TECHNISCHE MECHANIK 3(1982)Heft1

Manuskripteingang: 12. 10. 1981

Zur Behandlung dünnwandig geschlossener Konstruktionen

mit einer verallgemeinerten halbmomentenireien

Sd'lalentheorie nach Wlassow

Wolfgang Kissing

l. Einleitung

Dünnwandige geschlossene Konstruktionen besitzen in

Gestalt ein- und mehrzelliger Kastenträger große Verbrei‘

tung in der Fördertechnik, dem Bauwesen und dem

Schiffbau. Ihre Behandlung mit analytischen Berech-

nungsmodellen besitzt trotz vorhandener leistungsfähiger

numerischer Berechnungsverfahren nach wie vor Bedeu-

tung. Dies ist besonders dann der Fall, wenn Aussagen

über das Gesamtverhalten einer Konstruktion erforder-

lich sind, für die ein regelmäßiger Aufbau vorausgesetzt

und der Einfluß konstruktiver Details hierbei vernach-

lässigt werden kann.

Im folgenden wird das Berechnungsmodell der halb-

momentfreien Schale nach Wlassow in einer verallge-

meinerten Form vorgestellt, die sowohl die Berücksich-

tigung der sonst bei Wlassow [1] vernachlässigten Quer-

dehnungen in den Wandscheiben sowie die Behandlung

auch stationärer Temperaturlastfälle ermöglicht.

2. Voraussetzungen

Ausgangspunkt ist ein Schalenmodell nach Bild l. In der

Schale, die aus ebenen Wandelementen besteht, werden

die Längsbiege— und Torsionsmomente gegenüber den

Querbiegemomenten vernachlässigt. az und rzs sind

damit gleichmäßig, und (Is linear über ö verteilt. Neben

den Schubverformungen der Mittelfläche und den

Längsdehnungen werden hier auch die Querdehnungen

in den Wandelementen einbezogen. Für die äußeren Be-

lastungen wird angenommen, daß sie nur in den Ebenen

der Wandelemente wirken. Das stationäre Temperatur-

feld wird als Differenzfeld gegenüber einem Spannungs-

losen Ausgangszustand verstanden. Die Temperaturen

sollen über die Wanddicke gleichmäßig verteilt sein.

Zur Beschreibung der und Querdeformationen u

und v der Mittelfläche werden nach Wlassow [l] endli-

che Reihen von Produktansätzen der Form

u(z‚s) = vim-ms);

(1)n

v<z‚s>= E Vk(z)"l/k(s)

eingeführt. Die npi(s) und \llk (s) sind dabei die verallge-

meinerten Koordinaten der Längs— und der Querver-

schiebungen, Ui(z) und Vk(z) die zugehörigen verallge-

meinerten Längs- bzw. Querverschiebungen. Bei Annah-

me zwischen den Kanten linear verlaufender Längsver-

schiebungen lassen sich genau so viel unabhängige ver-

allgemeinerte Koordinaten gai definieren, wie der Quer-

schnitt Kanten aufweist. Zur Darstellung allgemeinerer

Verschiebungsgesetze erhöht sich die Anzahl der Frei-

heitsgradem entsprechend. Mit den verallgemeinerten

Koordinaten (‚141k werden sowohl die den Freiheitsgraden

des Querrahmenmecbanismus (Gelenksystem eines Ab-

schnittes dz= 1) entsprechenden Querverschiebungen

als auch die Querdehnungen der Wandelemente be-

schrieben. Bei konstanten Ansätzen fiir die Querdeh-

nungen wird damit die Anzahl der Freiheitsgrade n

gleich der doppelten Kantenzahl, liegt für allgemeinere

Dehnungsansätze jedoch entsprechend darüber.

3. Elastisches Potential der halbmomentenfreien

Schale

Für den ebenen Spannungszustand gilt unter Einbezie-

hung der thermischen Dehnungen

1

ez = ezel+atT = E(az—vas) +atT

l

es = Esel'l'atT: E(os-—vaz)+atT (2)

l 2(1+V)

'st: 7zsel. = ö Tzs = E ° Tzs

und die Umstellung nach den Spannungen ergibt

oz: l_'v2 [ez+ves—(1+v)atT]

as z Impz [€s+Vez —(1+V)°‘tTl (3)

