfelio teorijos kurejas Harry Markowitz'as, kuris 1952 metais savo diser-

ta ijoje ra²e: investuotojui tiketina (arba vidurkine) gr¡ºa turi ar bent turetu buti

pageidautina, o tos gr¡ºos dispersija nepageidautina. ... Gr¡ºos ir rizikos s¡voka

daºna nansu literaturoje. Paprastai, jei ºodi gr¡ºa keistume tiketina (laukiama)

arba vidurkine gr¡ºa, o ºodi rizika keistume gr¡ºos dispersija, prasmes daug

nei²kraipytume.

Matus neapibreºtumas budingas draudimo sferai, o su nema£iu daºniausiai susi-

duria verslininkai ar spekuliantai. Tarp ekonomistu tebesvarstoma tokios neapi-

breºtumo klasika ijos prasme ir nauda. O ²tai nansu srityje tokia klasika ija

didesnes reik²mes neturejo, todel toliau laikysime, kad esame pajegus objektyviai

arba subjektyviai ivertinti mums aktualiu ivykiu tikimybes, t.y. ºodºius rizika ir

neapibreºtumas sutapatinsime ir vartosime kaip sinonimus.

Panagrinekime kelet¡ rizikingu ivykiu savybiu. Pagal apibreºim¡ rizikingais ne-

laikome ivykiu, kurie jau yra ivyk ir mums ºinomi

1

. Kitaip tariant, vienas i²

rizikos veiksniu yra laikas. Kas rizikinga ²iandien, nebutinai rizikinga rytoj. Pa-

prastai ko nors neºinome, noriai ar nenoriai stengiames mokytis, bet ar suvokiame

kas nulemia musu sprendim¡? Bandydami ra ionaliai ivertinti rizik¡, galime greitai

patekti i kebli¡ padeti, kai nesugebesime paai²kinti pasekmiu, ypa£ jei nagrinesime

vien musu sprendimu prieºastis. Gretinant pasekmes ir prieºastis, moksli²kai galima

butu teigti, kad rizika i²vis neegzistuoja. Bet kodel tada tiek daug rizikingu ivykiu?

Rizika egzistuoja del triju prieºas£iu. Pirmoji yra ta, kad nesugebame valdyti

ir/arba i²matuoti ivykiu prieºas£iu. tai paprastas pavyzdys. Fizikos poºiuriu

monetos metimas ai²kus: jos trajektorija grieºtai nusakoma me hanikos desniais.

Ta£iau kodel neºinome, kas atsivers? Viskas tampa ai²ku, vos tik suvokiame, kad

kaskart monet¡ metame vis kitaip (kiek kitokiu kampu, skirtingu grei£iu,...). Tad, jei

trajektorija pakankamai ilga, sunku nuspeti, kas i²kirs. Netikrum¡ sukelia pradiniu

s¡lygu kontroles stoka: nei pradines padeties, nei pradinio grei£io tiksliai atkar-

1

Draudimo bendrovei ivykusi avarija, apie kuri¡ dar neprane²ta, vis dar yra rizikingas ivykis.

6 1 Rizika kaip j¡ suvokiame ir kas jai budinga

toti nesugebame. Kitas pavyzdys dabar labai daºnai naudojami kompiuteriniai

atsitiktiniu skai£iu generatoriai. Nuspeti, koks skai£ius bus parodytas, sunku, nors

kompiuteris tik vykdo grieºtai sura²yt¡ deterministini algoritm¡. Ir vel visk¡ nulemia

pro eso jautrumas pradinems s¡lygoms. Kaskart paleisdami skai£iu generatoriu,

pro es¡ pradedame nebutinai toje pa£ioje vietoje, nors priemoniu ankstesniems

rezultatams pakartoti taip pat yra. Gauti skirtingi skai£iai atrodo nenuspejami,

t.y. rezultatas rizikingas. Pana²iai yra ir su oru prognoze. Termodinamikos desniai

ºinomi jau seniai, ta£iau oro masiu dinamika yra itin jautri pradinems s¡lygoms,

todel ir sunkiai nuspejama. Net ir menkiausias pradiniu s¡lygu nesutapimas, daºnai

sukeliamas matavimo paklaidu ar musu nesugebejimo visko pamatuoti, po triju ar

keturiu dienu gali dramati²kai pakeisti orus.

Antroji rizikos egzistavimo prieºastis yra musu riboti gabumai apdoroti infor-

ma ij¡. Puikus pavyzdys ²a hmatu partijos rezultatas. Tiek pradines s¡lygos,

tiek ºaidimo taisykles £ia tiksliai apibreºtos. iuo poºiuriu ºaidimas visi²kai ai²kus:

partij¡ galima laimeti, pralaimeti arba baigti lygiosiomis. Tad kodel, nepaºinodami

pa£iu ºaideju, partijos baigties i² anksto neºinome? Kodel per tukstan£ius metu

niekas nesurado pergalingos ir universalios strategijos? Net ir grei£iausi pasaulio

kompiuteriai, vykdydami imantrias programas, kaskart nesugeba iveikti geriausiu

pasaulio ²a hmatininku? Ai²ku, ºmonems kasmet vis sunkiau konkuruoti, bet rezul-

tatai dar nera vienpusi²ki. is pavyzdys parodo, kad ºmogaus smegenys puikiai

sugeba apdoroti informa ij¡, ta£iau ju galimybes ribotos. Kitaip pergaling¡ strate-

gij¡ jau seniai ºinotume. Kol jos nera, ºaidimas idomus, o rezultatas nenuspejamas.

Kita vertus, ºaisti ²a hmatais papras£iau, nei apsisprsti rizikingoje situa ijoje. Juk

kaskart renkames i² baigtinio skai£iaus galimu ejimu. Vadinasi, spartus informa ijos

apdorojimas ypatingai svarbus renkantis vien¡ ar kit¡ alternatyv¡. Riboja ne tik

laikas, bet ir musu ribotas gebejimas apsvarstyti visus galimus ejimus. Kompiuteris

²ia prasme prana²esnis. Nuovargio jis nejau£ia, o ir kantrybes turi. Visgi greitai

visko ivertinti nesugeba niekas, todel ir rizikingu ivykiu gausu.

Tre£ioji rizikos prieºastis susijusi su informa ijos panaudojimu. Informa ijos daº-

nai sukaupiame daug, daºnai joje net pasiklystame, o panaudojame tik maº¡ dalel.

Be to, informa ij¡ surinkti ir pilnai apdoroti daºniausiai labai brangu, pvz., paruo²ti

ger¡ spe ialist¡ uºtrunka kelet¡ metu, tam reikia daug pinigu, laiko ir kitu s¡naudu.

Todel daºnai svarbu ivertinti ir apsisprsti, ar i²vis verta visko mokyti, rinkti in-

forma ij¡. Juk patikrinti visu te hnologines linijos i²leidºiamu gaminiu kokybes

daºnai nesiryºtame. Tai verta daryti tik tuomet, kai tikrai apsimoka. Kita vertus,

kuo maºiau informa ijos turime, tuo rizikingiau priimti vien¡ ar kit¡ sprendim¡.

Taip pat neturetume pamir²ti, kad kiekvienas i² musu informa ijos turi nevienodai.

Todel ir tikimybemis ivertindami rizik¡ turetume atsiºvelgti i turimos informa ijos

kieki. Gyvename, mokomes, informa ijos kiekis dideja, todel ir tikimybiniai matai,

apie kuriuos kalbesime, daºnai kis laikui begant. Tikimybinio mato apibreºimas,

jo savybes, egzistavimas nagrinejamas tikimybiu teorijos kurse. Ji primir²usiems

rekomenduojame atsiversti tikimybiu teorijos vadoveli.

Griºdami prie individo ir jo sprendimu rizikos galime trumpai apibendrinti. In-

divido rizik¡ siejame su tam tikru tikimybiniu matu, daºnai priklausan£iu nuo laiko

momento ir turimos informa ijos kiekio. i tikimybini mat¡ daºnai stengiames

7

ivertinti empiri²kai kartodami eksperimentus, jei tai imanoma, arba organizuodami

ivairias apklausas. I eksperimentu ir apklausu organizavimo subtilybes ²iame kurse

nesigilinsime.


1.1 Vidurkine nauda

iame skyrelyje formalizuosime anks£iau pateiktas mintis ir panagrinesime, kaip

ºmones ar rmos megina ra ionaliai priimti vien¡ ar kit¡ sprendim¡. Jau aptareme,

kad kiekvien¡ riziking¡ sprendim¡ atitinka tam tikras tikimybinis matas. Pana-

grinesime, kaip toks matas atsiranda. Pradekime nuo sprendimu aibes. Paprastai

galimu sprendimu aibe A turi bent du ta²kus, daºniausiai tu ta²ku yra gerokai

daugiau. Todel i²kyla naturalus uºdavinys: kaip i² ivairiu sprendimu aibes parinkti

geriausi¡, t.y. tam tikra prasme maºiausiai riziking¡. Tiesa, reikia i²kart pastebeti,

kad ºmoniu psi hologija, informa ijos apdorojimo pro esas ir rizikos vertinimas labai

skiriasi, todel naivu tiketis, kad koks nors vienas sprendimu parinkimo kriterijus uni-

versaliai tiks visiems.

Be galimu sprendimu aibes A dar nagrinesime ir atsitiktiniu ateities ivykiu aib

Ω. Susitarsime, kad kiekvienas sprendimas a ∈ A ir ateities ivykis ω ∈ Ω sukuria

pasekm Xa = f(a, ω) ∈ X , £ia X yra pasekmiu aibe. Tarsime, kad aibeje Ω yra

pasirinkta jos poaibiu σ-algebra F ir apibreºtas tikimybinis matas P , nusakantisateities ivykiu pasirodymo tikimybes. Taip pat laikysime, kad pasekmiu aibeje Xyra pasirinkta σ-algebra B ir kad pasekmiu funk ija Xa yra mati, t.y. kiekvienam

pasekmiu aibes poaibiui B ∈ B teisinga

X−1a (B) = ω : f(a, ω) ∈ B ∈ F .

Jei funk ijos f reik²mes yra realios, tai ma£i¡ funk ij¡ Xa dar vadiname atsitiktiniu

dydºiu. Kiekvien¡ sprendim¡ a ∈ A galime susieti su tikimybiniu matu µa, apibreºtu

lygybe

µa(B) = P (Xa ∈ B) = P X−1a (B), ∀B ∈ B.

Pasak tikimybiu teorijos, matas µa yra atsitiktinio dydºio Xa skirstinys. Taigi

sprendimo a pasirinkim¡ galime sutapatinti su tikimybinio mato µa pasirinkimu,

o sprendimu aib A atitinka tikimybiniu matu aibe PA = µa : a ∈ A. Daºnai ²i¡matu aib naudinga praplesti iki i²kilos aibes PA, t.y.

su visaisP,Q ∈ PA ir su bet kuriuoα ∈ [0, 1], αP + (1− α)Q ∈ PA,

£ia matas αP+(1−α)Q vadinamas i²kil¡ja matu P ir Q kombina ija ir apibreºiamas

lygybe (αP + (1− α)Q

)(B) = αP (B) + (1− α)Q(B), ∀B ∈ B.

Tiesa, i²kil¡j¡ matu P ir Q kombina ij¡ nebutinai atitinka koks nors sprendimas

a0, net jei patys matai P ir Q yra atitinkamu sprendimu pasekmiu skirstiniai. Kita

vertus, pasekmes daºnai mokame sumuoti ar dauginti i² skaliaru, todel aib X taip

pat patogu praplesti iki i²kilos, o kartais net laikyti tiesine erdve.

Kad butu ai²kiau, panagrinekime paprast¡ pavyzdi. Jono ledu rma ruo²iasi

vasaros sezonui ir svarso galimyb didinti gamyb¡, t.y. gaminti a1 = 1000, a2 = 5000ar a3 = 10000 ledu por iju per dien¡ daugiau nei iki ²iol. Tiksli por ijos kaina neºi-

noma. Ji priklauso ne tik nuo konkuren ijos rinkoje, bet ir nuo paklausos (vartotoju

skai£iaus, oro s¡lygu,...). Todel naturalu laikyti, kad ledu por ijos kaina K yra atsi-

tiktine, svyruojanti, pvz., tarp 0, 50 ir 2 litu. Kaina K priklauso tiek nuo paklausos

1.1 Vidurkine nauda 9

ω, tiek ir nuo gamybos apimties a. Didesne pasiula rinkoje neigiamai veikia kain¡.

Tarkime, kad vienos por ijos savikaina k taip pat priklauso nuo gamybos apimties

ir Jonui yra ºinoma. Jono sprendimo pasekme galime laikyti gaut¡ peln¡:

Xa = f(a, ω) = a(K(a, ω)− k(a)

).

Taigi Jonas, rinkdamasis ai bando optimizuoti Xai , i = 1, 2, 3. Ne vienas pasirinki-

mas ai negarantuoja ksuoto pelno, nes visi Xai yra rizikingu ateities ivykiu ω ∈ Ωfunk ijos.

Kokios atsitiktinio dydºio (a.d.) harakteristikos lemia jo patrauklum¡? Jei a.d.

X turi vidurki EX (i² tikimybiu teorijos kurso ºinome, kad ²i¡ savyb turi, deja,

ne visi atsitiktiniai dydºiai), tai tiketina, jog dauguma X reik²miu bus arti EX(prisiminkime didºiuju skai£iu desni). Todel galime speti, kad Jonas stengsis parinkti

ai, kad EXai butu didºiausias. Ta£iau taip sureik²mindami vidurki ignoruojame

kitas atsitiktinio dydºio skirstinio savybes. Gali buti, kad atsitiktinio dydºio su

didºiausiu vidurkiu dispersija, jei ji egzistuoja, irgi yra labai didele, o tai Jonui

reik²tu dideliu pelno svyravimu apie vidurki galimyb ir neleistu ramiai miegoti.

Pana²i¡ situa ij¡ pary²kina vadinamasis Sankt Peterburgo paradoksas. Taip ²is

pasirinkimo teorijos paradoksas pavadintas po to, kai 1738 metais Sankt Peterburgo

imperines mokslu akademijos leidinyje ²io paradokso sprendim¡ pristate Daniel'is

Bernoulli (17001782). Tais laikais Sankt Peterburgas buvo Europos lo²imu sostine.

Paradokso esme tokia. Tarkime, jums siulomas lo²imas metyti simetri²k¡ mone-

t¡ tol, kol i²kris pirmasis herbas. Jei herbas i²kris tik po n-ojo metimo, jus

gausite 2n dukatu priz¡. Klausimas: kiek sumoketumete uº galimyb taip lo²ti?

Jei ra ionalus lo²ejas ºaistu tik tada, kai laimejimu vidurkis butu nemaºesnis uº

lo²imo mokesti, tai uº galimyb lo²ti ²i ºaidim¡ jis atiduotu bet k¡, juk laimejimu

vidurkis yra

EX =∞∑

n=1

2nP (pirmasis herbas tiksliai n-uoju metimu) =∞∑

n=1

2n1

2n= ∞.

Kita vertus, tikimybe laimeti 1024 dukatus arba daugiau yra vos 1/512. Kitaip

tariant, daºniausiai laimetume vos kelet¡ dukatu, tad vargu, ar kas aukotu vis¡

savo turt¡ vos uº galimyb ºaisti. I²eiti i² ²ios atrodytu keblios padeties kaip

tik ir pasiule Daniel'is Bernoulli. Jis teige, kad ºmones renkasi ne pagal didºi-

ausi¡ laimejimo vidurki, bet pagal didºiausi¡ vidurkin naud¡, t.y. pagal EU(X),jei naud¡ apibreºia funk ija U . Be to, naudingumo funk ija U , igyjanti realias

reik²mes, nuo laimejimu dydºio X priklauso netiesi²kai. Veliau matysime, kad ²i

naudos funk ija daºniausiai yra didejanti, bet igaubta. Ta£iau kyla klausimas, ar

visada toki¡ naudingumo funk ij¡ galime rasti? Ir kada jos maksimizavimo uº-

davinys tiksliai i²rei²kia individo rizikos vertinim¡, t.y. kada teiginys sprendimas a1yra patrauklesnis uº a2 arba jam tapatus pasekme Xa1 yra patrauklesne uº Xa2

(ºymesime Xa1 Xa2) yra ekvivalentus nelygybei EU(Xa1) ≥ EU(Xa2)?

Pasak Peter'io C. Fishburn'o (ºr. [6, 10 skyriu), nors ideja taikyti vidurkines

naudos modeli buvo ºinoma dar nuo Bernoulli laiku, ²i¡ idej¡ aksiomatizuoti pradeta


tik praeito ²imtme£io viduryje. 1944 metais i²leistoje [16 knygoje John'as von Neu-

mann'as ir Oskar'as Morgenstern'as pasiule aksiomu sistem¡, kuri¡ veliau modi-

kavo Milton'as Friedman'as ir Leonard'as J. Savage, Ja ob'as Mars hak'as, Israel'is

Nathan'as Herstein'as ir John'as Milnor'as, Gabriel'is Cramer'as, Robert'as Dun-

an'as Lu e ir Howard'as Raia, o galiausiai ir Bla kwell'as su Girshi k'u.

Tarkime, kad P yra ²eima tikimybiniu matu, apibreºtu pasekmiu aibes X poaibiu

σ-algebroje B. Tarkime, kad aibeje P apibreºtas ra ionalus arba silpnos tvarkos

s¡ry²is , tenkinantis ²ias aksiomas:

(1) (pilnumo aksioma) Bet kuriems matams P,Q ∈ P teisinga arba P Q arba

P Q.

(2) (tranzityvumo aksioma) Bet kuriems matams P,Q,R ∈ P, jei P Q ir

Q R, tai ir P R.

Taip pat laikysime, kad tikimybiniu matu aibe P pasiºymi ²iomis savybemis:

(a) Aibei P priklauso visi ta²kiniai matai δx, x ∈ X . Priminsime, kad δx(B) =1B(x), £ia 1B(·) yra aibes B indikatorius.

(b) Aibe P yra uºdara skai£iu i²kiluju kombina iju atºvilgiu, t.y. jei Pi ∈ P, αi ≥0, i = 1, 2, . . . ,

∑∞i=1 αi = 1, tai ir

∑∞i=1 αiPi ∈ P.

( ) Aibe P yra uºdara s¡lyginiu tikimybiu atºvilgiu, t.y. kiekvienam matui P ∈ Pir kiekvienai B ∈ B tokiai, kad P (B) > 0, s¡lygine tikimybe PB priklauso aibei

P. Priminsime, kad PB(C) = P (B ∩ C)/P (B)

Tvarkos s¡ry²is tikimybiniu matu aibeje P indukuoja tvarkos s¡ry²i (ji ºymesime

tuo pa£iu ºenklu ) pasekmiu aibeje X :

x y tada ir tik tada δx δy.

Susitarsime, kad pasekmiu aibes σ-algebra B pasiºymi ²iomis savybemis:

(i) visos vienta²kes aibes priklauso B, t.y. x ∈ B su kiekvienu x ∈ X .

(ii) Kiekvienam y ∈ X , aibes x : x y ir x : y x priklauso B.

S¡lygos (i) ir (a) leidºia aibeje X apibreºti naudingumo funk ij¡, o s¡lyga (ii)garantuoja ²ios naudingumo funk ijos matum¡.

Prie² suformuluodami pagrindin ²io skyrelio teorem¡, dar paminesime vien¡

apibreºim¡:

1.2 apibreºimas . Tarkime, kad X yra pasekmiu aibe, o P yra ²eima tikimybiniu

skirstiniu aibeje X . Sakysime, kad tvarkos s¡ry²is i²rei²kiamas vidurkines nau-

dos funk ija, jei egzistuoja tokia funk ija U : X 7→ R, kuri¡ vadinsime tiesiog

naudingumo funk ija, kad visiems tikimybiniams matams P,Q ∈ P teisinga

P Q tada ir tik tada, kai EPU =

ˆ

XU(x)P (dx) ≤ EQU =

ˆ

XU(x)Q(dx).


1.1 teorema. Jei tikimybiniu matu aibe P tenkina s¡lygas (a), (b) ir (c), o pasekmiu

aibe X tenkina s¡lygas (i) ir (ii), tai tvarkos s¡ry²is i²rei²kiamas vidurkines nau-

dos funk ija, jei tenkina s¡lygas (1), (2) ir galioja

(3) (nepriklausomumo aksioma) jei P,Q,R ∈ P, P ≺ Q (t.y. P Q ir Q 6 P ),ir α ∈ (0, 1), tai αP + (1− α)R ≺ αQ+ (1− α)R;

(4) (tolydumo arba Ar himedo aksioma) jei P,Q,R ∈ P, P ≺ Q ≺ R, tai egzis-tuoja α, β ∈ (0, 1), kad αP + (1− α)R ≺ Q ≺ βP + (1− β)R;

(5) Jei P,Q ∈ P, Q ≺ δx su kiekvienu x ∈ B ir P (B) = 1, tai Q P .Analogi²kai, jei P,R ∈ P, δx ≺ R su kiekvienu x ∈ B ir P (B) = 1, tai

P R.

Be to, naudingumo funk ija, i²rei²kianti tvarkos s¡ry²i , yra vienintele teigiamos

anines transforma ijos tikslumu, t.y. jei U ir V yra dvi naudingumo funk ijos,

i²rei²kian£ios , tai egzistuoja skai£iai a ∈ R ir b > 0, kad U(x) = bV (x) + a.

Atskir¡ ²ios teoremos variant¡, kai pasekmiu aibe X yra baigtine ir (5) s¡lygayra nereikalinga, pirmieji irode von Neumann'as ir Morgenstern'as. Beje, tuomet

galioja ir atvirk²tinis teiginys: jei egzistuoja tvarkos s¡ry²i i²rei²kianti vidurkines

naudos funk ija, tai tenkinamos teoremoje minimos s¡lygos. Butent ²ios teoremos

irodym¡ galima rasti [12, ºr. 5 skyriu arba [6, ºr. 8 skyriu. Teoremos 1.1 irodym¡

ir ivairias (5) s¡lygos modika ijas galima rasti [6, ºr. 10 skyriu.

Taigi, jei individo rizikos vertinimas suderinamas su minetomis aksiomomis, tai

jis stengiasi maksimizuoti EU(X). Paºymetina, kad funk ijos U skaitine vertes

i²rai²ka daºnai neidomi, svarbus tik santykis tarp ²ios funk ijos reik²miu. Ne visi

tvirtai tiki, kad individas visada sugeba nuosekliai ir neprie²taringai suru²iuoti pa-

sekmes ar ju tikimybinius skirstinius i geresnius, blogesnius ir lygiaver£ius. Neprik-

lausomumo aksioma garantuoja, kad EU(·) tiesi²kai priklauso nuo pasirinkto tikimy-

binio mato, o taip neprivalo buti. Galiausiai, tolydumo aksioma taip pat neprivalo

galioti, ypa£ jei tenka atsiºvelgti i konkre£ias s¡lygas, kurios turi buti tenkinamos.

Dabar pateiksime kelet¡ naudingumo funk iju pavyzdºiu:

1. U(x) =

x1−r, jei r < 1;ln(x), jei r = 1;−x1−r, jei r > 1,

2. U(x) =

−e−rx, jei r > 0;x, jei r = 0;e−rx, jei r < 0,

3. U(x) = (α + x)β, α + x > 0, β ∈ (0, 1),

4. U(x) = ln(α + x), α + x > 0.

Parametro r prasme paai²kes 1.3 skyriuje.

Teiginys daugiau yra geriau gyvenime, o ypa£ verslo pasauly, maºai kam ke-

lia abejoniu, jei omeny turime individo ar imones peln¡, investi iju gr¡º¡, bet tik


ne rizik¡. Tad jei naudingumo funk ija U yra diferen ijuojama, ²i teigini gal-

ime uºra²yti matemati²kai: dU/dx > 0. Ekonomistu terminologija momenti-

nis naudingumas yra teigiamas. Kaip pavyzdi galime pamineti funk ij¡ U(x) =ln x, x > 0. Jai dU/dx = 1/x > 0. Butent ²i¡ funk ij¡ Sankt Peterburgo paradoksui

sprsti pasiule Daniel'is Bernoulli. Kitas pavyzdys ekonomikoje daºnai sutinkama

CobboDouglaso naudingumo funk ija U(x1, x2) = xε1x1−ε2 , £ia x = (x1, x2) ∈ R2

,

ε ∈ (0, 1).

1.1 pavyzdys . Jono ledu rmos naudingumo funk ija yra U(x) = 2x − 0, 01x2,x ≤ 100. Lenteleje pateikiama kaip ivairus Jono sprendimai didinti gamyb¡ atsilieps

rmos pelnui skirtingomis vasaromis.

Vasara tikimybe Pelnas tukst. litu/ men.

1000 2000 5000 10000

prasta 0,1 8 12 16 20

vidutine 0,2 2 8 12 16

gera 0,5 2 4 6 8

puiki 0,2 12 20 24 26

Kiek por iju reiktu Jonui padidinti gamyb¡, norint maksimizuoti vidurkines nau-

dos funk ij¡? Manykite, kad rma neturi pradinio kapitalo, t.y. k = 0.Sprendimas. Nesunku isitikinti, kad bendruoju atveju

EU(k +X) = (2k − 0, 01k2) + (2− 0, 02k)EX − 0, 01EX2,

£ia X = X1000, X2000, X5000 arba X10000. Taigi turime suskai£iuoti reikiamus vidurk-

ius ir palyginti EU(k +X) reik²mes. Rezultatus sura²ykime i lentel:

i reik²me

Vidurkis 1000 2000 5000 10000

EXi 2,2 3,2 3,8 4

EX2i 38 115,2 187,6 258,4

EU(Xi) 4,02 5,248 5,724 5,416

I² lenteles matome, kad Jono rma gamyb¡ turetu padidinti 5000 por iju.

1.2 pavyzdys . Statybos rma rengiasi varºytis del vyriausybinio uºsakymo. ios

rmos naudingumo funk ija U(x) = 5x − 0, 01x2, £ia x ≤ 100 rei²kia rmos peln¡

tukstan£iais litu. Dokumentu paruo²imas kainuoja 8000 litu, ir tiek nuostoliu patirturma, jei uºsakymo negautu. Kita vertus, jei uºsakymas butu laimetas, rma

uºdirbtu 48000 litu, t.y. gautu 40000 litu pelno. Firma mano, kad tikimybe laimeti

uºsakym¡ yra 0, 3. Ar rmai verta dalyvauti konkurse?

Sprendimas. Jei rma konkurse nedalyvaus, tai jos pelnas bus T1 = 0 tuks-

tan£iu litu, tad ir EU(T ) = 0. Kita vertus, jei konkurse bus dalyvaujama, rmos

pelnas bus atsitiktinis dydis T = −8 +X , £ia X = 0 su tikimybe 0, 7 ir X = 48 su

tikimybe 0, 3. Vidurkine nauda bus

EU(T2) = 0, 7U(−8) + 0, 3U(40) = 26, 752 > 0.


Vadinasi, konkurse rmai dalyvauti reiketu.

Pratimai

1. Ar Jono rmos (ºr. 1.1 pavyzdi) sprendimas priklauso nuo pradinio kapitalo

k? Panagrinekite atvejus k = 10, 50, 80.

2. Kokia sekmes tikimybe suvienodintu statybos rmos (ºr. 1.2 pavyzdi) pasirin-

kim¡ varºytis ar ne?


1.2 Rizikos priemoka

Dabar panagrinesime, kaip prie²i²kumas rizikai susijs su naudingumo funk ija U .Tarkime, kad investuotojo pradinis kapitalas yra k ir ateityje (pvz., po metu) jis

tikisi gauti X litu pelno. Tuomet investuotojo ateities turtas yra T = k +X . Beje,

X gali buti gautas tiek i² investuotojo jau vykdomos veiklos (pvz., turimu investi iju,

gamybos,...), tiek i² naujos veiklos. Susitarsime k laikyti ºinomu ir neatsitiktiniu,

o X bus atsitiktinis dydis, kurio vidurkis EX < +∞, o dispersija DX maºa. Taip

pat tarsime, kad tre£iasis absoliutusis X entrinis momentas, t.y. E|X − EX|3 yra

maºesnes eiles uº dispersij¡ DX (daºnai ²is dydis elgiasi kaip (DX)3/2), o U priklauso

nuo T ir yra didejanti funk ija, t.y. didesnes ateities turto reik²mes investuotojo

vertinamos labiau.

Investuotojas susiduria su rizika, todel jam svarbu j¡ kaip nors sumaºinti arba

visai eliminuoti. Kita vertus, prisiimant nauj¡ rizik¡ svarbu ivertinti savo galimybes,

kad nelaimes atveju nei²tiktu bankrotas. Ta£iau ne maºiau svarbu moketi apskai-

£iuoti, kiek uº rizikos panaikinim¡ jis ryºtusi moketi. Taip rizika tampa preke, o jos

pardavimo kain¡ Rs apibre²ime taip:

1.3 apibreºimas . Rizikos pardavimo kaina Rs vadinsime pinigu kieki, uº kuri

investuotojas sutiktu i²keisti (parduoti) riziking¡ peln¡ X , t.y. alternatyvos ateity

tureti k +Rs ir k +X jam yra ekvivalen£ios.

Kadangi funk ija U yra didejanti, pardavimo kaina Rs yra maºiausias (neneigia-

mas) sprendinys lygties:

U(k +Rs) = EU(k +X).

Kita vertus, svarbus ir rizikos pirkejo poºiuris bei rizikos pardavimo kaina.

1.4 apibreºimas . Rizikos pirkimo kaina Rb vadinsime pinigu kieki, uº kuri inves-

tuotojas sutiktu prisiimti (pirkti) riziking¡ peln¡ X , t.y. alternatyvos k ir T −Rb =(k +X)− Rb jam butu lygiavertes.

Todel Rb yra maºiausias (neneigiamas) sprendinys lygties:

U(k) = EU(k +X − Rb).

Kai nera pradinio kapitalo efekto, t.y. kai U(T ) = k + U(X), gauname Rs = Rb.

Ta£iau daºniausiai pradinio kapitalo efektas stebimas, jo itaka funk ijai U nera

tiesine, todel Rs 6= Rb.

1.5 apibreºimas . Rizikos priemoka (premija) R vadinsime pinigu kieki, uº kuri

investuotojui butu tas pats rinktis riziking¡ peln¡ X ar gauti uºtikrint¡ sum¡

EX − R.

Kitaip tariant, R yra sprendinys lygties:

EU(T ) = U(ET − R). (1.1)

1.2 Rizikos priemoka 15

Funk ij¡ U susitareme laikyti didejan£ia, todel egzistuoja jai atvirk²tine U−1, o (1.1)

lygti galime i²sprsti R atºvilgiu:

R = ET − U−1(EU(T )). (1.2)

Pastebesime, kad R priklauso nuo k ir a.d. X skirstinio. Kai bus svarbu, ²i¡ prik-

lausomyb i²reik²ime ºymedami R(k,X). Be to, i² (1.1) matome, kad maksimizuoti

EU(T ) yra tas pats kaip ir maksimizuoti neatsitiktini dydi U(ET−R). Todel papras-tai skirtumas ET − R vadinamas atsitiktinio ateities turto T tikrumo ekvivalentu.

Skai£iu R galetume vadinti ir ²e²eline prisiimtos rizikos kaina, nes ji maºina lauki-

am¡ (vidurkini) turt¡ ET = k + EX . Be to, priemoka R rodo investuotojo sieki

apsidrausti:

• jei R > 0, investuotojas rizikos bijo, jis yra rizikai prie²i²kas;

• jei R = 0, investuotojas rizikai neutralus;

• o jei R < 0, tai investuotojas megsta rizikuoti.

