(-L4.–13. júl 2009 TEX by BzdušoLTT, Oravská lesná Zakrivený priestor www.fks.sk/˜bzduso

Populárna matematicko-fyzikálna prednáška.

Obsah

1 Gravitačná vs. zotrvačná hmotnosť 1

2 História neeuklidovskej geometrie 2

3 Zakrivené priestory v dvoch rozmeroch 3

3.1 Dvojrozmerný svet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Najkratšia spojnica dvoch bodov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3 Štvorec, trojuholník a kružnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4 Krivosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.5 Matematická poznámka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Krivosť v troch rozmeroch 9

5 Geometria časopriestoru 10

5.1 Previazanie času a priestoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 Spomaľovanie času v gravitačnom poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 Použitá literatúra 12

1 Gravitačná vs. zotrvačná hmotnosť

Newton r. 1687 vo svojej knihe Principia napísal hypotézu o gravitačnom zákone, podľa ktorej nateleso v gravitačnom poli pôsobí sila

F = −mg

GM

r3r,

kde mg je gravitačná hmotnosť. Toto teleso sa bude podľa pohybového zákona a = F/mz pohybovaťso zrýchlením

a = −

mg

mz

GM

r3r.

Tento zákon má elegantný tvar a bol experimentálne potvrdený. Ako sa ukázalo, pomer mg/mz

je u všetkých telies rovnaký, preto ich možno merať v rovnakých jednotkách (a teda podiel je rovný1). Prečo je to tak? Dosť filozofická otázka, ktorá trápila ľudí niekoľko sto rokov.Odpoveď priniesla r. 1907 Einsteinova všeobecná teória relativity. Podľa Einsteina priestor a

čas, ktoré dovedna tvoria časopriestor, sú v blízkosti veľkých hmotností zakrivené. Pohyb telies jedôsledkom ich snahy pohybovať sa po priamkach v zakrivenom priestore.Takto sa do fyziky dostal pojem krivosti. V tejto prednáške sa pokúsime objasniť základne myš-

lienky krivosti, aj Einsteinovej teórie.

1

2 História neeuklidovskej geometrie

Okolo r. 300 p.n.l. vydal Euklides svoju knihu Základy,1 v ktorej ukázal, ako možno odvodiť celúgeometriu z piatich postulátov. Toto sú ony:

1. Každými dvoma bodmi možno preložiť priamku.

2. Každú časť priamky možno neobmedzene predĺžiť.

3. Z ľubovoľného bodu možno opísať kružnicu s ľubovoľným polomerom.

4. Všetky pravé uhly sú zhodné.

5. Ak priamka pretínajúca dve priamky vytvára vnútorné uhly na tej istej strane menšie ako dvapravé uhly, tak tieto priamky, ak sa nekonečne predĺžia, sa stretnú na tej strane, na ktorej jesúčet týchto uhlov menší ako dva pravé uhly.

Hoci platnosť všetkých je očividná, piaty postulát je predsalen zložitejší. Nečudo teda, že po dvetisícročia sa matematici snažili dokázať, že piaty postulát je logickým dôsledkom prvých štyroch.Dnes vieme, že sa to nedá. Euklides mal teda pravdu, že môže existovať geometria, v ktorej piatypostulát neplatí. Úsilie dvoch tisícročí však viedlo k dokázaniu ekvivalentnosti piateho postulátu snasledujúcimi tvrdeniami:

• Proclos: „Ak priamka pretína jednu z dvoch rovnobežiek, tak pretína aj druhú.ÿ

• John Wallis: „Ku každému útvaru existuje k nemu podobný utvar hocijakej veľkosti.ÿ

• Legendre: „Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je rovný dvom pravým uhlomÿ

Zrejme prvým matematikom, ktorý považoval neeuklidovskú geometriu za možnú, bol Carl Fried-rich Gauss. Euklidovosť nášho priestoru sa dokonca rozhodol testovať na vlastnú päsť tak, že zdolaltri nemecké štíty a zmeral súčet vnútorných uhlov trojuholníka, ktorý vytvárajú. Samozrejme zmeral180◦!

