Sektion Physik/Elektronik der Emst-Xoritz-Amdt-UniversitBt Greifswald

Zum Verhalten impulsgestorter Gleichstromentladungen

Von

H. DEUTSCH

Eingegnngen am 10.11.1970

Auf der Grundlage einer linearen Theorie wird das Ubergangsverhalten der positiven Saule, insbesondere die dnderung des Gradienten und der Elektronenkonzentration bei impuls- formigen Stromanderungen mit verschiedenen Bnstiegszeiten untersucht und einigen experi- mentell gewonnenen Ergebnissen gegenubergestellt. Die Diskussion der Ergebnisse erfolgt in Verbindung mit dem Impedanzverhalten der Entladung. Fur das Ubergangsverhalten wird die Berechnung einer charakteristischen Zeitkonstanten durchgefiihrt.

1. Einleitung

Fiir viele technische Anwendungen des Plasmas ist weniger sein statisches als vielmehr sein dynamisches Verhalten von Interesse. Im Rahmen der Unter- surhungen zum dynamischen Verhalten nehmen dabei clie Einstellprozesse eine besondere Stellung ein. Einige Arbeiten zu diesem Problemkreis gehen von dern Fall kleiner Storungen aus, da dsnn die mathematische Erfassung der Einstell- prozesse vereinfacht wvird. Insbesondere ergeben sich aus diesen Untersuchungen auch Riickschliisse auf das Stabilitatsverhalten von Entladungen.

Die ersten eingehenclen theoretischen und experimentellen Untersuchungen zu diesem Problemkreis wurden von GRANOWSKI [11 durchgefiihrt, die in der Folge- zeit Ausgangspunkt mehrerer Arbeiten (vgl. z. R. [2 , 3, 51) waren. BARNES [ 2 ] untersuchte z. B. experimentell die Veranderungen des Gradienten, der Elektro- nentemperatur und des Ionenstromes zur Wand in einer Hg --A-Entladung (Gesamtclruck: 3,5 Torr ; Entladungsstrom einige zehntel Ampere), die sich in Verbindung mit einer plotzlichen Bnderung des Stromes ergaben. Eine Diskusaion cler Ergebnisse erfolgte qualitativ mittels der von GRANOWSKI angegebenen Theoric. Wie anch bei GRANOWSKI wird bei den theoretischen Untersuchungen von einer 3LswELL-Verteilung der Elektronengeschwindigkeiten ausgegangen. R ~ J ~ I C K A und Y E I l ~ R E I l [4] behandelten theoretisch die Einstellprozesse, die sich im zu- sammenhang rnit einer Anfangsstorung in Form eines DrRac-Impulses ergeben ; insbesondere vvird der ortliche Verlauf der Konzentration der Elektronen und Ionen in Abhangigkeit von der Zeit nach der Storung berechnet. In ihren Unter- suchungen beschranken sie sjch auf ein Plasma, das nur durch Direktionisation erzeugt wird, das somit nur unter ganz bestimmten Entladungsbedingungen reali- siert werden kann. Eine experimentelle uberprufung der gewonnenen Ergebnisse

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erfolgte nicht. GLADSTEW, SASTENKER und RUSCHKINA [5] untersuchten experi- mentell und theoretisch die h d e r u n g der Elektronenkonzentration bei einer h d e - rung des Entladungsstromes. Die Untersuchungen wurden fur Helium bei einem Druck von 0,3 Torr durchgefuhrt; der Radius des Entladungsrohres war 1,5 cm; die Entladungsstromstarke variierte von 16 bis 200 mA. In ihren theoretischen Betrachtungen gehen GLADSTEIN und Mitarbeiter von einer MAXWELL-Verteilung der Elektronengeschwindigkeiten aus, wobei auch Stufenprozesse in die Unter- suchungen mit einbezogen werden. Auf eine Diskussion des Verhaltens der anderen Plasmaparameter bei plotzlichen Stromanderungen wird such wie in der vorherigen Arbeit nicht eingyangen.

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, auf der Gruncllage einer linearen Theorie [6] den Verlaid der Gradienten- und Elektronenkonzentrationsanderung in Ab- hangigkeit von zeitlich verschiedenen Stromanderungen zu untersuchen, wobei auf die Phasenbeziehungen zwischen den einzelnen dnderungen der PlasmagroBen eingegangen und auf das analoge Verhalten von ubergangsprozessen bei kleinen Storungen und Impedanz hingewiesen uird. Eine nberprdfung der theoretisch gewonncnen Ergebnisse erfolgt anhand e*iger gleichfalls durchgefuhrter experi- menteller Untersuchungen.

