Zum Teilerproblem von Atle Selberg

Zum Teilerproblem von Atle Selberg

Von G. J. RIEGER in Minchen

(Eingegangen am 21.4. 1964)

Es sei s = a + t i , x eiri beliebiger Charakter mod k und m

( 8 ) : = C n - ' = f l ( ~ - p- ' ) - l (a> 11, n = l P

w

L (s, ;c) : = C x (n) n-' = fl ( I - x ( p ) p- ')- '

(t (8))' = n ( I - p-')-" =

(a> I ) . n = l P

Fiir beliebiges kompIexes J entsteht ilurch binomische Entwicklung m

c&(n) n-' (a > 1) P n - 1

(1)

niit eindeutig bestimmten dz (n) ; clabei ist d, (n) eine multiplikative arith- metische Funlctioi; von n, uiicl es gilt

+ a - I z ( z + I ) ( z + 3 ) . . - ( ~ + a - 1 ) &(pa) = ( 3 a ) := 1 3 , 3 * . . a ( 2 )

(a 2 0) . Iin Fall L (8, x) statt 5 (s) in (I) hat man nur ~ ( p ) p-' statt p-' und x(n) n-' statt n-' z u schreiben; also kommt

-- ( L (8, x , y = 2 x (n) d z b ) n-' (a > 1).

n = l

In Verallgemeinerung eines Ergebnisses von ATLE SELBERG 1) beweisen wir hier

Satz 1. Fur x > 2, t > 0 , k < (log x)', ( k , 1 ) = 1, A > 0 und komplexes z mit / z 1 < A ist

X (log x y - cp(V D, (x ; k , Z) : = 2 d z ( n ) = (7)

n <z r(z) cp (4 nGlmodk

mit einer nur von t und A abhangigen Konstanten im Restglied.

1) Vgl. [4], Satz 1.

182 Rieger, Zum Teilerproblem von Atle Selberg

Es sei D,(z; x) : = x (n) d , (n ) .

n <z

Wegen 2 4 - 4

y - I fur y z 1 a s = { 1 Y s f i

2ni s f s - I ) s 0 fur O < y s l 2 - m i

ist 2+mi

1 2 - 4

Wir bezeichnen mit cl , c 2 , . . . passend gewahlte absolute positive Kon- stante, rnit cI(*), c2 (*), . . . passend gewahlte und nur von * abhangige positive Konstante und mit xo den Hauptcharakter mod k. Fur x = bzw. + xo sei E (x) : = 1 bzw. 0. Die Konstante in 0 ( ) bzw. 0, ( ) ist absolut bzw. hiingt nur von * ab.

Zunachst werden einige bekannte Tatsachen uber die Funktionen L (s, x) zusammengestellt 2 ) : Fur u > 0 ist

1 8

reguliir; es existiert ein c l < - derart, daI3, wenn man von der moglichen

einfachen reellen Nullstelle ,B (k) der Funktion L (s, xi) fur den moglichen Aixsnahmecharakter xl absieht, fur

C l

log k (It1 +T t reell, a > 1-

mit einem gewissen c2 < CI gilt

f ur log L (s, x) = 0 (loglog k 1 t 1 ) ;

1 log 2 k

< u < 1 + It1 < 7, 1 --__ c3

log 2 k 2) Vgl. etwa [2], Kap. Tv und [3], 5 2.

Rieger, Zum Teilerproblern von Atle Selberg 183

log __- (" = 0 (loglog 4 k ) , s - B ( k )

log L (8 , x) = 0 (loglog 4 4

] t l < 7 , c> l - - - - -

(x * x 0 , J ; fur

c4

log 2 k

= o - v ( k ) (':I log 2 k ) ; gilt

(5) L ( $ 9 x) - E (XI (s -

fur CR Is - 1 1 <--

log 2 i%

(P ( k ) gilt

L (s, X") - __- = 0 (F (S - 1 ) k (6 )

Es sei iioch CT)

cg : = min (c?, c : ] , c 4 , c5), a ( k , t ) : = l ogk (It1 + 2) '

A1 : = 1 - a (k, 6) - 6 i, 8,: = 1 - a ( k , 6 ) , A?: = 1 - a (k, 6) + 6i.