Jei naudingumo funk ija U yra glodesne, pvz., dukart tolydºiai diferen ijuojama,

tai, pasinaudoj Teiloro skleidiniu su Peano formos liekamuoju nariu

2

ta²ko k+EXaplinkoje, gausime

U(k+X) = U(k+EX)+U ′(k+EX)(X−EX)+1

2U ′′(k+EX)(X−EX)2+O(|X−EX|3).

Suvidurkin ir prisimin prielaid¡ apie tre£iojo absoliutaus entrinio X momento

elgesi, turesime

EU(T ) = U(k + EX) +1

2U ′′(k + EX)DX + o(DX),

kai DX → 0. Kita vertus, to paties ta²ko k + EX aplinkoje, t.y., kai R → 0,

U(k + EX − R) = U(k + EX)− U ′(k + EX)R +O(R2).

Todel

R = −1

2

U ′′(k + EX)

U ′(k + EX)DX + o(DX), (1.3)

t.y. rizikos priemoka ateities turto vidurkio aplinkoje apytiksliai propor inga pelno

X dispersijai. Santykis

r = r(k + EX) = −U′′(k + EX)

U ′(k + EX)

vadinamas ArrowPratt'o absoliutaus prie²i²kumo rizikai koe ientu ta²ke k+ EX .

io koe iento ºenklas parodo investuotojo poºiuri i rizik¡. Daºnai laikoma, kad

naudingumo funk ija U yra glodi ir didejanti, todel U ′ > 0. Todel i²vestines U ′′

ºenklas nusako

2

Landau ºymenys f(x) = O(g(x)) ir f(x) = o(g(x)), kai x → a, rei²kia, kad santykis f(x)/g(x)yra apreºtas i² vir²aus ir atitinkamai arteja i nuli, kai x → a.


• rizikos baim, jei U ′′ < 0;

• abejingum¡ rizikai, jei U ′′ = 0;

• ir meil" rizikai, jei U ′′ > 0.

Reikia nepamir²ti, kad rezultatai galioja tik ateities turto vidurkio k + EXaplinkoje. Todel lieka neai²ku, ar galime k¡ nors pasakyti apie rizikos vengim¡

kitu ta²ku aplinkose. Jei U ′ > 0, analogi²ki teiginiai gaunami i² Jenseno nelygybes:

1.2 teorema . (Jenseno nelygybe) Tegu C yra netu²£ia, i²kila erdves RkBorelio

aibe, o f yra i²kila funk ija, apibreºta aibeje C. Tarkime, kad X yra integruojamas

atsitiktinis vektorius, igyjantis reik²mes aibeje C. Be to, laikysime, kad f(X) yra

mati funk ija. Tuomet EX ∈ C, vidurkis Ef(X) yra apibreºtas, −∞ < Ef(X) ≤+∞, ir Ef(X) ≥ f(EX).

ios teoremos irodym¡ galima rasti daugelyje tikimybiu teorijos vadoveliu, pvz.

[5, ºr. 10.2.6 teorem¡. Kaip pavyzdi panagrinekime situa ij¡, kai ateities pelnas Xgali igyti vos dvi reik²mes x1 ir x2. Tegu P (X = x1) = p ir P (X = x2) = 1− p, £iap ∈ [0, 1]. Jei funk ija f : C → R yra i²kila, tai pagal apibreºim¡

f(tx+ (1− t)y) ≤ tf(x) + (1− t)f(y), bet kuriems x, y ∈ C, ir t ∈ [0, 1].

Imdami x = x1, y = x2 ir t = p, gausime

f(EX) = f(px1 + (1− p)x2) ≤ pf(x1) + (1− p)f(x2) = Ef(X).

Jei funk ija f yra igaubta, Jenseno nelygybes ºenklas ≤ kei£iamas i ≥. Todel

rizikai prie²i²ko investuotojo atveju, t.y. jei naudingumo funk ija U yra igaubta, i²

Jenseno nelygybes gauname EU(X) ≤ U(EX), ir gra²kai situa ij¡ galime pavaiz-

duoti kaip parodyta 1.1 paveiksle.

EU(X)

U(EX)

EX −R

EXx1 x2

R

1.1 pav. Rizikai prie²i²ko investuotojo naudingumo funk ija, kai X ∈ x1, x2.

1.2 Rizikos priemoka 17

Dauguma investuotoju rizikai prie²i²ki. Norint tuo isitikinti, uºtenka suskai£iuoti

klestin£ias draudimo bendroves. Dabar ksuokime ω ∈ Ω, o kartu ir pelnoX reik²m

X(ω), ir uºra²ykime ArrowPratt'o koe ient¡ kiek kitaip:

r(y) = −(lnU ′)′(y),

£ia y = y(k) = k + X(ω) ∈ (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ +∞, manysime esant kintamo

pradinio kapitalo k funk ija. Integruodami abi lygybes puses y atºvilgiu intervale

[a, y1] gausime

ˆ y1

a

r(y) dy = −ˆ y1

a

(lnU ′)′(y) dy

= − lnU ′(y1) + lnU ′(a).

Todel

exp−ˆ y1

a

r(y) dy= CU ′(y1), £ia C = (U ′(a))−1

ir

ˆ k+X(ω)

a

exp−ˆ y1

a

r(y) dydy1 = CU(k +X(ω)) + C1,

£ia C1 = −CU(a). inome, kad naudingumo funk ija nusakoma anines transfor-

ma ijos tikslumu, todel galime manyti, kad C = 1 ir C1 = 0, t.y.

U(k +X(ω)) =

ˆ k+X(ω)

a

exp−ˆ y1

a

r(y) dydy1.

Vadinasi, ºinodami ArrowPratt'o koe ient¡, galime rasti ir pa£i¡ naudingumo

funk ij¡.


1.3 Absoliutus prie²i²kumas rizikai

Panagrinekime atskir¡ atveji, kai Arrow-Pratt'o koe ientas r yra pastovus. Inves-

tuotojas, kurio naudingumo funk ija U(x), x ∈ (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ +∞, tenkina

²i¡ s¡lyg¡, pasiºymi pastoviu absoliu£iu prie²i²kumu rizikai (trumpinsime PAPR)

3

Tuomet kiekvienam x ∈ (a, b) gausime

U(x) =

ˆ x

a

exp−ˆ y1

0

r dydy1

=

ˆ x

a

e−ry1 dy1 =

−1

re−rx + c, jei r 6= 0;

x, jei r = 0.

Jei prisiminsime, kad naudingumo funk ijos nusakomos anines transforma ijos tik-

slumu, ir tai, kad susitareme nagrineti naudingumo funk ijas, tenkinan£ias s¡lyg¡

U ′ > 0, tai gausime PAPR naudingumo funk iju klas:

U(x) =

e−rx, jei r < 0;x, jei r = 0;−e−rx, jei r > 0.

Vadinasi, rizikai neutralus (abejingas) investuotojas (kai r = 0), kurio naudingumo

funk ija yra tiesine, yra tik atskiras PAPR investuotojo pavyzdys. Be to, jei r 6= 0,tai

EU(T ) = ±Ee−rT = ±e−rkEe−rX ,

t.y. bet kokiam pradiniam kapitalui k vidurkine nauda propor inga Ee−rX. Pro-

por ingumo koe ientas yra prie²ingo ºenklo nei Arrow-Pratt'o koe ientas r, t.y.jis yra teigiamas, kai r < 0, ir neigiamas, kai r > 0. Taigi, jei r yra pastovus, tai

ksuotas pradinis kapitalas itakos investuotojo rizikingam sprendimui neturi, nes

maksimizuojant vidutin naud¡ EU(T ), teks minimizuoti/maksimizuoti tik Ee−rX.

Kitaip tariant, pasirink eksponentin naudingumo funk ij¡, labai apribojame eko-

nominiu sprendimu laisv. Pavyzdºiui, jei investuotojas prie²i²kas rizikai (R > 0)ir jo naudingumo funk ija U(x) = −e−rx

, r > 0, tai rizikos priemok¡ R galime

apskai£iuoti i²sprend lygti:

E

(− e−r(k+X)

)= −e−r(k+EX−R).

Nesunku isitikinti, kad

R = EX +1

rln(Ee−rX),

t.y. rizikos priemoka nepriklauso nuo pradinio kapitalo k. Stebime vadinam¡ji nulini

pradinio kapitalo efekt¡. Analogi²k¡ rezultat¡ gautume ir likusiais atvejais, t.y. kai

r = 0 ir r < 0 (patikrinkite).

3

Angl. onstant absolute risk aversion arba CARA. Kartais vartojamas ir kitas terminas

pastovus absoliutus rizikos vengimas.

1.3 Absoliutus prie²i²kumas rizikai 19

Jei rizikos priemok¡ interpretuojame kaip investuotojo nor¡ apsidrausti, tai pas-

tovaus absoliutaus prie²i²kumo rizikai (PAPR) atveju gauname, kad investuotojo

pradinis kapitalas norui apsidrausti itakos neturi. Tarkime, kad atsitiktinio pelno

X skirstinys yra normalusis su vidurkiu µ ir dispersija σ2. Be to, laikykime, kad

investuotojas rizikai prie²i²kas (r > 0) ir jo naudingumo funk ija U(x) = −e−rx.

Tada

E

(− e−r(k+X)

)=

−1√2πσ

e−rk

ˆ

R

e−rx−(x−µ)2/(2σ2) dx

=−1√2πσ

e−rk−(µ2−(µ−σ2r)2)/(2σ2)

ˆ

R

e−(x−(µ−rσ2))2/(2σ2) dx

= −e−r(k+µ−rσ2/2),

t.y. vidurkine nauda yra didejanti rei²kinio k+µ− rσ2/2 funk ija. Todel, noredami

maksimizuoti vidurkin naud¡, turime maksimizuoti tik minet¡ji rei²kini. Be to,

tikrumo ekvivalentas ET −R = k+EX−R = k+µ−R = k+µ− rσ2/2. Vadinasi,R = rσ2/2 bet kurio ta²ko ET aplinkoje, t.y. apytikre lygybe R ≈ rDX/2 (ºr. (1.3)formul) PAPR investuotojo ir pagal normaluji desni pasiskirs£iusio pelno X atveju

virsta lygybe.

O k¡ daryti, jei rizikos priemoka R priklauso nuo pradinio kapitalo k?

1.6 apibreºimas. Sakysime, kad absoliutus investuotojo prie²i²kumas rizikai dideja

(jis pasiºymi DAPR), nekinta (PAPR) arba maºeja (MAPR),

4

jei jo rizikos priemoka

R yra atitinkamai didejanti, pastovi arba maºejanti pradinio kapitalo k funk ija.

Jei absoliutus prie²i²kumas rizikai dideja, tai investuotojo noras apsidrausti,

didejant k, taip pat dideja, t.y. turtas ir rizikos draudimas vienas kit¡ papildo.

O jei absoliutus prie²i²kumas rizikai maºeja, didejant pradiniam kapitalui k, tai in-vestuotojas vis maºiau nori draustis, vadinasi, turtas ir rizikos draudimas vienas

kit¡ kompensuoja. Gyvenimi²ka patirtis ir empiriniai duomenys daºniausiai i²ry²k-

ina MAPR egzistavim¡. Turtingesni investuotojai, net ir budami prie²i²ki rizikai,

daºniausiai jau£iasi saugesni ir re£iau skuba draustis.

Panagrinekime, kaip susij rizikos priemoka R, apibudinanti globalu investuo-tojo prie²i²kum¡ rizikai, ir ArrowPratt'o koe ientas r, apibudinantis lokalu in-

vestuotojo prie²i²kum¡ rizikai. Ai²ku, jei dvieju investuotoju ArrowPratt'o koe-

ientai r1 ir r2 tenkina nelygyb r1(x) > r2(x) visiems x i² kokio nors ta²ko x0aplinkos, tai ir atitinkamos rizikos priemokos R1(k,X) ir R2(k,X) tenkins nelygybR1(k,X) > R2(k,X), jei tik rizika X bus nedidele (tiksliau, DX bus maºa) (ºr.

(1.3)). Ta£iau apie rizikos priemoku s¡ry²i galima pasakyti daugiau, jei ºinome,

kaip susij ArrowPratt'o koe ientai. Tiksliau, teisinga tokia teorema.

1.3 teorema . (Pratt'o teorema) Tarkime, kad dvieju investuotoju naudingumo

funk ijos yra U1(x) ir U2(x), x ∈ I = (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Tegu abi

4

Angli²koje literaturoje DAPR vadinamas in reasing absolute risk aversion ir trumpinamas

IARA, maºejantis de reasing absolute risk aversion arba DARA, o pastovus jau minetasis

CARA.


funk ijos U1 ir U2 yra dukart tolydºiai diferen ijuojamos ir U ′i > 0, i = 1, 2. Abieju

investuotoju rizikos premijas paºymekime atitinkamai R1(k,X) ir R2(k,X), o ju

ArrowPratt'o koe ientus r1(x) ir r2(x). Tuomet ²ie teiginiai ekvivalentus:

(i) r1(x) ≥ r2(x) visiems x ∈ I;

(ii) R1(k,X) ≥ R2(k,X) visiems k ir X tokiems, kad k +X ∈ I.

Be to, ekvivalentus ir grieºtesni teiginiai:

(i') r1(x) ≥ r2(x) visiems x ∈ I, ir r1(y) > r2(y) bent su vienu y ∈ I ′ visiems

intervalams I ′ ⊂ I;

(ii') R1(k,X) > R2(k,X) visiems k ir X tokiems, kad k +X ∈ I.

Irodymas. (i)⇒(ii) (ir (i')⇒(ii')) Pasitelk rizikos priemokos i²rai²k¡ (ºr. (1.2) for-

mul), kai T = k +X ∈ I turime

Ri(k,X) = ET − U−1i (EUi(T )), i = 1, 2.

Paºymekime t = U2(T ) (t.y. T = U−12 (t)) ir panagrinekime skirtum¡

R1(k,X)− R2(k,X) = U−12 (Et)− U−1

1 (EU1(U−12 (t))). (1.4)

Toliau naudosime Jenseno nelygyb, bet tam reikia i²tirti funk ijos U1(U−12 (t)) i²ki-

lum¡. Prisimin sudetiniu ir atvirk²tiniu funk iju diferen ijavim¡, galime uºra²yti

d

dtU1(U

−12 (t)) = U ′

1(U−12 (t))

d

dtU−12 (t) =

U ′1(U

−12 (t))

U ′2(U

−12 (t))

= explnU ′1(T )

U ′2(T )

.

Logaritmuoti galejome, nes naudingumo funk iju i²vestines pagal musu susitarim¡

yra teigiamos. Pastebesime, kad

d

dtU−12 (t) = 1/U ′

2(U−12 (t)) =

dT

dt> 0 ir

d

dtlnU ′1(T )

U ′2(T )

=U ′2(T )

U ′1(T )

· U′2(T )U

′′1 (T )− U ′

1(T )U′′2 (T )(

U ′2(T )

)2dT

dt= (r2(T )− r1(T ))

dT

dt.

Vadinasi, jei r1(x) ≥ r2(x) kiekvienam x ∈ I, taid

dtlnU ′1(T )

U ′2(T )

≤ 0. Todel funk ija

U1(T ) = U1(U−12 (t)) yra igaubta kintamojo t funk ija,5 nes

d2

dt2(U1(U

−12 (t))

)=

d

dtexp

lnU ′1(T )

U ′2(T )

= exp

lnU ′1(T )

U ′2(T )

ddt

lnU ′1(T )

U ′2(T )

≤ 0.

Todel, pasinaudoj (1.4), gausime

R1(k,X)− R2(k,X) ≤ U−12 (Et)− U−1

1 (U1(U−12 (Et))) = 0,

visiems k ir X tokiems, kad k+X ∈ I. Nelygybes bus grieºtos, jei (i) keisime i (i').

5

Kiekvienai ω ∈ Ω reik²mei, kuri¡ trumpindami ºymejimus praleidome.

1.3 Absoliutus prie²i²kumas rizikai 21

(ii)⇒(i) i teigini gauname i² jau irodytos dalies prie²taros budu. Tarkime, kad

galioja (ii), bet (i) negalioja, t.y. yra bent vienas ta²kas y ∈ I, kuriam teisinga

nelygybe r1(y) < r2(y). Kadangi r(x) yra tolydi x funk ija (pagriskite!), egzistuoja

tokiu ta²ku intervalas I ′, y ∈ I ′ ⊂ I, kuriame galioja (i'), sukeitus r1 ir r2 vietomis. I²

jau irodytos dalies gauname, kad intervale I ′ teisinga ir (ii') su vietomis sukeistomis

R1 ir R2, o tai rei²kia, kad neteisinga (ii). Prie²tara.

Teiginys (ii')⇒(i') irodomas analogi²kai. Siulome patiems tuo isitikinti.

Jei ta²ko x = k + EX aplinkoje egzistuoja U ′′′, tai investuotojo, pasiºymin£io

MAPR, naudingumo funk ija U tenkina s¡lyg¡ U ′′′(x) > 0. I² tiesu, jei rizikos

priemoka R yra maºejanti k funk ija, t¡ pati galime pasakyti ir apie Arrow-Pratt'o

koe ient¡ r. Tad, jei egzistuoja U ′′′, galime uºra²yti

r′(x) = −U′(x)U ′′′(x)−

(U ′′(x)

)2(U ′(x)

)2 < 0.

I² £ia gauname, kad

U ′′′(x)

U ′(x)>(U ′′(x)

U ′(x)

)2= r2(x) ≥ 0.

Kadangi U ′(x) > 0, tai ir U ′′′(x) > 0.

1.3 pavyzdys . Panagrinekime kvadratin naudingumo funk ij¡

U(T ) = α + βT +1

2γT 2.

Nesunku pastebeti, kad U ′(T ) = β + γT , U ′′(T ) = γ, o U ′′′(T ) = 0. Jei norime, kad

U ′ > 0, reikia reikalauti β + γT > 0. Priklausomai nuo γ ºenklo, rizikos priemoka

R gali buti didesne, lygi arba maºesne uº nuli. (Apskai£iuokite rizikos priemok¡ bei

ArrowPratt'o koe ient¡.) Be to,

EU(T ) = α + βET +1

2γET 2 = α + βET +

1

2γ((k + EX)2 + DX

)= f(EX,DX).

Kitaip tariant, kvadratines naudingumo funk ijos vidurkis yra pelno vidurkio ir

dispersijos funk ija.

Todel veliau galesime i²pletoti tokiu funk iju teorij¡, t.y. vidurkin-dispersin

analiz.

Tiesa, kvadratine naudingumo funk ija nepakankamai lanksti, nes U ′′′ = 0, t.y.MAPR investuotojui ji netinka, ir pradinio kapitalo efekto nematysime.

Pratt'o teorema leidºia pagal ArrowPratt'o koe ient¡ nusprsti, kada inves-

tuotojas pasiºymi DAPR, kada PAPR, o kada MAPR. Teisinga tokia teorema:

1.4 teorema . ie teiginiai yra ekvivalentus:

(i) ArrowPratt'o koe ientas r(x) yra (grieºtai) maºejanti x ∈ I funk ija;

(ii) Rizikos priemoka R(k,X) yra (grieºtai) maºejanti k funk ija visiems X tok-

iems, kad k +X ∈ I,


£ia I = (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ +∞.

Irodymas. Rezultatai gaunami i² Pratt'o teoremos, kai U1(x) = U(x), o U2(x) =U(k + x) bet kuriems x ∈ I ir k tokiems, kad x+ k ∈ I.

Uºdaviniai

1. Irodykite teorem¡:

Tegu a > 0. Tuomet funk ija U1(x) = U(ax + b) yra (grieºtai) maºejanti

rizikos nevengian£io, t.y. tokio kurio rizikos priemoka R(k,X) ≥ 0, (arba

rizikai prie²i²ko, t.y. tokio, kurio R(k,X) > 0) investuotojo funk ija, kai x ∈[x0, x1], tada ir tik tada, kai pati U(x) yra tokio paties investuotojo naudingumo

funk ija, kai ax0 + b ≤ x ≤ ax1 + b.

2. Kokiame intervale funk ija U(x) = (xa + b)−c, a > 0, c > 0, yra investuotojo,

pasiºymin£io MAPR, naudingumo funk ija?

3. Ar ²ios funk ijos gali buti investuotojo, pasiºymin£io MAPR, naudingumo

funk ijos?

(a) U(x) = (x+ d)q, kai d ≥ 0, 0 < q < 1;

(b) U(x) = log(x+ d), kai d ≥ 0;

( ) U(x) = −(x+ d)−q, kai d ≥ 0, 0 < q;

(d) U(x) = log((x+ d) + (x+ d)2 + b), kai d ≥ |b|1/2;(e) U(x) = arctan(αx+ β), kai α > 0, β ≥ 1;

(f) U(x) = log(1− (αx+ β)−1), kai α > 0, β ≥ 1;

(h) U(x) = (1 + (αx+ β)−2)−1/2, kai α > 0, β ≥ 1;

(i) U(x) = −(1− (αx+ β)−2)−1/2, kai α > 0, β ≥ 1;

(j) U(x) = −c1e−cx − c2e−dx

, kai c1 > 0, c2 > 0, c > 0 ir d > 0;

(k) U(x) = − log(d1 + log(x+ d2)), kai d1 ≥ 0, d2 ≥ 0 ir d1 + log d2 ≥ 0.

1.4 Santykinis prie²i²kumas rizikai 23

1.4 Santykinis prie²i²kumas rizikai

Rizikos priemok¡ R apibreºeme kaip pinigu sum¡, kuri¡ investuotojas sutiktu su-

moketi draudikui, kad galetu i²keisti atsitiktini turt¡ T = k + X i neatsitiktini

vidurkini turt¡ ET . Ta£iau ²i pingu suma priklauso ir nuo matavimo vienetu, t.y.

nuo to ar skai£iuojame litais, doleriais, eurais,... Butu naudinga tuos vienetus su-

vienodinti ir skai£iuoti, koki¡ turto dali (propor ij¡) investuotojas sutinka atiduoti,

kad panaikintu rizik¡. Todel apibre²ime santykin rizikos priemok¡ R.

1.7 apibreºimas . Santykine rizikos priemoka R yra turto T dalis, kuri¡ inves-

tuotojas sutinka sumoketi, kad alternatyvos gauti riziking¡ T ir gauti uºtikrint¡(1− R)ET jam yra lygiavertes, t.y.

EU(T ) = U((1− R)ET ) = U(ET − R).

Jei U yra didejanti, tai (1 − R)ET = ET − R arba R = R/ET . Kitaip tari-

ant, santykine rizikos priemoka yra rizikos priemokos ir vidurkinio turto santykis,

nepriklausantis nuo matavimo vienetu.

O kaip R elgiasi kintant k? Kaip ir absoliutaus prie²i²kumo rizikai atveju i²skiri-

ami trys modeliai:

1) didejantis santykinis prie²i²kumas rizikai (DSPR), kai R yra didejanti k funk-

ija;

2) pastovus santykinis prie²i²kumas rizikai (PSPR), kai R nepriklauso nuo k;

3) maºejantis santykinis prie²i²kumas rizikai (MSPR),

6

kai R yra maºejanti kfunk ija.

Paºymekime T = T/ET . Tuomet DX = DT = (ET )2DT . inome, kad jei

funk ija U yra pakankamai glodi, tai ta²ko k + EX aplinkoje

R =r

2DX + o(D(X)) =

r

2(ET )2DT + o(D(T )).

Vadinasi,

R =r

2ETDT + o(D(T )) =

r

2DT + o(D(T )), £ia r = −U

′′(k + EX)

U ′(k + EX)ET.

Koe ientas r vadinamas ArrowPratt'o santykinio prie²i²kumo rizikai koe ientu.

Jei ET > 0, tai galime uºra²yti:

r = −(U ′′(x)

U ′(x)· x)∣∣∣

x=ET= −

ddx

lnU ′(x)ddx

ln x

∣∣∣x=ET

,

t.y. r lygus neigiamam momentines naudos elastingumui ateities turto vidurkio

atºvilgiu. Vadinasi, r matuoja kaip sumaºeja momentine nauda 1% padidinus ET .Pastebesime, kad r nepriklauso nuo matavimo vienetu.

Kaip ir absoliutaus prie²i²kumo rizikai atveju galima irodyti toki teigini:

6

Angli²koje literaturoje didejantis, pastovus ir maºejantis santykinis prie²i²kumas rizikai

atitinkamai vadinami in reasing relative risk aversion (IRRA), onstant relative risk aversion

(CRRA) ir de reasing relative risk aversion (DRRA).


1.5 teorema . ie teiginiai yra ekvivalentus:

(i) ArrowPratt'o santykinis koe ientas r(x) yra (grieºtai) maºejanti x ∈ Ifunk ija;

(ii) Santykine rizikos priemoka R(k,X) yra (grieºtai) maºejanti k funk ija visiems

X tokiems, kad k +X ∈ I,

£ia I = (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ +∞.

Irodymas. Pakanka pasinaudoti Pratt'o teorema, kai U1(x) = U(x), o U2(x) =U(kx), bet kuriems x ∈ I ir k tokiems, kad k + x ∈ I.

Jei r yra konstanta, tai

U(x) =

x1−r, jei r < 1;ln x, jei r = 1;−x1−r, jei r > 1.

Pastovus santykinis prie²i²kumas rizikai dar nerei²kia pastovaus absoliutaus prie-

²i²kumo. I² tiesu, jei x = ET , tai r = rx, o

dr

dx= r + x

dr

dx.

Jei

ddxr = 0, t.y. investuotojas pasiºymi PSPR, tai x dr

dx= −r. Todel, jei r > 0 ir

x > 0, gauname

drdx< 0, t.y. absoliutus prie²i²kumas rizikai maºeja.

1.4 pavyzdys . Panagrinekime toki¡ naudingumo funk ij¡:

U(x) =(α +

βx

1− γ

)1−γ

,

£ia α, β ir γ yra parametrai, o α + βx/(1− γ) > 0. Apskai£iuokime koe ient¡ r:

U ′(x) = β(α +

βx

1− γ

)−γ

,

U ′′(x) =−β2γ

1− γ

(α +

βx

1− γ

)−γ−1

.

Todel

r(x) = −U′′(x)

U ′(x)=

βγ

α(1− γ) + βxir r =

βγx

α(1− γ) + βx.

Kai α = 1 ir γ → −∞, tai U(x) → eβx. Kita vertus, kai α = 0, r = γ.

1.5 pavyzdys . Dabar panagrinekime toki¡ naudingumo funk ij¡:

U(x) = x− ax2

2, a > 0, x < 1/a (kad U ′(x) > 0).

Tarkime, kad pradinis kapitalas k > 0. Lengvai apskai£iuojame i²vestines

U ′(x) = 1− ax, U ′′(x) = −a.

1.4 Santykinis prie²i²kumas rizikai 25

Todel r(x) = a/(1−ax) yra didejanti x (o kartu ir pradinio kapitalo k) funk ija. Juox didesnis ir artimesnis 1/a, tuo didesnis ir absoliutus prie²i²kumas rizikai, o kartu

ir rizikos priemoka. Vadinasi, neturtingas investuotojas (kurio pradinis kapitalas kyra maºesnis) i riziking¡ turt¡ investuos daugiau, nes tokiam investuotojui rizikos

priemoka yra maºesne.

Analogi²ka situa ija yra ir su eksponentine naudingumo funk ija U(x) = −e−ax,

a > 0. Nesunku isitikinti, kad ²ikart r(x) = a, o r = ax, t.y. santykinis prie²i²kumas

yra didejanti x (o kartu ir k) funk ija. Vadinasi, turtingas investuotojas (kurio

pradinis kapitalas k yra didesnis) i riziking¡ turt¡ investuos maºesn savo kapitalo

dali.

1.6 pavyzdys . Tarkime, kad jusu naudingumo funk ija yra

U(x) =x1−γ

1− γ,

pradinis kapitalas k = 0 ir ateityje jus tikites gauti atsitiktini peln¡ X , lygu 85 arba

115 litu, su lygiomis tikimybemis p = 1/2. Uº koki¡ ºemiausi¡ kain¡ parduotumete

savo riziking¡ turt¡? ia ie²kome kainos Rs, kuri tenkina lygti

R1−γs

1− γ= U(Rs) = EU(x) =

1

2

(851−γ

1− γ+

1151−γ

1− γ

).

J¡ i²sprend gausime

Rs =(851−γ + 1151−γ

2

)1/(1−γ)

.

Tad jei γ = 0, 2, 5, 10 arba 25, tai atitinkamai gausime K = 100, 97, 75, 94, 69, 91, 16arba 87, 49.

Beje, jei 85 ir 115 butu pakeistos i 85c ir 115c, £ia c yra teigiamas skai£ius, tai ir

K pasikeistu i Kc. i savybe budinga funk ijoms U(x), pasiºymin£iomis pastoviu

santykiniu prie²i²kumu rizikai.

Uºdaviniai

1. Tarkime, pradinis investuotojo kapitalas k = 20 ir laukiamas atsitiktinis pelnas

X ∈ −10, 0, 10, 20. Atitinkamos tikimybes yra P (X = −10) = 0, 2, P (X =0) = 0, 3, P (X = 10) = 0, 3, ir P (X = 20) = 0, 2. Pradinis kapitalas ir

atsitiktinis pelnas matuojami tukstan£iais litu. Tarkime, kad investuotojo

naudingumo funk ija U(x) = −e−0,2x.

(a) Raskite rizikos priemok¡ ir funk ijos U tikrumo ekvivalent¡.

(b) Nustatykite, kaip ²ie dydºiai pakis, jei k = 20 bus pakeistas i k = 30.

( ) Kaip pakis rizikos priemoka ir tikrumo ekvivalentas, jei tikimybes yra

P (X = −10) = 0, 3, P (X = 0) = 0, 2, P (X = 10) = 0, 2, ir P (X =20) = 0, 3.

(d) Kaip pakis rizikos priemoka ir tikrumo ekvivalentas, jei tikimybes yra

P (X = −10) = 0, 3, P (X = 0) = 0, 2, P (X = 10) = 0, 3, ir P (X =20) = 0, 2.


2. I²sprskite 1 uºdavini laikydami, kad funk ija U(x) = ln x. Paai²kinkite savoatsakymus.

3. I²sprskite 1 uºdavini laikydami, kad funk ija U(x) = −1/x. Paai²kinkite savoatsakymus.

4. Kokiu absoliu£iu ir santykiniu prie²i²kumu rizikai pasiºymi investuotojas, kurio

naudingumo funk ija yra U(x) = −e−q−1(x+b)q, b ≥ 1, q < 1, q 6= 0, kai

(a) 0 < q < 1,

(b) q < 0 ir b = 0,

( ) q < 0 ir b > 0.

Komentarai ir literatura

is skyrius parengtas pagal Chavas [3 knyg¡, Holton ir Pratt'o straipsnius [7,

[14. Norintiems suºinoti daugiau apie Frank'o Knight'o bei Harry Markowitz'o

teiginius siulome susirasti [8 ir [10.

1.5 Vidurkinedispersine analize 27

1.5 Vidurkinedispersine analize

Skyrelis parengtas pagal A. Penati ir G. Penna hi paskaitu konspekt¡.

Tegu kaip ir anks£iau k > 0 yra pradinis investuotojo kapitalas (neatsitiktinis),

o X ºymi atsitiktini peln¡. Tuomet investuotojo ateities turtas bus

T = k +X = k(1 + r) = kVp,

£ia r = X/k yra santykine turto gr¡ºa, o Vp = T/k yra ateities turto vieneto

santykine kaina (ekonomistu megstamais terminais porfelio kainos indeksas); £ia

p ºymi investi iju portfeli. Tarkime, kad investuotojo naudingumo funk ija U yra

grieºtai didejanti ir i²kila auk²tyn funk ija, i kuri¡ galima ºiureti kaip i kintamuju

T , r arba Vp funk ij¡:U = U(T ) = U0(r) = U1(Vp).

