Z transformasyonu

8/2/2019 Z transformasyonu

1/78

aretler ve sistemler signals & systemsDr.A.Demirkol

1

BLM 8

Z TRANSFORMASYONUGiri

Z transformasyonu, temel iaret ileme ve sistem incelemeleriyle ilgili olarak zellikle genelayrk zaman iaretlerinin zaman frekans analizlerinde kullanlabilecek yntemlerden biridir.u ana kadar Fourier serisi (srekli/ayrk), Fourier transformasyon(u)lar ve Laplace gibi

transformasyonlarn en temel zellikleri srekli formlarda tkje 0 , tje , tje )( + ve ayrk

formlarda ise krje 0 , kje gibi sinusoidal iaretler zerine kurulu olmasyd. Bu anlamdaele alacamz Z transformasyonunun da kje veya kje )( + gibi ayrk iaretler zerinekuruludur. Bu adan aslnda Z transformasyonunun da dierleri gibi sinusoidal tabanl biryntem olduu grlr. Bu nedenle, Z transformasyonu ile dierleri arasnda da ilikilerkanlmaz olacaktr.

Laplace transformasyonu srekli-zaman sistemleri iin ne anlam ifade ediyorsa, Ztransformasyonuda ayrk sistemler (saysal, dijital sistemler) iin ayn zellikleri ifadeetmektedir. srekli iaretler ve sistemler iin genel frekans analiz yntemi olan Laplacetransformasyonunun ayn zellikteki ayrk iaret ve sistemler iin karl da Ztransformasyonudur. Bununla birlikte Laplace transformasyonu integro-diferansiyeldenklemleri cebirsel denklemlere dntrrken, benzer ekilde z-transformasyonuda farkdenklemlerini cebirsel denklemlere dntrerek ayrk iaret ve sistem analizini efektifklmaktadr. Anlalabilecei gibi Z transformasyonu hem ayrk iaret analiz ve hemde ayrksistem analiz anlamnda kullanlabilecek en genel yntemdir. Z transformasyonununanlalabilirliini salamak zere, basit kompleks dzlemi ve ardndan ayrk-zaman Fouriertransformasyonu ksaca hatrlatlacaktr.

Kompleks Dzleme Bak

Kompleks dzlem jbaz += tipinde ( 1,, 2 = jRba ) yatay (x) reel, dey (y) imajiner

ksmlardan oluan bir dzlemdir. Aada kartezyen koordinat sistemindeki bir z kompleksdzlemin grnts verilmitir.

Im (z)

b jer

r

a Re(z)

ekil 1 z-Dzlemi

ekilde z dzlemi, kutupsal koordinatlarda = jezz formatnda ifade edilmitir.

= cosra , = sinrb


2/78


2

22babjazr +=+==

)(tan 1a

b=

)2,0(),( ==

Bunlarn nda z dzlemi r yarapl, )2,0(),( == asnda dairesel zellik

gsterir. Buna uygun olan gsterim kutupsal koordinat sisteminde aadaki gibigsterilmitir.

Im (z)

=

jerz , ),( r

r

Re (z)

ekil 2 z Dzlemi

Grld gibi, = jerz kutupsal gsterimi z dzleminde ryarapl ve al bir daireye

karlk gelmektedir. Eer 1=z alnrsa, z dzlemi aada grld gibi yarap 1=r olan

birim daireye dnecektir.

Im (z)

=

jez , ),1(

1

Re (z)

ekil 3 z Dzlemi : birim daire

Bunun anlam z dzlemi, yarap 1== zr olan tm kompleks saylar iermektedir.

Bylece farkl alarda olmasna ramen, yarap 1 olan tm kompleks saylar birim daireiersinde veya stnde olacaklardr. Buna gre


3/78


3

=

=

k

kjekfF

][)(

olarak bilinen ayrk-zaman Fourier transformasyonunun (DTFT) geometrik yorumu, farkl

alarnda ( k,,3,2,,0 L ), 1=r yarapndaki birim daire biiminde dnlmelidir.

rnek

22 jz += saysn kompleks dzlemde gsterin

zm

Verilen kompleks say jezz = gsteriminde olacaktr.

2)2()2( 2222 =+=+=+= babjaz

445)1(tan)

2

2(tan)(tan 0111

=====

a

b

42

j

ez =

Im (z)

42

j

e 2

4/ Re(z)

ekil 4 42

j

ez = Dzlemi

Srekli-Ayrk Frekans Dzlemleri

Srekli-zaman frekans dzleminin

js += srekli kompleks frekans dzlemi

olduunu biliyoruz. Srekli formdaki

T

f

2

2 0 ==

asal frekansn ayrk iaret ilemeki karl olan ayrk asal frekansn


4/78


4

Ff

f

ffTfT

SS

221

22 000 =====

olduunu biliyoruz. Buradan ayrk formdaki 0N periodu olduu dnlrse, ayrk asal

hzn

0

2

N

=

js += srekli formdaki kompleks frekans dzleminin ayrk formdaki karl iin , T

perioduyla rnekleneceinden, rneklenmi s dzlemi

+= js

olacaktr. Buradan gz nne alnacak

+=

jez ayrk kompleks frekans dzlemi

+===

jjjereeez

ifadesi de, s dzleminin ayrk karl olarak elde edilecektir. Byle bir dzlemin genelgrnm aada verilmitir.

Im

z Dzlemi

=

jrez

er=

Re

ekil 5 z-Dzlemi

Grld gibi z kompleks dzlem, kompleks frekans dzleminde ryarapl ( er= ), ve

=j

rez tipli fazrlerden olumaktadr. Eer yarap 1 alnrsa, 1=r ( 0= ), z dzlemiayrk zaman Fourier transformasyonuna dneceinden onun uzayn temsil eder.


5/78


5

Imz Dzlemi

r

Re

ekil 6 Ayrk zaman Fourier Transformasyonu ( )(F ).

Eer += jez ifadesindeki += js yerine js += alnsayd,

Sj eez ==+

eer bu ifade rnekleme periodu Tolmak zere,

TSez

=

olurdu. Bu s ile z dzlemlerini bir birine balayan en nemli bantlardan biridir. Buradanjs += ifadesinde reel ksm sfr alnrsa ( 0= ), yani js =

TjTSeez

==

elde edilirdi. hatrlanaca gibi ayrk frekans

T=

olduundan kompleks frekans dzlemi

==

jTjeez

olarak elde edilirdi. Burada yararlanlan TSez = ifadesiyle aslnda s dzlemindeki imajiner

eksen ( js = ), z-dzlemindeki yarap 1=z olan, TjTS eez == ile gsterilen birim

emberin iine transfer edilmektedir. Burada gze arpan bir sonucu vurgulamakta fayda var.

r=1


6/78


6

Monoton Artan Diziler ve zmleri

Bunlarn nda, ayrk-zaman Fourier transformasyonunda karlalan ][][ kuakf k= ,

1>a tipli belirsiz dizilerin (iaretlerin), zmn Z transformasyonu ile yapmak

mmkndr. Aada bu ve benzeri tipteki ayrk iaret rnekleri verilmitir.

][kf ][kf

1 1k)8.0(

k)5.0(

0 1 2 3 4 5 6 7 8 k 0 1 2 3 4 5 k(a) (b)

][kf ][kf

1 1k)8.0( k)1.1(

0 1 2 3 4 5 6 7 8 k 0 1 2 3 4 5 6 7 k

(c) (d)

ekil 7 eitli ayrk iaretlerekillerden grld gibi (a) ve (c) kararl, en azndan snml iaretlerdir. Bununla beraber(b) iaretinin snm sresinin daha ksa olduunu grmekteyiz. Dier yandan (c) ise pozitifve negatif genlik deerleriyle azalan yndeki eilimiyle bir baka snml iaret iken, ekil(d) exponensiyel monoton artan biimde gittiinden, snmsz davran gstermektedir.

zellikle exponensiyel artan biimdeki iaretlerin davranlar, klasik Fourier

transformasyonundaki )()( tuetf at= , 0>a tipli iaretlerde karlalan soruna

benzemektedir. Hatrlayacamz gibi, bu tip iaretlerin zm olarak Laplacetransformasyonundan yararlanmaktaydk. imdi benzer sorunlu ayrk iaretlerin zm

iinde Z transformasyonundan yararlanacaz. Bu yzden, Laplace ve Z transformasyonlararasndaki ilikiler hem srekli hem de ayrk formlarda da devam etmektedir.


7/78


7

Z transformasyonunun Laplace ile aralarndaki nemli ortak yanlardan biri, Ztransformasyonunun da daha ziyade sistem uygulamalarnda kullanlan bir teknik oluudur.Bu anlamda modern sistemler olarak bildiimiz saysal (dijital) sistemler, Ztransformasyonunun tipik uygulama alanlarndan biridir. Z transformasyonunu etkin klmakiin srekli-zaman iaretinin rnekleme teorisi erevesinde ayrk forma dntrlmesi

gerekmektedir.

Belli kurallarla salanan bu dnmn ardndan iaretin ayrk-zaman Fouriertransformasyonu gz nne alnarak Z transformasyonu iaret analiz yntemi olarakgenelletirilmektedir (zellikle de ayrk zaman Fourier transformasyonunun yetersiz olduudurumlarda). Dier yandan Z transformasyonu aynen Laplace transformasyonu gibi, ayrk-zaman sistem analizleri iinde kullanlabilen genel ayrk zaman-frekans analiz yntemidir.Hatta Laplace da olduu gibi, ayrk iaret analizden ziyade ayrk sistem analiz teknii olarakanlmas yanl olmayacaktr. Ayrk-zaman sistemlerin frekans domeni analizi lineer zamanladeimeyen ayrk (LTID) sistemin kz eklindeki exponensiyel bir ifadeye olan cevab zerine

kuruludur. Bu artlarda sistemin impuls cevabnn gz nne alnmasyla oluan sistem cevabkzzH ][ eklinde olmaktadr. Sistem giriini ][kf iin dnrsek, bu girii kz gibi

exponensiyellerin toplamndan oluan bir iaret gibi dnebiliriz. Bununla beraber sreklihaldekine benzer olarak DTFT nu snrlayan, onu zafiyete dren iki tespiti hatrlarsak ;

Tespit 1: Ayrk zaman Fourier transformasyonu, yalnzca asimtotik kararl (kesinlikle kararl)ayrk lineer zamandan bamsz (Discrete time Linear Time Invariant, DLTI) sistemlerinanalizi iin kullanlabilirken, marjinal kararl veya kararsz ayrk sistemlerin analizleri iinkullanlamamaktadr. Bu handikap, srekli hal iinde vurgulanmt.

Tespit 2: Ayrk zaman Fourier transformasyonu, exponensiyel artan iaretlerin zaman-frekans

analizleri iin kullanlamamaktadr. Bu handikap da daha nce srekli hal iin vurgulanmt.

Ayrk zaman Fourier transformasyonunda karlalan bu tip sorunlar, en genel anlamda Ztransformasyonuyla ortadan kalkmaktadr. imdi Z transformasyonunun nemini belirtmekzere ayrk zaman Fourier transformasyonunda karlalan genel tip problemi ele alarak, Ztreansformasyonunun zelliini vurgulamaya alalm. Bunun iin aadaki rneinincelenmesi yararl olacaktr.


