Embed Size (px)
Citation preview
8O P Irbis ictus stropolitana
Bratislava
z matematiky
Zošitpre učiteľa
Zuzana Berová Peter Bero
pre 8. roèník ZŠ
Pomocník
a 3. roèník gymnáziís osemroèným štúdiom
21. zošit
Každé číslo môže byť v „hlavách“žiakov (ale aj v našich „hlavách“)prezentované niektorým z mode-lov – ako mnohosť (informáciao množstve), ako adresa (informá-cia o poradí) alebo ako operátor(informácia o zmene). Našou sna-hou v tejto kapitole bolo, aby smecelé číslo prezentovali vo všetkýchjeho modeloch.
Pri riešení jednotlivých príkladovmôže pomôcť obrázok prierezubudovy s výťahom alebo obrázoktlačidiel výťahu.
Úloha 1
+3
–2
+5
+2
–2
–1
+2
–3
205 cm
190 cm
+16 +10 –6 –20 +1 +7 0
213 cm
173 cm
31. zošit
Úloha 8Typický príklad, ktorý môže žiakomspôsobiť terminologické problémy.V bežnej komunikácii hovorímeo hĺbke a používame pri tom klad-né čísla, spojenia „väčšia hĺbka“,„menšia hĺbka“, ale keď sa o toisté pokúsime v reči celých čísel,tak sa „väčšia hĺbka“ zrazu stáva„menším číslom“. Preto je dobréučiť žiakov, aby pracovali s obráz-kom – náznak číselnej osi, ktorý impomôže pri riešení takýchto úloh.–3°C–10°C+1°C +5°C
0
+7°C –1°C –6°C
–20 –10 0 +10
–20 –20
–20
–20
6
8 848 + 11 034 = 19 882 m
Mount Everest: +8 848 m
Mariánska priekopa: –11 034 m
4
27
10
–4
–15
8 848
11 034
41. zošit
Úloha 10Nie je cieľom, aby žiaci presnevyznačili polohu danéhočasového údaja na časovej osi,ale aby si uvedomili chronolo-gické poradie krokov a približneho zakreslili na časovú os.
Samova ríša
bitka pri Maratóne
–776
1896
833
prijali kresťanstvo za štátne
náboženstvo Rímskej ríše–287
1428
1783
–490
907
–325
1465 1492
51. zošit
utorok, piatok, nedeľa
streda, štvrtok, sobota
streda
Znamená to, že niekomu dlhuje 1,5 eura.
v Žiline v septembri
v Žiline v júli
BratislavaKošiceŽilinaB. BystricaLiesek
I
0
10
20
30
40 °C
5
–5II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
61. zošit
Svet číselnej osi, ktorý je žiakomdôverne známy v oblasti kladnýchčísel, rozširujeme aj na zápornéčísla. Cieľom úloh je overiť a pre-cvičiť známy poznatok: rovnakévzdialenosti na číselnej osi == rovnaké intervaly medzi číslami.
0 4
1 3
1 –5
2
0,5
1,5
–3
–7
–6
–0,5
–2
–6
–5
–1,5
–1
–5
–4
–1
–4
–8
–7
–2,5
–5
–9
–8
–3
–0,25
–6
–10
–9
–3,5
–0,5
–7
–11
–4
–0,75
–8
–12
–11
–4,5
–1
3
0
11,75
4
1
1,5
5
1
2
22,25
6
2
3
2,5
2,5
7
3
3
8
4
5
3,5
1,25
–3 –2 –1
–3 –2 –1
0,25
0,5
0,75
1
–4
–0,5
–0,5
–6–8 2
0,8
5 8 10
–2,3 –1,9 2,2 3,1 4
–6,5
–10 –7 4,5 10 15
0,5
71. zošit
Úloha 5Nezabudnite ani na záporné čísla.
