SVEUČILIŠTE U RIJECI

TEHNIČKI FAKULTET

Sveučilišni stručni studij elektrotehnike

Završni rad

ČETVEROPOL U TEORIJI PRIJENOSA

Rijeka, studeni 2015. Madis Plavčić

0069054221

SVEUČILIŠTE U RIJECI

TEHNIČKI FAKULTET

Sveučilišni stručni studij elektrotehnike

Završni rad

ČETVEROPOL U TEORIJI PRIJENOSA

Mentor : mr.sc. Marijana Živić Đurović, v.pred.

Rijeka, studeni 2015. Madis Plavčić

0069054221

IZJAVA

Sukladno članku *9*. ''Pravilnika o završnom radu i završnom ispitu na diplomskim

sveučilišnim studijima'' Tehničkog fakulteta Sveučilišta u Rijeci od lipanj 2011., izjavljujem

da sam samostalno izradio završni rad prema zadatku za završni rad pod brojem 602-04/15-

14/06 uz konzultiranje s mentorom rada.

SADRŽAJ:

1. OPĆENITO O ČETVEROPOLIMA.................................................... 1

2. PRIMJENA ČETVEROPOLA U ELEKTROENERGETICI.............. 5

2.1 Način određivanja impedancije i admitancije elektroenergetskog

voda................................................................................................. 8

2.2 Način određivanja impedancije i admitancije elektroenergetskog

transformatora................................................................................. 9

3. OSNOVNO O TEORIJI PRIJENOSA............................................... 11

4. OPĆE KONSTANTE ČETVEROPOLA........................................... 12

4.1 Proračun napona i struje uz različite duljine vodova sa π

shemom......................................................................................... 15

4.2 Proračun napona i struje uz različite duljine vodova sa T

shemom......................................................................................... 19

5. LANČANA MATRICA..................................................................... 25

5.1 Izračun napona i struje na početku voda kod 2 lančano spojena

četveropola.................................................................................... 25

5.2 Izračun napona i struje na početku voda kod 3 lančano spojena

četveropola.................................................................................... 26

6. SERIJSKI SPOJ ČETVEROPOLA.................................................... 29

7. PRIKAZ POMOĆU ČETVEROPOLA, PRORAČUN STRUJNO-

NAPONSKIH PRILIKA VODA............................................................ 30

8. PARALELNI SPOJ ČETVEROPOLA............................................. 33

9. ZAKLJUČAK................................................................................... 38

10. POPIS SLIKA................................................................................. 39

11. POPIS TABLICA............................................................................. 41

12. LITERATURA................................................................................. 42

1

1. OPĆENITO O ČETVEROPOLIMA

Četveropol je element mreže koji ima ulaz i izlaz.

Slika 1.1. Shema četveropola

Četveropol je simetričan ukoliko mu bez posljedica možemo zamijeniti ulaz i izlaz.

Recipročan četveropol je onaj kod kojega vrijedi:

a) Ukoliko narinemo napon s ulaza četveropala na izlaz, možemo na ulazu mjeriti struju koja

je prethodno izmjerena na izlazu.

b)Isto tako ako narinemo struju s ulaza na izlaz, možemo na ulazu mjeriti napon koji je

prethodno izmjeren na izlazu.

Pokusom kratkog spoja i praznog hoda, uz poznavanje prilika na ulazu i izlazu četveropola,

određujemo jednadžbe četveropola.

Strujne jednadžbe četveropola glase :

2

1

2221

1211

2

1

V

V

YY

YY

I

I

(1.1)

Matricu admitancija [Y] možemo odrediti preko dva pokusa kratkog spoja četveropola.

Slika 1.2 Pokusi za određivanje matrice [Y]

2

Prvi pokus kratko spojen sekundar, slika 1.2 a) daje:

1111 VYI

1

111

I

VY

(1.2)

1212 VYI

1

221

V

IY

Drugi pokus, kratko spojen primar, slika 1.2 b) daje:

2121 VYI

2

112

V

IY

(1.3)

2222 VYI

2

222

V

IY

Naponske jednadžbe četveropola glase:

2

1

2221

1211

2

1

I

I

ZZ

ZZ

V

V

(1.4)

Matricu impedancija [Z] možemo odrediti preko dva pokusa praznog hoda četveropola.

Slika 1.3. Pokusi sa određivanje matrice [Z]

Prvi pokus, otvorene stezaljke sekundara, slika 1.3 a) daje:

1111 IZV

1

111

I

VZ

(1.5)

1212 IZV 1

221

I

VZ

3

Drugi pokus otvorene stezaljke primara, slika 1.3 b) daje:

)I(ZV 2121

2

112

I

VZ

(1.6)

)I(ZV 2222 2

222

I

VZ

Prijenosne jednadžbe četveropola glase:

2

2

1

1

I

V

DC

BA

I

V

(1.7)

Matrica [L] naziva se lančana matrica i u sebi sadrži opće konstante A, B, C i D ∶

[ L ]=

DC

BA

(1.8)

Lančanu matricu [L] možemo odrediti iz dva pokusa: pokusa kratkog spoja i pokusa praznog

hoda.