Feriier bezeichne Wl bzw. W 2 den bei wachsendem t clurchlaufenen Weg s = 1 - n ( k , t ) + t i mit - 00 < t 5 - 6 bzw. + 6 - I t < + 00 und W einen beliebigen uiid ganz in dem langs s = u 5 1 aufgeschnittenen Recht- eck

verlaufendeii Weg von A, nach A,. Aus (3) und dem CAucwscheii Integralsatz folgt

2

wenn man auf W , bzw. W2 einen zunachst noch beliebigen Teilpunkt t = - T bzw. t = + T einfuhrt, ergibt sich fiir Iz] < A sofort

i S4 Rieger, Zixm Teilerproblem von Xtle Selberg

die in diesem Restglied vorkommende Funktion bezeichnen wir nach der - Festsetzung T : = eVloP 3o mit R ( x ; k , A); bei festeni k undA ist R ( x ; k , A ) fiir x > i eine positivwertige und wachsende Funktion von x. Es sei noch

desseii Wert von der speziellen Wahl von IY nicht abhiingt. Wir erhslten damit

Hilfssstz 1. Fur A > 0, I z / < A, x > 1, k 2 1 i s t 2

J (D,(w; X) - J , (V; x)) d v = 0 ( R ( x ; k, A ) ) . I

Eine fur w > 1 erkldrte komplexwertige Funktion heil3t Treppen- funktion, wenn sie in jedem Interval1 n < w 5 n + 1 (n > I, ganzrational) konstant ist. Eine fur w > 1 erkliirte Funktion heifit zuliissig, wenn sie die Summe einer stetig differenzierbsren koinpleswertigen Funktion nnd einer Tteppenfunktion ist.

Hilfssatz 2. Es sei f eine.fiir w > 1 erkldrte zztlussige Funktion rnit f (1) = 0 ; fiir 2 > 1 sei

IJfC., dw( < R ( x )

rnit einer gewissen positiwwertigen wnchsenden Funktion R (x) ; fur 1 < y < x sei

J f (2) - f (y) I < C ((. - y) (log C' x)@ + XI-?)

f (w) = 0 ( C d - y + (C R ( v ) (log C' W ) B ) ") .

mit gezuissen positiven I!on<stanten C, C', ,4, y ; f a r u > 1 gilt dnnn

(7)

I

B ewe i s. Wegen f zulbssig impliziert 8 f zuliissig,

j ! J l f ( w ) d u = 8 j f ( u ) d u , l % c t / ~ ] % l 1 1

kann ohne BeschrSnkung der Allgemeinheit f als reellwertig vorausgesetzt werden. - Fur ein u mit f ( v ) = 0 ist nichts zu beweisen. Es sei

P : = (v: f ( w ) ;> 0} und N : = {v:f(w) < O}. i) Es sei w E P. Erfullt w aul3erdemf(w) 5 2 C d - 7 , so gilt jedenfalls (7 ) .

1st jedoch f (w) > 2 C d-y , SO definieren wir die zu w gehorige (in y lineare und wachsende) Funktion

g,(y): = f (w) -. c ((w - y) (log C' ?I)@ + w'-')

Rieger, Zum Teilerproblem von Atle Selberg 185

f fv) mit der Nullstelle w,,; es ist g, ( v ) > 2 > 0 und daher wo < w ; ferner ish

0 < g,(y) fur wu < y und gv(y) 5 f(y) fur y 5 w ; es foigt 0 < g,(y) 5 f (y) fur w,) < y 5 w nnd wegen f(1) = 0 noch wo > 1; aul3erdem ist

2

f (v). C(w - ?I,)) (log C’wy > f ( w ) - c w l - y > -, 2 wir erhalteii

es gilt schlief3lich

und daher (7) .

ii) Fur w E AT betrachte man - f statt f. Damit ist Hilfssatz 2 bewiesen. Fiir naturliches r uncl 1 5 z < y ist3)

1 2 d,(n) = O,((y - z) (log y y - l + yl- r+l). z<ns.v

Wegen (2) ist

I dz (n> I s a,,,, + I! (n).

D,(y; x) - D,(IZ:; x) = 0, ((y - IZ:) (log

Fur 1.z < A und 1 5 IZ: < y folgt 1

yl-d+2).

