Zur Modellierung und Simulation der Kolbenmaschinendynamik ... · 0. Zur Kolbenmaschinendynamik Der Verbrennungsmotor ist Teil des Schwingungssystems Antriebsstrang im Kraftfahrzeug

24th CADFEM Users’ Meeting 2006 International Congress on FEM Technology with 2006 German ANSYS Conference October 25– 27, 2006 Schwabenlandhalle Stuttgart/Fellbach, Germany

Zur Modellierung und Simulation der Kolbenmaschinendynamik unter Berücksichtigung

von Strukturelastizitäten

Prof. Dr.-Ing. M. Beitelschmidt, Dipl.-Math. Panagiotis Koutsovasilis, Dr.-Ing. V. Quarz

Professur für Fahrzeugmodellierung und -simulation, TU Dresden

Summary

A multibody system based toolbox to model combustion engines has been developed for educational as well as research purposes. Aim is a fast configuration of different engine types with a specific problem adapted discretization approach.

This paper presents different techniques for modeling structural elasticities, applied on combustion engines of passenger cars.

Several condensation methods to include the crankshaft as an elastic structure in the mbs-engine-model are illustrated. The necessary quality comparison between the full and reduced structure model is benefitted by the application of various modal correlation criteria.

Keywords

Multibody systems, combustion engines, FEM-MBS-Coupling, Condensation methods, modal correlation criteria

0. Zur Kolbenmaschinendynamik Der Verbrennungsmotor ist Teil des Schwingungssystems Antriebsstrang im Kraftfahrzeug. Die in dieser Kolbenmaschine wirkenden Gas- und Massenkräfte sind wesentliche Ursachen für die Schwingungserregung des Antriebsstrangs bzw. des Motors selbst. Sieht man von der Kolben- und Pleuelbewegung ab, so ist der Antriebsstrang durch rotierende Bewegungen der Bauteile bzw. –gruppen gekennzeichnet. Torsionsschwingungen stehen folglich im Mittelpunkt der Analyse von Antriebssträngen.

Die Betrachtung als reines Torsionsystem reicht aber nicht aus, wenn etwa die Belastung von Wellenlagern untersucht wird, bei der die Wellenbiegung einen erheblichen Einfluss auf die Lagerbelastung hat. Auch die Ermittlung der Beanspruchung der Kurbelwelle erfordert neben der Betrachtung der Torsion die Berücksichtigung der Biegung, denn die periodischen Kräfte im Kurbeltrieb regen neben den Torsions- auch Biegeeigenschwingungen der Kurbelwelle an. Biegebeanspruchungen erfahren insbesondere auch die Kurbelwangen infolge der axial auf die Kurbelwelle wirkenden Kurbeltriebskräfte.

1. Zur Modellierung der Kolbenmaschine Aus den obigen Feststellungen lässt sich eine Modellhierarchie für die Abbildung der Kolbenmaschinendynamik als Teil des Antriebsstrangs - entsprechend der interessierenden Fragestellung - etwa wie folgt entwickeln:

1.1 Torsionsmodell („1D-MKS“)

Kennzeichnend ist die Reduktion des Kurbeltriebs (Kolben-Pleuel-Kurbelwellensegment) auf ein durch Mittelung genähertes konstantes Massenträgheitsmoment. Die so als starre Drehmassen modellierten Kurbelwellensegmente sind durch masselose Ersatzdrehsteifigkeiten gekoppelt.

Die Diskretisierung des Systems in durch masselose Kraftkopplungen und kinematische Bindungen gekoppelte Starrkörper (nur Drehfreiheitsgrade sind zugelassen) ist typisch für die Modellklasse der Mehrkörpersysteme, so dass man auch von einem 1-D-MKS (MKS – Mehrkörpersystem) sprechen könnte.