Slika 1.4. Pokusi za određivanje matrice [L]

Prvi pokus, otvorene stezaljke sekundara, slika 1.4 a) daje:

21 VAV

2

1

V

VA

(1.9)

21 VCI 2

1

V

IC

4

Drugi pokus otvorene stezaljke primara, slika 1.4 b) daje:

21 IBV

2

1

I

VB

(1.10)

21 IDI 2

1

I

ID

5

2. PRIMJENA ČETVEROPOLA U ELEKTROENERGETICI

Četveropoli u elektroenergetici se primjenjuju najčešće kod vodova i transformatora kako bi

modelirali, a kasnije radili izračune za pojedine elemente.

Četveropoli se spominju u svim granama elektrotehnike, a to su sljedeće:

elektroenergetika,

elektrostrojarstvo,

telekomunikacije i informatika,

automatizacija i robotika,

radiokomunikacije i

elektronika.

Imamo vrlo visoke naponske, visokonaponske, srednjenaponske i niskonaponske kabele,

kojima se parametri izražavaju na sljedeći način:

VVN:

Slika 2.1. Nadomjesni model kabela voda (VVN)

Parametri kabelskog vrlo visokog naponskog voda:

12

YZY

4

ZY

Z2

ZY1

12

Y01

10

Z1

12

Y01

L 2 ,

(2.1)

6

VN:

Slika 2.2. Nadomjesni kabela voda (VN)

Parametri kabelskog visokog naponskog voda:

12

BZB

4

ZB

Z2

ZB1

12

B01

10

Z1

12

B01

L 2 ,

(2.2)

SN i NN:

Slika 2.3. Nadomjesni kabela voda (SN i NN)

Parametri kabelskog srednjeg i niskog naponskog voda:

10

Z1L ,

(2.3)

7

Nadomjesni modeli transformatora i njegovi parametri glase:

Za VVN i VN:

Slika 2.4. Nadomjesni model transformatora (VVN i VN)

Parametri nadomjesnog transformatorskog modela:

12

ZY

2

Y

Z1

10

Z1

12

Y01

L TTT

TT

T ,

(2.4)

Za SN i NN:

Slika 2.5 Nadomjesni model transformatora (SN i NN)

Parametri nadomjesnog transformatorskog modela:

10

Z1L

T,

(2.5)

8

2.1. Način određivanja impedancije i admitancije elektroenergetskog voda

Slika 2.1.1. dalekovod

Impedanciju voda VZ odredimo uz poznate vrijednosti jediničnog djelatnog otpora R,

jediničnog induktiviteta L i duljine voda l.

Uz poznatu vrijednost jediničnog induktiviteta L najprije odredimo reaktanciju:

L*X L ,

(2.1.1)

a zatim i impedanciju voda VZ :

l*)jXR(Z LV

(2.1.2)

Admitanciju voda VY odredimo uz poznate vrijednosti jediničnog odvoda G,

jediničnog kapaciteta C i duljine voda l.

Uz poznatu vrijednost jediničnog kapaciteta C najprije odredimo susceptanciju:

C*B ,

(2.1.3)

a zatim i admitanciju voda VY :

l*)jBG(YV

(2.1.4)

9

2.2. Način određivanja impedancije i admitancije elektroenergetskog transformatora

Slika 2.1.2. elektroenergetski transformator

Impedanciju transformatora TZ odredimo uz poznate vrijednosti jediničnog djelatnog otpora

TR i reaktancije TX koje izračunamo na sljedeći način:

2

Tn

2BCUT

S

U*PR

(2.2.1)

2

nT

CU

2

K

2

Tn

2BT

S

P

100

u

S

UX

(2.2.2)

TTT XRZ

(2.2.3)

Dok se admitancija transformatora TY računa uz poznate vrijednosti jediničnog odvoda TG i

jedinične susceptancije TB :

2

2B

FeTU

1PG

(2.2.4)

10

2

nT

Fe

2

%0

2

2B

Tn

TS

P

100

i

U

SB

(2.2.5)

TTT jBGY (2.2.6)

11

3. OSNOVNO O TEORIJI PRIJENOSA

Konstante voda su veličine uz pomoć kojih definiramo u svim pogonskim slučajevima,

električne prilike na vodu.

Iznosi konstanti voda ovise o svojstvima materijala od kojih su napravljeni, te o svojstvu

okruženja. Te veličine ovise i o promjenama vlažnosti zraka i temperature.

Konstante voda se definiraju po jedinici dužine voda, koja je obično po kilometru. Obično se

konstante rade za direktni sustav simetričnog voda, ukoliko nije drugačije naglašeno.

Konstante voda su:

- jedinični djelatni otpor: R [Ω/km]

- jedinični induktivitet: L [H/km]

- jedinični kapacitet: C [F/km]

- jedinični odvod: G [S/km]

Vod kojemu niti jedna od sve četiri konstante nije jednaka nuli zovemo realni vod.

