31

Міністерство освіти і науки України

Український центр оцінювання якості освіти

ЗОШИТ

2

МАТЕМАТИКА ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ

ОЦІНЮВАННЯ

Час виконання — 180 хвилин

Екзаменаційний тест складається з трьох частин, у якихподано 33 завдання різної форми. Відповіді на завдання части-ни 1 та частини 2 Ви маєте позначити в бланку А. Розв’язаннязавдань частини 3 слід записати в бланку Б. Правила виконаннязазначені на початку кожної форми завдань.

Інструкція щодо роботи в тестовому зошиті

1. Відповідайте тільки після того, як Ви уважно прочитали та зрозуміли завдання й правила його виконання.

2. Використовуйте як чернетку місця, відведені у тестовомузошиті.

3. Намагайтеся відповісти на всі тестові завдання.

Інструкція щодо заповнення бланків відповідей А і Б

1. До бланків записуйте лише правильні, на Вашу думку, від-повіді.

2. Відповіді вписуйте чітко, відповідно до інструкцій щодокожної форми завдань.

3. Подвійні, неправильно записані, закреслені, підчищені тавиправлені відповіді у бланку А — це ПОМИЛКА!

4. Якщо Ви записали відповідь неправильно, можете її випра-вити у відведеному місці на бланку А.

5. Виконавши завдання частини 3, запишіть їх на бланку Б. 6. Ваш результат залежатиме від загальної кількості правиль-

них відповідей, записаних до бланка А, та розв’язання за-вдань частини 3.

7. Перш ніж виконувати завдання, позначте номер Вашогозошита у відповідному місці бланків А і Б.

Успіху Вам!

32

ЧАСТИНА 1 Завдання 1–24 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Швидкість теплохода відноситься до швидкості течії річки як 34 : 5. Теплохід рухався 4 год 50 хв за течією річки. Скільки часу йому потрібно, щоб повернутися назад?

А Б В Г Д

5 год 40 хв 6 год Не можна встановити 7 год 6 год 30 хв

2. Розв’яжіть рівняння: |2x – 3| =3 – 2x.

А Б В Г Д

Будь-яке число (–∞; 1,5] 1,5 Немає

коренів [1,5; +∞)

3. Скоротіть дріб: 3 2

21

2 1a a a

a a+ − −+ +

.

А Б В Г Д

Інша відповідь a – 1 1

1aa−+

3

2a a2 – 1

4. Знайдіть найбільший розв’язок нерівності (х + 2)2 ≤ х2 + 16.

А Б В Г Д

2 3 Найбільшого розв’язку не існує

2,9 Інша відповідь

5. До параболи у = х2 + mx – 9 проведена дотична під кутом 45°. За якого значення парамет-ра m абсциса точки дотику дорівнює –5?

А Б В Г Д

11 –9 4,8 Інша відповідь

2102

+

33

3* Капіносов А. та ін. ЗНО. Математика

34

6. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності 2 · 1( 9) 0x x x+ − − < .

А Б В Г Д

1 9 8 –2 Не існує

7. Визначте кількість додатних розв’язків рівняння cos(2x) = –1, які не перевищують числа 9.

А Б В Г Д

3 2 1 4 Інша відповідь

8. Обчисліть:

( )0 1

13 1 3

(0, 26) (0,2)1(8 : 5 ) · 0, 42

−

−−

−

+ −.

А Б В Г Д

215

Інша відповідь 4 –4 2

9. Розв’яжіть рівняння 2log ( 2) 1x

x + = .

А Б В Г Д

–1; 2 2 –1 Інша відповідь –2

10. Знайдіть область визначення функції 4

25( )3

f xx

=−

.

А Б В Г Д

Інша відповідь [0; +∞) [0; 81)∪(81; +∞) (–∞; 81)∪(81; +∞) (81; +∞)

35

36

11. Спростіть вираз: 4 2 2

2cos sin cos

sinα + α α

α.

А Б В Г Д

1 tg2α ctg2α 21

sin α cos6α

12. Розв’яжіть нерівність: 16 ≤ 2х + 3.

А Б В Г Д

–3 [7; +∞) (–∞; –1] [1; +∞) (–∞; 1]

13. Знайдіть первісну F функції f(x) = ex + 4x3, якщо відомо, що F(0) = –1.

А Б В Г Д

F(x) = ex + 3x4 – 2 F(x) = ex + x4 – 2 F(x) = ex + 12x2 – 2 F(x) = –ex + 12x2 F(x) = ex + x4 + C

14. Знайдіть п’ятий член геометричної прогресії, якщо перший її член дорівнює 10, а зна-менник — 0,1.

А Б В Г Д

10–5 100000 0,01 0,001 5

15. На якому рисунку зображено графік непарної функції?

А Б В Г Д

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

Графіка непарної функції не існує

37

38

16. Зі слова «математика» навмання вибирають одну літеру. Яка ймовірність того, що вибе-руть літеру «а»?

А Б В Г Д

110

37

13

Інша відповідь

310

17. Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює 2π

. Обчисліть площу круга,

описаного навколо цього трикутника.

А Б В Г Д

2 π 4 π 4 1 2π

18. Довжина діагоналі куба дорівнює 5 3 . Обчисліть об’єм куба.

А Б В Г Д

375 375 3 125 75 Інша відповідь

19. Осьовий переріз конуса — правильний трикутник, площа якого дорівнює 9 3 см2. Об-числіть твірну конуса.

А Б В Г Д

6 см Інша відповідь 3 3 см 3 см 9 см

20. Знайдіть довжину вектора –2m a= , якщо (1; 2; 2)a .

А Б В Г Д

3 6 8 36 10

39

40

21. Тіло рухається прямолінійно у вертикальному напрямі за законом h(t) = 2 + 9t – 5t2 (t — час руху в секундах, h — відстань від землі до тіла в метрах). Визначте у метрах за секу-нду початкову швидкість руху тіла.

А Б В Г Д

0,9 9 2 1620

Інша відповідь

22. Пряма, яка проходить через початок координат, є дотичною до графіка функції у = f(x) у точці А(–7; 14). Знайдіть f′(–7).

А Б В Г Д

12

− –2 12

0 2

23. Знайдіть значення виразу 22 5 ctg arcsin3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д

4 4 53

1 4 153

Не існує

24. Знайдіть мінімум функції 21( ) 3 52

f x x x= + − .

А Б В Г Д

Не існує 3 19− ± –9,5 0 –3

41

42

ЧАСТИНА 2 Розв’яжіть завдання 25–30. Запишіть відповідь у зошит і перенесіть її до бланка А.

25. Вклад, який лежить у банку з початку року, зростає до кінця року на 10%. Вкладник вніс на початку 2005 року 50 грн., 60 грн. — на початку 2006 року, 70 грн. — на початку 2007 року. Скільки гривень буде на рахунку наприкінці 2007 року?

Відповідь: ___________________

26. Скільки коренів має рівняння ( )( )

2

2

lg sin0

lg 25

x

x=

−?

Відповідь: ___________________

27. Обчисліть площу фігури, розташовану в першій координатній чверті й обмежену лініями 32y x= , у = х.

Відповідь: ___________________

43

44

28. У рівнобічній трапеції діагональ ділить її тупий кут навпіл. Скільки квадратних сантиме-трів містить трапеція, якщо її периметр дорівнює 42 см, а менша основа — 3 см.

Відповідь: ___________________

29. Визначте значення параметра а, за якого рівняння (х + а)2 + 2х2 + 20х + 50 = 0 має єдиний корінь.

Відповідь: ___________________

30. Знайдіть значення виразу 2х – у, якщо (х; у) є розв’язком системи рівнянь 1

7 · 2 6 2;2 3 43.

x

x

yy+

⎧ + =⎪⎨

− =⎪⎩

Відповідь: ___________________

45

46

ЧАСТИНА 3 Розв’язання завдання 31–33 повинне мати обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та по-ясніть, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, графіками, таблицями.

УВАГА! Розв’язання завдань 31–33 Запишіть у бланк Б.

31. Знайдіть значення функції 3

0,13lg log ( 5)5( ) 10

x x xxf x− − ++= у точці максимуму.

ЧЕРНЕТКА

47

32. Обчислити суму цілих значень параметра а, за яких нерівність (а – 3)х2 + (2а – 6)х + 7 > 0 виконується для всіх дійсних значень х.

ЧЕРНЕТКА

48

33. У рівносторонньому циліндрі, радіус основи якого дорівнює R, точку кола верхньої основи сполучено з точкою кола нижньої основи. Проведена пряма утворює з площиною основи кут α. Визначте відстань від цієї прямої до осі циліндра.

ЧЕРНЕТКА

УВАГА! Розв’язання завдань 31–33 запишіть у бланку Б.

Кінець тестового зошита

49

4* Капіносов А. та ін. ЗНО. Математика

50

1 1

Відповідь:

Математика

3

3

3

1

1

1

3

3

3

2

2

2

3

3

3

3

3

331 32 33

Увага! Пишіть розв язання завдань та відповідь у кожному рядку!'Завдання 3 Розв язання:1 '

51

Завдання 3 Розв язання:2 '

Відповідь:

52

Завдання 3 Розв язання:3 '

Відповідь:

53

ЗОШИТ 3 ЧАСТИНА 1

1. Знайдіть значення виразу log205 + log204 + 2.

А Б В Г Д

11 2 3 22 51

2. Знайдіть множину значень функції y = sinx – 3.