Paºymekime µ = Er, σ2 = Dr, µp = EVp = 1 + µ ir σ2p = DVp = σ2

. Tuomet,

pasinaudoj Teiloro formule, gausime

U0(r) = U0(µ) + U ′0(µ)(r − µ) +

1

2U ′′0 (µ)(r − µ)2 + · · ·+ 1

n!U

(n)0 (µ)(r − µ)n + · · · ,

jei tik uºra²ytosios i²vestines egzistuoja. Panagrinekime du atvejus:

• Jei U0 (arba pati U) yra kvadratine funk ija, tuomet U(n)0 (µ) = 0 visiems n ≥ 3

ir todel

EU0(r) = U0(µ) +1

2U ′′0 (µ)σ

2.

• Jei r ∼ N(µ, σ2), tai

E(r − µ)n =

0, jei n yra nelyginis;

n!(n/2)!

(σ2

2

)n/2, jei n yra lyginis

ir todel

EU0(r) = U0(µ) +1

2U ′′0 (µ)σ

2 +1

8U

(4)0 (µ)σ4 + · · ·+ U

(2m)0 (µ)

m!

(σ2

2

)m

+ · · · .

Abiem atvejais vidurkine nauda EU0(r) yra gr¡ºos r vidurkio µ ir dispersijos σ2

funk ijos. Analogi²kai ²i¡ funk ij¡ galima perra²yti ir dydºio Vp vidurkio ir disper-

sijos terminais. Prie² gilinantis i bendr¡ji atveji, naudinga pam¡styti ar minetieji

atvejai nors kiek realisti²ki. Jei taip nebutu, investuotojui rupetu ne vien gr¡ºos

vidurkis ir dispersija, bet ir kiti auk²tesniu eiliu momentai. Kadangi i²kila i vir²u

kvadratine funk ija yra didejanti tik iki tam tikros argumento reik²mes, pirma-

sis atvejis labai apriboja investuotojo galimu investi iju aib arba rei²kia, kad itin

dideles gr¡ºos nerizikinga investi ija jam yra maºiau naudinga uº maºos gr¡ºos neat-

sitiktin investi ij¡, kas yra ne itin tiketina. Antrasis atvejis taip pat abejotinas, nes

normalieji atsitiktiniai dydºiai gali igyti kiek norimai maºas neigiamas reik²mes, o


tai butu nesuderinama su, pavyzdºiui, ak ininku nuosavo kapitalo gr¡ºa del ribotu

ak ininku isipareigojimu. I² tiesu, jei S0 yra dabartine ak ijos kaina, o ateity ak ija

taps beverte (S1 = 0), tai tokios investi ijos gr¡ºa bus

r =S1 − S0

S0= −1,

bet ne maºiau. Kita vertus, normalumo prielaidos galima reikalauti tik itin maºos

trukmes investi iju gr¡ºoms, t.y. nagrineti daugelio periodu nansu rinkos modeli,

kuriam r turetu lognormaluji pasiskirstym¡. Tad apsiribosime tik itin trumpos

trukmes investi iju atveju ir tarsime, kad r ∼ N(µ, σ2). Tuomet Vp ∼ N(µp, σ2p) ir

vidurkine nauda bus

EU1(Vp) =

ˆ

R

U1(x)f(µp ,σ2p)(x)dx, (1.5)

£ia f(µp,σ2p)(x) =

1√2πσp

exp−(x− µp)2/(2σ2

p).Investuotojo abejingumo kreivemis vadinsime aibes:

(µp, σ

2p) : EU1(Vp) = onst.

.

Dvi investi ijos, kuriu parametrai (µp, σ2p) yra ant tos pa£ios abejingumo kreives,

investuotojui yra lygiavertes.

7

Perra²ykime (1.5) formuleje esanti integral¡ naujo

kintamojo y = (x− µp)/σp atºvilgiu:

EU1(Vp) =

ˆ

R

U1(µp + σpy)f(0,1)(y)dy = EU1(µp + σpX),

£ia X ∼ N(0, 1). Dabar raskime pastarosios funk ijos dalines i²vestines

8

pagal µp ir

σ2p :

∂EU1(Vp)

∂µp

= EU ′1(µp + σpX) > 0 (nes U ′

1 > 0),

∂EU1(Vp)

∂σ2p

=∂EU1(Vp)

∂σp

dσpdσ2

p

= E

(XU ′

1(µp + σpX)

2σp

),

nes jei z = σ2p , tai

dσp

dσ2p= d

√z

dz= 1

2√z= 1

2σp. Panagrinekime vidurki

E(XU ′

1(µp + σpX))=

ˆ

R

xU ′1(µp + σpx)f(0,1)(x)dx =

=

(ˆ 0

−∞+

ˆ +∞

0

)xU ′

1(µp + σpx)f(0,1)(x)dx

=

ˆ +∞

0

xU ′1(µp + σpx)f(0,1)(x)dx−

ˆ +∞

0

xU ′1(µp − σpx)f(0,1)(x)dx

=

ˆ +∞

0

(U ′1(µp + σpx)− U ′

1(µ− σpx))xf(0,1)(x)dx < 0,

7

inoma, omeny turime atveji, kai vidurkine nauda yra (µp, σ2

p) funk ija.8

Tarsime, kad diferen ijuoti po integralo ºenklu galime, pvz., kai funk ija U1 kartu su savo

i²vestine yra tolydºios ir integruojamos, o ir pats integralas, priklausantis nuo parametru µp ir σp

konverguoja tolygiai. Grieºtai suformuluotu teiginiu ir reikiamu apibreºimu ie²kokite matematines

analizes vadoveliuose.


nes pagal prielaid¡ U1 yra i²kila auk²tyn, o tokioms funk ijoms U ′1 maºeja:

U ′1(µp + σpx) < U ′

1(µp − σpx), kai x > 0.

Gauti rezultatai neturetu stebinti, nes didesne investi iju gr¡ºos dispersija investuo-

tojui yra blogiau (sumaºeja investi iju gr¡ºos vidurkine nauda). Toliau raskime

nei²reik²tiniu pavidalu apibreºtos abejingumo kreives liestiniu kryp£iu koe ien-

tus. I abejingumo kreiv ºvelkime kaip i µp = g(σ2p), kai funk ija g nera ºinoma

i²reik²tiniu pavidalu, o tik apibreºiama lygtimi EU1(Vp) = onst. = F (µp, σ2p) =

F (g(σ2p), σ

2p). Tuomet diferen ijuodami nei²reik²tin lygti pagal σ2

p , gausime

0 =dEU1(Vp)

dσ2p

=∂F

∂µp

dµp

dσ2p

+∂F

∂σ2p

.

Vadinasi,

dµp

dσ2p

= −∂F∂σ2

p

∂F∂µp

= −∂EU1(Vp)

∂σ2p

∂EU1(Vp)∂µp

> 0,

t.y. padidejusi¡ investi iju gr¡ºos dispersij¡ investuotojui butina kompensuoti pa-

didejusiu investi iju gr¡ºos vidurkiu, norint, kad papildoma rizika butu prisiimta.

Paprastai abejingumo kreives breºiamos (σp, µp), o ne (σ2p, µp) plok²tumoje. Tada

galima parodyti, kad i² naudingumo funk iju i²kilumo i vir²u i²plaukia abejingumo

kreiviu i²kilumas i apa£i¡ (σp, µp) plok²tumoje, bet nebutinai (σ2p, µp) plok²tumoje.

Efektyvusis frontas

Nagrinekime leistinuju vidurkiu ir standartiniu nuokrypiu aib, t.y. visus investuo-

tojo porftelius, kurie nusakomi ²iais dviem parametrais ir kuriuos galima gauti kom-

binuojant individualius rinkoje irkuliuojan£ius vertybinius popierius. Optimalus

investuotojo portfelis apibreºiamas ta²ku (σp, µp) plok²tumoje, kuriame viena i²

abejingumo kreiviu lie£ia leistinuju vidurkiu ir standartiniu nuokrypiu aibes kra²t¡.

Pastarosios aibes vidaus ta²kai atitinka neefektyvius portfelius, o ta²kai ant jos

kra²to efektyvius, t.y. tuos, kurie geriausiai i²naudoja diversika ijos privalumus.

I² pradºiu i²nagrinekime papras£iausi¡ investi ijos i dvieju ru²iu turt¡ atveji.

Tegu yra dvi turto ru²ys A ir B, kuriu µA < µB, σ2A < σ2

B, o korelia ija tarp A ir

B yra lygi ρ. Suformuokime nauj¡ portfeli, sudaryt¡ i² ωA vienetu turto A ir ωB

vienetu turto B. Beje, £ia ωA, ωB nebutinai yra i² intervalo [0, 1], t.y. manysime,

kad skolintis mums leidºiama (ωA arba ωB gali buti neigiamas). Jei Si,A, Si,B yra

atitinkamo turto vieneto kaina momentu i (i = 0 dabar, i = 1 ateity), tai

VA − 1 = rA =S1,A − S0,A

S0,A, VB − 1 = rB =

S1,B − S0,B

S0,B

ir

Vp − 1 = rp =(ωAS1,A + ωBS1,B)− (ωAS0,A + ωBS0,B)

ωAS0,A + ωBS0,B

=ωAS0,A

ωAS0,A + ωBS0,B(VA − 1) +

ωBS0,B

ωAS0,A + ωBS0,B(VB − 1)

= ω(VA − 1) + (1− ω)(VB − 1),


£ia ω =ωAS0,A

ωAS0,A+ωBS0,B. Vadinasi,

Vp = ωVA + (1− ω)VB

ir todel µp = ωµA + (1− ω)µB, o

σ2p = ω2σ2

A + 2ω(1− ω)σAσBρ+ (1− ω)2σ2B,

t.y. σp nuo σA ir σB priklauso netiesi²kai. Panagrinekime spe ialius atvejus:

(ρ = 1) Tada σ2p = (ωσA + (1− ω)σB)

2ir

σp =

ωσA + (1− ω)σB, jei ωσA + (1− ω)σB ≥ 0;−(ωσA + (1− ω)σB), jei ωσA + (1− ω)σB < 0.

Antrasis atvejis imanomas, jei ω /∈ [0, 1].

Kai ωσA + (1− ω)σB ≥ 0, tai ω = − σp−σB

σB−σA. Todel

µp = − σp − σBσB − σA

µA +

(1 +

σp − σBσB − σA

)µB

= µB +σp − σBσB − σA

(µB − µA).

Pastaroji lygtis (σp, µp) plok²tumoje apibreºia ties per ta²kus (σA, µA) ir

(σB, µB), atitinkan£ius ω reik²mes 1 ir 0.

Kai ω /∈ [0, 1], t.y. ωσA+(1−ω)σB < 0, viskas analogi²ka, tik reikia formulese

pakeisti σp i −σp.

(ρ = −1) ikart σ2p = (ωσA − (1 − ω)σB)

2ir egzistuoja ω0, kad σp = 0, t.y. rizik¡

imanoma idealiai panaikinti. i ypating¡ ta²k¡ galima nesunkiai rasti:

ω0 =σB

σA + σB∈ (0, 1).

Galimi du atvejai:

(a) Kai ωσA − (1− ω)σB ≥ 0 (arba ω ≥ σB

σA+σB), gausime

σp = ωσA − (1− ω)σB ir ω =σp + σBσA + σB

.

Vadinasi, ²iuo atveju

µp = µB +σp + σBσA + σB

(µA − µB),

kas yra ekvivalentu

σp =µp − µB

µA − µB

(σA + σB)− σB,

t.y. (σp, µp) plok²tumoje gavome ties per ta²kus (σA, µA) ir (0, µB −σB

σA+σB(µB − µA)). Pastarasis ta²kas µp a²yje yra auk²£iau ta²ko (0, µA).


(b) Kai ωσA − (1− ω)σB < 0 (arba ω < σB

σA+σB), gausime

σp = −ωσA + (1− ω)σB ir ω = − σp − σBσA + σB

.

Vadinasi, ²iuo atveju

µp = µB +σp − σBσA + σB

(µB − µA),

kas yra ekvivalentu

σp =µp − µB

µB − µA(σA + σB) + σB,

t.y. (σp, µp) plok²tumoje gavome ties per ta²kus (σB, µB) ir (0, µB −σB

σA+σB(µB − µA)).

(ρ ∈ (−1, 1)) ikart gaunamas portfelis, kurio vidutine vieneto kaina µp ∈ (µA, µB), efek-tyvus frontas patenka i trikampi (σp, µp) plok²tumoje, kurio vir²unes yra ta²kai

(σA, µA), (σB, µB) ir (0, µB − σB

σA+σB(µB − µA)), o fronto grakas yra i²kilas i

vir²u. Todel pajusime difersika ijos efekt¡ net ir nereikalaudami, kad ρ < 0.

Dabar jau bandysime i²sprsti bendresni uºdavini: ie²kosime optimalaus inves-

tavimo portfelio, sudaryto i² investi iju i N ≥ 2 turto ru²is (pvz., N ≥ 2 skirtingu

vertybiniu popieriu), kai ºinome ju vidutines santykines kainas µ = (µ1, . . . , µN)T ∈

RNir kovaria iju matri ¡ V = (cov(Vi, Vj))i,j=1,...,N , o portfelio vieneto vidutine

kaina µp yra lygi vienai i² leistinuju reik²miu. Optimalumo kriterijus minimalus

standartinis Vp nuokrypis. Toliau tarsime, kad kovaria iju matri a V yra pilno

rango, t.y. detV 6= 0 ir V yra teigiamai apibreºta. Prie²ingu atveju kuris nors Vi0butu tiesine likusiuju Vi, i 6= i0 kombina ija ir investavimas i toki turt¡ prilygtu in-

vestavimui i atitinkam¡ likusiuju turto ru²iu portfeli. Taip pat apsiribosime atveju,

kai bent dvi vektoriaus µ koordinates nevienodos. Situa ij¡, jei visi µi butu vienodi,

paliekame panagrineti skaitytojui. Tegu ω = (ω1, . . . , ωN)T, £ia ωi rei²kia investi i-

jas i i-¡ji turt¡. Kaip ir dvieju turto ru²iu atveju, vidutin portfelio vieneto kain¡

galime uºra²yti taip:

µp = ωTµ,

o ²io portfelio dispersija bus

σ2p = ωTV ω.

I²skirsime du atvejus:

I. Investuoti i neriziking¡ turt¡ (skolintis i² banko arba i ji deti pinigus) negalima.

II. Investuoti i neriziking¡ turt¡ galima.


I atvejis. Investi ija tik i rizikingas turto ru²is

Kaip ir dvieju turto ru²iu atveju, vektoriaus ω koordina£iu suma lygi vienetui:

9

1 =N∑

i=1

ωi = ωT1,

£ia 1 = (1, . . . , 1)T ∈ RN. Toliau ksuosime µp reik²m ir optimizuosime σ2

p pagal

vektorius ω. Kadangi turime du apribojimus, tai optimizavimui naudosime La-

granºo daugikliu metod¡. Be to, del patogumo prie² σ2p dar pridesime daugikli 1/2.

Taigi uºdavinys bus:

minω

(1

2ωTV ω + λ(µp − ωTµ) + γ(1− ωT1)

)= min

ω

L(ω),

£ia λ ir γ yra Lagranºo daugikliai. Toliau, kaip iprasta, skai£iuojame dalines i²vestines:

∂L

∂ω= V ω − λµ− γ1,

∂L

∂λ= µp − ωTµ,

∂L

∂γ= 1− ωT1.

Skai£iuodami pirm¡j¡ dalin i²vestin (tiksliau, visas N , nes ω yra vektorius), pasi-

naudojome tuo, kad matri a V yra simetrine:

∂

∂ω

(1

2ωTV ω

)=

1

2

(V ω + (ωTV )T

)= V ω.

Prilygin dalines i²vestines nuliui (atitinkamo matavimo), i² gautos lyg£iu sistemos

gausime:

ω = λV −1µ+ γV −11,

o ²i¡ i²rai²k¡ istat i antr¡j¡ ir tre£i¡j¡ lygtis, gausime:

µp =(λV −1µ+ γV −11

)Tµ

= λµT(V −1

)Tµ+ γ1T

(V −1

)Tµ

= λµTV −1µ+ γ1TV −1µ (nes(V −1

)T= V −1, kai V simetrine)

ir

1 =(λV −1µ+ γV −11

)T1 = λµTV −11+ γ1TV −11.

9

I²samesnis paai²kinimas butu toks. Tarkime, ω yra turtas, investuotas i N turto ru²iu, t.y.

Sp,0 = ωTS0, £ia S0 = (S1

0, . . . , SN

0)T yraN turto ru²iu vieneto kainu vektorius pradiniu momentu.

Tuomet investi iju portfelio kaina ateityje bus Sp,1 = ωTS1, S1 = (S1

1, . . . , SN

1)T , o santykine

portfelio vieneto kaina Vp = Sp,1/Sp,0 =∑N

i=1ωi(S

i1/Si

0) =

∑N

i=1ωiVi, £ia ωi = ωiS

i0/(ωTS0),

i = 1, . . . , N . Tad nesunku isitikinti, kad ωT1 = 1.


Paºymekime

α = µTV −11 = 1TV −1µ, ξ = µTV −1µ, δ = 1TV −11.

Tuomet neºinomuju λ ir γ atºvilgiu gauname tiesiniu lyg£iu sistem¡:

µp = ξλ+ αγ,

1 = αλ+ δγ,

i² kurios randame

λ =δµp − α

δξ − α2, γ =

ξ − αµp

δξ − α2.

Pastebesime, kad abieju trupmenu vardiklis yra teigiamas, nes pagal prielaid¡ ma-

tri a V yra teigiamai apibreºta ir µ nera propor ingas 1. I² tiesu, matri os V visos

tikrines reik²mes yra realios ir teigiamos, be to, egzistuoja ortogonali matri a P ,

kad V = P−1DP , £ia D yra diagonali matri a, kurios pagrindin istriºain sudaro

matri os V tikrines reik²mes, o kitur yra nuliai. Todel egzistuoja "²aknis i² V ",

t.y. simetrine matri a V 1/2 = P−1D1/2P , £ia D1/2taip pat diagonali matri a, ku-

rios pagrindin istriºain sudaro ²aknys i² atitinkamu matri os D elementu. Toliau

lieka pastebeti, kad pastarajai matri ai atvirk²tine V −1/2taip pat yra simetrine, ir

pasinaudoti Ko²ivar o nelygybe:

α = (V −1/21)T (V −1/2µ) ≤ ||V −1/21|| · ||V −1/2µ|| =√δξ.

ia lygybe galima tik, jei vektoriai V −1/21 ir V −1/2µ yra propor ingi, kas ekviva-

lentu vektoriu µ ir 1 propor ingumui (nes V −1/2yra nei²sigimusi). O taip pagal

musu prielaid¡ nera.

Istat gautas λ ir γ reik²mes i ω i²rai²k¡, turesime

ω =δµp − α

δξ − α2V −1µ+

ξ − αµp

δξ − α2V −11

=ξV −11− αV −1µ

δξ − α2+δV −1µ− αV −11

δξ − α2µp

=: g + hµp,

£ia vektoriai g ir h priklauso tik nuo µ ir V −1.

Kadangi V yra teigiamai apibreºta, o L yra kvadratine forma (ω koordina£iu

atºvilgiu), tai gautasis kritinis ta²kas kartu yra ir L minimumo ta²kas. Todel, kai

duoti µ ir V (o kartu ir V −1), portfelis bus efektyvus tada ir tik tada, kai ω =

g + hµp, o tokio porfelio dispersija bus

σ2p = (g + hµp)

TV (g + hµp)

= (µphT + gT )(µpV h+ V g)

= µ2ph

TV h+ 2µpgTV h+ gTV g.


Paliekame skaitytojui isitikinti, kad

hTV h =δ

δξ − α2, gTV h =

−αδξ − α2

, ir gTV g =ξ

δξ − α2.

Vadinasi,

σ2p =

µ2pδ − 2µpα + ξ

δξ − α2=

δ

δξ − α2

(µp −

α

δ

)2+

1

δ.

Pastaroji lygybe, siejanti σp ir µp, (µp, σ2p) plok²tumoje atitinka parabol, o (µp, σp)

plok²tumoje hiperbol. Efektyvus frontas yra ²ios hiperboles vir²utinioji dalis

(σp, µp) plok²tumoje, taigi i²kila i vir²u kreive.

Gautas rezultatas leidºia irodyti toki¡ fundamentali¡ teorem¡:

1.6 teorema. (Atskyrimo savybe) Bet kuris efektyvus portfelis gali buti replikuotas

naudojant bet kuriuos du efektyvius portfelius, t.y. investuotojui butu tas pats

rinktis duot¡ji efektyvu portfeli i² N aktyvu arba atitinkam¡ kombina ij¡ i² dvieju

efektyviu portfeliu.

Irodymas. Tegu teoremoje minimu dvieju efektyviu portfeliu vidutines vieneto kainos

yra µ1 ir µ2. Tegu µ1 6= µ2. Taip pat tarkime, kad tre£iojo efektyvaus portfelio

vidutine vieneto kaina yra µ3. Tarkime, x yra turtas, investuotas i pirm¡ji portfeli,

o (1 − x) yra turtas, investuotas i antr¡ji porfeli; £ia x ∈ R, t.y. skolintis mums

leidºiama. Noredami replikuoti tre£i¡ji porfeli, x turime parinkti taip, kad

µ3 = xµ1 + (1− x)µ2 arba x =µ3 − µ2

µ1 − µ2

.

Klausimas, ar pasirink toki x tikrai gausime efektyvu porfeli. Kadangi pirmieji du

porfeliai pagal prielaid¡ yra efektyvus, i² auk²£iau pateiktu samprotavimu gauname,

kad egzistuoja vektoriai ω1 = g + µ1h ir ω2 = g + µ2h, parodantys optimalu bud¡

parinkti N aktyvu porfelius, kuriu vidutines vieneto kainos butu µ1 ir µ2. Bet

tuomet

xω1 + (1− x)ω2 = g + µ3h =: ω3,

t.y. tre£iasis porfelis taip pat yra optimalus.

II atvejis. Investi ija ne tik i riziking¡ turt¡

Iki ²iol tareme, kad investuojame tik i rizikingas turto ru²is, t.y. banko paslaugu

mums nereikia arba jos mums uºdraustos. Dabar panagrinekime atveji, kai galime

skolintis i² banko arba jame padeti indeli. i galimybe i² esmes kei£ia investavimo

strategij¡, nes rizikos apskritai galime i²vengti, jei, pavyzdºiui, vis¡ turim¡ turt¡

investuosime tik i banko indeli. Kaip ir anks£iau ie²kosime optimalaus pradinio

kapitalo paskirstymo i riziking¡ turt¡, t.y. vektoriaus ω ∈ RN, o le²u trukum¡ arba

pertekliu sprsime padedant bankui. Todel ²ikart apribojimas 1 = ωT1 jau bus

nebereikalingas. I² tiesu, jei ω0 reik² turto dali, padet¡ i bank¡ arba i² jo paskolint¡,

tai turesime ω0 + ωT1 = 1, t.y. ω0 = 1− ωT1. Vadinasi,

µp = ω0µ0 + ωTµ = µ0(1− ωT1) + ωTµ = µ0 + ωT (µ− µ01).


Taigi ir optimizavimo uºdavinys bus

minω

L = minω

(1

2ωTV ω + λ

(µp − µ0 − ωT (µ− µ01)

)),

£ia ir vel λ yra Lagranºo daugiklis. Toliau ir vel ie²kome daliniu i²vestiniu:

∂L

∂ω= V ω − λ(µ− µ01),

∂L

∂λ= µp − µ0 − ωT (µ− µ01).

Prilygin jas nuliui, i² pirmosios lygties gausime

ω = λV −1(µ− µ01),

todel

µp = µ0 + λ(V −1(µ− µ01)

)T(µ− µ01)

= µ0 + λ(µ− µ01)TV −1(µ− µ01).

I²sprend λ atºvilgiu, gausime

λ =µp − µ0

(µ− µ01)TV−1(µ− µ01)

,

o istat atgal i ω i²rai²k¡, turesime

ω =(µp − µ0)V

−1(µ− µ01)

(µ− µ01)TV−1(µ− µ01)

.

Prisimin anks£iau ivestus δ, ξ ir α, vardikli galime perra²yti:

(µ− µ01)TV −1(µ− µ01) = µ2

0δ − 2αµ0 + ξ = δ(µ0 − α/δ)2 + (ξδ − α2)/δ ≥ 0.

Gautoji ω i²rai²ka tiesi²kai priklauso nuo µp, kaip ir ankstesniu atveju. Ta£iau ²ikart

Vp dispersija bus

σ2p = ωTV −1ω =

(µp − µ0

µ20δ − 2αµ0 + ξ

)2 (µT − µ01

T)V −1(µ−µ01) =

(µp − µ0)2

µ20δ − 2αµ0 + ξ

.

Kadangi domina tik tie portfeliai, kuriems µp ≥ µ0 (nes µ0 galima gauti be jokios

rizikos), tai

σp =µp − µ0√

µ20δ − 2αµ0 + ξ

.

Pastaroji lygtis (σp, µp) plok²tumoje apibreºia ties per ta²k¡ (0, µ0) ir su krypties

koe ientu m =√µ20δ − 2αµ0 + ξ.


Toliau ie²kosime ²ios tieses ir pirmuoju atveju rastos hiperboles vir²utines dalies

sankirtos. Tam turime rasti µ⋆p ≥ µ0, tenkinanti lygti:

(σ⋆p)

2 =(µ⋆

p)2δ − 2µ⋆

pα + ξ

δξ − α2=

(µ⋆p − µ0)

2

µ20δ − 2αµ0 + ξ

.

Skai£iavimams palengvinti, iveskime paºymejimus: A = µ20δ−2αµ0+ξ irB = δξ−α2

.

Tuomet musu lygtis ekvivalenti tokiai:

(B −Aδ)(µ⋆p)

2 − 2(Bµ0 −Aα)µ⋆p + (Bµ2

0 − Aξ) = 0,

£ia

B − Aδ = ξδ − α2 − δ2µ20 + 2αδµ0 − δξ = −(δµ0 − α)2,

Bµ0 −Aα = ξδµ0 − α2µ0 − δαµ20 + 2α2µ0 − ξα = −(αµ0 − ξ)(δµ0 − α)

ir

Bµ20 − Aξ = ξδµ2

0 − α2µ20 − δξµ2

0 + 2αξµ0 − ξ2 = −(αµ0 − ξ)2.

Isistat gautas i²rai²kas i sprendºiam¡ lygti, nesunkiai pastebesime, kad ji ekvivalenti

tokiai: ((δµ0 − α)µ⋆

p − (αµ0 − ξ))2

= 0,

o tai rei²kia, kad, jei µ0 6= α/δ, tai

µ⋆p =

αµ0 − ξ

δµ0 − α,

o jei µ0 = α/δ, tuomet sprendiniu nebus.

10

Kadangi µ⋆p − µ0 = A/(α − δµ0), kai

µ0 6= α/δ, tai tiese ir hiperboles vir²utine dalis kirsis tik, jei µ0 < α/δ, ir ²iame ta²ke

σ⋆p =

√A

α− δµ0

.

Be to, sankirtos ta²ke (σ⋆p, µ

⋆p) hiperboles liestines krypties koe ientas lygus

dµp

dσp

∣∣∣(σ⋆

p ,µ⋆p)=

Bσ⋆p

δµ⋆p − α

=√A,

t.y. sankirtos ta²ke hiperboles liestine sutampa su optimalaus fronto, kai galima

investuoti i banko s¡skait¡, tiese. Taip pat pastebesime, kad, jei σp < σ⋆p, tai inves-

tuotojui optimalu banke tureti indeli, t.y. ω0 > 0, o jei σp > σ⋆p, tai investuotojui

optimalu i² banko pasiskolinti, t.y. ω0 < 0, nes

ω0 = 1− 1Tω = 1− (µp − µ0)(α− µ0δ)

A

> 0, kai µp < µ⋆p (arba σp < σ⋆

p);

= 0, kai µp = µ⋆p;

< 0, kai µp > µ⋆p.

10

Nebent velgi δξ −α2 = 0, kas, kaip ºinome, ekvivalentu vektoriu µ ir 1 propor ingumui, kuris

nera itin tikrovi²kas.

2 Finansu istaigos ir ju kasdiene rizika

2.1 Rizikos ru²ys

Naivu tiketis universalaus re epto, kuris padetu visose gyvenimo situa ijose i²vengti

rizikos arba j¡ kaip nors suvaldyti, juolab kad rizik¡ kiekvienas i² musu suvokia ir

valdo savaip. Todel demesi sutelksime i rizik¡, su kuria kasdien susiduria ivairios

nansu istaigos: bankai, kredito unijos, investi ines bendroves,... Velesniuose skyre-

liuose mokysimes ²i¡ rizik¡ i²matuoti ir aptarsime kelius, kaip j¡ valdyti. O kol

kas pameginkime atsidurti banko valdytojo kedeje ir pasamprotaukime, kaip bankai

pinigu uºdirba ir kaip ju praranda. Paprastai bankai uºdirba dviem budais: teik-

dami paslaugas klientams ir prisiimdami rizik¡. Jei, pavyzdºiui, kalbame apie maº-

menines bankininkystes paslaugas teikianti bank¡, tai ²is paºadedamas tam tikro

dydºio palukanas i² ºmoniu surenka indelius, aptarnauja indelininku ir kitu banko

klientu einam¡sias s¡skaitas, teikia debeto ir kredito korteliu paslaugas, nuomoja

vertybiu saugojimo deºutes... Bankas taip pat i²duoda ir daug paskolu tiek ziniams,

tiek juridiniams asmenims. Ta£iau su paskolomis prisiimama rizika, kad paskolos

nebus gr¡ºintos. O taip gali atsitikti del ivairiausiu nenumatytu prieºas£iu. Tokia

galimybe nesudomintu ne vieno banko, jei jis negaletu uº paskolas imti pakankamai

dideliu palukanu.

Kita vertus, naturalu tiketis, kad prisiems didesn rizik¡, bankas daugiau ir

uºdirbs. Didesnis pelnas skatina daugiau skolinti. Tik nereiktu pamir²ti, jog kartu

padideja ir tikimybe, kad, nepalankiai susiklos£ius aplinkybems, bankas pats taps

nepajegus ivykdyti visu savo isipareigojimu ir bankrutuos. Todel sprsdamas, kaip

padidinti peln¡, bankas privalo rupintis dar ir kaip i²likti. Didesn rizik¡ verta

prisiimti tik tada, kai sukaupta pakankamai informa ijos, rezervu ir pats sprendi-

mas kruop²£iai apgalvotas. Butent rizikingu sprendimu analize ir sudaro (nansu)

rizikos valdymo esm. Pagrindinis ²ios rizikos valdytoju uºdavinys yra uºtikrinti, kad

bankas ar kita nansu istaiga bus pajegi absorbuoti nuostolius, nepalankiai susik-

los£ius aplinkybems. Kita ne maºiau svarbi uºduotis padeti istaigos valdytojui

tinkamai paskirstyti visiems taip reikaling¡ kapital¡, kad jis generuotu kuo didesni

peln¡ prisiimant kuo maºesn rizik¡. Tokiems sprendimams priimti itin svarbu tin-

kamai rizik¡ i²matuoti ir atsakyti i ²iuos klausimus:

• Kiek galime prarasti, jei konkretus sprendimas bus priimtas?

• Ar esame pajegus patirti dideliu nuostoliu ir i²vengti bankroto?

• Ar nansine gr¡ºa yra pakankamai didele, kad mums apsimoketu prisiimti

37

38 2 Finansu istaigos ir ju kasdiene rizika

2.1 pav. Tipi²ko banko struktura.

nauj¡ rizik¡?

• Ar galime rizik¡ sumaºinti labai nesumaºindami gr¡ºos?

