Zéro puissance zéro. Zero to the Zero-th Power

ZERO PUISSANCE ZERO

Jean Jacquelin

ZERO TO THE ZEROTH POWER

Translated by Sam Schiavone

Les pages suivantes ( 2 à 6 ) ont été publiées dans le magazine

QUADRATURE n°66, pp.34-36, octobre 2007

Edité par EDP Sciences, 17 av. du Hoggar, PA de Courtaboeuf, 91944 Les ULIS, France

http://www.edpsciences.org/quadrature/

The English version (pages 7-11) was first publishd in Physics Furums, June 4-2011 :

http://www.physicsforums.com/showpost.php?p=3337721&postcount=59

Acknowledgement

Je remercie vivement Dr. S. Schiavone pour la traduction bénévole qui, non seulement

respecte scrupuleusement le contenu mathématique, mais aussi restitue au mieux les quelques

digressions humoristiques.

Jean Jacquelin, ZERO PUISSANCE ZERO, 20 septembre 2006. Updated : June 6, 2011 2

ZERO PUISSANCE ZERO

Jean Jacquelin

1. Prologue :

Sans doute, n’avez-vous jamais vu le monstre du Loch Ness. Par contre, il serait fort

étonnant que celui du Power Less ne vous soit jamais apparu, au détour d’un exercice, ou

qu’un étudiant curieux vous ait posé la question, ou encore qu’un autre, moins bien

intentionné, ait cherché à vous mettre dans l’embarras.

On ne compte plus les apparitions du monstre du Power Less sur la toile, dans les

forums de mathématiques, où il ne cesse de refaire surface, donnant lieu à des questions

toujours renouvelées et à de sempiternelles controverses.

Mais quel est donc ce serpent de mer ? Ce n’est pas 0

0 , trop bien connu maintenant.

Eh oui, il s’agit d’un de ses descendants, l’étrange 00 , le zéro puissance zéro.

Certains diront que 00 est indéterminé. Quelques-uns pensent que 0

0=0 dans certains cas.

D’autres déclareront que 00=1, ou plus prudemment que cette égalité est une « convention ».

Mais, s’il s’agissait seulement d’une convention et non pas d’une propriété générale et

démontrée, comment savoir dans quel contexte elle reste valide ?

2. Le point de vue des ensemblistes :

Considérons deux ensembles N et M comportant respectivement n et m éléments

(cardinal(N)=n et cardinal(M)=m ). Le cardinal de l’ensemble des applications de N vers M

(c'est-à-dire le nombre d’applications) est égal à mn .

Dans le cas très particulier où n=m=0, il s’agit de l’application de l’ensemble vide vers

lui-même, ce qui fait donc une seule application. Conclusion : 00=1.

Encore que ce ne soit pas très intuitif ! Néanmoins, c’est logique et cohérent dans les

calculs d’analyse combinatoire, entre autres.

Ainsi, dans ce contexte, 00=1 est plus qu’une convention, c’est une égalité démontrée.

3. Un point de vue algébrique élémentaire :

Etant donné un réel x différent de 0 et un entier n>0, que signifie xn ? Chacun a appris

en son temps que xn est obtenu en multipliant x par lui-même n fois de suite :

xn = x*x*…*x, dans laquelle x apparaît n fois (sous-entendu : dans le membre de droite).

Soit m entier pouvant être égal à 0. D’après ce qui vient d’être vu, x(n+m)

= x*x*…*x,

dans laquelle x apparaît (n+m) fois, ce qui est correct puisque (n+m)>0. On peut scinder cette

succession de x en deux : l’une (xn) qui en comporte n et l’autre (x

m) qui en comporte m. Cette


dernière pouvant n’en comporter aucun dans le cas m=0. Sa valeur, (alors formellement écrite

x0 ) est donc nécessairement égale à 1 puisque l’on a dans ce cas : (x

n)= (x

n)* (x

0)= (x

n)* (1).

Conclusion : x0=1.

On serait tenté d’étendre le raisonnement à x=0, au quel cas on aurait 00=1. Mais si

l’on revient au début de ce paragraphe, xn étant obtenu en multipliant x par lui-même n fois de

suite et dans le cas x=0, on a 01 =0, 0

2 =(0*0)=0, etc, 0

n =0 et cette fois, ce serait 0

0=0 auquel

on s’attendrait !

L’origine du dilemme, 00 =1 ou 0, tient clairement dans la définition élémentaire de

xn , « obtenu en multipliant x par lui-même n fois de suite », qui dans le cas n=0 conduit à un

aphorisme dénué de sens : « x0 est obtenu en multipliant x par lui-même 0 fois de suite ». Que

veut bien pouvoir dire «multiplier zéro fois de suite » ?