Jedinični djelatni otpor i jedinični odvod zovemo toplim konstantama jer uslijed prolaska

struje kroz odvod i otpor čini toplinske gubitke. Uzduž voda smještene su sve četiri konstante

što je prikazano na slici 3.1

Slika 3.1. Položaj konstanti voda jedne faze trofaznog simetričnog voda

12

4. OPĆE KONSTANTE ČETVEROPOLA

Opće konstante primjenjujemo u jakoj struji, a određuju se iz prijenosnih jednadžbi:

221 IBVAV

221 IDVCI

(4.1)

Slika 4.1 Uzdužna impedancija i poprečna admitancija

Sa slike 4.1 a) prijenosne jednadžbe glase:

221 IZV1V

221 I1V0I

(4.2)

Iz čega očitamo matricu ZL :

10

Z1L Z

(4.3)

Sa slike 4.1 b) prijenosne jednadžbe glase:

221 I0V1V

221 I1VYI

(4.4)

Iz čega očitamo matricu YL :

1Y

01L Y

(4.5)

13

Izvod matrice za jednu poprečnu granu:

Slika 4.2. Poprečna grana

1Y

01L

(4.6)

Izvod matrice za jednu uzdužnu granu:

Slika 4.3. Uzdužna grana

10

Z1L

(4.7)

14

Izvod matrice za jednu uzdužnu i jednu poprečnu granu:

Slika 4.4. Uzdužna i poprečna grana

1Y

ZZY1

1Y

01

10

Z1L

(4.8)

Upotrijebimo li formulu za lančano spajanje četveropola možemo izračunati lančanu matricu

različitih četveropola kao na slici 4.2.

Slika 4.5. Γ-shema ∏-shema Τ-shema

Za Γ-shemu:

1ZYY

Z1

1Y

01

10

Z1LLL YZ

(4.9)

Za ∏-shemu:

1ZYYYZYY

ZYZ1

1Y

01

1ZYY

Z1LLL

12121

2

2112Y

(4.10)

15

Za Τ-shemu:

1YZY

YZZZZYZ1

1ZYY

Z1

10

Z1LLL

2

21211

2

21

1ZT

4.1 Proračun napona i struje uz različite duljine vodova sa π shemom.

- jedinični otpor R1 = 0,01 /km;

- jedinični induktivitet L1 = 1,7 mH/km ;

- jedinični kapacitet C1 = 8,5 nF/km ;

- jedinični odvod G1 = 80 nS/km .

- Un=400/110 kV, Sn T=300 MVA,

Slika 4.6. Π shema zadatka

A31,1175,817V

SI

MVA31,1197,152SS

2

2

2

pot

a) Π shema l=50 km

53,0LXL (4.1.1)

9,885,26l)jXR(Z LV (4.1.2)

S1067,2CB 6 (4.1.3)

S2,881013,0l)jBG(Y 3

LV (4.1.4)

2

ZY1

4

ZYY

Z2

ZY1

12

Y01

10

Z1

12

Y01

L 2

(4.1.5)

(4.11)

16

01

2

ZY1DA

(4.1.6)

9,885,26ZB (4.1.7)

2,8800013,0

4

ZYYC

2

(4.1.8)

kV5,1726,70BIAVV 221 (4.1.9)

kV52,442

110

400V3U 11

(4.1.10)

kA035,62DVCI'I 221 (4.1.11)

kA15,17

400

110'II 11

(4.1.12)

b) Π shema l=100 km

53,0LXL (4.1.13)

9,8853l)jXR(Z LV (4.1.14)

S1067,2CB 6 (4.1.15)

S2,881027,0l)jBG(Y 3

LV (4.1.16)

2

ZY1

4

ZYY

Z2

ZY1

12

Y01

10

Z1

12

Y01

L 2

(4.1.17)

01

2

ZY1DA

(4.1.18)

9,8853ZB (4.1.19)

4,8800027,0

4

ZYYC

2

(4.1.20)

kV6,3022,83BIAVV 221 (4.1.21)

kV15,524

110

400V3U 11

(4.1.22)

17

kA035,62DVCI'I 221 (4.1.23)

kA15,17

400

110'II 11

(4.1.24)

c) Π shema l=150 km

53,0LXL (4.1.25)

9,885,79l)jXR(Z LV (4.1.26)

S1067,2CB 6 (4.1.27)

S2,88104,0l)jBG(Y 3

LV (4.1.28)

2

ZY1

4

ZYY

Z2

ZY1

12

Y01

10

Z1

12

Y01

L 2

(4.1.29)

098,0

2

ZY1DA

(4.1.30)

9,885,79ZB (4.1.31)

6,880004,0

4

ZYYC

2

(4.1.32)

kV6,3027,99BIAVV 221 (4.1.33)

kV24,625

110

400V3U 11

(4.1.34)

kA0107,61DVCI'I 221 (4.1.35)

kA8,16

400

110'II 11

(4.1.36)

d) Π shema l=200 km

53,0LXL (4.1.37)

18

9,88106l)jXR(Z LV (4.1.38)

S1067,2CB 6 (4.1.39)