Vienu sakiniu i kiekvien¡ i² ²iu klausimu neatsakysime. O situa ij¡ geriau

suprasime, jei suvoksime tipi²ko banko struktur¡, kaip ²is bankas pinigu uºdirba,

o ypa£, kaip ju gali prarasti. Toliau pateiksime diagram¡, kurioje pavaizduota tip-

i²ko banko struktura. Ai²ku, konkretaus banko atveju ji gali gerokai skirtis.

Imoniu aptarnavimo departamentas aptarnauja didºiuosius banko klientus (daº-

niausiai, stambias imones ar kitas nansu institu ijas). i departament¡ papras-

tai sudaro penki skyriai: vertybiniu popieriu pasira²ymo, imoniu konsultavimo,

produktu pletros, komer ines bankininkystes ir rinkos tyrimu.

• Vertybiniu popieriu pasira²ymo skyrius kuria naujus vertybinius popierius,

pvz., ak ijas ir obliga ijas. Jei kuri nors imone nori sukaupti kapitalo, ji krei-

piasi i bank¡ su pra²ymu pasira²yti ir i²platinti obliga iju emisij¡. Sudaromas

kontraktas, bankas perveda imonei pinigu, o pats rupinasi obliga iju platinimu

2.1 Rizikos ru²ys 39

investuotojams. Veliau kontrakte numatytas imokas uº obliga ijas investuoto-

jams moka jau pati rma. Bankas uº ²ias paslaugas i² rmos gauna tam tikr¡

mokesti, o daugiau uºdirbti jis gali didesne kaina i²platins obliga ijas. Ta£iau

gali buti, kad bankas patirs ir nuostoliu, jei obliga iju verte kris iki bankas jas

spes i²platinti.

• Imoniu konsultavimo skyrius pataria ketinan£ioms susijungti korpora ijoms,

kaip sutvarkyti bendrus nansus, sumaºinti susijungimo ka²tus, maksimaliai

pasinaudoti mokes£iu lengvatomis. Uº paslaugas i² klientu imamas mokestis.

Taip pat ²is skyrius naudojasi ir kai kuriomis vertybiniu popieriu pasira²ymo

skyriaus paslaugomis.

• Produktu pletros skyrius investuotojams siulo isigyti ivairiu vertybiniu popie-

riu, jais prekiauja su kitais bankais, tvarko banko turimo turto ir isipareigojimu

neatitikimus. iam skyriui daºniausiai tenka susidurti su rinkos rizika. Pro-

duktu pletros skyriui daºnai priklauso ir nansavimo poskyris, kuris rupinasi

le²u skolinimu kitiems ir skolinimusi i² kitu istaigu. Taip valdomas susidars

einamasis le²u perteklius ir de itas.

• Komer ines bankininkystes skyrius teikia paskolas imonems, taip pat jas kon-

sultuoja nansu strukturos klausimais. Pavyzdºiui, jei rma noretu steigti

nauj¡ imon, ²is banko skyrius patartu, kaip geriausia sukaupti pradini kapi-

tal¡: imti paskol¡ ar i²platinti ak iju emisij¡. Uº suteiktas paskolas imonems

imamos vidutinio dydºio palukanos. Kartu komer ines bankininkystes skyrius

prisiima didºi¡j¡ dali kredito rizikos.

• Rinkos tyrimu skyrius rengia ekonomines ir spe ializuotas apºvalgas ir ataskai-

tas, kurias naudoja produktu pletros bei nansu maklerio skyriai. Ataskaitos

ir apºvalgos taip pat parduodamos ir banko klientams.

Priva£ios bankininkystes departamentas rupinasi daugybe priva£iu klientu. io

departamento pagrindine funk ija i s¡skaitas priimti klientu indelius, dalyti var-

tojimo ir busto paskolas, platinti kreditines korteles. Pinigu uºdirbama mokant

nedideles palukanas uº indelius ir imant didesnes palukanas uº kreditines korteles

ir ivairias paskolas. I² palukanu skirtumo uºdirbtu pinigu privalo pakakti s¡skaitu

tvarkymo i²laidoms ir galimiems nuostoliams del klientu isipareigojimu neivykdymo

padengti. Departament¡ sudaro taip pat penki skyriai: nansu maklerio, svarbiu

klientu aptarnavimo, busto paskolu, mokejimo korteliu bei £ekiu ir vartojimo paskolu

aptarnavimo. Tiesa, pirmieji du skyriai gali priklausyti ir imoniu aptarnavimo de-

partamentui.

• Finansu maklerio skyrius uº tam tikr¡ mokesti suteikia galimyb privatiems

klientams prekiauti turimais vertybiniais popieriais.

• Svarbiu klientu aptarnavimo skyrius teikia spe ializuotas paskolas turtingiems

ir itin svarbiems privatiems klientams.


• Busto paskolu, mokejimo korteliu bei £ekiu ir vartojimo paskolu aptarnavimo

skyriai dideliu komentaru nereikalauja. Tiesa, reiketu pamineti, kad Lietuvoje

£ekiai visai nepaplit, o ²tai JAV jais atsiskaitoma labai daºnai.

Turto valdymo departamentas administruoja ivairius fondus, i kuriuos inves-

tuoja privatus klientai. is departamentas valdo ne banko, o klientu pinigus, todel

tiesioginiu nuostoliu del turto vertes kritimo rinkoje nepatiriama. Daºniausiai su-

maºeja tik iplaukos uº aptarnavimo paslaugas.

Kai kurie bankai turi ir draudimo departament¡. is padalinys draudºia banko

klientus nuo ivairiu sukretimu. Poten ialioms ºaloms padengti draudimo departa-

mentas yra sukaups daug kapitalo, daºniausiai ak iju ir obliga iju forma. Padalinys

draudºia turt¡, gyvyb, nuo nelaimingu atsitikimu, taip pat siulo kai kurias komer-

iniu draudimo bendroviu teikiamas paslaugas.

Aprupinimo departamento uºduotis rupintis, kad kiti banko padaliniai sklan-

dºiai dirbtu. is departamentas stengiasi, kad visos transak ijos butu sekmingai ap-

dorotos, gautos ir tinkamai registruojamos. Aprupinimo padalini sudaro penki sky-

riai: apskaitos, opera iju vykdymo, audito ir prieºiuros, informa iniu te hnologiju

bei rizikos valdymo.

• Audito ir prieºiuros skyrius atsako uº banko tvarkos bei veikl¡ reguliuojan£iu

teises aktu laikym¡si.

• Apskaitos skyrius rengia pelno/nuostoliu bei turimo turto/isipareigojimu atas-

kaitas prieºiuros institu ijoms.

• Rizikos valdymo skyrius taip pat itrauktas i aprupinimo departament¡, kad

butu nepriklausomas nuo ivairi¡ rizik¡ prisiiman£iu banko padaliniu.

• Opera iju vykdymo ir informa iniu te hnologiju skyriai yra labiau te hniniai,

bet ne maºiau svarbus sekmingam banko darbui.

Aptareme tipi²ko banko struktur¡ bei pagrindinius pajamu bei rizikos ²altinius.

Dabar pla£iau panagrinekime, kaip bankai praranda pinigu. Prisiimdami nauj¡

rizik¡ bankai gali ne tik daugiau uºdirbti, bet ir daugiau prarasti. Paprastai i²skiri-

amos trys bankams aktualios rizikos ru²ys: rinkos, kredito ir opera ine.

1

Dabar jas

atskirai ir aptarsime.

• Rinkos rizika kyla del galimu nepalankiu rinkos poky£iu ir su jais susijusiu

nuostoliu. i rizikos ru²is siejama su nuostoliais del pasikeitusios turto vertes

rinkoje. Klasikiniai rinkos rizikos pavyzdºiai yra del ak iju rinkos staigiu

poky£iu investuotoju patirti nuostoliai:

nuo 2000 m. kovo iki 2001 m. kovo del internetiniu rmu burbulo

sprogimo (angl. ". om" buble) NASDAQ ak iju birºos indeksas krito

65%;

1

Angli²kai ²ios rizikos atitinkamai vadinamos market risk, redit risk ir operational risk.


vien¡ 1987 metu savait Dow Jones ak iju indeksas prarado 31% savo

vertes, net 23% buvo prarasta vien per Juod¡ji Pirmadieni, 1987 spalio

19 dien¡;

per Didºi¡j¡ Depresij¡ JAV (192932 m.) Dow Jones indekso verte smuko

net 87% ir ankstesnio lygio nepasieke iki pat 1954 metu.

Per kiekvien¡ i² ²iu didºiuju nansiniu kriziu bankai patyre nuostoliu, kai

kurie bankai net bankrutavo. Maºiausiai prarado tie, kurie prie² pat kriz

susiprato, kad turimos ak iju pozi ijos yra labai paºeidºiamos, ir ²ias pozi i-

jas spejo likviduoti arba labai sumaºinti. tai, pavydºiui, didelis JAV bankas

Chase 1998 metu pradºioje susigriebe, kad yra per daug investavs i Rusi-

jos rink¡, ir eme skubiai i²parduoti turimas Rusijos vyriausybes obliga ijas.

Kai tu pa£iu metu vasar¡ Rusijos vyriausybe atsisake ivykdyti isipareigojimus

uºsienio kreditoriams ir kilo nansine krize, Chase bankas galejo tsti savo

veikl¡ lyg nieko nebutu ivyk. O ²tai ribotos rizikos fondas (hedge fund) Long

Term Capital Management (LTCM) smarkiai rizikavo ir tikejosi Rusijos krizes

bei po jos seksian£ios rublio devalva ijos, kuri¡ norejo panaudoti nuostoliams

apdrausti. Krize ivyko, bet devalva ijos nebuvo. Todel LTCM galiausiai

prarado 4,6 mlrd. JAV doleriu (i² ju 430 mln. pa£ioje Rusijoje ir kitose

besivystan£iose rinkose) ir buvo perimtas konkurentu, o 2000 metu pradºioje

i²vis uºdarytas. Beje, ²is fondas po jo ikurimo 1994 metais veike itin sekmingai,

kelerius metus jo turto gr¡ºa sieke per 40%, tiesa, daugiausia del labai didelio

sverto (kreditoriu ir ak ininku turto santykis sieke net 25). Reikia pamineti,

kad fondo direktoriu taryboje dirbo ir du Nobelio ekonomikos premijos laure-

atai Myron'as S holes'as ir Robertas C. Merton'as, kuriu sukurti matematiniai

nansu teorijos modeliai po fondo ºlugimo buvo labai kritikuojami.

Nuostoliai del svyravimu rinkose nebutinai pasirei²kia i² karto. Jie galimi ir

del ilgalaikiu rinkos tenden iju. tai devintajame praeito amºiaus de²imt-

metyje bankrutavo daug JAV smulkesniu kredito uniju ir i jas pana²iu nansu

institu iju. ios institu ijos vertesi dalydamos ilgalaikes paskolas uº ksuo-

tas palukanas, o indelininkams palukanas mokejo uº trumpalaikius indelius.

Viskas puikiai klojosi, kol palukanu normos buvo stabilios. Ta£iau 1980 metais

palukanu normos eme staigiai kilti. Kredito istaigos vis dar sulaukdavo maºu

imoku uº i²duotas paskolas, o indelininkams reikejo moketi vis didesnes i²mokas

uº laikomus indelius. Tokia praktika ilgai tstis negalejo, todel daugelis ²iu

kredito istaigu bankrutavo. Taigi svarbu atsiºvelgti ir i ilgalaik tenden-

ij¡ rinkose. Beje, toks palukanu normu rizikos valdymas vadinamas turto

isipareigojimu valdymu (asset liability management (ALM)).

• Kredito rizika kyla, kai privatus asmuo, imone arba vyriausybe neivykdo

savo paºado sumoketi tam tikr¡ pinigu sum¡. Tarp rinkos ir kredito riziku

takoskyra nera labai ai²ki. Imoniu obliga iju kaina valstybes iºdo obliga iju

atºvilgiu svyruoja del rinkos dalyviu nuomones apie imones isipareigojimu

neivykdymo tikimyb. Rizika patirti nuostoliu, kol imone vis dar vykdo savo

isipareigojimus, priskiriama rinkos rizikai, o pats isipareigojimu neivykdymas


yra kredito rizikos objektas. Kredito rizika atsiranda ivairiai. Bene akivaizdºi-

ausia jos forma paskolos arba palukanu negr¡ºinimas, tiek objektyvus ne-

sugebejimas gr¡ºinti, tiek piktybi²kas atsisakymas gr¡ºinti paskol¡ ir sutartas

palukanas. Butent taip 1999 m. sausi Guangdong International Trust and In-

vestment Corporation atsisake gr¡ºinti 4,5 mlrd. JAV doleriu paskol¡, kurios

pus buvo suteik uºjurio bankai. Kitas pavyzdys 1999 m. rugpjuti paly-

dovines telekomunika ijos bendrove Iridium atsisake gr¡ºinti dvi sindikuotas

(t.y. keliu kredito istaigu suteiktas) 1,5 mlrd. JAV doleriu paskolas, kurios

buvo skirtos palydovams paleisti, nes uº teikiamas palydovinio ry²io paslaugas

gavo netiketai maºai pajamu.

Analogi²ka situa ija galima ir su obliga ijas i²leidusia imone ar vyriausybe,

kai liaujamasi moketi sutartas sumas uº i²leistas obliga ijas. Vienas i² tokios

rizikos pavyzdºiu 1998 rugpju£io 17 dien¡ Rusija viena²ali²kai nusprende

pertvarkyti 43 mlrd. JAV doleriu vertes obliga iju i²pirkimo tvarkara²ti. Uº-

sienio kreditoriai veliau atgavo tik maº¡ dali ²ios Rusijos skolos. Pana²iai

nutiko ir 2001 m. vasari, kai JAV Kalifornijos valstijos elektros energijos kom-

panija PG&E atsisake i²pirkti 726 mln. JAV doleriu vertes trumpalaiku

obliga iju. Tiesa, t¡kart isipareigojimu neivykdymas buvo selektyvus: kom-

panija toliau mokejo palukanas uº kit¡, 8 mlrd. JAV doleriu vertes skol¡.

Kiek subtiliau yra su prekybos opera iju kredito rizika. Sandorio ²alies rizika

(angl. ounterparty risk) siejama su galimybe, kad verslo partneris atsisakys

sumoketi, jei ²iuo sandoriu praras pinigu. Vienu i² tokios rizikos pavyzdºiu

laikytinas Maskvos tarpbankines valiutu keityklos ir keletos Rusijos banku at-

sisakymas ivykdyti isipareigojimus bankui Credit Suisse First Boston (CSFB)

1998 metais. Pagal CSFB isigytu i²vestiniu vertybiniu popieriu s¡lygas Rusijos

bankai liko skolingi 600 mln. JAV doleriu del staiga pakitusio valiutu kurso.

Atsiskaitymo sandorio rizika (angl. settlement risk) atsiranda tada, kai nei-

vykdo atsiskaitymo sandorio isipareigojimu. Kartais pastaroji rizika vadinama

Her²tato rizika, iamºinant maº¡ Vokietijos bank¡ Bankhaus Herstatt, kuris

1974 metais patyre dideliu nuostoliu del keliu opera iju uºsienio valiuta. Kai

Vokietijoje baigesi darbo diena, bankas bankrutavo. Todel banke istrigo 620

mln. doleriu i² JAV prekybos partneriu gautu le²u, kuriuos pervesti adresa-

tams Bankhaus Herstatt neprivalejo iki kitos darbo dienos. Bankrutavs ²is

bankas sustabde visas opera ijas, o JAV bankai prarado beveik visus pervestus

pinigus.

• Opera ine rizika apima visus kitus budus, kaip bankas gali patirti nuostoliu.

Tarptautinis Bazelio bankininkystes komitetas opera in rizik¡ apibreºia kaip

tikimyb patirti nuostoliu del imoniu, sistemu, netinkamu ar nepavykusiu vi-

daus pro esu arba del i²ores ivykiu itakos, iskaitant teisin rizik¡. Keletas

pavyzdºiu: vienas JAV vyriausybes obliga iju makleriu Japonijos banko Niu-

jorko skyriuje savo prekybos nuostolius denge kitu klientu vertybiniais popieri-

ais ir sugebejo per 10 metu nuslepti 1 mlrd. JAV doleriu nuostoliu, o ²tai 1997

metais NatWest prarado 127 mln. JAV doleriu ir turejo labai apriboti savo


vykdom¡ veikl¡, nes rmos makleriai, prekiav pasirinkimo sandoriais, nau-

dojo ne tuos duomenis numanomam kainu kintamumui modeliuose ivertinti ir

todel prisieme rizikos, kurios ne neiºvelge.

Nors rizikos ru²iu yra keletas, daºnai bankai nuostoliu patiria del keliu riziku

i² karto. Bene geriausias pavyzdys seniausio Didºiosios Britanijos prekybos ir

investi iju banko, kuriame s¡skait¡ turejo ir Didºiosios Britanijos karaliene, Barings

Bank ºlugimo istorija. I Singapuro ateities sandoriu birº¡ nusiustas jaunas mak-

leris Ni k'as Leeson'as ivykde kelet¡ rizikingu vadovybes nepatvirtintu sandoriu. I²

pradºiu ²ie sandoriai buvo sekmingi ir Leeson'as uºdirbo 10 milijonu svaru, apie

10% 1992 metu banko pelno. Ta£iau sekme greit nusisuko ir eme kauptis nuos-

toliai, kuriuos Leeson'as kruop²£iai paslepe spe ialioje banko nuostoliu s¡skaitoje.

1994 metu rudeni nuostoliai sieke jau 208 milijonus svaru. Jiems susigr¡ºinti Lee-

son'as sumane riziking¡ s hem¡. Prekiaudamas Tokijo ak iju birºoje, 1995 metu

sausio 17 dien¡ Leeson'as tikejosi nedideliu birºos kurso svyravimu, bet nakti ivyks

Kobes ºemes drebejimas smarkiai numu²e Azijos rinku kainas. Leeson'as rizikavo

vis labiau, ²ikart tikedamasis greito Tokijo birºos indekso Nikkei225 atsigavimo,

bet taip neivyko, o nuostoliai pasieke 827 milijonus Didºiosios Britanijos svaru

sterlingu, maºdaug dukart daugiau, nei bankas turejo prekybos kapitalo. Vasario 26

dien¡ bankas bankrutavo, o i² Singapuro pabegs Leeson'as veliau buvo pagautas ir

kalejime praleido 6,5 metu. Pradinius nuostolius makleriui buvo pavyk nuslepti, nes

Singapuro skyriuje Leeson'as buvo atsakingas ir uº prekyb¡, ir uº apskait¡. O pasku-

tini¡j¡ afer¡ makleriui pavyko igyvendinti, nes banko valdºia neturejo efektyviu

priemoniu prisiimtai rizikai ivertinti.

2008 metu sausi pasaulini banku sektoriu sukrete dar vienas didelis skandalas.

Pran uzijos bankas So iete Generale paskelbe del imantriu ir ivairiu savo dar-

buotojo suktybiu prarads 4,9 mlrd. euru.

2

Veliau paskelbtas ir itariamasis,

31-eriu metu pran uzas Jerome Kerviel'is, kuris savo kalt neige. Pasak banko

prane²imo spaudai, Paryºiuje dirbs makleris tikejosi itin optimisti²ko Europos

ak iju kursu kilimo, ta£iau atsitiko prie²ingai. Bankas skubiai likvidavo riziking¡

Kerviel'io sudaryt¡ 50 mlrd. euru pozi ij¡ (nors paties banko rinkos verte sudare

tik 35 mlrd. euru!) ir patyre milºini²k¡ nuostoli. Ta£iau idomiausia, kaip taip i²vis

galejo atsitikti?! 2009 metu rugseji Pran uzijos teismas paskelbe, kad Kerviel'io

bylos svarstymas prasides 2010 metu pradºioje.

Ta£iau ir Kerviel'io atvejis greit nublanko, suºinojus apie JAV investi iju ben-

droves Bernard L. Mado Investment Se urities LLC vadovo Bernard'o Mado'o

piramides s hem¡, del kurios investuotojai, kaip manoma, neteko 65 mlrd. JAV

doleriu. Dar 1999 metais JAV vertybiniu popieriu ir birºu prieºiuros tarnybai buvo

prane²ta apie itartinai dideli peln¡, kuriuo didºiuojasi Mado'as, ta£iau tarnyba

prane²imus ignoravo. Ir ²tai 2008 metu gruodi nansine piramide griuvo. Iki ²iol i²

Mado'o ²eimos turtu sugr¡ºinta tik nedidele dalis prarastu pinigu, o pats 71-eriu

Mado'as teisme savo kalt pripaºino ir gavo maksimali¡ istatymu numatom¡ 150

metu kalejimo bausm.

2

Apie 7,1 mlrd. JAV doleriu 2008 sausio 25 dienos kursu, t.y. maºdaug 4 kartus daugiau, nei

buvo prarads Leeson'as.


Priºiureti banko prisiimam¡ rizik¡ ir kitas banko funk ijas auk²£iausiu lygiu

yra banko valdybos uºduotis. Ak ininkai i² valdybos tikisi didesniu dividendu,

ta£iau bankas dar turi atsiºvelgti ir i savo kreditoriu, reitingo agenturu, prieºiuros

institu iju reikalavimus, o taip pat ir savo nor¡ i²silaikyti rinkoje. Todel valdymo

uºdavinys yra i² esmes maksimizuoti investi iju gr¡º¡, prisiimant ribot¡ rizik¡ ir

atsiºvelgiant i daug apribojimu. Banko valdyba priºiuri tris pagrindines rizikos

valdytoju funk ijas: kaip parenkamas skolos reitingo lygis, apskai£iuojamas turimas

kapitalas ir kaip nustatomos rizikos ribos kiekvienam banko skyriui.

• Skolos reitingas yra banko kredito patikimumo matas. Jis tampriai sieja-

mas su banko isipareigojimu neivykdymo tikimybe (trumpinsime PD.

3

Pa-

prastai skelbiami tiek trumpalaikes, tiek ilgalaikes skolos reitingai. Auk²tas

skolos reitingas rei²kia maº¡ isipareigojimu neivykdymo tikimyb. Papras-

tai ²is skolos reitingas suteikiamas atsiºvelgiant i banko prisiimtos rizikos ir

valdomo kapitalo santyki. Kapitalu vadiname skirtum¡ tarp banko turto ir

prisiimtu isipareigojimu. Ji galima laikyti dabartine banko verte. Jei banko

kapitalas maºas, o rizikos prisiimta daug, tuomet labiau tiketina, kad nuos-

toliai bus didesni uº turim¡ kapital¡, ir bankas tiesiog bankrutuos. Todel,

jei bankas nori auk²to skolos reitingo, jis privalo tureti dideli kapital¡ lygi-

nant su prisiimta rizika. Nors skolos reitingo lygi nustato banko valdyba,

pa£ius reitingus suteikia nepriklausomos agenturos, kurios kokybi²kai ir kieky-

bi²kai ivertina banko patikimum¡. Bene geriausiai ºinomos Standard&Poor's

(S&P), Moody's ir Fit h agenturos. I² pirmo ºvilgsnio bankui naudinga tureti

ºem¡ skolos reiting¡, nes tuomet galima prisiimti daugiau rizikos ir ak ininkams

uºdirbti didesnius dividendus. Kita vertus, ºemas skolos reitingas susijs ir su

didesnemis palukanu normomis, nes maºesni reiting¡ turintis bankas kredi-

toriams yra rizikingesnis ir ne toks patrauklus investi ijoms. Banko skolos

reitingas svarbus ir banko klientams. tai prekybininkai tikrai nenores laikyti

savo santaupu banke, jei labiau tiketina, kad bankas bankrutuos. em¡ reitin-

g¡ turin£io banko i²vestiniu vertybiniu popieriu nenores pirkti ir imones, nes

tokio banko sandorio ²alies kredito rizika didesne.

Kredito reitingu agenturu S&P, Moody's ir Fit h reitingu ºymenys skiriasi, bet

atitinkama interpreta ija labai pana²i. Lenteleje pateiksime S&P agenturos

ilgalaikio skolinimosi reitingu lentel:

Daºnai prie reitingu, ºemesniu uº AAA, pridedamas + arba −, rei²kiantisatitinkamo ukio subjekto padeti tarp t¡ pati reiting¡ turin£iu rmu. Pvz.,

AA+ rei²kia pirm¡ji AA reiting¡ turin£iu imoniu tre£dali, AA antr¡ji, o

AA− tre£i¡ji. Standard&Poor's agenturos trumpalaikio skolinimosi reitingai

ºymimi: A-1+, A-1, A-2, A-3, B, C, D.

Atitinkami Moody's ilgalaikio skolinimosi reitingai yra: Aaa, Aa, A, Baa, Ba,

B, Caa, Ca, C. Pastebesime, kad Moody's reitingas C atitinka S&P agenturos

reiting¡ D. Ivertinimai nuo Aa iki Caa daºniausiai papildomi skai£iumi 1 2,

3

Angli²kai probability of default arba tiesiog default probability.


Reitingas Reitingo apibudinimas

AAA auk²£iausios kokybes kreditas,

nansiniu isipareigojimu atºvilgiu klientas itin patikimas

AA labai geros kokybes kreditas,

klientas labai patikimas

A vis dar geros kokybes kreditas,

klientas truputi jautrus ekonominems s¡lygoms

BBB ºemiausias investi inio lygio kreditas

BB butina elgtis atsargiai,

geriausias neinvesti inio lygio kreditas

B klientas jautrus ekonominems s¡lygoms,

pajegus vykdyti savo nansinius isipareigojimus

CCC klientas gali tapti nemokus,

jei ekonomines s¡lygos taps nepalankios

CC klientas labai rizikingas,

greit gali tapti nemokus

C klientas arti bankroto arba jau bankrutavs,

isiskolinimu gr¡ºinimas dar vykdomas

D klientas jau yra neivykds bent vieno

i² savo nansiniu isipareigojimu

2.1 lentele. Agenturos Standard&Poor's ilgalaikio skolinimosi reitingai ir ju in-

terpreta ija.

arba 3, rei²kian£iu atitinkamo ukio subjekto padeti tarp t¡ pati reiting¡

turin£iu rmu. Pvz., Aa1 rei²kia pirm¡ji Aa reiting¡ turin£iu imoniu tre£dali,

Aa2 antr¡ji, o Aa3 tre£i¡ji. Trumpalaikio skolinimosi Moody's agenturos

reitingai ºymimi: P-1, P-2, P-3 ir NP. Raide P £ia rei²kia pagrindinis (prime),

o NP atitinka nepagrindinis (not prime). Fit h agenturos ilgalaikio skolini-

mosi reitingu skale beveik sutampa su jau minetaja Standard&Poor's skale, tik

tarp C ir D reitingu dar iterpta RD kategorija. Be to, kaip ir S&P taip ir Fit h

naudoja + ir − simbolius rmos pade£iai tiksliau nusakyti. Atitinkami

trumpalaikio skolinimosi reitingai ºymimi F1+, F1, F2, F3, B, C, D.

Dauguma tarptautiniu banku yra ivertinti AA reitingu, o daug JAV valstybiniu

ir regioniniu banku turi reiting¡ A arba BBB. Didºiausiu Lietuvos banku ir

jiems suteiktu reitingu lentel pateikiame 2.2 lenteleje.

Per pastaruosius trejus metus Lietuvos banku reitingai, kaip ir pa£ios Lietuvos,

daºnai keitesi. Siulome skaitytojui pasidometi, kaip 2.2 lentele atrodo dabar.

Kai pasirenkamas skolos reitingo lygmuo, tampa svarbu subalansuoti rizik¡,

kad ji atitiktu turim¡ banko kapital¡.

• Banko kapitalas skai£iuojamas i² dabartines banko turto vertes atemus da-

bartin isipareigojimu vert. Jei vis¡ turt¡ ir isipareigojimus galima lais-

vai parduoti rinkoje, tuomet dabartine verte yra tiesiog dabartine turto ir


2.2 lentele. Lietuvos banku reitingai 2007 metais.

isipareigojimu kaina. Ta£iau daºnai ne vis¡ turt¡ galima laisvai parduoti,

pavyzdºiui, privatiems asmenims i²duotomis paskolomis prekiaujama nedaº-

nai. Todel banko valdytojams svarbu visam turtui suteikti objektyvi¡ kain¡.

Paprastai ²i kaina gaunama i² nominalios turto vertes atemus spe ialius ir

bendruosius atidejinius. Nominali (paskolu) verte yra visa suma, kuri¡ klien-

tai yra skolingi bankui. Spe ialiesiems atidejiniams priskiriama tiketina suma,

kurios negr¡ºins jau galo su galu nesuduriantys skolininkai. O i bendruosius

atidejinius itraukiama tiketina suma, kurios per ateinan£ius metus negr¡ºins

visi kiti skolininkai. Tuomet kapitalas yra skirtumas, gautas i² nominalios

turto vertes atemus visus atidejinius ir isipareigojimus. Jei banko valdyba nus-

prendºia greitai pritraukti papildomo kapitalo, ji gali i²leisti daugiau banko

ak iju. Taip padideja kapitalas, o isipareigojimai lieka tokie patys. Beje,

isipareigojimai paprastai suprantami kaip visi sandoriai, pagal kuriuos bankas

yra skolingas kitiems rinkos dalyviams, ta£iau praktikoje daºnai neitraukiama

nuosavybes teis turin£iu vertybiniu popieriu (ak iju) verte. Kapital¡ padi-

dinti galima ir nusprendus kelet¡ metu nemoketi dividendu ak ininkams.

• Leistina banko rizika tampa ºinoma, vos tik paai²keja banko reitingas ir

apskai£iuojamas kapitalas. Paprastai ²i maksimali prisiimamos rizikos riba ap-

skai£iuojama padauginus isipareigojimu neivykdymo tikimyb i² turimo kapi-

talo. Tada banko valdyba dar turi nusprsti, kaip ²i¡ rizik¡ paskirstyti ivairiems

banko padaliniams: prekybos, mokejimo korteliu, paskolu ukio subjektams...

2.2 Kaip rmos matuoja ir atsiºvelgia i rizik¡? 47

Butina ivertinti kiekvieno i² ²iu padaliniu tiketin¡ gr¡º¡ ir rizikos diversi-

ka ij¡, apie kuri¡ daugiau kituose skyreliuose. inodamas rizikos lubas,

kiekvienas skyrius atitinkamai reguliuoja savo veikl¡, pvz., paskoloms i²dalija

ne daugiau kaip 100 mln. litu.

2.2 Kaip rmos matuoja ir atsiºvelgia i rizik¡?

iame skyriuje aptarsime dvi svarbias s¡vokas, be kuriu nei²siver£ia rmos, matuo-

damos prisiimam¡ rizik¡, kalbesime apie ekonomini kapital¡ (e onomi apital) bei

pagal rizik¡ ivertint¡ kapitalo gr¡º¡ (risk-adjusted return on apital (RAROC)).

Ekonominis kapitalas, apie kuri dar kalbesime ir 3 skyriuje, yra tarsi skale ivairioms

rizikoms palyginti, juo skai£iuojama, kiek turto turi sukaupti rma, kad apsidraustu

nuo prisiimamos rizikos. Kita vertus, RAROC verslo pasaulyje tapo standartiniu

matu transak iju pelningumui ivertinti, atsiºvelgiant i rizik¡.