_ E

Tzs—m 'st

67

Berücksichtigt man, daß die Normalspannungen nur

längs der elastischen Dehnungen Formänderungsenergie

speichern, erhält man für die Formänderungsenergie des

Memhranspannungszustandes der Mittelfläche

Wrm : 5 (Oz ezel. + 03m Esme]. + Tzs 7Z3)

1 E

= — [— (ef+e§m + 212€z 68m)

2 1—112

2E E2

‘ 1:7 tT‘ez*€sm‘°‘tT)+ 2717)

<4)

wim = fw;mdv=/j£w;madsdz

(v) (I)

Die Formänderungsenergie der Querbiegemomente wird

wegen der vernachlässigten Längshiegemomente

(obz : O)

W _ l f M2_ 5 Ei“ d8 dz

(1)

Unter M ist dabei das auf die Längeneinheit bezogene

Querhiegemoment zu verstehen. Entsprechend ist

I = 83/12 bzw. bei vorhandenen Querversteifungen

= I’/b mit I’ als Trägheitsmoment eines Querstreifens

der Breite b einschließlich der in b enthaltenen Verstei-

fungen.

Mit p(z‚s) und q(z,s) als verteilter äußerer Längs— und

Querbelastung wird hiernach für das elastische Potential

H = Wi—Wa=Wim+Wib—Wa

f5; E au 2 3v 2 au av

r2 (‘5‘) *(5‘) We“:(—V) z S z S

E au av

— -——aT —+——aT

l—v t in as t

E au av 2 1 M2+ (_+_.) 5+--

4(1+V) 35 3z 2 EI

— pu—qv dsdz

II

(6)

und nach Einsetzen der Produktansätze ( 1) sowie von

M = Vk<z> a Mm) (7)

mit Mk (s) als Momentenverlauf im elementaren Querrah-

men infolge Vk = l erhalten:

“{fflfim-Kg

2

+( ka’k) +2» Z; U’lel

k=1 1:

E m

E Vk W] — l—„atTD: UMk=l i:

n E

+ Vk III, —Ot T] +

g; k t 4(l+v) (8)

H.

(EUiV’N Vk‘l’k) l5

i=1 k=1

n

+ _(E VkMk —p Z Ulm]2EI :1 i:

n

_ q I; kak] dsdz

Das in [2] für die halbmomentenfreie Schale angegebene

elastische Potential weicht in den thermischen Anteilen

von (8) ab, da dort die Formänderungsenergie mit den

Gesamtdehnungen und nicht allein mit den elastischen

Dehnungsanteilen ermittelt wird.

4. Variationsprohlem und DGLSystem

Das Prinzip vorn Minimum des elastischen Potenaar‘w

fiihrt auf das Variationsproblem

[I = j F(z, Uj, U}, Vh,V'h) dzä Min. (9)

(1)

Die insgesamt m + n Eulerschen DGln. des Variations-

problem

öF d 8F

___ —‚)=0 j=l,...‚m

öU‘i dz DU].

(10)

3F d 8F

—__(—‚):0 h=1,...,navh dz aVh

ergeben das DGl.-System

m

2(l+v)[ Ug'ftpitpßds

n

+p z Vi‘fwi‘gpjöds]

k=l ‚

m

—(l—u2) Uifcpgwgöds

i:

n 2 l+v 1—122

+ EVi‘fd/k‘piöds] +(_)E(__)fp¢j

k:

24. 6T— 2(1+V) at «pj5ds = 0

j=l,...,m

m n

Z ug‘gfegwhö ds+ Ävgfikwhö ds

1:1

__ _._ V gb' w, Ö dsk k h

1-” k=1

m

+ p Z; ugrjfpi‘pglöds]

i:

+ 2(1+v)

1—1)

n Ä 1 M M— 2(1+v) Evk- —f—Mds

H E EI

+ 2(1+v) d _ 0 (11)

E q‘ph s w

at T-whzsds

h=1,...,n

mit den natürlichen Randbedingungen:

6F

513'."J

1 BF 1

=9 m— =0 (12)

O

Werden in (11) die Querdehnungen in den Wandelemen-

ten wieder vernachlässigt, dann sind sowohl alle wk = 0

und auch V = 0 zu setzen. Das dann entstehende D61.-

System

m m

2 __1 Ui9€¢i<pj5ds—__l Uifcpi‘pjéds—

l

n 2

’g‘ifwkwifideWJ-ds—

2 6T ö d O__ a _ _ s z

öz ‘p’

.—

t

j=1,...,m

m n

ÄUgftp'ilI/hö ds+ Elm; wkwha ds—

1: :

(13)

entspricht bis auf den Umstand, daß hier durch das Null.

setzen der Querkontraktionszahl konsequenterweise

E/G = 2 wird, dem von Wlassow in [1] angegebenen

DGl.-System.