8/78


8

rnek

][][ kukf k= iaretinin ayrk zaman Fourier transformasyonunu (DTFT) bulun.

zmEer 1


9/78


9

1,)(1

1)()(

0

iin zm retememektedir. Bu DTFT nin aynen srekli-zaman

Fourier transformasyonundakine benzer dezavantaja sahip olduunu gstermektedir. Srekli

zamanda artan eksponensiyel iaretler iin zm getirememekteydi, ve o zaman budezavantaj, Laplace transformasyonuyla giderilmiti. imdi ise ayrk durumdaki DTFT nun

sz konusu ][)(][ kukf k= , 1> stel artan yndeki zmszl, Z transformasyonu ile

giderilecektir. Buna gre Bizim rneimiz ][][ kukf k= iaretinde 1


10/78


10

S Dzleminden Z Dzlemine Dn

js = Fourier dzlemi iin gz nne alnrsa sinusoidlerin bulunduu je ifadesinin

jbaz += veya zjezz = kompleks gsterimine uygun olarak 1=z ve jz = olduu

grlr. Bilindii gibi 1=z , dzlemde yarap 1 olan birim emberi gstermektedir. je

gsteriminde frekans (a veya faz) ne alnrsa alnsn, je gsterimi farkl alarda ama1=r yarapl birim embere karlk gelecektir. S dzleminin Z dzlemindeki karln

bulmak iin bunun gibi baz ayrntlara ihtiya vardr. Bu anlamda js += dzleminin

sfr yani balang noktasnn ( )0,0(=s ) , z dzleminde )0,1(=z noktasna karlk

gelmektedir. Bu, 10S === eez T bantsndan da teyit edilebilir. Aadaki ekilde buayrntlar gsterilmektedir.

j S - Z Im (z)

S dzlemi Z dzlemi1

T0 Re(z)

ekil 9 Laplace (s) Z Transformasyonlar arasndaki dnm ( 0= )

Grld gibi s dzleminde orijinden itibaren j ekseninde koyu izgi ile gsterilen

frekans miktar (asal hz), z dzleminde yine koyu izgi ile birim emberin zerindeki (yay)miktarna karlk gelmektedir. Birim daire zerindeki bu miktar T asylabelirlenmektedir. Ayrk asal hz olarak bilinen T= bantsyla birim ember zerindebelirlenebilecek alarn toplam 2 olacandan buradan ayrk asal hzn olaca grlmektedir. Aada byle bir yaklam grafik olarak verilmitir. Bu yaklamda zdzleminin farkl T= alarla 2 uzunluunda ve 1=r yarapl birim emberednecei grafik olarak gsterilmitir.


11/78


11

j S - Z Im (z)

Z dzlemi

S dzlemi1

T0 Re(z)

ekil 10 Laplace ( js = ) Z Birim daire dnm ( 0= )

S dzleminde frekans olarak dey eksende daha yksek alnabilecek frekanslarn zdzleminde yalnzca T= ayrk asal hz/ay deitireceini grmekteyiz. Bu ekilde sdzleminde en byk frekans olarak 2/S = deerinin alnabileceini, salkl bir

rneklemenin gerei olarak biliyoruz. S rnekleme frekansnn byk alnmas durumunda

z dzlemindeki T= ayrk asal hz kleceinden, birim daire zerinde daha fazla

noktann/ann (yayn) belirlenebileceini grmekteyiz. Bu doal olarak daha fazla rnekalnmas anlamna da gelmektedir. Bunun tersi durumunda yani kk T= durumlarndaise alnacak rnek says azalacaktr.

Bunlarn sonucunda s dzlemindeki j dey imajiner eksen, yukarda belirtilen birim

daireye dntrlmtr. Bu anlamda s dzleminin js += biimindeki reel ksm olan

dikkate alnmatr. Bunun dikkate alnmas durumunda tam bir s dzleminin zdzlemindeki grnmnn veya dnmnn belirlenmesi nemlidir. Mevcut birimdairenin s dzlemindeki reel ksmnn z dzlemini nasl etkileyeceine bakalm. Eer

TjTTjTT eeeezS

===+ gz nne alnrsa Tje ile bilinen birim ember (ayrk-zaman

Fourier transformasyonu) bu kezT

e

ile reel ksmn etkisi altndadr. Bu etki naslyorumlanabilir ona bakmamz gerekir.

ncelikle zjezz = gsterimi dikkate alnrsa TjTeez = iken yarap gsteren z

ifadesinin Tez = olduu grlmektedir. Bu nedenle s dzlemindeki reel ksmn z

dzlemindeki etkisinin Tezr == biimindeki yarap olduu grlmektedir. Byle

olduunu Fourier transformasyonundan je ifadesinin 1== zr ve jz = olduundan da

bilmekteyiz. Buna gre z dzlemindeki Tjez = tipindeki birim emberin imdi yarapT

ezr

== olan emberi oluturduunu grmekteyiz. Buna gre TjTeez = ifadesinin z

dzlemindeki grnmne bakalm.


12/78


12

j S - Z Im (z)

2S

S dzlemi 1

T 2,0

0 1 1 Re(z)0

2S

ekil 11 Laplace (s) Z Transformasyonlar arasndaki dnm

Grld z dzleminde Te nin etkisi krmzyla gsterilen birim emberin ii ve dndakimavi ile gsterilen ember olarak olumutur. Dier bir deyile eer 0 alnrsa mavi renkte grnen birimemberin d olmaktadr. Son seenekise eer 0= alnrsa, siyah renkte grnen birim emberin snrlar sz konusudur.

zellikle 0> durumundaki Te gsteriminin, z dzleminde birim emberin dnda

yarap 1 den byk olan blgeleri (yeni (mavi) emberleri) iaret ettiini grmekteyiz.Buradan hareketle 0


13/78


13

0


14/78


14

j S - Z Im (z)

0>ip

2S

Re0 1 0 1

1p 2p 3p 4p

2S

Tpe

4

Tpe

3

Tpe

3

Tpe

1


Grld gibi s dzleminin sa yar dzlemine den 4321 ,,, pppp kutuplar, z dzleminde

daha byk yar aplarla birim emberin dndaki emberleri oluturmaktadrlar. Buradansiyah renkteki birim emberin dndaki emberlerinde ayn zamanda kararszl ifade ettiinigrmekteyiz. Bunun sebebininde s dzlemindeki pozitif kutuplarn ( 4321 ,,, pppp ), rnein

jps i += durumundaki kutbunun karlnnT

ip

e

olduu dnlrseT

ip

e

iaretinin

zaten kararsz ve snmsz olduunu grmekteyiz. DolaysylaT

ip

e

gsterimindeki kararszkutbun, z dzleminde kararll gstermek zere birim emberin dnda yer alacangrmekteyiz. S dzleminde pozitif olarak daha kk yani sistem cevab daha hzl ama(snmsz) olan iaretlerin, z dzleminde daha byk yaraplarda olduklarn grmekteyiz.

imdi 0>ip olduu halde z dzleminin [ ] [ ] 1, >= akuakf k tipli iaretlerin zmnenasl imkan saladn grmeye alalm. Bir an iin zm adna [ ]kf nin ke arpmngz nne alalm.

k

kk

e

aea

=

denklemindenk

e

a

terimi dikkate alndnda bu terimin tanml veya snml olabilmesi

iin ae > olmas gerektii aktr ( aln> ). Bu son yazlan ifadeden er= yarapolduundan, z dzleminde yarapn ar> olduu blgelerde zmn mevcut olduunu

grmekteyiz. Burada zm aranan iaretin [ ] [ ] 1, >= akuakf k olduu dnlrse,


15/78


15

zm ar> olarak ayn zamanda birim emberin dnda grnmektedir. Durum aadaematize edilmitir.

Im (z)

j S - Z

Yaknsama blgesi

2S

S dzlemi a1

1 1 Re(z)0 aln

2S


Grld gibi ar> gerei, zmn yani tanm blgesinin (yaknsama blgesi) birim

emberin dnda, gri blgede olduunu grmekteyiz. Burada [ ] [ ] 1, >= akuakf k gibisorunlu bir iaretin tanm aralnn birim emberin dnda da olsa elde edilmesi benimsenenyaklamn baarsdr. Bunu da salayan s dzlemindeki reel ksmn dikkate alnm

olmasdr ( aer >= ).


16/78


16

S - Z DZLEMLER ve AYRIK-ZAMAN FOURIER TRANSFORMASYONU

Kompleks frekans dzlemi olan js += ve bu dzlemden TjT eez S == formunda elde

edilen z kompleks dzlem, hem yeni konumuz olan Z transformasyonunun temellerini

oluturacandan ve de s z ilikisini de aydnlatacandan ilk olarak bu dzlemlere yakndangz atmak faydal olacaktr. Aada genel bir s z dzlemi verilmitir.

j S - Z Im (z)

2S

S dzlemi 1 Z dzlemi

T 2,0

0 1 1 Re(z)

2S

ekil 16 Laplace (s) Z Transformasyonlar arasndaki dnm : TjT eez S ==

lk ekilden grld gibi js += Laplace dzlemi js = uyarnca TjT eez S ==

olarak z kompleks dzlemine dnmtr. Dey js = ekseninin tamam deil yalnzca

mavi izgi ile gsterilen )2

,2

( SS

= aralnn dikkate alnd grlmektedir.

rneklenecek iaret bu dey eksende herhangi bir frekans veya band geniliindeki iaretolarak dnldnden, bu aralk ayn zamanda rneklenecek iaretin maksimum bandgeniliini gstermektedir. Burada S rnekleme frekansn gstermektedir. rneklenecek

iaretin band genilii (B) salkl rnekleme asndan hi bir zaman rnekleme frekansnnyarsndan fazla olamayaca iin (

2SB ), js = ekseni zerindeki mavi izgi ile

gsterilen )2

,2

( SS

= aral dikkate alnmaldr. Dier bir deyile j ekseni zerinde

S enekleme frekans kadar bir aralk ( SSS

== )

2(

2) gz nne alnmaktadr.

nk iaretin frekans veya band genilii bu araln dnda alnd taktirde,2

SB

salanamayacandan rtme (alias) problemiyle karlalr. Dolaysyla birinci ekildeki

js = ekseninde bulunan mavi izginin snrlarndan itibaren verilen yatay kesikli dorularrtme snr olarak kabul edilir ve bu snrn stne klmamas tavsiye edilir.

rtme snr

1

1


17/78


17

Dier taraftan ikinci ekilde verilen Z dzlemine bakldnda ise, dzlemin birim emberdenolutuunu grmekteyiz. Bylece yarap bir olan ( 1=r ) kompleks iaretler bu emberzerinde veya iinde yer alacaklardr. Birim emberin doal olarak uzunluunun 2kadardr. Bunu anlam srekli iaretlerin frekanslar js = ekseninde ),( = gibi

sonsuz aralkta iken, ayrk iaretlerin frekanslar Z dzleminde grld gibi yalnzca( 2,0 ) aralndadr. Dier yandan birim emberin uzunluunun s dzlemindeki

)2

,2

( SS

= aralndan olutuunu grmekteyiz. Bu yaklam tutarldr, nk Z

transformasyonu ayrk iaret analiz yntemi olarak bu yaklamn zerine kuruludur.rneklenmi ayrk iaretlerin zaman-frekans analizleri yaplaca iin, salkl rneklemeyle

elde edilen iaretler dikkate alnacaktr (2

SB ). Bu yolla ayn zamanda js +=

dzlemi, Z dzlemine dntrlm olmaktadr. Bu dnm konformal dnm(conformal mapping) olarak anlr. Bu yolla js = ekseni zerinde her ne kadar

)2

,2

( SS = aral dikkate alnsa da, bu araln bile teorik olarak ki ),( =

olabilecei gz nne alnrsa, bu yaklamla js = eksenindeki sonsuz aral bir anlamda

Z dzleminde ( 2,0 ) snrl aralna dntrmekteyiz.

S dzleminde j eksenindeki frekansl iaretler veya sinusoidler Fourier

transformasyonundan ala gelinen tje ile gsterilmekteydi. imdi frekans rnekleme

sonucu )2

,2

( SS

= ile snrlandndan, yani )22

( SS

olduundan,

kjkTjTkjtjeeee

=== biiminde gsterilir. Bu ifadedeki ayrk asal hz olup

karl, Trnekleme periodu olmak zere T= dir. Ayrk asal hzn deeri veya tanm

aral )22

( SS

bantsndan tretilebilir.