S2,881053,0l)jBG(Y 3

LV (4.1.40)

2

ZY1

4

ZYY

Z2

ZY1

12

Y01

10

Z1

12

Y01

L 2

(4.1.41)

1,097,0

2

ZY1DA

(4.1.42)

9,88106ZB (4.1.43)

4,88000543,0

4

ZYYC

2

(4.1.44)

kV98,4693,115BIAVV 221 (4.1.45)

kV2,730

110

400V3U 11

(4.1.46)

kA1,048,60DVCI'I 221 (4.1.47)

kA63,16

400

110'II 11

(4.1.48)

e) Π shema l=250 km

53,0LXL (4.1.49)

9,8852,132l)jXR(Z LV (4.1.50)

S1067,2CB 6 (4.1.51)

S2,881067,0l)jBG(Y 3

LV (4.1.52)

2

ZY1

4

ZYY

Z2

ZY1

12

Y01

10

Z1

12

Y01

L 2

(4.1.53)

19

13,096,0

2

ZY1DA

(4.1.54)

9,8852,132ZB (4.1.55)

5,8900067,0

4

ZYYC

2

(4.1.56)

kV89,5169,134BIAVV 221 (4.1.57)

kV3,848

110

400V3U 11

(4.1.58)

kA13,086,59DVCI'I 221 (4.1.59)

kA46,16

400

110'II 11

(4.1.60)

4.2 Proračun napona i struje uz različite duljine vodova sa T shemom.

- jedinični otpor R1 = 0,01 /km;

- jedinični induktivitet L1 = 1,7 mH/km ;

- jedinični kapacitet C1 = 8,5 nF/km ;

- jedinični odvod G1 = 80 nS/km .

- Un=400/110 kV, Sn T=300 MVA,

Slika 4.7. T shema zadatka

a) T shema l=50 km

53,0LXL (4.2.1)

9,885,26l)jXR(Z LV (4.2.2)

20

S1067,2CB 6 (4.2.3)

S2,881013,0l)jBG(Y 3

LV (4.2.4)

2

ZY1

2

Y2

YZZ2

2

ZY1

10

Z1

12

Y01

10

Z1L

2

T

(4.2.5)

01

2

ZY1DA

(4.2.6)

9,8853

2

YZZ2B

2

(4.2.7)

2,88000065,0

2

YC

(4.2.8)

kV6,302,83BIAVV 221 (4.2.9)

kV04,524

110

400V3U 11

(4.2.10)

kA1,035,62DVCI'I 221 (4.2.11)

kA15,17

400

110'II 11

(4.2.12)

b) T shema l=100 km

53,0LXL (4.2.13)

9,8853l)jXR(Z LV (4.2.14)

S1067,2CB 6 (4.2.15)

S2,881027,0l)jBG(Y 3

LV (4.2.16)

2

ZY1

2

Y2

YZZ2

2

ZY1

10

Z1

12

Y01

10

Z1L

2

T

(4.2.17)

21

01

2

ZY1DA

(4.2.18)

1,89106

2

YZZ2B

2

(4.2.19)

2,88000135,0

2

YC

(4.2.20)

kV6,4669,116BIAVV 221 (4.2.21)

kV94,734

110

400V3U 11

(4.2.22)

kA092,61DVCI'I 221 (4.2.23)

kA03,17

400

110'II 11

(4.2.24)

c) T shema l=150 km

53,0LXL (4.2.25)

9,885,79l)jXR(Z LV (4.2.26)

S1067,2CB 6 (4.2.27)

S2,88104,0l)jBG(Y 3

LV (4.2.28)

2

ZY1

2

Y2

YZZ2

2

ZY1

10

Z1

12

Y01

10

Z1L

2

T

(4.2.29)

098,0

2

ZY1DA

(4.2.30)

35,89159

2

YZZ2B

2

(4.2.31)

2,88000200,0

2

YC

(4.2.32)

kV2,5584,154BIAVV 221 (4.2.33)

22

kV2,975

110

400V3U 11

(4.2.34)

kA036,61DVCI'I 221 (4.2.35)

kA87,16

400

110'II 11

(4.2.36)

d) T shema l=200 km

53,0LXL (4.2.37)

9,88106l)jXR(Z LV (4.2.38)

S1067,2CB 6 (4.2.39)

S2,881053,0l)jBG(Y 3

LV (4.2.40)

2

ZY1

2

Y2

YZZ2

2

ZY1

10

Z1

12

Y01

10

Z1L

2

T

(4.2.41)

1,097,0

2

ZY1DA

(4.2.42)

9,881,212

2

YZZ2B

2

(4.2.43)

2,88000267,0

2

YC

(4.2.44)

kV7,6083,194BIAVV 221 (4.2.45)

MV23,1

110

400V3U 11

(4.2.46)

kA048,60DVCI'I 221 (4.2.47)

kA63,16

400

110'II 11

(4.2.48)

23

e) T shema l=250 km

53,0LXL (4.2.49)

9,8852,132l)jXR(Z LV (4.2.50)

