1.Koji vidovi zemljotresa postoje? (i opiši ih)?Zemljotresi predstavljaju površinsko kretanje tla koje se javlja kao posledica naglog kratkotrajnog pomeranja u Zemljinoj kori ili gornjem delu Zemljinog omotača. Najčešći i najjači, pa tako i najvažniji, suzemljotresi tektonskog porekla , uzroke tektonskih zemljotresa, danas je najprihvatljivija teorija tektonskih ploča. vulkanske aktivnosti, kao posledica kretanja magme,u neposrednoj su vezi sa sa vulkans. erupc. I eksplozijama vulkanskih gasova i pareloma i urušavanja materijala u kraškim šupljinama, obrušavanje svodova i blokova velikih pećina i podzemnih prostorija, najčešće u kraškim predelimakao rezultat čovekove aktivnosti (pritiska vodenene mase u veštačkim akumulacijama na okolne stene, podzemne nuklearne eksplozije i dr.).

2.Nabroj geometrijske parametre zemljotresa. ( i opiši ih).Hipocentar, fokus ili žarište je ona tačka u dubini Zemlje u kojoj počinje generisanje zemljotresa i odakle počinju da se prostiru prvi seizmički talasi u okolni prostor. Prema dubini hipocentra zemljotresi se dele na plitke (sa hipocentrom plićim od 70 km), srednje duboke (od 70 do 300 km) i duboke (sa hipocentrom između 300 i 700 km).Epicentar predstavlja vertikalnu projekciju hipocentra na površini Zemlje . U prirodi, epicentar predstavlja manju ili veću površinu i zove se epicentralno područje zemljotresa. Rastojanje između hipocentra i epicentra se zove dubina hipocentra ; rastojanje od hipocentra do neke tačke na površini Zemlje se zove hipocentralno rastojanje , a rastojanje od epicentra do tačke se naziva epicentralno rastojanje .

3.Kakvi tipovi seizmičkih talasa postoje? (i opiši ih)? U unutrašnojsti Zemlje prostiru se prostorni talasi, dok se na površini Zemlje javljaju površinski talasi. Prostorni talasi dele se na:• P-talase, koje zovemo primarnim, longitudinalnim ili podužnim, i • S-talase, koje zovemo sekundarnim, transverzalnim ili poprečnim talasima. Kod P -talasa čestice osciluju u pravcu prostiranja talasa ,pri čemu se javlja zgušnjavanje ili kompresija i razređivanje ili dilatacija čestica. Kod S -talasa čestice osciliraju upravno na pravac prostiranja talasa, pri čemu dolazi do smicanja čestica.

Površinski talasi predstavljaju refleksiju longitudalnih i transverzalnih talasa na površini Zemlje i ograničeni su na površinske slojeve Zemlje. Dele se na• Rejlijeve Kod R-talasa javlja se eliptična oscilacija čestica u ravni upravnoj na površinu Zemlje • Lavove talase- čestice na površini osciluju u horizontalnoj ravni upravno na pravac prostiranja talasa

4.Kakvim instrumentima se registruju vibracije tla od zemljotresa u seizmologiji, a kakvim za potrebe zemljotresnog inženjerstva ? (i opiši princip njihovog rada) ? Seizmograf je u principu klatno (masa na opruzi i prigušivač) sa sopstvenom periodom koja je znatno veća od perioda vibracija tla od zemljotresa. Seizmogrami se koriste se za određivanje lokacija zemljotresa) i magnitude zemljotresa , kao i za različita seizmološka istraživanja.

Međutim, inženjere interesuje vibracije tla za vreme jakih zemljotresa i to u blizini epicentra zemljotresa, jer te vibracije predstavljaju veliko dodatno opterećenje na koje su građevinske konstrukcije izloženene tokom zemljotresa. Za registraciju jakih vibracija tla razvijena je druga vrsta instrumenata, koji se zovu akcelerografi.

Akcelerografi - Princip njihovog rada je sličan principu rada seizmografa, jedino što klatno akcelerografa ima sopstvenu periodu znatno manju od perioda vibracija tla kod zemljotresa. Relativno pomeranje klatna je u tom slučaju proporcionalno ubrzanju - akceleraciji tla.

