Embed Size (px)
Citation preview
Esempio Esempio: Due particelle 1 e 2, con carica q1=+16 nC e q2= +28 nC, si trovano nelle posizioni di coordinate (x,y,z)=(0,0,0) e (0,-2.0m,0) rispettivamente. Determinare il campo elettrico a) Nel punto Pa(0,1.0 m, 0) b) Nel punto Pb( 0,0,1.5 m) ( ) ( ) 22
2
212
1
121 ˆˆ)( r
rqkr
rqkPEPEPE +=+=
!!
( )( )
CNmnCCNm
rqkPE
kaa 140
0.116100.9 2
22921
11 =⋅== !! "!! #$a)
CNm
CCNmrqkPE
kaa 28
)3(1028100.9)( 2
9229
22
22 =
⋅⋅==
−
!! "!! #$
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jCNjCNjCNPEPEPE aaaˆ168ˆ28ˆ14021 =+=+=
!!Poiché sia E1 che E2 sono diretti lungo y
b) Per determinare il campo elettrico E2(Pb) dobbiamo prima determinare le distanza del punto Pb dalla carica 2:
( ) ( ) mmmr b 5.2 25.24 5.12 222 =+=+=
( )( )
CNmnCCNm
rqkPE
kba 64
5.116100.9 2
22921
11 =⋅== !! "!! #$
CNCNmCCNm
rqkE
kb
4025.6252
)5.2(1028100.9 2
9229
22
22 ==
⋅⋅==
−
!! "!! #$
( ) ( ) ( )( ) ( )kCNjCN
kCNjCNkCNPEPEPE bbb
ˆ88ˆ32
ˆ24ˆ32ˆ64)()()( 21
+=
=++=+=!!
( ) ( )kCNPE aˆ641 =
!
( ) ( ) k sin40ˆ cos40)(2 θθ CNjCNPE b +=!
6.05.25.1 sin sin
8.05.2
2 cos cos
2
121
2
12212
===⇒=
===⇒=
b
bb
bb
rrrr
rdrd
θθ
θθ
E2
E
E1
E2 y
x
z
q1
q2 d12= 2,0 m
Pb
r1b= 1,5 m
r1a= 1,0 m
Pa E
E1
θ
θ
( ) ( ) ( ) ( ) k 24ˆ 32k 6.040ˆ 8.040)(2 CNjCNCNjCNPE b +=⋅+⋅=!
( ) jCNE ˆ1401 =!
( ) jCNE ˆ282 =!
r2a= 3,0 m
Devo determinare quanto valgono
Campo elettrico di un dipolo Ø Il dipolo elettrico è una distribuzione particolare di carica costituito da due cariche puntiformi di valore assoluto uguale e segno di carica opposto, posizionate ad una distanza molto vicina tra loro rispetto alle distanze presenti nel contesto. Le due quantità che caratterizzano il dipolo sono la carica del dipolo e la l’asse del dipolo (distanza tra le due cariche, nel disegno pari a 2a)
Ø Le molecole, quando inserite in un campo elettrico si comportano come dipoli ed esistono dei dipoli permanenti come l’acido cloridrico (HCl)
Ø Consideriamo il dipolo costituito da due cariche +q e –q poste a distanza 2a tra loro.
Determiniamo il campo elettrico generato dal dipolo in punto P lungo l’asse passante per il centro del dipolo e perpendicolare al suo asse
Il campo generato da un complesso di cariche è dato dal vettore somma dei campi dovuti alle singole cariche puntiformi => è necessario conoscere il campo di ciascuna carica. Poiché il punto P è equidistante da +q e –q le intensità dei singoli campi generati dalle due cariche nel punto P saranno uguali Le componenti dei due campi lungo y sono uguali ed opposte e quindi si annullano a vicenda Le componenti lungo x sono uguali e con lo stesso segno e quindi si sommano. Il campo sarà dunque diretto come x ed avrà verso che va dalla carica positiva alla carica negativa:
)()()( PEPEPE −+ +=!!!