А Б В Г Д

[–4; –2] [–10; 4] [2; 4] (–∞; +∞) [–3; 3]

3. Визначте кількість цілих розв’язків нерівності 6 03 9

xx− ≥−

.

А Б В Г Д

3; 4; 5; 6 Інша відповідь 3 4 4; 5; 6

4. Вкажіть проміжок, якому належать корені рівняння 5 7x x− = − .

А Б В Г Д

[0; 5,3] [5,5; 6,3] [7; 10] Інша відповідь [8; 12]

5. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, яка проведена до графіка функції y = 5x2 – 3x + 2 в точці з абсцисою х0 = 2.

А Б В Г Д

16 Інша відповідь 0,3 0 19

6. Розв’яжіть рівняння: 1cos 22

x = − .

А Б В Г Д

( 1) ,6

n n n Zπ− + π ∈ 2 ,

3n n Zπ± + π ∈ ,

3n n Zπ− + π ∈ ,

3n n Zπ± + π ∈ ,

6n n Zπ± + π ∈

7. Обчисліть відношення меншого кореня квадратного рівняння х2 + 5х – 6 = 0 до його бі-льшого кореня.

А Б В Г Д

6 –6 16

16

− 32

−

54

8. На скільки значення дробу (20 48)( 5 20)5

− − −−

менше від 40?

А Б В Г Д

160 140 180 200 120

9. Знайдіть tgα, якщо cosα = 15

і 02π− < α < .

А Б В Г Д

0,5 2 –0,5 –2 Інша відповідь

10. Знайдіть область визначення функції f(x) = log0,5(2х – х2).

А Б В Г Д

(0; 2) (–∞; 0)∪(2; +∞) Інша відповідь (–∞; 0]∪[2; +∞) [0; 2)

11. Яке з наведених чисел входить до множини значення функції 2 4xy = + ?

А Б В Г Д

5 Жодне з чисел не входить 3 4 0

12. Знайдіть значення виразу 2 22sin 2 2cos 2cos 22

⎛ ⎞πα + −α + α⎜ ⎟⎝ ⎠

, якщо 6πα = .

А Б В Г Д

Інша відповідь 2 3+ 3 2 3− 1

13. Визначте значення виразу х + у, якщо |x – y| + |4 – x| = 0.

А Б В Г Д

4 Інша відповідь 0 6 8

14. Кут при основі рівнобедреного трикутника учетверо більший від кута при вершині. Знайдіть кут при вершині.

А Б В Г Д

20° 40° 15° 140° 10°

55

15. Знайдіть найменший розв’язок нерівності ( ) ( ) ( )2 22 1 2 2x x x+ − ≥ + на проміжку (–5; 5).

А Б В Г Д

4 5 3 –2 2

16. За якого значення t вектори (8; ; 6)a t і (4; 2; 3)d будуть перпендикулярними?

А Б В Г Д

–25 25 –5 5 –23

17. Знайти f′(0,75), якщо 4 3( ) 5 8xf x e −= − .

А Б В Г Д

20е 20 10 Інша відповідь 5

18. Обчисліть об’єм піраміди, в основі якої лежить ромб, діагоналі якого дорівнюють 8 см і 6 см. Висота піраміди дорівнює 16 см.

А Б В Г Д

128 см3 Інша відповідь 256 см3 64 см3 512 см3

19. Обчисліть площу бічної поверхні конуса, висота якого дорівнює 3 3 см, а радіус основи удвічі менший від твірної.

А Б В Г Д

18π см2 36π см2 54π см2 9 3π см2 Правильної

відповіді серед поданих немає

20. В арифметичній прогресії а1 = 5; а100 = 203. Знайдіть а30.

А Б В Г Д

173 63 60 Правильної

відповіді серед поданих немає

35

21. Обчисліть значення виразу 2 2 25log sin log sin log sin

12 6 12π π π+ + .

А Б В Г Д

2–3 3 –3 23

− Не існує

56

22. Знайдіть суму коренів рівняння ( )22 29 43 27 5 18 0x x− − + = .

А Б В Г Д

0,4 –3,6 4 Інша відповідь –7,6

23. У стандартному розкладі бінома 14

31xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ знайдіть коефіцієнт біля х2.

А Б В Г Д

2162160 Інша відповідь 6 2 3003

24. Ймовірність того, що Оленка розв’яже задачу, дорівнює 0,8, а ймовірність того, що її розв’яже Остап — 0,7. Знайдіть імовірність того, що задачу не розв’яже жоден з учнів.

А Б В Г Д

0,06 0,3 0,2 0,56 Інша відповідь

ЧАСТИНА 2 25. Знайдіть площу прямокутного трикутника у квадратних метрах, якщо радіуси вписаного

в нього кола й описаного навколо нього кола дорівнюють відповідно 2 м і 5 м. 26. Товар був виставлений на продаж за 4000 грн. Після двох знижок на одну й ту ж кіль-

кість відсотків він був проданий за 2250 грн. Визначте, на скільки відсотків щоразу зни-жували ціну.

27. Сторона основи правильної трикутної призми АВСА1В1С1 дорівнює 8 3 см. На ребрі ВВ1 позначено точку K так, що BK : KB1 = 3 : 5. Знайдіть тангенс кута між площинами АВС і АKС, якщо відстань між прямими ВС й А1С1 дорівнює 16 см.

28. Нехай (х0; у0) — розв’язок системи 225 10 4;

3 11 0.x x y

y x

⎧⎪ − + + =⎨

− + =⎪⎩ Знайдіть добуток х0 · у0.

29. За якого найбільшого значення параметра а рівняння ( )( )2 3 0x x a− − − = має єдиний

корінь?

30. Розв’яжіть рівняння 4 2

5 124 · 5 25 0x

x x+

− − = .

ЧАСТИНА 3 31. В основі прямої призми лежить трикутник. Дві діагоналі суміжних бічних граней, які ма-

ють спільну вершину, дорівнюють m та утворюють між собою кут α. Площина, яка прохо-дить через ці діагоналі, нахилена до площини основи під кутом β. Знайдіть об’єм призми.

32. Розв’яжіть нерівність log 1 2a xx a x+ > , якщо а > 1.

33. Складіть рівняння спільної дотичної до графіків функцій y = х2 + 1 та у = –х2 + 2х – 1,5.

57

ПОЯСНЕННЯ ДО ЗАВДАНЬ ЗОШИТА 3

ЧАСТИНА 1 1. Застосуємо формулу logax + logay = logaxy. Отримаємо: log205 + log204 + 2 = log20(5 · 4) +

+ 2 = log2020 + 2. Оскільки logаа = 1, то log2020 + 2 = 1 + 2 = 3. Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою В.

2. За властивістю функції у = sinx, множиною її значень є [–1; 1], тобто –1 ≤ sinx ≤ 1. Дода-мо до всіх частин подвійної нерівності число –3 й отримаємо: –1 – 3 ≤ sinx – 3 ≤ 1 – 3; –4 ≤ sinx – 3 ≤ –2. Отже, множиною значень функції у = sinx – 3 є проміжок [–4; –2]. Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою А.

3. Розв’яжемо нерівність методом інтервалів: 6 03 9

xx− ≥−

; –( 6) 0 · (–3)3( 3)

xx− ≥−

; 6 03

xx− ≤−

;

0 3 6+ +–

. Отже, х∈(3; 6]. Зверніть увагу, що за умовою потрібно не розв’язати нерівність і не знайти цілі розв’язки нерівності, а встановити, скільки цілих розв’язків має нерівність. Оскільки розв’язком нерівності є х∈(3; 6], то цілими розв’язками є 4; 5; 6, і їх кількість дорівнює 3. Серед заданих відповідей правильною є не відповідь, позначена літерою Д, а відповідь, позначена літерою В.

4. Якщо 7 – х < 0, тобто якщо х > 7, то рівняння коренів не має, бо невід’ємне число, яким є значення арифметичного квадратного кореня 5x − , не дорівнює від’ємному числу. От-

же, корені можливі лише за умови 7 – х ≥ 0; х ≤ 7. Маємо: 7,

5 7 ;

x

x x

≤⎧⎪⎨

− = −⎪⎩

2

7,5 49 14 ;

xx x x≤⎧

⎨− = − +⎩

2

7,15 54 0;

xx x≤⎧

⎨− + =⎩

х1 = 9 — не підходить; х2 = 6. Рівняння має один

корінь — число 6. Із запропонованих у відповідях проміжків число 6 належить лише проміжку [5,5; 6,3], тому правильною є відповідь, позначена літерою Б.

5. Щоб знайти кутовий коефіцієнт k дотичної y = kx + b до графіка функції у = 5х2 – 3х + 2, немає потреби складати рівняння дотичної, а досить лише скористатися властивістю, що k = y′(х0). Отримуємо: у′ = (5х2 – 3х + 2)′ = 10х – 3. k = y′(2) = 10 · 2 – 3 = 17. Серед числових значень запропонованих відповідей відповіді 17 немає, тому правильною є відповідь, позначена літерою Б — «Інша відповідь».

6. 1cos 22

x = − ; 22 2 ,3

x n n Zπ= ± + π ∈ ; ,

3x n n Zπ= ± + π ∈ .

Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою Г.

7. Знайдемо корені рівняння х2 + 5х – 6 = 0; х1 = –6, х2 = 1. Оскільки x1 < x2, то х1 : х2 =

= –6 : 1 = –6. Зверніть увагу, що буде помилкою, якщо знайти відношення 1 : (–6) = 16

− ,

бо 1 — це корінь з меншим модулем, але не менший корінь. Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою Б.