Wir wahlen fiir deli Augenblick fur W den Sbreckenzug von AL uber

1 1 1 + - - 6 i und I+-- + 6 i

log 3 y 1% 3 Y nach A,; auf diesem ist wegen ( 5 ) jedenfalls

0 i L(s , x ) = O(10g 2ky);

3) Das folgt etwe eus [5 ] , (12. 1.3) und (12. 1.4). 13 Math. Nachr. 1965. Bd. 30, H. 314

186 Rieger, Zum Teilerproblem von Atle Selberg

fur / z I < A und i 5 x < y folgt

= 0 ((log 2 Icy), (y - z) y G G ) = 0 ((y - X) (log 2 k y ) " ) .

Ferner ist D z ( l ; x) = 0 .

1 log 3 k

Wahlt man fur W einen Weg, der von s = 1 um mindestens -- entfernt

bleibt, so folgt wegen (5) sofort

J S ( 1 ; x ) = O ( ( I o g 3 k ) " ) .

Hilfssatz 2 fur f ( v ) : = D,(v; X) - J,(v; x)+ J , (1; x ) liefert

Hilfssatz 3. Fur A > 0 , 1 ~ 1 < A, k 2 1, x > 1 ist 1 1 I-- D,(x; 1) - J z ( x ; x) = 0, ( x A + 2 + (I?(.; li, A ) (log 2 kx)")?) .

Aus Hilfssatz 3 folgt leicht

Hilfssatz 4. Fur A > 0 , ( 2 1 < A , z > c ~ ( A ) , k < evlogz ist -

D , ( x ; x) - J,(x; x) = 0, ( x e -CJ 'ogz ) .

J z ( x ; x) = 0 (x'"~') (log 2 k ) C ' A )

Jetzt wird J , ( x ; x) abgeschiitzt. Fur x =+ x0,[ kann W in die Strecke A l A, deformiert werden; es entsteht

( x * x 0 . d .

Fur beliebiges 6 mit 0 < 6 <: a ( k , 6) bezeichne S ( k , 6) die 8-Schleife von A,, um 1, d. h. den Weg, der von A, am unteren Ufer der reellen Achse nach 1 - 8 und von dort uber einen im positiven Sinn durchlaufenen IZreis mit Mittelpunkt 1 nach 1 - 6 und von dort am oberen Ufer der reellen Achse nach A , zurucklsuft ; f iir x = xo kann W in A, A, v S (k, 6) u A0 A deformiert werden ;

L z ( z ; k) :

mit

dessen Wert von 6

J z ( 2 ; xo)

unabhangig ist, entsteht = L , ( x ; k) + 0 (xl-a(k*G)(log 2 k ) c J ) .

; im 6) Fur x = xI unterscheiden wir zwei Faille: @ ( k ) < bzw. 2 1 - -- 2

6) 6 i und ersten Fall wird IT in den Streckenzug von A, uber 1 - -- - 4


6) 1 - c_ + 6 i nach A, deformiert, wobei 4

a(k -6 ) I-- J,(x; xl) = 0 (. 4 (log 2 k)clod)

entsteht; im zweiten Fall bezeichne T ( k , q ) fur 0 < q < 1 - p ( k ) die q-Schleife von A , urn p ( k ) , und W kann in A I A o w T ( k , q ) w.4,Al def ormier t wer den, w obei

_ _ _

J,(x; xr) = 0 ( ( x @ ( ~ ) + xl"(k'b)) (log 2 k ) C 1 l A )

entsteht. Durch Einsetzen in Hilfssatz 4 folgt mit E, (x ) : = 1 bzw. 0 fiir x = bzw. #= xl leicht

Hilfssatz 5. Far A > 0, I z 1 < A , 2 > c, ( A ) , k < elrG ist

D,(x; X) = E ( x ) L,(x; k ) + E1(x)O(dck) (log 2 k)c l lA ) + O,(x e - CI ,G)

Beweis von Sa tz 1. ALIS ( k , I) = 1 folgt

Hilfssatz 5 liefert

+ 0, (x e - c l z v i G )

1 Aus ( 6 ) und der HammLschen Integraldarstellung fur - folgt 6 ) r(z)

(log .T)"-' log log 4 k

Aus (8), (9) und (4) folgt die Behauptung. Es sei

m

f ( ~ , 2): = 2 b,(n) n-' ( c > I ) , n-1

4) Vgl. dam auch [3], $ 4. 13.