E+= E
−= k
q
r2= k
q
a2 + y2
E = E+x+E
−x= 2k
q
a2 + y2cosθ
θ θ
θ
θ
r
P(y,0)
E+
E-
E
+ -a a -q +q x
y
E = E+x+E
−x= 2k
q
a2 + y2cosθ
+ -θ θ
θ
θ
r
P(y,0)
E+
E-
E
a a -q +q x
y
Osservando la figura si vede che: Si può quindi riscrivere: Nel caso, piuttosto comune in cui si studi il campo in un punto y molto lontano dal dilpolo per cui: y>>a, si può trascurare il termine a2 nell’espressione di E: Si trova che, in generale, per campi elettrici generati da un dipolo misurati in punti lontani dal dipolo stesso il campo elettrico varia come l’inverso del cubo della distanza e dipende dal dipolo secondo il prodotto 2aq detto momento del dipolo (dove 2a =asse del dipolo). Il campo generato da un dipolo va quindi a zero all’aumentare della distanza più rapidamente rispetto a quello generato da una singola carica puntiforme perché i campi prodotti dalle due cariche del dipolo tendono ad annullarsi
cosθ =ar=
a
y2 + a2
E = 2kq
a2 + y2a
a2 + y2( )12
E = k2qa
a2 + y2( )32
E = k2qay3
≈ k2qar3
E ∝1r3
z
z
P E+
E-
Campo elettrico generato dal dipolo nel punto P sull’asse del dipolo ad una distanza z>>d dal centro del dipolo Il campo generato da un complesso di cariche è dato dal vettore somma dei campi dovuti alle singole cariche puntiformi => è necessario conoscere il campo di ciascuna carica. I singoli campi generati dalle due cariche nel punto P sono lungo l’asse z e quindi anche il campo totale sarà lungo l’asse z
+q
-q
+
- d
2dzr −=+ ( )22 2dzqk
rqkE
−==
++
( )22 2dzqk
rqkE
+−=−=
−−
r+
r- 2+
+ +=rqkE Campo elettrico generato
dalla carica +q nel punto P
2−
− −=rqkE
Campo elettrico generato dalla carica -q nel punto P
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−=+= −+ 22 22 dz
qdzqkEEE
Campo elettrico generato dal dipolo nel punto P sull’asse del dipolo
Se r+ = distanza del punto P dalla carica +q
Se r- = distanza del punto P dalla carica -q
d/2
d/2
2dzr +=−
)()()( PEPEPE −+ +=!!!
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−=+= −+ 22 22 dz
qdzqkEEE
E = qk1
z −d 2( )2−
1
z +d 2( )2
"
#
$$$
%
&
'''
Campo elettrico di un dipolo(2)
=qk
z21
z −d 2z
"
#$
%
&'
2−
1
z +d 2z
"
#$
%
&'
2
(
)
*****
+
,
-----
( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
+−
−= 222 21
1211
zdzdzqk
z
z
P E+
E-
+q
-q
+
- d
r+
r-
NB: nel caso in cui vale la seguente approssimazione: d/z <<1
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+≈−
−≈+
zdzd
zdzd
1211
1211
2
2
3
2zqdkE =
Campo elettrico di un dipolo di carica q e asse d calcolato in un punto lungo la direzione dell’asse posto ad una distanza z dal centro del dipolo grande rispetto alle dimensioni dell’asse del dipolo
NB: la quantità qd contiene le due proprietà intrinseche del dipolo ( carica e distanza tra le cariche), viene chiamata momento del dipolo ed è indicato con il simbolo p
( ) ( )[ ] zdzdzd
zdzd2)1()1(
211
211
22 =−−+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
−
Campo elettrico di un dipolo (3)
qdp = Momento di dipolo elettrico
Ø Se si misura il campo elettrico di un dipolo a grande distanza, non compariranno mai separatamente q e d ma solo il loro prodotto.
Ø Il campo quindi non cambia se viene raddoppiata la carica del dipolo e dimezzata la distanza tra le due cariche o viceversa.