=====

2

2

2

2

2

1

22

1

2

122

1

2

1

2

1

22T

T

T

S

SS

veya ),( =

olarak elde edilir. Oluan veya ),( = bantlar, yukarda akland

gibi ayrk frekansn ( 2,0 ) aralnda olacan teyit etmektedir. Eer bir iaretin frekans

ise, bu frekansa ait bir saykldaki (saykl uzunluu, 2 ) rnek saysn bilmemiz gerekiyor.Bunun iin rneklenecek iaretin frekans, Tile arplmaldr (T). Bu arpmn T=

biiminde ayrk asal hz olduu dnlrse bu gsterim ile oluanSf

fT

2== ifadesi,

uzunluu 2 olan bir saykldaki rnek saysn gstermektedir ki, bu bizim saykl banabilmemiz gereken rnek saysna aklk getirdiinden, bu yndeki beklentimizikarlamaktadr. Elde edilen rneklerin hangi iaretler veya sinusoidler olduu

( L,3,2,1,0=k ) olmak zerekj

e

gsterimiyle bellidir.


18/78


18

Im (z)

1

kje

1

k 2,0

1 1 Re(z)

1

ekil 17 Z dzlemi

EerSf

fT

2== olduu dnlrse, her bir k iin ( L,3,2,1,0=k ), birim ember

zerinde kje tipinde farkl frekanslarda bir rnek elde edilecektir. Bu anlamda kharmonicolarak dnlebilir. Birim ember sz konusu olduundan, 1=r yarap ayn zamanda

rnek veya ayrk iaretin genlii olacaktr. Bundan dolay kje ile birim daire zerinde

konulanm ayrk iaretin hangi genlik ve ayn zamanda hangi frekansa sahip olduuna dairfrekans domeni analizlerine ulamaktayz. Geri burada genlik bilgisi olarak 1=r alndndan, birim ember zerinde genlikleri 1 olan, ayrk iaretlerin hangi frekanslardanolutuuna dair frekans analizleri yaplabilmektedir. Bu anlamda )(F ayrk-zaman Fourier

transformasyonunu aadaki gibi gz nne alrsak,

][)(

=

=

k

kjekfF Ayrk-zaman Fourier transformasyonu

[ ]kf ayrk iaretinin hangi ayrk frekanslardan (ayrk frekansl sinusoidler/bileenler)

olutuunu gsterdiini grmekteyiz. Burada )(F nin srekli formda olduu dikkatiekmektedir. Bu yaklamn bir tr korelasyon veya ortogonal projeksiyon yntemi olduunudaha nceki srekli formda ele alnan Fourier serisi ve transformasyonu bahislerindenbilmekteyiz. Ters ayrk-zaman Fourier transformasyonunu aadaki gibi gz nne alnabilir.

[ ] = deFkf

kj

2)(

2

1 Ters ayrk-zaman Fourier transformasyonu

Bununla [ ]kf ayrk iaretinin, hangi )(F genlikli ayrk frekansl sinusoidler veyaharmoniklerden olutuu belirtilmektedir. Dikkat edilirse bu analiz iin [ ]kf integralinin snr

deerler olarak ayrk asal hzn 2),( == araln kapsayacak biimde gz nnealnmtr.


19/78


19

Buradan ayrk-zaman Fourier serisi dnldnde )(F ayrk-zaman Fourier

transformasyonunun 0= r olarak alnmas yeterli olacaktr. Bu ifadede 0 temel ayrk

asal hz ve r ise ayrk sinusoidin harmoniklerini gstermektedir. Bunlar )(F ve [ ]kf deyerine yazlrsa ayrk-zaman Fourier serisinin denklemleri aadaki gibi elde edilir.

][)( 00

=

=

k

krjekfrF Ayrk-zaman Fourier serisi

[ ] )(1

0

0 0

0

>==a tipli iaretlerin DTFT nin, aynen klasik srekli-zaman Fourier

transformasyonunda olduu gibi mmkn olmadn grmekteyiz.

][)()( 0

=

=

==

k

k

jk

kjk

e

a

ekuaF tanmsz

Grld gibi klasik teknikte sorun nasl ki, Laplace yaklamyla ald, bu kezde ayrk

formdaki benzer sorun Z transformasyonuyla alacaktr. Ancak imdilikje

aorannn

tanml olabilmesi iin aej > olmas gerektiini bilmemiz gerekiyor. Burada da je

ifadesi z kompleks dzlemindeki emberin = jer formunda yarap olduu dnlrse,zmn ar> olarak r yarapl emberin dnda (yaknsama blgesi, region ofconvergence, ROC) olduu grlecektir. Bu yaklamn detaylar aada aklanmtr.


20/78


20

Z Transformasyonun Elde Edilmesi

Bunun iin hem rnekleme hemde ayrk-zaman Fourier transformasyonundaki tecrbelerimizi

gz nne alarak az nce yukarda deinilen ][)(][ kuakf k= , 1>a tipli iaretlerin nasl

DTFT nin alnabilir haline getirilebileceine younlamaya alacaz. Bunun iin][][ kuakf k= iaretinin DTFT nu bulnak zere ][kf iaretinin deiiminin yaklak

aadaki gibi olduu kabul edilecektir.

][kf

k

0

ekil 18 ][][ kuakf k= iareti

Grld gibi ][kf iareti exponensiyel artan ynnde deitiinden, muhtemelen

1>a dnlebilir. Buna gore ayrk zaman Fourier transformasyonu alnrsa,

=

= k

kj

ekfF

][)(

Ayrk zaman Fourier transformasyonuyla hesaplanmas mmkn deildir. Ancak eer ][kf

bir kr ile arplrsa, DTFT hesaplanabilir. Byle bir kr iareti ve onun verilen iaretle

arpmn gsteren krkf ][ aada verilmitir.


21/78


21

[ ]kuakf k=][

k

r

0 1 2 3 k 0 1 2 3 k

krkf ][

ar>

0 1 2 3

ekil 19 kkk rkuarkf = ][][ iareti

Grld gibi exponensiyel art ynnde sonsuza giden [ ]kuakf k=][ iareti, ters ynde

eime sahip kr ile arpldnda krkf ][ olarak d, dier bir deyile snmlenme

ynnde davran gstermektedir. Dolaysyla, bu durumda krkf ][ iaretinin ayrk zaman

Fourier transformasyonu, DTFT yani )(F hesaplanabilir.

[ ]

][][)(

0

=

=

=

=

=

===

k

kjkk

k

kjkk

k

kjk

k

kj

era

erkuaerkfekfF

eer , er= alnrsa,

[ ]

)()(

0

0

)(

0

0

0

=

+

=

+

=

=

=

=

====

k

kjk

k

kjk

k

kjkk

k

kjkk

k

kjkk

ea

eaeaeeaeraF

eer += jez alnrsa,

[ ] )(00

=

=

+==

k

kk

k

kjkzaeazF

)(0

=

=k

kk

zazF


22/78


22

Tespit : Elde edilen = jez , )(zF biimindeki Z transformasyonunun )(F ayrk Fourier

transformasyonu karldr [ )()(

=

FzF

jez

].

1)(00 000

k

kk kk

k

k

k

kk

k

k

kk

za

za

za

zazazF

=

=

=

=

=

=

====

1)(32

0

L+

+

+

+=

=

= z

a

z

a

z

a

z

azF

k

k

Bu durumdaki )( zF Geometrik seri olduundan,

1,1

11 32

0

kouluna gre artk )(zF fonksiyonunun

tanml olduu bir yaknsama aral, yaknsama blgesi (region of convergence, ROC)sz konusu olur. z , bir tr kompleks dzlemdeki emberin yarapn gsterdiine gre,

az > ile kastedilen yar ap a olan emberin d blgesidir. Bylece daha nce DTFT ile

zm bulunmayan ][)(][ kuakf k= , 1>a tipli iaretlerin bir zm bulunmutur. Bu

zm bir yaknsama blgesinde elde edilmitir. Bunun sebebi, DTFT ile yalnzca birimember iersinde zmler mmknd. Ancak s dzleminin reel ksmnn kullanlmasyla

birim emberin dnda e yarapyla belirlenen yeni tanm blgeleri elde edilmitir. Buna

gre ][][ kuakf k= iaretinin Z transformasyonu olan )(zF aadaki gibi olacaktr.


23/78


23

Imz Dzlemi

a

Re

ekil 20 ][][ kuakf k= ( 1>a ) ayrk zaman Fourier transformasyonunun Z ransformasyonu

Grld gibi tanm aral z dzleminde yarap a dan byk olan ( ar> ) emberin dblgesidir (gri blge). Bu blge ayn zamanda Z transformasyonunun yaknsama blgesi(Region Of convergence, ROC) olarak da anlr. Eer ][][ kuakf k= iareti 1>a olmak

zere rnein 2=a alnrsa, ][2][ kukf k= iaretindeki k2 , artan exponensiyel formda

olduundan, DTFT ile hesaplanmas mmkn olmayacaktr. Bunun yerine Z transformasyonu

olarak )(zF ile zm az > gerei,

2>z

olacaktr. Buna gre ][2][ kukf k= iaretinin tanm blgesi (ROC), yar ap 2 den byk

olan emberin d blgesi olacaktr.

Yaknsama blgesi (region of convergence, ROC) az > ile gsterilen iaretin kompleks

dzlemde yar ap a olan emberin d blgesi olduu belirtilmiti. Buna gre birim ember

s dzleminin rnekleme frekans kadar olan aralnn, z dzlemindeki karl olduu

dnlrse, imdi az > ile rnekleme frekansnn yarsndan byk frekanslarn da dikkate

alnd grlmektedir.

rnek

[ ] }1,1,,1{ = 2kf ayrk iaretinin Z transformasyonunu ve ayrk zaman Fouriertransformasyonunu bulun.

zm

[ ] }1,1,,1{ = 2kf ise, bunun anlam [ ] }1,1,,1{ = 2kf , dier bir deyile [ ] 20 =f . Buna gre Ztransformasyonu

a


24/78


24

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

12

z

1

12

211)(21

2101)(

2

23

2

212101

)2()1()0()1(2

1

z

zzz

zz

zzzzzzz

zfzfzfzfzkfzkfzFk

k

k

k

+++=

+++=

++=+++=

+++===

=

=

Ayrk zaman Fourier transformasyonu = jez iin elde edilecektir.

+++=

+++===

2

23

2

23 12

)(

1)(2)()()(

j

jjj

j

jjjj

e

eee

e

eeeezFF

+++

= 2

23 12

)( j

jjj

e

eee

F

Bilateral ve Unilateral Z Transformasyonu

=

=

k

kzkfzF ][)( Z Transformasyonu (bilateral)

dzzzFj

kf k

=1][

2

1][

Invers Z - Transformasyonu

]}[{)( kfzF=

ve )}({][

1

zFkf

=

)(][ zFkf

=

=

0

][)(k

kzkfzF Z Transformasyonu (unilateral)

Tm ifadelerden )(zF Z transformasyonunun aynen ayrk-zaman Fourier transformasyonu

gibi srekli formda olduunu grmekteyiz. Unilateral Z transformasyonu, causal (nedensel)sistem gerei kullanlmaktadr. nk sistem girilerinin srekli formdaki gibi ),(

aral yerine 0>t anndaki deerleri gibi, ayrk sistemler iinde 0>k anndaki girileri szkonusudur. Burada gerek )(zF gerekse invers [ ]kf transformasyonunda gz nne alnaniaretin )(tf olmadn unutmamamz gerekir. [ ]kf veya daha ak olarak )(kTf ile,rneklenmi deerler vurgulanmaktadr. Dolaysyla rneklerden oluan )(kTf gsteriminin

veya dizisinin direkt olarak )(tf gibi dnlemeyeceini biliyoruz.