Pradekime nuo s¡ry²io tarp kapitalo, rizikos ir isipareigojimu neivykdymo tiki-

mybes. Jau minejome, kad kapitalu vadinamas skirtumas tarp turimo turto vertes

ir prisiimtu isipareigojimu. Kapitalas kasdien kinta, nes kei£iasi turimo turto verte

rinkoje, taip pat gali kisti ir prisiimtu isipareigojimu kiekis. Nuo kapitalo dydºio

tampriai priklauso ir banko galimybe apmoketi skolas. Panagrinekime paprast¡

pavyzdi. Tarkime, kad i² jusu verslo idej¡ palaikan£iu investuotoju gavote 5 mln.

litu kredito unijai isteigti. Dar 95 mln. litu sukaupete i² indelininku. Tiek inves-

tuotojai (ak ininkai), tiek indelininkai tikisi gr¡ºos uº savo pinigus. Indelininkams

paºadejote 5% metiniu palukanu uº indelius. Uº sukauptus 100 mln. litu nuperkate

garsiu rmu (pvz., IBM ar British Airways) obliga iju, kuriu paºadetoji metine

gr¡ºa yra 6%. Po metu indelininkams turesite gr¡ºinti 99,75 mln. litu, o lik

6,25 mln. liks ak ininkams. Todel nuosavo kapitalo pelningumas (return on eq-

uity (ROE)) bus 25%. O tai nemaºas pelnas. Ta£iau visai imanoma situa ija, kad

dalis obliga ijas i²leidusiu rmu neivykdys savo isipareigojimu. Jei po metu 4% jusu

turimu obliga iju taps bevertes (jas i²leidusios rmos atsisakys obliga ijas i²pirkti ir

nieko nebus atgauta po bankroto pro eduru), tai turesite tik 101,76 mln. litu, o ne

106 mln. kaip ankstesniu atveju. Indelininkams vis tiek teks i²moketi 99,75 mln., o

ak ininkams liks 2,01 mln., t.y. jie patirs 2,99 mln. litu arba 59,8% nuostoli. O jei

po metu padetis dar prastesne ir net 8% obliga iju tapo bevertes, turesite vos 97,52

mln. litu, todel patys nesugebesite ivykdyti isipareigojimu indelininkams ir turesite

skelbti bankrot¡. Kartu jusu kredito unijos ak ininkai praras visk¡. Pana²iai sam-

protaujame ir tuo atveju, kai kapitalo struktura kiek kita: 20 mln. litu sudaro

nuosavas kapitalas, o 80 mln. litu sudaro skola, t.y. tiek sukaupiama i² indeliu.

Abieju s enariju rezultatus pateikiame 2.3 lenteleje.

Abiem atvejais nuosavo kapitalo pelningumas ROE skai£iuojamas taip:

ROE =FE− IE

IE,

£ia FE yra galutinis nuosavas kapitalas (nal equity), o IE rei²kia pradini nuosav¡

kapital¡ (initial equity). Pastebesime, kad didesnio pradinio kapitalo atveju net ir


2.3 lentele. Skirtingos kapitalo strukturos kredito unijos ir ju pelningumas.

blogesnis s enarijus (8% obliga iju praradimas) nesukelia kredito unijos bankroto.

Suprantama, kad realiai bever£iu obliga iju po vieneriu metu gali buti ne tik 4

ar 8%. Galimu s enariju daºniausiai yra be galo daug. Todel nuosavo kapitalo dydi

ir s enarijaus tiketinum¡ paprastai vaizduojame tikimybinio tankio graku.

106

99, 75 skola NK

Tikimybe

Galutinis turtas

2.2 pav. Kredito unijos turto skirstinio tankis. NK ºymi nuosav¡ kapital¡.

Uºbruk²niuotas plotelis lygus unijos isipareigojimu neivykdymo tikimybei.

Padidinus nuosavo kapitalo dali, sumaºetu unijos isipareigojimu neivykdymo

tikimybe. Taigi tarp pradinio kapitalo, prisiimtos rizikos ir bankroto tikimybes egzis-

tuoja tamprus ry²ys.

Ekonominis kapitalas, kaip rizikos matas, leidºia ivairi¡ rizik¡ matuoti viena

skale. Rinkos rizikai ivertinti i² pradºiu skai£iuosime dienos vertes rizik¡ (daily value-

at-risk (Daily-VaR)), o tada j¡ transformuosime i ekonomini kapital¡. Grieº£iau

vertes rizikos matas apibreºiamas ir nagrinejamas [7 knygoje. Kredito ir opera ines

rizikos ekonomini kapital¡ skai£iuosime tiesiogiai i² nuostoliu skirstinio. Ekonominis

kapitalas suprantamas kaip minimalus turtas (rezervas), kuri metu pradºioje turi

sukaupti nansu istaiga (jos ak ininkai), kad tikimybe bankrutuoti per tuos metus

butu labai maºa. Maºum¡ lemia banko pasirinktas skolos reitingas. Pvz., noredamas


Reitingas Tikimybe

AAA 1

AA 4

A 12

BBB 50

BB 300

B 1100

CCC 2800

D 10000

2.4 lentele. Agenturos Standard&Poor's ilgalaikio skolinimosi reitingai ir metines

isipareigojimu neivykdymo tikimybes (baziniais punktais).

i²laikyti A lygio reiting¡, bankas privalo pasiekti, kad isipareigojimu neivykdymo

(arba bankroto) tikimybe nevir²ytu 0,12% (t.y. 12 baziniu punktu). 2.2 lenteleje

matome skolos reitingo ir metines isipareigojimu neivykdymo tikimybes (tiksliau, ju

treju metu vidurkio) s¡ry²i (2001 m. duomenys i² [2).

Rizikos ru²ys ir ekonominis kapitalas

• Kredito rizikos ekonominis kapitalas priklauso nuo paskolu portfelio nuostoliu

L tikimybinio skirstinio. Nuostolius £ia suprasime kaip skirtum¡ tarp plan-

uoto galutinio turto (veliau paºymeto A1,max) ir gauto galutinio turto (veliau

paºymeto A1). Tiesa, ²is skirtumas nebutinai rei²kia nuostolius banko ar r-

mos ak ininkams, veikiau negautas pajamas. Tipi²k¡ galutinio turto skirstinio

tankio grak¡ matome 2.3 pav.

A1,max

Tikimybe

A1

EL

MPL

ULUL

p

2.3 pav. Kredito portfelio galutinio turto skirstinio tankio grakas ir svarbiausios

nuostoliu harakteristikos.

Jame pavaizduotas paskolu portfelio galutinio turto pasiskirstymas po vieneriu

metu. Raide A paºymejome portfelio vert, o D reik² banko skol¡ kreditori-

ams. Indeksas 0 ºymi metu pradºi¡, o 1 metu pabaig¡. Taip pat sim-

boliu A1,max paºymejome maksimali¡ portfelio vert po vieneriu metu, jei visi


paskolu gavejai ivykdys savo isipareigojimus bankui. Ivertinti pati portfelio

nuostoliu skirstini sudetingas uºdavinys. Labai daºnai svarbu ºinoti tris

pagrindines ²io skirstinio harakteristikas:

tiketin¡ (arba laukiam¡) nuostoli (expe ted loss (EL)), kuris yra maksi-

malios (planuotos) portfelio vertes A1,max ir tikrosios portfelio vertes A1

skirstinio vidurkio skirtumas (arba tiesiog nuostoliu vidurkis). EL yra

verte, kuri¡ bankas vidutini²kai turi tiketis prarasti (negauti) per viene-

rius metus;

netiketin¡ (arba nelaukiam¡) nuostoli (unexpe ted loss (UL)), t.y. port-

felio galutinio turto skirstinio standartini nuokrypi;

didºiausi¡ leistin¡ nuostoli (maximum probable loss (MPL)), kurio mate-

matinis atitikmuo yra nuostoliu skirstinio p-lygmens kvantilis, t.y.

MPL = infx : P(L > x) ≤ p.

Lygmuo p parenkamas atsiºvelgiant i banko skolos reiting¡. Pavyzdºiui,

A reiting¡ turin£io banko p = 0, 0012, t.y. toks bankas patirti nuostoli,

didesni uº MPL, gali tiketis tik 12 i² 10000 atveju.

Ekonominis kapitalas, reikalingas metu pradºioje, norimam paskolu portfeliui

suformuoti skai£iuojamas pagal formul:

EC0 = MPL1 + rA1 + rD

− A0rA − rD1 + rD

, (2.1)

£ia rA yra portfelio gr¡ºos norma, o rD ºymi le²u skolinimosi norm¡. Jei

teisingos kelios prielaidos (apie jas i²samiau truputi veliau), tai EC0 ≈ MPL−EL.

• Rinkos rizikos ekonominis kapitalas yra rezervas, kuri metu pradºioje turi

sukaupti ak ininkai, kad bankas galetu igyvendinti numatyt¡ investavimo stra-

tegij¡ ir i²laikytu norim¡ skolos reiting¡. io rezervo reikia tam atvejui, kai

del nepalankios situa ijos rinkoje banko strategijos pelningumas yra neigiamas

ir butina i² rezervo padengti isiskolinim¡. Pasirinkus investavimo strategij¡,

skai£iuojamas nuostoliu skirstinys. Tada randamas didºiausias leistinas nuos-

tolisWp > 0, tenkinantis lygti4 p = P(X < −Wp), kurioje X rei²kia atsitiktini

peln¡ (ºr. 2.4 pav.).

Veliau gautasis Wp diskontuojamas, naudojant neriziking¡ palukanu norm¡

rf , t.y. EC = Wp/(1 + rf ).

• Opera ines rizikos ekonominis kapitalas skai£iuojamas taip kaip ir rinkos ri-

zikos, tik ²ikart kebliau rasti nuostoliu skirstini. is uºdavinys vienas i²

svarbiausiu rizikos valdymo verslo i²²ukiu.

4

Jei nuostoliu skirstinys diskretus, tai ²i lygtis gali netureti sprendiniu. Tuomet Wp reiktu imti

bet kuri q > 0, tenkinanti nelygybes P(X < −q) ≤ p < P(X ≤ −q).


Tikimybe

Pelnas

Wp

0

2.4 pav. Rinkos rizikos nuostoliu skirstinys. Uºbruk²niuotas plotelis rei²kia nuos-

toli, didesni uº Wp.

Pagal rizik¡ ivertintas pelningumas

Ekonominio kapitalo s¡voka naudinga norint ivertinti didel rizik¡ ir sukaupti

reikiam¡ kapital¡ banko veiklai vykdyti. Ta£iau bankui ne tik svarbu ºinoti konkre-

taus sandorio rizik¡, bet ir to sandorio pagal rizik¡ ivertint¡ pelningum¡ (risk-

adjusted performan e (RAP)). Butent taip rizikos matavimai kasdien panaudojami

banko pelningumui valdyti. Nuo pagal rizik¡ ivertinto pelningumo gali priklausyti

atsakymai i tokius klausimus:

• kurie i² siulomu banko produktu yra pelningi ir kokia turetu buti ju kaina, kad

jie butu pelningi;

• kokie ry²iai su klientais yra pelningi bankui;

• ar apsimoka sudaryti konkretu sandori ir, jei apsimoka, uº koki¡ kain¡;

• kaip premijuoti darbuotojus pagal ju grupes gaut¡ pelno ir panaudoto banko

kapitalo santyki;

• kurie banko skyriai gauna daugiausia pelno atsiºvelgiant i prisiimam¡ rizik¡.

Taip galima nusprsti, kuriuos skyrius plesti, o kuriuos sumaºinti. Daºna i²-

vada daugiausia rizikos prisiimantys ir didºiausi¡ gr¡º¡ generuojantys skyriai,

pvz., prekybos ir paskolu imonems pagal rizik¡ ivertinto pelningumo poºiuriu

nusileidºia maºiau patraukliems skyriams, pvz., maºmeniniu paskolu.

Tradi i²kai banku sektorius pasikliaudavo matais, kurie rode nei²samu vaizd¡

apie pelningum¡ ir jo s¡ry²i su rizika. Daºniausiai skai£iuoti turto pelningumo (arba

gr¡ºos) (return on assets (ROA)) ir nuosavo kapitalo pelningumo (ROE) matai.

ROA reik²me gaunama paskolu portfelio peln¡ padalijus i² portfelio vertes, o ROE

t¡ pati peln¡ padalijus i² nuosavo kapitalo (book apital) arba i² privalomojo kapi-

talo (regulatory apital). Nuosav¡ kapital¡ sudaro istatinis kapitalas, nepaskirstytas

pelnas (nuostolis), ivairus rezervai. Privalomasis kapitalas yra minimalus kapitalas,

kuri turi tureti bankas ir kuri nustato prieºiuros istaiga (pvz., Lietuvos Bankas).

ROA visai neatsiºvelgia i turimo turto rizik¡. O ROE i rizik¡ atsiºvelgs tik tuo

atveju, jei privalomasis kapitalas bus skai£iuojamas atsiºvelgiant i rizik¡. Todel pas-

taraisiais metais banku sektorius vis pla£iau skai£iuoja pagal rizik¡ ivertint¡ kapitalo


gr¡º¡ (RAROC) ir ak ininkams tenkan£i¡ pridetin vert (shareholder value added

(SVA)).

• Pagal rizik¡ ivertinta kapitalo gr¡ºa yra laukiamas grynasis pagal rizik¡ iver-

tintas pelnas (expe ted net risk-adjusted prot (ENP)) padalytas i² ekonominio

kapitalo (EC), reikalingo sandoriui sudaryti, t.y. RAROC = ENP/EC. Skai-

£iuojant RAROC visi sandoriai prilyginami investi inio portfelio vertybiniu

popieriu pirkimo arba pardavimo sandoriams. Vertybinio popieriaus kaina

yra ekonominio kapitalo kiekis, reikalingas sandoriui sudaryti. Sandorio gr¡ºa

yra grynasis vertes padidejimas. Pavyzdºiui, jei nagrinejame paskolos sandori,

RAROC skai£iuojamas taip:

RAROC =A0rA + F −D0rD −OC− L

EC

=A0rA + F − (A0 − EC)rD −OC− L

EC,

£ia A0rA yra pelnas i² paskolos palukanu, F pajamos i² paskolos aptarnavimo

mokes£iu, D0rD i²laidos banko skolos palukanoms padengti, OC opera ines

i²laidos (operating osts) ir L nuostoliai (loss). Prekybinio sandorio RAROC

skai£iuojamas taip:

RAROC =∆V −OC

EC,

£ia∆V yra grynasis pozi ijos vertes pokytis (iskai£iuojant ir vis¡ skolos kain¡),

o OC ir EC rei²kia t¡ pati, k¡ ir anks£iau. RAROC skai£iuojamas i praeiti

(norint ivertinti jau ivykdyto sandorio pelningum¡) arba i ateiti (norint ivertinti

busimo sandorio pelningum¡). Jei skai£iuojama i praeiti, tai nuostolis L ir

pozi ijos vertes pokytis ∆V rei²kia jau ºinomus dydºius, o jei RAROC skai-

£iuojamas i ateiti, tuomet L kei£iame i tiketin¡ (arba laukiam¡) nuostoli ELir tiketin¡ (arba laukiam¡) pozi ijos vertes pokyti E(∆V ).

• Banko vadovybe paprastai nustato minimali¡ gr¡º¡ (hurdle rate (H)), kurios

tikisi i² kiekvieno verslo skyriaus. Tik sandoriai, kuriu RAROC reik²me yra

nemaºesne uº H laikomi priimtinais. Paprastai H reik²me nustatoma viena

visam bankui ir buna intervale nuo 12 iki 20%. Tiksli jos reik²me priklauso nuo

ak ininku laukiamos investi iju gr¡ºos, o pastaroji nuo banko rizikingumo

ir korelia ijos tarp banko nuostoliu ir bendrojo rinkos lygio. Daºniausiai

vadovaujamasi kapitalo i²tekliu vertinimo modeliu (Capital Asset Pri ing Mo-

del (CAPM)). Kadangi H yra minimali RAROC reik²me, tai paskolos sandoriui

gauname

H =A0rA + F− (A0 − EC)rD −OC− L

EC, (2.2)

todel minimali laukiama gr¡ºa i² paskolos sandorio turi tenkinti A0rA + F =(A0−EC)rD+OC+EL+H×EC. Butent toki¡ sum¡ uº paskol¡ i² kliento turi

pra²yti bankas (Tuomet dydis EC kei£iamas i EC0, o L i EL). Analogi²kai,minimalus prekybos sandorio laukiamas pokytis yra E(∆V ) = H× EC+OC.


• RAROC yra santykinis pelningumo matas. Bet kartais naudinga tureti ir

absoliutu pelningumo mat¡. Kaip tik tokia yra ak ininkams tenkanti pridetine

verte (SVA), kuri yra skirtumas tarp dabartinio (arba laukiamo) pelningumo

ir vadovybes reikalaujamo pelningumo. Paskolos sandoriams

SVA = (A0rA + F− (A0 − EC)rD −OC− L)− H× EC,

o prekybos sandoriams

SVA = (E(∆V )−OC)− H× EC.

Dabar jau galime parodyti, kaip gaunama aproksima ija EC0 ≈ MPL − EL.Metu pradºioje turto (t.y. suformuoto paskolu portfelio) verte A0 bus lygi

skolos D0 ir pradinio ekonominio kapitalo EC0 sumai. Po metu teks gr¡ºinti

D1 = (1 + rD)D0. Po vieneriu metu paskolu portfelio verte A1 bus randama

pagal toki¡ formul:

A1 = (1 + rA)(1− λ)A0,

£ia rA yra paskolu porftelio gr¡ºa, o λ dalis skolininku, kurie neivykde savo

isipareigojimu, kitaip tariant, nuostoliu norma. Vadinasi, ekonominis kapitalas

po vieneriu metu yra

EC1 = A1 −D1 = (1 + rD)

((1 + rA)(1− λ)

1 + rDA0 −D0

).

Bankas taps nepajegus ivykdyti savo isipareigojimu, jei λ bus pakankamai

didelis, o EC1 ≤ 0. Bet tokia situa ija, atsiºvelgiant i banko skolos reiting¡ ir

isipareigojimu neivykdymo tikimyb, imanoma tik, jei λ = λp = MPL/A0. is

dydis turi tenkinti lygti:

0 = (1 + rD)

((1 + rA)(1− λp)

1 + rDA0 −D0

).

I²sprendD0 atºvilgiu ir istat i pradinio ekonominio kapitalo i²rai²k¡, gausime:

EC0 = A0 −D0 = A0 − A0(1 + rA)(1− λp)

1 + rD= A0

(rD − rA) + λp + λprA1 + rD

= A0λp1 + rA1 + rD


= MPL1 + rA1 + rD


,

t.y. gavome (2.1) i²rai²k¡. Jei i² (2.2) i²reik²ime rA, gausime

rA =(A0 − EC0)rD +OC + EL + H× EC− F

A0.

Jei A0 − EC0 ≈ A0, OC = F ir ignoruosime H× EC0, tai rA ≈ rD +EL/A0 =rD + µ. Tuomet

EC0 = A0

(λp

1 + rD + µ

1 + rD− µ

1 + rD

)≈ A0(λp − µ) = MPL− EL,

jei (1− λp)/(1 + rD) ≈ 1.

3 Kredito rizikos vertinimas

Kiekvienas bankas ar kredito istaiga prie² i²duodadami paskol¡ stengiasi kruop²£iai

ivertinti, ar busimas skolininkas yra patikimas, ar jis sugebes laiku ivykdyti visus

isipareigojimus ir gr¡ºinti paskol¡. Panagrinekime pavyzdi, kuris gal ir hiperbolizuo-

tas, bet nera jau toks neitiketinas. Tarkime, kad didele Stepono statybu kompanija

pra²o banko paskolinti 100 mln. litu dangoraiºiui statyti. is pra²ymas patiketas

vienam i² banko analitiku, kuris ir turi rekomenduoti skirti paskol¡ ar ne. Tarkime,

kad ²is vyresnysis analitikas puikiai ºino, kad Steponas ir banko prezidentas yra

seni geri draugai, kad del padaºnejusiu statybu rmu bankrotu statybu sektorius

i²gyvena ne pa£ius geriausius laikus, ir kad banko vidiniu reitingu lenteleje Stepono

rma krenta ºemyn ir jau atsidure ºemiau investi inio lygio, kuris rei²kia ypatingai

didel rizik¡. K¡ analitikui daryti? Naturalu tiketis, kad sprendºiant i² turimos

informa ijos apie imon toks kredito pra²ymas turetu buti atmestas. Kita galimybe

butu kredit¡ visgi suteikti, bet pareikalauti papildomu garantiju ir isigyti kredito

rizikos valdymo instrument¡ (papras£iau savoti²k¡ draudimo polis¡), kuris bedos

atveju kompensuotu nuostolius. Toki uºdavini bankininkams tenka sprsti kasdien.

Juridiniu ar ziniu asmenu laikinas ar piktybi²kas nemokumas yra banku kasdienybe,

o ne retos i²imtys. Tad visai nenuostabu, kad paskolu garantijos ir ivairus paskolu

draudimo polisai bankininku sugalvoti ir taikomi jau seniai. Tik kaip ivertinti reiki-

am¡ paskolos ar apskritai viso paskolu portfelio garantij¡? Pagrindine ideja yra

paprasta ir budinga visoms draudimo ru²ims nuostolius del keliu blogu paskolu ar

draudeju kompensuoja imokos, surinktos i² visu klientu. Imoka, kuri¡ sumoka pasko-

los gavejas arba perkantysis draudimo polis¡, tam tikra prasme atspindi vidutinius

nuostolius, susijusius su konkre£ia skolininku ar draudeju grupe. Kitaip tariant,

tiek draudimo imones, tiek bankai surenka draudimo arba rizikos premijas, kuriomis

sukuriamas rezervas tiketiniems nuostoliams padengti. odi tiketini deretu keisti

i vidutiniai, nes ²ie nuostoliai susij su atitinkamo dydºio vidurkiu. Klausimas -

kokio dydºio vidurki skai£iuojame? Paprastai kiekvienam klientui bankas priskiria

tris

1

skai£ius:

• isipareigojimu neivykdymo tikimyb (DP, default probability

2

);

• nuostoli

3

del isipareigojimu neivykdymo (LGD, loss given default);

1

Pagal nauj¡j¡ Bazelio sutarti, galimas ir ketvirtas skai£ius efektyvioji paskolu portfelio

trukme (ee tive maturity), kuri paprastai prilyginama dvejiems su puse metu, jei taikomas pa-

grindinis IRB metodas (ºr. toliau tekste).

2

Kartais DP ºymejimas kei£iamas i PD del angli²ko probability of default.

3

Tiksliau, paskolos dali, kuri¡ bankas praras, jei klientas neivykdys savo isipareigojimu.

54

3.1 Isipareigojimu neivykdymo tikimybe 55

• ir pozi ijos vert, esant isipareigojimu neivykdymui (EAD, exposure at de-

fault).

Del trumpumo isipareigojimu neivykdym¡ toliau vadinsime tiesiog nemokumu.

Prie² skai£iuodami nuostolius, turime ai²kiai suvokti, kada klientas laikomas nemo-

kiu. Pagal nauj¡j¡ Bazelio sutarti (ºr. [13, III.F, 146), kuri isigaliojo 2006 metais,

skolininkas laikomas nemokiu, kai teisinga viena arba kelios i² ²iu s¡lygu:

• nustatyta, kad skolininkas nepajegs ivykdyti visu savo isipareigojimu, t.y.

gr¡ºinti vis¡ paskol¡, palukanas ir sumoketi visus reikalingus mokes£ius;

• nustatyta, kad skolininkas neivykde bent vieno i² savo nansiniu isipareigojimu

(nebutinai tam pa£iam bankui), paskelbe patyrs nuostoliu, ivykde restruktu-

riza ij¡ susijusi¡ su skolos, palukanu ar mokes£iu anuliavimu ar atidejimu;

• nustatyta, kad skolininkas veluoja vykdyti kredito gr¡ºinimo isipareigojimus

ilgiau nei 90 dienu;

• arba nustatyta, kad skolininkas paskelbe bankrot¡ arba pasipra²e istatymu

iteisintos apsaugos nuo kreditoriu.

3.1 Isipareigojimu neivykdymo tikimybe

Pasirink bet kuri klient¡, galime apskai£iuoti banko nuostoli, jei ²is klientas butu

pripaºintas nemokiu:

L = LGD× EAD× L, L = 1D, P(D) = DP,

£ia D rei²kia ivyki, kad ksuotasis klientas yra ar taps nemokus per konkretu

laikotarpi (daºniausiai vienerius metus), o P(D) yra ²io ivykio tikimybe. Kaip

paprastai tikimybiu teorijoje, atsitiktiniai ivykiai, tarp ju ir D, yra tikimybines

erdves (Ω,F ,P) σ-algebros F elementai. Atsitiktinio dydºio L vidurki EL vadi-

name tiketinu nuostoliu EL (expe ted loss):

EL = EL = LGD× EAD× DP. (3.1)

Pastaroji formule yra teisinga tik tuo atveju, kai dydºiai LGD ir EAD yra konstan-

tos. Visgi kartais, o ypa£ kai neºinoma amortiza ijos, vartojimo ar kitu faktoriu

itaka, EAD tenka laikyti atsitiktiniu dydºiu. Tuomet (3.1) formul teks pako-

reguoti. Atskiru atveju, kai EAD ir L yra nepriklausomi atsitiktiniai dydºiai, (3.1)

formuleje vietoje EAD teks ira²yti E(EAD). Deja, daºnai EAD ir L nepriklauso-

mumo patikrinti negalime arba jis neitiketinas, todel tokios paprastos kaip (3.1)

formules neturesime. Visgi, net ir papras£iausiu atveju, bankininkai turi ivertinti

DP, LGD ir EAD. Isipareigojimu neivykdymo tikimybe DP paprastai ivertinama

pagal

• skelbiamus rinku duomenis

56 3 Kredito rizikos vertinimas

• arba pagal reitingu lenteles, kurias sudaro ivairios reitingu agenturos (pvz.,

Moody's, Fit h, Standard& Poor's)

4

arba patys bankai.

Reitingai paprastai nusako kliento patikimum¡ ir jie paprastai priskiriami i² patir-

ties, atsiºvelgiant i subjektyvi¡ banko ar reitingu agenturos nuomon, o ne pa-

gal kokias nors matematines formules. JAV ir Kanadoje dauguma skolininku yra

ivertinti bent dvieju i² triju svarbiausiu reitingu agenturu (Moody's, Fit h ir Stan-

dard&Poor's). iu agenturu ataskaitos apie rmu nemokum¡ yra visuomenei laisvai

prieinamos, pvz. jas rasite interneto svetainese www.moodys. om,

www.standardandpoors. om ir www.t hratings. om.

Europoje tarptautinius reitingus turi ne tiek daug rmu, nes platinti korpora-

iju skolos vertybinius popierius (pvz., obliga ijas) £ia ne taip populiaru kaip uº

Atlanto. Todel Europos bankams tenka skirti daugiau demesio vidiniu reitingu

lenteliu sudarymui. Patys reitingai paprastai priskiriami atsiºvelgiant i kelet¡ rmos

ekonomin ateiti lemian£iu veiksniu:

• ateities pajamas ir nansinius srautus;

• skolas (trumpalaikius ir ilgalaikius isiskolinimus, kitus nansinius isipareigoji-

mus);

• kapitalo struktur¡;

• rmos turto likvidum¡;

• politin, ekonomin bei so ialin padeti ²alies, kurioje rma registruota;

• bukl rinkos ar ekonomikos sektoriaus, kuriame rma vykdo pagrindin savo

veikl¡;

• rmos vadovyb, kompanijos struktur¡ ir t.t.

I² ²io, kad ir nei²samaus, s¡ra²o matyti, kad matematinemis formulemis nusakyti

kliento patikimum¡ bergºdºias uºdavinys. Geriausiu atveju DP galime ivertinti tik

statisti²kai, bet ir tai tik i² dalies. Del ivairiu sunkiau ap£iuopiamu veiksniu galutini

reiting¡ suteikti privalo analitikai. Reikia pamineti, kad vidiniai banku reitingai

daºniausiai yra prana²esni uº i²orinius del dvieju prieºas£iu:

• patys bankai savo klientus paºista geriausiai,

• bankai gali operatyviau sureaguoti i rmos, rinku ar ekonomikos sektoriu

poky£ius.

Dabar panagrinekime, kaip su reitingu skalemis susiejamos nemokumo tikimy-

bes DP. I²oriniai agenturu reitingai siejami su per daugeli metu sukauptu duomenu

daºniu lentelemis. Pateikiant pro entines i²rai²kas gaunamos istorines nemokumo

tikimybes. Pateiksime 19952000metu Moody's agenturos duomenis (ºr. 3.1 lentel).

Joje reitingu skale yra smulkesne, nei anks£iau minetoji, o paskutiniame stulpelyje

3.2 Pozi ijos verte, esant nemokumui 57

Reitingas 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Priskirta DP

Aaa 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,005%

Aa1 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,008%

Aa2 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,014%

Aa3 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,023%

A1 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,038%

A2 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,063%

A3 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,105%

Baa1 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,29% 0,174%

Baa2 0,00% 0,00% 0,00% 0,32% 0,00% 0,00% 0,289%

Baa3 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,34% 0,98% 0,480%

Ba1 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,47% 0,91% 0,797%

Ba2 0,00% 0,00% 0,00% 0,61% 0,00% 0,66% 1,324%

Ba3 1,72% 0,00% 0,47% 1,09% 2,27% 1,51% 2,200%

B1 4,35% 1,17% 0,00% 2,13% 3,08% 3,25% 3,654%

B2 6,36% 0,00% 1,50% 7,57% 6,68% 3,89% 6,070%

B3 4,10% 3,36% 7,41% 5,61% 9,90% 9,92% 10,083%

3.1 lentele. Moody's agenturos rmu nemokumo daºniu lentele (19952000 metai).

pateikiamos tiesines regresijos metodu (pagal 19832000 metu duomenis) apskai-

£iuotos nemokumo tikimybes:

Empiriniai tyrimai rodo, kad nemokumo tikimybes auga eksponenti²kai, maºejant

kliento reitingui. Todel visai nenuostabu, kad Moody's agenturos duomenu 3.1 len-

teleje paskutiniojo stulpelio tikimybes apskai£iuotos pagal formul:

DP (x) = 3× 10−5e0,5075x, x ∈ 1, 2, . . . , 16,

£ia x = 1 atitinka reiting¡ Aaa, x = 2 atitinka Aa1 ir t.t.

Be to, pastebesime, kad nors geriausiu reitingu eilutese tera tik nuliai (t.y. tokius

reitingus turin£iu rmu nemokumo per 19952000 metus nepastebeta), ta£iau tai dar

nerei²kia, kad tikimybes DP tokiems reitingams deretu laikyti lygiomis nuliui. I²

tiesu, po kruop²tesnes kalibra ijos Aaa reitingas paprastai siejamas su dvieju baziniu

punktu

5

dydºio tikimybe, kuri rei²kia, kad vidutini²kai per 10000 metu stebesime

vos du Aaa reiting¡ turin£iu klientu isipareigojimu neivykdymo atvejus. Trumpiau

nors ir labai maºos, priskiriamos tikimybes yra vis tiek teigiamos.

3.2 Pozi ijos verte, esant nemokumui

Pozi ijos verte, esant nemokumui, arba EAD, harakterizuoja, kiek bankas praras,

jei klientas neivykdys savo isipareigojimu. Paprastai i²skiriamos dvi EAD kompo-

nentes:

4

Norintiems daugiau paskaityti apie reitingu lenteles siulome atsiversti [4 apºvalg¡.

5

vienas bazinis punktas = 0, 01%.


• neapmoketa skola (OUTST, outstandings);

• kredito isipareigojimai (COMM, ommitments).

Kredito isipareigojimai apima paskolos dali, kuri bankas isipareigojo klientui

suteikti, kai tik ²is to pareikalaus. Todel naturalu, kad nemokumo momentu gali buti

tiek jau ivykdytu, tiek dar neivykdytu isipareigojimu. Paprastai, kai kliento padetis

blogeja, jis griebiasi ir paskutinio ²iaudo, t.y. stengiasi paimti paºadetuosius pinigus.