S1067,2CB 6 (4.2.51)

S2,881067,0l)jBG(Y 3

LV (4.2.52)

2

ZY1

2

Y2

YZZ2

2

ZY1

10

Z1

12

Y01

10

Z1L

2

T

(4.2.53)

13,096,0

2

ZY1DA

(4. 2.54)

2,9092,265

2

YZZ2B

2

(4.2.55)

2,88000335,0

2

YC

(4.2.56)

kV5,6494,235BIAVV 221 (4.2.57)

MV49,1

110

400V3U 11

(4.2.58)

kA12,086,59DVCI'I 221 (4.2.59)

kA46,16

400

110'II 11

(4.2.60)

24

Usporedba dobivenih rezultata pomoću π i T nadomjesnih modela voda:

l(km) 50 100 150 200 250

I(kA) 17,15 17,15 16,8 16,63 16,46

U(kV) 442,5 524,15 625 730,2 848,3

Tablica I. Rezultati dobiveni pomoću π nadomjesnog modela voda

l(km) 50 100 150 200 250

I(kA) 17,15 17,03 16,87 16,6 16,46

U(kV) 524,04 734,94 975,2 1230 1490

Tablica II. Rezultati dobiveni pomoću T nadomjesnog modela voda

Slika 4.8. Prikaz rezultata iz tablice I. za π nadomjesni model

Slika 4.9. Prikaz rezultata iz tablice II. za T nadomjesni model

25

5. LANČANA MATRICA

Lanac četveropola možemo dobiti kada niz četvropola spojimo na način da kraj prvog

četveropola spojimo na početak sljedećeg četveropola, prikazano na slici 5.1.

Slika 5.1. Lanac četveropola

Jednadžba četveropola spojenih u lanac glasi:

4

4

3131

3131

2121

2121

1111

1111

1

1

I

V

DC

BA

DC

BA

DC

BA

I

V

(5.1)

dok jednadžba za u lanac n spojenih četveropola glasi:

[L] = [L₁] [L₂] [L₃]… [Ln] (5.2)

5.1 Izračun napona i struje na početku voda kod 2 lančano spojena

četveropola. l=400 km

A31,1175,817V

SI

MVA31,1197,152SS

2

2

2

pot

Slika 5.1.1. Dva lančano spojena četveropola

26

Slika 5.1.2. Nadomjesna shema dvaju četveropola

53,0LXL (5.1.1)

9,8804,212l)jXR(Z LV (5.1.2)

S1067,2CB 6 (5.1.3)

S2,880011,0l)jBG(Y LV (5.1.4)

2

ZY1

4

ZYZY

2

ZYY2

YZZ22

YZZY21

12

Y01

10

Z1

1Y

01

10

Z1

12

Y01

L23

22

222

(5.1.5)

7,251,0

2

YZZY21DA

22

(5.1.6)

53,954,428YZZ2B 2 (5.1.7)

8,980022,0

4

ZYZY

2

ZYY2C

232

2

(5.1.8)

2,79404,356BIAVV 221 (5.1.9)

MV24,2

110

400V3U 11

(5.1.10)

27

kA8,31DVCI'I 221 (5.1.11)

kA75,8

400

110'II 11

(5.1.12)

5.2 Izračun napona i struje na početku voda kod 2 lančano spojena

četveropola. l=600 km

A31,1175,817V

SI

MVA31,1197,152SS

2

2

2

pot

(5.2.1)

Slika 5.2.1. Tri lančano spojena četveropola

Slika 5.2.2. Nadomjesna shema triju četveropola

28

53,0LXL (5.2.2)

9,881,318l)jXR(Z LV (5.2.3)

S1067,2CB 6 (5.2.4)

S2,880016,0l)jBG(Y LV (5.2.5)

2

YZY3Z

2

9ZY1

4

ZY

4

Z9YZ2Y

2

5ZY3Y

YZY4Z3Z2

YZY3Z

2

9ZY1

12

Y01

10

Z1

1Y

01

10

Z1

12

Y01

L33

22342

232

33233

22

(5.2.6)

17615,2

2

YZYZ3

2

ZY91DA

3322

(5.2.7)

7,1256,1218YZYZ4Z3B 332 (5.2.8)

1320067,0

4

ZY

4

ZY9ZY2

2

ZY5Y3C

34223

2

(5.2.9)

MV7,12007,1BIAVV 221 (5.2.10)

MV74,6

110

400V3U 11

(5.2.11)

kA44,133DVCI'I 221 (5.2.12)

kA7,36

400

110'II 11

(5.2.13)

29

6. SERIJSKI SPOJ ČETVEROPOLA

Serijski spoj četveropola možemo dobiti kada početak i kraj četveropola spojimo na način da

je za nadomjesni četveropol napon izlaza četveropola jednak zbroju svih napona izlaza

četveropola i napon ulaza četveropola jednak zbroju napona svih ulaza četveropola, kao što je

prikazano na slici 6.1.