25/78


25

rnek

}5,8,4,,3,7{][ = 1kf iaretinin z transformasyonunu hesaplayn

zm][][ zFkf

3212

)3()2()1()0()1()2(3

2

584137

58437][][][

=

=

++++=

++++===

zzzzz

zzzzzzzkfzkfzFk

k

k

k

G Serileri ve Z transformasyonu

Z transformasyonunun temelinde bir g serisi zellii sz konusudur. Mevcut baz gserilerinin aadakiler gibi olduunu hatrlayalm.

1.

=

=

k

kzkfzF ][][ Z Transformasyonu

2. n

n

n

xxn

xfxf )(

!

)()( 0

0

0=

=

Taylor serisi

3. n

n

n

xn

fxf )(

!

)0()(

0

=

= Maclaurin serisi

4.

=

=n

n

n zzazf )()( 0 Laurent serisi

5.

=

=

k

kjekfF

][)( Ayrk-zaman Fourier transformasyonu

6. 1,1

][0

a koulu iin belirli bir blgesinde zm olduunu biliyoruz. Yaknsamablgesi, ilgili transformasyonla ilgili olarak zmn olduu (snrl) blge olarakdnlebilir.

Benzer dnceleri Z transformasyonu iinde dnebiliriz. Z transformasyonu s yerine zkompleks dzleminde tanmldr. Bu dzlemin hangi blgesinde tanml olduunu bilmemiz

gerekiyor. nk daha nce deindiimiz gibi, ][][ kuakf k= tipli iaretler 1>a durumuyla

ayrk-zaman Fourier transformasyonunda (uzaynda) tanml deillerdi. Bu anlamda Fourierdomeni de bir tr z kompleks dzlem dnlebilir. Buna gre, z dzleminin ayrk zamanFourier ile tanml blgesinde bir zm yoktu. Ancak z dzleminin belirli blgesinde zm

olabilir. Yaniz dzleminde ][][ kuakf k= , 1>a iin tanml bir blge mevcut olabilir. Bunusalayan z dzlemindeki blgeye Z transformasyonunun yaknsama blgesi denilmektedir. Z

transformasyonunun yaknsma blgesi genelde er= yarapl daire biiminde ortayakmaktadr. Byle bir grnm aadaki gibi dnlebilir.

Im

z-Dzlemi

r

Re

ekil 21 Z-Dzlemi ve yaknsama blgesi

Buna gre yaknsama blgesi er= yarapyla grlen dairenin ii, snrlar veya d

olabilmektedir.

rnek

}1,0,7,,4,2{][ 5=kf ise Z transformasyonunu bularak, yaknsama blgesini belirleyin.

zm

Verilen ][kf dizisinde 5 saysnn koyu olarak gsterilmesinin sebebi toplam ifadesindekik deikeninin negatif deerlerden balayacadr. Bu anlamda 5 yazm 0=k iin

olduunu belirtmektedir. Buna gore alaca tm deerler 3,2,1,0,1,2 =k eklinde olacaktr.Bunlar dikkate alndnda Z transformasyonu aadaki gibi dzenlenecektir.


27/78


28/78


28

=

=

0

][k

k

zzF

Elde edilen ifade bir geometrik seridir. Alm yazlrsa,

LL++

+

+

+=

=

=

32

0

1][zzzz

zFk

k

eer geometrik seriyle ilgili

1If,1

11 32

=

z ifadesiyle yar ap den byk

olan alan (kk emberin dndaki gri blge) iaret etmektedir. Buna gre kk emberin

dndaki tm alan yaknsama blgesi (ROC) olarak grnmektedir.

Tespit : ][][ kukf k= tipli )0( > iaretlere sa tarafl Z transformasyonu (right handed Z

transform) denilmektedir. Bu tip ayrk iaretlerin yaknsama blgesi (ROC) >z ile

belirtilen yarapl emberin dna dorudur.

rnek

]1[][ = kuakx k ayrk iaretinin )(zX transformasyonunu ve yaknsama blgesini

belirleyin.

zm

=

=

=

=

====

1

1

]1[][)(k

kk

k

kk

k

kk

k

kzazazkuazkxzX

1100

0

001

+=

==

=

=

=

=

=

k

kk

k

kk

k

kk

k

kk

k

kkzazazazaza

az

z

za

z

za

aza

a

zaa

aza

a

z

a

z

a

z

a

zzazazX

k

k

k

kk

k

kk

=

=

=

=

=

=

=+==

=

=

=

1

11

1

11

11)(001

az

zzX

=)(

1


30/78


30

)()( zXzF =

Buradan karlacak sonu udur ; farkl ayrk iaretlerin Z transformasyonlar ayn olabilir,ancak yaknsama blgeleri farkl olur.

rnek

ab > olmak zere ]1[][][ = kubkuaky kk ile verilen ayrk iaretinin )(zY

transformasyonunu ve yaknsama blgesini belirleyin.

zm

[ ]

bz

z

az

z

zb

z

az

z

zbbzb

azz

b

zbb

bzb

azz

b

zb

z

azz

b

z

z

a

zazazazazkubkuazkyzYk

kk

k

kk

k

kk

k

kk

k

kkk

k

k

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+====

=

=

=

=

=

=

1

11

1

11

1

1

)1(]1[][][)(00

1

0

bz

z

az

zzY

+

=)( ROC : az > + bz < bza


31/78


31

Tespit : ]1[][][ = kubkuaky kk tipli iaretlere ift tarafl Z transformasyonu (doublesided Z transform) denilmektedir. Bu tip ayrk iaretlerin yaknsama blgesi (ROC)

bza

=

zz

zku


32/78


32

rnek

][cos][ kukkf = ise ?][ =zF

zm

)(2

1cos kjkj eek +=

1,][ =>

j

j

kjez

ez

zkue

1,1cos2

)cos(

2

1][

2

>

+

=

+

=

zzz

zz

ez

z

ez

zzF

jj

rnek

)3)(2(

198][

=

zz

zzF ise, ?][ =kf

zm

)3)(2(

23)(

32)3)(2(

198

][

2121

21

+=

+

=

=

zz

cczcc

z

c

z

c

zz

z

zF

821 =+ cc

1923 21 = cc

31 =c , 52 =c

35

23][

+

=

zzzF

buradan ][zF nin invers Z transformasyonu alnrsa

]1[])3(5)2(3[

3

5

2

3]}[{

11

11

+=

+

=

ku

zzzF

kk

]1[])3(5)2(3[][

11+=

kukf

kk


33/78


34/78


34

[ ]


35/78


36/78


36

rnek

[ ] [ ] [ ] [ ]573415][ ++= kkkkkh

ise, [ ]zH iaretini bulun.

zm

Bu kez dier rnein tersi bir durum sz konusudur. Buna gre [ ]kh olarak invers Ztransformasyonu verilmi, standart Z transformasyonu olarak [ ]zH istenmektedir.

[ ] [ ]

=

=

==00

][][][n

n

n

z

znhzHnknhkh

venznk ][

bantlar gz nne alnrsa [ ]kh deki her bir terimin nznk ][ olarak [ ]zH karlklar yazlacaktr. Verilen [ ] [ ] [ ] [ ]573415][ ++= kkkkkh iaretinden

[ ] [ ]7,0,4,0,5, = 1kh olduu grlmektedir. nk aadaki ifadeden

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]573415

57403420151

5]5[4]4[3]3[2]2[1]1[0]0[

][][][5

00

++=

++++=

+++++=

== =

=

kkkk

kkkkkk

khkhkhkhkhkh

nknhnknhkhnn

verilen [ ] [ ] [ ] [ ]573415][ ++= kkkkkh aynen elde edilmektedir. Buradan[ ] [ ]7,0,4,0,5, = 1kh olarak dnleceinden, istenen [ ]zH transformasyonu

[ ]

3

245

53

53154321

5432105

0

745

7451

7451704051

]5[]4[]3[]2[]1[]0[][

z

zzz

zzz

zzzzzzzz

zhzhzhzhzhzhznhzHn

n

++=

++=

++=++++=

+++++==

=

[ ]3

245 745

z

zzzzH

++=

olarak elde edilir.


37/78


37

s z Dzlemleri

)(sF ve )(zF transformasyonlar arasnda var olan Tez S= bantsna gre yorum yaplrsa,

bu ifadeyle Z transformasyonu s dzlemindeki js = imajiner ekseni (frekans eksenini),

rtme noktasndan itibaren birim daireye dntrmektedir. Dier bir deyile js =

ekseninin yalnzca )2

,2

( SS

= blm birim daireye dntrlmtr. Buna gre

js = imajiner ekseni birim emberin snrlarna karlk gelirken, s dzleminin sol yar

dzlemi birim emberin iine karlk gelecektir. Doal olarak kararszla sebebiyet veren

sa yar dzlem de emberin dna karlk gelmektedir. Bu anlamda s dzleminin js =

imajiner ekseninden sol tarafa olan birim ember ile ifade edilmitir. Durum aadaki ekilzerinde daha ak izah edilmitir.

j Im(z)s Dzlemi rtme (alias) snr z - Dzlemi

T

TjT eez s ==

0 1 1 Re(z)

1

== ),( T 2),( ==


Grld gibi s-dzlemindeki dnme urayan (conformal mapping) frekansn (imajinereksenin) uzunluu = iken, buna karlk gelen z-dzlemindeki birim emberin uzunluuise 2),( == dir. Daha nceki blmlerden ayrk iaretlerde tek (unique) frekanslarn

2)2,0(),( === aralnda olduunu belirtmitik. Bu araln dndaki frekanslar

rtme (alias) olarak davranyordu. Srekli iaretlerde ise bu yapdaki ayrk frekans

deerlerinin==

),( gibi sonsuz aralkta olduunu grmtk. Buna gre s-dzleminde frekanslarn yer ald ),( =j aralnn tamamn deil, z-dzleminde

mavi emberle belirtilen 2),( == uzunluuna karlk gelen aral dntrm

bulunmaktayz. Bunu nasl anlyoruz?. Soldaki ekildeki s-dzlemine bakldnda dey

imajiner eksenin birim embere karlk gelen aralnn snr noktalarnn ),(TT

aralnda ele alnmasndan grmekteyiz. Bu deere nasl eritiimizi aadaki admlardanitibaren takip edebiliriz.


38/78


38

js =

T=

T

=

),( =

),(),(

TTT

=

=

),(

),(

Tj

Tj

TTjs

=

=

Bunlardan sonra s-dzleminde js = ifadesinin karlnn ),(T

jT

js

= olduunu

grmekteyiz. Bunu aslnda

),(),(T

jT

jT

jT

js

==

ifadesinden de teyit edebiliriz. Sonuta s-dzleminden z-dzlemine conformal mapping(konformal dnm) olarak, s-dzleminden frekans olarak ),( = gibi sonsuz byk

aral, z-dzlemindeki ),( = aralna dntrme vurgulanmaktadr. Dikkat edilirse,

s-dzleminde ),(T

jT

js

= ile belirtilen noktalardan itibaren grlen kesikli izgiler

nemlidir. nk )( olduundan bu araln dndaki frekansndan bykdeerler rtme (alias) olayna sebep olmaktadrlar. Yani daha byk deerleri yine dahakkm gibi ),( veya )2,0( aralklarnda greceiz. Zaten rtme kavram da

buydu ( 02 ffS < ). Bu yzden s-dzleminde rtmeye karlk gelen noktalar iaretlenmitir.

S-dzleminde ),(T

jT

js

= snr noktalaryla belirlenen rtme (alias) snrnn z-

dzlemindeki karlnn doal olarak ),( = ile emberin merkezinden geen kesikli

gsterilen yatay eksen olduunu grmekteyiz.