4 a –4
3,7 a –3,7
15 a –15
25,37 a –25,37
5 4 3,9 4,2 18 22 105 223 16,43 25,07
–2,5 2,5
0
0
0
3–3 5 7–5
červená farba zelená farba
–7
81. zošit
0
0,5 4 7–8 –2–5
–77
–3,8
5
12,6
3,08
99
5
0,4
5,3
76
7
0,28
4 a –4 8 a –8 –7 a 7
4 a –4 8 a –8 –7 a 7
sú rovnaké
0
45
4
43,6
15
38
26
0,15
–105
–12,45
207
48,99
rovnaká
absolútna hodnota
91. zošit
–5
–2,5
0
7
21
15
4
18
5
19
8
22
11
23
12
1
20
9
16
10
24
13
2
14
3
17
6
25
nedá sa
5
2,5
101. zošit
Úloha 1
Úloha 3
Dobrou pomôckou je číselná os.
Nezabúdajte na nulu.
Lomnický štít
<
<
<
>
<
>
>
<
>
<
<
<
<
>
<
<
hladina Mŕtveho mora
ráno
auto
väčšie
väčšie
menšie
4
8
5
7
2
1
6
2
5
6
1
0
Vlado
bola založená
Academia Istropolitana
7
6
10
0
1
0
6
4
0
0
111. zošit
Úloha 6Postupne začíname používaťoznačovanie pre uzavretý inter-val a označenie pre otvorenýinterval.
+66 > 36 > 29,87 > 8,0 > –1 > –12,55 > –14 > –23
–132,6 < –35,7 < –4,09 < –0,999 < 0,006 < 5,83 < 15,47
0
0 8
0
0
0 3–5
–4 0
neexistujú
2
5
–4
–3
121. zošit
Úloha 1Úloha 2
Úloha 3
Pomáhajte si teplotami, peniazmi,poschodiami...
Porovnajte oba spôsoby a disku-tujte so žiakmi o tom, ktorý spô-sob je „šikovnejší“. Čo tak nájsťtretí spôsob?
+32
+12
+2
–15
–53
–14
5 3,6 – 5,2 = –1,6
–0,5 – 3,4 = –3,9
5,4 + 3,6 = 9
4,2 – 6,1 = –1,9
–2,8 – 7,6 = –10,4
–7,2 + 3,5 = –3,7
(+40) + (–4) + (–26) = (+36) + (–26) = +10
(+40) + (–30) = +10
1,9 + (–3,8) + 9,3 + (–9,3) = –1,9 + 9,3 + (–9,3) = –1,9
16,4 + (–18,3) = –1,9
–7,3 + (–8,2) + 24,8 + (–12,4) = –15,5 + 24,8 +
+ (–12,4) = 9,3 + (–12,4) = –3,1
= 29,9 + (–33) = –3,1
5 – 4 = 1
– 9 + 1 = –8
3 – 3 = 0
0 – 3 = –3
–4 + 4 = 0
+4,3
–40,7
–40,9
+38,8
–74,4
–9,9
131. zošit
Úloha 4Niektorý žiakom môže robiťproblémy úvaha: „5 nie je menšieako 5, tak pokračujem v diagramesmerom dole.“
–8 1 –10
+20 +38
–5
–10
–60
+41
–36
–20
+47
+2
–8
+8
–1
–9 + 8 = –1
–5,3 – 4,2 = –9,5
3,6 – 6,2 = –2,6
–1,5 + 9,8 = 8,3
–9,5 – 4,8 = –14,3
kladné číslo
kladné číslo
2 – (+7) = 2 – 7 = –5
–1 – (+5) = –1 – 5 = –6
6 – 3 = 3
–9 – (+4) = –9 – 4 = –13
–4 + (+6) = –4 + 6 = 2
– 9 + (+9) = –9 + 9 = 0
7 + (+3) = 7 + 3 = 10
–30 + (+15) = –30 + 15 =
= –15
2,5 6,8 7,9 –1 0,2 –2 4,5
7 – 6 = 1
9 + 2 = 11
7,9 – 5,8 = 2,1
–2,9 – 7,1 = –10
6,3 – 9,3 = –3
3,8 – 3,8 = 0
141. zošit
Úloha 10V tabuľke je jasne určené, akýmspôsobom máme vypĺňať posled-ný riadok. V bežnej komunikáciivšak pojem chápe-me skôr ako vzdialenosť dvochčísel na číselnej osi (ak ráno bolo7 °C a večer 14 °C, rozdiel teplôtje 7 °C).