Bezrosporná geometria, ktorá nespĺňa piaty Euklidov postulát, sa dá realizovať napríklad na guli.Guľu možno v moderných termínoch nazvať ako dvojrozmerný priestor s kladnou krivosťou. Gauss,Bólyai a Lobacehvski nezávisle na sebe objavili okolo r. 1830 dvojrozmerný priestor so zápornoukrivosťou. Na rozdiel od gule sa však nedá nakresliť ako plocha v trojrozmernom priestore. Napriektomu si však v tejto prednáške ukážeme, ako sa predstaviť dá.

Pojem zakriveného priestoru preniesol do viacerých rozmerov r. 1854 Riemann a jeho myšlienkydoviedli do úplnej matematickej konzistentnosti Christoffel, Ricci, Levi-Civita a Beltrami.

1V angličtine Elements, v pôvodnom znení Στoιχεια.

2

3 Zakrivené priestory v dvoch rozmeroch

3.1 Dvojrozmerný svet

Aby sme poriadne pochopili myšlienky zakriveného priestoru, budeme uvažovať slepých mravčekov.2

Dokážu sa pohybovať len po rovine a nemajú možnosť zistiť, že existuje nejaký vonkajší svet. Avšakdokážu narábať s pravítkami a so špagátmi, a preto dokážu skúmať geometriu. Jedného mravčekanecháme žiť na nekonečnej rovine.

Druhý mravček sa bude pohybovať po guli. Nevie sa do nej zakopať, nevie vzlietnuť. Neexistujepre neho žiadne hore či dolu. Jeho svet je len dvojrozmerný povrch gule.

2Vzhľadom na citový vzťah, ktorý s k nim vytvoríme, si dovolím skľoňovať mravčeky v pluráli ako životné podstatnémeno.

3

Tretieho mravčeka umiestnime na ohriatu platničku. Tá je nejakým spôsobom udržiavaná pritakom teplotnom rozložení, že v strede je najchldnejšia a smerom ku okraju sa nachádzajú sústrednékrivky tvorené s bodmi s rovnakou teplotou, ako to znázorňuje nasledujúci obrázok.

Navyše tento tretí mravček, ako aj všetky jeho pravítka, sú z materiálu, ktorý sa rozťahuje,keď sa zahreje. Kedykoľvek mravček položí pravítko na dosku, aby zmeral vzdialenosť, pravítko saokamžite roztiahne na dĺžku, ktorá zodpovedá teplote na danom mieste. Mravček však nepostrehnenič nezvyčajné, pretože aj on sa zväčšil a to rovnaký násobok, ako pravítko.

3.2 Najkratšia spojnica dvoch bodov

Najprv nechajme našich mravčekov skúmať najkratšiu vzdialenosť dvoch vyznačených bodov. Keďžemravčekovia nevidia, najkrašiu spojnicu hľadajú tak, že prejdú z A do B po veľa rôznych cestách,zistia koľkokrát museli priložiť pravítko a vyberú tú, pri ktorej priložili pravítko najmenejkrát. My,pozorovatelia z vonkajšieho sveta, uvidíme, že nakreslil úsečku.

Teraz sa pozrime, ako sa bude dariť mravčekovi na guli. Nakreslí pre neho najkratšiu spojnicudvoch bodov, akýsi oblúk kružnice. Nám síce pripadá ako krivka, ale mravček sa nevie vzdialiť odgule, aby zistil, že existuje aj kratšia úsečka. Zo všetkých jeho ciest je táto najkratšia.

Napokon tretí mravček bude tiež kresliť úsečky, ktoré sa nám zdajú krivé. Pre neho sú všakskutočne najkratšie. V situácii na obrázku sa oplatí obísť stred malým oblúkom cez teplejšie oblasti.Nám sa vzdialenosť síce javí väčšia, ale mravček priloží svoje zväčšené pravítko menejkrát.

