Zadatak 3-kompletiran

Betonske konstrukcije II – primjeri Zlatar/Madžarević/Medić

Vježbe 3

Skica – podužni & poprečni presjek, statički sistem

1. Proračun presječnih sila

1.1 Momenti savijanja

2

max g

2

max q

30 5M = = 93.75 kNm

8

40 5M = =125 kNm

8

1.2 Transverzalne sile

max g

max q

V = 30 2.5 = 75 kN

V = 40 2.5 =100 kN

2. Dimenzioniranje grede

2.1 Dimenzioniranje na savijanje

2cd

2yd

20C20/25 f = 0.85 =11.33 N/mm

1.5500

B500S f = = 435 N/mm1.15

Eds Ed

EdsEds f2 2

f cd

2cds1 f

yd

M = M =1.35 93.75 +1.50 125 = 314.06 kNm

M 314.06 100= = = 0.082 = 0.107, x = 0.107 41= 4.38 cm < h =10 cm

b d f 200 41 1.133

= 0.0836

f 1.133A = b d = 0.0836 200 41 =17.85 cm

f 43.5


Minimalna podužna armatura

42z

s,min ctm stv s2 2dole yd

I 1 kN 480476.4 cm 1A = f = 0.22 =1.62 cm A

y z f cm 37.85 cm 0.9 44 43.5kN/cm

Skica armature.

2.2 Dimenzioniranje na poprečne sile

d,AV =1.35 75 +1.50 100 = 251.25 kN

Redukcija:

Ed,A

cV = 251.25 - 0.10 +0.44 1.35 30 +1.50 40 =196.98 kN x = + d

3

Granična vrijednost nagiba pritisnute dijagonale Sila trenja u pukotini (doprinos betona nosivosti na poprečnu silu)

1 1

1/3 cdRd,c ct ck w ct cd

cd

1/3Rd,c ck w

23Rd,c

V = 0.10 f 1+1.2 b z =1.0, = 2.4, = 0f

V = 0.2 4f b z

V = 0.24 20 MN/m 0.20 m 0.9 0.44 m = 0.0515 MN = 51.5 kN

Usvojeno: B500S 6Ø20

2stv sA =18.85 cm


15

Napomena:

Mogli smo z uzeti tačno: z

= = 0.956 z = 0.956 44 = 42 cmd

(važno iznad unutrašnjih oslonaca gdje je z < 0.9 d)

Rd,c

Ed

3.0 =18.5°1.2 1.20.58 cot = =1.51

V 51.5 0.58 = 60° 1-1-251.25V

Komentar:

Rd,c Ed

1.2cot =

1- V /V je najmanji dozvoljeni nagib pritisnute dijagonale prema DIN 1045-1. Na

manji nagib se ne ide jer bi uvjeti kompatibilnosti bili jako poremećeni. Naime, teorija plastičnosti (prema statičkoj teoremi) izostavlja uvjete kompatibilnosti u svom razmatranju, a da bi ih približno ispoštovali (u smislu ograničenja širine i razmaka naprslina) moramo se pridržavati zadatih granica. U slučaju da je Rd,c EdV > V za cot dobijamo broj manji od 0 pa usvajamo cot = 3.0.

Formula za cotθ Poprečnu silu preuzimaju armatura sV i beton Rd,cV (truss model with crack friction):

Rd Rd,sw Rd,cV = V + V

Armatura vilica nosi na presjeku gdje je presjeca kosa prslina:

swRd,sw yw r

w

AV = f z cot nagib risa - prsline

s

Potrebna armatura prema modelu rešetke (classical Mörsch analogy) određuje se iz:

swRd yw Ed

w

AV = f z cot = V

s

Izjednačavanjem ova dva izraza:

Ed

Ed

sw swyw yw r Rd,c

w w

V

swEd yw r Rd,c

w

V

Ed Rd,c Ed r

Ed r r

Rd,cEd Rd,c

Ed

A Af z cot = f z cot + V / cot

s s

AV cot = f z cot cot + V cot

s

V - V cot = V cot

V cot cotcot = =

VV - V1-

V


16

Za rcot pretpostavljamo: r rcot =1.2 tj. 40°

r

r

cot cot

tj. nagib dijagonale je manji od nagiba prsline

Dakle, potrebna armatura se izračunava prema:

← sa sekundarnim efektima

a ne prema

* sw Edsw

w yw r

A Va = =

s f z cot

Pošto je rcot cot , *

sw swa a .

2.2.1 Otpornost betonskih dijagonali, VRd,max

Rd,max c cd w

2Rd,max

Rd,max d,A

1V = f b z

tan +cot1

V = 0.75 11.33 MN/m 0.20 0.9 0.44 = 0.309 MN 1

+1.511.51

V = 309 kN> V = 251.25 kN

Odnos sile mjerodavne za određivanje poprečne armature i otpornosti dijagonale:

Ed,A

Rd,max

Ed,A Rd,max

V 196.8= = 0.64

V 309

V 0.64 V

- relevantno za podužni i poprečni razmak vilica

Tabela: dozvoljeni razmaci poprečne armature.