Az nce konformal dnm olarak ),(=

aralnn yalnzca ),( =

lk ksmnakarlk gelen snrl bir aralnn dnm vurgulanmt. Bununla beraber rneklemefrekans ( Sf ) ve rnekleme periodu T uygun seilerek s-dzlemindeki daha farkl j

aralklar tespit edilebilir. Bu anlamda ok kk rnekleme period (( 0lim T ) deerleribelirlenerek s-dzlemindeki imajiner eksenin tamamna yaknn [ ),( ] z-dzlemine

dntrmek mmkn olurdu (ideal impuls fonksiyonuyla rnekleme; impuls genilii sfra

yakn). Konformal dnm olarak TjT eez s == dikkate alndnda 0=s noktasnn1=z , =s noktasnn ise 0=z olduunu grebiliriz.


39/78


39

Z Transformasyonu ve Ayrk-Zaman Fourier Transformasyonu

Vurguland gibi her iki transformasyona ait ifadeler aadaki gibi mercek altna alnrsa

1. )(][][ zFzkfzFk

k

==

=

Z Transformasyonu

2.

=

=

k

kjekfF

][)( Ayrk-zaman Fourier transformasyonu (DTFT)

ikisi arasndaki iliki bariz olarak gze arpmaktadr. Her ikiside ][kf gibi bir ayrk dizi

zerine kurulmu dizilerdir. Her ikiside ilgili ayrk dizinin ),( + aralndaki frekans

dnmn analiz etmektedir.

Her ikisininde )(zF ve )(F spektrumlar grld gibi sreklidir. Her ne kadarkullanmda ][zF gibi ayrk olarak verilsede aslnda Z transformasyonunun ifadesinden de

grld gibi )(zF olarak srekli formdadr. Bunlardan DTFT , Z transformasyonundakikz gibi daha genel bir hal yerine kje gibi daha zel bir durum zerine

kurulmutur( 0)( =+= js . Aralarndaki iliki Z transformasyonunun temeli olan

kompleks z dzleminden kaynaklanmaktadr. Bu yaklamla daha nce vurguland gibi

0,][ >= aekf ka gibi monoton artarak belirsizlie sebebiyet verebilecek iaretlerin

kullanmna imkan salanr. Kompleks z dzlemi (kompleks s frekans dzlemi gibi)

=

jerz

olarak gz nne alnrsa, r z dzlemindeki dairenin yarap, ise ember zerindekiradyan olarak ayrk asal hza karlk gelmektedir, DTFT ve Z arasndaki iliki aadaki

gibi kurulabilir. Balangta = jerz ifadesi )(zF de yerine yazlrsa,

)(

)(][][)(

=

=

=

== j

k

kj

k

k

erF

erkfzkfzF

=

=

k

kjkjerkferF

)][()(

elde edilen )( jerF ayrk-zaman Fourier transformasyonudur. Bunun tam DTFT olabilmesi

iin 1=r olmas gerektii aktr. Buna gre yeni ifade

)(

][)(

=

=

=

F

ekfeFk

kjj

eklinde tam istenen )(F ayrk-zaman Fourier transformasyonunu verecektir.


40/78


40

Buna gre )(F ayrk-zaman Fourier transformasyonu 1=r hali iin )(zF Z

transformasyonunun zel halidir. Buradan 1=r iin = jez alnrsa, Z transformasyonu,ayrk zaman Fourier transformasyonuna dnr.

1

0,1 |)(|)()( =

== == rj

r erFzFF veya

1

0 |)(|)()()( =

+=== r

jjerFeFzFF

Bunun dier bir anlam; ayrk-zaman Fourier transformasyonu z-kompleks dzleminin kkbir blgesi (yarap 1=r olan daireyle snrl) zerinde gz nne alnan bir analizyntemidir. Z Transformasyonu kompleks dzlemdeki z kompleks deikene bal

olduundan 1== rz olarak gz nne alnarak analiz edilebilir. Bu kabuln ndaki z-

kompleks dzlemdeki Z transformasyonun grnm aadaki gibi olacaktr.

Im

=j

ez

Birim daire z-Dzlemi

1

Re1

ekil 25 z-Dzlemi : Ayrk-zaman Fourier transformasyonu yorumu

Grld gibi z-dzleminde 1== rz alnmasyla oluan birim daire ayrk-zaman Fourier

transformasyonuna karlk gelmektedir. Dier bir deyile artk z kompleks dzleminintamam yerine, r yarap 1 olan ( 1=r ) bir daireyle snrl (evrili) blge zerindeki

analiz sz konusudur. Ayrk as daire zerindeki z noktas ( = jez ) ile reel eksenarasndaki aya karlk gelmektedir. Bu ekliyle Z transformasyonunun Fouriertransformasyonu (DTFT) gibi alt grlmektedir. ember zerindeki her bir k deeri

iin kjez = sz konusu olacandan toplam )2,0( aral zerindeki z noktas gz nne

alnacak demektir. Bu nedenle DTFT )2,0( periodik aralnda analiz edilmektedir. z

kompleks deiken karl olarak )2,0( aralndaki (periodundaki) sonsuz k noktas

),( +=k gz nne alndndan )(zF transformasyonu doal olarak srekli formdadr.

nk )2,0( uzunluundaki emberin tamam sz konusudur. Ayrk-zaman iaretlerin

analizlerinde bu yzden daima periodik )2,0( aral sz konusudur. nk grlebilecei

gibi birim daire zerinde )2,0( veya ),( + gibi veya en genel haliyle L,2,1,2 =nn

gibi 2 periodlu aralklar sz konusudur.


41/78


41

Z Transformasyonunun zellikleri

1. Duality

][][ zFkf

2. Lineerlik

][][ 11 zFkf ve ][][ 22 zFkf

][][][][ 22112211 zFczFckfckfc ++

3. Saa teleme (gecikme, delay)

][][ zFkf

][][][ zFkukf

[ ] km

kmm

zkfz

zFz

kumkf =

+1

1

][1

][][

Not : Grld gibi ][][ kumkf denklemi, [ ]kf olarak ( [ ]1f , [ ] L,2f ) tipindenceki durumlarla (balang koullar) ilgili ifadeler ierdiinden, ayrk sistemlerincevaplarnn bulunmas durumunda saa teleme zellii gz nne alnmaldr ve verilenayrk sistemin fark denklemi bu zellie gre oluturulmaldr.

4. Sola teleme (advance)

][][][ zFkukf

[ ] km

km

mmzkf

zzzFzkumkf

=

+1

0

1

][][][

Not : Grld gibi bu yaklamda ][][ kumkf + ifadesi, [ ]kf ( [ ]1f , [ ] L,2f ) tipindebalang ve nedensellik koullarn salamadndan, ayrk sistemlerin cevaplarnnbulunmas durumunda saa teleme zellii gz nne alnmamaktadr, dolaysyla verilenayrk sistemin fark denklemi bu zellie gre oluturulmamas nerilir.

5. Convolution

][][ 11 zFkf ve ][][ 22 zFkf

zaman convolution:][][][*][ 1121 zFzFkfkf

frekans convolution

duuu

z

FuFjkfkf1

1121 ][][2

1

][][


42/78


42

Lineer Zamanla Deimeyen Ayrk (LTID) Sistemin Cevab

LTID sistemin cevab aratrlrken sistemin bir kz exponensiyel ifadeye kar oluturduu

cevabn kzzH ][ olduunu bildiimize gre,

kk zzHz ][

dzzzFj

kf k

=1][

2

1][

Sistem k

dzzzYj

dzzzHzFj

kykk

zY

==11

][

][2

1][][

2

1][

43421

dzzzY

j

ky k

=1][

2

1][

][][][ zHzFzY =

Buradan sistem knn, sistem girii ve sistem transfer fonksiyonunun convolutionundanolutuu grlmektedir.

Lineer fark Denklemlerinin Z Transformasyonuyla zm

Sola veya saa teleme zelliindeki sabit katsayl linear zamanla deimeyen ayrk (LTID)

sistemlerin fark zmleri, srekli haldeki diferansiyel denklem zmlerine benzemektedir.Ayrk sistemin fark denklemleriyle ifade edilen ][ky cevabnn nce z-dnm yaplarak

zlmesiyle bulunan ][zY deeri son aamada tekrar invers z-dnmyle ][ky olarak elde

edilir.

rnek

Giri iareti ][)2(][ kukf k= ve balang koullar6

11]1[ =y ,

36

37]2[ =y olan LTID

sistemin verilen

][5]1[3][6]1[5]2[ kfkfkykyky ++=+++

fark denklemine gre cevabn bulun.

zm

nce verilen ][5]1[3][6]1[5]2[ kfkfkykyky ++=+++ denklemini 2= kk olacak

ekilde tekrar dzenleyerek tam bir fark denklem sistemi elde edelim.

]2[5]1[3]2[6]1[5][+=+

kfkfkykyky


43/78


43

Bu haldeyken z-dnmlerini yapalm.

][][][ zYkuky

6

11][

1]1[][

1][]1[ +=+ zYzyzYzkuky

36

37

6

11][

1]2[]1[

1][

1][]2[

22++=++

zzY

zyy

zzY

zkuky

Ayn ekilde giri iaretinin de z-dnm yaplr.

5.0][)5.0(][)2(][)2(][ 1

===

z

zkukukukf

kkk

5.0

10

5.0

1

]1[][1

][]1[

=+

=+

zz

z

z

fzF

z

kukf

)5.0(

100][

1]2[]1[

1][

1][]2[

22

=++=++zz

zFz

ffz

zFz

kukf

Giri iin casualitiden dolay balang koullar sfrdr :

0][]2[]1[ ==== nfff L

Buna gre giri iareti aadaki gibi olacaktr.

][1

][][ zFzkurkf r

Bundan sonra artk fark denkleminin z-dnm yazlr.

)5.0(

5

5.0

3

36

37

6

11][

16

6

11][

15][

2

+

=

+++

+

zzzzzY

zzY

zzY

veya

)5.0(

5

5.0

3113][

651 2 +=

+ zzzz

zYzz

)5.0(

5.105.93

)5.0(

53113][

651

2

2

+=

++

=

+

zz

zz

zz

z

zzY

zz

Her iki taraf 2z ile arplrsa


44/78


44

)5.0(

)5.105.93(][)65(

22

+=+

z

zzzzYzz

)65)(5.0(

)5.105.93(][

2

2

+

+=

zzz

zzzzY

3

)5/18(

2

)3/7(

5.0

)15/26(

)65)(5.0(

)5.105.93(][2

2

+

=

+

+=

zzzzzz

zz

z

zY

+

=

35

18

23

7

5.015

26][

z

z

z

z

z

zzY

Buradan ][zY knn invers Z transformasyonu alnrsa,

}35

1823

75.015

26{]}[{ 11

+

=

zz

zz

zzzY

][)3(5

18)2(

3

7)5.0(

15

26][ kuky kkk

+=

Sfr-Giri ve Sfr-Durum Bileenleri

Sistem toplam knn, sistem-sfr cevab ve sfr-durum cevaplarnn toplamndan

olutuunu biliyoruz. Sistem sfr girii ][kyzi ve sistem sfr durumu ][kyzs ise, sistem k][ky , ikisinin toplamna eit olacaktr. Sfr-giri cevab iin giri iareti sfr Kabul edilip,

balang koullar sz konusuyken, sfr-durum cevab iinse balang koullar gz nnealnmyor, system k o anki system girii ile belirlenmekteydi.

321321

][,0kosullaribaslangic0][,kosullaribaslangic

][][][kf

zs

kf

zi kykyky

==

+=

43421

43421 ][,0kosullaribaslangic0][,kosullaribaslangic

1

][*][][

kfkf

n

j

k

jj khkfcky

=

=

=

+=

k

nn

kkkn

j

k

jjzi ccccckyky ++++=== =

L3322111

0 ][][

k

nn

kkkccccky ++++= L3322110 ][

Bilindii gibi n ,,,, 321 L terimleri, sistemin z deerleri, ,k

n ise karekteristik mod veya

natural frekans dzelliindeki terimidir. Buna gore doal olarak ayrk sistemin z deerleri

reel, katl veya kompleks zellikte olabilecektir.