Die Riemenscheibe bzw. der Drehschwingungsdämpfer und das (Zweimassen-)schwungrad ergänzen typischerweise das Schwingungsmodell, Fig.1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10-5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

θ1

c1

θ2

c2

θ3

c3

θ4

c4

θ5

c5

θ6

c6

θ7

Bildwe lle

Aufbau des Vierzylinder-Motors Visualisierung des Torsionsschwingungsmodells als sog. Bildwelle

Riemen-scheibe(Dämpfer)

Schwung-rad

Θ1,Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7

c1 c2 c3 c4 c5 c6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

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Bildwe lle

Aufbau des Vierzylinder-Motors Visualisierung des Torsionsschwingungsmodells als sog. Bildwelle

Riemen-scheibe(Dämpfer)

Schwung-rad

Θ1,Θ2 Θ3 Θ4 Θ5 Θ6 Θ7

c1 c2 c3 c4 c5 c6

Fig. 1: Ableitung des Torsionsschwingungsmodells eines Vierzylinder-Reihenmotors

Ein solches Modell ist geeignet für die dynamische Auslegung und insbesondere die Abstimmung von Schwingungstilger bzw. –dämpfer oder Zweimassenschwungrad, insbesondere durch Untersuchungen im Frequenzbereich. 24th CADFEM Users’ Meeting 2006 International Congress on FEM Technology with 2006 German ANSYS Conference October 25– 27, 2006 Schwabenlandhalle Stuttgart/Fellbach, Germany

1.2 Starre Maschine (3D-MKS)

Mit den in der industriellen Berechnungspraxis etablierten Simulationswerkzeugen für die Modellierung und Berechnung von MKS ist die Abbildung der Kurbeltriebskinematik problemlos möglich, Fig. 2.

Fig. 2: MKS-Modell eines Kurbeltriebs

Mit dem so modellierten Kurbeltrieb wird das lageabhängige Massenträgheitsmoment realistisch abgebildet. Ohne Berücksichtigung von Torsionselastizitäten erhält man ein Modell der starren Maschine, das geeignet ist für die

• Berechnung von Ausgleichsmassen,

• Ermittlung von Lagerkräften, die etwa für die Analyse der Schallabstrahlung verwendet werden können,

• Analyse der Antriebsstrangdynamik, z.B. im Hinblick auf Lastwechselphänomene

Vorteilhaft gegenüber dem Torsionsmodell ist die direkte Abbildung der Erregung: die Gaskraft kann als auf den Kolben wirkend modelliert werden, so dass der kurbelwinkelabhängige Gaskraftverlauf nicht in eine Momentenerregung – ggf. durch Superposition der harmonischen Anteile – umgerechnet werden muss.

1.3 3D-MKS-Modell mit torsionselastischer Kurbelwelle

Die Verbindung des Torsionsmodells mit dem Modell der starren Maschine führt auf ein 3D-MKS-Modell mit torsionselastischer Kurbelwelle, Fig.3.

Fig. 3: Visualisierung einer Torsionseigenform des MKS- Motormodells mit torsionselastischer

Kurbelwelle.


Wie auch die vorigen Modelle besteht dieses aus Starrkörpern; die Kurbelwellensegmente sowie Schwungrad und Riemenscheibe sind aber elastisch gekoppelt. Die Lager werden in diesem Modell durch Zwangskräfte modelliert. Ein solches Modell bietet sich an für die

• Abstimmung von Schwingungstilger bzw. –dämpfer oder Zweimassenschwungrad,

• aber auch die Simulation parametererregter Schwingungen infolge des lageabhängigen Massenträgheitsmoments.

1.4 3D-EMKS-Modell mit elastischer Kurbelwelle aus FE-Modell

Genügt die Abbildung der Kurbelwelle als reines Torsionsmodell nicht mehr – etwa für Fragen der

• Kurbelwellenbelastung und –verformung oder

• Lagerbewegung/-belastung,

dann ist die Erweiterung des MKS um eine elastische Kurbelwelle aus einem Finite-Elemente-Modell zu einem EMKS (elastisches MKS) zweckmässig, Fig.4.

Fig. 4: EMKS- Motormodell mit elastischer Kurbelwelle aus einem FE-Modell.