Slika 6.1. Serijski spoj četveropola

111 "V'VV

222 "V'VV

(6.1)

111 "I'II

222 "I'II

Zbrojem naponskih jednadžbi četveropola u koje se uvrsti izraze 6.2:

[V] = [V′] + [V′′] = [Z′][I] + [Z′′][I] = ([Z′] + [Z′′])[I] = [Z][I] (6.2)

Za spoj na slici 6.1 vrijedi:

[Z] = [Z′] + [Z′′] , (6.3)

dok za serijski spoja sa n četveropola vrijedi:

[Z] = [Z′] + [Z′′] + ⋯+ [Zn] (6.4)

30

7. PRIKAZ POMOĆU ČETVEROPOLA, PRORAČUN

STRUJNO-NAPONSKIH PRILIKA VODOVA

Slika 7.1. Elektroenergetska mreža

Proračun strujno-naponskih prilika na početku voda. Zadano:

Un=400/110 kV, SnT=300 MVA, uK=12%, i0=1,5%, PK=2 MW, P0=0,9 MW, R₁=0,1 Ω/km,

X₁=0,4 Ω/km, B₁ = 2,8 ∗ 10−6S/km, l=150 km, SPOT=150+j30 MVA.

.

Slika 7.2. Nadomjesna shema elektroenergetske mreže

Stvarne vrijednosti impedancije i admitancije:

ET

110 kV 84,4S

U*

100

uZ

Tn

2BKT

(7.1)

27,0

S

U*PR

2

Tn

2BCUT

(7.2)

83,4j

S

P

100

u

S

UX

2

nT

CU

2

K

2

Tn

2BT

(7.3)

31

S8,8684,4XRZ TTT (7.4)

S10*44,7

U

1PG 5

2

2B

FeT

(7.5)

S10*64,3S

P

100

i

U

SB 4

2

nT

Fe

2

%0

2

2B

Tn

T

(7.6)

YT = (0,56 − 𝑗28) ∗ 10−6 = 3,71 ∗ 10−4∠ − 78,4˚S (7.7)

EEV

110kV Zv = Zv ∗ l = (0,1 + 𝑗0,4) ∗ 150 = 61,85∠75,96˚𝛺 (7.8)

Yv = B₁ ∗ l = 4,2 ∗ 10−4∠90˚S (7.9)

Yv

2= 2,1 ∗ 10−4∠90˚S

(7.10)

[LE] = [

1 0YT 1

] [1 ZT

0 1] [

1 0YV

21] [

1 ZV

0 1] [

1 0YV

21]

= [1 ZT

YT YTZT + 1] [

1 0YV

21] [

1 ZV

0 1] [

1 0YV

21]

= [1 + ZT

YV

2ZT

YT + YTZTYV

2+

YV

2YTZT + 1

] [1 ZV

0 1] [

1 0YV

21]

= [1 + ZT

YV

2ZV + ZVZT

YV

2+ ZT

YT + YTZTYV

2+

YV

2YTZV + YTZTZV

YV

2+ ZV

YV

2+ YTZT + 1

] [1 0YV

21]

(7.11)

=

[ 1 + 2ZT

YV

2+ ZV

YV

2+ ZTZV

YV2

4ZV + ZVZT

YV

2+ ZT

YT + 2YTZTYV

2+ 2

YV

2+ YTZV

YV

2+ YTZTZV

YV2

4+ ZV

YV2

4YTZV + YTZTZV

YV

2+ ZV

YV

2+ YTZT + 1]

32

[LE] = [A BC D

] (7.12)

A = 1 + 2ZT

YV

2+ ZV

YV

2+ ZTZV

YV2

4= 0,985 + 𝑗3,25 ∗ 10−3 = 0,985∠0,19˚

(7.13)

B = ZV + ZVZT

YV

2+ ZT = 15,25 + 𝑗64,77 = 66,54∠76,75˚

(7.14)

C = YT + 2YTZT

YV

2+ 2

YV

2+ YTZV

YV

2+ YTZTZV

YV2

4+ ZV

YV2

4= 73,8 ∗ 10−6 + j58,54 ∗ 10−6 = 9,42 ∗ 10−6∠38,4˚

(7.15)

D = 1 + YTZV + YTZTZV

YV

2+ ZV

YV

2+ YTZT = 1,012 + 𝑗0,0024

= 1,012∠0,14˚

(7.16)

S = Spot = 150 + 𝑗30MVA = 152,97∠11,31˚𝑀𝑉𝐴 (7.17)

I₂ =S2∗

V2∗ =

152,973

∠ − 11,31˚MVA

108∠0˚

√3kV

= 817,75∠ − 11,31˚A

(7.18)

[V₁′I₁′

] = [A BC D

] [V₂I₂

] (7.19)

V₁′ = AV₂ + B I₂ = 77,883∠20,2˚kV (7.20)

U₁′ = √3 ∗ V₁′ = 134,9∠20,2˚kV (7.21)

U₁ = U₁′400kV

110kV= 490,55∠20,2˚kV

(7.22)

I₁′ = CI₂ + DV₂ = 63,102∠0,3kA (7.23)

I₁ = I₁′

110kV

400kV= 17,33∠0,3kA

(7.24)

33

8. PARALELNI SPOJ ČETVEROPOLA

Paralelni spoj četveropola možemo dobiti kada početak i kraj četveropola spojimo na način da

je za nadomjesni četveropol struja izlaza četveropola jednak zbroju svih struja izlaza

četveropola i struja ulaza četveropola jednak zbroju struja svih ulaza četveropola, kao što je

prikazano na slici 8.1.