45/78


45

Ayrk sistemin farkl reel z deerleri

Karekteristik denklemin 0)( =Q olmas durumundaki

0)())()(()( 321==

nQ L

n ,,,, 321 L z deerlerinin farkl reel zellikte olduklar dnlrse sistemin bu andaki

cevab,

k

nn

kkkccccky ++++= L3322110 ][

rnek

Girii ][kx ve k ][ky olan ]2[5][16.0]1[6.0]2[ +=++ kxkykyky biimindeki lineer

zamandan bamsz ayrk bir sistemin cevabn 0]1[ =y ve 4/25]2[ =y balangkoullarna gre hesaplayn.

zm

Sistem giriinin olmad, cevabn balang koullaryla belirlenen cevab istenmektedir. Buyzden 0][ =kx alnrsa sistem,

0][16.0]1[6.0]2[ =++ kykyky

formunda deerlendirilmelidir. Buradan verilen fark denklemini (bir tr diferansiyeldenklem),

][ rkyEr +

operator dnmyle elde edelim.

016.06.0][16.0]1[6.0]2[ 2 ==++ EEkykyky

016.06.02 = EE karekteristik polinom

Buradan E olarak z deer dnm yaplrsa,

016.06.02 =

2.01 = , 8.02 =

Buradan sistemin cevab,

kk cccckykk )8.0()2.0(][ 2122110 +=+=

kkccky )8.0()2.0(][ 210 +=


46/78


46

Sistemin 21 ve cc sabitleri 0]1[ =y ve 4/25]2[ =y balang koullarndan elde edilebilir.

2121

210 25.158.02.0

)8.0()2.0(0]1[ 11 cccc

ccy +=+

=+==

025.15 21 =+ cc (1)

2121

22

21

210 5625.12564.004.0)8.0()2.0(

)8.0()2.0(4

25]2[ 22 cc

ccccccy +=+=+

=+==

4

255625.125 21 =+ cc (2)

(1) ve (2) den,

4

255625.125

025.15

21

21

=+

=+

cc

cc

2.01 =c , 8.02 =c

Bunlarn nda sistemin balang koullarndaki cevab aadaki gibi elde edilir.

kkky )8.0(8.0)2.0(2.0][0 +=

Ayrk sistemin katl z deerleri


0)())(()()( 211 == ++ nrrrQ L

n ,,,, 321 L z deerlerinden herhangi birinin (rnein 1) r katl zellikte olduklar

dnlrse sistemin bu andaki cevab,

knn

kr

kr

kr

krr cccckckckccky rr ++++++++= ++++

++LL 31111

132

23210 )(][

rnek

Girii ][kx ve k ][ky olan bir lineer zamandan bamsz ayrk sistemin 3/1]1[ =y ve

9/1]2[ =y balang koullarna gre 0][)96( 2 =++ kyEE ifadesinden cevabn

hesaplayn.

zm

Sistem giriinin olmad, 0][ =kx , cevabn balang koullaryla belirlendiini

gzlemlemekteyiz.


47/78


47

0][)96( 2 =++ kyEE


22

)3(096 +==++

321 ==


kkcckcckyk )3)(()(][ 212,1210 +=+=

kkccky )3)((][ 210 +=

Sistemin 21 ve cc sabitleri 3/1]1[ =y ve 9/1]2[ =y balang koullarndan elde

edilebilir.

3)3)((

3

1]1[ 21210

1

===

ccccy

121 = cc (1)

9

2

)3(

2)3)(2(

9

1]2[ 21

221

2102 cccc

ccy

=

===

12 21 = cc (2)

(1) ve (2) den,

12

1

21

21

=

=

cc

cc 41 =c , 32 =c


kkky )3)(34(][0 +=


48/78


48

Ayrk sistemin kompleks z deerleri


0)())()(()( 321==

nQ L

n ,,,, 321 L z deerlerinin grnmleri aadaki gibi olacaktr.

kje

1

= , kje 2

=

veya ;

kje

= ve kje * =

kjkkjkkjkkjkkk ececececccky

2121210 *)(][

+=+=+=

kjkkjkececky

210 ][

+=

21

je

cc = ve

21

je

cc

=

)cos(2

)(

2222

][

)()(

)()(0

+=+

=

+=+=

++

++

kcee

c

ec

ec

eec

eec

ky

kkjkj

k

kjkkjkkjkjkjkj

)cos(][0 += kckyk

rnek

Girii ][kx ve k ][ky olan bir lineer zamandan bamsz ayrk sistemin 2]1[ =y ve

1]2[ =y balang koullarna gre 0][)81.056.1( 2 =+ kyEE ifadesinden cevabnhesaplayn.

zm

Sistem giriinin olmad, 0][ =kx , cevabn balang koullaryla belirlendiini

gzlemlemekteyiz.

0][)81.056.1( 2 =+ kyEE



49/78


49

081.056.12 =+

j45.078.022,1 ==

69.02,12,1

jjee ===


)6

cos()9.0(][0 += kckyk

Sistemin 21 ve cc sabitleri 2]1[ =y ve 1]2[ =y balang koullarna balang

koullarndan elde edilebilir.

)6

cos(9.0

)6

cos()9.0(2]1[ 10 +=+== c

cy

8.1)6

cos( =+

c (1)

)3

cos(9.0

)6

2cos()9.0(1]2[20

2+=+==

ccy

81.0)3

cos( =+

c (2)

(1) ve (2) den,

81.0)3

cos(

8.1)6

cos(

=+

=+

c

c

34.2=c , 017.0 =


)17.06

cos()9.0(34.2][ 00 = kkyk


50/78


50

LTID Sistemlerin Sfr-Durum Cevab ve Transfer Fonksiyonu

Linear zamanla deimeyen ayrk (LTID) sistemlerin sfr-durum cevab ayn zamanda sistemtransfer fonksiyonunun elde edilmesini salar. nk sfr-durum cevab, sistemin aktif olarakgiri uyguland durum olduu iin, sistemin transfer fonksiyonundan sz edilebilir. Eer n

nci dereceden bir LTID system aadaki denklemle tanmlanyorsa

][)(][][ kfEPkyEQ =

veya

][)(][)( 011

1011

1 kfbEbEbEbkyaEaEaEn

n

n

n

n

n

n++++=++++

LL

veya,

][]1[]1[][][]1[]1[][

011

011

kfakfbnkfankfb

kyakyankyanky

nn

n

+++++++=

+++++++

L

L

Sfr-durum cevab, balang koullarnn olmad durumu varsayd iin az once yazlandenklem geerli olacaktr ve aadaki balang koullar sfr olacaktr.

0][]2[]1[ ==== nyyy L

Bununla beraber system girii casual olacandan, yani giriler sfrdan balayacandan

0][]2[]1[ ==== nfff L

Buna gore yukarda verilen fark denklemi nkk = durumuna gore tekrar dzenlenirse

][]1[]1[][

][]1[]1[][

011

011

nkfankfbkfakfb

nkyankyakyaky

nn

n

+++++=

+++++

L

L

nrrfry ,,2,1,0,0][][ L=== gz nne alndnda

Dualiti prensibinden

][][ zYky ve ][][ zFkf

Balang koullarnn sfr olmasndan dolay

][1

][][ zYz

kumkym

,,2,1,][1

][][ nmzFz

kumkfm

L=

Buna gore yukardaki fark denklemi dzenlenirse


51/78


51

][)(][)1( 02210

221 zF

z

b

z

b

z

bbzY

z

a

z

a

z

an

nn

nn

nn++++=++++

LL

Her iki taraf nz ile arplrsa

][)(][)( 011

1011

1 zFbzbzbzbzYazazazn

n

n

n

n

n

n++++=++++

LL

oluur. Buradan k

][][01

11

011

1 zFazazaz

bzbzbzbzY

n

n

n

n

n

n

n

++++

++++=

L

L

][][

][][ zF

zQ

zPzY =

Eer system transfer fonksiyonu olarak ][zH

][

][][

zQ

zPzH =

olarak tanmlanrsa, system k fonksiyonu ][zY

][][][ zFzHzY =

olarak elde edilir. Buradan system transfer fonksiyonu tekrar

Z[giris]

cevabi]durum-sifir[

][

][][

Z

zF

zYzH ==

][

][

][

][][

011

1

011

1

zQ

zP

azazaz

bzbzbzb

zF

zYzH

n

n

n

n

n

n

n=

++++

++++==

L

L

)())((

)())((][

21

21

n

n

n

pzpzpz

zzzzzzbzH

=

L

L

olarak yazlr. Son denklemdeki nzzz ,,, 21 L sistem transfer fonksiyonunun sfrlarn

(zeros), nppp ,,, 21 L ise sistem transfer fonksiyonunun kutuplarn (poles)

gstermektedir.


52/78


52

rnek

imdi ayrk durumdaki sistem iin Z transformasyonunu gz nne alarak sistem knn][kyzi ve ][kyzs bileenleri cinsinden ifadesini incelemeye alacaz. Az nce yukarda

zlen rnei dnrsek,

444 3444 2143421

terimigiristerimikosullaribaslangic

2 )5.0(

5

5.0

3113][

651

+

=

+

zzzzzY

zz

buradan,

4342143421


2 )5.0(

)53(113][

651

++

=

+

zz

z

zzY

zz

Her iki taraf 2z ile arplrsa

4342143421


2

5.0

)53()113(][)65(

++=+

z

zzzzzYzz

444 3444 2143421

cevabidurum-sifir

2

cevabigiris-sifir

2 )65)(5.0(

)53(

65

)113(][

+

++

+

=

zzz

zz

zz

zzzY

4444444 34444444 21444 3444 21

durum-sifirgiris-sifir

35

28

23

22

5.015

26

32

25][

+

+

=

z

z

z

z

z

z

z

z

z

zzY

][)5.0(15

26)3(

5

28)2(

3

22)3(2)2(5][

durum-sifirgiris-sifir

kukykkkkk

++=

44444 344444 2144 344 21

][])5.0(1526)3(

518)2(

37[][ kuky kkk ++=


53/78


53

rnek

Giri ][)2(][ kukf k= ve balang koullar sfr ise

][32.0]1[][16.0]1[]2[ kfkfkykyky++=++++

fark denklemiyle verilen sistemin ][ky kn hesaplayn

zm

Sistemin k srekli sistemdekine benzer olarak transfer fonksiyonuyla hesaplanacaktr.zm iin verilen denklem iki ekilde dzenlenebilir.

1. yol

][32.0]1[][16.0]1[]2[ kfkfkykyky ++=++++ denklemi 2= kk iin dzenlenirse

]2[32.0]1[]2[16.0]1[][ +=++ kfkfkykyky

balang koullar sfr kabul edilir ( [ ] [ ] [ ] 021 ==== myyy L ve[ ] [ ] [ ] 021 ==== mfff L . Buna gre

][][][ zYkuky

][1

]1[][1

][]1[ zYz

yzYz

kuky =+

][1

]2[]1[1

][1

][]2[22

zYz

yyz

zYz

kuky =++

Ayn ekilde giri iaretinin de z-dnm yaplr.

5.0][)5.0(][)2(][)2(][ 1

===

z

zkukukukf

kkk

5.0

1]1[][

1][]1[

=+

z

z

zfzF

zkukf

)5.0(

100][

1]2[]1[

1][

1][]2[

22

=++=++zz

zFz

ffz

zFz

kukf

fadeler ]2[32.0]1[]2[16.0]1[][ +=++ kfkfkykyky denkleminde yazlrsa,

[ ] [ ] [ ] [ ]zFz

zFz

zYz

zYz

zY22

132.0][

1116.0

1+=++


54/78


54

[ ] [ ]zFzz

zYzz

)32.01

()16.01

1(22

+=++

[ ] [ ]zFz

zzY

z

zz)

32.0()

16.0(

22

2+

=++

[ ][ ][ ] 16.0

32.02

++

+==

zz

z

zF

zYzH

2.yol

Verilen ][32.0]1[][16.0]1[]2[ kfkfkykyky ++=++++ sistem fark denkleminde

[ ] ][ mkxkxEm +=

gibi dnlrse, denklem aadaki gibi dzenlenir.