rozdiel teplôt–12
43 – 13 – 14,5 + 7 – 35 = –12,5
11,12 + 9,7 – 165 – 23,1 + 78 = –89,28
= –45,6 – 9,22 + 77,9 + 56,88 – 34,7 – 56,123 = –11,663
4 (–22)
19,6
–2
–30
18
–24,9
–21
12
10
–58
14,6
(–11)
30
= 2 + 5 = 7 = (90 – 600) – 50 =
= (–23 – 12) +
+ 48 – (–49) = –35 + 48 + 49 = 62 62 · 2 = 124
= –510 – 50 = –560 –560 : 70 = –87 – 3 = 4
= –8 – 6 = –14
–14 + 6 = –8
–7,5
–3
–9,5
–7
9,3
13
–1,2
19,6
5,4
151. zošit
Úloha 13
Úloha 14
Myslíme si, že chobotnicu trebaposlúchnuť.
Použite obrázok, ktorý máte k dis-pozícii. V realite sa vám takýtopohľad len tak ľahko nenaskytne.
1 105
1 967
19,05
–26,126
–823
–576
–151,29
7580
161 m
2 681 m
–6 193 m
4 275 m
2 655 – 2 494
2 655 – (–26)
2 655 – 8 848
2 655 – (–1 620)
77 75
8 848 m
2 655 m
–26 m
2 494 m
–1 620 m
0,82
161. zošit
Slovné úlohy s celými číslamitreba riešiť hlavne „zdravýmsedliackym rozumom“. Niektoréúlohy sú zvolené tak, že „zdravýrozum“ sa môže dostať do roz-poru so „zautomatizovanýmmatematickým výpočtom“(pozri úlohy 11 a 12 na s. 21).
hotovosť .... 22,70 eur
rozdiel ...... –2,80 eur
Nemôže vyrovnať dlh, ešte musí vrátiť 2,80 eur.
dlh ............ 25,50 eur
–112 + 35 = –77
Jurovi ostal dlh 77 eur.
Katka Anka Zuzka
Katke ubudnú 2 eurá, Anke pribudne 1 euro, Zuzke pribudne 1 euro.
Ondro:
Janko:
Maťo:
1,5 – 2 = –0,5
2 – 3 = –1
3 – 1,5 = 1,5
Ondrovi ubudne 0,5 eura, Jankovi ubudne 1 euro, Maťovi pribudne 1,5 eura.
(–2,10) + (–1,2) = –3,3
Teraz má dlh 3,30 eura.
Ondro
Janko2
Maťo
2 1
31,5
171. zošit
Úloha 24Takáto operácia by bola pre pánaKabáta veľmi výhodná.V skutočnosti sa to robí naopak –banka postúpi svoju pohľadávku(to, čo dlhuje pán Kabát) spoloč-nosti Konsolidujeme napríklad za500 eur. Banka tým získala aspoň500 eur (keďže pán Kabát zrejmenechcel alebo nemohol splácať)a spoločnosť Konsolidujeme sapokúsi od pána Kabáta vymôcťak nie celý dlh, tak aspoň nejakúsumu väčšiu ako 500 eur.
5,7 + 6,3 = 12 °C
5,7 – 0,9 = 4,8 °C
5,7 – 0,9 + 15,8 = 20,6 °C
5,7 + 4,3 – 19,3 = –9,3 °C
hĺbka:
nadmorská výška:
Chýbalo im 114 m.
11 034 – 110 = 10 924
Podľa posledných meraní je hĺbka Mariánskej priekopy 10 924 m.