Sa akcelerograma, slično kao i sa seizmograma, moguće je na bazi razlika vremena pristizanja P- i S- talasa opredeliti lokaciju zemljotresa i magnitudu zemljotresa.

5. Kako se klasifikuju oštećenja zgrada? (i opiši ih)? Oštećenja zgrada su klasifikovana na sledeći način:

1. Prvi stepen – laka oštećenja: sitne pukotine u malteru, osipanje komadića i ljuskica maltera i boje sa zidova i tavanica.2. Drugi stepen – umerena oštećenja: manje pukotine u zidovima, opadanje krupnih komada maltera, padanje crepova sa krova, pojava pukotina na dimnjacima i opadanje delova dimnjaka. 3. Treći stepen – teža oštećenja: veće i dublje pukotine u zidovima, rušenje dimnjaka.4. Četvrti stepen – razaranja: pucanje zidova, zjapeće pukotine, delimično rušenje zgrada, razaranje konstruktivnih veza, rušenje unutrašnjih zidova.5. Peti stepen – totalna oštećenja: potpuno rušenje zgrada.

6.Za koje stepene intenziteta se zahtevaju posebna izučavanja (i opiši ih)?Utvrđivanje ovih intenziteta zahteva posebna izučavanja.

XI stepen, pustošni zemljotres b) Teška oštećenja na veoma solidno građenim objektima. Mostovi, brane, železnički i drumski mostovi postaju neupotrebljivi. Cevi u podzemnim instalacijama se kidaju.c) U zemljištu se javlja veliki broj pukotina, zjapećih pukotina, raseda i premeštanja stenovitih masa u horizontalnom i vertikalnom pravcu. Javljaju se velika klizanja i oburvavanja stena

XII stepen, katastrofalni zemljotresb) Ogromne štete i potpuno rušenje svih objekata nad i pod zemljom.c) Bitna izmena površinskog izgleda zemljišta. Javljaju se pukotine u tlu i velika horizontalna i vertikalna premeštanja stenskih masa. Obrušavanja velikih razmera u planinskim pre-delima ili na obalama reka i drugih vodotokova. Obrazuju se nova jezera. Reke mogu menjati svoje tokove.

7. Šta su karte izoseista i kako se iste dobijaju (opiši i šematski prikaži)? Nakon događanja nekog zemljotresa na teritoriji na kojoj se isti osetio i manifestovao, ocena intenziteta se sastoji u pregledu objekata, uočavanju nastalih pojava u prirodi i ispitivanju žitelja usmeno ili pismeno (anketnih formulara). Analizom tih osnovnih podatka se vrši ocena stepena intenziteta na toj partikularnoj lokaciji. Kada se završi ocena stepena intenziteta na svim razmatranim lokacijama, brojčane vrednosti stepena intenziteta se nanose na geografsku kartu. Zatim se tačke sa istim stepenom intenziteta povežu linijama, koje se nazivaju izoseistama. Izoseiste dele šire područje u zone različitog intenziteta. Intenzitet je najveći u epicentru i smanjuje se sa udaljavanjem od epicentra.

8.Opiši način opredeljivanja Rihterove lokalne magnitude? Rihterova lokalna magnituda (ML) je najpoznatija skala, ali ona nije uvek odgovarajuća skala za opisivanje veličine zemljotresa.

• Bazirana je na amplitudi površinskih R-talasa (magnituda površinskih talasa Ms).

Magnituda površinskih talasa (Gutemberg i Rihter, 1936) je magnitudska skala svetske seizmološke mreže i bazirana je na amplitudi Rejlijevih talasa sa periodom oko 20 sec. Magnituda površinskih talasa dobija se iz jednačine :

Ms = Log(A) + 1.66LogD0 +2.0

9. Opiši amplitudske parametre zemljotresnog kretanja tla na nekoj lokaciji? Parametri kretanja tla mogu biti akceleracija, brzina ili pomeranje, ili sva tri paramatra zajedno.Integracija izaziva zaglađivajuće ili filtrirajuće efekte.