2. Ausgangsgleichung und deren LBsung

In ['i] wurde bereits die Differentialgleichung fur das dynamische Verhalten einer Schwachstrom-Niederdrucksaule abgeleitet, die einer kleinen Storung unter- worfen wurde. Diese Gleichung ergab sich aus den Bilanzgleichungen fur die Ladungstrager, fur die angeregten Atome sowie aus der Strombilanzgleichung. Da zwei Tragheitsfaktoren, die Tragheit der Konzentrationsanderungen der Elek- tronen und die der angeregten Atome gegenuber Feldstarkeschwankungen beriick- sichtigt wurden, erhielten wir als gesuchte Differentialgleichung eine Differential- gleichung 11. Ordnung. Diese Differentialgleichung verkniipft ganz allgemein die Schwankungen der Spannung u (pro cm Saulenlange) mit den Schwankungen der Stromstarke i .

Die in [7] angegebene Differentialgleichung, die wir zunachst im Hinblick auf sinusformige Storungen diskutierten, gestattet es somit auch, die entsprechenden Spannungsschwankungen bei einer vorgegebenen impulsformigen Stromstorung (1) zu berechnen.

(1)

mit i (0 ) = 0 und (di/dt),=, = 0 z. a. igi,,. Durch die GroBe a in (1) wird der Anstieg der Stromanderung charakterisiert. (Abb. 1)

I = i, + i(t); i(t) = i,,a4(i - e-al - ate-"')

Die in [7] zitierte Differentialgleichung lautet :

a, d2u a, d u c,, d2i c d i cg . aB dt2 a2 dt a, d t2 a2 d t a2 -- f--+ u = - - + - L - + - - ( .

Die GroBen a,, a,, a2 bzw. c,, cl, cg lassen sich, wie in ['i] gezeigt wurde, unmittelbar aus den PIasmadaten berechnen.

Verhalten impulsgcstorter Gleichstromentladungen 275

Aus der Differentialgleichung (2) erhalt man mit dem Storansatz (1) eine Diffe- rentialgleiehung (3) zur Bestimmung von u ( t ) :

c2

a, y = - g ,

g 3 &a, (a4: Konstante)

6 4 t 0 2

Abb. 1. Stromanderungen in AbhSngigkeit vom Parameter a

81s Lijsung der Differentialgleichung (3) ergibt sich unter Berucksichtigung der Anfangsbedingungen mittels der LAPLACE-Transformation

u( t ) = Alle-"' + d l z t e - ~ ~ + AzePi' + A3ePzf + A , (4) mit

z A , = -

az PI Pz

19 Plasmaphysik

276

und

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Die Behandlung der vorliegenden Problematik der nbergangsprozesse mittels einer Differentialgleichung hat gegenuber dem System der Bilanzgleichungen den Vorteil, daB eine geschlossene Losung angebbar und nicht ein kompliziertes mathe- matisches Losungswrfahren erforderlich ist (vgl. [5]).

Mt der dem Entladungsstrom i, durch auBere ,Mafinahmen aufgepragten Sto- rung i ( t ) ist u. a. neben der Schwankung der Spannung gleichfalls eine Schwankung der PlasmakenngroBe der Elektronenkonzkntration verkniipft. Die Berechnung der Schwankungen der Elektronenkonzentration erfolgt unmittelbar aus cler ,,gestorten" Strombilanzgleichung (vgl. [6, 71)

(6)

wobei i = i,z,, u = E,q und n, = NeOx2 die entsprechenden Schwankungen der statischen Werte i,,, E,, N, , bedeuten.

3. Bereehnung einiger Beispielc

Mit den in [7] definierten GroBen co, cl, c2 bzw. a,, czl, a2, den in [6] angefuhrten GroDen uik und z. a. mit den ebenfalls in [6] angegebenen Werten der Kenndat'en der positiven Saule erfolgte mittels eines Rechenautomaten (Odra 1013) die Berech- nung der SchwankungsgroBen der Spnnnnng (pro cm Sanlenliinge) und cler Elektronenkonzentration in Abhangigkeit von der Zeit fur verschiedene Anstiegs- zeiten der impulsformigen Stromanderung.