Jej nadmorská výška je –10 924 m.
Pán Kabát získal 500 eur a už nemusí nič splatiť.
Predtým bol stav jeho financií –10 000 eur, teraz je +500 eur.
11 034 – 10 920 = 114
(–10 920) – (–11 034) = 114
37,5 + 12,7 = 50,2
Horolezci prekonajú teplotný rozdiel 50,2 °C.
181. zošit
Úloha 3Čím skôr si žiak všimne nulu,tým skôr dopočíta!
+24
–54
–35
+12
= (–14) · (+9) · (–8) · (–5) = (–126) · (–8) · (–5) = 1 008 · (–5) = –5 040
= –(2 · 7 · 9 · 8 · 5) = –5 040
= 30 · (+10) · (–9) · (+7) · (–4) = 300 · (–9) · (+7) · (–4) = –2 700 · (+7) · (–4) =
= +(5 · 6 · 10 · 9 · 7 · 4) = 75 600
= 14 · (–6) · (–3) · (–2) · 1 = –84 · (–3) · (–2) · 1 = 252 · (–2) · 1 = –504 · 1 = –504
= –(7 · 2 · 6 · 3 · 2 · 1) = –504
= –12 · 8 · (–4) · (–3) · (–8) = –96 · (–4) · (–3) · (–8) = 384 · (–3) · (–8) =
= +(6 · 2 · 8 · 4 · 3 · 8) = 9 216
Keď je v súčine nepárny počet záporných činiteľov
a ani jeden z činiteľov nie je 0.
= –1 152 · (–8) = 9 216
0
= –18 900 · (–4) = 75 600
–2 400
+100
+1 860
–2 414
+29,14
+3,68
–20,8
–17,64
191. zošit
Úloha 4Úloha 5Použitie kalkulačky pomôžežiakom zamerať ich pozornosťna prácu s kladným a zápornýmčíslom v počtových operáciách(nemusia sa sústrediť na vykonaniesamotnej počtovej operácie).
6 · 20 = 120
(–8) · 11 = –88
27 · (–5) = –135
(–10) · (–6) = 60
(–2,4) · 4,6 = –11,04
2,5 · 12,4 = 31
2 · (–22) = –44
10 · 7 = 70
(–13) · (–11) = 143
(–8) · 3 = –24
(–5) · (–6) = 30
10,8 · (–4,5) = –48,6
(–6,2) · 0,89 = –5,518
(–3,07) · (–1,45) = 4,451 5
11,2 · (–2) = –22,4
(–10) · (–5) = 50
–4 3 –1 0,9 –5,2 –4,1 12,6 2,4 7 –6,3
201. zošit
Úloha 7i)Koľko riešení má zadanie ?
Môžeme deliť 0?8 9
64
–4
3
–5
0,1
5,8
(–0,9)
36 : 4 = 9
(–18) : 3 = –6
14 : (–7) = –2
(–10) : (–4) = 2,5
(–2) : 0,4 = –5
(–0,78) : 0,3 = –2,6
20 : (–5) = –4
24 : 4 = 6
(–21) : (–7) = 3
(–8) : (–5) = 1,6
(–1,2) : (–2,4) = 0,5
7,74 : (–4,8) = –1,612 5
21
4
(–1)
36
(–10)
–45
4
–21 –12 –24 3 –25,8 60 –29,2 20 –32 –38,7
211. zošit
Úloha 11Úloha 12Krásny problém na hraniciachjazyka, sémantiky, matematiky...Všimnite si – hovoríme oa teplote, aj keď to nie jeslečna*. Pri číslach by sme malihovoriť o väčšom a menšom čísle.Slovo spájame so slovom
, ale určujeme ním aj niečo,čo sa na teplo veru nepodobá,napríklad –40°C. Predstavte si,že by sme mali aj pojem .Potom by bolo jasné, že štyrikrátväčšia zima ako –4°C je –16 °C.Ak budete na otázky odpovedaťčisto matematicky, odpovedebudú iné, ako keď použijetenapríklad náš pojem .A o to v týchto úlohách ide.Upozorniť na úskalie.