4

3.3 Štvorec, trojuholník a kružnica

Ak necháme prvého mravčeka študovať geometriu dostatočne dlho, objaví nasledovnú zaujímavosť.Ak sa z miesta A vzdiali o 100 cm, potom sa otočí o pravý uhol, znova prejde 100 cm, opäť sa otočí opravý uhol, opäť prejde 100 cm, ešte raz sa otočí o pravý uhol a ešte raz prejde 100 cm, tak sa vrátido miesta, kde vyštartoval.Tiež si všimne, že súčet vnútorných uhlov v trojuholníku je 180◦ a že obvod kružnice, tj. množiny

bodov rovnako vzdialených od vybratého bodu, je 2πr.

Čo by zistil mravček na guli? Napríklad, že kreslenie štvorca nestálo za námahu, pretože dopôvodného miesta sa nevrátil a že vzniknutý útvar vyzerá nasledovne

Ďalej začne skúmať trojuholníky. Zistí, že súčet vnútorných uhlov je vždy väčší než 180◦.3 Možnodokonca zostrojiť trojuholník s troma pravými uhlami.

Napokon obvod kružnice zmeria vždy menší ako 2πr. Keby tento mravček počítal polomer kruž-nice podľa rpredpokladaný = O/2π, dostal by menšiu hodnotu, ako by nameral. My, trojrozmernébytosti, vieme povedať, prečo je to tak!

3Z Gaussovej-Bonnetovej vety sa dá ukázať, že pre súčet vnútorných uhlov v trojuholníku na guli platí

α+ β + γ = π +S

R2,

kde S je obsah trojuholníka a R polomer gule.

5

Mravček na ohriatej platničke doske by bol na tom podobne. Pokus nakresliť štvorec zlyhá, súčetvnútorných uhlov v trojuholníku je väčší ako 180◦ a nemaraný polomer kružnice by bol väčší akopredpovedaný (zo známeho obvodu).

3.4 Krivosť

Zakriveným priestorom budeme volať priestor, v ktorom sa vyskytujú uvedené geometrické chyby:

• Návod na kreslenie štvorca nevedia ne uzavretý obrazec,

• Súčet uhlov v trojuholníku nie je rovný 180◦,

• Obvod kružnice O delený 2π nie je rovný polomeru kružnice.

Uviedli sme dva rôzne príklady zakriveného priestoru: Povrch gule a ohriatu platničku. Zaujímavéje, že ak vhodne nastavíme teplotu a rozťažnosť na ohriatej platničke, tak geometria na nej budeúplne identická geometrii na guli. My síce uvidíme niečo iné, ale mravček na guli, i mravček naplatničke namerajú to isté.Oba zakrivené priestory, ktoré sme uvažovali, sú priestory s kladnou krivosťou. Priestorom so

zápornou krivosťou budeme rozumieť taký zakrivený priestor, v ktorom súčet uhlov v trojuholníkuje menší ako 180◦ a kde obvod kružnice je väčší ako 2πr. Hneď vidíme, že takýmto priestorom jenapríklad ohriata platnička s inverzným rozložením teploty, tj. chladná na okraji.Ako som spomenul v historickom úvode tejto prednášky, priestor s konštantnou o zápornou kri-

vosťou sa nedá realizovať ako plocha v trojrozmernom priestore. Populárne znázornenie pomocousedla nie je správne, pretože táto plocha nemá rovnakú krivosť vo všetkých bodoch.4

Lepšou reprezentáciou je pseudosféra, ktorá vznikne rotáciou traktrixy okolo jej osi. Tá má vkaždom mieste rovnakú Gaussovu krivosť, avšak má zle topologické vlastnosti. Traktrixa má jedno-duchú interpretáciu: Uvažujme zajaca na začiatku stojaceho v mieste [0, 0], ktorý sa začne pohybovaťv kladnom smere osi y. Vlk vyštartuje tou istou rýchlosťou a v tom istom čase z bodu [a, 0] a v každomokamihu sa pohybuje priamo k zajacovi. Trajektória, po ktorej sa bude pohybovať vlk, sa nazývatraktrixa.4Guľa (resp. vhodne zahriata platnička!) nemá žiadny výnimočný bod ani smer.