Im Hinblick auf die Lagermodellierung ist je nach Fragestellung eine Abbildung der Hydrodynamik bzw. Elasto-Hydrodynamik der Kurbelwellen- und Hauptlager sinnvoll [1].

Für die schnelle Modellerstellung eines Reihen- oder V-Verbrennungsmotors als 3D-MKS wurde an der Professur für Fahrzeugmodellierung und –simulation ein „Motorbaukasten“ entwickelt, der die typischen Motorbaugruppen als parametrierte Substrukturen bereitstellt, die für den speziellen Anwendungsfall einfach zu einem Gesamtmodell gewünschten Diskretisierungsgrades zusammengefügt werden können, Fig. 5.

Fig. 5: Modellierung typischer Verbrennungsmotoren mit Elementen des Motorbaukastens


2. Einbindung des FE-Modells der Kurbelwelle Der typische Ablauf der Einbindung einer FE-Struktur in das EMKS-Modell ist in Fig. 6 dargestellt:

Entwurf (CAD): Geometriedefinition

Vereinfachung der Geometrie (CAD)

Vernetzung (FEM)

Modellreduktion (FEM)

Einbindung in das MKS-Motormodell

Entwurf (CAD): Geometriedefinition

Vereinfachung der Geometrie (CAD)

Vernetzung (FEM)

Modellreduktion (FEM)

Einbindung in das MKS-Motormodell

Fig. 6: Ablauf der Einbindung des Kurbelwellenmodells in das EMKS-Motormodell

Aus dem CAD-Entwurf wird eine vereinfachte Geometrie abgeleitet, welche auf die für die Kurbelwellendynamik relevanten Geometrieinformationen reduziert ist. Diese Geometrie wird ins FE-Modellierungswerkzeug importiert und dort vernetzt.

Für die Einbindung in das MKS-Motormodell ist die Reduktion der Modelldimension sinnvoll, um die Zahl der typischerweise mehreren Zehn- bis Hunderttausend Freiheitsgrade soweit zu reduzieren, dass die für die Kurbelwellendynamik relevanten Eigenformen noch mit ausreichender Genauigkeit abgebildet werden. Die Reduktion erfolgt dabei in zwei Schritten:

• Reduktion der Modelldimension

• Modaltransformation des reduzierten Modells.

Die modale Beschreibung des reduzierten FE-Modells wird dann für die Abbildung der elastischen Struktur – hier: der Kurbelwelle – im MKS verwendet. Ein geeignetes Standard-Datenformat für den Import wird in [2] beschrieben. Vorteil der modalen Einbindung ist die Entkopplung der Bewegungsgleichung der Struktur, so dass gezielt die für die Fragestellung interessierenden Strukturmoden ausgewählt werden können. Nachteilig ist die der Methode immanente Beschränkung auf eine linearisierte Beschreibung der Strukturdynamik.

Als Stand der Technik für die Reduktion des FE-Modells darf die gemischte statisch-modale Reduktion – etabliert als CMS-Methode (CMS- Component Mode Synthesis) gelten. Im folgenden wird sie kurz erläutert und es werden – aus der Vielzahl bekannter Verfahren - zwei alternative Reduktionsmethoden vorgestellt.

2.1 Component Mode Synthesis

Ausgangspunkt ist die Separierung der Strukturfreiheitsgrade in Haupt- und Nebenfreiheitsgrade (Master-/Slave-DOFs). Die „Masterknoten“ sind insbesondere als Koppelstellen bei der Einbindung in das MKS von Bedeutung. Die Bewegungsgleichungen (des ungedämpften Systems) erhalten damit die Form:

(1) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

m mmm ms mm ms

sm ss sm sss s

x xM M K KM M K Kx x

m

s

ff

Der Vektor enthält die m Hauptfreiheitsgrade, auf die das System reduziert wird, mx sx die s Nebenfreiheitsgrade. Bei einer statischen Reduktion ergibt sich aus (1) unter Vernachlässigung der mit den Nebenfreiheitsgraden verbundenden Trägheitsterme die Reduktionsvorschrift