In Abb. 2 sind die fur ein Entladungsbeispiel berechneten t~(t)-Werte in Ab- hangigkeit von verschiedenen Anstiegszeiten der impulsformigen Stromanclerung (vgl. Abb. 1) dargestellt. Charakteristisch ist der zunachst fiir Stromanderungen im Zeitintervall von 2-3 s in gleichem Sinne wie die Stromanderung sich ergebende Verlauf der Spannungsschwankungen, wie er auch bereits in mehreren Arbeiten ( [ 2 , 3, 91) gefunden wurde. Erst nach einem bestimmten Zeitintervall, in den untersuchten Beispielen nach ca. 5 - s, strebt u ( t ) entsprechend der Strom- erhohung einem kleineren stationaren Wert zu. Dieser stationare Endwert 1aBt sich elementar aus der folgeriden Beziehung u = R T i ( O O ) berechnen, wobei RT den differentiellen Widerstand d EldI darstellt, wie er sich unmittelbar aus der statischen Gradienten-Strom-Kennlinie ergibt. Des weiteren ist aus Abb. 2 zu ent- nehmen, daB die Spannungserhohung wachst, je schneller die Stromanderung - charakterisiert durch hohere a-Werte - vorsichgeht (vgl. [l]).

Ein Vergleich mit den Untersuchungen zum Impedanzverhalten (vgl. z. B. [6]) zeigt, dal3 sich das Impedanzverhalten der Entladung auch in dern ubergangs-

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verhalten widerspiegelt ; in beiden Erscheinungen kommt das dynamische Ver- halten der Entladung zum Ausdruck, das bei Stromanderungen im Zeitintervall von ca. s zum Tragen kommt. Bei zeitlichen hderungen des Stromes in der Zeit von 104 s hatten wir bei der Impedanz ein induktives Verhalten mit positiver ohmscher Komponente gefunden, das bei hderungen in der GroBenordnung

s in ein entsprechendes mit negativer ohmscher Komponente ubergeht, um

I I I 15 10-6s 20

Abb. 2. Berechneter Spannungsverlauf bei zeitlich verschiedenen Stromanderungen (entsprechend Abb. 1)

schliel3lich bei noch langsameren Stromanderungen das statische Verhalten anzu- nehmen. Dieses geschilderte Impedanzverhalten, das sich bereits in quasistatio- narer Naherung ergab (vgl. [S]), spiegelt sich entsprechend auch in dem Verhalten der Spannungsschwankungen wider, wie die berechneten und die experimentell erhaltenen Ergebnisse (vgl. Abschnitt 4.) zeigen. Durch die vorliegenden theo- retischen Betrachtungen wird der Grenzfall schneller Stromanderungen (< s) nicht erfaBt, da die den Betrachtungen zugrunde liegende Theorie nur bis zu einer oberen reduzierten Grenzfrequenz von etwa 10"s . Torr Gultigkeit besitzt. Eine eingehende Betrachtung des Obergangsverhaltens mul3te von der in [lo] ent- wickelten umfassenden Theorie des dynamischen Verhaltens der Entladunp aus- gehen.

Die bereits erwahnte betriichtliche Abweichung des dynamischen Verhaltens von dem statischen ist auch aus Abb. 3 zu entnehmen, wo der Gradient in Ab- hangigkeit vom Strom fiir verschiedene zeitliche Stromanderungen - charakteri- siert durch den Parameter a - dargestellt ist. Es zeigt sich, daB bereits fur den Parameter a = 1,6 . 102 s-1, d. h. also fur zeitliche hderungen in der Gronen- ordnung 10-2 s, angenahert das statische Verhalten wiedergegeben wird.

Eine Abhangiglreit der SchwankungsgroBe u ( t ) vom Druck fiir die gleiche Stom- anderung zeigt Abb. 4. Mit wachsendem Druck ist ein starkeres Uberschwingen von u ( t ) zu verzeichnen. In Abb. 5 wurde die Stromabhangigkeit der GroBe u (t) bei gleicher Strornstorung dargestellt. Der Obergang zu negetiven Werten u ( t ) erfolgt mit wachsendem Strom bereits nach einem kurzeren Zeitintervall.

