Декартова система координат в пространстве и

на плоскости. Полярная система

координат на плоскости.Прямая на плоскости.

Кривые второго порядка

Опр.: Упорядоченные координатные оси, не лежащие в одной плоскости и имеющую одну общую точку, называются косоугольной системой координат в пространстве.

Если координатные оси взаимно перпендикулярны, то косоугольную систему координат называют прямоугольной системой координат Декарта в пространстве и обозначают хуz.

Опр.: Множество упорядоченных троек чисел в избранной системе координат называется трехмерным пространством.

z z1

P(х1; у1; z1)

у1 у

х1

х

Элементы системы координат:

координатные плоскости Оху, Оуz, Охz;

оси координат: Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат; Оz – ось аппликат.

Точка О – начало координат;

упорядоченная тройка чисел (х; у; z) – координаты произвольной точки Р.

у у1 Р(х1; у1)

0 х1 х

Частным случаем является система координат на плоскости, например координатная плоскость Оху.

у

Р (х1; у1)

r

φ 0 А х

Точка на плоскости может быть задана полярной системой координат, при этом положение точки Р описывается углом поворота положительной полуоси Ох против часовой стрелки до положения луча ОР и расстоянием точки Р от начала координат.

sin

cos

;

1

1

1

1

21

21

y

rх

и

х

yаrctg

ухr

;

ˆ

rР

ОРr

РОА

Из Δ АРО, где , имеем:090А

Примеры1) Задать точку плоскости А (-1; 1) в полярных

координатах.

Решение. r=

Таким образом А

2) Задать точку плоскости В (0,5; π/4) в декартовых координатах.

Решение.

х1=0,5cosπ/6 =0,5

у1=0,5sin π/6= 0,5·1/2 .

Таким образом В (0,25 ; 0,25)

41)1(

,21)1( 22

аrctgаrctg)4

;2(

325,02

3

3

Прямые на плоскостиПрямая на координатной плоскости может быть

получена в результате пересечения произвольной плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 и координатной плоскости.

Составим уравнение прямой, принадлежащей, например, плоскости хОу. Эта прямая определяется системой двух уравнений:

0

0

0

0

z

DВуАхили

z

DСzВуАх

Таким образом Ах + Ву + С = 0 (*) – общее уравнение прямой на координатной плоскости, причем (А; В) является нормальным вектором этой прямой.

n L

Опр.: геометрическое место точек, удовлетворяющее уравнению (*), называется прямой. у

b - уравнение прямой в отрезках на осях

а

0 L у

L - уравнение прямой,

М1(х1;у1) М2(х2;у2) проходящей через две точки

n

1: в

у

а

хl

12

1

12

1:уу

уу

хх

ххl

у

L

b

φ

0 х

L: у= kх+b, где k= tgφ – уравнение прямой с угловым коэффициентом;

L: у – у1= k (х – х1) – уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через т. М (х1; у1).

Угол между прямымиПусть прямые заданы уравнением

А1х + В1у + С1 =0 и А2х + В2у + С2 =0

Угол между этими прямыми найдем из формулы:

Если прямые заданы уравнением с угловыми коэффициентами, то угол между ними находим по формуле:

21

12

1 kk

kktg

22

22

21

21

2121

ВАВА

ВВААcоо

y L2

L1

0 х

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

L1||L2, если или k1=k2

2

1

2

1

В

В

А

А

L1 L2, если А1А2= -В1В2 или k1k2= -1

φ

Примеры1. Определить острый угол между прямыми у = 3х + 1 и у = -2х – 5. Решение. Полагая k1= 3 и k2= -2 и применяя формулу (1), получимtg = -2–3/1+(-2)3= -5/-5= 1, т.е. = /4= 0,785 рад.

2. Показать, что прямые 7х + 3у – 5 = 0 и 14х + 6у + 1 = 0 параллельны. Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем:

у= -7/3х+5/3 и у= -7/3х+1/14.Угловые коэффициенты этих прямых равны: k1= k2= -7/3, т. е. прямые параллеьны.

3. Даны вершины треугольника А (-5; 0), В (-3; -2) и С (-7; 6). Найти уравнения высот треугольника AD, BN и CM.

Решение. По формуле (4) найдем угловой коэффициент стороны ВС:kВС= 6+2/-7–(-3)= 8/-4= -2.В силу перпендикулярности прямых AD и BC kAD= -1/kВС, т. е. kAD= ½.Уравнение высоты, проведенной из вершины А будет иметь вид:у–0= ½(х+5) или х–2у+5= 0.

Линии второго Линии второго порядка на порядка на плоскостиплоскости

Линии второго порядка на плоскости.Линии второго порядка на плоскости.