Maksimala akceleracija-ubrzanje tla je najčeće korišćena mera amplitude određenog kretanja tla i predstavlja maksimalnu – vršnu amplituda horizontalne akceleracije. Vertikalna akceleracija kretanja tla je manje interesantna za zemljotresne inženjere. Maksimalna brzina tla - Maksimalna horizontalna brzina tla: Brzina je manje osetljiva na visoke frekventne komponente jakog kretanja tla, pa je ona mnogo podesnija da tačnije karakteriše amplitude kretanja tla na srednjim frekvencijama.

Maksimalno pomeranje tla -Maksimalna horizo. pomeranja tla su povezana sa niskim frekventnim komponentama kretanja tla. Ona se često teško opredeljuju tačno, pa se ređe koristi kao mera amplituda jakog kretanja tla.

10.Opiši parametre frekventnog sastava zemljotresnog kretanja tla na nekoj lokaciji? PARAMETRI FREKVENTNOG SASTAVA -Furijeov spektarFurijev spektar kretanja tla - Furijeov amplitudni spektar jakog kretanja tla pokazuje kako su amplitude kretanja distribuirane u odnosu na frekvencije (ili periode), odnosno kako je energija kretanja tla od zemljotresa na nekoj lokaciji distribuirana po frekvencijama (periodama). Furijev amlitudni spektar izražava veoma jasno frekventni sastav kretanja tla. PARAMETRI FREKVENTNOG SASTAVA - Spektar odgovara se najčešće koristi u praksi zemljotresnih inženjera. Opisuje max odgovore konstrikcija predstavljenih kao sistemi sa jednim stepenom slobode na jedno određeno kretanje tla kao funkcije od prirodnih frekvencija (ili prir. perioda) i prigušenja sistema sa jednim step. slobode. spektri odgovora - spektri akceleracije, brzine i pomeranja od kretanja tla

11.Opiši parametre vreme trajanja zemljotresnog kretanja tla na nekoj lokaciji? Trajanje kretanja tla za vreme zemljotresa zavisi od niza faktora, među kojima su najbitniji dužina trajanja loma na rasedu odosno magnituda zemljotresa, udaljenost lokacije od žarišta i karakteristike lokalnog tla.

dužina trajanja loma na rasedu - Trajanje je veće kod veće magnitude , jer je ona proporcionalna dužini raseda koji se lomi , pa kod veće dužine preloma i vreme emitovanja direktnih seizmičih talasa je veće.

udaljenost lokacije od žarišta - Sa povećavanjem rastojanja se povećava i vreme trajanja kretanja tla zbog pristizanja na lokciji, pored direktnih, i drugih tipova talasa. karakteristike lokalnog tla - Vreme trajanje na nevezanim stenama (šljunak, pesak, glina, i sl.) je duže od onog na vezanim stenama (granit, krečnjak i sl), pri istim M i R.

Kretanje tla se sastoji iz jakog srednjeg dela i slabijih delova na početku i kraju. Za prouzrokovanje štete na objektima najvažniji je jaki deo kretanja tla.

1. Koja je bitna razlika između linearne elastične i nelinearne neelastične analize konstrukcija kod seizmičkih opterećenja?

Elastična analiza – (sa ciljem osiguranja funkcionisanja objekata posle manjih zemljotresa) njom se određuju unutrašnje sile i naponi u konstrukciji kao posledica spoljašnjeg opterećenja. Podatak za tu analizu je, među ostalim, krutost konstrukcije. Zato pre analize moraju biti poznate dimenzije svih elemenata konstrukcije. Na osnovu rezultata analize izvodi se kontrola dimenzija kao i detaljnije dimenzionisanje Neelastična analiza – (sa ciljem osiguranja objekata posle jakih zemlj.) koristi se za analizu koja obuhvata i ponašanje konstrukcije u neelastičnom području, potrebno je poznavati ne samo krutost, nego i nosivost i duktilitet pojedinih konstruktivnih elemenata. Kod rezultata, neelastične analize sile igraju sporednu ulogu, jer se

unapred zna da će sile u kritičnim presecima konstrukcije biti blizu gornje granice koju predstavlja nosivost konstrukcije.