Slika 8.1. Paralelni spoj četveropola

I₁ = I₁′ + I₁′′

I₂ = I₂′ + I₂′′ (8.1)

V₁ = V₁′ + V₁′′

V₂ = V₂′ + V₂′′ Zbrojem strujnih jednadžbi četveropola u koje smo uvrstili izraze 8.1:

[I] = [I′] + [I′′] = [Y′][V] + [Y′′][V] = ([Y′] + [Y′′])[V] = [Y][V]

(8.2)

Za spoj na slici 8.1 vrijedi:

[Y] = [Y′] + [ Y′′] , (8.3)

dok za paralelni spoj sa n četveropola vrijedi:

[Y] = [Y′] + [Y′′] + ⋯+ [Yn] (8.4)

34

Proračun strujno-naponskih prilika na početku voda. Zadano:

Un=400/110 kV, SnT=300 MVA, uK=12%, i0=1,5%, PK=2 MW, P0=0,9 MW, R₁=0,1 Ω/km,

X₁=0,4 Ω/km, B₁ = 2,8 ∗ 10−6S/km, l=150 km, SPOT=150+j30 MVA.

Slika 8.2. Elektroenergetska mreža

Slika 8.3. Nadomjesna shema elektroenergetske mreže

Slika 8.4. Reducirana nadomjesna shema elektroenergetske mreže sa slike 8.3

35

ET

110 kV 84,4S

U*

100

uZ

Tn

2BKT

(8.5)

27,0

S

U*PR

2

Tn

2BCUT

(8.6)

83,4j

S

P

100

u

S

UX

2

nT

CU

2

K

2

Tn

2BT

(8.7)

S8,8684,4XRZ TTT (8.8)

S10*44,7

U

1PG 5

2

2B

FeT

(8.9)

S10*64,3S

P

100

i

U

SB 4

2

nT

Fe

2

%0

2

2B

Tn

T

(8.10)

YT = (0,56 − 𝑗28) ∗ 10−6 = 3,71 ∗ 10−4∠ − 78,4˚S (8.11)

EEV

110kV Zv = Zv ∗ l = (0,1 + 𝑗0,4) ∗ 150 = 61,85∠75,96˚𝛺 (8.12)

Yv = B₁ ∗ l = 4,2 ∗ 10−4∠90˚S (8.13)

Yv

2= 2,1 ∗ 10−4∠90˚S

(8.14)

[LE] = [

1 0YT 1

] [1 ZT

0 1] [

1 0YV 1

] [1ZV

20 1

] [1 0YV 1

]

= [1 ZT

YT YTZT + 1] [

1 0YV 1

] [1ZV

20 1

] [1 0YV 1

]

= [1 + ZTYV ZT

YT + YTZTYV + YV YTZT + 1] [1

ZV

20 1

] [1 0YV 1

]

= [1 + ZTYV

ZV

2+ ZTYV

ZV

2+ ZT

YT + YTZTYV + YV YTZV

2+ YTZTYV

ZV

2+ YV

ZV

2+ YTZT + 1

] [1 0YV 1

]

(8.15)

36

= [1 + 2ZTYV +

ZV

2YV + ZTYV

2 ZV

2

ZV

2+ ZTYV

ZV

2+ ZT

YT + 2YV + 2YTZTYV + YTYVZV

2+ YTZTZVYV

2 + YV2 ZV

2YT

ZV

2+ YTZTYV

ZV

2+ YV

ZV

2+ YTZT + 1

]

[LE] = [A BC D

] (8.16)

A = 1 + 2ZTYV +

ZV

2YV + ZTYV

2 ZV

2= 0,98 + 𝑗0,0034 = 0,98∠0,2˚

(8.17)

B =

ZV

2+ ZTYV

ZV

2+ ZT = 7,75 + j34,77 = 35,6∠77,4˚

(8.18)

C = YT + 2YV + 2YTZTYV + YTYV

ZV

2+ YTZTZVYV

2 + YV2 ZV

2= 73,05 ∗ 10−6 + j0,48 ∗ 10−3

= 0,49 ∗ 10−3∠81,35˚

(8.19)

D = YT

ZV

2+ YTZTYV

ZV

2+ YV

ZV

2+ YTZT + 1 = 1 + 𝑗2,9 ∗ 10−3 = 1∠0,17˚

(8.20)

S = Spot = 150 + 𝑗30MVA = 152,97∠11,31˚MVA (8.21)

I₂ =S2∗

V2∗ =

152,973 ∠ − 11,31˚MVA

108∠0˚

√3kV

= 817,75∠ − 11,31˚A

(8.22)

[V₁′I₁′

] = [A BC D

] [V₂I₂

] (8.23)

V₁′ = AV₂ + B I₂ = 77,88∠20,2˚kV (8.24)

U₁′ = √3 ∗ V₁′ = 134,9∠20,2˚kV (8.25)

U₁ = U₁′

400kV

110kV= 490,55∠20,2˚kV

(8.26)

37

I₁′ = CI₂ + DV₂ = 62,394∠0,167kA (8.27)

I₁ = I₁′

110kV

400kV= 17,16∠0,167kA

(8.28)

38

9. ZAKLJUČAK

U ovom radu opisan je četveropol u teoriji prijenosa. Definirana je svrha i primjena

četveropola te načini na koji se oni spajaju.