188 Rieger, Zurn Teilerproblem von Atle Selberg

Eine positive Zahl B hei13t f-zulassig, wenn es ein c ( f , B ) gibt derart, da13 mit E : = 2 B + 2 fur 1 z 1 <: B gleichmaBig gilt

m 2 I b,(n) I n-1 (log 2 n)E < c ( f, B ) . n = l

(10)

Satz 2. Fur x > 2 , t > 0 , k < (log x)', ( k , I) = 1, f-xulassiges B und kompbexes z mit I z I < B ist

A,(x; k, I ) : = 2 a,(n) n <z

n d m o d k

= f (1, 2 ; k) q z ( k ) x (log x ) f - i

+ or,,,, ((1 + r z ( k ) ) ~ ( l o g x ) ' ~ - ~ ) mit

q(k) ""oglog 4 k , r, ( k ) : = (k) -- q,(k): = (k) d k ) 1 r(4 v ( k ) Q.' (4

und einer nur von t, f und B abhangigen Konstanten im Restglied. B ewe i s. Zunachst ist

A,(%; k , I ) = 2 b,(n) D, (E; k , 1 . - 1 ) . n<z n

( n , k ) = i

Durch Aufspalten dieser Summe gem613 n < 1'; und 1;s n < x entsteht A,(x; k , 1 ) = A (1 ) + A(') .

IO,(x; k , 4 I I z d[,,,+Il (n) = 0, ("(log 4")

2 b, (n) ,-I< c (f, B) (log 2 y)-'

A'2' = 0 ,, B ("(log 2 x,"-").

&fit der groben Abschiitzung

n<:z

und der aus (10) folgendeii Abschstzung

(Y 2 1) n2Y

(11)

eiitsteht

Bei A(*) ist Satz 1 anwendbar und liefert

fur x > 2 und n < y& ist


zusammen mit (10 ) folgt

(12 ) A(') = 2 b,(n) n-lq. ,(k) x (log x ) ~ - ' n < F

( n , k ) = 1

+ OT,f , B ( r , ( k ) 5 (log .)""-2) . Wegen (11 ) ist noch

2 b , ( n ) n - l = f ( l , z ; L ) + 0 , , ~ ( ( 1 o g 2 y ) - ~ ) . n<y

(n.k)=l

Durch Einsetzen folgt die Behauptung.

dieses f(s, z ) gegenstandslos. Wenn es zu gegebenem f(s , z ) kein f-zulassiges B gibt, so ist Satz 2 fur

Wir wahlen jetzt speziell

f ( S , 2): = y((1 + -- 1 - - (13 ) p s - 1 $3) Dann ist

., Ferner ist

( G > 1).

( G > 1).

Da fur die Faktoren in (13 ) gilt:

= 1 + o,,, ( p - 2 n ) , 1 1 2 2

kann f(s, z) nach G > -fortgesetzt werclen, und fur CT > -ist

m

,rb,(n) n-" = O,,/J~). n - i

Jedes B > 0 ist somit f-zulassig. Aus Satz 2 folgt

mi t lzI < B ist Satz 3. PUT x > 2, t > 0 , k < (log x)', (k, 1) = 1, B > 0 und komplexes z

mit einer nur von z und B abhangigen Kons tan ten . im Restglied.

190 Rieger, Zuni Teilerproblem von dtle Selberg

Wahlt man in (13) jedoch ps statt ps - I, so wird

a, (n) = (n)l = I t 4 (n) I & (n) . Man hat in Satz 3 nur zW(*) durch ( = Satz 4).

so geschrieben werden :

(n)I zm@) und p - 1 durch p zu ersetzen

1st z + 1 - p fur jecles p l k , so kann das Hauptgliecl in Satz 3 auch

1st z =+= - p fur jedes p 1 k , so kann das Hauptglied von Satz 4 entsprechend umgeformt werden.