Poprečna sila Podužni razmak

sw

Poprečni razmaksw

'

Ed,A Rd,maxV 0.30 V 0.7 h ili 300 mm h ili 800 mm

Rd,max Ed,A Rd,max 0.30 V V 0.60 V 0.5 h ili 300 mm h ili 600 mm

Ed,A Rd,maxV 0.60 V 0.25 h ili 200 mm h ili 600 mm

Rd,c

Ed

1.2cot =

V1-

V

sw Ed

sww yw

A Va = =

s f z cot


2.2.2 Poprečna armatura

/

2sw Edpot sw 2

w yw

A V 196.98 kNa = = = = 7.57 cm m

s f z cot 43.5 kN/cm 0.396 m 1.51

z = 0.9 0.44 = 0.396 m

Minimalna poprečna armatura:

/ 2sw,min w w

0.70 100 cma = b sin = 20 cm =1.4 cm m

1000 1 m

Usvojeno: dvosječna vilica

Stepenovanje armature sa: Ø 8/20, stvasw = 5.03 cm2/m > asw,min = 1.4 cm2/m Nosivost armature Ø 8/12.5 (asw = 8.04 cm2/m):

2

Rd sw yd 2

cm kNV = a f z cot = 8.04 43.5 0.396 m 1.51= 209.1 kN

m cm

Ø 8/20 (asw = 5.03 cm2/m):

2

Rd 2

cm kNV = 5.03 43.5 0.396 m 1.51=130.8 kN

m cm

Nosivost Ø 8/20 – udaljenost od nul – tačke na dijagramu transverzalnih sila.

250

x = 130.8 130 cm251.25

Skica Raspored poprečne armature u podužnom presjeku.

B 500 S Ø 8/12.5 stvasw = 8.04 cm2/m


18

Tabela Potrebna površina armature, veličina pomjeranja i zatezanje nad osloncem.

nagib vilica: 90 povijena šipka: 45 poprečna armatura: asw

sdΔF la sdΔF la 90 45

18.5° 1.50 VEd 1.50 z 1.0 VEd 1.0 z 0.334 c 0.35 c 30° 0.86 VEd 0.86 z 0.36 VEd 0.36 z 0.577 c 0.517 c

39.8° 0.60 VEd 0.60 z 0.10 VEd 0.10 z 0.833 c 0.642 c 45° 0.50 VEd 0.50 z - - 1.0 c 0.707 c

Ed

swyd

V 1 1a = = c

f z sin cot +cot sin cot +cot

sw= 45° - konzervativna pretpostavka po pitanju a

Površina poprečnog presjeka dodatne podužne armature (veličina pomjeranja)

Sila zatezanja nad osloncem: Edsd Ed Ed,A

VF = cot - cot , V = C (reakcija, bez redukcije)

2

Veličina pomjenranja: l

za = cot - cot

2

Podužna armatura se raspoređuje prema dijagramu zatežućih sila. Razlikuju se /EdsM z i

sdF dijagram. sdF dijagram se konstruira tako da se sila zatezanja /EdsM z poveća za

veličinu sdF ili se svaka ordinata /EdsM z dijagrama pomjeri u pravcu nultih tačaka /EdsM z

linije za veličinu pomjeranja la .

Edsd

l

2sds,pot

yd

V 251.25F = cot = 1.51=189.7 kN

2 2z 0.9 0.44

a = cot = 1.51= 0.29 m2 2

F 189.7A = = = 4.36 cm

f 43.5

Napomena: Minimalno 1/3 armature polja se vodi do krajnjeg oslonca, odnosno 1/4 armature polja do srednjeg oslonca. Odabrano: do oslonca vodimo 4Ø20, As,stv = 12.56 cm2. Osnovna dužina sidrenja lb (data tabelarno):

yd 2sb bd

bd

b

fdl = , C20/25 : f = 2.3 N/mm (dobar spoj)

4 f

2.0 435l = = 94.56 cm

4 2.3


19

Potrebna dužina sidrenja lb,net:

a b ss,potb,net a b b,min

b ss,stv

0.3 l 10d - za zategnute štapoveAl = l l =

0.6 l 10d - za pritisnute štapove A

a =1.0 sidrenje sa pravim krajem

a = 0.7 sidrenje sa kukom

a = 0.7 sidrenje sa kukom i zavarenom poprečnom šipkom

U slučaju direktnog oslanjanja:

s,potb,dir a b

s,stv

b,dir

A2 2l = l ( na račun poprečnog pritiska)

3 A 3

2 4.67l = 1.0 94.56 = 23.43 cm

3 12.56

Usvojeno (sidrenje armature nad osloncem):