][)32.0(][)16.0( 2 kfEkyEE +=++

buradan transfer fonksiyonu,

16.0

32.0

][

][][

2++

+==

zz

z

zQ

zPzH

Elde edilir. Grld gibi her iki yol ile ayn transfer fonksiyonuna ulalmtr. Bu noktadanitibaren zm her ikisi iin yaplr. Buna gre giriin Z transformasyonu alnrsa,

][)5.0(][])2[(][)2(][ 1 kukukukf kkk ===

]}[)5.0{(]}[{ 11 kukf k=

5.0][

+=

z

zzF

Buradan sistem k,

)5.0)(16.0(

)32.0(][][][

2+++

+==

zzz

zzzHzFzY

5.0

2

8.0

3/8

2.0

3/2

)5.0)(8.0)(2.0(

)32.0(

)5.0)(16.0(

)32.0(][2

++

++

+=

+++

+=

+++

+=

zzz

zzz

z

zzz

z

z

zY


55/78


55

++

++

+=

5.02

8.03

8

2.03

2][

z

z

z

z

z

zzY

Buradan invers Z transformasyonu alnrsa,

}5.0

28.03

8

2.03

2{]}[{ 11

++

++

+=

z

z

z

z

z

zzY

ve sistem toplam cevab sonuta

][])5.0(2)8.0(3

8)2.0(

3

2[][ kuky kkk +=

olarak bulunur.

Ayrk Sistemlerin Kararll

Ayrk Lineer zamandan bamsz bir sistemin kararllnn belirlenmesindeki kriter, srekliformdaki sistemlerle zdetir. Ayrk sistemin sfr giri cevabnn yani balang koullarylabeliren cevabnn sonsuz zaman sonunda sfr olmas beklenir. Eer bu beklenti tam anlamylagerekleirse sistem tam kararl (asimtotik kararl), eer sistem cevab bu srenin sonunda nesfr oluyor ne de belli bir deerin zerinde seyretmiyorsa, sistemin marjinal kararl olduu,nihayet sistem monoton artan biimde seyrediyorsa da sistemin kararsz olduu kabul edilir.

0][lim 0 = kyk asimtotik kararl sistem

akykyk


56/78


56

kararl bir sistem iin sistemin z deerinin 1


57/78


57

rnek

Sistem transfer fonksiyonu

[ ][ ] )6.0)(06.02.0(

)45.0(][ 2 +

+

== zzz

zz

zF

zYzH

olan ayrk sistemin kararlln inceleyin.

zm

[ ][ ] )6.0)(4.0)(2.0(

)45.0(

)6.0)(06.02.0(

)45.0(][

2+

+=

+

+==

zzz

zz

zzz

zz

zF

zYzH

)6.0)(4.0)(2.0(

)45.0(][

+

+=

zzz

zzzH

Ayrk sistemin kutuplar, 2.0=z , 4.0=z ve 6.0=z olarak )1,1( birim emberin iinde

yer aldklarndan, ayrk sistem kararldr. Sistemin sfrlar ise 0=z ve 45.0=z

: kutup

: sfr

1 145.0 2.0 0.4 0.6

ekil 26 kararl ayrk sistemrnek

[ ] ]1[2.0]20.4y[]10.3y[]y[ +=+ kfkfkkk ayrk sistemin kararlln balangkoullarn sfr kabul ederek )(/)()( zFzYzH = sistem transfer fonksiyonu zerinden

inceleyin.

zm

][

1

][][ zXzkumkx m kuralndan aadaki aamalar elde edilir.


58/78


58

[ ] )(zYky = , [ ] )(1

1 zYz

ky = , [ ] )(1

22

zYz

ky =

[ ] )(zFkf = , [ ] )(1

1 zFz

kf =

[ ] ]1[2.0]20.4y[]10.3y[]y[ +=+ kfkfkkk

)(1

2.0)()(1

4.0)(1

3.0)(2

zFz

zFzYz

zYz

zY +=+

)()2.0

1()()4.03.0

1(2

zFz

zYzz

+=+

)()2.0

()()4.03.0

(2

2

zFz

zzY

z

zz +=

+

)8.0)(5.0(

2.0

4.03.0

2.0

)(

)()(

2+

+=

+

+==

zz

z

zz

z

zH

zYzH

Ayrk sistemin kutuplar, 5.0=z ve 8.0=z olarak )1,1( birim emberin iinde yer

aldklarndan, ayrk sistem kararldr. Bunun yansra sistemin sfr ise 2.0=z

: kutup

: sfr

1 18.0 2.0 0.5

ekil 27 kararl ayrk sistem


59/78


59

rnek

Aadaki fark ayrk sistemlerin fark denklemlerini zerek stabilitelerini gsteriniz.

a) ][2]1[]y[]12.5y[]2y[ kfkfkkk +=++++

b) ]2[3]1[2]2y[21.0]1y[-]y[ +=+ kfkfkkk

c) ]1[]1/2y[]1y[2/3]22y[]3y[ +=++++++ kfkkkk

d) ][)13(]y[)1-( 22 kfEkEE +=+

zm

Tm seenekler iin [ ] ][ mkxkxEm += yaklam kullanlarak zm maranr.

a) Fark denklemi

][)2(]y[)12.5( 2 kfEkEE =++

Karekteristik polinom )(Q

)12.5()( 2 ++= Q

Sfr-giri cevab balang koullarna gre hesaplanacandan, sistem normal girileri0][ =kf olacandan, karekteristik denklem

0)( =Q

ve

)2)(5.0(012.52 ++==++

Karekteristik kkler

2ve5.0 21 ==

Stabilite koullarna gre, karekteristik kklerden en az biri bile birim emberin dndaolduunda LTID sistem kararsz olacandan, burada da sistemimiz kararszdr. ekil (a).

b) ncelikle denklem biraz dzenlenir

2+= kk iin

][3]1[2]y[21.0]1y[-]2y[ kfkfkkk ++=+++

Fark denklemi


60/78


60

][)32(]y[)21.0( 2 kfEkEE +=+


)21.0()(2

+= Q


0)( =Q

ve

)7.0)(3.0(021.02 ==+

Karekteristik kkler

7.0ve3.0 21 ==

Stabilite koullarna gre, karekteristik kklerden her ikiside birim emberin iindeolduklarndan LTID sistemi kararldr. ekil (b).

c) Fark denklemi

][]y[)5.05.12( 23 kfEkEEE =+++


)5.05.12()( 23 +++= Q


0)( =Q

ve

)5.05.0)(5.05.0)(1(05.05.12 23 jjE ++++==+++

Karekteristik kkler

5.05.0ve5.05.0,1 321 jj +===

Stabilite koullarna gre, karekteristik kklerden biri birim ember zerindeyken, dierikiside birim emberin iinde olduklarndan, sistem snr deerlerinde yani ulatda(marginally) stabildir. ekil ( c ).


61/78


61

d) Fark denklemi

][)13(]y[)1-( 22 kfEkEE +=+

Karekteristik polinom )(Q 22 )1()( += Q


0)( =Q

ve

2222 )23

21()

23

21(0)1( jj +==+

karekteristik kkler

12

3

2

1ve

2

3

2

13

21

j

ejj

=+==

Stabilite koullarna gre, karekteristik kkler hem kendisini tekrarlayan hemde birim emberzerinde yer aldndan LTID sistem kararszdr. ekil (d).


62/78


62

Kompleks dzlem

-2 -0.5 1 -1 0.3 0.7 1

- a - - b -

Kompleks dzlem

4/3 3/ -0.5 1 -1 1

0.5

- c - - d -

ekil 28 Karekteristik kkler ve stabilite

Ayrk Zamandan Bamsz Sistemlerin Kararll

Girii [ ]nx ve sistem fonksiyonu olarak sistem impuls cevab [ ]nh olan lineer zamandanbamsz ayrk sistemin k [ ]ny k

[ ] [ ] [ ]

=

=k

knxkhny

byle bir sistemin kararl olabilmesi iin snrl bir girie, snrl bir kn elde edilmesigerekir. Eer giri snrlysa

[ ] Bnx <

kn da snrl olmas gerekir.


63/78


63

[ ]


64/78


64

S - Z DNM ve KONFORMAL TASFR

Kompleks deikenler teorisi zellikle elektrik mhendisliinde kullanm alan geni olan birteoridir. Buy blm itibariyle kompleks deikenler teorisinin bizim almamzla ilgiliolarak, konformal tasfir ksm ele alnacaktr. Bu amala konformal tasfir olarak bilineer

transformasyon yntemi ele alnarak, Laplace ve Z transformasyonlar arasndaki geilerincelenecektir. Bu nedenle konformal tasfirin genel bir tanm aada verilmitir.

Kompleks z deikeni jyxz += olmak zere )(zfw = dnm neticesinde

),(),()( yxjvyxuzf += olsun. Eer )(zf analitik ise, )(zfw = dnmnde, z-

dzleminde 0zz = noktasnda kesien iki eri arasndaki a ise, 0)( 0 zf olduu

srece, w-dzleminde )()( 0zfzf = noktasnda kesien iki grntnn arasndaki a olur.

Bu zellik, analitik fonksiyonlarn konform zellii olarak anlr ve bundan dolay )(zfw =

dnmne ou kez konform veya konformal (conformal transformation) dnm denir.

Konformal tasfirin bir ok uygulama alan olmakla beraber, bizim almamzda Laplace ve Ztransformasyonlarnn yer ald s ve z kompleks dzlemleri zerindeki katks aratrlacaktr.Yukardaki tanmndan da farkedilebilecei gibi, gibi konformal tasfirle bir dzlemdeki objeveya nesneye dair zellikler muhafaza edilerek dier dzleme aktarlmaktadr. Bunlar a vebiim gibi zellikler olabilmekteydi. s ve z dzlemleriyle ilgili olarak bu zellikler dahazellemi anmalmda genlik, faz ve stabilite olabilir. Konformal tasfirin zel hali olan buyaklamda bir sistem Laplace transformasyonundan Z transformasyonuna stabilite, genlik vefaz cevaplar muhafaza edilerek aktarlmaya/dntrlmeye allacaktr. s dzleminden zdzlemine olan dnm yaplrken de, konformal dnmn zel hali olarak bilineertransformasyondan yararlanlmaktadr. Aada bu yaklam genel hatlaryla ele alnarak,

aklayc rneklerle incelenmeye allmtr.