Također je opisana primjena općih konstanti u jakoj struji, te način na koji se one

određuju. Ovisno o kojoj je grupi spoja riječ, dobijemo različite iznose ekvivalentnih

matrica što utječe na ulazne odnosno izlazne varijable.

Definirana je i matrica četveropola spojenih u lanac, način spajanja, te razlike u

jednadžbama u odnosu na četveropole spojene u seriju ili paralelu.

U zadatku u kojemu mijenjamo duljine voda za T i π spoj vidimo da se povećava napon

na ulazu četveropola, dok struja na ulazu četveropla opada. Sa povećanjem duljine voda

rastu impedancija Z i admitancija Y.

Veći dio rada posvećen je proračunu strujno-naponskih prilika na početku jednoga voda i

strujno-naponske prilike dvaju paralelno spojenih vodova u elektroenergetskoj mreži. Iz

proračuna je vidljiva razlika u iznosima ulaznog napona i struje koja je zanemarivo mala.

39

10. POPIS SLIKA

Slika 1.1.: Shema četveropola........................................................................... 1

Slika 1.2.: Pokusi za određivanje matrice [Y]................................................... 1

Slika 1.3.: Pokusi sa određivanje matrice [Z]................................................... 2

Slika 1.4.: Pokusi za određivanje matrice [L]................................................... 3

Slika 2.1.: Nadomjesni model kabela voda (VVN)........................................... 5

Slika 2.2: Nadomjesni kabela voda (VN).......................................................... 6

Slika 2.3.: Nadomjesni kabela voda (SN i NN)................................................ 6

Slika 2.4.: Nadomjesni model transformatora (VVN i VN)............................. 7

Slika 2.5.: Nadomjesni model transformatora (SN i NN)................................. 7

Slika 2.1.1.: dalekovod..................................................................................... 8

Slika 2.1.2.: elektroenergetski transformator.................................................... 9

Slika 3.1.: Položaj konstanti voda jedne faze trofaznog simetričnog voda..... 11

Slika 4.1: Uzdužna impedancija i poprečna admitancija................................ 12

Slika 4.2.: Poprečna grana............................................................................... 13

Slika 4.3.: Uzdužna grana............................................................................... 13

Slika 4.4.: Uzdužna i poprečna grana.............................................................. 14

Slika 4.5.: Γ-shema ∏-shema Τ-shema........................................................... 14

Slika 4.6.: Π shema zadatka............................................................................ 15

Slika 4.7.: T shema zadatka............................................................................. 19

Slika 4.8.: Prikaz rezultata iz tablice I. za π nadomjesni model...................... 24

Slika 4.9. Prikaz rezultata iz tablice II. za T nadomjesni model..................... 24

Slika 5.1 Lanac četveropola............................................................................ 25

40

Slika 5.1.1.: Dva lančano spojena četveropola................................................ 25

Slika 5.1.2.: Nadomjesna shema dvaju četveropola........................................ 26

Slika 5.2.1. Tri lančano spojena četveropola.................................................. 27

Slika 5.2.2. Nadomjesna shema triju četveropola........................................... 27

Slika 6.1.: Serijski spoj četveropola................................................................ 29

Slika 7.1.: Elektroenergetska mreža................................................................ 30

Slika 7.2.: Nadomjesna shema elektroenergetske mreže................................ 30

Slika 8.1.: Paralelni spoj četveropola............................................................. 33

Slika 8.2.: Elektroenergetska mreža............................................................... 34

Slika 8.3.: Nadomjesna shema elektroenergetske mreže................................ 34

Slika 8.4.: Reducirana nadomjesna shema elektroenergetske mreže............. 34

41

11. POPIS TABLICA

Tablica I.: Rezultati dobiveni pomoću π nadomjesnog modela voda............. 24

Tablica II.: Rezultati dobiveni pomoću T nadomjesnog modela voda........... 24

42

12. LITERATURA

[1] Marija, Ožegović.; Karlo, Ožegović.: „Električne energetske mrežeI“, OPAL

COMPUTING d.o.o.SPLIT, Split, 1996.

[2] Marija, Ožegović.; Karlo, Ožegović.: „Električne energetske mrežeII“, OPAL

COMPUTING d.o.o.SPLIT, Split, 1996.

[3] Miroslav, Plohl.: „Teorija četveropola“, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, 1991.