8. Знайдемо значення дробу 28 · ( 25) 28 · 25(20 48)( 5 20) 1405 5 5

− −− − − = = − = −− −

. Дією відні-

мання встановимо, на скільки 40 більше від –140: 40 – (–140) = 40 + 140 = 180. Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою В.

58

9. Кут α міститься у четвертій чверті, тому sinα < 0. Обчислимо sinα: 2sin 1 cosα = − − α = 1 4 215 5 5

= − − = − = − . Знайдемо tgα: 2 5sin 2 1tg : 2cos 5 5 5

αα = = − = − = −α

.

Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою Г.

10. За властивістю логарифмічної функції f(x) = logax областю визначення фун-кції f(x) = log0,5(2x – x2) є усі значення х, які задовольняють умову 2x – x2 > 0. Розв’яжемо утворену нерівність: 2x – x2 > 0; x2 – 2x < 0; x(x – 2) < 0; x1 = 0, x2 = 2. x∈(0; 2). Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою А.

11. Знайдемо множину значень функції у = 2х + 4. Оскільки 0 < 2x < +∞, то 4 < 2x + 4 < +∞. Тому множиною значень функції у = 2х + 4 є у∈(4; +∞). Із вказаних у відповідях чисел у проміжок (4; +∞) входить лише число 5, тому правильною є відповідь, позначена літерою А.

12. Перш ніж знаходити значення виразу, спростимо його: 2 22sin 2 2cos 2cos 22

⎛ ⎞πα + −α + α =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 22 sin 2 cos 2 2sin 2 2sin= α + α + α = + α . Якщо 6πα = , то 2 2sin 2 2 · sin

6π+ α = + =

12 2 · 2 1 32

= + = + = .

Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою В.

13. Значення виразів |x – y| і |4 – x| — невід’ємні. Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли кожен з них дорівнює нулю. Знайдемо, за яких значень х та у це ві-

дбудеться. | 4 | 0,| | 0;

xx y− =⎧

⎨ − =⎩

4 0,0;

xx y− =⎧

⎨ − =⎩

4,;

xy x=⎧

⎨ =⎩

4,4.

xy=⎧

⎨ =⎩ Якщо х = 4, у = 4, то х + у = 4 + 4 = 8.

Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою Д.

14. Нехай трикутник АВС — заданий. У ньому АС = ВС, ∠А = 4∠С. Оскільки ∠А = ∠В і ∠А + ∠В + ∠С = 180°, то одержимо: 4∠С + 4∠С + ∠С = 180°; 9∠С = 180°; ∠С = 20°. Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою А.

15. ( ) ( ) ( )2 22 1 2 2x x x+ − ≥ + ; ( ) ( ) ( )2 22 1 2 2 0x x x+ − − + ≥ ; ( ) ( )22 1 2 0x x+ − − ≥ ;

( ) ( )22 3 0x x+ − ≥ ; х – 3 ≥ 0 або (х + 2)2 = 0; х ≥ 3 або х = –2. Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою Г.

16. Не нульові вектори 1 2 3( ; ; )a a a a і 1 2 3( ; ; )b b b b будуть перпендикулярними лише тоді, коли

їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто коли · 0a b = або a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0. Для перпендикулярності векторів (8; ; 6)a t і (4; 2; 3)d отримаємо: 8 · 4 + t · 2 + 6 · 3 = 0; 32 + 2t + 18 = 0; 2t + 50 = 0; t = –25. Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою А.

17. Знайдемо спочатку похідну f′(x) функції f(x) = 5e4x – 3 – 8 як похідну складеної функції. Отримаємо: f′(x) = (5e4x – 3 – 8)′ = 5(e4x – 3)′ = 5 · e4x – 3 · (4x – 3)′ = 5 · e4x – 3 · 4 = 20e4x – 3. Як-що х = 0,75, то f′(0,75) = 20e4 · 0,75 – 3 = 20e0 = 20. Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою Б.

x

y

0

A B

C

59

18. Об’єм піраміди обчислюється за формулою осн.1 ·3

V S Н= , де Sосн. — площа основи, Н —

висота піраміди. В основі заданої піраміди лежить ромб з діагоналями d1 = 8 см і

d2 = 6 см. Обчислимо його площу: Sосн. = 12

d1 d2 = 12

· 8 · 6 = 24 (см2). Маючи площу ос-

нови та висоту піраміди, знайдемо її об’єм: осн.1 1· · 24 ·16 8 ·16 1283 3

V S Н= = = = (см3).

Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою А.

19. Нехай OO1 — конус, висота якого ОО1 дорівнює 3 3 см. Радіус основи О1А удвічі менший від твірної АО. Нехай АО1 = х. Тоді з прямокутного

трикутника АО1О отримаємо: ( ) ( )2 22 3 3 2+ =x x ; 4х2 – х2 = 27; 3х2 = 27;

х2 = 9; х1 = 3, х2 = –3 — не підходить. Отже, АО1 = 3 (см). АО = 2х = 6 (см). Бічна поверхня конуса обчислюється за формулою Sб = πRl, де R — радіус основи, l — твірна конуса. Маємо: Sб = π · АО1 · АО = π · 3 · 6 = 18π (см2). Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою А.

20. Використаємо формулу n-го члена арифметичної прогресії: an = a1 + (n – 1)d, де an — n-й член прогресії, а1 — перший член прогресії, n — номер члена прогресії, d — різниця про-гресії. За умовою, а1 = 5, а100 = 203. Для сотого члена прогресії маємо: 203 = 5 + 99d; 99d = 198; d = 2. Обчислимо а30: а30 = а1 + (30 – 1)d = 5 + 29 · 2 = 5 + 58 = 63. Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою Б.

21. Перетворимо суму логарифмів у логарифм добутку та виконаємо інші перетворення виразу:

2 2 25log sin log sin log sin

12 6 12π π π+ + = 2

5log sin · sin · sin12 6 12

⎛ ⎞π π π⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2log sin · sin · sin12 6 2 12

⎛ ⎞⎛ ⎞π π π π−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ =

= 2log sin · cos · sin12 12 6

⎛ ⎞π π π⎜ ⎟⎝ ⎠

= 21log · 2sin · cos · sin2 12 12 6

⎛ ⎞π π π⎜ ⎟⎝ ⎠

= 21log sin · sin2 6 6

⎛ ⎞π π⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= 21 1 1log · ·2 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ( )32log 2− = –3.

Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою В.

22. Спочатку розв’яжемо рівняння ( )22 29 43 27 5 18 0x x− − + = , а потім знайдемо суму його ко-

ренів. ОДЗ рівняння: 5х +18 ≥ 0; 5х ≥ –18; х ≥ –3,6. Добуток ( )22 29 43 27 5 18x x− − + дорів-

нює нулю лише тоді, коли один із множників дорівнює нулю. Маємо: 1. 22 293 27 0x − − = ;

22 29 33 3x − = ; 22 29 3x − = ; 22 32x = ; 2 16x = ; х1 = –4, х2 = 4. Врахувавши з ОДЗ, що х ≥ –3,6, маємо: х = 4. 2. 4 5 18 0x + = ; 5х + 18 = 0; х = –3,6. Отже, коренями рівняння є числа –3,6 і 4, а їх сума дорівнює –3,6 + 4 = 0,4. Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою А.

23. Запишемо загальний вигляд члена Тk+1 розкладу бінома 14

31xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠: 1

k n k kk nT C a b−+ = . У на-

шому випадку n = 14; 12a x= ;

13b x

−= . Тоді:

14 1 11 173 32 2

1 14 14· · · ·kk

kkk kkT C x x C x x

−− −−

+⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

576

14 ·kkC x

−= . За умовою,

57 26k

x x−

= . Звідки 57 26

k− = ; k = 6. Тоді одержимо:

BA O1

O

60

614

14 ·13 ·12 ·11 ·10 · 9 30031 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6

C = = .

Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою Д.

24. Імовірність того, що Оленка не розв’яже задачу, дорівнює 1 – 0,8 = 0,2; імовірність того, що Остап не розв’яже задачу, дорівнює 1 – 0,7 = 0,3; Імовірність того, що задачу не розв’яжуть Оленка й Остап, дорівнює 0,2 · 0,3 = 0,06. Серед запропонованих правильною є відповідь, позначена літерою А.

ЧАСТИНА 2

25. Нехай трикутник АВС заданий. У нього: ∠С = 90°, r — радіус вписаного кола, r = 2 м, R — радіус описаного кола, R = 5 м. У прямокутному три-кутнику центр описаного кола D є серединою гіпотенузи і його радіус дорівнює половині гіпотенузи. Отже, DA = DB = R = 5 м.

Нехай точка О — центр вписаного в трикутник кола; OK, OP, OL — раді-уси, проведені в точки дотику кола зі сторонами трикутника. Тоді OK⊥BC, OP⊥CA, ∠C = 90° і CPOK — прямокутник. Звідки: OK = CP = r = 2 м; OP = KC = r = 2 м. За властивістю дотичних до кола відрізки дотич-них, проведених з однієї точки до точок дотику, рівні. Тому BK = BL і AP = AL. Знайдемо периметр трикутника АВС: Р = KB + BL + LA + AP + PC + CK = BL + BL + LA + + LA + PC + CK = 2BL + 2LA + PC + CK = 2(BL + LA) + PC + CK = 2BA + PC + CK = = 2 · 2R + r + r = 4R + 2r = 4 · 5 + 2 · 2 = 24 (м). Площу трикутника знайдемо з формули

1 ·2

S P r= , де Р — периметр, r — радіус вписаного кола. Маємо: 1 · 24 · 22ABCSΔ = =

= 24 (м2).