. (2) 1−

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mm static

s ss sm

Ixx T x

x K K m


Die CMS-Methode ergänzt diese statische Reduktion um eine modale Beschreibung der durch sx definierten „inneren“ Systemstruktur [3]:

(3) 20( )

sin+ = ⎫

→ − =⎬= ⎭ss s ss s

ss sss t

M x K xK ω M Φ 0

x Φ ωEs wird also das Eigenwertproblem (3) mit den als festgehalten gedachten Hauptfreiheitsgraden gelöst. Von den in der Modalmatrix ×∈ s sΦ enthaltenen Eigenformen werden nur die interessierenden (niederfrequenten) in der Modalmatrix ×∈ s qΦ berücksichtigt. Damit ergibt sich die vollständige Reduktionsvorschrift zu

. (4) 1

1

−

=

= + = − + = +∑q

m ss s s ss sm m k k m

k

x x x K K x φ y Bx Φy

Die Abbildungsgenauigkeit nimmt zu höheren Frequenzen mit der Anzahl der in berücksichtigten Eigenmoden zu.

Φ

2.2 Standard Improved Reduction System Method (IRS)

Die IRS-Reduktionsmethode basiert auf der Störung der statischen Transformation durch Berücksichtigung von Trägheitstermen als pseudo-statische Kräfte [4]. Aus der freien Bewegung des reduzierten Systems folgt:

. (5) 10 −+ = ⇒ =R m R m m R R mM x K x x M K xDie Differentiation von (2) und Einsetzen in (5) führen auf:

1 1− −= −s ss sm R R mx K K M K x (6) Diese Beziehung zwischen Haupt- und Nebenfreiheitsgraden wird in die aus (1) abgeleitete Gleichung

1( )−= − + +s ss sm m ss s sm mx K M x M x K x (6) eingesetzt. Man erhält schließlich die Reduktionsvorschrift

( )1 1 1 1− − − −⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦s ss sm ss sm ss ss sm R R mx K K K M M K K M K x

+

(7)

Die IRS-Methode liefert gute Ergebnisse auch für die Abbildung höherfrequenter Bewegungen.

2.3 Krylov-Unterraummethoden

Ein wesentliches Charakteristikum der oben beschriebenen Reduktionsmethoden ist die Entwicklung der Reduktionsvorschrift ausgehend vom freien Schwingungssystem (Gl. (3) und (5)). Die auf die Arbeit von A. Krylov [5] zurückgehende Reduktion des elastischen Systems geht vom System unter Berücksichtigung äußerer Kräfte aus [6]:

(8) + =Mx Kx fSeien gegeben. Dann wird nach Krylov durch die q Basisvektoren

ein Raum

1, ,n n n q× ×∈ ∈ ∈A b1, , , q−b Ab A b…

{ }1( , ) , , , −= … qqK spanA b b Ab A b (9)

aufgespannt. Übertragen auf das ungedämpfte Schwingungssystem (8) lässt sich mit und eine Reduktion des Systems durch Projektion in den Unterraum

1−≡A K M1−≡b K b

{ }1 1 1 1 1 1, ( ) , , ( )− − − − − −= … qkrylov spanT K f K M K f K M K f

T

(9) mit

T TKrylov Krylov Krylov Krylov Krylov+ =T MT x T KT x T f (10)

erreichen. Die praktische Umsetzung der Reduktionsmethode erfolgt unter Verwendung des Arnoldi-Algorithmus und der Orthogonalisation nach Gram-Schmidt zur Berechnung der q orthogonalen


Basisvektoren in (9). Am Beispiel der Reduktion einer Kurbelwelle zeigt sich eine sehr gute Approximation der Eigenfrequenzen und –vektoren. Ein grosser Vorteil dieser Reduktionsmethode ist der Verzicht auf die Trennung der System- in Haupt- und Nebenfreiheitsgrade, so dass der Anwender der qualitätsbeeinflussenden Auswahl der Hauptfreiheitsgrade enthoben ist.