19*

4,87- 4,866 4,861 1 I I

i, 00 (01 to2 10-311 (03 J l f l

Abb. 3. Dynaniische Charakteristik der positiven Slide

#eon a - 1,6. 10045-1

6- l c n i,= 10-3 A

- p = I Torr

Abb. 4. Druckebhingigkeit des Spannnngsverlaufes I L ( t ) (pro cm SLulenlange)

-?I Abb. 5. Stromabhangigkeit des Spannungsverlaufes u ( t )

279

In Abb. 6 und 7 wurden neben den Strom- und Gradienteniinderungen auch die dnderung der Elektronenkonzentration mitaufgenommen. Aus Abb. 6 liest man sofort ab, daS sich fur Stromanderingen in der GroBenordnung 10-2s n,(t) und i ( t ) annahernd in Phase befinden, wahrend zwischen n, ( t ) bzw. i ( t ) und u ( t ) eine

Verhalten impulsgestorter Gleichstromentladungen

\

‘\ i I t ) C 10-SA I

po = 2 Torr ro = lcm to = 10-3A a = 1,6 103s-1

Abb. 6

Abb. 7

Abb. 6 -7. Schwankungen der Spannung und der Elektronenkonzentration fur zwei zeitlich verschiedene Stromlnderungen

Phasenverschiebung von 180” besteht. Dies stimmt wiederuni mit den Ergebnissen iiberein, die in [6] (vgl. Abb. 4) bzw. [8] (vgl. Abb. 4a u. 4b) erhalten wurden. Geht man zu Stromanderungen in der GroBenordnung von lo-* s (Abb. 7) iiber, so e;lt u(t) dem Strorn i (t) und beide der Bnderung der EIektronenkonzentration ne(t) voraus (vgl. [S] Abb. 4c). Auch in dieser Derstellung zeigt sich wiederurn die enge Verbindung zum Irnpedanzverhalten der Entladung.

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Eine Diskussion der Formel (4) fiir das cbergangsverhalten des Gradienten zeigt, daB fiir die untersuchten Entladungsbeispiele fur Zeiten t 2 3 . lo4 s dese sich reduziert auf

u( t ) = A,@ + A , = A2e-'lr + A , ,

d. h., daB (u(t ) - A , ) ab ebem bestimmten Zeitpunkt einem exponentiellen Ab- fall unterliegt (vgl. Abb. 8) . Wie nun aus einer einfachen UmstelIung von ( 5 ) folgt,

I I 1 I I I I 2 4 6 8 10 I? 14 f 0 - L ~

I

I

Abb. 8. Zur Berechnnng der Zeitkonstsnten t

1 1 L,.

Abb. 9. ErsatzschaItimg der positiven Siiule einer Sch~~achstroni-Niederdruckglimmentladong (. . . unter Berucksichtigung zweier Triiigheitsfaktoren)

ist die Relaxationskonstante z, nach der die Einstellung des stationaren Endzu- standes erfolgt, identisch mit der Zeitkonstanten t2 des aquivalentstromkreises (vgl. [7]), die - wie friihere Betrachtungen ergaben - der Relaxationszeit der metastabilen Atome zugeordnet werden konnte. Das Druck- und Stromverhalten der Einstellung des stationiiren Endzustandes des Gradienten wird somit wesentlich durch das entsprechende Verhalten der Zeitkonstanten t2 bestimmt (vgl. Abb. 4 , 5 U . [ i ] ) .

Verhalten impulsgestorter Gleichstromeiitladungen

L-L,

,. _-

251

D V

0,

4. Vergleich mit dem Experiment

Experimentelle und theoretische Untersuchungen von ubergangsprozessen von Entladungen gehen vorwiegend von kleinen Storungen eines stationiiren Anfangs- zustandes aus. In der Literatur werden diese Storungen in verschiedener Weise rea- lisiert, neben plotzlichen Stromanderungen, rechteckf6rmigen Impulsen gelangten auch Dntac-Impulse zur Anwendung. ECinsichtlich experimenteller Untersuchun- gen ist es jedoch vorteilhafter, rechteckformige Impulse zu verwenden.

Eine impulsformige Storung des Stromes wurde durch eine impulsformige Aus- steuerung einer EL 12 erzielt (Abb. 10). Die Messung des Gradientenerfolgteoszillo- graphisch mittels Sonden und Differenzverstarker mit hohem Eingangswiderstand. Durch die Eingangsimpedanz ist die Anwendung der gewahlten MeBmethode auf niedrige Frequenzen beschrankt, da sich bei hoheren Frequenzen die Eingangs- kapazitaten verfalschend auf die Messung der Gradientenanderung auswirken.