26. Нехай ціну знижували на %100

xx = . Тоді першого разу ціну знизили на 4000 ·100

x =

= 40х (грн.), і товар став коштувати (4000 – 40х) грн. Другого разу ціну знизили на

(4000 – 40х) · 2240100 5

x x x= − (грн.), і товар став коштувати 4000 – 40х – 22405

x x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= 4000 – 80x + 225

x (грн.) — що, за умовою, становить 2250 грн. Маємо рівняння:

4000 – 80x + 225

x = 2250; 225

x – 80x + 1750 = 0; 215

x – 40x + 875 = 0; х2 – 200х + 4375 = 0;

х1 = 25, х2 = 175 — не підходить, бо зменшувати ціну можна не більше ніж на 100%. От-же, х = 25.

27. Нехай ABCA1B1C1 — задана правильна призма, у якої АВ = А1В1 = 8 3 см, BK : KB1 = 3 : 5. Прямі ВС і А1С1 — мимобіж-ні, СС1 — спільний перпендикуляр цих мимобіжних прямих, бо правильна призма є прямою і її бічне ребро перпендикулярне до площин основ, а значить, і до сторін основ. Отже, СС1 = 16 см. То-ді ВВ1 = СС1 = 16 см. Нехай ВK = 3х см, тоді KB1 = 5х см. Звідки 3х + 5х = 16; 8х = 16; х = 2. BK = 3x = 6 (см). Позначимо точку D — середину сторони АС. Очевидно, що BD⊥AC (за властивістю рівностороннього три-кутника АВС). ΔBCK = ΔBAK за двома катетами, тому CK = AK і трикутник AKC — рів-нобедрений, а значить, KD⊥AC.

B

L

C A

D

K O

P

A1

A B

C

D

K

B1

C1

61

Оскільки KD⊥AC і BD⊥AC, то кут KDB — лінійний кут двогранного кута між площина-ми АВС і AKС.

З рівностороннього трикутника АВС: 3 3 · 8 3 122 2

BD BC= = = (см). Із прямокутного

трикутника KBD: 6tg 0,512

KBKDBBD

∠ = = = .

Отже, тангенс кута між площинами АВС і AKC дорівнює 0,5.

28. Спочатку розв’яжемо систему рівнянь: 225 10 4,

3 11 0;x x y

y x

⎧⎪ − + + =⎨

− + =⎪⎩

2( 5) 4,3 11;

x yy x

⎧ − + =⎪⎨

= −⎪⎩

| 5 | 3 11 4,3 11;

x xy x− + − =⎧

⎨ = −⎩

| 5 | 3 15,3 11.

x xy x− + =⎧

⎨ = −⎩ 1. Нехай х – 5 ≥ 0, тобто х ≥ 5.

5 3 15,3 11;

x xy x− + =⎧

⎨ = −⎩

4 20,3 11;

xy x

=⎧⎨ = −⎩

5,4.

xy=⎧

⎨ =⎩ 2. Нехай х – 5 < 0, тобто х < 5.

5 3 15,3 11;

x xy x− + + =⎧⎨ = −⎩

2 10,

3 11;x

y x=⎧

⎨ = −⎩ х = 5 —

не підходить. Отже, з випадку 1: х0 = 5, у0 = 4. Тоді х0 · у0 = 5 · 4 = 20.

29. ОДЗ: х – 2 ≥ 0; х ≥ 2. Добуток ( )( )2 3x x a− − − дорівнює нулю лише тоді, коли хоча б

один із множників дорівнює нулю. Маємо: 2 3 0,0;

xx a⎡ − − =⎢− =⎣

2 3,;

xx a⎡ − =⎢

=⎣

2 9,;

xx a− =⎡

⎢ =⎣

11,.

xx a=⎡

⎢ =⎣

Рівняння має лише один корінь х = 11, якщо а < 2 або якщо а = 11. Отже, найбільшим значенням параметра а, за якого рівняння має єдиний корінь, є а = 11.

30. Зведемо степені лівої частини до одного показника: 4 2

5 124 · 5 25 0x

x x+

− − = ; 4 21

5 124 · 5 25 0x x+− − = ;

2 22 ·5 · 5 124 · 5 25 0x x− − = ;

22 2

5 · 5 124 · 5 25 0x x⎛ ⎞ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

2 124 15376 500 124 126510 10

x ± + ±= = ; 2 25

10x = − — коренів немає.

2

5 25x = ; 2

25 5x = ; 2 2x= ;

х = 1.

ЧАСТИНА 3 31. Нехай АВСА1В1С1 — задана призма. АС1 і ВС1 — діагоналі бічних

граней зі спільною вершиною С1. Тоді АС1 = ВС1 = m; ∠АС1В = α. Побудуємо С1D⊥AB. Тоді за теоремою про три перпендикуляри DC⊥AB і кут CDC1 — лінійний кут кута між площинами АВС і АВС1. Отже, ∠CDC1 = β. Оскільки АС1 = ВС1, то трикутник АС1В — рівнобедрений і його висота С1D є медіаною і бісектри-сою. Із прямокутного трикутника DC1B маємо: C1D = C1B · cos∠BC1D = = m · cos

2α . Із прямокутного трикутника C1DC отримаємо:

СС1 = DС1 · sin∠C1DC = m · cos2α · sinβ. Знайдемо площу основи:

1 1 1 11· cos · ·2ABC ABCS S CDC AC BCΔ Δ= ∠ = 1 1sin · cosAC B CDC∠ ∠ = 1 · · sin · cos

2m m α β =

A1

A

B

CD

B1

C1

β

mm

α

62

= 21 sin cos2

m α β . Отримуємо: Vпр. = Sосн. · Н = 1·ABCS CCΔ = 21 sin cos · cos sin2 2

m m αα β β =

= 31 1sin cos · · 2sin cos2 2 2

m αα β β = 31 sin cos sin 24 2

m αα β .

32. Оскільки х міститься під знаком логарифма і за умовою a > 1, то х > 0. Отже, далі розв’язуємо рівняння лише для додатних значень х. Якщо х > 0 і a > 1, то ліва та права частини нерівності, відповідно log 1a xx + і 2a x , є додат-ними. За властивістю логарифмічної функції для а > 1, якщо logam > logan, то m > n. Справедливо й навпаки: для додатних чисел m і n, якщо m > n і a > 1, то logam > logan. Отже, нерівність log 1a xx + > 2a x виконується тоді і тільки тоді, коли log 1 2log loga x

a ax a x+ > . Далі за властивостями логарифма маємо: ( ) 2log 1 · log log loga a a ax x a x+ > + . Нехай logax = y. Отримаємо: (y + 1) · y > 2logaa + y; y2 + y – y – 2 > 0; y2 – 2 > 0;

( )( )2 2 0y y+ − > ; 2y < − або 2y > . Повертаючись до заміни, отримуємо:

log 2a x < − або log 2a x > ; log 2 loga ax a< − або log 2 loga ax a> ; 2log loga ax a−<

або 2log loga ax a> . Урахувавши, що a > 1, матимемо: 20 x a−< < або 2x a> . Отже, 2 2(0; ) ( ; )x a a−∈ ∪ +∞ .

33. Нехай шукана пряма дотикається до графіка функції у = х2 + 1 у точці з абсцисою х0 = а, а до графіка функції у = –х2 + 2х – 1,5 — у точці з абсцисою х0 = b. Рівняння дотичної має вигляд: y = f′ (x0)(x – x0) + f(x0). Тоді рівняння цієї дотичної можна записати двома спосо-бами: 1. Для функції у = х2 + 1 y′ = 2x; y′(а)= 2а; y(а) = а2 + 1. Отже, рівняння дотичної: y = 2a(x – a) + a2 + 1 або після спрощення — y = 2ax – a2 + 1. 2. Для функції у = –х2 + 2х – 1,5 y′ = –2x + 2; y′(b) = –2b + 2; y(b) = –b2 + 2b – 1,5. Отже, рівняння дотич-ної: y = (–2b + 2)(x – b) – b2 + 2b – 1,5 або після спрощення — y = (–2b + 2)x + b2 – 1,5. В обох випадках записано рівняння однієї й тієї ж прямої у вигляді y = kx + b, тому значен-ня k і b в обох рівняннях повинні бути однаковими. Отримуємо систему рівнянь для зна-

ходження а та b: 2 2

2 2 2,1 1,5.

a ba b= − +⎧

⎨− + = −⎩

Розв’язавши систему, отримаємо:

а1 = –0,5; b1 = 1,5 або а2 = 1,5; b2 = –0,5. Тоді в першому випадку рівняння дотичної має вигляд у = –х + 0,75, а в другому — у = 3х – 1,25.

63

ЗОШИТ 4 ЧАСТИНА 1

1. Швидкість равлика дорівнює 112

м/хв. Яку відстань проповзе равлик за 164

години?

А Б В Г Д

0,75 м 31,25 м 75 м 2548

м 15212

м

2. На скільки 1 2 1

24 2

2

a a

a

+ −− менше від 9?