3. Validierung der Reduktion

3.1 Vergleich der Eigenfrequenzen – NFD-Kriterium

Die naheliegendste Validierungsmethode ist der Vergleich der Eigenfrequenzen des vollen und reduzierten Modells. Er ist Inhalt der „Natural Frequency Difference (NFD)“, wie aus der Definition

( ) 1min ,red,i j red,i jNFD(i, j) = 100 [%]

−− ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ω ω ω ω (11)

hervorgeht. Fig. 7 zeigt die Anwendung des Kriteriums auf die Reduktion eines Kurbelwellenmodells.

Fig. 7: NFD-Matrix für die ersten 19 Strukturmoden eines reduzierten Kurbelwellenmodells

Kleine Abweichungen auf der Hauptdiagonalen entsprechen einer guten Übereinstimmung der Eigenfrequenzen. Die zu den Rändern hin zunehmenden Abweichungen sind verständlich, da sie die naturgemäß schlechte Übereinstimmung weit entfernter Eigenfrequenzen veranschaulichen.

3.2 Anwendung modaler Bewertungskriterien

Der Vergleich der Eigenfrequenzen ist aber allein kein ausreichendes Kriterium. Aufschluss über die Abbildungsqualität des reduzierten Modells liefern Kriterien zum Vergleich der Eigenvektoren.

Dabei ist zu beachten, dass durch die Reduktion der Modelldimension ein direkter Vergleich der Eigenvektoren von Voll- und reduziertem Modell nicht unmittelbar möglich ist. Nun ist aber die Transformationsmatrix ein Ergebnis des Reduktionsprozesses und mit dieser die Expansion der Eigenvektoren auf die volle Modelldimension realisierbar. Dann ist die Anwendung modaler Bewertungskriterien – wie sie typischerweise beim Vergleich von experimenteller und rechnerischer Modalanalyse Anwendung finden (vgl. [7],[8]) – möglich. In ANSYS ist allerdings die Transformationsmatrix nicht ohne weiteres abrufbar.

3.3 Modifizierter MAC-Wert

Der MAC-Wert ist das klassische Kriterium für die Korrelation zweier Eigenvektoren und macht anschaulich eine Aussage über die Orientierung der Vektoren, die idealerweise identisch ist:

2( )

mod MAC( )(

Ti j

ij T Ti i j j

Φ Ψ=

Φ Φ Ψ ΨM

M M ) (12)

In (12) kennzeichnet die Eigenvektoren des Vollmodells und iΦ jΨ die expandierten Vektoren des reduzierten Modells. Die modifizierten MAC-Werte sind auf die Massenmatrix normiert und liegen damit zwischen Null (keine Korrelation) und Eins (perfekte Korrelation). 24th CADFEM Users’ Meeting 2006 International Congress on FEM Technology with 2006 German ANSYS Conference October 25– 27, 2006 Schwabenlandhalle Stuttgart/Fellbach, Germany

Fig. 8: modMAC-Matrix für die ersten 19 Strukturmoden eines reduzierten Kurbelwellenmodells

Für das in Fig. 8 dargestellte Beispiel einer reduzierten Kurbelwelle liegen die Werte auf der Hauptdiagonalen alle nahe Eins: damit ist eine sehr gute Korrelation zwischen Vollmodell und reduziertem Modell gegeben.

3.4 Mass Normalized Vector Difference (MNVD)

Die MNVD vergleicht die modalen Massenmatrizen und ist definiert durch

22

2

( ) ( )MNVD( , ) :

( )R

R

k lk l

k

−=M M

AM

, quadratische Norm von (13) A

und ein Maß für die Übereinstimmung der modalen Massen beider Modelle. Eine perfekte Übereinstimmung der Modelle ist gegeben, wenn alle Hauptdiagonalelemente der MNVD-Matrix Null sind.

Fig. 9: MNVD-Matrix für die ersten 19 Strukturmoden eines reduzierten Kurbelwellenmodells

Für das Beispiel des reduzierten Kurbelwellenmodells ist in Fig. 9 eine sehr gute Übereinstimmung gegeben.