6

Spomenutiahodná je skutočnosť, že nie každá plocha, ktorá je na prvý pohľad zakrivená, jeskutočne zakrivenou. Ako príklad si vezmime plášť valca. Geometria na ňom je identická s geometriouv rovine. Takýto druh krivosti sa nazýva vonkajšia krivosť, kdežto krivosť ovplyvňujúca lokálnugemoetriu sa nazýva vnútorná.

3.5 Matematická poznámka

Vravím že vhodným nastavením rozťažnosti možno dosiahnuť, aby geometria na ohriatej platničkebola rovnaká ako na guli. Ukážeme si, ako by toto roztiahnutie malo vyzerať. Zaveďme si škálovacíparameter a(r) (r je nami pozorovaná vzdialenosť od stredu platničky), ktorého zmysel je nasledovný.Pravítko s dĺžkou l0 v strede platničky bude mať vo vzdialenosti r dĺžku l(r) = l0a(r). Stačí tedanájsť správny škálovací parameter.Ak majú byť geometrie rovnaké, musia byť splnené rovnice

∫ r

0

dr′

a(r′)= Rθ

2πr

a(r)= 2πR sin θ,

kde R je polomer gule a θ je uhol od severného pólu. Prvá rovnica dáva do rovnosti vzdialenosťzmeranú na guli a na platničke, druhá rovnica porovnáva polomery kružníc na nich.Najprv z rovnice vylúčime škálovací parameter a a polomer gule R a budeme hľadať priradenie

θ(r). Dosadením z druhej rovnice do prvej dostávame∫ r

0

dr′

r′sin θ(r′) = θ =

∫ r

0

dθ(r′),

kde v druhá rovnosť platí triviálne.

7

Rovnosť však musí byť splnená pre každé r, preto musí platiť

drrsin θ = dθ

drr=

dθsin θ

ln r = ln tgθ

2+ C1

θ(r) = 2 arctgr

C.

Škálovací parameter a(r) dorátame nasledovne

a(r) =r

R sin θ=

r

2R sin θ2cos θ

2

=r

2R r√r2+C2

C√r2+C2

=r2 + C2

2Rc.

Ak navyše využijeme a(0) = 1, tak dostávame C = 2R a pre škálovací parameter platí

a(r) = 1 +r2

4R2.

Pri takejto voľbe škálovacieho parametra bude geometria na platničke rovnaká, ako geometria naguli. Ľahko si môžeme dokázať, že hoci je platnička nekonečná, vzdialenosť od stredu na koniec (tj.do nekonečna) je pre mravčeka konečná a rovná vzdialenosti medzi severným a južným pólom popovrchu gule

∫ ∞

0

dr′

a(r′)=

∫ ∞

0

4R2dr′

4R2 + r′2=

∣

∣

∣

∣

∣

2R arctgr′

2R

∣

∣

∣

∣

∣

∞

0

= πR.

8

Obyčajnou zámenou znamienka v škálovacom parametri dostaneme Lobachevskeho geometriu, tj.priestor so zápornou krivosťou −R

a′(r) = 1−r2

4R2.

Táto geometria sa deje na konečnej platničke s polomerom 2R, ale vzdialenosť od stredu po okrajmeraná jej obyvateľmi je nekonečná

∫ ∞

0

dr′

a′(r′)=

∫ 2R

0

4R2dr′

4R2 − r′2= +∞.