Die erhaltenen Oszillogramme der rechteckformigen Stromstorungen und der sich ergebenden Gradientenanderungen (Abb. 11 u. 12) entsprechen dem oben ab- geleiteten Verhalten. Die experimentellen Ergebnisse bestatigen u. a. das ermittelte Verhalten von u ( t ) , daB, wenn die Stromstorung bereits den Endwert angenommen hat, noch eine h d e r u n g von u( t ) zu bemerken ist (vgl. Abb. 7). Ein quantitativer Vergleich zeigt, daB die theoretisch (Abb. 13) und experimentell (Abb. 11) er- mittelten stationaren Endwerte von zt ( t ) befriedigend iibereinstimmen (maximale Abweichung ca. 20%). Allerdings darf die Impulsfolgefrequenz nicht zu hoch sein, da sich dann dieser ,,stationlire Endwert" nicht mehr einstellen kann, weil bereits vor cliesem Endwert - bedingt durch die erneute Stromanderung - ein Ansteigen von ZL ( t ) zu verzeichnen ist (Abb. 12).

Ein Vergleich der Maximalwerte beim uberschwingen zeigt, daB der experi- mentell ermittelte Wert von 4,4 . 10-2 V/cm iiber den theoretisch bestimmten Werteri 3,1 . V/cm (a = 1,6 . 104 s-l) 1iegt.l) Dies bedeutet, daI3 fur den den Stromanstieg bestimmenden Parameter a

I) Die in Abb. 13 angegeb'enen Maximalwerte sind mit einem Faktor 8,53 ZII multiplizieren, da die Stromstorungen zwischen Experiment und Theorie sich urn diesen Faktor unterscheiden.

V/cm (a = 3,2 . lo4 s-l) und 2,17 .

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Abb. 11. ,,Experimentelle" Strom- und Spnnnungsschwankungen (&on; p , = 1,5 Torr; T, = 1 cm; i, = 3 . A; i (a) = 7,G. 10-5 A ; ~ ( m ) = --1,20. lo-? V/cm; Impulsfolge-

frequenz: 2.50 Hz; Abstand der Sonden voneinander 19,7 cm)

Abb. 12. ,,Experimentelle" Strom- und Spaniinngsscliwankungen (Neon; p , = 1.5 Torr; r0 = 1 em; i, = 3 . . A; i (m) = 7,G . A: Impulsfolgefrequenz: 750 Hz)

Verhalten impulsgestiirter Gleichstromentladungen 283

ein noch grdl3erer Wert'in Rechnung zu stellen ist, da8 ein noch steilererhstieg vor- liegt. Ein Vergleich der Zeiten des Nulldurchganges bestiltigt ebenfalls diese Aus- sage.

I0 I//

Abb. 13. Berechneter Spannungsverlanf bei zeitlich verschiedenen Stromiinderungen

Zusam menfassend darf festgestellt werden, da8 die theoretischen Betrachtungen zum obergangsverhalten von Entladungen - im Rahmen einer bereits vor- liegenden dynamischen Theorie - eine zufriedenstellende Berechnung des uber- gangsverhaltens gestatten.

Herrn Prof. Dr. RUTSCHER mochte ich fur wertvolle Diskussionen herzlich danken.

L i t e ra tu r

[l] GRANOWSKI, W. L., J. Phys. (USSR) 3 (1940) 195. GRANOWSKI, W. L. u. OKNLOPKOW, V. A., C. R. Acad. Sci. URSS 38 (1941) 489. GALKINA, 8. P. u. GRANOWSKI, 14'. L., WT+ IS (1948) 585. GRANOWSKI, W. L., ,,Der elektrische Strom im Gas", Bd. 1, Akademie-Verlag, Berlin 1955.

[2] BARNES, B. T., Phys. Rev. 86 (1952) 351. [3] WASSERRAB, TH., Z. ang. Phys. 7 (1955) 176. [4] RMIEKA, T. u. PEK~REK, L., Beitr. Plasmaphys. 5 (1965) 161. [5] GLADSTEIN, L. C., SASTENKER, G. N. u. RUSC~RINA, T. E., WT@ 37 (1967) 2053. [6] DEUTSCH, H. u. RUTSCHER, A., Beitr. Plasmaphys. 8 (1968) 205. [7] DEUTSCH, H., Beitr. Plasmaphys. 8 (1968) 329. [8] DEUTSCH, H., Wiss. Z., E. M. A.-Univ. Greifswald XVI (1967) 157. [9] EDELS, H. u. GRAFFMANN, E., Z. Phys. ??S (1969) 396.

[lo] PFAU, S., RUTSCHER, A. u. DEUTSCH, H., Beitr. Plasmaphys., 10 (1970) 329.

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