А Б В Г Д 3,5 3 4,5 5,5 7

3. За яких значень а парабола у = 9х2 – 12х + 35а має з віссю абсцис дві точки перетину? А Б В Г Д

435

a = 435

a < 435

a > 1835

a < 1635

a <

4. Спростіть вираз: 3lg 2 3lg5lg1300 lg 0,13

+−

.

А Б В Г Д 0,6 0,7 0,65 0,75 0,5

5. У прямокутнику ABCD О — точка перетину діагоналей, ∠ВОС = 108°. Знайдіть ∠ABD. А Б В Г Д

72° 45° 30° 54° 18°

6. Знайдіть похідну функції у = 5sin7x – 7x2 + 7. А Б В Г Д

5cos7x – 14x 35cos7x – 7x 35cos7x – 14x 7cos7x – 7x + 7 5cos7x – 7x

7. Знайдіть множину значень функції 3cos 23

y x⎛ ⎞π= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д [–1; 1] [–5; 1] [1; 3] [–5; –2] [–3; 3]

8. Спростіть вираз: 34 9

32

a ba− .

А Б В Г Д –а2b –аb а2b а2b2 аb2

9. Знайдіть кількість цілих розв’язків нерівності ( 3)(3 2) 02 3

x x xx

− − ≤−

.

А Б В Г Д 1 2 3 4 Інша відповідь

64

10. Знайдіть довжину вектора AB , якщо А(–1; 1; –1), В(–1; 1; 1). А Б В Г Д 2 2 2 2 3 1

11. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами 4 см і 10 см і бічною сто-роною 5 см. Бічне ребро призми дорівнює 10 см. Обчисліть повну поверхню призми.

А Б В Г Д 170 см2 176 см2 186 см2 190 см2 296 см2

12. Розв’яжіть рівняння ( )3 12 2 0x x+ − = .

А Б В Г Д –4 –4; 2 2 –2; 4 –2

13. Зі слова «математика» навмання вибирають одну літеру. Яка ймовірність того, що вибе-руть літеру «а»?

А Б В Г Д 1

10 1

7 3

7 1

3 3

10

14. У чотирикутнику діагоналі дорівнюють 8 см і 5 см. Обчисліть периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін даного чотирикутника.

А Б В Г Д 40 см 13 см 26 см 3 см 20 см

15. В арифметичній прогресії а1 = 3, а75 = 299. Знайдіть а50. А Б В Г Д 90 99 190 199 203

16. Спростіть вираз: ctg(–α) · tg(–α) – sin2(–α). А Б В Г Д

cosα cos2α sin2α 1 + sin2α –cos2α 17. За якого найменшого значення параметра а рівняння |4x + 3| = 5a + 3 має розв’язок?

А Б В Г Д 1,25 –3 3 –0,6 1

18. Вкажіть найбільший цілий розв’язок нерівності ( )17

log 3 1x + > − .

А Б В Г Д 6 7 4 3 –3

19. Розв’яжіть систему рівнянь 3 4 20,5 2 10.

x yx y+ = −⎧

⎨ + = −⎩

А Б В Г Д (3; 4) (0; –5) (7; 9) (2; –4) (1; –7,5)

20. Знайдіть значення виразу 3sin2α – 7cos2α, якщо cosα = –0,1. А Б В Г Д 2 2,9 3,1 3,96 2,92

65

21. Знайдіть кількість цілих чисел, які належать області допустимих значень функції

( )27log 3 3y x x= − − + .

А Б В Г Д

Безліч 1 2 [1; 2] Таких чисел не існує

22. На кривій f(x) = x2 – x + 1 знайдіть точку, в якій дотична до кривої паралельна прямій 3х – у –1 = 0.

А Б В Г Д (2; 3) (0; 3) (0; 1) 2 3

23. Обчисліть квадрат довжини вектора a , якщо відомо, що він колінеарний вектору (2; 2; 3)c − і їх скалярний добуток дорівнює 34.

А Б В Г Д 17 17 2 4,5 68

24. Власник клубу має стабільний прибуток. Щоб збільшити прибуток, він підвищив ціну на квитки на 25%. Кількість відвідувачів значно зменшилася, і він вимушений був повернути-ся до початкової ціни квитка. На скільки відсотків власник клубу зменшив ціну квитка?

А Б В Г Д

125% 100% 25% 20% Інша відповідь

ЧАСТИНА 2

25. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у = 8х – 6х2, 12

x = , х = 1, у = 0.

26 Одна з діагоналей паралелограма, що дорівнює 3 6 , утворює з основою паралелограма кут 60°. Обчисліть довжину другої діагоналі, якщо вона утворює з цією ж основою кут 45°.

27. Двогранні кути при основі правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 45°, а площа її бічної поверхні — 36 2 . Знайдіть у кубічних сантиметрах об’єм піраміди.

28. Нехай х0 — найменший додатний корінь рівняння cos2x – 5sinxcosx + 2 = 0. Знайдіть tgx0. 29. За якого значення параметра а функція f(x) = (a + 2)x2 + (5a – 4)x + 2a буде парною? 30. Скільки трицифрових чисел, кратних 3, можна записати, використовуючи лише цифри 1,

2, 3, 4, 5 і 6, якщо у цих числах цифри можуть повторюватися?

ЧАСТИНА 3

31. Розв’яжіть систему рівнянь 2 2

2 2

3 1,2 5 17.x xy y

x xy y

⎧ − + = −⎪⎨

+ − =⎪⎩

32. Знайдіть об’єм правильної трикутної піраміди, у якій плоский кут при вершині дорівнює 90°, а відстань між бічним ребром і протилежною стороною основи дорівнює а.

33. За яких значень а функція f(x) = х3 + 3(а – 7)x2 + 3(a2 – 9)x + 1 має максимум для x > 0?

5* Капіносов А. та ін. ЗНО. Математика

66

ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ЗАВДАНЬ ЗОШИТА 4 1. Б. 2. Г. 3. Б. 4. Г. 5. Г. 6. В. 7. Б. 8. В. 9. В. 10. Б. 11. Д. 12. Вказівка. Множник 3х + 12 дорів-нює нулю, якщо х = –4. Але –4 не є коренем рівняння, бо ОДЗ рівняння х∈[2; +∞). Отже, пра-вильна відповідь В. 13. Д. 14. Б. 15. Г. 16. Б. 17. Г. 18. Г. 19. Б. 20. Б. 21. В. Вказівка. Зверніть

увагу, що ОДЗ визначається із системи двох умов: 2

7

2

log ( 3 3) 0,

3 3 0.

x x

x x

⎧− − + ≥⎪⎨

− + >⎪⎩ 22. А. 23. Д. 24. Г.

25. 1,25. 26. 9. 27. 36. Вказівка. Скористайтеся формулою: для правильної піраміди Sосн. = Sб. · cosα, де Sосн. — площа основи, Sб. — площа бічної поверхні, α — кут бічною гран-ню і площиною основи. 28. 1. Вказівка. 1. sin2x –5sinxcosx + 2(sin2x + cos2x) = 0 | : cos2x; 2. 2tg2x – 5tgx + 3 = 0; 3. tgx = 1 або tgx = 1,5. 29. 0,8. Розв’язання. Для парності функції для будь-якого значення b повинна виконуватися рівність f(b) = f(–b). Маємо: (a + 2)b2 + +(5a – 4)b + 2a = (a + 2) · (–b2) + (5a – 4) (–b) + 2a; (a + 2)b2 + (5a – 4)b + 2a – (a + 2)b2 +

– (5a – 4)b – 2a = 0; 2b(5a – 4) = 0; a = 0,8. 30. 72. 31. ( ) ( ) 8 19 8 192;1 , 2; 1 , ; , ;31 31 31 31

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭.

32. 323

a . Вказівка. 1. Відстанню між бічним ребром і протилежною стороною основи є апо-

фема піраміди. 2. Для відшукання об’єму «поставте» піраміду на бічну грань, тоді

пір1 1· · ·3 2

V l l l=. , де l — бічне ребро вихідної піраміди. 33. ( ) 1; 3 3; 47

a ⎛ ⎞∈ −∞ − ∪⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції: f′ (x) = 3x2 + 6(a – 7)x + 3(a2 – 9). Очевидно, що якщо одержана квадратична функція не має коренів (D < 0), то функція f не має критичних точок, а, отже, й екстремумів. Якщо рівняння f′ (x) = 0 має один подвійний корінь (D = 0), то цей ко-рінь, будучи критичною точкою, не є точкою екстремуму. Залишилося розглянути випадок D > 0. Нехай х1 та х2 — корені функції f′ , до того ж х1 < х2. Тоді за властивістю квадратичної функції ліворуч від х1 маємо f′ (x) > 0, а праворуч — f′ (x) < 0. Таким чином, х = х1 — точка ма-ксимуму. Задача звелася до того, щоб знайти всі значення а, за яких менший корінь, а отже, обидва корені рівняння f′ (x) = 0 додатні. Це легко зробити за допомогою теореми Вієта. Дійс-

но, достатньо поставити умову: 2

0,9 0,

7 0.

Da

a

>⎧⎪ − >⎨⎪ − >⎩

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

(6(а – 7))2 – 4 · 3 · 3(а2 – 9) = 36(а2 – 14а + 49) – 36(а2 – 9) = 36(а2 – 14а + 49 – а2 + 9) = = 36(58 – 14а). Одержимо систему:

2

36(58 14 ) 0,9 0,

7 0;

aa

a

− >⎧⎪ − >⎨⎪ − >⎩

58 14 0,( 3)( 3) 0,

7;

aa a

a

− >⎧⎪ − + >⎨⎪ <⎩

29 ,7

( ; 3) (3; ),7;

a

aa

⎧ <⎪⎪

∈ −∞ − ∪ +∞⎨⎪ <⎪⎩

( ) 1; 3 3; 47

a ⎛ ⎞∈ −∞ − ∪⎜ ⎟⎝ ⎠

.