4 Krivosť v troch rozmeroch

Keďže nakukávanie do štvrtého rozmeru ako vonkajšieho sveta sa bežnému smrteľníkovi zdá byťnemožné, lepší náhľad na zakrivený trojrozmerný priestor nám ponúka predstava ohriatych platničiek.Od miesta k miestu v troch rozmeroch sa my aj s našimi pravítkami trochu zväčšujeme, čo má zanásledok, že napríklad súčet vnútorných uhlov v trojuholníku nie je 180◦.Analógia s dvojrozmrnými priestormi nás vedie k nasledovnému experimentu, akým možno overiť,

či je náš priestor skutočne zakrivený: Špagát upevníme v jednom bode a nájdeme množinu všetkýchbodov od neho rovnako vzdialených. Ak povrch gule nie je 4πr2, priestor je zakrivený. Tento zdanlivojednoduchý experiment má však viaceré úskalia – najmä obrovskú presnosť, s akou by sme museli

9

merať. Einsteinove rovnice predpovedajú

∆r =

√

S(r)4π

− r =GM

3c2, (1)

kde M je hmotnosť vnútri plochy. Schválne, ak do rovnice dosadíme parametre Zeme, zisťujeme,že rozdiel medzi predpokladaným a nameraným polomerom by bol len 1, 5mm. Pre Slnko by smedostali asi pol kilometra. Môžeme teda naďalej pokojne spávať, pretože ide o prakticky nezmerateľnúodchýlku od euklidovského priestoru. To by však neplatilo, keby sme spávali na horizonte čiernejdiery!Všimnime si, že nad povrchom Zeme je krivosť nulová. Takto by sme asi gravitáciu nevysvetlili.

Problém spočíva v nasledovnom: V trojrozmernom priestore si možno vybrať dvojrozmerný pod-priestor (tj. rovinu) a skúmať krivosť na nej. Môže sa napríklad stať, že v jednej rovine je krivosťkladná a v inej záporná. Úplná informácia o krivosti zahŕňa v tomto prípade až 6 čísel.5 Krivosť vrovnici (1) je vystredená cez všetky smery.6 Úplna Einsteinova rovnica7

Rab −12Rgab = 8πTab

v sebe ukrýva informáciu o všetkých zložkách tenzoru krivosti. Vyššie uvedená rovnica (1) už časťúplnej informácie postráda.

5 Geometria časopriestoru

5.1 Previazanie času a priestoru

Veci, ktoré sa z pohľadu jedného pozorovateľa stali naraz, sa z pohľadu iného pozorovateľa nemuselistať. Okrem toho sa tiež môžu udiať na rôznych miestach (v rôznej vzdialenosti od seba).8 Bolo byteda veľmi zvláštne, keby sa niečo dialo s priestorom a s časom nie.

5.2 Spomaľovanie času v gravitačnom poli

Podľa princípu ekvivalencie sa nedá rozlíšiť, či raketa stojí v gravigačnom poli so zrýchlením g, aleboči zrýchľuje vo voľnom priestore s rovnakým zrýchlením g. Voľný pohyb v gravitačnom poli je, akovieme, voľný pád so zrýchlením g. Ak chceme zostať namieste, musíme preto zrýchľovať so zrýchlenímg nahor.Ukážeme si, ako z princípu ekvivalencie vyplýva spomaľovanie hodín v gravitačnom poli. Vyjdeme

z toho, že v gravitačnom poli sa dejú rovnaké veci ako v zrýchľujúcej rakete vo voľnom priestore.Uvažujme zrýchľujúcu raketu, v ktorej dolnej i hornej časti sa nachádzajú hodiny A a B. Horné

hodiny vyšlú každú jednu sekundu svetelný signál smerom k dolným, kde všetko pozorujeme my.Nech sa raketa nachádza v polohe a, keď hodiny A vyšlú záblesk, a v polohe b, keď záblesk prídek dolným hodinám. Pri vyslaní ďalšieho záblesku sa raketa nachádza v polohe c a pri jeho prijatí vpolohe d.

5Ide o symetrický Ricciho tenzor.6To je takzvaná Gaussova, resp. skalárna krivosť.7Zapísaná pre štvorrozmerný časopriestor.8Presné transformácie tu nejdeme rozoberať. Za zmienku však stojí, že každý pozorovateľ by zmeral rovnaké

ds2 = c2dt2 − dr2, čo je tzv. časopriestorový interval. Ako invariantná veličina, ktorá je rovnaká v každej vzťažnejsústava, je zrejme analógom vzdialenosti dvoch bodov v euklidovskom priestore.