3.4 Stiffness Normalized Vector Difference (SNVD)

Die SNVD beschreibt die Differenz der modalen Steifigkeiten:

2

2

( ) ( )SNVD( , )

( )R

R

k lk l

k

−=K K

K (14)


Ebenso wie beim MNVD-Kriterium sind im Idealfall die Hauptdiagonalelemente Null. Für das Kurbelwellenbeispiel zeigt Fig. 10 die Auswertung:

Fig. 10: SNVD-Matrix für die ersten 19 Strukturmoden eines reduzierten Kurbelwellenmodells

Typisch ist der Anstieg der Abweichung mit zunehmender Frequenz für die CMS-und IRS-Methode, während bei der Krylov-Unterraummethode keine signifikante Abhängigkeit von der Frequenz auftritt.

3.5 Normalized Modal Difference (NMD)

Die durch

( ) ( )

( )2

2

( )MSFNMD mit MSF

Ψ − Φ Ψ Φ=

Ψ Ψ

Ti ij i i i

ij ij T

i i

j j

j=

Ψ i

(15)

definierte NMD gibt Auskunft über die Abweichung einzelner Eigenvektorkoordinaten eines Modenpaares und ist damit sehr gut geeignet, die Abbildungsgenauigkeit einzelner Knotenkoordinaten des Modells zu überprüfen.

Fig. 11: NMD-Werte ausgewählter Eigenvektoren eines reduzierten Kurbelwellenmodells



4 Zusammenfassung Für die Analyse der Kolbenmaschinendynamik ist die Auswahl eines auf die jeweilige Fragestellung zugeschnittenen Simulationsmodells sinnvoll. Eine naheliegende Modellhierarchie wurde vorgestellt. Mit dem entwickelten MKS-Modellbaukasten sind die unterschiedlichen Modelltypen für einen bestimmten Reihen- oder V-Hubkolbenmotor leicht zu erstellen.

Im Falle eines EMKS ist die Reduktion einer einzubindenden FE-Struktur – im vorgestellten Beispiel die Kurbelwelle – ein wesentlicher Schritt bei der Modellerstellung. Um die Güte des gewählten Reduktionsverfahrens einschätzen zu können, ist es zweckmäßig, neben dem naheliegenden Vergleich der Eigenfrequenzen des vollen und reduzierten Modells, auch die Korrelation der Eigenvektoren anhand der bekannten Korrelationskriterien zu überprüfen, die üblicherweise beim Vergleich von experimenteller und rechnerischer Modalanalyse Anwendung finden.

5 Literaturhinweise [1] Köhler, E.: Verbrennungsmotoren, 3. Aufl., 2002, 463 Seiten.

[2] Wallrapp, O.: Standardization of Flexible Body Models in Multibody System Codes, Part I: Definition of Standard Input Data, in: Mech. Struct. & Mach., 22(3), 1994, S. 283-304.

[3] Craig, R., Bampton, M.: Coupling of substructures in dynamic analysis, in: AIAA Journal, 1313(6), 1968.

[4] O’ Callahan, J.C.: A procedure for an improved reduced system (IRS) model, in: Proceedings 7. International Modal Analysis Conference, 1989.

[5] Krylov, A.N.: On the numerical solution of the equation by which in technical questions frequencies of small oscillations of material systems are determined, Izvestija AN SSSR (News of Academy of Sciences of the USSR), Otdel. mat. i estest. nauk, 1931, VII, Nr.4, 491-539 (Originaltext in russischer Sprache).

[6] Lehner M., Eberhard, P.: Modellreduktion in elastischen Mehrkörpersystemen. Automatisierungstechnik, 54, 4/2006.

[7] Gloth, G.: Vergleich zwischen gemessenen und berechneten modalen Parametern. Oberpfaffenhofen, Carl-Cranz Gesellschaft e.V., 2001.

[8] Reichelt, M.: Anwendung neuer Methoden zum Vergleich der Ergebnissen aus rechnerischen und experimentellen Modalanalyseuntersuchungen. VDI Berichte, 1550:481–495, 2000.

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