2. Koji su uzroci (minimum 3) koji dovode do veće stvarne nosivosti od one propisane propisima ?

Smatra se da najveći deo zgrada ima veliku dodatnu nosivost. To su uzroci:

a) U propisima nije uzet u obzir povoljan efekt redistribucije napona u duktilnim statički neodređ. sistem.b) Armatura je u mnogim konstruktivnim elementima određena na osnovu minimalnih zahteva u propisima koji su merodavniji od statičkih zahteva.c) U matematičkim modelima upotrebljavaju se mnoge konzervativne pretpostavke. d) Uticaj takozvanih nekonstruktivnih elemenata obično se ne uzima u obzir.e) Ne uzima se u obzir očvršćavanje armature.

3. Koje vrednosti duktiliteta konstrukcije se opredeljuju pri analizi kosntrukcija na zemljotresno dejstvo ?

Taj duktilitet je definisan kao odnos deformacije na granici rušenja i deformacije na granici tečenja m = uu/uy.

Takođe upotrebljavamo izraz duktilitet i za označavanje duktiliteta koji se traži od konstrukcije. Taj duktilitet je definisan kao odnos maksima-lne deformacije postignute za vreme ze-mljotresa i deformacije na granici tečenja m = umax/uy.

Ako je traženi duktilitet manji od posedujućeg, onda konstrukcija (element, presek) može izdržati zemljotres bez rušenja. To znači da je max deformacija manja od deformacije na granici rušenja. U suprotnom, dolazi do rušenja.

4. Opiši kako utiče krutost na deformaciju konstrukcija?

Opažanja nakon zemljotresa pokazuju da je ponašanje krućih konstrukcija (sa nosivom zidovima) u proseku povoljnije od ponašanja fleksibilnih sistema (čisto skeletnih). Deformacije krućih sistema su manje od deformacija fleksibilnih sistema i zbog toga su manja i oštećenja svih nekonstrukt. elemenata u zgradi. Sama konstrukcija predstavlja sve manji deo vrednosti zgrade tako da uništenje svih nekonstruk. elemenata kod fleksibilnih sistema znači ekonomski gubitak zgrade, iako konstrukcija nije fizički srušena.

5. Opiši sve vidove prigušenja?

a) Spoljašnje viskozno prigušenje javlja se kod vibracija konstrukcija u vodi ili vazduhu zbog otpora vode ili vazduha. To prigušenje je zanemarljivo malo u poređenju sa drugim tipovima prigušenja.b) Unutrašnje viskozno prigušenje javlja se zbog viskoznosti materijala. Proporcionalno je relativnoj brzini vibracija. Raste sa povećanjem frekvencije vibracija. Obično preovladava kod vibracija konstrukcija u elastičnom području i lako ga je uključiti u matematički model. Zato se najčešće upotrebljava u praksi. c) Disipacija energije javlja se i zbog trenja . Taj tip prigušenja je nezavisan od brzine i od pomeranja. Kod vibracija konstrukcija može biti trenje značajno, na primer kod zidova ispune posle raspucavanja.d) Histerezisno prigušenje je veoma značajan mehanizam dispacije energije kod vibracija u neelastičnom području. Disipirana energija jednaka je površini petlje u dijagramu opterećenje – deformacija. Hist.prigušenje zavisi od veličine pomeranja. Može se modelirati pomoću opruge koja ima nelinearnu zavisnost između opterećenja i deformacije, pa za rešavanje jednačine kretanja treba koristiti nelinearne metode.e) Za vreme vibracija konstrukcije, elastični talasi se šire po poluprostoru na kojem je konstrukcija fundirana. Takva disipacija energije zove se radijacijsko prigušenje koje zavisi od karakteristika tla i od karakteristika konstrukcije. Prigušenje se povećava sa povećavanjem krutosti konstrukcije, fleksibilnosti tla i dubine fundiranja. Smanjuje se kod viših tonova vibracija.