10

Prvý záblesk prejde vzdialenosť L1, zatiaľčo druhý kratšiu vzdialenosť L2. Vzdialenosť je kratšia,pretože raketa zrýchľuje a v okamihu druhého záblesku má vyššiu rýchlosť. Pokiaľ boli oba zábleskyvyslané so sekundovým odstupom, k dolným hodinám prídu v kratšom intervale, pretože druhý signálcestuje raketou kratšiu dobu. A to isté platí aj pre neskoršie záblesky. Podľa princípu ekvivalencieby sa v gravitačnom poli dialo to isté!S hodinami v gravitačnom poli máme teda podobnú situáciu ako s pravítkami na ohriatej plat-

ničke. Predstavovali sme si, že pravítka i mravčekovia sa menili rovnakým spôsobom, preto nepostrelinič zvláštne. Rovnako tak v gravitačnom poli bežia hodiny ale aj všetky ostatné procesy, mimo inéaj ľudské vnímanie, pomalšie. Nepostrehneme teda žiadnu zvláštnosť.Majme však dvoch kamarátov, Ferka a Janka, ktorí zdolávajú 100 metrovú budovu výťahom

nasledovne:

• Ferko odstopuje na zemi 100 sekúnd, nasadne do výťahu a vyjde hore.

• Janko nasadne do rovnakého výťahu a 100 sekúnd si odstopuje hore.

Napriek tomu, že dvaja kamaráti robili to isté, svoje činnosti ukončia v rôznych časoch. Je to kvôlitomu, že Ferkove hodinky išli počas stopovania pomalšie!

Spravme ešte kvantitatívnu analýzu: O koľko sa hodiny skutočne spomaľujú? Najjednoduchšie jevyjsť zo znalosti Dopplerovho javu: Vieme, že ak v je relatívna rýchlosť vysielača a prijímača, tak

11

svetlo s frekvenciou f0 pozorujeme s frekvenciou

f = f0

√

1 + v/c

1− v/c.

Ak je vzdialenosť hodín H , tak dolné hodiny počas preletu fotónu zrýchlia o v = gt = gH/c. Podosadení do rovnice vyššie a využití (1 + x)n ≈ 1 + xn pre malé x dostávame (pre slabé gravitačnépolia)

f = f0

(

1 +gH

c2

)

.

Rovnako ako pre svetlo však výpočet musí platiť aj pre tikanie hodín.Napokon, prečo telesá v gravitačnom poli padajú? Musia robiť to isté, ako v zrýchľujúcej rakete,

takže to súhlasí s očakávaniami. Menej jasné však je, či je voľný pád v gravitačnom poli skutočnepohybom po priamke v zakrivenom časopriestore. Dôkaz sa dá spraviť, no je matematicky zložitý:Treba si najprv zadefinovať, čo je to vzdialenosť dvoch bodov v časopriestore. Za tú sa z istýchpríčin berie tzv. vlastný čas.9 Dá sa ukázať, že pre slabé gravitačné polia vedie snaha maximalizovať(!) vlastný čas na Lagrangeove rovnice z teoretickej mechaniky, ktoré sú ekvivalentné Newtonovýmpohybovým rovniciam. Tento dôkaz tu však pre matematickú náročnosť už nebudem ukazovať. Možnoho nájsť napr. vo Feynmanových prednáškach.

6 Použitá literatúra

• R. Feynman, R. Leighton, M. Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky, 2. diel, kap. 42;Fragment, Praha 2001; ISBN 80-7200-420-4

• S. Weinberg: Gravitation and Cosmology, kap. 1;John Wiley & Sons Inc., USA 1972; ISNB 0-471-92567-5

• M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, kap. 15;Iris, Bratislava 2008; ISBN 978-80-89256-20-4

• http://en.wikipedia.org/wiki/

9Tzn. čas, ktorý by zmeral pozorovateľ pohybujúci sa po danej krivke v časopriestore.

12