• Общее уравнение линии второго порядка на плоскости:

• а11х2 + а22у2 + 2а12ху + а10х + а20у + а00 = 0, где а2

11 + а2

12 + а222 ≠ 0, т. е. хотя бы одно из чисел

а11,а12,а22 не равно нулю.

• Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Каноническое уравнение окружности с центром в точке М(х0;у0) и радиусом R.

Уравнение окружности с центром в начале координат

• Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

220

20 )()( Ryyxx

222 Ryx

- фокальное расстояние- фокальное расстояние, тогда фокусы будут

иметь следующие координаты: и

r1 + r2 = 2а (const); a>c.

cFF 221 )0;(1 cF )0;(2 cF

Выразим r1 = , r2 = , тогда

аналитическое уравнение эллипса примет вид:

Обозначив , получим каноническое уравнение эллипса:

22)( ycx 22)( ycx

22)( ycx aycx 2)( 22

222 bca

12

2

2

2

b

y

a

x

Свойства эллипсаСвойства эллипса1. Эллипс – ограниченная кривая второго порядка.2. Эллипс имеет вертикальную и горизонтальную оси

симметрии, а так же центр симметрии.

А1 А2 - большая ось (ОА1 - полуось), В1 В2 – малая ось (ОВ1 - полуось).

3. А1, А2, В1, В2 - вершины эллипса, причем4. - называется эксцентриситетом эллипса,

,т.е. 0< <1; - характеризует: “вытянутость эллипса, т.е. отклонение

от окружности”.

=1, значит x2+y2 = a2, где а – радиус окружности

аОАвОВ 11 ,

a

c

2

2

1a

b

5. Прямые называются директрисами

(направляющими)

т.о. имеем: , где d1=

Пример:

Дан эллипс найти полуоси, эксцентриситет,

уравнения директрис.

a

x

2

2

1

1

d

r

d

r221 , MNdMN

2525 22 yx

итетэксцентрис

ваотyx

yx

5

62

25

24

5

11

.1,5_..,1125

,2525

2

2

2222

._62

25

5/62

5директрисуравненияx

ГиперболаГипербола

Определение: Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

тогда фокусы будут иметь координаты F1(-c;0) и

F2(c;0).

,221 cFF

.);(221 caconstarr

Выразим r1 = , r2 = , тогда

аналитическое уравнение гиперболы примет вид:

Обозначив , получим каноническое уравнение гиперболы:

22)( ycx 22)( ycx

aycxycx 2)()( 2222

12

2

2

2

b

y

a

x

222 bca

Свойства гиперболыСвойства гиперболы1. Гипербола – неограниченная кривая второго порядка.2. Гипербола обладает центральной симметрией.

3. А1, А2 – действительные вершины гиперболы; ось 2а – действительная, 2b – мнимая.

4. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

5. Гипербола имеет две асимптоты:

6. Эксцентриситет гиперболы:

причем

7. Прямые - называется директрисами гиперболы

причем

хa

вy

1_..,12

2

ета

в

,а

с

а

х

2

2

1

1

d

r

d

r

Примеры: Дана гипербола 16х2 – 9у2 = 144, найти: полуоси а и b; фокусы; эксцентриситет; уравнения асимптот; уравнения директрис.

16х2 – 9у2 = 144

1.

2.

3.

4.

5.

4;31169

1144

9

144

16 2222

bayxyx

)0;5(__)0;5(;525 21222 FиFcccab

3

5

a

c

xyxa

by

3

4

5

9

3/5

3 x

ax

ПараболаПарабола

Определение: параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки плоскости(фокус F) и фиксированной прямой (директриса d).

d – директриса параболы.

MFMBпараболыпараметрpFА ;_

параболыфокусp

F _)0;2(

Выразим тогда

аналитическое уравнение параболыаналитическое уравнение параболы примет вид:

таким образом получим каноническое уравнение параболыканоническое уравнение параболы:

,)2

(,2

22 yp

xMFp

xMB

222 )2

()2

( yp

xp

x

pxy 22 pyx 22 или

Свойства параболыСвойства параболы1. Парабола – неограниченная кривая второго порядка,

расположенная в правой или верхней полуплоскости .

2. Парабола имеет одну ось симметрии – ось абсцисс или ось ординат.

Пример: Установить, что уравнение у2 = 4х – 8 определяет параболу, и найти координаты ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы.

у2 = 4х – 8

Представим уравнение в каноническом виде: у2 = 4(х - 2)

вершина параболы смещена вдоль оси ОХ вправо на две единицы.

1. А(2;0) – координаты вершины параболы.

2. 2р = 4 р = 2 – параметр параболы.

3. - уравнение директрисы параболы.

12

xp

x