Wshlt man bei ganzrationalem r speziell

f (S , 5 ) : = 17 ((I t ( c z z ( p ) ) r p - s + ( d z ( p z ) ) r p - 2 q

+ ( d , ( p j ) ) r p - z s + . . . ) (1 - p - y ) , P

so wird

a,@) = (&Wr. Satz 3 ist wieder anwendbar und liefert, cla jedes B > 0 hier f-zuliissig ist,

Satz 5. Fur x > 2, t > 0, Ic < (log x)', ( l c , I ) = I , ganzmtionales r , B > 0 und komplexes z mit ( z ( < B ist

c ( 4 , n r = 17 ((1 + ( U P ) Y P - l + ( 4 ( P ? ) r P - 2 + . * * ) (1 - p - 9 q n<z P4k

n=l mod k

mit ei.ner nur 'von t, B u n d r abhangigen Konstanten im Restglied.

Man kann Satz 5 ohne weiteres auf komplexes r ausdehnen, wenn man wie ublich fur komplexes z + 0 den Ausdruck z' mit Hilfe des Hauptwertes des Logarithmus erklkt.

5, Fiir den Spezialfall k = 1 vgl. [6], (3.10).

Rieger, Zum TeilerprobIem von Atle Selberg 191

Nimmt man in Satz 6 insbesondere z = 2 und r = - 1, so kommt5)

Satz 6. Fiir x > 2, z > 0, k < (log x)' u n d (k, Z) = 1 ist

n -1 moil k

1 3

-- ( x - (72 log x) '? + 0, x (log x ) - y ) X

k

rnit einer nur von t abhangigen Konstanten im Restglied,

Die Untersuchungen aus [4] wurden hauptsiichlich aiigestellt in der Absicht, gewisse Ergebnisse von SATHE uber die in der Primzahltheorie geliiufigenc) Funktionen zh (z), Q~ (x) uiid rs,, (x) vereirifacht herzuleiten und zu verschiirfen. In ganz analoger Weise gestatten unsere uberlegungen jetzt Anwendungen auf die fur prime Restklasseii 1 mod k entsprechend erkliirten Funktionen.

Es seien a, b, q naturliche Zahlen. Es ist

q 2 ; r i a b j q fiir q I b, ze-q- - a = l - 10 sonst.

' ? x i a

Wir multiplizieren (14) mit z - ~ und setzeii z = e . Summiert man in (14) iiber a, entstehen rechts q Glieder einer asymptotischen EntwicMung und ein Restgliecl. Interessiert man sich nur fur ei,n Hauptglied, erhalt man

Satz 7. Fur x > 2 , t > 0, k < (log x)~, ( k , I) = 1 und beliebige naturliche Zahlen q, r gilt

n d m o d k w (n)=r mod q

mit einer nbsoluten bzw. nur von t nbhangigen Konstanten im Restglied.

Dieser Satz verallgemeinert ein Ergebnis von PILLAI [7]. Mit Satz 4 statt Satz 3 gelangt man zu einer ahnlichen Formel f i i r die quadratfreien Zahlen n. Auch kann man statt LU (n) andere additive zahlentheoretische Funktionen nehmen wie etwa die Gesamtzahl Q ( n ) der Primfaktoren von n (also mehrfache mehrfach gezahlt).

6) Fiir die Deiinitionen vgl. etwa [I], 3 56.

19 2 Rieger, Zum. Teilerproblem von Atle Selberg

Literatur

[l] E. LANDAU, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Leipzig 1909. [2] K. PRACHAFC, Primzahlverteilung. Berlin-Gottingen-Heidelberg 1957. [3] G . J. RIEGER, tfber die Anzahl der als Summe yon zwei Quadraten darstellbaren und

in einer primen Restklasse gelegenen Zahlen unterhalb einer positiven Schranke. 11. J. reine angew. Math. 217, 2 b-216 (3960).

[4] A. SELBERG, Note on a paper by L. G. Sathe. J. Indian Math. Soc. 18, 83-87 (195.1.). [5] E. C. TITCHMARSH, The theory of the Riemann zeta function. Oxford 1951. [6] B. M. WILSON, Proofs of some formulae enunciated by Ramanujan. Proc. London

Math. SOC. (2) 91, 235-255 (1923). [7] S. S. PILLAI, Ganeralization of a theorem of Mangoldt. Proc. Indian Xcacl. Sci., Sx t .

A, 11, 13-2d (1940).

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