Zahlen geschickt addieren

Referentinnen:Andrea RenninghoffAnn-Kathrin EschmentAlexandra Jakobs

Fachwissenschaftliches Seminar unter der Leitung von Prof. Dr. Hochmuth WS 2005/06

Gliederung

1. Problemstellung

2. Lösungsmöglichkeiten

3. Gruppenarbeit

4. Vorstellung der Lösungswege durch Seminarteilnehmer

5. „Wer trifft die Zahl?“ – ein Aufgabenformat

6. Einzelarbeit (mit Arbeitsblatt)

7. Vorstellung der Lösungswege

8. „Treppen“ als Beispiel geometrischer Zahlveranschaulichungen

9. Reflexion

Summen von Zahlen Was ist Gegenstand?

aufeinander folgende natürliche Zahlen aufeinander folgende natürliche Zahlen mit festen

Abständen

Was wird gemacht?

Beziehung der Zahlen und Summen betrachten von bestimmten Ergebnissen mögliche Summen

suchen

Aufgabe 1

Für welche Zahlen n ist es möglich die Menge Sn = {1, 2,…, n-1, n} in zwei summengleiche Teilmengen zu zerlegen?

Summengleich heißt, dass die Summe der Zahlen in der einen Teilmenge gleich der Summe der Zahlen in der anderen Teilmenge ist.

Ansatzmöglichkeiten

Cuisenaire-Stäbe

Pärchenbildung

Gesamtsumme bilden

Cuisenaire-Stäbe

Abb.1

Pärchenbildung

Abb.2

Gesamtsumme bilden

Ungerade: keine Zerlegung möglich Gerade: Zerlegung zu finden, falls diese existiert

Abb.3

Allgemeine Lösung (Muster)

Summanden geeignet zusammenfassen

2 Fälle zu unterscheiden:

1. Summen mit gerader Anzahl von Summanden

2. Summen mit ungerader Anzahl von Summanden

Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden

Pärchenbildung

Abb.4

Abb.5

Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden

Summe = Produkt von Pärchenanzahl und Pärchensumme

Pärchenanzahl beträgt dabei die Hälfte der Summandenanzahl

Pärchensumme bildet sich aus dem ersten und letzten Glied

Fall 2: Ungerade Anzahl von Summanden

Es gibt Mittelzahl (MZ)

Überschuss zu der symmetrisch zur MZ liegenden Partnerzahl hinzugefügt

Summe mit lauter gleichen Summanden: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9= 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5= 9 · 5 = 45

Summe = MZ · Summandenanzahl

Verallgemeinerung

Auf arithmetische Reihen übertragbar

Abb.6

Abb.7

Für welche n gerade /ungerade Summe?

Abwechselnd Addition gerader und ungerader Summanden

ungerade Anzahl ungerader Summanden: Gesamtsumme ungerade

Anzahl gerade: Gesamtsumme gerade

GSS abwechselnd zwei mal gerade und zwei mal ungerade

Gerade Gesamtsumme1. N ist ein Vielfaches von 4, d.h. n = 4k, =>2k

summengleiche Pärchen zu bilden

2. Ist n um 1 kleiner als ein Vielfaches von 4,d.h. n=4k–1, werden die ersten drei Summanden zusammengefasst. Rest: Fall 1

Abb.8

Abb.9

Gruppenarbeit

A2: Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender gerader natürlicher Zahlen {2,4,…,2n-2,2n}

A3: Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender ungerader natürlicher Zahlen{1,3,…2n-3,2n-1}

A5: Summen von zwei, drei, vier aufeinander folgender Zahlen

„Wer trifft die 50?“ – Erläuterung des Aufgabenformats

Es wird eine Start- und eine Additionszahl gewählt.

2. Kästchen: Summe aus Start- und Additionszahl

weitere Kästchen: Summe aus der Zahl im vorhergehenden Kästchen und der Additionszahl, bis 5 Kästchen voll sind.

In das letzte Kästchen wird die Summe der ersten 5 Kästchen eingetragen.

Aufgabe: Finde Kombinationen aus Start- und Additionszahl, bei denen die Zielzahl „50“ ist.

Additionszahl +  

 

 

Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen

Arithmetische Reihe (d=3): 10∙7=701 4 7 13 16 1910

-9 -6 -3 0 +3 +6 +9

Diese Operation (Ausgleich um die Mittelzahl) kann auch durch Treppen veranschaulicht werden:

Und andersherum?

1 4 7 10 13 16 1910 10 10 10 10 10 10

Reihenbildung durch Einsatz von Treppen

Z=90 Darstellbar als Produkt von: 9∙10

Bzw. als Summe von: 10+10+10+10+10+10+10+10+10

Wie könnte man „90“ noch als Treppenmuster darstellen, wenn d konstant sein soll?

10 10 10 10 10 10 10 10 10 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Reihenbildung durch Einsatz von Treppen

Z=90

2. Möglichkeit (d=2): 3. Möglichkeit (d=3):

Bisher wurden nur Beispiele erwähnt, in denen eine ungerade Anzahl von Summanden vorlag. Ist es ein Problem, wenn kein Mittelwert direkt existiert?

2 4 6 8 10 12 14 16 18

-2 1 4 7 10 13 16 19 22

Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen

5 7 9 13 15 1711 19Beispiel: d=2

-7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7

Naheliegend: Pärchenbildung

5 7 9 11 13 15 17 19 24 24 24 24

Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen

5 7 9 13 15 1711 19Aber auch hier kann ein Mittelwert ermittelt werden, nämlich:

(11+13) : 2=12 [(11+13) : 2] ∙8=96

Diese Operation (Ausgleich um die MZ) kann ebenso durch Treppenmuster veranschaulicht werden:

Summe

5 7 9 11 13 15 17 19 12 12 12 12 12 12 12 12

Reihenbildung durch Einsatz von Treppen

Z=72Darstellbar als Produkt von: 6∙12

Bzw. als Summe von: 12+12+12+12+12+12

12 12 12 12 12 127 9 11 13 15 17

Reihenbildung durch Einsatz von Treppen

Z=72

2. Variante: 3. Variante:

2 6 10 14 18 22

-3 3 9 15 21 27

Geschickt addieren durch zweifache Summierung- Was heißt das?

1 4 7 10 13 16 19

19 16 13 10 7 4 1+2020 20 20 20 20 20 summiert

7∙ 20=140

140:2=70

Summe der Reihe: 70,

da

Wie würde diese Rechnung mit Treppen veranschaulicht werden?

Literaturangabe:

Müller, Gerhard N.,Steinbring, Heinz,Wittmann Erich Ch. (Hg.): Arithmetik als Prozess, Kallmeyersche

Verlagsbuchhandlung GmbH, Seelze, 2004