6. Opiši generalni koncept dinamičkog matematičkog modeliranja zgrada ?

Izbor matematičkog modela je jedan od najtežih i najznačajnijih faza kod rešavanja dinamičkih problema. Matematički model mora obuhvatiti sve bitne karakteristike konstrukcije, tako da se može dovoljno tačno simulirati stvarno ponašanje konstrukcije. S druge strane mora biti dovoljno jednostavan da omogućava ekonomičan račun. Potrebno je naglasiti da izbor odgovarajućeg modela ne zavisi samo od konstrukcije nego i od opterećenja i od značaja objekta, a i od vremena i mogućnosti koje stoje na raspolaganju. Treba imati u vidu da tačnost rezultata uvek bitno zavisi od tačnosti najmanje tačne faze u postupku računa. Ako je tačnost opterećenja mala, kao što je najčešći slučaj kod zemljotresnog opterećenja, onda veoma komplikovan model i velika tačnost računa ne doprinosi mnogo tačnosti rezultata, dok mogu bitno povećati troškove proračuna.

Za dinamičku analizu kod zemljotr. opterećenja se upotrebljavaju jednostavniji modeli nego kod statičkog opterećenja. Prelaz iz komplikovanijeg (statičkog) na jednostavniji (dinamički) model možemo izvršiti postupkom kondenzacije kojim eliminišemo sve nebitne stepene slobode, a to su po pravilu oni koji su vezani sa malim inercijalnim silama i gde nema spoljašnjeg opterećenja. Inercijalna sila je mala ako je mala masa ili ubrzanje. Postupkom kondenzacije iz poznatih matrica za statički model konstrukcije izračunamo matrice za jednostavniji dinamički model.

7. Opiši i grafički prikaži na primeru zgrade (regularnog okvira ) sa 4 etraža i 4 polja postupak kondenzacije iz statičkog u dinamički model?

Kao primer posmatramo regularan okvir u ravni - upotrebljavamo model sa po tri stepena slobode u svakom slobodnom čvoru i dobijamo model sa 60 stepeni slobode. Takav model obično upotrebljavamo kod statičkog računa sa računarima. Kod posmatranog okvira ne činimo veliku grešku ako ne uzmemo u obzir uticaj aksijalnih sila. U tom slučaju možemo brisati sva vertikalna pomeranja (20 stepeni slobode).

Kao posledica krute spratne tavanice, pomeranja čvorova u jednom spratu biće skoro ista, pa možemo izjednačiti horizontalna pomeranja svih čvorova u jednom spratu (broj stepeni slobode smanjimo za daljih 16). Tako dobijamo model sa 60 – 20 – 16 = 24 stepeni slobode (20 rotacija i 4 horizontalna pomeranja spratova). Takvi modeli su se upotrebljavali za statičku analizu pre uvođenja računara. Dinamičku analizu možemo uraditi na jednom ili drugom modelu, a dovoljno dobre rezultate možemo dobiti i na još jednostavnijem modelu sa 4 stepena slobode. Postupak koji to omogućava, je kondenzacija stepeni slobode. Stepeni slobode u matem. modelima okvira a) model sa 20x3 = 60 stepeni slobode za staticku analizu, b) model sa 20x1 + 4 = 24 stepeni slobode za stat. analizu,c) model sa 4 stepeni slobode za dinamičku analizu

8. Od čega sve zavise matematički modeli i metoda kojima se vrši seizmička analiza zgrada? Za seizmičku analizu zgrada upotrebljavaju se u zavisnosti od komplikovanosti i značaja konstrukcije, od jačine seizmičkog opterećenja i tačnosti podataka o opterećenju, od tačnosti podataka o konstrukciji i od ograničenja koja postavljaju troškovi, rokovi i sposobnosti projektanta, različiti matematički modeli i različite metode proračuna.