Todel bankui tenka sunki uºduotis ivertinti, kiek isipareigojimu iki nemokumo bus

ivykdyta ir pajusti, kada kliento padetis smarkiai pablogeja. Bendruoju atveju,

EAD skai£iuojamas taip:

EAD = OUTST + γCOMM,

£ia γ ∈ [0, 1] yra dalis isipareigojimu, kuriais klientas spes pasinaudoti iki nemokumo

momento. Paprastai modeliuose γ yra atitinkamo atsitiktinio dydºio vidurkis. i

dydi bankai parenka pagal kliento kredito reiting¡, paskolos pobudi, jos garantijas

ir kitus faktorius. Daºnai isipareigojimuose numatyti ivairus saugikliai, garantines

s¡lygos, pvz., reikalavimai padidinti uºstat¡ uº paskol¡, jei kliento nansine padetis

pablogeja, arba apskritai persvarstyti paskolos sutarties s¡lygas. Tik reikia pabreºti,

kad kliento padeties pablogejim¡ pastebeti kaip galima anks£iau yra keblu, todel, net

ir i² anksto apribojus kliento kredito linij¡, ²iuo saugikliu ne visada spejama laiku

pasinaudoti. Daºniausiai geriau kontroliuojami rizikingesni klientai, nes bankas jau

ºino, kad su tokiais klientais reikia elgtis atidºiau. O ²tai iki tol puiki¡ reputa ij¡

turejusius klientus kontroliuoti sunkiau. Todel sukurti realisti²k¡ sto hastini EAD

modeli nera taip lengva.

Pagal Bazelio komiteto nurodymus, bankai gali taikyti standartizuot¡ arba vi-

daus reitingais pagrist¡

6

(trumpiau IRB, internal ratings based) kredito rizikos

vertinimo ir ²iai rizikai padengti reikalingo kapitalo sudarymo metod¡. Jei taiko-

mas standartizuotas metodas, tai kredito rizikos kapitalo poreikis nustatomas ap-

skai£iuot¡ pagal rizik¡ ivertint¡ banko turto ir nebalansiniu pretenziju pozi iju vert

padauginus i² 8%. Pagal rizik¡ ivertinta pozi ijos verte yra apskai£iuojama, at-

siºvelgiant i rizikos koe ientus, kuriu nustatymo tvarka i²destyta Lietuvos Banko

valdybos leidinyje.

7

Jei taikomas IRB metodas, tai balansiniu opera iju EAD skai£i-

uojami pagal ju nominali¡ vert, o nebalansiniu opera iju EAD siuloma skai£iuoti

dvejopai ir taikyti:

• pagrindini IRB metod¡, t.y. EAD nuo nebalansiniu opera iju dauginti i² ko-

e iento 0, 75. Pavyzdºiui, jei isipareigota suteikti 1 mln. litu kredit¡, o iki

nemokumo momento klientui i²duota 600 tukstan£iu, tai EAD = 600+ 0, 75 ·400 = 900 tukstan£iu.

• arba paºanguji IRB metod¡, t.y. EAD ivertinti pagal vidinius banku modelius

ir turimus duomenis. Tiesa, ²i bud¡ taikyti gali tik atitinkamus reikalavimus

tenkinantys stambesnieji bankai.

6

Jei tam pritare entrinis ²alies bankas, pvz., Lietuvos Bankas.

7

Lietuvos Banko 2006 lapkri£io 9 d. nutarimas Nr. 138, IV skyrius, I skirsnis, ºr. [9.

3.3 Nuostolis del isipareigojimu neivykdymo 59

3.3 Nuostolis del isipareigojimu neivykdymo

Nuostoli del isipareigojimu neivykdymo (nemokumo) LGD kartais kei£iame i jam

dualu dydi 1-LGD, kuri vadiname atgaunama dalimi (RR, re overy rate). Modeliuoti

LGD tikrai keblu, nes tenka atsiºvelgti i daugyb faktoriu:

• paskolos uºstato kokyb, likvidum¡ (paskola garantuota vertybiniais popieriais

ar nekilnojamuoju turtu);

• pirmumo teises i kliento skol¡ (daºnai pirmenybes teise yra itvirtinta istaty-

mais);

• ekonomikos sektoriu, ir t.t.

8

Kaip ir EAD parametras γ, taip ir LGD yra vidurkis, ²ikart nuostoliu smarkum¡

apibudinan£io atsitiktinio dydºio SEV (severity). Pastar¡ji modeliuoti sunku, nes

bankai daºnai neturi pakankamai duomenu ²iam dydºiui ivertinti. Informa ijos gau-

nama i² i²oriniu ²altiniu, pvz., kredito reitingu agenturu, kurios kaupia informa ij¡

apie nemokiu rmu, ivairaus pirmumo obliga iju rinkos vert ir i² tokiu rmu at-

gaunamos paskolu dalies dydi. Deja, ir ²ie duomenys daºnai nepakankami. Todel

pastaraisiais metais Tarptautines mainu ir i²vestiniu vertybiniu popieriu aso ia ijos

(ISDA) ini iatyva bandoma pritraukti kuo daugiau banku ir kredito istaigu keistis

turima informa ija bei LGD vertinimo metodika.

3.4 Netiketini nuostoliai

Jau minejome, kad bankams butina kaupti rezervini kapital¡ poten ialiems nuos-

toliams padengti. Ta£iau kokio dydºio rezervo reikia? Jei rezervas padengs tik

vidutinio dydºio nuostolius, bankrutuos daug banku, nes nuostoliu, artimu vidutini-

ams, gali buti daug. Todel svarbu atsiºvelgti ir i nuostoliu skirstinio sklaid¡, t.y.

i nuostolius, vir²ijan£ius vidutinius. Literaturoje minimi netiketini nuostoliai (UL,

unexpe ted loss), kurie yra tiesiog nuostoliu kintamojo L standartinis (kvadratinis)

nuokrypis, t.y.

UL =√DL =

√D(EAD× SEV× L).

3.1 teiginys . Jei SEV ir isipareigojimu neivykdymo ivykis D yra nepriklausomi,

tai

UL = EAD√

D(SEV) · DP+ (LGD)2 · DP(1−DP).

Irodymas. Prisimin apibreºimus ir elementarias vidurkiu skai£iavimo taisykles gal-

8

Daugiau ²ia tema rasite T. S huermann'o straipsnyje [15.


ime uºra²yti:

(UL)2 = DL = (EAD)2D(SEV · 1D)

= (EAD)2(E(SEV · 1D)

2 − (E(SEV · 1D))2)

= (EAD)2(E(SEV)2E12

D − (E(SEV))2(E1D)2)

= (EAD)2(E(SEV)2DP− (E(SEV))2(DP)2

)

= (EAD)2(D(SEV)DP+ (LGD)2DP(1− DP)

).

3.1 pastaba . Nepriklausomumo tarp D ir SEV s¡lyga daºniausiai nera tikrovi²ka.

Paprastai SEV priklauso nuo ekonominiu s¡lygu, nes paskolos uºstato ar garantiju

verte rinkoje, esant nepalankioms ekonominems s¡lygoms, gali buti maºesne, todel

kliento nemokumo atveju atgauti pavyks maºesn paskolos dali, nei esant geresnems

ekonominems s¡lygoms.

3.5 Paskolu portfelis

Paprastai bankai buna i²dav ne po vien¡ paskol¡, kurios gali skirtis savo pobudºiu,

terminais, s¡lygomis ir t.t. Todel bankams svarbu ivertinti ir viso paskolu portfe-

lio rizik¡, butin¡ sukaupti rezervini kapital¡. Tarkime, kad banko paskolu portfeli

sudaro m paskolu. Kiekvienos paskolos nuostoli galime uºra²yti:

Li = EADi · SEVi · Li, Li = 1Di, P(Di) = DPi, i = 1, . . . , m.

Tuomet visas porftelio nuostolis bus

LP =m∑

i=1

Li =m∑

i=1

EADi · SEVi · Li,

o ²io dydºio vidurkis (t.y. tiketinas paskolu portfelio nuostolis)

ELP =

m∑

i=1

EADi · LGDi ·DPi.

Pastaroji formule teisinga, jei kiekvieno kliento SEVi ir Di yra nepriklausomi.

Be to, jei visi Li yra poromis nekoreliuoti, tai galime apskai£iuoti ir paskolu

portfelio netiketinus nuostolius

ULP =

√√√√m∑

i=1

(ULi)2.

Deja, daºniausiai dydºiai Li yra koreliuoti. Dar daugiau, ²i s¡lyga beveik visada yra

itraukiama i modeli. Todel galime tik uºra²yti, kad

ULP =

√√√√m∑

i,j=1

EADi · EADj · Cov(SEVi · Li, SEVj · Lj).

3.5 Paskolu portfelis 61

3.2 teiginys . Jei paskolu portfelio nuostoliu smarkumai SEVi, i = 1, . . . , m, yra

konstantos (t.y. bet kuriam i, SEVi = LGDi beveik tikrai), tai

(ULP )2 =

m∑

i,j=1

EADi · EADj · LGDi · LGDj ·√

DPi(1− DPi)DPj(1− DPj)ρi,j ,

£ia ρi,j = Corr(Li, Lj) = Corr(1Di, 1Dj

).

Irodymas. Pakanka prisiminti, kad

Cov(X, Y ) =√DX

√DY Corr(X, Y )

ir kad D(1Di) = DPi(1−DPi).

3.1 pavyzdys . Kad geriau suprastume korelia ijos prasm ir interpreta ij¡, pana-

grinekime paprast¡ pavyzdi portfelio, sudaryto i² dvieju paskolu. Del paprastumo

tarkime, kad paskolu LGDi = 1 ir EADi = 1, i = 1, 2. Paºymekime DPi = pi irρ = Corr(L1, L2). Tuomet gausime

(ULP )2 = p1(1− p1) + p2(1− p2) + 2ρ

√p1(1− p1)

√p2(1− p2). (3.2)

I²skirkime tris atvejus:

• ρ = 0. iuo atveju (3.2) nelieka tre£iojo nario ir toki¡ situa ij¡ galime pavadinti

tobula diversika ija, nes bankas, i²davs paskolas nesusijusiems klientams,

ºino, kad vieno i² klientu nemokumas nepaveiks kito kliento busenos. Todel ir

bendra portfelio rizika bus minimali.

• ρ > 0. ikart banko klientai tarpusavy jau susij: vieno i² ju nemokumas

padidina ir kito kliento nemokumo tikimyb. I² tiesu, apskai£iuokime s¡lygin

tikimyb:

P(L2 = 1|L1 = 1) =P(L2 = 1, L1 = 1)

P(L1 = 1)=

EL1L2

p1

=p1p2 + Cov(L1, L2)

p1

= p2 +ρ√p1(1− p1)p2(1− p2)

p1> p2.

Atskiru atveju, kai ρ = 1 (tobulos korelia ijos atvejis) ir p1 = p2 = p, gausime

ULP = 2√p(1− p), t.y. portfeli i² esmes sudaro vienas klientas, o rizika

padidejusi du kartus. Tai vadinama kon entra ijos rizika. Be to, bankrutavus

vienam i² klientu, antrasis taip pat beveik tikrai bankrutuos.

• ρ < 0. Situa ija nagrinejama analogi²kai atvejui ρ > 0, tik ²ikart s¡lygine

tikimybe P(L2 = 1|L1 = 1) < p2. O atskiru atveju, kai ρ = −1 ir p = p1 = p2,gausime ULP = 0. Vadinasi, vienos paskolos rizik¡ eliminuoja i²duota antroji

paskola. Toki¡ situa ij¡ dar vadiname tobulu apsidraudimu (perfe t hedging).


3.6 Ekonominis kapitalas

Pratskime diskusij¡ apie banku rezervinio kapitalo dydi. Jau aptareme, kad bankai

turetu sukaupti bent jau EL+UL dydºio kapital¡ galimoms krizems suvaldyti. Deja,

daºnas tikimybinis skirstinys pakankamai didel savo mases dali kon entruoja net ir

didesniu kaip vieno kvadratinio nuokrypio atstumu nuo vidurkio, todel nuostoliai,

didesni uº EL+UL, vis dar pavojingi. Todel, kalbant apie rezervini kapital¡, butinaatsiºvelgti ir i statistini reik²mingumo lygmeni. Daºniausiai rezerv¡ apibudiname

pasitelk ekonominio kapitalo (EC, e onomi apital) s¡vok¡. Jei reik²mingumo

lygmuo yra α, tai porftelio ekonominis kapitalas apibreºiamas taip:

ECα = qα − ELP ,

£ia qα yra porftelio nuostoliu LP α-lygmens (apatinis) kvantilis,

9

t.y.

qα = infq > 0 : P(LP ≤ q ≥ α.

Kitaip tariant, jei α = 99, 98%, tai turint ECα dydºio rezerv¡ vidutini²kai pakaks

netiketiems nuostoliams padengti 9998 kartus (t.y. tiek kartu pasirinkus konkre£ius

metus) i² 10000, jei paskolu trukme yra vieneri metai. O kitus du kartus i² 10000

tokio kapitalo, deja, nepakaks ir bankas bankrutuos.

Gali kilti klausimas, kodel i² α-lygmens kvantilio atimame tiketinus nuostolius.

Taip daroma del paplitusios praktikos, pagal kuri¡ atskirai skai£iuojami tiketini nu-

ostoliai, susij su paskolos administravimu, ivairiais mokes£iais. Paprastai tiketinus

nuostolius dengia klientai, priklausomai nuo ju kredito reitingu. Be to, bankai dar

papra²ys ir imokos, susijusios su netiketinu nuostoliu rizika. i imoka daºniausiai

skai£iuojama kaip papildomas ekonominis kapitalas, o jos dydis priklauso nuo banko

paskolu portfelio strukturos. Svarbu pamineti, kad tiketini nuostoliai, prie²ingai su

nuo ekonominiu kapitalu susijusios imokos, nuo banko paskolu portfelio nepriklauso.

Jei paskolu portfelis jau gerai diversikuotas, naujos paskolos papildomo ekonominio

kapitalo imoka bus maºesne nei tuo atveju, kai del naujos paskolos padideja kon en-

tra ijos rizika.

Apibendrindami galime teigti, kad paskolos imokos, susijusios su tiketinais nuos-

toliais, nuo paskolu portfelio nepriklauso, o imokos, susijusios su papildomu ekono-

miniu kapitalu, labai priklauso nuo paskolu portfelio strukturos.

Ekonominio kapitalo EC alternatyva galime laikyti ir de ito vidurki (ESF, ex-

pe ted shortfall). Jis atspindi draudimo kompaniju poºiuri i kreditu versl¡. Apie

de ito vidurki ir kitus rizikos matus daugiau pakalbesime veliau.

Visi portfelio rizik¡ nusakantys dydºiai apskai£iuojami naudojant portfelio nuos-

tolio LP skirstini, kuris ir yra pagrindinis kredito rizikos valdytoju demesio objektas.

Kai tikslaus LP skirstinio rasti nepavyksta (o taip daºniausiai ir buna), ji bandoma

ivertinti pagal turimus empirinius duomenis. Praktikoje paplit du metodai:

• Monte Karlo metodas ir

9

Literaturoje ²is kvantilis dar vadinamas kapitalo rizikos verte (CaR, apital-at-risk) arba kredito

rizikos verte ( redit VaR, redit value-at-risk).

3.6 Ekonominis kapitalas 63

• analizines aproksima ijos metodas.

Jei taikomas Monte Karlo metodas, tai, atsiºvelgiant i banko portfeli sudaran£iu

klientu nuostoliu kintamuosius bei korelia ijas, generuojamos atsitiktinio dydºio LP

realiza ijos L(i)P , i = 1, . . . , n. Tada empirin pasiskirstymo funk ij¡ galime uºra²yti

taip:

F (x) =1

n

n∑

i=1

1[0,x]

(L(i)P

),

£ia 1A(y) = 1, jei y ∈ A, ir 1A(y) = 0, jei y /∈ A. Jei reikalingas α-lygmens kvantilis,

tai ji randame i² pozi iniu statistiku: sugeneruot¡ imti sura²ome didejimo tvarka

L(i1)P ≤ L

(i2)P ≤ · · · ≤ L

(in)P ,

o tada

qα =

αL

(i[αn])

P + (1− α)L(i[αn]+1)

P , jei nα ∈ N;

L(i[αn])

P , jei nα 6∈ N,

£ia [nα] = mink ≥ 1 : nα ≤ k. Beje, kai nα ∈ N, α-lygmens kvantilis daºnai

apibreºiamas ir lygybe

ˆqα = (L(i[αn])

P + L(i[αn]+1)

P )/2. Kai α > 0, musu pasirinktoji

α-kvantilio reik²me yra i kair nuo

ˆqα, t.y. α lygmeni atitinkanti nuostoli imsime

maºesni.

Turedami qα, ekonomini kapital¡ galime ivertinti taip:

ECα = qα − 1

n

n∑

i=1

L(i)P .

Reikia pabreºti, kad itin svarbu tinkamai ir prasmingai parinkti klientu korelia i-

jas. Tam daºniausiai pasitelkiami faktoriniai modeliai, kurie paprastai reikalingi del

dvieju svarbiu prieºas£iu:

• ekonomines prasmes ir

• skai£iavimams pagreitinti.

Dideli nuostoliai visuomet turetu buti paai²kinami ekonominiu kintamuju termi-

nais, pvz., informa iniu te hnologiju sektoriaus nuosmukis neigiamai veikia daugelio

²ios verslo ²akos klientu bukl, ir t¡ turetu atspindeti tokiu klientu tarpusavio ko-

relia ija. Ekonominiai kintamieji, itraukti i faktorini modeli, dar naudingi ivairiems

s enarijams analizuoti. Pavyzdºiui, parink informa iniu te hnologiju sektoriaus

ekonomines bukles lygmeni, Monte Karlo metodu galime modeliuoti ²ios ²akos itak¡

banko paskolu portfeliui. Kita vertus, jei portfeli sudaro 100000 paskolu, tai, ne-

naudojant faktorinio modelio, reikes ivertinti

12· 100000 · 99999 korelia iju. O jei

taikysime faktorini modeli su 100 faktoriu, tai reikes rasti tik

12· 100 · 99 korelia iju,

t.y. empiriniu iver£iu bus maºdaug 1 mln. kartu maºiau!

Kaip alternatyva Monte Karlo metodui kartais taikoma ir analizine aproksi-

ma ija, kurios ideja yra labai paprasta. Ji pana²i i momentu metod¡ statistikoje:


neºinom¡ nuostolio skirstini kei£iame ºinomu, pana²ios formos skirstiniu taip, kad

sutaptu pirmieji keli skirstiniu momentai, pvz., tiketini nuostoliai ir netiketinu nuos-

toliu kvadratas. iu momentu iver£ius randame i² empiriniu duomenu.

Tiketinus nuostolius paprastai gauname i² informa ijos apie klientu reitingus,

pozi iju dydºius ir nuostoliu del isipareigojimu neivykdymo skirstinius. O ²tai,

norint ivertinti netiketinu nuostoliu kvadrat¡, papildomai reikia prielaidos apie klien-

tu tarpusavio korelia ij¡. Daºniausiai ²i prielaida yra susijusi su vidutine isiparei-

gojimu neivykdymo korelia ija ρ. Jei modeliuojama turto verte, tuomet parenkama

vidutine turto korelia ija, o vidutin isipareigojimu neivykdymo korelia ij¡ toliau

skai£iuojame teori²kai.

Tinkamai parinkti ρ yra bene svarbiausias analizines aproksima ijos metodo uº-

davinys, paprastai reikalaujantis daug praktines patirties, duomenu apie banku port-

felius su ºinomu ρ. Paprastai ρ ivertis nulemia didel dali modelio rizikos. Kartais

situa ij¡ palengvina ºinios apie konkretu paskolu portfeli, pvz., jei modeliuojame

maºmeniniu (retail) pozi iju portfeli, tai ρ paprastai yra maºas, tarp 1% ir 5%, o

jei kalbama apie paskolas, i²duotas didelems korpora ijoms, tai ρ jau gana didelis,

tarp 40% ir 60%. Kitas pavyzdys pagal nauj¡j¡ Bazelio sutarti, paskolu rmoms

portfeliams ρ = 20%, o Moody's reitinguotu rmu obliga iju portfeliams ivertintas

ρ = 25%.

Analizines aproksima ijos metod¡ pailiustruosime pavyzdºiu:

3.2 pavyzdys. Tegu turimo portfelio tiketini nuostoliai EL sudaro 30 baziniu punktu,o netiketini nuostoliai UL 22, 5 bazinio punkto. Tarkime, kad portfelio nuostolio

LP skirstinys labai pana²us i skirstini atsitiktinio dydºio X , turin£io beta skirstini su

parametrais a ir b. Kokie turi buti ²ie parametrai? Priminsime, kad beta atsitiktinio

dydºio su parametrais a ir b tankis yra

pX(y) = βa,b(y) =Γ(a+ b)

Γ(a)Γ(b)ya−1(1− y)b−1, y ∈ [0, 1].

Todel galime lengvai rasti EX ir EX2:

EX =

ˆ 1

0

ypX(y) dy =Γ(a+ b)

Γ(a)Γ(b)

Γ(a+ 1)Γ(b)

Γ(a+ b+ 1)=

a

a + b,

EX2 =Γ(a+ b)

Γ(a)Γ(b)

Γ(a+ 2)Γ(b)

Γ(a+ b+ 2)=

a(a+ 1)

(a + b)(a+ b+ 1),

£ia pasinaudojome gama funk ijos savybe Γ(t+ 1) = tΓ(t). Vadinasi,

DX =a(a + 1)

(a+ b)(a + b+ 1)− a2

(a+ b)2=

ab

(a+ b)2(a+ b+ 1).

Noredami rasti parametrus, turime i²sprsti lyg£iu sistem¡:

a

a + b= 0, 003;

ab

(a+ b)2(a+ b+ 1)= (0, 00225)2.

3.7 Korelia ijos ir faktoriniai modeliai 65

I² pirmosios lygties gauname a = 0,0030,997

b, o ira² i antr¡j¡ ir j¡ i²sprend randame

b =0, 003(0, 997)2

(0, 00225)2− 0, 997 = 588, 0453704.

Todel a = 1, 769444445. Vadinasi, LP skirstini aproksimuojame

Beta(1, 769444445, 588, 0453704)

skirstiniu.

Tik kyla klausimas, ar apie skirstinio tinkamum¡ sprsdami vien i² jo formos

nedarome dideliu paklaidu? Pana²i¡ i pavyzdyje gaut¡j¡ beta skirstinio form¡ turi

ir kai kurie gama bei Fi²erio skirstiniai, tik ju uodegu svoris, o kartu ir kvantiliai,

skirtingi. Taigi, skirstini rinktis vien pagal jo form¡ rizikinga. Kita vertus, tam

tikrose situa ijose konkretus skirstiniai daºnai taikomi. Tai ypa£ pastebima, kai tokie

skirstiniai yra gerai suprastu modeliu ribiniai atvejai. Analizine aproksima ija gerai

tinka, kai paskolu portfelis yra homogeni²kas, t.y. visu ji sudaran£iu paskolu rizika

pana²i: nera pozi iju kon entra ijos, klientu isipareigojimu neivykdymo tikimybes

yra i² siauro intervalo (arba net geriau vienodos), taip pat yra tik vienos ²alies

ar vieno ekonomikos sektoriaus rmos... Analizine aproksima ija puikiai tinka maº-

meniniu paskolu ar maºu banku portfeliu nuostoliams modeliuoti. Visgi Monte

Karlo metodu nuostoliu skirstiniai modeliuojami daºniausiai, ypa£ jei portfelyje yra

ivairios rizikos klientu. ios aproksima ijos tikslumas atperka sugai²t¡ laik¡.

3.7 Korelia ijos ir faktoriniai modeliai

Faktoriniai modeliai gerai ºinomi daugiamateje statistikoje. Kredito rizikos valdymo

uºdaviniuose jie padeda i²skirti pagrindinius klientu korelia ijos ²altinius ir labai

palengvina koreliuotu nuostoliu skai£iavimus. Tad kas yra tas faktorius?

Tarkime, dvi rmos, paºymekime jas A ir B, yra teigiamai koreliuotos. Kad butu

lengviau suprasti, galima laikyti, kad A yra A hema, o B Lifosa. Tuomet A

ir B teigiam¡ korelia ij¡ lengva paai²kinti bendra pramones ²aka tr¡²u gamyba.

Situa ija pasaulineje tr¡²u rinkoje veikia abi imones, tiesa, nebutinai vienodai. Be

to, imoniu tarpusavio s¡ry²iui paai²kinti dar gali buti ir kitu faktoriu, pvz., ºaliavu

²altinis. A hema smarkiai priklausoma nuo Rusijos duju, o Lifosai aktualus nuo-

latinis apatitu i² Kolos pusiasalio tiekimas. Taigi abi imones smarkiai priklausomos

nuo Rusijos ºaliavu tiekeju, t.y. nuo ekonomines padeties Rusijoje.

Taigi nesunku suvokti, kad faktoriniu modeliu esme kintamuju tarpusavio ko-

relia ij¡ i²rei²kiame nusakydami tu kintamuju korelia ij¡ su bendrais faktoriais.

Pa£ius faktorius stengiamasi parinkti taip, kad jie butu lengvai interpretuojami

ir paai²kintu prieºastis, kodel dvi rmos kartu i²gyvena pakilim¡ ar nuosmuki.

Pavyzdºiui, perteklius pasaulineje tr¡²u rinkoje arba ekonomine krize Rusijoje neigia-

mai paveiktu abi imones.

Kompanijos nansines sekmes kintamumo dali, susijusi¡ su ekonominiu sektoriu-

mi ar ²alies ekonomine padetimi vadiname sistemine rmos rizika, o t¡ kintamumo


dali, kuri nepaai²kinama sisteminiu faktoriu itaka, vadiname spe ine (spe i ) arba

idiosinkratine (idiosyn rati ) rmos rizika.

Du i² paplitusiu rizikos modeliu: KMV, sukurtas KMV korpora ijos ir nese-

niai perimtas Moody's agenturos, bei CreditMetri s, sukurtas dukterines JP Mor-

gan banko imones RiskMetri s Group, grindºiami faktoriniais modeliais. Daroma

prielaida, kad bet kurios rmos busen¡ galima nusakyti jos vertes pro esu ir kad

rma nepajegi ivykdyti savo isipareigojimu tik tuomet, kai vertes pro esas krenta

ºemiau kritines ribos, vadinamojo slenks£io. Toki¡ rmos nemokumo interpreta ij¡

paskatino klasikiniai R. Merton'o bei F. Bla k'o ir M. S holes'o darbai (ºr., [11,

[1).

Pla£iau panagrinekime KMV modeli, kuris demesi sutelkia i logaritmines rmu

gr¡ºas ri, gaunamas per tam tikr¡ ksuot¡ laikotarpi (pvz., vienerius metus), ir

tariama, kad

ri = βiΦi + εi, i = 1, . . . , m.

ia i yra rmos numeris, Φi i-osios rmos sudetinis faktorius (paprastai Φi yra

svorine keliu faktoriu suma), βi yra jautrumo koe ientas, nusakantis tiesin ri irΦi korelia ij¡. Kaip ir klasikiniame ilgalaikio turto (vertybiniu popieriu portfelio)

ikainojimo modelyje (CAPM, apital asset pri ing model), koe ientas βi vadinamas

i-osios rmos beta. Galiausiai, εi ºymi liekan¡, t.y. paklaid¡, jei ri keistume βiΦi.

Mertono modelyje laikoma, kad vektorius r = (r1, . . . , rm)′yra daugiamatis

Gauso vektorius su vidurkiu µ ir kovaria iju matri a Γ. KMV modelyje ²is Gauso

skirstinys kei£iamas empiriniu skirstiniu, pagal turimus duomenis. Taip pat laikoma,

kad visos paklaidos εi tarpusavy nekoreliuoti atsitiktiniai dydºiai, nepriklausomi nuo

visu Φi. Taigi, pa£ios gr¡ºos ri yra koreliuotos tik del sudetiniu faktoriu Φi. Vad-

inasi, sistemin rizik¡ nusako dydºiai Φi, o spe in liekanos εi. Pasinaudoj

dispersiju skai£iavimo taisyklemis, galime uºra²yti:

D(ri) = β2i DΦi + Dεi.

Uºuot nagrinej koe ientus βi, nusakan£ius ri bei Φi s¡ry²io stiprum¡, galime na-

grineti ir tiesines determina ijos koe ient¡ R-kvadratu, kuris parodo, kiek ri kinta-mumo paai²kinama faktoriaus Φi kintamumu. Paprastai R-kvadratu apibreºiamas

kaip sistemine standartizuotos gr¡ºos ri = (ri − Eri)/√Dri dalis, t.y.,

R2i =

β2i DΦi

Dri,

o spe in standartizuotu gr¡ºu ri rizik¡ nusako 1− R2i .

Beje, rmos vertes kintamumo suskirstymas i sistemin ir spe in dalis yra tik

vienas i² triju faktorinio modelio lygmenu. Kiti du lygmenys i²skaido rmos Φi i

²alies ir pramones ²akos indeksus.

S hemati²kai (ºr. 3.1 pav.) KMV modelio lygmenis galima suskirstyti i tokius:

1) sudetinio faktoriaus Φi lygmuo;

2) pramones ²akos/²alies lygmuo;


3.1 pav. KMV modelio struktura.

3) globaliu faktoriu lygmuo.

Kad butu lengviau, modeli uºra²ysime vektoriu ir matri u kalba. Paºymekime

β = (βi,j)i,j=1,...,m istriºainin matri ¡, kurios pagrindines istriºaines elementai βi,i =βi, o βi,j = 0, kai i 6= j. Taip pat paºymekime Φ = (Φ1, . . . ,Φm)

′rmu faktoriu

vektoriu-stulpeli. Analogi²kai, r = (r1, . . . , rm)′ºymes rmu gr¡ºu vektoriu-stulpeli,

o ε = (ε1, . . . , εm)′ liekanu vektorius-stulpelis. Tuomet pirmasis modelio lygmuo

bus uºra²omas tokia lygtimi:

r = βΦ+ ε.

Antrajame modelio lygmenyje kiekvienam indeksui i uºra²ome

Φi =

K∑

j=1

ωi,jΨj,

£ia Ψ1, . . . ,ΨK0 yra pramones ²aku faktoriai, o ΨK0+1, . . . ,ΨK yra ²alies indeksai.

Koe ientus ωi,j, j = 1, . . . , K0 vadiname pramones ²aku svoriais, o ωi,j, j = K0 +1, . . . , K ²alies svoriais. Tariama, kad visi ωi,j ≥ 0 ir

K0∑

j=1

ωi,j =K∑

j=K0+1

ωi,j = 1.

Todel pirmojo lygmens lygti galime perra²yti taip

r = βWΨ+ ε,


£ia W = (ωi,j)i,j=1,...,K , o Ψ = (Ψ1, . . . ,ΨK)′.

Tre£iasis modelio lygmuo i²skaido faktorius Ψj :

Ψj =

N∑

n=1

bj,nΓn + δj , j = 1, . . . , K,

£ia Γn yra nepriklausomi globalus faktoriai. Norint juos i²skirti taikoma pagrindiniu

komponen£iu analize dar vienas daugiamates statistikos irankis. Pasitelk vekto-

rius ir matri as, galime uºra²yti:

Ψ = BΓ+ δ,

£ia B = (bj,n)j=1,...,K;n=1,...,N verslo ir ²alies betos.

Todel apjung visus tris lygmenis gausime

r = βW(BΓ+ δ) + ε.

Kitas ºingsnis standartizuoti gr¡ºas. Paºymekime ri = (ri−Eri)/σi, i = 1, . . . , m,

£ia σ2i = Dri. Tuomet

ri =βiσiΦi +

εiσi, EΦi = Eεi = 0,

taip pat

Corr(ri, rj) = Erirj =βiσi

βjσj

EΦiΦj .