S - Z DNM: Konformal Dnm (conformal mapping)

u ana kadar Laplace ve Z transformasyonu temel zellikleri ve genel hatlaryla ele alnd.Blmn banda da belirtildii gibi, Laplace transformasyonunun srekli-zaman sistemleriiin sahip olduu zellikler, Z transformasyonunun ayrk-zaman sistemleri iin aynengeerliydi. Laplace srekli-zaman sistemlerin, Z ise ayrk-zaman sistemlerin genel gsterimve zelliklerini ieren transformasyonlard. Hatrlayacamz gibi kompleks frekans dzlemiLaplace iin

js +=

Z transformasyonu iinse Trnekleme periodu olmak zere T= ayrk asal frekansngz nne alnmasyla

+=

jez

biimindeydi. Bununla birlikte gerek Laplace gerekse Z transformasyonlar arasndaki ilikibelirgin biimde gze arpmaktadr. Z transformasyonu, s dzlemindeki imajiner

j ekseninin T=

biiminde T rnekleme perioduyla


65/78


65

Bunun sonucu olarak js = olmak zere s-dzlemi Tez s= olarak z kompleks dzlemine

dnmekteydi. Bu dnm bilineer transformasyon olarak bilinmektedir. Bilineertransformasyon aslnda konformal dnm veya konformal tasfir (conformal mapping)olarak bilinen yaklamn zel bir halidir. Konformal dnmn zel bir hali olan bilineer

transformasyon, s dzlemindeki )(sHa gibi bir srekli-zaman sisteminin z domenindeki)(zHd gibi ayrk-zaman sistemine dnmn salamaktadr.

j Im(z)

s Dzlemi rtme (alias) snr z - Dzlemi

T

TjT eez s ==

0 1 1 Re(z)1

== ),( T

2),( ==

ekil 29 Bilineer dnm : s dzleminin z dzlemine konformal tasfiri

ekil zerinde ak olarak gzlemlenebilen bu dnm veya tasfirle s dzlemindeki sisteminkararllk, genlik ve faz cevaplar aynen muhafaza edilmektedir. Konformal dnm olarakanlan bilineer transformasyon olarak kullanlan en popler yaklamlardan biri Tustinmetodu olarak bilinen yntemidir. Tustin metodu ile s dzlemindeki lineer zamandanbamsz srekli-zaman sisteminin )(sHa transfer fonksiyonu, z domenindeki lineer

zamandan bamsz ayrk-zaman sistemin )(zH transfer fonksiyonuna olan dnm,

konformal dnm ile elde edilir. Konformal dnm, js += dzleminde reel ksm

sfr alnarak ( 0= ), s dzleminin imajiner j ekseninin ( js = ), yarap 1=z olacak

ekilde z dzlemindeki birim daireye dntrlmesiyle salanr.

s dzleminden z dzlemine olan konformal dnmde, stabilite korunarak s dzlemindekiher noktann z dzleminde karlklar olduu dnlr. Bu anlamda s dzlemindeki )(sHa

sisteminin her noktasnn z dzlemindeki )(zH sisteminin noktalarna karlk gelmektedir.

Bu anlamda )(sHa sisteminin (transfer fonksiyonunun veya frekans cevabnn) kazan

(genlik) ve faz gibi zellikleri z dzlemindeki )(zH iin zde kabul edilir. Konformal

dnm amacyla kullanlan Tustin metodu aadaki gibi ifade edilmektedir. js = iin

Tez

s= veya z

Ts ln

1=


66/78


66

2/1

2/12/s

2/ss

sT

sT

e

eez

T

TT

+==

Invers Tustin bants olarak zT

s ln1

= gz nne alnrsa,

1

1

753

1

12

1

12

1

1

7

1

1

1

5

1

1

1

3

1

1

12ln

1

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

==

z

z

T

z

z

T

z

z

z

z

z

z

z

z

Tz

Ts L

112+

=zz

Ts olarak elde edilen transformasyona bilineer transformasyon denilmektedir. Elde

edilenleri toparlarsak, s dzleminden z dzlemine olan Tustin metodu

2/1

2/1

sT

sTz

+ veya

sT

sTz

+

2

2

z dzleminden s dzlemine olan invers Tustin metodu ise

1

12

+

z

z

T

s

Her iki bantda, rtme sorununun olmad kabule gore gelitirilmitir. rnein eer sdzlemindeki srekli-zaman sisteminin frekans cevab (transfer fonksiyonu) olan )(sHa , z

dzlemindeki ayrk-zaman sistemin )(zH transfer fonksiyonuna tasfir edilecekse

(dntrlecekse)

+

==

+

= 1

12|)()(

1

12z

z

THsHzH

z

z

TS

a

Veya bunun tersi olarak z dzlemindeki ayrk-zaman sisteminin frekans cevab (transfer

fonksiyonu) olan )(zH , s dzlemindeki srekli-zaman sistemin )(sHa transfer fonksiyonuna

tasfir edilecekse (dntrlecekse) bu kez de

+==

+= 2/1

2/1|)()(

2/s1

2/s1sT

sTHzHsH

T

Tz

a

ifadesi sz konusu olacaktr. Uygulamada daha ziyade analog (srekli-zaman) filtre belli ikenbunun saysal zellikteki karlnn bulunmas istenir. Bunun iin konformal dnmzelliine ihtiya duyulur. Eer srekli-zaman filtre sisteminin s domenindeki karl sistemtransfer fonksiyonu veya frekans cevab olarak )(sH biiminde belli ise, ayn filtrenin saysal

zellikteki ayrk-zaman filtre karlnn z domeninde )(zH sistem transfer fonksiyonu


67/78


67

olarak elde edilmesi mmkndr. Bu amala konformal dnm salayan Tustinmetotlarndan biri kullanlabilir. rnein srekli-zaman sistemi olarak ifade edilebilecek biralak geiren RC filtresini ele alalm. Bu filtrenin transfer fonksiyonunun s domenikarlnn aadaki gibi olduunu kabul edelim.

sRC

sCR

sCsHa+

=

+

=1

11

1

)(

Eer analog zellikteki bu filtreyi saysal (dijital) olarak gereklemek istiyorsak, sdomeninden z domenine olan zs konformal dnmn temin etmemiz gerekiyor. Bukonformal tasfirin sonucu olarak )(sH analog filtre, )(zH ayrk (dijital) filtreye dnecektir

[ )()( zHsH ]. Analog-Dijital alak geiren RC filtre dnm konformal dnm olarak

aada gsterilmitir.

)1

22

(

1

)22

()1(

)1(

22

)1(

)1(

)1(2)1(1

)1(

)1(21

1

1

121

1

1

1

1

12|)()(

1

12

++

+=

++

+=

++

+=

+

++=

+

+

=

+

+

=+

=

+

==

+

=

T

RC

T

RCz

z

z

T

RC

T

RCzTzT

zT

RCRCzTTz

zT

zT

zRCzT

z

zRC

TRC

z

z

T

sRCz

z

THsHzH a

z

z

TS

a

Konformal dnm yaplarak srekli-zamansRC

sHa+

=1

1)( alak geiren RC filtrenin

ayrk-zaman karl olan dijital)1

22(

1)(

++

+=

T

RC

T

RCzz

zzH alak geiren RC filtresi

elde edilmitir. Elde edilen )(zH dijital filtrenin j olacak biimde frekans cevabn

istiyorsak, elde edilen )(zH ifadesinde

TjTS

eez

==

yazlmas yeterli olacaktr.

)122

(

1)(

++

+=

T

RC

T

RCze

eeH

Tj

TjTj

Bununla z dzlemindeki birim daire iindeki her bir nokta TjTS eez == ile, s dzlemindekij imajiner eksenine dntrlmektedir. jz dnm iin daha genel anlamda

Tjezz

z

TS

azz

THsHzH

112|)()( a

1

12

=+

=

+==


68/78


68

ifadesi dnlmelidir. Bu ifadeyi z dzlemindeki dntrlecek d frekanslarn gstermek

zere Tj dez = olarak gz nne alrsak,

)(

2tan

2

2

1

12

1

12|)()()(

2

2

2

2

1

12

aa

da

TjTj

TjTj

aTj

Tj

a

ez

a

z

z

TS

a

Tj

jH

T

TjH

ee

ee

T

H

e

e

T

H

z

z

T

HsHeHzHdd

dd

d

d

Tdj

d

=

=

+

=

+

=

+

===

=+

=

=

2tan

2 T

T da

Bunun anlam z domeninde (frekans olarak, d ) her bir noktaTj dez

= , s domenindeki

imajiner eksen zerindeki ajs = noktasna dnmektedir. majiner eksen zerindeki sz

konusu bu deeri invers alarakda grebiliriz.

=

2arctan

2 T

T ad

Bunun anlam, Tj dez = dzleminde d frekansyla salanan zellik, konformal dnm

vastasyla ajs = dzleminde a frekansyla salanmaktadr. Bu yolla bata stabilite kriteri

her iki domen iin korunurken, buna ek olarak her iki domende genlik cevab (2/T) ve fazcevab (T/2) olarak ayn zellikler elde edilirken, bunlarn a ve d gibi farkl frekanslarda

elde edildii grlmektedir.

Burada Tjez = ile z dzlemindeki ayrk sisteme ait d frekans s dzlemindeki a

noktasna dntrldnden, ayrk sistemin frekansnn


69/78


69

Ayrk Sistemlerin Frekans Cevaplar

Daha nceki srekli-zaman sistemlerinden biliyoruz ki frekans cevab girii sinusoid olan (zdeer fonksiyonu) bir sistemin verdii cevapt. Burada da ayn ilke benimsenecektir.Giriindeki sinusoid ayrk iarete sistemin cevab, ayrk frekans cevab olarak anlacaktr.

][kGp

][kx ][ky

ekil 30 Ayrk frekans cevab : sinusoidal girie sistemin cevab

Buna gre giri ve klar kTXkx sin][ = ve k ise ]cos[][ += kTYky formundadr.

Bylece ayrk sinusoidal bir girie karn ayrk kta hem genlik hemde faz olarak deiimolabilecei grlmektedir.

Deiikliklerin frekansa bal olarak analizi sistemlerin davran ve de zellikle filtrekarekteristikleri hakknda nemli bilgi vermektedir. Dolaysyla burada bu deiikliklerisalayan parametreleri ieriinde bulunduran ayrk transfer fonksiyonunu elde ederek iebalamamz gerekiyor. Daha nceden kararl bir sistemin z deer fonksiyonu zelliindeki

sinusoidal tje giriine sistemin cevabnn tjejH )( olduunu biliyoruz.

tjtj ejHe)(

Buna gre giri rnein sinusoidal olarak tcos olmas durumunda buna sistemin cevab

tjHt cos)(cos

gibi olacaktr. Bunu )( jY cevab (k) olarak dzenlersek

))(cos()()( jHtjHjY +=

eklinde de ifade edebiliriz. imdi benzer yaklam ayrk durum iin ele alacaz. Bu kez

kt =

olmak zere ayrk kje giriine sistemin cevab kjkj eeH ][ olacaktr.

kjkjejHe

][

Eer giriin sinusoidal olarak kcos olmas durumunda buna sistemin cevab

keHk kj cos][cos

gibi olacaktr. Bunu ][ jY cevab (k) olarak dzenlersek

][cos[][][

kjkj

eHkeHjY

+=


70/78


70

eklinde de ifade edebiliriz. Bunun byle olduunu alternatif dier bir ayrk yaklamdanyararlanabiliriz. Bunun iin ayrk sinusoid iareti gstermek zere kz kullanlmaktadr. Buna

gre sinusoid ayrk kz girii iin sistemin buna cevab ][zH

kk

zzHz ][

Burada = jez olarak kabul edilirse

kjkjkj eeHe ][ kjkjkj eeHe][

Bu iki terimi alt alta topladmz zaman sol tarafta Euler denkleminden gelen kcos terimioluacaktr.

kjkjkjkjkjkj eeHeeHee ][][ ++ ( )kjkjkjkjkjkj eeHeeHeeHk ][Re2][][cos2 =+

][ ][][kjeHjkjkj

eeHeH

=

Buradan

( )][cos][cos kjkj eHkeHk +

Buradan grmekteyiz ki sinusoidal ayrk kcos giriine sistemin ][ky ayrk cevab

( )][cos][][ kjkj eHkeHky +=

olurdu. Elde edilen bu cevap ayn zamanda sistemin nedensel sinusoidal girilere olansteady-state cevab olarak kabul edilir. Eer giri )cos( +k gibi bir iaret olsayd bu kez

k,

( )][cos][][ kjkj eHkeHky ++=

olurdu. Grld gibi ( )][cos][][ kjkj eHkeHky += cevabn gz nne alrsak,

k

cos eklindeki

frekansl ayrk girie sistemin cevab yine ayn frekansl biimindeolumaktadr. Dier bir deyile, cevap ifadesi irdelendiinde, ayrk sistemin frekanscevabnn, aynen srekli sistemlerde olduu gibi giri iaretiyle ayn frekansta ama giriten

farkl genlik v

Documents

Z transformasyonu