9. Nabroj i ukratko opiši vidove diskretnih modela za linearnu analizu zgrada ?Diskretnim modelima mogu se modelirati proizvoljne konstrukcije zgrada. prostorni (trodimenzionalni) modeli - Najkomplikovaniji su, samo se izuzetno upotrebljavaju. Relativno su

skupi, dobijeni rezultati su obimni i često nepregledni, a tačnost obično nije bitno veća od tačnosti dobijene jednostavnijim modelima. Za analizu se upotrebljavaju opšti programi za metodu konačnih elemenata, na primer SAP IV , SAP 84 ili SAP 2000.

pseudo-trodimenzionalni model i- Za analizu zgrada najpogodniji ,a koriste pretpostavke o tipičnim karakteristikama konstrukcija zgrada i time bitno pojednostavljuju račun. Ovaj model ima po tri stepena slobode u svakom spratu i obično adekvatno simulira prostorne karakteristike konstrukcije.

ravanski model- koristimo za slučaj simetrične zgrade, gde nema uticaja torzije, i ima samo po jedan stepen slobode u svakom spratu. Ti modeli se mogu analizirati i bez računara. Često se upotrebljavaju aproksimativno i za analizu nesimetričnih konstrukcija zgrada, pa se mogu dobiti rezultati sa dosta velikim greškama; zato se ta metoda, koja je bila jedina moguća u prošlosti, danas, u doba računara, u većini slučajeva ne koristi.

U nekim slučajevi. je moguće analizirati pojedine spratove zgrada nezavisno od drugih (spratni modeli) sistem sa jednim stepenom slobode, za određene tipove zgrada, to je najjednostavniji mogući model.

10. Nabroj i ukratko opiši metode za linearnu analizu modele zgrada kod seizmičkog opterećenja?

Za linearnu analizu modela zgrade kod seizmičkog opterećenja upotrebljavaju se različite metode. Ako nas interesuje vremenski tok odgovora, onda upotrebljavamo ili metodu direktne integracije (Kao kod sistema s jednim stepenom slobode, možemo i kod sistema s više stepeni slobode upotrebiti za rešavanje jednačina čiste numeričke metode. Tada rešavamo sistem jednačina u osnovnom obliku i zbog toga se taj način rešavanja zove i direktna integracija. Time je naglašena razlika prema modalnoj analizi gde u prvom koraku sistem jednačina transformišemo, a u drugom koraku rešavamo transformisane jednačine.) ili modalnu analizu. Za dimenzionisanje, nas interesuju maksimalne vrednosti koje možemo obično sa odgovarajućom tačnošću izračunati na jednostavniji način pomoću spektra odgovora u modalnoj analizi . Rezultati, dobiveni odgovarajućim spektrom, iako teoretski manje tačni, često su adekvatniji od rezultata dobijenih analizom vremenskog toka odgovora: rezultati dinamičke analize vremenskog toka odgovora zavise kako od detalja modela konstrukcije tako i od detalja upotrebljenih akcelerograma, a te detalje je nemoguće odrediti sa dovoljnom sigurnošću. Kod proračuna sa spektrima, gde se obično upotrebljavaju zaglađeni spektri, koji odražavaju bitne karakteristike očekivanog zemljotresa, rezultati manje zavise od nesigurnosti detalja modela i opterećenja. Spektralna analiza se pojednostavljuje, ako se upotrebi ravanski model. Najjednostavnija je analiza kod upotrebe modela sa jednim stepenom slobode . Metode, primenjive za sistem sa jed.step. slobode su i baza za proračun sistema sa više step. slobode metodom modalne analizeU propisima i u praksi često se upotrebljava metoda ekvivalentnog statičkog opterećenja. Ona je veoma jednostavna. U principu je primenljiva samo za regularne zgrade, a i tada se javljaju određene dileme.

11. Nabroj i kratko opiši modele i metode za nelinearnu analizu zgrada kod seizmičkog opterećenja modele za nelinearnu analizu zgrada kod seizmičkog opterećenja?matematičko modeliranje i postupak nelinearne analize su dosta komplikovani.Opšti trodimenzionalni modeli, praktično, za sada još nisu široko primenljivi za komplikovane konstrukcije zgrada. obično se za nelinearnu analizu konstrukcije zgrada koriste ravanski modeli sastavljini od relativno jednostavnijih modela i spratni modeli.