Napomena : Proračun smo mogli izvršiti i za = 40° ili = 45° (za domaću zadaću). Napomena: U primjeru smo odredili min i na osnovu njega usvojili poprečnu armaturu koja je veća od potrebne. Možemo stoga napraviti korekciju i dobiti:

s,potred

s,stv

a 7.57cot = cot =1.51 =1.42

a 8.04

Ovo je povoljnije obzirom na nosivost pritisnute dijagonale, sidrenje podužne armature i veličinu pomjeranja (mada se u razmatranom primjeru ne dobija nikakva bitna razlika). Napomena: Približna kontrola ugiba (ograničenje deformacija)

i

2 2i

pot stv

l 500= =11.36 << 35

d 44

l 5= = 0.166 m = d << d = 0.44 m

150 150

b,dirl = 25 cm


Vođenje podužne armature Nacrtajmo dijagram zatežućih sila, pa ga proširimo za veličinu pomjeranja al.

Zatim naznačimo silu koju treba ankerovati nad osloncem kao i nosivost odabranih šipki.

Ako se 2 šipke sidre u polju, onda pokrivanje dijagrama sila zatezanja izgleda kao na donjoj skici.


21

Potrebna dužina sidrenja

s,potb,net a b b,min

s,stv

Al = l l

A

Ako je više šipki, / yd yk sf = f se ne dostiže. Pošto je napon spoja isti, možemo smanjiti

dužinu sidrenju u odnosu na osnovnu. Osnovna dužina sidrenja a =1.0 : bl = 94.56 cm

sidri se u polju /s,pot s,stvA A

b,netl

20 % 0.80 0.80 bl

50 % 0.50 0.50 bl

70 % 0.30 0.30 b sl 10d

U primjeru, 2 šipke se sidre u polju, 4 vode do oslonca. Dakle, potrebna dužina sidrenja šipki koje završavaju u polju je2:

b,net

4l =1.0 94.56 = 63.04 cm

6

Usvojeno:

Konačno, v. kompletan nacrt armature (Dodatak 2). Uz nacrt obavezno se daje specifikacija armature.

2 Na strani smo sigurnosti ako šipke usidrimo za osnovnu dužinu sidrenja.

b,netl = 65 cm


22

Koso povijene šipke Da bi se moglo ostvariti sidrenje povijenih šipki preporučuje se u blizini krajnjih oslonaca uzeti vilice na manjem razmaku tako da je Rd,vil EdV = V . Na taj način se omogućava da se

mjesta povijanja šipki pomjere od krajnjeg oslonca čime se stvara mogućnost za njihovo sidrenje i izbjegava ulazak kosih šipki u zonu oslonačkih pritisaka. Preporučuje se da najbliže povijena kosa šipka bude udaljena min 0.8d od teoretske tačke oslanjanja. Nosivost 1 koso povijene šipke (k.p.š.)

Rd,k.p.š. s yd

2 2Rd,k.p.š.

= 45°, = 33.55°

V = A z f sin cot +cot

V = 3.14 cm 0.394 m 43.5 kN/cm 0.707 1.51+1 = 95.5 kN

Nosivost armature Ø 8/12.5 (asw = 8.04 cm2/m):

2

Rd sw yd 2

cm kNV = a f z cot = 8.04 43.5 0.396 m 1.51= 209.1 kN

m cm

Ø 8/20 (asw = 5.03 cm2/m):

2

Rd 2

cm kNV = 5.03 43.5 0.396 m 1.51=130.8 kN

m cm

Nosivost Ø 8/20 – udaljenost od nul – tačke na dijagramu transverzalnih sila.

250

x = 130.8 130 cm251.25

Preporuku Rd,vil EdV = V ćemo ispoštovati na dužini c/3+d = 54 cm > 0.8d = 35.2 cm.

Ed,k.p.š.

Ed,k.p.š. 2s,k.p.š. 2

yd

0.66V = 66.18 = 21.84 kNm (površina ispod dijagrama)

2V 1 21.84 kNm 1

A = = = 0.71 cmz f sin cot +cot 0.396 m 43.5 kN/cm 0.707 1.51+1

Usvojeno:

B500S 1Ø20 stvAs,k.p.š. = 3.14 cm2


23

U slučaju više podužnih šipki:

a) podužni razmak maxs 0.5h 1+cot

b) poprečni razmak – kao kod vilica Sidrenje kose šipke: lošiji uslovi sidrenja (gornja zona)

yd2 sbd b

bd

b,net

b,min b,net

fdC20/25 f =1.6 N/mm ; l = =134 cm

4 f

0.49l =1.0 134 = 20.91 cm

3.14l = 0.3 1.0 134 = 40.2 cm > l = 20.91 cm Mjerodavno !

Usvojeno:

b,netl = 70 cm


Dodatak 1 – konstrukcija parabole


Dodatak 2 – nacrt armature


Dodatak 3 – koso povijena šipka

Documents

Zadatak 3-kompletiran