Ø Si può dimostrare che, quando il campo del dipolo elettrico viene misurato a grande distanza, anche se in un punto fuori dall’asse, il campo elettrico risulterà proporzionale all’inverso del cubo della distanza del punto dal centro del dipolo
Ø Il campo elettrico di un dipolo si riduce quindi più rapidamente del campo elettrico generato da una carica singola ( E∝1/r2) Ø Il campo elettrico per punti distanti sull’asse del dipolo è sempre diretto come il momento di dipolo
E = kp
y3
3
1r
E ∝
Se consideriamo il momento di dipolo come un vettore, esso è diretto come l’asse ed ha verso che va dalla carica negativa alla carica positiva
+
- p!dqp
!!=
Campo elettrico di un dipolo di carica q e asse d calcolato in un punto ad una distanza r dal centro del dipolo grande rispetto alle dimensioni dell’asse del dipolo
Campo elettrico generato da una distribuzione continua di carica
Ø Quando il campo elettrico generato da un insieme di cariche lo si calcola in un punto ad una distanza molto maggiore della distanza tra le cariche, si può considerare che il sistema di cariche sia continuo e che il campo sia generato da carica totale distribuita uniformemente in un dato volume o su una data superficie Ø Per determinare il campo elettrico generato da una distribuzione continua di cariche si deve suddividere la distribuzione di carica in piccoli elementi ognuno dei quali contenenti la carica Δq e calcolare separatamente i campi elettrici generati da questi elementi (assunti come carica puntiforme) Ø Il campo elettrico generato dall’elemento i-simo nel punto P sarà quindi:
Ø Il campo elettrico totale sarà quindi dato dalla somma dei campi generati dai singoli elementi:
Ø Riducendo le dimensioni degli elementi di distribuzione fino a livelli infinitesimi si ottiene:
ii
i rrqkE ˆ2
Δ=Δ
i
i
i
E!"!= ΔE! "!!
i =i
∑ kΔq
ri2ri
i
∑
∑Δ
=→Δ i
ii
qr
rqkE ˆlim 20
! Campo elettrico generato da una distribuzione uniforme di carica
NB: l’integrale è esteso a tutta la carica che crea il campo ed è una grandezza vettoriale, che dipende dal tipo di distribuzione di carica
∫=Q
rrdqkE ˆ2
!
Campo elettrico generato da una distribuzione continua di carica
A seconda del tipo di distribuzione di carica (di volume, di superficie, di linea) la carica infinitesima dq associata all’elemento di distribuzione verrà espressa come:
dVdq ρ= ρ = Densità di carica di volume per volume infinitesimo dV
σ = Densità di carica superficiale per superficie infinitesima dS
λ = Densità di carica lineare per lunghezza infinitesima dl
Densità di carica di volume
Densità superficiale di carica
Densità lineare di carica
Se Q è la carica totale uniformemente distribuita in un volume V, la corrispondente densità di carica sarà: !
Carica per unità di volume
Carica per unità di superficie
Carica per unità di lunghezza [ ][ ]
mCQ
==ℓ
λ
[ ][ ]3mC
VQ==ρ
Se Q è la carica totale uniformemente distribuita su una superficie S , la corrispondente densità di carica sarà: !
Se Q è la carica totale uniformemente distribuita su una lunghezza l la corrispondente densità di carica sarà: !
[ ][ ] 2mC
SQ==σ
dSdq σ=dldq λ=
L
x
y
+Q
Possiamo immaginare la sbarretta divisa in un numero infinito di segmenti di lunghezza dx ciascuno avente una carica dq. L’elemento dx è sufficientemente piccolo da poter considerare la carica dq puntiforme Ogni elemento dq contribuirà al campo elettrico in P con il suo campo elettrico . Se x è la distanza dell’elemento dq dal punto P
Esempio: Campo elettrico lungo l’asse di una sbarretta carica Consideriamo una sbarretta di lunghezza L e carica +Q. Determinare il campo elettrico, lungo l’asse della sbarretta ad una distanza d da una estremità
d
?)( =PE
PEd!
xxdqkEd ˆ2=
!