Kadangi R2i = β2

i DΦi/σ2i , tai σi = (βi/Ri)

√DΦi. Todel

Corr(ri, rj) =Ri√DΦi

Rj√DΦj

EΦiΦj =Ri√DΦi

Rj√DΦj

EΦiΦj ,

nes DΦi = DΦi, i = 1, . . . , m. Vadinasi, standartizuotoms gr¡ºoms turime modeli:

r = βW(BΓ+ δ) + ε

£ia EΓ = 0, Eε = 0, Eδ = 0. Be to, dydºiai δ ir ε yra nekoreliuoti ir nepriklausomi

nuo Γ.

Dabar apskai£iuokime vidurki

EΦΦ′ = E

[W(BΓ+ δ

)(BΓ+ δ

)′W′]

= W

[E

(BΓ+ δ

)(BΓ+ δ

)′]W′

= W[BE

(ΓΓ′

)B′ + E

(δδ

′)]W′

Pastarajame rei²kinyje yra dvi diagonalios matri os: pirmoji E

(ΓΓ′

), kurios

pagrindineje istriºaineje turime dydºius DΓn, n = 1, . . . N , ir antroji E

(δδ

′),


3.2 pav. Kredito rizikos modeliu klasika ija. Skliausteliuose modeli rinkai

pasiuliusi rma.

kurios pagrindineje istriºaineje yra dydºiai Dδj, j = 1, . . . , K. Visi kiti ²iu matri u

elementai yra lygus nuliui.

Todel korelia ijas Corr(ri, rj) galima patogiai suskai£iuoti, jei ºinomos globaliu

faktoriu dispersijos, ²alies ir verslo ²akos paklaidu dispersijos bei tu pa£iu kintamuju

betos.

KMV Portfolio Manager modeliui artimas CreditMetri s modelis yra parem-

tas ne rmos vertes, bet ak ininku nuosavojo turto (equity) vertes pro esu. Be to,

CreditMetri s naudoja ²alies ir verslo ²akos indeksu kombina ijas, pvz., gali buti

itrauktas Lietuvos tr¡²u pramones indeksas, o ne atskirai nagrinejami Lietuvos bei

tr¡²u pramones indeksai.

Per pastar¡ji de²imtmeti buvo sukurta ivairiausiu kredito rizikos modeliu. Be

rinkoje platinamu KMV Portfolio Manager, CreditMetri s, CreditRisk+ bei

CreditPortfolioView, didºiausieji pasaulio bankai dar naudoja vidinius modelius,

kurie daºnai yra pana²us i paminetuosius. Apie daugum¡ modeliu internete galima

rasti ivairios medºiagos, ju te hnines dokumenta ijos. Tiesa, pasitaiko ir i²im£iu.

tai KMV Portfolio Manager dokumenta ija yra konden iali. Ta£iau ²io mode-

lio ideja paremta gerai ºinomais Merton'o straipsniais, todel apie KMV Portfolio

Manager galima daug pasiskaityti ir i² kitu visuomenei atviru ²altiniu. Pagal tai,

kaip modeliuojamas skolininko isipareigojimu neivykdymas, kredito rizikos modelius

galima klasikuoti (ºr. 3.2 pav.).

Aktuariniams modeliams priskirt¡ CreditRisk+ galima butu itraukti ir i in-

tensyvumo modeliu grup, nes isipareigojimu neivykdymui modeliuoti taikomas

Puasono mi²inio modelis, kai intensyvumai yra atsitiktiniai. Ta£iau CreditRisk+


i²skyreme, nes jo Puasono skirstinio parametrai yra statiniai, o intensyvumo mode-

liuose jie yra dinaminiai, nes modeliuojami intensyvumo pro esais. Pastarieji yra

matemati²kai sudetingi, todel ²iame kurse apie intensyvumo modelius nekalbesime.

4 Koreliuotu isipareigojimu neivykdymu

modeliavimas

Kaip ir anks£iau laikysime, kad visi mums reikalingi atsitiktiniai dydºiai apibreºti

pakankamai dideleje tikimybineje erdveje (Ω,F ,P). Susitarsime vertinti vieneriu

metu trukmes paskolas, kuriu portfelyje yra m. Tarsime, kad kiekvienas skolininkas

²iandien turi reiting¡ Ri, i = 1, . . . , m, kuri mokame susieti su atitinkama isipa-

reigojimu neivykdymo tikimybe pi. Po metu reitingai, o kartu ir isipareigojimu

neivykdymo tikimybes, gali pasikeisti. is naturalus pro esas vadinamas reitingu

migra ija, del kurios tenka perskai£iuoti turimo rezervo pakankamum¡ galimiems

nuostoliams padengti. Kad butu papras£iau, pasirinktos reitingu skales reitingus

sunumeruokime taip, kad reitingu skale atitiktu aib 0, 1, . . . , d, £ia 0 atitinka

geriausi¡ reiting¡, o d ºymi skolininko isipareigojimu neivykdym¡. Taigi, Ri ∈0, 1, . . . , d, o pi = P(Ri d) = DPi, £ia Ri d rei²kia i-ojo skolininko reitingo

Ri migra ij¡ i isipareigojimu neivykdymo busen¡.

Modeliu nagrinejim¡ pradesime nuo atskiro atvejo, kai d = 1, t.y., kai skolininkassavo isipareigojimus ivykdo (Ri = 0) ir kai ju neivykdo (Ri = 1). Tuomet rei-

tingas Ri sutaps su isipareigojimu neivykdymo indikatoriumi Li, kuri nagrinejome

anks£iau. Kadangi yra tik dvi reik²mes (0 ir 1), tai naturalu manyti, kad Li yra

Bernulio atsitiktiniai dydºiai. ia prielaida remiasi CreditMetri s ir KMV Port-

folio Manager modeliuose. Tiesa, tokia prielaida ne vienintele imanoma. Galima

tarti, kad dydºiai Li yra Puasono dydºiai, itraukiant teorin galimyb, kad Li ≥ 2,kuri¡ galima butu interpretuoti kaip daugkartini skolininko nemokum¡, bet tik tuo

atveju, kai tokio ivykio tikimybe yra itin maºa. Kad atskirtume apie kokius dy-

dºius ²nekame, susitarsime Bernulio atsitiktinius dydºius ºymeti Li, o Puasono at-

sitiktinius dydºius ºymesime L′i. Beje, pastarasis atvejis taikomas CreditRisk+

modelyje, kuri sukure Credit Suisse Finan ial Produ ts.

4.1 Bernulio ir Puasono modeliai

Dabar i²samiau aptarsime Bernulio ir Puasono modelius bei ju skirtumus.

Bernulio modelis

4.1 apibreºimas. Atsitiktiniu dydºiu vektorius L = (L1, . . . , Lm) vadinamas (Ber-

nulio) nuostoliu statistika, jei visi marginalieji L skirstiniai yra Bernulio, t.y.

Li ∼ B(1, pi), P(Li = 1) = pi, P(Li = 0) = 1− pi.

71

72 4 Koreliuotu isipareigojimu neivykdymu modeliavimas

Absoliu£iuoju (atitinkamai, pro entiniu arba santykiniu) portfelio nuostoliu vadin-

sime atsitiktini dydi L = L1+ · · ·+Lm (atitinkamai L/m). Tikimybes pi vadinsime

isipareigojimu neivykdymo (nemokumo) tikimybemis.

4.1 pavyzdys. Jei visi klientai yra nepriklausomi ir ju nemokumo tikimybes vienodos

(kas praktikoje pasitaiko retai), tai atsitiktinio dydºio L skirstinys yra binominis su

parametrais m ir p. Be to, EL = mp ir DL = mp(1− p).

4.2 pavyzdys . Jei visi klientai yra nepriklausomi, bet ju nemokumo tikimybes nera

vienodos, tai atsitiktinio dydºio L skirstinys bus Bernulio skirstiniu s¡suka. Be to,

EL =∑m

i=1 pi ir DL =∑m

i=1 pi(1− pi).

Prielaida, kad visi klientai yra nepriklausomi visk¡ pernelyg supaprastina, nes,

kai m yra didelis, atsitiktinio dydºio L skirstinys del entrines ribines teoremos

yra apytiksliai normalusis. Todel nereiketu ir visos ²ios teorijos, juk Gauso dydºiu

tankiai, tikimybes bei kitos harakteristikos puikiai ºinomos ir jas mokama lengvai

skai£iuoti.

Praktikoje, ypa£ kai skolininkai yra stambios imones, tiketis ju nepriklausomumo

negalime. Todel daºniausiai susiduriame su priklausomais skolininkais, o tiksliai

sumodeliuoti ju korelia ij¡ yra bene pagrindinis kredito rizikos valdymo uºdavinys.

I modeli itraukti korelia ij¡ nesunku pakanka tarti, kad isipareigojimu neivyk-

dymo tikimybes pi yra koreliuoti atsitiktiniai dydºiai. i¡ idej¡ pailiustruokime

pavyzdºiais.

Tarkime, kad isipareigojimu neivykdymo tikimybiu vektorius p = (p1, . . . , pm)yra atsitiktinio vektoriaus P = (P1, . . . , Pm) ∈ [0, 1]m realiza ija. Taip pat paºyme-

kime ²io vektoriaus pasiskirstymo funk ij¡ raide F . Tuomet atsitiktinius dydºius Li

laikysime s¡lygi²kai nepriklausomais Bernulio atsitiktiniais dydºiais, t.y., kai ºinoma

vektoriaus P reik²me p, visi Li yra nepriklausomi. Toki modeli ºymesime

Li

∣∣∣Pi=pi

∼ B(1, pi),

(Li

∣∣∣P=p

)

i=1,...,m

nepriklausomi.

Tuomet vektoriaus L skirstini galime uºra²yti pasinaudoj pilnosios tikimybes for-

mule

P(L = l) = P(L1 = l1, . . . , Lm = lm)

=

˙

[0,1]m

P(L1 = l1, . . . , Lm = lm|P = p) dF (p)

=

˙

[0,1]m

m∏

i=1

plii (1− pi)1−li dF (p1, . . . , pm),

£ia l = (l1, . . . , lm), li ∈ 0, 1.Taip pat nesunku apskai£iuoti ir vektoriaus L koordina£iu vidurki:

ELi = E (E(Li |P)) = EPi, nes Li

∣∣∣Pi=pi

∼ B(1, pi).

4.1 Bernulio ir Puasono modeliai 73

Norint apskai£iuoti Li dispersij¡, pravers tokia formule, kuri teisinga, kai atitin-

kami s¡lyginiai vidurkiai egzistuoja:

DX = D (E(X | Y )) + E (D(X | Y )) .

Pastar¡j¡ formul irodyti nesunku:

DX = E(X − EX)2 = E[E((X − E(X | Y ) + E(X | Y )− EX)2 | Y )

])

= E[E(X − E(X | Y )2 | Y )

]

+ E [2(E(X | Y )− EX)E((X − E(X | Y )) | Y )] + E [E(X | Y )− EX ]2

= E[E(X − E(X | Y )2 | Y )

]+ E [E(X | Y )− EX ]2

= E(D(X | Y )) + D(E(X | Y )).Kai X = Li ir Y = P, gausime

DLi = D(E(Li |P)) + E(D(Li |P)) = DPi + EPi(1− Pi) = EPi(1− EPi).

Pastar¡j¡ lygyb gavome pasinaudoj formule DX = EX2 − (EX)2. Analogi²kai

skai£iuojame ir kovaria ijas

Cov(Li, Lj) = ELiLj − ELiELj

= E(E(LiLj |P))− EPiEPj = EPiPj − EPiEPj = Cov(Pi, Pj).

Be to,

Corr(Li, Lj) =Cov(Li, Lj)√DLi

√DLj

=Cov(Pi, Pj)√

EPi(1− EPi)√

EPj(1− EPj),

taigi atsitiktiniu dydºiu Li ir Lj korelia ij¡ visi²kai nusako dydºiu Pi ir Pj kovaria ija

ir vidurkiai EPi, EPj , arba tiesiog pasiskirstymo funk ija F .Dabar panagrinekime atskir¡ k¡ tik aptarto Bernulio mi²inio bendrojo modelio

atveji, kai visos nemokumo tikimybes yra vienodos ir lygios p, o korelia ija tarp Li

ir Lj nepriklauso nuo i ir j, t.y. visos skolininku poros tarpusavy vienodai koreliuo-

tos. Tokia situa ija i²kyla praktikoje, kai paskolos porfelyje yra labai pana²ios savo

dydºiu bei skolininku rizika. Matematikoje yra net spe ialus terminas.

4.2 apibreºimas. Vektoriaus X = (X1, . . . , Xn) skirstinys vadinamas sukei£iamuo-

ju (ex hangeable), jei su kiekvienu rinkinio (1, 2, . . . , n) keitiniu π = (π(1), . . . , π(n))vektoriu X ir Xπ = (Xπ(1), . . . , Xπ(n)) skirstiniai yra lygus.

Taigi, jei nuostoliu indikatoriu Li skirstiniai sutampa ir skolininku korelia ijos

vienodos, tai nuostoliu statistikos L = (L1, . . . , Lm) skirstinys yra sukei£iamas. Be

to,

P(L1 = l1, . . . , Lm = lm) =

ˆ 1

0

pk(1− p)m−k dF (p),

£ia k =∑m

i=1 li, li ∈ 0, 1, i = 1, . . . , m. Todel absoliutaus portfeliu nuostolio

L = L1 + · · ·+ Lm skirstinio tikimybes galime apskai£iuoti taip:

P(L = k) =

(m

k

)ˆ 1

0

pk(1− p)m−k dF (p), k ∈ 0, 1, . . . , m.


Bendr¡j¡ skolininku nemokumo tikimyb p randame taip

p = P(L = 1) = ELi =

ˆ 1

0

p dF (p),

o bendr¡j¡ korelia ij¡ apskai£iuojame pagal formul

ρ = Corr(Li, Lj) =P(Li = 1, Lj = 1)− p2

p(1− p)=

´ 1

0p2 dF (p)− p2

p(1− p)=

DP

p(1− p).

Vadinasi, kuo didesnis P kintamumas, tuo didesne ir bendroji skolininku korelia ija.

Taip pat pastebesime, kad ²iame modelyje ρ ≥ 0, todel neigiamai koreliuotiems

skolininkams ²is modelis netinka. Be to, korelia ija ρ = 0 tada ir tik tada, kai

DP = 0, t.y., kai P yra neatsitiktinis, o L ∼ B(1, p).Kitas ekstremalus atvejis yra ρ = 1. ikart visi klientai arba kartu lieka mokus,

arba visi kartu neivykdo savo isipareigojimu. Taip gausime, kai P ∼ B(1, p), o Lbus lygus 0 arba m.

Visgi praktikoje, kai skolininkai teigiamai koreliuoti, daºniausiai pasitaiko atvejis

ρ ∈ (0, 1).

Puasono modelis

Dabar panagrinekime atveji, kai skolininkams su maºomis tikimybemis leidºiama

tapti nemokiais daugiau kaip vien¡ kart¡. Kaip jau minejome anks£iau, tokios

situa ijos modelis bus Puasono, t.y.

L′i ∼ Puas(λi), L

′i ∈ 0, 1, 2, . . . , pi = P(L′

i ≥ 1).

Tikimybe, kad klientas daugiau kaip vien¡ kart¡ neivykdys savo isipareigojimu yra

P(L′i ≥ 2) = 1− P(L′

i = 0)− P(L′i = 1) = 1− e−λi − λie

−λi = 1− e−λi(1 + λi).

Jei λi = 0, 01, tai P(L′i ≥ 2) = 0, 000049667, t.y. apytikriai 0, 5 bazinio punkto.

Vadinasi, jei generuotume tokius Puasono atsitiktinius dydºius L′i, tik kart¡ per

vidutini²kai 20000 bandymu gautume L′i ≥ 2. Kita vertus, puse bazinio punkto

nera jau taip maºai. Jei kliento reitingas yra AAA, tai jo nemokumo tikimybe

paprastai yra apie 2 bazinius punktus, todel puse bazinio punkto tokios tikimybes

atºvilgiu yra pakankamai daug.

Pastebesime, kad kai λi yra maºas, tai jis apytikriai lygus tikimybei pi, nes, kaix → 0, 1 − e−x ≈ x. Be to, jei L′

i ir L′j yra du nepriklausomi Puasono atsitiktiniai

dydºiai su parametrais λi ir λj , tai suma L′i + L′

j taip pat yra Puasono atsitiktinis

dydis su parametru λi + λj. Todel, jei paskolu portfelis sudarytas i² nepriklausomu

paskolu, kuriu nuostoliu kintamieji L′i yra Puasono atsitiktiniai dydºiai, tai absoliu-

tus portfelio nuostolis taip pat bus Puasono atsitiktinis dydis su parametru

∑mi=1 λi.

Kaip ir Bernulio modelio atveju, korelia ij¡ tarp klientu ivesime per koreliuotus

modelio parametrus. Pradesime nuo bendrojo Puasono mi²inio modelio:

L′ = (L′1, . . . , L

′m), L

′i|Λi=λi

∼ Puas(λi),

4.1 Bernulio ir Puasono modeliai 75

£ia parametru vektorius Λ′ = (Λ′1, . . . ,Λ

′m) yra atsitiktinis, jo reik²miu sritis yra

[0,+∞)m, o pasiskirstymo funk ija yra F . Be to, tarsime, kad atsitiktiniai dydºiai

L′i, i = 1, . . . , m, yra s¡lygi²kai nepriklausomi. Todel nuostoliu statistikos skirstinio

tikimybes galime apskai£iuoti taip:

P(L′ = l′) = P(L′1 = l′1, . . . , L

′m = l′m)

=

˙

[0,+∞)m

P(L′1 = l′1, . . . , L

′m = l′m|Λ = λ) dF (λ)

=

˙

[0,+∞)m

e−∑m

i=1 λi

m∏

i=1

λl′ii

(l′i)!dF (λ1, . . . , λm),

£ia l′ = (l′1, . . . , l′m), l

′i ∈ 0, 1, 2, . . ., i = 1, . . . , m. Nuostoliu kintamuju L′

i momen-

tus skai£iuojame kaip ir Bernulio modelio atveju:

EL′i = E (E(L′

i|Λ)) = EΛi, DL′i = D (E(L′

i|Λ)) + E (D(L′i|Λ)) = DΛi + EΛi,

be to,

Corr(L′i, L

′j) =

Cov(Λi,Λj)√DΛi + EΛi

√DΛj + EΛj

.

Vadinasi, ir Puasono modelio atveju nuostolio kintamuju korelia ij¡ lemia parametru

vektoriaus momentai ir kovaria ijos, t.y. visk¡ apibudina pasiskirstymo funk ija F .

Atskiru atveju, kai portfeli sudaro tiek dydºiu, tiek rizika pana²ios paskolos,

galime nagrineti Puasono modeli su visiems skolininkams vienodu parametru Λ ir

vienodomis korelia ijomis. Tuomet

P(L′1 = l′1, . . . , L

′m = l′m) =

ˆ +∞

0

e−mλ λl′

1+···+l′m

(l′i)! · · · (l′m)!dF (λ).

Jei domina portfelio absoliutaus nuostolio L′skirstinys, tai jo tikimybes apskai£iuo-

jame pagal toki¡ formul:

P(L′ = k) =

ˆ +∞

0

e−mλ (mλ)k

k!dF (λ).

Tiesa, ir vel nereikia pamir²ti, kad k ∈ 0, 1, . . ., t.y. absoliutus nuostolis su

maºomis tikimybemis gali vir²yti zi²kai leistin¡ portfelio nuostoli m.

Bendr¡j¡ isipareigojimu neivykdymo tikimyb skai£iuojame taip:

p = P(L′i ≥ 1) =

ˆ +∞

0

(1− e−λ) dF (λ),

o korelia ijas

Corr(L′i, L

′j) =

DΛ

DΛ + EΛ, i 6= j.


Paprastai ²i formule perra²oma standartizuotosios dispersijos

1 DX = DX/EX at-

ºvilgiu

Corr(L′i, L

′j) =

DΛ

1 +DΛ.

Puasono atsitiktiniam dydºiui X , DX = 1, todel pasirenkant modeli svarbu atsiºvel-

gti i tai, ar duomenys rodo DΛ > 1 (DΛ < 1). Jei atsitiktinis intensyvumas Λ nera

sukon entruotas viename ta²ke, tai Puasono mi²inio modelis su vienodu kintamuju

L′i intensyvumu Λ ir vienodomis korelia ijomis pasiºymi pertekline standartizuota

kintamuju L′i dispersija, t.y.

DL′

i=

DL′i

EL′i

=DΛ + EΛ

EΛ= DΛ + 1 > 1.

Be to, kintamuju L′i ir L

′j korelia ija dideja, didinant atsitiktinio intensyvumo Λ

standartizuot¡j¡ dispersij¡. Padidin DΛ, sustipriname mi²inio efekt¡, o kartu ir

priklausomyb tarp skolininku.

Modeliu palyginimas

Jei mp→ const < +∞, kai m→ ∞, tai galioja vadinamasis maºuju skai£iu desnis,

t.y. binominio atsitiktinio dydºio B(m, p) skirstini galime aproksimuoti Puasono

atsitiktinio dydºio Puas(mp) skirstiniu. Todel gali pasirodyti, kad, jei isipareigojimu

tikimybes pi ir intensyvumai λi yra labai maºi, Bernulio ir Puasono mi²iniu mode-

liai beveik nesiskiria. I² tiesu, jei λi yra artimas nuliui, tai ºinome, kad pi ≈ λi.Analogi²kos apytiksles lygybes galime tiketis ir atsitiktiniu parametru atveju, jei ²iu

parametru skirstiniai yra apytiksliai lygus.

Visgi tarp Puasono ir Bernulio modeliu yra reik²mingu sisteminiu skirtumu.

Noredami juos pary²kinti, nagrinekime atitinkamu nuostoliu kintamuju korelia i-

jas. Bernulio mi²inio modelio atveju turime

Corr(Li, Lj) =Cov(Li, Lj)√DLi

√DLj

=Cov(Pi, Pj)√

EPi(1− EPi)√

EPj(1− EPj),

o Puasono mi²inio modelio atveju

Corr(L′i, L

′j) =

Cov(Λi,Λj)√DΛi + EΛi

√DΛj + EΛj

.

Palygin abi formules matome, kad dydi Pi atitinka Λi, o Pj atitinka Λj. Jei ²iu

kintamuju skirstiniai pana²us, tai galime tiketis, kad EPr = EΛr, DPr = DΛr, £ia

r = i arba j. Be to, jei tarsime, kad ir skaitikliuose esan£ios kovaria ijos lygios, tai

abi formules skirsis tik savo vardikliais. Pastebekime, kad

DΛr + EΛr > DPr + EPr(1− Pr) = EPr(1− EPr), r = i, j,

1

Angli²kai iprastine X dispersija yra varian e, o standartizuota dispersija vadinama dispersion.

Literaturoje sutinkamas ir varia ijos koe ientas, apibreºiamas lygybe

√D(X)/EX .

4.2 CreditPortfolioView apºvalga 77

todel ²iuo atveju Corr(Li, Lj) > Corr(L′i, L

′j), t.y. Bernulio modelyje korelia ijos

gaunamos didesnes, o tai atitinkamai lemia sunkesnes nuostoliu kintamojo skirstinio

uodegas ir kitokias nuo skirstinio kvantiliu priklausan£iu rizikos matu reik²mes, pvz.,

didesn vertes rizikos reik²m.

4.2 CreditPortfolioView apºvalga

Apie CreditPortfolioView (CPV) modeli, sukurt¡ M Kinsey&Company, kalbe-

sime ne itin i²samiai del vienos objektyvios prieºasties ²is modelis yra labiau

²ablonas, kuris pritaikomas kiekvienam klientui atskirai. Demesi sutelksime i sis-

temines rizikos modeliavim¡. Norintiems i²samiau susipaºinti su CreditPortfo-

lioView, rekomenduojame T. Wilson'o straipsni [19.

CPV modelis atsiºvelgia i vie²ai skelbiamus skolininku reitingus, isipareigojimu

neivykdymo tikimybes, reitingu migra ij¡, o taip pat ir ²iu dydºiu priklausomyb

nuo ekonomikos iklo busenos. Tiek nemokumo tikimybes, tiek reitingu migra ijos

matri os yra atsitiktines. Matematikams reitingu migra ijos matri os yra sto has-

tines matri os, kuriu eilutese sura²ytos tikimybes (t.y. bet kurios eilutes elementu

suma lygi vienetui). Matri os dydis priklauso nuo reitingu klasiu skai£iaus. Daº-

niausiai agenturu Moody's ir S&P skelbiamu migra iju matri u eilu£iu ir stulpeliu

skai£ius lygus 8, ta£iau kartais ir daug didesnis, jei reitingu skale pasirenkama

smulkesne. Pagrindinis CPV modelio bruoºas kredito reitingu migra iju matri-

os kinta priklausomai nuo ekonomikos busenos. Todel vieneriu metu migra ijos

matri os modelyje vadinamos s¡lyginemis. Noredami gauti nes¡lygin migra ijos

matri ¡, turime imti s¡lyginiu matri u vidurki. Butent nes¡lygines migra iju mat-

ri as skelbia reitingu agenturos arba jas galima gauti i² banko sukauptu duomenu.

Tarkime, tokia nes¡lygine matri a M = (mij), i, j = 1, . . . , 8, jau parinkta.

Kaip ir anks£iau, reitingu klases ºymekime Ri, £ia R1 atitinka geriausi¡ reiting¡

(pvz., AAA), o R8 ºymi blogiausi¡ reiting¡ (pvz. D). Taigi mi8 = P(Ri R8)rei²kia, kad metu pradºioje Ri reiting¡ turejusi rma po vieneriu metu taps nemoki.

Susitariama, kad reitingas Ri yra geresnis uº Rj , jei i < j. Taip pat R8 reiting¡

turinti rma po metu geresnio reitingo negauna, t.y. Markovo grandiniu terminais

R8 yra absorbuojanti busena.

CPV modelyje daroma prielaida, kad yra keli rizikos segmentai, skirtingai reaguo-

jantys i ekonomikos busen¡. Tokie segmentai gali buti skirtingos pramones ²akos.

Tarkime, ju yra mS. Kiekvienam i² segmentu CPV generuoja s¡lygin migra ijos

matri ¡, atsiºvelgdamas i nes¡lygin matri ¡ ir vadinam¡ji postumio algoritm¡. is

algoritmas suskaidytas i tris ºingsnius:

1. Kiekvienam segmentui generuojama s¡lygine nemokumo tikimybe ps, s =1, . . . , mS. i tikimybe visoms atitinkamo segmento rmoms kol kas yra ta pati,

nepriklausomai nuo rmos reitingo. Generavimo pro es¡ aptarsime veliau.

Sugeneruotasis vektorius (p1, . . . , pmS) gali buti sutapatinamas su CPV nau-

dojamo Monte Karlo metodo s enarijumi. Norint ji gauti reikia generuoti

makroekonominius faktorius, veikian£ius tikimybes ps, s = 1, . . . , mS.


2. Skai£iuojamas rizikos indeksas rs, kuris apibudina segmento ekonomin busen¡.

Pats rs skai£iuojamas pagal formul:

rs =psps, s = 1, . . . , mS,

£ia ps ºymi nes¡lygin s-ojo segmento rmu nemokumo tikimyb, apibudinan£i¡

vidutini s-ojo segmento rmu nemokumo poten ial¡.

3. Toliau apibreºiama s¡lygine migra iju matri a M (s) = (m(s)ij ), £ia m

(s)ij =

αij(rs − 1) + mij , s = 1, . . . , mS. Postumio koe ientus αij turi parinkti CPV

modelio taikytojas. Jei to padaryti nenorima, CPV pasiulo kelet¡ standartiniu

reik²miu. ie koe ientai priklauso nuo busenu Ri ir Rj, o tuo pa£iu pary²kina

tikimybes P(Ri Rj) priklausomyb nuo s-ojo segmento rizikos indekso rspoky£iu. Postumio koe ientai nepriklauso nuo pasirinkto segmento, nes jais

siekiama atspindeti reitingu klasiu, o ne pa£iu segmentu, elgsen¡ kei£iantis

ekonomikos busenai. Kad s¡lygine migra iju matri a butu sto hastine, jos

eilu£iu elementu sumos turi buti vienetai, todel

1 =

8∑

j=1

m(s)ij = (rs − 1)

8∑

j=1

αij +

8∑

j=1

mij = (rs − 1)

8∑

j=1

αij + 1.

Taigi, visiems i, butina reikalauti

∑8j=1 αij = 0. Jei gautoji m

(s)ij < 0, tai

CPV j¡ kei£ia nuliu, o likusias i-osios eilutes reik²mes vel normuoja. Be to,

postumio koe ientai parenkami taip, kad αij ≥ 0, jei i < j, ir αij ≤ 0,jei i > j. Kadangi reitingu migra ijos matri os elementai vir² pagrindines

istriºaines rei²kia reitingo pablogejim¡ (o po pagrindine istriºaine reitingo

pagerejim¡), postumio koe ientai negali buti visai laisvai parinkti.

Galima i²skirti tris s enarijus:

• Ekonomikos pletra. rs < 1. Tada s¡lygines migra iju matri osM (s)elemen-

tai vir² pagrindines istriºaines sumaºeja (nes αij ≥ 0, i < j), taigi sumaºeja

pablogejusiu ir padaugeja pagerejusiu reitingu.

• Vidurkine ekonomikos busena. rs = 1. S¡lygine migra iju matri a su-

tampa su nes¡lygine matri a.

• Ekonomikos nuosmukis. rs > 1. Reitingu pablogejimas labiau tiketinas nei

reitingu pagerejimas.

Kadangi nagrinejama priklausomybe nuo segmentu, CPV modelis yra labai lanks-

tus. Makroekonominiai s enarijai generuojami Monte Karlo metodu, o pats pro esas

CPV terminais vadinamas sistemines rizikos modeliu. Pagal ²io modelio rezultatus

CPV sukonstruoja s¡lygini portfelio nuostoliu skirstini, o tada visi s¡lyginiai skirs-

tiniai apjungiami i nes¡lygini. Visas smulkmenas, kaip tai daroma, galima rasti te h-

nineje dokumenta ijoje. Pro edura komplikuota, todel £ia jos nepristatysime. Tik

trumpai apibudinsime, kaip CPV generuoja s¡lygines isipareigojimu neivykdymo

tikimybes ps. Siulomi du skirtingi ²iu tikimybiu parinkimo metodai.

4.2 CreditPortfolioView apºvalga 79

• CPV Ma ro. Jei taikomas ²is metodas, tai ps ir migra iju postumiams

paai²kinti parenkamas makroekonominis regresijos modelis. Jo parametrai

ivertinami pagal empirinius duomenis (laiko eilutes). iuo metodu parinkti

tikimybes ps yra sudetingiau (butina ivertinti daug parametru), nei taikyti

alternatyv¡ CPV Dire t.

• CPV Dire t. Taikant ²i metod¡, s¡lygines tikimybes ps imamos kaip tam

tikro gama skirstinio realiza ijos. Kitaip tariant, rizikos indeksas rs neprik-

lauso nuo makroekonominiu faktoriu modelio. Pasirinks CPV Dire t varto-

tojas i²vengia makroekonomines regresijos. Jam reikia tik ivertinti du gama

skirstinio parametrus kiekvienam segmentui.

Pirmieji CPV variantai siule tik CPV Ma ro, o CPV Dire t atsirado veliau,

kai buvo nusprsta leisti vartotojui papras£iau parinkti modelio parametrus.