Certes, on a vu que l’on peut étendre la définition à x0=1 , avec x différent de 0, ce qui

n’est donc pas une convention, mais une égalité démontrée dans ce cas. Par contre, pour x=0,

la convention pourrait être aussi bien 00=0 que 0

0=1.

4. Point de vue topologique :

L’idée est de définir, si possible, 00 en tant que limite d’une fonction à deux variables

réelles x et y, en les faisant tendre vers 0. On considère donc la fonction :

( )( , ) exp ln( )yf x y x y x= = avec x>0.

- Dans le cas y=0, on a : x0=exp(0)=1.

- Dans le cas y>0 si l’on fait tendre x vers 0, y.ln(x) tend vers −∞ et xy tend vers 0.

- Dans le cas y<0 si l’on fait tendre x vers 0, y.ln(x) tend vers +∞ et xy tend vers +∞ .

On voit déjà que, selon que y est nul ou pas et dans ce cas selon le signe de y ,

l’hypothétique limite 0 y n’est pas toujours la même. Elle saute de 0 à +∞ lorsque y passe de

négatif à positif. Mais elle passe par x0=1 pour y=0, ce qui laisse supposer que 0

0=1.

Cette conjecture se renforce en constatant qu’avec y=x, la limite de xx=exp(x.ln(x)) est

1 lorsque x tend vers 0, car (x.ln(x)) tend vers 0.

Par les exemples précédents, on serait donc tenté de croire que la limite est toujours

00=1. Mais ce n’est pas si simple. La limite dépend aussi de la façon dont on fait tendre x et y

vers 0, soit indépendamment l’un de l’autre, ou simultanément. Par exemple considérons la

fonction :

( )( )

( )( ) ( )2 / ln( )

( ) exp 2 / ln( ) ln( ) exp 2x

f x x x x= = =

Lorsque x tend vers 0, l’exposant y=2/ln(x) tend vers 0. Donc, à la limite, 00=e

2.


Et cet autre exemple : 11 1( ) exp exp

y

f y y ey y

− = − = − =

Lorsque y tend vers 0, exp(-1/y) tend vers 0. Donc, à la limite, 00=e

-1.

Ces exemples peuvent sembler outranciers. Néanmoins, lors du calcul de limites de

fonctions compliquées, il n’est pas rare de tomber sur des formes se ramenant à xy avec x et y

tendant vers 0 et dont la limite (formellement 00) n’est ni égale à 1, ni à 0.

Par cette approche, on est conduit à penser que 00 est une forme indéterminée.

5. Et pourquoi pas une approche graphique ?

Ce n’est certes pas la plus élégante et les théoriciens n’apprécieront probablement pas.

Néanmoins, pour ceux à qui un dessin parle mieux que toute démonstration, la figure 1

illustre ce qui vient d’être évoqué dans le paragraphe précédent.

Figure 1 : Représentation de f(x,y) = xy

En fait, cette figure est une sorte d’abaque qui permet de lire la valeur approchée de

f(x,y)=xy correspondant à x et y donnés. Si le point (x,y) ne tombe pas exactement sur l’une

des courbes, la valeur approchée de xy sera obtenue par interpolation. La précision est


évidemment bien plus mauvaise qu’avec une calculette électronique, mais c’est sans

importance pour notre propos.

Nous cherchons à voir ce qu’il se passe au voisinage de (0, 0) afin de comprendre la

signification de 00, à la limite. C’est une région (figure 1) où les courbes se concentrent, ce

qui nous laisse dans l’expectative. Il convient de faire un agrandissement de cette zone.

Figure 2 : agrandissement au voisinage de (0, 0)

Le zoom, figure 2, ne nous satisfait pas encore pleinement, mais on comprend que l’on

pourrait poursuivre ainsi, avec des grossissements de plus en plus forts, sans parvenir à

distinguer les courbes au plus près de l’origine.

Il est clair qu’au voisinage immédiat du point (0, 0) toutes les courbes tendent à se

confondre, ce qui, visuellement et par suite intuitivement, nous fait comprendre que, pour x

positif tendant vers 0 et y tendant vers 0, la limite de xy peut prendre n’importe quelle valeur

positive, voire même 0 ou +∞ .

Si ce n’est pas de l’indétermination, alors qu’est-ce donc ?


6. Epilogue :

Chacun aura compris que, si le domaine des mathématiques dans lequel on travaille

n’est pas précisé, 00 est indéterminé. Il n’en va pas de même si l’on se place dans un contexte

bien délimité, dans lequel une définition précise et spécifique à ce domaine a été donnée au

formalisme 00.

Très fréquemment la convention 00=1 permet de simplifier la présentation des

formules et d’éviter de devoir traiter à part des cas particuliers dans les exposés.