NB: poiché stiamo cercando il campo elettrico sull’asse x il problema è monodimensionale: xrxrˆˆ⇒
⇒
Per determinare il campo elettrico in P dobbiamo sommare il contributo fornito da ciascun elemento di carica dq Dobbiamo sommare vettorialmente ciascun contributo , che in questo caso è sempre diretto lungo l’asse x Ed
!
dEEddEEd ⇒→=!!
)0,0,(
∫ ∫== 2xdqkdEE
L’integrale scritto in questo modo non è di facile interpretazione, bisogna inserire gli estremi di integrazione che devono contenere la variabile rispetto alla quale integrare
L x
y
d
)(PEd!
P
dq
dx
x
L
x
y
x
y
d
)(PEd!
P
∫ ∫== 2xdqkdEE Qual’è la variabile da integrare? Cosa cambia per ogni elemento di carica?
Cambia la distanza x dal punto P, conviene quindi esprimere dq in modo da poter integrare sulla variabile x.
( ) LdxQ
dxLQ
nQdq ===
Poiché la carica +Q è distribuita uniformemente lungo la sbarretta ogni elemento dx conterrà la stessa frazione dq della carica totale
se n è il numero di elementi dx presenti in L ogni elemento porterà una frazione dq=Q/n di carica:
E = kdq
x2∫ = k Q
dxL
"
#$$
%
&''1x2a
b
∫ ∫=b
a xdx
LQk 2
Gli estremi dell’integrazione (su x) corrisponderanno ai due estremi della sbarretta: a => elemento che si trova sull’estremo destro della barretta (x=d) b => elemento che si trova sull’estremo sinistro della barretta (x=d+L)
∫+
=Ld
d xdx
LQk 2
dL
dxLQk
+
−⋅=1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−+
−⋅=ddLL
Qk 11
( )dLdkQE+
=Forma
vettoriale
( )x
dLdkQE ˆ+
=!
L d
+Q )(
)(dLd
kQPE+
=!
P
NB: Nel caso in cui la distanza d dalla barretta è molto più grande della lunghezza L della barretta stessa … L può essere trascurato e ci si ritrova nel caso di un campo generato da una carica puntiforme
( ) ( ) 2
0
limdkQ
dLdkQ
dLdkQE
Lddis =+
=+
=≈
>>
Esempio: Campo elettrico lungo l’asse di una sbarretta carica (2)
dq
dx
x ≅L+d dq
dx
x dq
dx
x dq
dx
x dq
dx
x = d
dxLndxnL =⇒=
dx
x2d
d+L
∫ = −1xd
L+d
Moto di particelle cariche in un campo elettrico Quando una particella di carica q e massa m è posta all’interno di campo elettrico , la forza elettrica che agisce sulla carica è: E se questa è l’unica forza agente sulla carica, essa è la forza risultante, e per il secondo principio della dinamica la carica subirà un’accelerazione legata alla forza elettrica dalla relazione: L’accelerazione che subisce la carica è quindi Se il campo è uniforme (cioè costante in modulo direzione e verso), l’accelerazione è costante, diretta lungo il campo elettrico se q>0 o in verso opposto se q<0.
E!
EqFe!!
=
EqamR!!!
==
Emqa!!
=
costante uniforme =⇒ aE !!
a!
Moto di particelle cariche in un campo elettrico uniforme
1) Particella di carica q e massa m inizialmente in quiete: Inserita all’interno di un campo elettrico uniforme si muoverà con accelerazione costante lungo una retta parallela ad . Facciamo coincidere l’origine degli assi con la posizione iniziale della particella ed x con la direzione del campo elettrico. Si avrà (eq. del moto di un moto rettilineo uniformemente accelerato:
EqamFtot!!!
== Emqa!!
=
E!