Za nelinearnu analizu konstrukcije se, sa iznimkom sistema sa jednim stepenom slobode, od poznatijih metoda teoretski može upotrebljavati jedino metoda direktne numeričke integracije. Opšti trodimenzionalni modeli, praktično, za sada još nisu široko primenljivi za komplikovane konstrukcije zgrada. Iako postoje programi za nelinearnu analizu pseudo-trodimenzionalnih modela zgrada, obično se za nelinearnu analizu konstrukcije zgrada koriste ravanski modeli sastavljini od relativno jednostavnijih modela. Analiza pokazuje, da je sa takvim modelima moguće dobiti dosta dobru korelaciju sa stvarnim nelinarnim ponašanjem konstrukcije ako se kod modeliranja konstrukcija uzme u obzir i najvažniji rezultati dobiveni eksperimentalnim putem. Mnogo je teže, ako ne i praktično nemoguće, dobiti dobru koreleaciju u fazi projektovanja, gde nema na raspolaganju eksperimentalnih rezultata. To ukazuje na to da su kod nelinearnih seizmičkih analiza glavni problem i glavni izvor nesigurnosti ulazni podaci.

Metoda koja bazira na takozvanom spratnom modelu je upotrebljiva za niske zidane zgrade kao i za konstrukcije od čistih okvira sa dosta krutim gredama. i N2 metoda koja bazira na dinamičkoj analizi ekvivalentnog sistema sa jednim stepenom slobode i time omogućava primenu (nelinearnih) spektara. Metoda je upotrebljiva za zgrade bez izrazitih nepravilnosti koje pretežno osciliraju u osnovnom tonu vrbracija.

12. Prikaži grafički, opiši dejstvujuće sile i napiši jednačinu dinamičke ravnoteže za matematički model sa jednim stepenom slobode za linearno elastičan sistem pobuđen dinamičkom horizontalnom silom?

Model ima samo jedan stepen slobode (pomeranje u). Pretpostavljeno je da je svaka od bitnih fizičkih osobina modela (masa, krutost, prigušenje) koncentrisana u jednom elementu (masa, opruga, prigušivač).

Slika 3.12. Matemetički model sistema sa jednim stepenom slobode i sile

Prema Drugom Njutnovom zakonu, rezultanta svih sila jednaka je produktu mase i ubrzanja. Po Dalamberovom principu, uvedemo fiktivnu inercijalnu silu fI i napišemo jednačinu dimamičke ravnoteže

ƒI + ƒD + ƒE = ƒ(t) (3.17)

gde je ƒ (t) spoljašnje opterećenje (sila). Fiktivna inercijalna sila definisana je produktom mase i ubrzanja.

ƒI = mü (3.18)

Kod pretpostavke viskoznog prigušenja, sila prigušenja je proporcionalna brzini

ƒI = cú (3.19)

Pretpostavićemo konstantan koeficijent prigušenja c.

Ako usvojimo pretpostavku da je materijal linearno elastičan, onda je sila elastičnog otpora (unutrašnja sila) jednaka produktu krutosti i pomeranja

ƒI = ku (3.20)

Krutost k je definisana kao sila usled jediničnog pomeranja. recipročna vrednost je fleksbilnost d.

d = 1/k

sređivanjem jednačine 3.17, dobijamo nehomogenu linearnu diferencijalnu jednačinu 2. reda sa konstantinim koeficijentima koja odražava jednačinu kretanja (vibracija) sistema sa jednim stepenom slobode i sa viskoznim prigušenjem

mü + cú + ku = ƒ(t) (3.21)

Deljenjem jednačine (3.21) masom m dobija se

ü+ 2ξωú +ω2u = ƒ(t) /m gde je ω = √k /m

kružna frekvencija neprigušenog sistema koja je povezana sa periodom T = 2π /ω . (3.24)

Koeficijent prigušenja ξ definisan je količnikom ξ = c / ccr

gde se ccr koeficijent prigušenja u graničnom slučaju kritičnog prigušenja kada prestaje vibracija.