Le formalisme 00=1 est plus qu’une convention et peut être utilisée en tant qu’identité

démontrée dans un contexte explicite qui s’y prête. Mais il est souvent flou et la prudence

veut alors que l’on considère cette convention comme un moyen commode, mais ne

participant pas effectivement à une démonstration. S’il est un domaine où la méfiance, voire

même la défiance, est de règle, c’est bien celui du calcul des limites et de l’étude du

comportement local au voisinage de points singuliers.

Avons-nous débusqué le dit monstre du Power Less ? Oui, certainement et nous ne

sommes pas les premiers. Tout cela est connu de longue date, ce qui ne le gêne pas dans ses

réapparitions. Débusqué, il l’est et l’a été. Mais disparu, annihilé, que nenni ! Pour cela, il

faudrait que 00 soit aussi commun et connu au niveau moyen des connaissances « populaires »

que ne l’est son ancêtre 0

0 .

Mais, au fait, pourquoi « son ancêtre » ? Et bien, vous allez devoir me pardonner un

beau tour de passe-passe :

Posons t=1/ln(x). Pour x et y tendant vers 0, ln(x) tend vers −∞ et t tend donc vers 0. Nous

avons xy=exp(y.ln(x))=exp(y/t), avec y et t tendant vers 0.

Et voila qu’apparaît en toute lumière le susdit 0

0

y

t= .

Quoi ! 00 et ( )0

0exp seraient-ils donc équivalents ?

Sérieusement, ne rêvons pas : Nous tous, n’avons pas fini de rencontrer le monstre du

Power Less. Quant à moi, je n’ai pas fini d’entendre mes bons amis écossais me reprocher cet

invraisemblable rapprochement de leur célèbre monstre avec un vulgaire 00 affublé ici d’un

nom extravagant.


ZERO TO THE ZEROTH

POWER

Jean Jacquelin

Translated by Sam Schiavone

1. Prologue

You have probably never seen the Loch Ness monster. On the other hand, it would be

rather surprising if you had never come across the Power Less monster in the course of an

exercise, or when a curious student asked you a question, or when another less well-

intentioned student tried to embarrass you in front of the class.

We no longer bother to count the number of appearances of Power Less on the Web in

mathematical forums, where he surfaces again and again, bringing with him the same

questions and perpetual controversies.

But what is this mysterious sea serpent? No, it is not 0

0 , now only too well known.

Rather, it is one of its close relatives, the strange 00, zero to the zero

th power.

Certain people will tell you that 00 is indeterminate. Others think that 0

0 = 0 in certain

cases. Still others will contend that 00 = 1, or more prudently that this equality is a

"convention". However, if this "equality" is nothing more than a convention and not a proven

statement, how are we to know in which contexts it holds true?

2. A Set Theoretic Point of View

Let us consider two sets N and M consisting of n and m elements, respectively (i.e.,

card(N) = n and card(M) = m). The cardinality of the set of functions from N to M (that is, the

number of functions) is mn.

In the particular case where n = m = 0, we have the number of functions from the empty

set to itself, which yields one single function. Conclusion: 00 = 1.

This is not terribly intuitive! Nevertheless, this conclusion is logical and coherent in the

context of combinatorics, among others. Thus, in this case, 00 = 1 is more than a mere

convention: it is a proven equality.


3. An Elementary Algebraic Point of View

Given a nonzero real number x and a positive integer n, what is the meaning of x

n ?

Every one of us learned at some point or another that xn is obtained by multiplying x by itself

n times, that is xn = x * x * … * x, where x appears n times on the right-hand side.

Let m be an integer, possibly 0. According to what we just saw, xn+m

= x * x * … * x,

where x appears n+m times, which is permissible since n+m > 0. We may split this product of

x's into two parts, one (xn) containing n copies of x and the other (x

m) containing m copies.

Thus, in the case where m = 0, this second term contains zero copies of x. Its value, formally

written x0, is therefore necessarily 1 because in this case, x

n*1 = x

n = x

n+0 = x

n * x

0.

We might be tempted to use the same reasoning for the case x= 0, which would yield 00

= 1.

However, returning to the beginning of this paragraph where we obtained xn by multiplying x

by itself n times, for x = 0 we have 01 = 0, 0

2 = 0 * 0 = 0, etc. Thus we have 0

n = 0, which

would lead us to expect 00 = 0, contrary to the previous section!

The source of this dilemma clearly lies in our elementary definition of xn being "obtained

by multiplying x by itself n times," which in the case n = 0 leads us to a statement devoid of

meaning: " x0 is obtained by multiplying x by itself 0 times." What could it possibly mean to

multiply something zero times?

Certainly we have seen that we may extend this definition to x0 = 1 for nonzero x, which

is therefore not merely a convention, but a proven equality in this case. On the other hand, for

x = 0, the convention could be 00 = 0 just as well as 0

0 = 1.

4. A Topological Point of View

The idea is to define, if possible, 0

0 as the limit of a function of two real variables x and y

as they both approach 0.