22
221 Et
mqtaxEt
mqtavE
mqa xxxx =====
Eliminando t dalle espressioni si trova la relazione che lega vx alla posizione x:
vx= a
xt ⇒ t =
vx
ax
= vx
mqE
x =12ax
vx
ax
"
#$$
%
&''
2
=v2x
2ax
= vx2 m
2qE vx2 = 2xa
x vx= 2xa
x= 2x
qEm
0=v! v!+ x x=0
+
vx∝ x , v
x∝ E , v
x∝ q, v
x∝
1m,
Moto di particelle cariche in un campo elettrico uniforme
1) Particella di carica negativa -q e massa m che entra in un campo elettrico E uniforme con velocità iniziale v0 perpendicolare al campo elettrico.
Il moto è analogo a moto di un proiettile sotto l’azione del campo gravitazionale. Facciamo coincidere l’origine degli assi con la posizione iniziale della particella e l’asse x con la direzione della velocità iniziale. Il campo sarà rivolto verso le y positive. L’accelerazione che la particella carica subisce quando attraversa il campo è: Se la velocità iniziale della carica è le equazioni del moto della carica nella regione di spazio dove è presente il campo elettrico saranno:
!a = −
qm
!E = −
qmE j
!v = v
0i
x = v0t
vx= v
0
ax= 0
!
"##
$##
y =12at2 = −
q2m
Et2
vy= at = −
qmEt
ay= a = −
qmE
"
#
$$$
%
$$$
z = 0vz= 0
az= 0
!
"#
$#
Moto che avviene sul piano xy, sostituendo t=x/v0 in y si ottiene: y = −qE
2mv02x2 ⇒ y∝ x2
parabola
Dopo che la particella esce dal campo elettrico prosegue di moto rettilineo uniforme
Esempi:
Tubo a raggi catodici
Elettroforesi:
L’elettroforesi è una tecnica di laboratorio che consente la separazione di frammenti di DNA o RNA ( e non solo) in base alla loro grandezza. La tecnica sfrutta la diversa velocità di migrazione di molecole cariche sotto l’influenza di un campo elettrico. Una molecola di DNA o di RNA possiede una leggera carica negativa (per via della presenza dei gruppi fosforici). Il DNA immerso in un gel (agarosio) nel quale scorra una corrente elettrica tenderà perciò a migrare verso il polo positivo. Il gel in cui sono posti i campioni funge da setaccio; la rete di pori, di cui è costituito, consente di separare le molecole in base alla loro grandezza: quelle più piccole attraversano più velocemente i pori rispetto a quelle più grandi Si avrà quindi una separazione in funzione della velocità. Rappresentazione schematica di elettroforesi su gel. In alto i pozzetti(dove vengono caricati i DNA). Nella prima corsia a sinistra si trova il marcatore (miscela di frammenti di DNA di varie dimensioni note che, separandosi durante la corsa elettroforetica, creano una scala di valutazione) In tutte le altre corsie: i campioni di DNA hanno percorso una distanza diversa, a seconda della loro dimensione.
v = 2xqEm
∝1
m
Flusso di un campo vettoriale Un campo elettrico prodotto da corpi carichi può essere determinato in due modi differenti: 1) Attraverso la legge di Coulomb
2) Attraverso l’applicazione della legge di Gauss (quando la distribuzione di cariche presenta qualche particolare simmetria come ad esempio la simmetria cilindrica o sferica)
La legge di Gauss è espressa in termini di Flusso del campo elettrico Il concetto di flusso è stato originariamente introdotto nella teoria dei fluidi, dove il flusso è legato al
volume di fluido che attraversa una superficie nell’unità di tempo.
Nel caso di fluidi ideali il flusso di un liquido attraverso un condotto è stazionario (la quantità di volume di liquido che attraversa una superficie è costante nel tempo ).
Questo concetto, espresso dall’equazione di continuità (vA=cost) spiega perché la velocità di un flusso d’acqua aumenta se si chiude parzialmente l’uscita del tubo per innaffiare.
È possibile generalizzare il concetto di flusso (che indicheremo con Φ) in modo che possa avere un’applicazione più ampia.