Koeficijent ξ je za građevinske konstrukcije (sa izuzetkom nekih slučajeva interakcije konstrukcije i tla ) relativno mali). Zbog toga je kružna frekvencija prigušenog sistema, koja je definisana jednačinomωD = ω √(1−ξ2) u većini slučajeva praktično jednaka kružnoj frekvenciji neprugušenog sistema ωD ≅ω 13. Prikaži grafički, opiši dejstvujuće sile i napiši jednačinu dinamičke ravnoteže za matematički model sa jednim stepenom slobode za linearno elastičan sistem pobuđen zemljotrsnim pomeranjem?

Kod zemljotresa, na konstrukciju ne dejstvuje neka spoljašnja sila nego se javlja opterećenje u vidu pomeranja oslonca. U tom slučaju, apsolutno pomeranje mase jednako je veličini pomeranja oslonca (tla) i relativnog pomeranja konstrukcije (slika 3.13)

ua = ur + ut

Slika 3.13. Sistem sa jednim stepenom slobode kod opterećenja sa pomeranjem oslonca

Pošto je inercijalna sila proporcionalna apsolutnom ubrzanju mase, sila prigušenja relativnoj brzini (preovladava unutrašnje viskozno prigušenje), a sila elastičnog otpora relativom pomeranju, jednačina dinamičke ravnoteže glasi

müa + cúr + kur = 0 Uvođenjem jednačine (3.28) i njenih izvoda po vremenu u jednačinu (3.29), dobijamo posle uređivanja

mür + cúr + kur = - müt ili müa + cúa + kua = cút + kut

Poređenjem jednačina (3.30) i (3.31) sa jednačinom (3.21) vidimo da je, kod opterećenja sa pomeranjem oslonaca, ekvivalentno spoljašnje opterećenje jednako

ƒ (t) = - müa ili ƒ (t) = cúr + kur

U prvom slučaju kao rezultat analize dobija se relativno pomeranje ur, a u drugm apsolutno pomeranje ua. Pošto je zemljotresno opterećenje obično dato u vidu akcelerograma, u praksi se skoro isključivo upotrebljava prvi oblik jednačine (3.30) koja, posle delejnja masom i uz oznaku u ≡ ur, glasi

mü + 2ξωú +ω2u = - üt 14. Opiši najvažnije karakterist.pojedinih matrica u difer. jednačini kretanja za sistem sa više stepeni slobode?

Sve matrice koje su obuhvaćene sistemom jednačina su simetrične. Osim toga imaju još sledeće karakteristike:Koeficijent matrice krutosti kij je, po definiciji, generalisana sila, vezana sa stepenom slobode i zbog jediničnog generalisanog pomeranja u stepenu slobode j. Sva ostala pomeranja su jednaka nuli. Matrica krutosti je inverzna matrici fleksibilnosti.

K-1= D.

Koeficijent matrice fleksibilnosti dij, je po definiciji, generalisano pomeranje u stepenu slobode i zbog jedinične generalisane sile u stepenu slobode j. Sve ostale sile jednake su nuli.Matrice krutosti i fleksibilnosti su pozitivno definitne, ako su konstrukcija kao celina i svi njeni delovi stabilni. Ako je konstrukcija nestabilna, ne može se izvršiti inverzija (3.77). Matrice mogu biti trakaste.Koeficijent matrice masa mij predstavlja inercijalnu (generalisanu) silu u stepenu slobode i zbog generalisanog ubrzanja u stepenu slobode j. Matrica masa je konzistentna, ako se kod njenog određivanja upotrebljavaju iste interpolacione funkcije kao kod određivanja matrice krutosti.Konzistentna matrica masa je pozitivno definitna. U praksi se najčešće upotrebljava pretpostavka da su mase koncentrisane. U tom slučaju postaje matrica masa (uz odgovoarajući izbor kordinatnog sistema) dijagonalna što bitno olakšava proračun. Kod modela sa koncentrisanim masama često zanemarimo mase vezane sa određenim stepenima slobode. U takvim slučajevima matrica masa nije pozitiivno definitna. Kod proračuna svojstvenih vibracija možemo dobiti samo toliko realnih frekvencija koliko je zadatih masa.Matrica prigušenja potrebna nam je u eksplicitnom obliku samo ako za rešavanje sistema jednačina upotrebimo metode direktne integracije tipa „korak po korak“.