Therefore, we consider the function: f(x, y) = xy = exp(y ln(x)), for x > 0.

● In the case y = 0, we have x0 = exp(0) = 1.

● In the case y > 0, as x approaches 0, y ln(x) approaches -∞ and xy therefore approaches 0.

● In the case y < 0, as x approaches 0, y ln(x) approaches +∞ and thus xy approaches +∞.

We see already that, depending on whether y is positive, negative, or zero, the

hypothetical limit 0y is not always the same. It jumps from 0 to +∞ as y changes from negative

to positive. However, this limit does yield x0 = 1 for y = 0, making us suppose that 0

0 = 1.

This conjecture is reinforced by the fact that, for y = x, the limit of xx = exp(x ln(x)) is 1

as x approaches 0, since x ln(x) tends to 0.

Examining the preceding examples, we may be tempted to believe that an approach

using limits will always yield 00 = 1. However, things are not so simple. This limit also


depends on the manner in which x and y approach 0, either independently from each other, or

simultaneously. For instance, let us consider the function

( )( )

( )( ) ( )2 / ln( )

( ) exp 2 / ln( ) ln( ) exp 2x

f x x x x= = =

As x tends to 0, the exponent y = 2 / ln(x) approaches 0. Thus, in the limit, 00 = e

2.

And this other example: 11 1( ) exp exp

y

f y y ey y

− = − = − =

As y approaches 0, exp(-1 / y ) tends to 0. Therefore, in the limit, 00 = e

-1.

These examples may seem far-fetched. Nonetheless, while calculating the limit of

complicated functions, it is not uncommon to come across expressions that reduce down to xy

with x and y both approaching 0, yet whose limit (formally 00) is neither 1 nor 0.

Using this approach, we are therefore led to believe that 00 is an indeterminate form.

5. And Why Not A Graphical Approach?

This is certainly not the most elegant approach, and theoreticians will probably not

appreciate it. Nevertheless, for those for whom a picture is worth a thousand words, figure 1

illustrates that which was discussed in the preceding paragraph.

Figure 1


In fact, this figure is a kind of abacus which allows us to read off the value approached

by f(x; y) = xy corresponding to given x and y. If the point (x; y) does not fall exactly on one of

these curves, the value approached by xy may be obtained by interpolation. The precision of

this graph is quite obviously not nearly as good as that of a graphing calculator, but this is

unimportant for our purposes.

We are attempting to observe what occurs in the neighborhood of (0; 0) in order to

understand the meaning of 00, in the limit. In this region the curves get closer and closer

together, so much so that they become indistinguishable, leaving us in a state of suspense.

Accordingly, we magnify this region.

Figure 2

The enlarged figure 2 is still not fully satisfactory, and we realize that, even if we were to

pursue this approach further, making larger and larger magnifications, we still would be

unable to distinguish the different curves as they approach the origin.

It is clear that in the immediate neighborhood of the origin, all the curves become

indistinguishable, which, visually and thus intuitively, tells us that, for x positive approaching

0 and y approaching 0, the limit of xy could take on any positive value, even 0 or +∞.

If this isn't indeterminate, then what is?


6. Epilogue

Hopefully everyone will have understood that, if the branch of mathematics in which we

are working is not specified, then 00 is indeterminate. On the other hand, if we are working in

a specific context, it is often possible to give a rigorous meaning to the symbols 00.

Very frequently the convention 00 = 1 allows us to simplify formulae and to avoid

treating several cases separately.

The formalism 00 = 1 is more than a convention and may be used as a proven identity in

an explicitly indicated context. However, this may lead to ambiguity, and we should, with

prudence as our guide, consider this convention as a convenient shorthand, rather than a

general identity. If there is a domain where mistrust, or even distrust, is the rule, it is that of

the calculation of limits and the study of local behavior in the neighborhood of singularities.

Have we therefore flushed out said Power Less monster? Yes, certainly, and we are by

no means the first to do so. All this has been known for years, which does not prevent its

repeated reappearances.

Flushed out, he is and has been. But extinct, annihilated, nay! For this to be the case, 00

must be as common and as well known as its ancestor 0

0.

But why do we continue to call this other beast Power Less's "ancestor" ? Well, please

excuse this last exercise in sleight of hand:

Let t = 1 / ln(x). For x and y approaching 0, ln(x) approaches -∞ and t therefore tends to

0. We have xy = exp(y ln(x)) = exp(y / t), with y and t both approaching 0. And thus we

discover the aforementioned 0

0

y

t=

What! 00 and ( )0

0exp are therefore equivalent?

Seriously, let us not delude ourselves: we have not seen the last of the Power Less

monster. As for myself, I have not heard the last of it from my Scottish friends, who continue

to reproach me for this implausible comparison between their renowned monster and a vulgar

00 gussied up with an extravagant name.

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