Definiert man die folgenden Querschnittsgrößen und

verallgemeinerten Belastungen

üffnpjtpiöds; bjirfgojepiöds;

eifjejwköds; djszejwkads;

ehi255whegöds; {hffwi‘cpiadm

rhk=f¢hwk5as; hhkifwgwisds;

1 MM=_ h k .

Shk E} EI ds(14')

_ ‚ d . 41-. Eat 8T 5d

Pj‘fp‘pj 5’ Pj "PJ‘_ “‘5' s

* Eo:t ‚

Qhqu‘I/hds; qh=qh+———l_v Twhads

l—V v öz

dann erhält man für (11) die vereinfachte Schreibweise.

m II 1—1) n y l—V

E (Ui aji_Ui Tbji)+l;Vk (Vdjk—T ‘31:)

"Vz *~ 0 —1+ E Pj "" .l" 7 am

‚ 1 v n „1 v

i UK ein ”1“)+ 2P1; Trhk1= k=l

2 1—122—VkEhhk+(l—v)shkfl]+ E qh = 0 (15)

h=l,. ‚n

Die natürlichen Randbedingungen (12) fiihren auf die

Definition der verallgemeinerten Längs- und Querkräfte

E m n

Pj(z)=}{az¢ja ds= 142 qafiwkgvkdjk]

Eat T ö ds_ 1:? ‘pi

E m

Qh(z)= Tzslllhöds=2(l+v) Uiehi

l:

n

+ k}: Virhk] (16)

=1

die dann an dem Schalenende mit statischen Randbedin-

gungen verschwinden müssen.

Für die Spannungen in der Mittelfläche gelten die mit

(l) aus (3) leicht ableitbaren Beziehungen

69

E

uns): H2

m I1

[£12 Haw E m]k=l

E

— E tT(z,s)

E m n

osm (zvs) : 1_V2' [V Ui ‘pi + X: Vk lpk]l:

E

— i: t T(z,s)

E m i:

‚ = U. rp;+ V, ID }

TM”) 20+") 1 k=1 k k m)

Den Spannungen Osm sind noch die Biegespannungen ash

aus den Querbiegemomenten zu überlagern.

Ihre Größtwerte betragen

M ° 8

= i

70

5. Zusammenfassung

Prismatische dünnwandige ein— und mehrzellige Kasten-

träger können mit dem Berechnungsmodell der verallge-

meinerten halbmomentenfreien Schale behandelt wer—

den. Die Querdehnungen in den Wänden finden dabei

Berücksichtigung. Auch ist die Untersuchung stationärer

Temperaturlastfälle hiermit möglich.

Durch die Auswahl der verallgemeinerten Koordinaten

der Längs- und Querverschiebungen werden einerseits

die Verformungsmöglichkeiten qualitativ bestimmt und

andererseits die Struktur des entstehenden DGl.-Systems

festgelegt. Es ist zweckmäßig, voliorthogonale verallge-

meinerte Koordinaten zu verwenden und damit mögliche

Entkopplungen im DGl.-System zu erreichen.

Durch Anwendung der Methode der Anfangsparameter

lassen sich querschnittspezifisch allgemeine Lösungen

angeben. Auf der Grundlage dieser Methode ist auch die

Einbeziehung starrer Querschotte in den zu untersuchen—

den Kastenträgern in einfacher Weise möglich. Bei länge-

ren Kastenträgern führt jedoch gerade die Methode der

Anfangsparameter leicht zu numerisch instabilen Lösun-

gen, denen dann im konkreten Fall durch andere Ver-

fahren zu begegnen ist.

LITERATUR

[l]Wlassow, W. 5.: Allgemeine Schalentheorie und ihre Anwen-

dung in der Technik. Akademie Verlag Berlin 1958.

[2]Obraszow‚ I. F.2 Variacionnye metody rasceta tonkosten-

nych aviacionnych konstrukcij. Izd. Masinostroenie

Moskva 1966

Anschrift des Verfassers:

Doz. Dr.-Ing. Wolfgang Kissing

Ingenieur-hochschule, Sektion

Technologie des Maschinenbaues

2400 Wismar, Philipp-Müller-Straße