67

ЗОШИТ 5 ЧАСТИНА 1

1. Обчисліть: 13329 64

−+ .

А Б В Г Д

27,25 31 278 27 576

−

2. Сплав, маса якого дорівнює 320 кг, містить 20% олова, 144 кг свинцю і решту — доміш-ки. Визначте відсотковий уміст домішок.

А Б В Г Д 80% 25% 35% 55% 48,75%

3. Знайдіть значення виразу sin cos2 2x x , якщо

6x π= − .

А Б В Г Д 0,5 –0,25 –0,5 –2 0,25

4. Яка з множин є областю визначення функції 43log 1y x= − + ?

А Б В Г Д [0; 3] [0; 4] [–3; 3) (–∞; 3] (0; 3]

5. Розв’яжіть рівняння 5 23 9x x− −= . А Б В Г Д 213

1 1,25 0 –1

6. Спростіть вираз 9 6 3

344 · ( 2)

x y z−

.

А Б В Г Д 3 2

2x y z

6 3

4x y

3 2

4x y z

6 3

2x y

3 2

4x y

z

7. Знайдіть суму коренів рівняння ( )2 5 6 1,5 0x x x+ − + = .

А Б В Г Д –6,5 3,5 –5 –2,5 –0,5

8. Вкажіть критичні точки функції y = x(x – 4)3. А Б В Г Д

0; 4 4 1; 4 3 1

9. Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює 25

. Обчисліть площу круга,

описаного навколо трикутника. А Б В Г Д

5π 4π 4

5π 5π π2

68

10. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює 6 см. Знайдіть об’єм піраміди з основою BDD1 і ве-ршиною С.

А Б В Г Д 36 см3 48 см3 24 2 см3 36 2 см3 108 2 см3

11. Обчисліть: 1

2

0

( 4 )x x dx−∫ .

А Б В Г Д 53

13

2 53

− 73

12. Відстань між рівновеликими паралельними перерізами кулі, радіус якої становить 10 см, дорівнює 12 см. Знайдіть площу кожного з цих перерізів.

А Б В Г Д 22π см2 16π см2 64π см2 128π см2 100π см2

13. Подайте многочлен 0,25х2 + у2 – ху – t2 у вигляді добутку. А Б В Г Д

(0,25x – y – t)× ×(0,25x + y + t)

(0,25x – y – t)× ×(0,25x – y + t)

(0,05x – y – t)× ×(0,05x – y + t)

(0,5x – y – t)× ×(0,5x – y + t)

(0,5x – y + t)× ×(0,5x + y + t)

14. Із класу, в якому навчається 18 учнів, вибирають трьох делегатів на шкільну конферен-цію. Скількома способами це можна зробити?

А Б В Г Д 4896 2448 816 1224 1632

15. Знайдіть суму коренів рівняння |4x – 8| + |2 – x| = 4. А Б В Г Д

2,8 1,2 1,6 4 3

16. Знайдіть середнє арифметичне для значень чисел х та у, які є розв’язками системи рів-

нянь 3 2 7;

3 16.x yx y+ =⎧

⎨− + =⎩

А Б В Г Д 3 2 1 4 3,5

17. Обчисліть відстань від початку координат до вершини параболи у = –х2 + 10х – 13. А Б В Г Д 5 13 12 17 10

18. За якого значення n вектори ( 5; – 8; 1)a n n+ + і (5;1– ; 3)b n колінеарні?

А Б В Г Д ±5 ±5; 9 –9 5 5; 9

19. Знайдіть критичну точку функції у = 2х2 – 4х. А Б В Г Д –1 1 4 0 2

69

20. З вершини А квадрата ABCD до його площини проведено перпендикуляр AK завдовжки 6 см. Знайдіть відстань від точки K до вершини С квадрата, якщо його сторона дорівнює 4 2 см.

А Б В Г Д 9 см 10,5 см 17 см 14 см 10 см

21. Знайдіть значення виразу 4 44 4( 3) ( 7,5)x x− + − , якщо 10x = .

А Б В Г Д –4,5 2 10 10,5− 2х – 10,5 4,5 Інша відповідь

22. Знайдіть найбільше ціле значення функції cos4 cos3 sin 4 sin3 225 · 3 x x x xy + −= .

А Б В Г Д 253

0 75 8 –1

23. Знайдіть кількість цілих розв’язків нерівності (2 – х)3(х + 2)2(х – 3) ≥ 0. А Б В Г Д 2 [2; 3] 0 3 Безліч

24. Обчисліть: ( )10

20

80 3 1 sin 103

x dx

π

π

⎛ ⎞π+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

А Б В Г Д

Інша відповідь 1 320− –0,8 8 –8

ЧАСТИНА 2 25. За якого значення параметра а сума коренів рівняння х2 – (а2 – 17а + 83)х – 21 = 0 буде

найменшою?

26. Навколо трапеції описане коло, діаметром якого є більша основа. Обчисліть площу трапе-ції у квадратних сантиметрах, якщо її діагональ і висота відповідно дорівнюють 5 см і 3 см.

27. Бічні ребра правильної трикутної піраміди взаємно перпендикулярні і дорівнюють 7 2 . Знайдіть відстань між мимобіжними ребрами піраміди.

28. Підкидають три гральних кубики. Знайдіть імовірність того, що добуток чисел, які випа-дуть на верхній грані, буде парним числом.

29. Вкажіть значення параметра а, за якого система 3 9,

12 18ax y

x ay+ =⎧

⎨ + =⎩ має безліч розв’язків.

30. Обчисліть: 9 2

10,5log 7 log 3lg0,5 lg0,50, 25 · 0,04 81 0,5 · 27+ − .

70

ЧАСТИНА 3

31. Розв’яжіть рівняння 2 2 4cos cos 13 3

x⎛ ⎞π π− =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

32. Бічна поверхня конуса розгорнута на площині у сектор з центральним кутом 120° і має площу S. Визначте об’єм конуса.

33. За яких значень а пряма у = ах – 5 дотикається до кривої у = 3х2 – 4х – 2?

ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ЗАВДАНЬ ЗОШИТА 5 1. А. 2. В. 3. Б. 4. Д. 5. Б. 6. В. 7. Д. Вказівка. Зверніть увагу, що х = –6 не є коренем рівняння, бо –6 не належить ОДЗ рівняння. 8. В. 9. А. 10. А. 11. Г. 12. В. 13. Г. 14. В. 15. Г. 16. Б. 17. Б. 18. Г. 19. Б. 20. Д. 21. Г. 22. Г. 23. Г. Зауваження. Не забудьте, що розв’язком нерівності є й число –2. 24. Д. 25. 8,5. Вказівка. Дискримінант заданого рівняння завжди додатний і сума коренів дорівнює а2 – 17а + 83. 26. 12. 27. 7. Вказівка. Відстанню між мимобіжними ребрами є апофема піраміди. 31. Розв’язання. Щоб добуток був парним числом, досить, щоб хоча б один співмножник був парним. Знайдемо ймовірність того, що усі числа на верхній грані бу-

дуть непарними. Для кожного з кубиків ця ймовірність дорівнює 3 16 2= , для усіх трьох куби-

ків — 1 1 1 1· ·2 2 2 8

= . Тоді ймовірність шуканої події — 1 71 0,8758 8

− = = . 29. 6. 30. 7.

31. Розв’язання. 2 2 4cos cos 13 3

x⎛ ⎞π π− =⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2 4cos cos 13 3

x⎛ ⎞π π− = ±⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2 4cos ,3 3

x n n Zπ π− =π ∈ ;

2 4cos3 3

x n− = ; 2cos 4 3x n− = ; 2cos 3 4x n= + ; 3cos 22

x n= + . Оскільки –1 ≤ cosx ≤ 1, то рів-

няння має корені лише за 31 2 12

n− ≤ + ≤ . Знайдемо значення n: 33 12

n− ≤ ≤ − ; 6 3 2n− ≤ ≤ − ;

223

n− ≤ ≤ − . Врахувавши, що n∈Z, отримаємо: n1 = –2; n2 = –1. Повернемося до рівняння:

1. 3cos · ( 2) 22

x = − + ; cosx = –1; x = π + 2πm, m∈Z. 2. 3cos · ( 1) 22

x = − + ; cosx = 12

;

x = 2 ,3

k k Zπ± + π ∈ . Отже, 2 ; 2 , ,3

m k m k Zππ+ π ± + π ∈ . 32. 2 29 3

SSπ

. 33. –10; 2. Вказівка. Для

того, щоб пряма у = ах – 5 дотикалася до кривої у = 3х2 – 4х – 2 в точці х0, необхідно і достат-ньо, щоб значення обох функцій за х = х0 збігалися і значення а дорівнювало значенню похід-ної функції у = 3х2 – 4х – 2 за х = х0. Складіть і розв’яжіть відповідну систему рівнянь.

71

ЗОШИТ 6 ЧАСТИНА 1

1. Серед чисел сos2π; 3 2 ; log20,25; 51

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; 7–6 знайдіть найбільше.