Immaginiamo che il flusso di un fluido in un condotto sia rappresentato da un campo vettoriale dove ciascun vettore rappresenta la velocità del fluido in una posizione specifica del tubo di flusso.
Il flusso è proprio il prodotto tra l’intensità di ciascun vettore ed un piccolo elemento di area di superficie perpendicolare alla conduttura
Questa operazione matematica può essere effettuata per un qualsiasi campo vettoriale
Il Flusso di un campo vettoriale è una grandezza scalare che dipende dal campo e dalla superficie rispetto alla quale viene calcolato.
Φ = vA⊥
=A!
vettore superficie avente come modulo l’area della superficie e direzione perpendicolare alla superficie stessa
Per farsi un'idea intuitiva del concetto di flusso di un campo vettoriale si può ricorrere alle linee di forza (in analogia con le linee di flusso nella fluidodinamica): il numero delle linee che attraversano una superficie è proporzionale al flusso relativo a tale superficie.
NB: il flusso dipende dalla posizione della superficie rispetto alle linee di forza del campo
Partendo da una superficie perpendicolare alle linee di forza e ruotandola fino ad avere che la superficie risulti parallela al campo, un numero sempre minore di linee di forza attraverserà la superficie fino al punto che nessuna di esse attraverserà la superficie stessa (flusso nullo)
E!
E!
A!
E!
A!
Definizione di flusso: Il flusso Φ di un campo vettoriale è una grandezza scalare che dipende dal campo e dalla superficie rispetto alla quale viene calcolato.
E!
Flusso di un campo vettoriale
Φ descrive la quantità di campo, cioè di linee di forza che attraversano A.
Se ora si ruota la superficie rispetto alla direzione del campo un numero di linee di forza inferiori attraverseranno il triangolo. Per tener conto di questa diminuzione in funzione dell’angolo tra le linee di forza e la superficie bisogna modificare la definizione di flusso Si può notare che se h è l’altezza del rettangolo ruotato, Il numero di linee di forza che passeranno attraverso A (=hw) è lo stesso di quelle che attraverseranno il rettangolo di altezza hʹ=hcosθ, perpendicolare al campo elettrico ed area Aʹ =hw cosθ = A cosθ. Il flusso del campo elettrico sarà quindi:
E!
A!
h
Flusso Elettrico di un campo elettrico uniforme
Consideriamo un campo elettrico uniforme che passa attraverso una superficie A(area del rettangolo in figura, di altezza h e larghezza w) orientata perpendicolarmente al campo elettrico:
E!
Si definisce: flusso elettrico Φ la grandezza che rappresenta l’intensità del campo che attraversa l’area A EA=Φ
h
w E!
h
E! Aʹ
!hʹ
θcoshwA =ʹ
θcosEAAE =ʹ=Φ AE!!
⋅=Φ
Prodotto scalare
θ θ
hʹ=
h c
osθ
E!
A!
θ
Flusso di un campo elettrico Definizione formale di Flusso elettrico: Sia A una superficie e il vettore superficie avente come modulo l’area della superficie stessa e direzione perpendicolare alla superficie stessa (NB: Ci sono due possibili vettori superfici,uno per ogni faccia della superficie, nel caso di superficie chiusa, per convenzione il vettore punta verso l’esterno). Il flusso del campo elettrico è definito come il prodotto scalare tra il campo elettrico ed il vettore superficie:
A!
nAA ˆ =!
AE!!
⋅=Φflusso del campo elettrico E
!
nAEnA =⋅=Φ ˆE !
NB: se il campo è perpendicolare alla superficie A se il campo è parallelo alla superficie A
AEnAn =⋅⇒ ˆ E ˆ // E!!
00ˆ E ˆ E =Φ⇒=⋅⇒⊥ nn!!
E!
Riscrivendo in termini del versore normale : A!
L’unità di misura del flusso del campo elettrico è N·m2 /C [ ] [ ][ ] [ ] 12 −=Φ CmN
A!
n
nAA ˆ=!
n
Proiezione di su E!
A!