CPV Ma ro

Tipi²ki makroekonominiai faktoriai, kuriais bandoma modeliuoti isipareigojimu

neivykdymo tikimybiu ir reitingu migra iju skirstinius, yra nedarbo lygis, BVP

augimo tempas, palukanu ir valiutos keitimo kursai. Taip pat gali buti atsiºvel-

gta i konkre£ios ²alies makroekonominius faktorius. Kiekvienam rizikos segmentui

priskiriamas makroekonominis indeksas Ys,t, £ia t ºymi laik¡, kada ²is indeksas skai-

£iuojamas. Indeks¡ Ys,t uºra²ome taip:

Ys,t = ws,0 +

K∑

k=1

ws,k,tXs,k,t + εs,t,

£ia Xs,k,t yra makroekonominiai kintamieji laiko momentu t, svarbus s-ajam rizikos

segmentui. Koe ientus ws,k, k = 0, . . . , K, butina ivertinti kiekvienam segmentui.

O εs,t ºymi liekanas, t.y. indeksu Ys,t svyravimus, kuriu nepaai²kina makroekono-

miniai kintamieji Xs,k,t. Paprastai tariama, kad εs,t yra nepriklausomi, vienodai

pasiskirst normalieji atsitiktiniai dydºiai, nepriklausantys nuo Xs,k,t.

Makroekonominiams kintamiesiems uºra²oma autoregresijos lygtis

Xs,k,t = θk,0 +

t0∑

j=1

θk,jXs,k,t−j + γs,k,t.

Originaliuose T. Wilson'o darbuose [17 ir [18, parametras t0 = 2, t.y. buvo

taikomas AR(2) pro esas. Kai ºinoma makroekonominio indekso Ys,t realiza ija

ys,t, apibreºiama s¡lygine s-ojo segmento rmu isipareigojimu neivykdymo tikimybe

ps = ps,t

ps,t =1

1 + e−ys,t.

inodamas ²i¡ tikimyb, sistemines rizikos modelis ras pastumt¡j¡ migra ijos mat-

ri ¡, ir bus pasirengta tabuliuoti s¡lygini nuostoliu skirstini.

CPV Dire t


ikart visa makroekonomine padetis (t.y. tikimybes ps) apra²oma daugiama£iu

gama skirstiniu

Γ = (Γ(γ1,1, γ1,2), . . . ,Γ(γmS ,1, γmS ,2)) ,

o parametrus (γs,1, γs,2) butina ivertinti kiekvienam segmentui. Svarbiausias uº-

davinys ivertinti Γ korelia iju matri ¡. Paprastai, t¡ padaryti daug lengviau,

nei parinkti makroekonominiu indeksu bei autoregresijos parametrus, kaip tai daro

CVP Ma ro. Gama skirstinio parametrams ivertinti taikomas momentu metodas:

jei Λ ∼ Γ(γs,1, γs,2), tai EΛ = γs,1γs,2 ir DΛ = γs,1γ2s,2. Kadangi gama skirstinio

atrama yra pustiese R+, tai gali atsitikti, kad bus sugeneruotas ps > 1, kas butu

neprasminga. Prakti²kai tokia situa ija maºai tiketina ir bus tiesiog atmesta CPV

modelio Monte Karlo pro eduros metu.

4.3 Daugiau apie CreditMetri s ir KMV Portfo-

lio Manager

iame skyrelyje paºvelgsime i CreditMetri s ir KMV Portfolio Manager modeliu

metodik¡ bei isipareigojimu neivykdymo modeliavim¡. Abu modeliai ²iuo atºvilgiu

priskiriami Bernulio mi²inio modeliams, t.y. rmos likimas (mokumas arba nemoku-

mas) priklauso nuo jos vertes ir tam tikro slenks£io santykio. Jei rmos turto verte

krenta ºemiau pasirinkto slenks£io, ji laikoma neivykdºiusia isipareigojimu. Kad

butu konkre£iau, sakykime, kad portfeli sudaro m paskolu skirtingoms rmoms.

iu rmu vert laiko momentu t = T paºymekime A(i)T , i = 1, . . . , m. Tarsime,

kad kiekvienam i ºinomas kritinis lygmuo (slenkstis) Ci toks, kad i-oji rma tampa

nemokia laiko intervale [0, T ], kai A(i)T < Ci. I dydi AT galime ºiureti kaip i nestebim¡

(latentini) kintam¡ji, lemianti rmos i²likim¡. Firmos isipareigojimu nemokumo

indikatoriu apibre²ime:

Li = 1A(i)T

<Ci ∼ B(1,P(A(i)T < Ci)), i = 1, . . . , m.

Kaip jau ºinome, abieju modeliu atveju A(i)T priklauso nuo ivairiu faktoriu, i²rei²-

kian£iu verslo ²akos, regioninius rmu skirtumus. Faktorinius modelius uºra²ome

standartizuotoms logaritminems gr¡ºoms ri, £ia ri = (ri − Eri)/√Dri, o ri =

log(A(i)T /A

(i)0 ). Noredami supaprastinti ºymejimus, bangel ²iame skyrelyje pra-

leisime. Tuomet

ri = RiΦi + εi, i = 1, . . . , m.

Priminsime, kad koe ientas R2i =

β2i

σ2i

DΦi apbibudina sistemin rmos rizik¡, dydºiai

Φi yra ivairiu pramones ²aku ir ²aliu faktoriu kombina ija, o εi yra tarpusavyje bei

nuo Φi nepriklausomi atsitiktiniai dydºiai (su nuliniais vidurkiais, bet jau nebutinai

vienetinemis dispersijomis, nes, pereinant prie standartizuotu gr¡ºu, jie buvo dali-

jami i²

√Dri).

Tiek CreditMetri s, tiek KMV modeliuose tariama, kad ri ∼ N(0, 1), Φi ∼N(0, 1) ir εi ∼ N(0, 1−R2

i ). Todel isipareigojimu neivykdymo indikatoriu Li galime

4.3 Daugiau apie CreditMetri s ir KMV Portfolio Manager 81

uºra²yti ir taip:

Li = 1ri<ci ∼ B(1,P(ri < ci)), i = 1, . . . , m,

£ia

ci =log(Ci/A

(i)0 )− E log(A

(i)T /A

(i)0 )√

D log(A(i)T /A

(i)0 )

.

Taip pat susitarta laikyti, kad T = 1. Tuomet bes¡lygine isipareigojimu neivykdymo

tikimybe pi KMV modelyje parenkama atsiºvelgiant i Mertono modeli, o Credit-

Metri s j¡ parenka pagal reitingu lenteles. Be to, ²i¡ tikimyb galime uºra²yti ir

taip: pi = P(ri < ci) = N(ci), nes ri ∼ N(0, 1). Vadinasi, pagal turimus duomenis

atitinkam¡ slenksti galime apskai£iuoti taip: ci = N−1(pi), £ia N(·) yra standar-

tinio normaliojo atsitiktinio dydºio pasiskirstymo funk ija, o N−1yra ²ios funk ijos

atvirk²tine.

Kadangi ω : ri(ω) < ci = ω : εi(ω) < N−1(pi)− RiΦi(ω). Vadinasi, galime

apskai£iuoti s¡lygin tikimyb

P(ri < ci |Φi) = P(εi < N−1(pi)− RiΦi |Φi

)

= P

(εi <

N−1(pi)− RiΦi√1−R2

i

∣∣∣Φi

)= N

(N−1(pi)− RiΦi√

1−R2i

)

Fiksav Φi = z, s¡lygin vieneriu metu laikotarpio isipareigojimu neivykdymo tiki-

myb apskai£iuojame pagal formul

pi(z) = N

(N−1(pi)−Riz√

1−R2i

).

Taigi, turime Bernulio mi²inio modeli

Li ∼ B(1, Pi), Pi

∣∣Φi=z

= pi(z) = qi,

o porftelio nuostoliu statistikos koordina£iu bendr¡ skirstini galime uºra²yti taip

P(L1 = l1, . . . , Lm = lm) =

˙

[0,1]m

m∏

i=1

qlii (1− qi)1−li dF (q1, . . . , qm),

tik ²ikart pasiskirstymo funk ija F yra labai konkreti: ji vadinama normali¡ja kopula

ir apskai£iuojama pagal formul

F (q1, . . . , qm) = Nm

(p−11 (q1), . . . , p

−1m (qm); Γ

),

£ia Nm yra normaliojo m-ma£io atsitiktinio vektoriaus, su nuliniu vidurkiu ir ko-

varia iju matri a Γ pasiskirstymo funk ija. Musu nagrinejamu atveju, matri os Γelementai yra standartizuotu logaritminiu gr¡ºu korelia ijos, t.y.

Γ = (ρi,j)i,j=1,...,m, ρi,j = Corr(ri, rj) = Cov(ri, rj) = RiRjCov(Φi,Φj).


Jei sudetini faktoriu Φi uºra²ome tiesine verslo ²aku ir ²alies indeksu tiesine kombi-

na ija

Φi =J∑

j=1

ωi,jΨj,

tuomet s¡lygines isipareigojimu neivykdymo tikimybes galime skai£iuoti taip:

pi(z) = N

(N−1(pi)− Ri(ωi,1ψ1 + · · ·+ ωi,JψJ)√

1−R2i

),

£ia (ψj)j=1,...,J yra indeksu (Ψj)j=1,...,J realiza ijos. Keisdami ²ias reik²mes galime

sudarineti ivairius s enarijus ir stebeti, kaip i juos reaguoja s¡lygines isipareigojimu

neivykdymo tikimybes pi(z).

4.4 CreditRisk+

KMV Portfolio Manager ir CreditMetri s modeliu alternatyva yra CreditRisk+,

kuris yra sukurtas kaip aktuarinis modelis, todel yra tipi²kas Puasono modelio

pavyzdys. Kaip ir iki ²iol, pagrindini demesi sutelksime i isipareigojimu neivykdymo

skai£iaus modeliavim¡.

CreditRisk+ yra populiarus del dvieju prieºas£iu:

(i) parinkti modelio parametrus yra lengviau nei KMV ir CreditMetri s mo-

deliuose (bent jau i² pirmo ºvilgsnio, nors i² tiesu ²is uºdavinys pana²us)

(ii) nuostoliu skirstinio i²rai²k¡ galime uºra²yti analizi²kai pasinaudoj tikimybes

generuojan£ios funk ijos s¡voka. Todel daugeli svarbiu skaitiniu skirstinio

harakteristiku, svarbiu valdant rizik¡, galime apskai£iuoti tiksliai.

Kaip gi sudaromas ²is modelis? I² pradºiu visi portfeli sudarantys kreditai pagal

ju dydi suskirstomi i grupes, t.y. skolininkus sugrupuojame pagal paskolos pozi-

ij¡. Taip gaunamos pozi iju juostos (tolydi pozi iju skale diskretizuojama). Tam

parenkamas vienetinis pozi ijos dydis E, pvz., jei paskolos i²duotos litais, uºuot

jas nagrinej lito tikslumu, visk¡ pervedame i tukstan£io litu skal (t.y. E =1000) ir paskolu pozi ijas apvaliname iki artimiausio tukstan£io. Kaip ir anks£iau

ELi ºymes i-ojo skolininko tiketin¡ nuostoli, EADi ºymes i-ojo skolininko pozi-

ij¡, isipareigojimu neivykdymo atveju, o LGDi reik² nuostoli del i-ojo skolininko

isipareigojimu neivykdymo. Tuomet i-ojo skolininko pozi ija, kuri¡ rizikuojame

prarasti yra

Ei = EADi · LGDi,

£ia dydºiai EADi ir LGDi laikomi neatsitiktiniais. Skai£iuojant pozi iju viene-

tais, i-ojo skolininko pozi ija, kuri¡ rizikuojame prarasti, yra νi = Ei/E, o tiketini

nuostoliai

2

εi = ELi/E. Kaip jau minejome, pozi iju dydis apvalinamas iki ar-

timiausio sveiko skai£iaus, t.y. tikrosios pozi iju reik²mes pamir²tamos. Todel itin

2

Priminsime, kad ELi = EL′

i.

4.4 CreditRisk+ 83

svarbu kruop²£iau parinkti E reik²m, kad aproksimuotos pozi ijos skirstinys butu

artimas tikrosios pozi ijos skirstiniui. Kita vertus, skai£iavimo sumetimais pozi iju

juostu turetu buti gerokai maºiau, nei portfelyje yra paskolu. Pozi iju juostu skai£iu

paºymekime mE . Paprastai stengiamasi, kad juostos plotis butu maºas lyginant su

vidutine portfelio paskolos pozi ija. Pozi iju juostas ºymesime [j], o uºra²as i ∈ [j]reik², kad i-ojo skolininko pozi ija patenka i j-¡j¡ juost¡. Beje, susitarsime, kad

kiekvienas skolininkas yra paems tik po vien¡ paskol¡, o prie²ingu atveju, visas

vieno skolininko paskolas apjungtume i vien¡. Taip m paskolu suskirstome i mE

juostu, o j-osios juostos skolininkams (t.y. kiekvienam i ∈ [j]) priskiriame bendr¡

pozi ij¡ ν[j]E, £ia ν[j] ∈ N0 = N ∪ 0 yra toks, kad

min|νi − n| : n ∈ N0 = |νi − ν[j]|, i = 1, . . . , m, i ∈ [j], j = 1, . . . , mE .

Jei νi =12(2k+1) kokiam nors k ∈ N0, tai ν[j] nera vienareik²mi²kai apibreºtas. iuo

atveju apvalinti i vir²u ar i apa£i¡ turi nusprsti modeliuotojas. Toliau susitarsime,

kad itin smulkiu paskolu portfelyje nera, t.y. ν[j] 6= 0.Toliau kiekvienai pozi iju juostai priskiriame isipareigojimu neivykdymo inten-

syvum¡ λ[j], kuri prideriname prie turimu duomenu: i² pradºiu kiekvienam skolinin-

kui suskai£iuojame isipareigojimu neivykdymo intensyvum¡ λi = − ln(1 − DPi),i = 1, . . . , m, t.y., isipareigojimu neivykdymo skai£ius L′

i ∼ Puas(λi), EL′i = λi, o

tada λ[j] apibreºiame lygybe:

λ[j] =∑

i∈[j]λi = E

∑

i∈[j]L′i.

Tiketinas j-osios pozi iju juostos nuostolis del isipareigojimu neivykdymo bus lygus

ε[j] = λ[j]ν[j]. ioje vietoje CreditRisk+ kurejai rekomenduoja pakoreguoti inten-

syvumus λi, kad po pozi iju apvalinimo (Ei buvo pakeistas i ν[j]E) j-osios juostosklientu bendras tiketinas nuostolis ε[j] nepasikeistu, t.y. ε[j] =

∑i∈[j] εi. Todel

apibreºiame korek ijas

γi =Ei

ν[j]E, i ∈ [j], j = 1, . . . , mE , (4.1)

ir λi kei£iame i λi = γiλi. Tuomet i² tiesu,

ε[j] = λ[j]ν[j] =∑

i∈[j]εi =

∑

i∈[j]λiνi =

∑

i∈[j]λiν[j] ir λ[j] =

∑

i∈[j]λi.

Toliau susitarsime, kad ²ios korek ijos jau atliktos, o koe ientus γi praleisime.

Toliau galime suskai£iuoti viso portfelio isipareigojimu neivykdymo intensyvum¡

arba isipareigojimu neivykdymo skai£iaus vidurki:

λPF =

m∑

i=1

λi =

mE∑

j=1

λ[j] =

mE∑

j=1

ε[j]ν[j]

.

Dabar per kelis ºingsnius sukonstruosime CreditRisk+ modelio paskolu portfelio

nuostoliu skirstini.


1. Nepriklausomu skolininku modelis. iuo atveju nuostoliu kintamieji yra:

EiL′i, L′

i ∼ Puas(λi), i = 1, . . . , m.

Sugrupav skolininkus pagal pozi ijas, gausime naujus nuostoliu kintamuosius

ν[j]L′i, o j-osios juostos isipareigojimu neivykdymo skai£ius

L′[j] =

∑

i∈[j]L′i ∼ Puas(λ[j]), λ[j] =

∑

i∈[j]λi.

Tuomet viso portfelio isipareigojimu neivykdymo skai£ius

L′ =

mE∑

j=1

∑

i∈[j]L′i ∼ Puas

(mE∑

j=1

λ[j]

)= Puas(λPF ),

o atitinkami nuostoliai

L′[j] = ν[j]L

′[j] ir L′ =

mE∑

j=1

ν[j]L′[j] =

mE∑

j=1

L′[j].

Skirstinio tikimybes gausime i² tikimybes generuojan£ios funk ijos, kuri¡ ap-

skai£iuojame taip:

GL′(t) = EtL′

=

mE∏

j=1

GL[j](t) =

mE∏

j=1

∞∑

k=0

P

(L′[j] = ν[j]k

)tν[j]k

=

mE∏

j=1

∞∑

k=0

P(L′[j] = k

)tν[j]k =

mE∏

j=1

∞∑

k=0

e−λ[j]λk[j]k!tν[j]k

=

mE∏

j=1

e−λ[j]+tν[j]λ[j] = exp

mE∑

j=1

λ[j](tν[j] − 1)

.

Beje, pirmoji lygybe yra tikimybes generuojan£ios funk ijos apibreºimas, o

antroji lygybe gaunama pasinaudojus dydºiu L′[j], j = 1, . . . , mE nepriklauso-

mumu.

Suskai£iuot¡j¡ tikimybes generuojan£i¡ funk ij¡ GL′(t) perra²ykime taip:

GL′(t) = exp

λPF

mE∑

j=1

λ[j]λPF

(tν[j] − 1)

= GL′(GN)(t) = (GL′ GN )(t),

£iaGL′(t) = eλPF (t−1)irGN(t) =

mE∑

j=1

λ[j]λPF

tν[j]. Pastaroji funk ija yra tikimybes

generuojan£ioji funk ija atsitiktinio dydºio N , apibreºto taip:

N ∈ ν[1], . . . , ν[mE ], P(N = ν[j]

)=

λ[j]λPF

.

4.4 CreditRisk+ 85

Vadinasi, nuostoliu atsitiktinio dydºio L′skirstinys yra sudetinis, t.y. portfe-

lio nuostoli lemia bendras dvieju atsitiktinumu efektas, kylantis i² neºinomo

isipareigojimu neivykdymo skai£iaus portfelyje (ji nusako Puasono atsitikti-

nis dydis L′su parametru λPF ) ir neºinoma priklausomybe pozi iju juostoms,

kurios paveiks isipareigojimu neivykdymu skai£iu (²i atsitiktinum¡ perteikia

atsitiktinis dydis N).

2. Sektoriu modelis. Noredami ivesti korelia ij¡ tarp skolininku, nagrinejame

sektorius, kuriu yra mS ir kurie gali buti susieti su ²alimi, regionu, ekonomikos

²aka arba kita sistemine itaka. Sektoriu galime suprasti kaip faktoriu indu-

kuojanti vienet¡ arba tiesiog kaip atskir¡ faktoriu. Todel, i² esmes, didelio

skirtumo tarp faktoriu, kuriuos nagrinejome anks£iau, ir sektoriu nera. Sek-

toriaus rizik¡ apibudina du parametrai:

(a) vidutinis isipareigojimu neivykdymo intensyvumas λ(s), i = 1, . . . , mS, ir

(b) isipareigojimu neivykdymo intensyvumo kintamumas σ2(s), i = 1, . . . , mS.

Tarkime, kad kiekviename i² mS sektoriu isipareigojimu neivykdymo skai£ius

yra Puasono atsitiktinis dydis su atsitiktiniu intensyvumu Λ(s), s = 1, . . . , mS.

CreditRisk+ modelyje tariama, kad sektoriai yra nepriklausomi ir ju inten-

syvumai yra pasiskirst pagal gama skirstini su parametrais (αs, βs), t.y.,

L′(s) ∼ Puas(Λ(s)), Λ(s) ∼ Γ(αs, βs).

Priminsime, kad atsitiktinio dydºio Y , turin£io Γ(α, β) skirstini, tankis yra

lygus

γα,β(x) =1

βαΓ(α)e−x/βxα−1, x > 0, £ia Γ(t) =

ˆ +∞

0

e−yyt−1dy.

Nesunku isitikinti, kad tokio skirstinio vidurkis ir dispersija randami pagal

formules:

EY = αβ, DY = αβ2.

Vadinasi, s-ojo sektoriaus vidutinis isipareigojimu neivykdymo intensyvumas

λ(s) = αsβs, o ²io intensyvumo kintamumas σ2(s) = αsβ

2s . ios lygybes nau-

dojamos parametrams αs ir βs rasti, λ(s) ir σ(s) pakeitus ju empiriniais atitik-

menimis.

Skolininkai su kiekvienu i² sektoriu bus siejami pasitelkus svorius ωis ≥ 0,∑mS

s=1 ωis = 1. Svoris ωis parodo, kokia i-ojo skolininko isipareigojimu neivyk-

dymo intensyvumo dalis siejama su isipareigojimu neivykdymo intensyvumu

s-ajame sektoriuje. Du skolininkai bus tarpusavy koreliuoti tada ir tik tada,

kai jie kartu tures nenulinius to paties sektoriaus svorius. I² tiesu, kiekvienam

skolininkui, kurio isipareigojimu neivykdymo intensyvumas lygus Λi, pagal

turimus duomenis parenkame ²io intensyvumo vidurki λi = EΛi pasinaudoj

lygybe

3

:

pi = DPi = P(L′i ≥ 1) = 1− eλi , todel λi = − ln(1−DPi).

3

Gautuosius λi, jei reikia, veliau koreguojame, kaip buvo mineta anks£iau (ºr. (4.1)).


Be to, pa£ius Λi parametrizuojame

Λi =

mS∑

s=1

ωisλiΛ(s)

λ(s), i = 1, . . . , m.

Pastebesime, kad tokia parametriza ija i²laiko reikiam¡ vidurki: EΛi = λi.

Skolininku isipareigojimu neivykdymu skai£iu modeliuojame atsitiktiniais dy-

dºiais

L′i ∼ Puas(Λi), i = 1, . . . , m.

S¡lygines isipareigojimu neivykdymo tikimybes galime rasti taip:

pi(θ1, . . . , θmS) = P

(L′i ≥ 1 |Λ(1) = θ1, . . . ,Λ

(mS) = θmS

)

= 1− exp

−λi

mS∑

s=1

ωisθsλ(s)

.

Toliau nagrinesime portfelio isipareigojimu neivykdymo skai£iu L′ir portfelio

nuostoli L′. Atsiºvelgdami i sektorius galime uºra²yti

L′ =

m∑

i=1

L′i =

mS∑

s=1

L′(s) ∼ Puas

(mS∑

s=1

Λ(s)

).

I² ²iu i²rai²ku i²vedame s-ojo sektoriaus isipareigojimu neivykdymo inten-

syvumo vidurkio formul:

λ(s) =

m∑

i=1

ωisλi,

nes, suvidurkin abi L′i²rai²kas, turime gauti

EL′ =m∑

i=1

EL′i =

m∑

i=1

EΛi =m∑

i=1

mS∑

s=1

ωisλiEΛ(s)

λ(s)=

m∑

i=1

(mS∑

s=1

ωisλi

)

=m∑

i=1

λi =

mS∑

s=1

EL′(s) =

mS∑

s=1

EΛ(s) =

mS∑

s=1

(m∑

i=1

ωisλi

)=

mS∑

s=1

λ(s).

Kadangi ²iuo atveju, patys skolininkai jau yra koreliuoti, tai skai£iuoti atsitikti-

niu dydºiu L′ir L′

tikimybes generuojan£ias funk ijas kaip ankstesniu atveju

nebegalime. Turesime pasinaudoti sektoriu nepriklausomumu. Kiekvienam

sektoriui (s = 1, . . . , mS) randame s¡lygin tikimybes generuojan£i¡ funk ij¡

GL′

(s)

∣∣Λ(s)=θs

(t) = E

(tL

′

(s) |Λ(s) = θs

)

=

∞∑

k=0

P(L′(s) = k |Λ(s) = θs)t

k =

∞∑

k=0

e−θsθksk!tk = eθs(t−1).

4.4 CreditRisk+ 87

Tada skai£iuojame nes¡lygin sektoriaus isipareigojimu neivykdymo skai£iaus

L′(s) tikimybes generuojan£i¡ funk ij¡:

GL′

(s)(t) = E

(GL′

(s)

∣∣Λ(s)=θs

(t))=

ˆ ∞

0

eθs(t−1)γαs,βs(θs)dθs

=1

βαss Γ(αs)

ˆ ∞

0

θαs−1s eθs(t−1−1/βs)dθs.

Atlik kintamuju pakeitim¡ y = (1/βs + 1 − t)θs ir prisimin gama funk ijos

apibreºim¡, gausime

GL′

(s)(t) =

(1

1− βs(t− 1)

)αs

=

(1

1+βs

1− (1− 11+βs

)t

)αs

,

o pastaroji i²rai²ka yra atsitiktinio dydºio, pasiskirs£iusio pagal neigiam¡ bino-

mini desni su parametrais p = 1/(1 + βs) ir q = αs, tikimybes generuojan£ioji

funk ija. Todel galime tiksliai uºra²yti L′(s) skirstini:

P(L′(s) = n) =

(n+ q − 1

n

)pq(1− p)n

=

(n+ αs − 1

n

)(1

1 + βs

)αs(

βs1 + βs

)n

, n = 0, 1, . . . .

Beje, αs nebutinai sveikasis skai£ius, todel reikia ºinoti, kaip apibreºiami bi-

nominiai koe ientai:

(x

n

)=x(x− 1) · · · (x− n + 1)

n!=

Γ(x+ 1)

n!Γ(x− n+ 1), x ∈ R, n ∈ N0.

Taip pat nesunkiai galime apskai£iuoti ir L′(s) vidurki bei dispersij¡:

EL′(s) = EΛ(s) = αsβs, DL′

(s) = DΛ(s) + EΛ(s) = αsβ2s + αsβs = αsβs(βs + 1).

Vadinasi, standartizuotoji dispersija yra

DL′

(s)=

DL′(s)

EL′(s)

= 1 + βs > 1, nes βs ≥ 0.

inodami kiekvieno sektoriaus isipareigojimu neivykdymo skai£iaus skirstini

galime rasti kiekvieno sektoriaus nuostoliu L′(s) skirstini, tiksliau, jo tikimybes

generuojan£i¡j¡ funk ij¡. Skai£iuojame kaip ir nepriklausomu skolininku at-

veju, tik ²ikart reikes kitokio atsitiktinio dydºio N . Tiksliau, uºra²ykime

λ(s) =

m∑

i=1

ωisλi =

mE∑

j=1

∑

i∈[j]ωisλi


ir apibreºkime atsitiktiniu dydºiu Ns, s = 1, . . . , mS, skirstinius

Ns ∈ν[1], . . . , ν[mE ]

, P

(Ns = ν[j]

)=

1

λ(s)

∑

i∈[j]ωisλi, j = 1, . . . , mE.

Tada ²iu dydºiu tikimybes generuojan£i¡sias funk ijas apskai£iuojame pagal

formul

GNs(t) =

mE∑

j=1

1

λ(s)

∑

i∈[j]ωisλi

tν[j], s = 1, . . . , mS.

Kadangi Ns nepriklauso nuo atsitiktinio intensyvumo Λ(s)realiza ijos, kaip ir

nepriklausomu skolininku atveju, gausime

GL′

(s)(t) =

(GL′

(s)GNs

)(t) =

(1

1+βs

1− (1− 11+βs

)GNs(t)

)αs

=

11+βs

1− (1− 11+βs

)∑mE

j=1

(1

λ(s)

∑i∈[j] ωisλi

)tν[j]

αs

.

Todel, pasinaudoj sektoriu nepriklausomumu, viso portfelio nuostoliu tiki-

mybes generuojan£iosios funk ijos formul gausime sudaugin visu sektoriu

nuostoliu tikimybes generuojan£i¡sias funk ijas:

GL′(t) =

mS∏

s=1

GL′

(s)(t) =

mS∏

s=1

11+βs

1− (1− 11+βs

)∑mE

j=1

(1

λ(s)

∑i∈[j] ωisλi

)tν[j]

αs

.

Gauta i²rai²ka yra gana gremezdi²ka, bet tiksli. O praktiniuose skai£iavi-

muose reikiamos atsitiktinio dydºio L′tikimybes ir ivairios skaitines skirstinio

harakteristikos skai£iuojamos naudojant rekurentines formules, kuriu ²iame

skyrelyje nenagrinesime.

Norintys i²bandyti, kaip veikia CreditRisk+ modelis, gali parsisiusti ban-

dom¡j¡ programos versij¡ (svetaines adresas: http://www. sfb. om/ reditrisk).

Pratimai

1. Tarkime, atsitiktiniai dydºiai X1, . . . , Xn yra nepriklausomi, o ju tikimybes

generuojan£iosios funk ijos lygios GXi(t), i = 1, . . . , n. Apskai£iuokite sumos

Y =∑n

i=1Xi tikimybes generuojan£i¡j¡ funk ij¡. Pritaikykite ²i rezultat¡

binominio atsitiktinio dydºio tikimybes generuojan£iajai funk ijai rasti.

2. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X yra pasiskirsts pagal neigiam¡ binomini

desni su parametrais (p, q), £ia p ∈ (0, 1), q ∈ R, t.y. X skirstinys yra

P(X = n) =

(n+ q − 1

n

)pq(1− p)n, n = 0, 1, 2, . . . .

Raskite tikimybes generuojan£i¡j¡ funk ij¡ GX(t). (Reikes pasinaudoti gama

funk ijos apibreºimu ir FubinioTonelio teorema).

Literatura

[1 F. Bla k and M. S holes, The pri ing of options and orporate liabilities, Journal

of Politi al E onomy 81 (1973), 637654.

[2 L. Brand and R. Bahar, Corporate defaults: Will things get worse before they

get better?, Standard and Poor's Credit week, January 31, 2001.

[3 J.-P. Chavas, Risk analysis in theory and pra ti e, Elsevier A ad. Press, New

York, 2004.

[4 M Crouhy, D. Galai, and R Mark, Prototype risk rating system, Journal of

Banking and Finan e 25 (2001), 4195.

[5 R. M. Dudley, Real Aanalysis and Probability, 2nd ed., Cambridge studies in

advan ed mathemati s, vol. 74, Cambridge University Press, 2002.

[6 P. C. Fishburn, Utility theory for de ision-making, Publi ations in operations

resear h, no. 18, Wiley, New York, 1970.

[7 G. A. Holton, Dening risk, Finan ial Analysts Journal 60 (2004), no. 6, 1925.

[8 F. Knight, Risk, un ertainty, and prot, Hart, S haner and Marx, New York,

1921.

[9 Lietuvos Bankas, Lietuvos banko nutarimas nr. 138, 2006.

[10 H. M. Markowitz, Portfolio sele tion, Journal of Finan e 7 (1952), no. 1, 7791.

[11 R. Merton, On pri ing of orporate debt: The risk stru ture of interest rates,

The Journal of Finan e 29 (1974), 449470.

[12 R. Norvai²a, Matematine ekonomika: bendroji ekonomine pusiausvyra, 2003.

[13 Basel Committee on Banking Supervision, The internal ratings based approa h,

January 2001, <http://www.bis.org/publ/b bs a05.pdf>.

[14 J. W. Pratt, Risk aversion in the small and in the large, E onometri a 32

(1964), no. 12, 121136.

[15 T. S huermann, What do we know about loss given default?, Credit Risk Models

and Management (D. Shimko, ed.), Risk Books, London, 2 ed., 2004.

89

90 LITERAT

URA

[16 J. von Neumann and O. Morgenstern, Theory of games and e onomi behavior,

Prin eton University Press, Prin eton, NJ, 1944.

[17 T. Wilson, Portfolio redit risk. part i., RISK (1997), 111117.

[18 , Portfolio redit risk. part ii., RISK (1997), 5661.

[19 , Portfolio redit risk, E onomi Poli y Review 4 (1998), no. 3, 7182.

Documents

ynas Mart vi£ius Manstammartynas/MM_riz_vald.pdf · Kai albama k apie rizik¡, paprastai eja i²ry²k du jos ai: v palydo tumas neuºtikrin b ei galimi ... diser-tacijoje e: ra²