А Б В Г Д

сos2π 3 2 log20,25 51

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

7–6

2. Знайдіть множину значень функції y = 3 – 2sin5x. А Б В Г Д

[1; 5] [2; 4] [3; 5] [1; 3] [–1; 1]

3. Знайдіть суму цілих чисел, що належать відрізку, кінцями якого є корені квадратного рі-вняння 10х2 + 7х – 12 = 0.

А Б В Г Д –2 –1 0 1 –5

4. Обчисліть: 3 5 3 523 5

+ −−

.

А Б В Г Д

7 3 5 13 3 54+ 3,5 1 1,5 5− −

5. Басейн наповнюється через першу трубу за 4 години, а через другу — за 6 годин. Яку ча-стину басейну залишиться наповнити після спільної роботи обох труб протягом 2 годин?

А Б В Г Д 45

35

16

23

910

6. Якому з проміжків належить корінь рівняння 1 20,008 5x x−= ?

А Б В Г Д [0; 2] (–1; 5] (2; +∞) (0; 1) (–3; 0]

7. Знайдіть значення виразу ( ) ( )cos 2sin cos2

⎛ ⎞πα−β+ + α+π β−π⎜ ⎟⎝ ⎠

, якщо α = 0,1π, β = 0,15π.

А Б В Г Д

0 12

− 22

32

212

−

8. Визначте проміжок зростання функції у = х2 – 1. А Б В Г Д

(–∞; +∞) [0; +∞) [1; +∞) (–∞; –1) (–∞; 0]

9. Рівняння дотичної до кривої у = 2х2 – 4х – 1 має вигляд: у = 8х – 19. Визначте абсцису то-чки дотику.

А Б В Г Д 2 3 4 –4 8

72

10. У трикутнику АВС ∠А = 50°, ∠В = 70°. Визначте гострий кут, утворений бісектрисами даних кутів.

А Б В Г Д 25° 30° 55° 35° 60°

11. Знайдіть корінь рівняння |x – 1| + |x + 3| = 6,2, який належить проміжку (–∞; –3). А Б В Г Д

–4,1 –2,1 –4 –5 Інша відповідь

12. Обчисліть: ( ) ( )25 9

2log 3 8 log 3 85 3+ −⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠.

А Б В Г Д 64 12 8 2 65 16 3−

13. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, апофема піраміди — 10 см. Знайдіть у квадратних сантиметрах площу перерізу піраміди, проведеного через середи-ну висоти паралельно до площини основи.

А Б В Г Д 24 см2 72 см2 48 см2 9 см2 36 см2

14. Скільки відсотків становить НСД(99; 126) від НСК(12; 20)? А Б В Г Д

25% 20% 15% 10% 30% 15. Скількома способами можна розсадити 6 учнів за круглим столом?

А Б В Г Д 720 36 120 5040 60

16. Знайдіть критичні точки функції 22xy

x= + .

А Б В Г Д –2; 2; 0 –2; 2 2 2; 0 0

17. Сторони трикутника АВС дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. Із вершини найбільшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр AD, який дорівнює 15 см. Знай-діть відстань від точки D до сторони ВС трикутника.

А Б В Г Д 241 см 17 см 31 см 23 см 335 см

18. Обчисліть: 1

5

0

2x dx∫ .

А Б В Г Д 12

13

13

− 1 14

19. Вкажіть область визначення функції ( )25

12 2 logy xx

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д (2; 5] (0; 2] (0; 25] (2; +∞) (–2; +∞)

73

20. Обчисліть найменший цілий розв’язок нерівності ( )2

220

9

x x

x

− −≤

+.

А Б В Г Д –9 –8 0 9 1

21. Розкладіть многочлен х4 + х2 + 1 на множники і знайдіть суму вільних членів многочленів розкладу.

А Б В Г Д 2 4 0 1 Інша відповідь

22. Знайдіть значення параметра а, за якого рівняння (а2 – 1)х = а2 + 5а – 6 має безліч коренів. А Б В Г Д 1 ±1 –6; 1 –6; ±1 0

23. Знайдіть суму коренів рівняння 2 3( 1) 1xx x −+ + = .

А Б В Г Д 3 0; –1 –1; 0; 3 2 Інша відповідь

24. Обчисліть значення похідної функції y = (3x + 1)3 · cos3(x2 + 2x + 1) + π3 у точці х0 = –1. А Б В Г Д 36 12 –12 0 36 + π3

ЧАСТИНА 2 25. У рівнобічну трапецію, верхня основа якої удвічі менша від її висоти, вписане коло, раді-

ус якого дорівнює 3 см. Знайдіть у квадратних сантиметрах площу трапеції.

26. Розв’яжіть рівняння 2 23 88 176 6 2 arccos( 10) 0x x x x x− − + + − − = .

27. Знайдіть кількість коренів рівняння sin2x · tgx + 1 = 3sinx на проміжку (0; π). 28. З точки А, що розміщена на колі, радіус якого дорівнює 2 см, побудований перпендикуляр

AK завдовжки 1 см до площини круга. З точки А проведено діаметр АВ, а з точки В під кутом 45° до діаметра — хорду ВС. Знайдіть у сантиметрах відстань від точки K до хорди ВС.

29. У конус із твірною 3

12 3π

, яка нахилена до площини його основи під кутом 60°, вписано

кулю. Знайдіть об’єм кулі. 30. Куб, усі грані якого пофарбовано, розрізали на 1000 однакових кубиків. Знайдіть імовір-

ність того, що взятий навмання кубик має дві пофарбовані грані.

ЧАСТИНА 3

31. Знайдіть усі значення параметра а, за яких числа х1, 2 3a + , х2 утворюють геометричну прогресію, якщо х1 та х2 — абсциси точок графіка функції f(x) = x3 + 7x2 + (2 – 9a)x, у яких дотичні до графіка нахилені до осі абсцис під кутом 135°.

32. Знайдіть нулі функції 2 2 3ln ( 3 9) 8 8y x x x x= − − + − − .

33. Основою призми є прямокутник. Бічне ребро призми утворює рівні кути зі сторонами основи та нахилене до площини основи під кутом α. Знайдіть кут між бічним ребром і стороною основи.

74

ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ЗАВДАНЬ ЗОШИТА 6

1. Б. 2. А. 3. Б. 4. Г. 5. В. 6. Д. 7. В. Вказівка. Спочатку спростіть вираз до виду sin(α + β), і лише потім шукайте його значення. 8. Б. 9. Б. 10. Д. 11. А. Вказівка. Розв’язуємо рівняння лише для х∈(–∞; –3). Воно рівносильне рівнянню –(х – 1) – (х + 3) = 6,2; –2х – 2 = 6,2; 2х = –8,2; х = –4,1. 12. Б. 13. Д. 14. В. 15. А. 16. Б. 17. Б. 18. Б. 19. В. 20. В. Вказівка. Не забудьте, що ОДЗ нерів-ності [0; +∞). 21. А. Розв’язання. х4 + х2 + 1 = х4 + 2х2 + 1 – х2 = (х2 + 1)2 – х2 = (х2 – х + 1)(х2 + + х +1). Вільні члени 1 і 1. Отже, 1 + 1 = 2. 22. А. 23. Г. Вказівка. Степінь (х2 + х + 1)х – 3 може дорівнювати одиниці лише тоді, коли: 1) х2 + х + 1 = 1; 2) х2 + х + 1 = –1; 3) х – 3 = 0. Розгля-ньте окремо кожен з цих випадків. 24. А. 25. 45. 26. 11. Вказівка. ОДЗ рівняння х = 11, це зна-чення є коренем. 29. 2. Розв’язання. sin2xtgx + 1 = 3sinx; 2sin cos sin 1 3sin 0

cosx x x x

x+ − = ;

22sin 3sin 1 0,cos 0;

x xx

⎧ − + =⎨

≠⎩

sin 1,1sin ,2

cos 0;

x

x

x

⎧ =⎡⎪⎢⎪ =⎢⎨⎣⎪⎪ ≠⎩

1sin2

x = . На проміжку (0; π) є два корені. 28. 3. Вказів-

ка. Шуканою відстанню є відрізок KC. 29. 288. 30. 0,096. 31. –1. 32. –2. Розв’язання. Функція, яка складається із суми двох невід’ємних доданків, дорівнює нулю лише тоді, коли кожен з них за одного й того ж значення аргументу дорівнює нулю. Маємо систему двох рівнянь з

одним невідомим: 2 2

3

ln ( 3 9) 0,

8 8 0.

x x

x x

⎧ − − =⎪⎨

− − =⎪⎩ Розв’яжемо спочатку перше рівняння системи:

ln2(x2 – 3x – 9) = 0; ln(x2 – 3x – 9) = 0; x2 – 3x – 9 = 1; x2 – 3x – 10 = 0; x1 = –2; x2 = 5. Перевіри-мо, чи числа –2 і 5 є коренями другого рівняння: 1) х = –2: 3 8 8 8 16 8 0x x− − = − + − = ; 2) х = 5: 3 8 8 125 40 8 0x x− − = − − ≠ . Отже, х = –2.

33. 2 cosarccos2

α . Розв’язання. Нехай ABCDA1B1C1D1 — задана

призма. ∠А1АВ = ∠А1АD. Побудуємо А1Р⊥пл. АВС, А1K⊥АВ, А1L⊥AD. Тоді ∠А1АР = α. ΔА1АK = ΔA1AL (як прямокутні за гіпо-тенузою і гострим кутом). Тоді AL = AK і чотирикутник AKPL —

квадрат. Отже, 22

AK AP= . Із трикутника АА1Р: АР = АА1cosα.

Тоді 12 2 cos

2 2AK AP AA= = α . З трикутника АА1K:

cos∠α = 1 11

2 cos · :2

AK AA AAAA

= α 2 cos2

= α . Звідки: ∠А1АK = 2 cosarccos2

α .

A1 B1

C1D1

CD

A BP

K

L

75

ЗОШИТ 7 ЧАСТИНА 1

1. Обчисліть: 2 3 2 104 6 1 53 7 9 21

⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д 231163

29463

59463

29463

− 4363

2. Знайдіть значення параметра а, за якого розв’язками нерівності 3х – 1 < ах + 5 є усі дійсні числа.

А Б В Г Д 3 1 5 0 6

3. Розв’яжіть рівняння: 3 62 1 1 6x x+ − + = . А Б В Г Д

∅ 348

− ; 7 7 –7 63

4. Знайдіть |x – y|, якщо 2

2

79,2.

x xyy xy

⎧ − =⎪⎨

− =⎪⎩

А Б В Г Д 8 9 77 7 81

5. Вкажіть цілі розв’язки нерівності 2 13

log 2 0x− < .

А Б В Г Д 1; 2 1 0; 1 0; 1; 2 2; 3

6. Добуток двох послідовних парних натуральних чисел дорівнює 728. Знайдіть суму цих чисел. А Б В Г Д 56 66 54 32 28

7. Знайдіть модуль вектора 2 3a b+ , якщо (1; 2)a , (1; 0)b . А Б В Г Д 41 3 17 1 9

8. Третій і сьомий члени арифметичної прогресії відповідно дорівнюють 11 і 23. Знайдіть суму 10 перших членів цієї прогресії.

А Б В Г Д 85 35 185 175 370

9. Точка О, яка є перетином діагоналей трапеції АВСD (AD||BC), ділить діагональ АС на ві-дрізки АО = 8 см і ОС = 4 см. Знайдіть основу ВС, якщо AD = 14 см.

А Б В Г Д 5 мс 6 см 7 см 8 см 4 см

10. Радіус основи конуса дорівнює 8 см, а його твірна — 10 см. Знайдіть площу осьового пе-рерізу конуса.

А Б В Г Д 48 см2 24 см2 96 см2 60 см2 72 см2

76

11. Обчисліть tg2α + ctg2α, якщо tgα + ctgα = 2. А Б В Г Д 2 1 4 3 –2

12. Тіло рухається за законом 2( ) 4s t t t= − . Знайдіть швидкість тіла в момент t0 = 4. А Б В Г Д 5 4,75 12 7 7,875

13. Знайдіть область визначення функції 2 35 1xy −= − . А Б В Г Д

(1,5; +∞) [2; +∞) [1,5; +∞) [5; +∞) [3; +∞) 14. Знайдіть корінь рівняння sin2x – 4cosx = 0, який належить проміжку [2π; 3π].

А Б В Г Д 73π 5

2π 9

4π 13

6π 7

4π

15. Обчисліть довжину ребра куба, діагональ якого дорівнює 2 3 . А Б В Г Д 6 3 1 2 2

16. Функція f(x) — парна, а функція g(x) — непарна. f(–7) = –11, g(5) = –2. Обчисліть 2f(–7) – 3g(–5). А Б В Г Д

–28 –16 28 16 29

17. Вкажіть найменший розв’язок нерівності 2 2

2 55 2

x+⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

А Б В Г Д 0 –4 4 –2 Не існує

18. Знайдіть похідну функції y = ln(2x) + 2x3 – 3. А Б В Г Д

21 6 3x xx+ − 21 6 3

2x

x+ − 21 6

2x

x+ 21 6x

x+ 22 6x

x+

19. У стандартному вигляді розкладу бінома 5

12xx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

вкажіть коефіцієнт біля х.

А Б В Г Д 40 80 20 240 160

20. Скільки чотирицифрових чисел, кратних 5, у яких усі цифри різні, можна записати, ви-користовуючи цифри 5, 6, 7, 8 і 9?

А Б В Г Д 120 60 6 24 720

21. За якого найменшого значення параметра а рівняння 2cos4x = a – 5 має корені? А Б В Г Д –3 0 3 1 Інша відповідь

77

22. У рівнобічну трапецію вписане коло. Знайдіть у квадратних сантиметрах площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 2 см і 8 см.

А Б В Г Д 40 см2 5 см2 20 см2 16 см2 Інша відповідь

23. Дано трикутник АВС з вершинами А(2; 2; –4), В(2; –1; –1), С(3; –1; –2). Знайдіть зовніш-ній кут при вершині В.

А Б В Г Д 60° 90° 120° 135° Інша відповідь

24. Обчисліть: ( )3 3 cos arctg 2 .

А Б В Г Д 3 –3 ±3 3 6 3 2

ЧАСТИНА 2 25. Основою похилого паралелепіпеда є ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Бічне

ребро паралелепіпеда дорівнює 4 см й утворює з ребрами основи, які виходять з цієї ж вершини, кути 45°. Знайдіть об’єм паралелепіпеда у кубічних сантиметрах.

26. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності 25 307 3x x x− + −> .

27. Знайдіть суму коренів рівняння ( )( ) 21 4 3 7 9x x x x+ − = − + + .

28. Скільки різних цілих значень набуває функція ( )2 2( ) 8 sin 2 cos 2 2sin 2 cos2f x x x x x= + − ?

29. Визначте, за яких значень х три числа lg2, lg(3x – 3) і lg(3x + 9), взяті в заданій послідов-ності, утворюють арифметичну прогресію.

30. Вкажіть найбільше ціле значення параметра а, за якого рівняння 2 12 ( 1) · 2 04

x xa+ + + =

має два різних корені.

ЧАСТИНА 3 31. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у = –х2 – 4х + 4, яка проходить через точку

М(2; 1).

32. Ромб, площа якого дорівнює Q, обертається навколо сторони. Визначте площу поверхні одержаного тіла.

33. За яких значень параметра а рівняння sin4x + cos4x = a має розв’язки?

ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ЗАВДАНЬ ЗОШИТА 7

1. В. 2. А. 3. Д. 4. Б. Розв’язання. Додамо почленно рівняння системи: 2

2

79,2;

x xyy xy

⎧ − =⎪⎨

− =⎪⎩

х2 – 2ху + у2 = 81; (х – у)2 = 81. Звідки |x – y| = 9. 5. Б. 6. В. 7. А. 8. В. 9. В. Вказів-ка. Скористайтеся подібністю трикутників AOD і COB. 10. А. 11. А. Розв’язання. tg2α + ctg2α = tg2α + 2tgαctgα + ctg2α –2tgαctgα = (tgα + ctgα)2 – 2 = 22 – 2 = 2. 12. Г. Вказівка. Миттєва швидкість дорівнює значенню похідної функції у відповідній точці. 13. В. 14. Б. 15. Д. 16. А. 17. Б. 18. Г. 19. Б. 20. Г. 21. В. 22. В. 23. В. 24. А. Вказів-ка. Використайте формулу

2

1cos1 tg

α =± + α

. 25. 32. 26. 4. 27. 3. Вказівка. Зведіть рівняння до

вигляду 2 23 7 3 7 20 0x x x x− + − − + − = . 28. 5. 29. 2. 30. –3. Розв’язання. Задане рівняння є ква-

78

дратним відносно виразу 2х. Квадратне рівняння матиме два різних корені тоді й лише тоді, коли його дискримінант більший від нуля. Маємо: ( )2 11 4 · 0

4a + − > ; а2 + 2а +

+ 1 – 1 > 0; а(а + 2) > 0; а∈(–∞; –2)∪(0; +∞). Оскільки квадратне рівняння задано відносно 2х, то обидва корені квадратного рівняння повинні бути додатними. Для подальшого досить, щоб

менший з коренів був додатним. Одержуємо: 1, 2( 1) ( 2)

4a a a

x− + ± +

= ; ( 1) ( 2)0

4a a a− + − +

> ;

( 1) ( 2) 0a a a− + − + > ; 2 2 1a a a+ < − − ; 2 2

( ; 2) (0; ),1 0,2 2 1;

aa

a a a a

⎧ ∈ −∞ − ∪ +∞⎪− − >⎨⎪ + < + +⎩

( ; 2) (0; ),

1,1;

aaa

∈ −∞ − ∪ +∞⎧⎪ < −⎨⎪ <⎩

( ; 2)a∈ −∞ − . Найбільшим значенням є а = –3. 31. у = –2х + 5; у = –14х + 29. 32. 4πQ. Розв’язання. Нехай ромб ABCD обертається на-вколо сторони АВ, О1 — центр кола, описаного вершиною С, О — центр кола, описаного вершиною D. Поверхня тіла обертання складається з бічної поверхні циліндра ОО1 і бічних поверхонь рівних конусів ОА і О1В. Нехай DA = DC = a, ∠ADC = α. Побудуємо АР⊥CD. Тоді OD = O1C = AP = asinα. Sтіла = Sбіч. цил. + 2Sбіч. кон. = 2πOD · DC + + 2πOD · DA = 2πasinα · a + 2πasinα · a = 4πa2sinα. За формулою площі ромба Sромба = a2sinα. Тому Sтіла = 4πa2sinα = 4πQ. 33. а∈[0,5; 1].

O

P

D

A

B

CO1