* Slová a používameobvykle v súvislosti s osobami(zvieratami, vecami) a ich výškou.
vyššejnižšej
teplotateplo
zimnota
zimnota
vyšší nižší
(–6) · 3 = –18
Martin má dlh 18 eur.
–10 : 5 = –2
Andrejka má dlh 2 eurá.
Poobede bola teplota –1 °C.
Na vrchole hory je teplota –16 °C.
40,9 – 30 = 10,9 °C
11 : 0,5 = 22
Aby mohla žiť, treba
pridať aspoň 22 kociek.
40,9 – 4 = 36,9 °C
37 : 0,5 = 74
40,9 – 3 = 37,9 °C
37,5 : 0,5 = 75
Aby sa cítila dobre, treba
pridať 74 alebo 75 kociek.
221. zošit
Kapitola jenovinkou v pracovných zošitoch.Zaraďujeme ju na záver každejčasti a snažili sme sa v nej ponúk-nuť vám a vašim žiakom pestrúpaletu úloh, ktorá pokrýva základ-né učivo danej témy. Sú to väčši-nou komplexné úlohy, nútia tedažiakov spájať jednotlivé myšlienky,pojmy, fakty a postupy a používaťich spolu.
Krížom-krážom...
S kalkulačkou či bez nej – to jeplne vo vašej kompetencii.
Úloha 2
C: –9 + 5 – 13 + 5 – 4 + 7 + 3 = –6
A: 4,2 – 3,8 + 0,8 + 5,5 – 8,2 –
– 6,9 + 17 = 8,6
B: –0,2 + 22 + 12,8 – 2,6 – 30,9 +
+ 45,3 – 22,8 = 23,6
D: –9 + 11 + 5 – 4 – 10 + 6 + 1 = 0
11
1
5
2
4
12
2
–8
–4
–7
–5
3
8
–2
2
–1
1
9
1
–9
–5
–8
–6
2
12
2
6
3
5
13
14
3
1
4
5
15
2
–9
–11
–8
–7
3
12
1
–1
2
3
13
4
–7
–9
–6
–5
5
15
4
2
5
6
16
18,2
3,2
7,2
6,2
4,2
19,2
2,9
12,1
8,1
9,1
11,1
3,9
–
–
–
–
13,5
1,5
2,5
1,5
0,5
14,5
–
–
3,6
11,4
7,4
8,4
10,4
4,6
–
–
–
–
19
4
8
7
5
20
13
9,7
10,5
7,6
0,7
13,7
3,9
0,6
1,4
1,5
8,4
4,6
–
–
5,6
2,3
3,1
0,2
6,7
6,3
–
0,7
2,6
1,8
4,7
11,6
1,4
–
–
–
–
17,2
13,9
14,7
11,8
4,9
17,9
231. zošit
57
38
19
41
0 14–101 –27–44–63
CézarAugustus
13,8
9
8,1
7
5,6
12
13
3
9
2
8
12
2,4
2,4
3,3
4,4
5,8
0,6
–
–
–
–
2
8
2
9
3
1
–
–
–
–
7,8
3
2,1
1
0,4
6
–
6
4
2
5
1
5
–
–
3,6
1,2
2,1
3,2
4,6
1,8
–
–
–
–
3
7
1
8
2
2
–
–
–
–
15,8
11
10,1
9
7,6
14
12
2
8
1
7
11
–7 –5
14
3
10
11
2
13
6
5
2
3
6
5
–
–
5
6
1
2
7
4
–
–
2
9
2
1
10
1
–
–
–
–
13
2
9
10
1
12
241. zošit
Úloha 5Pri otázke v závere strany bysme sa mali zamyslieť nad tým,či na to, aby sme sa dozvedelinápis zašifrovaný v jednotlivýchtabuľkách, musíme skutočneurobiť všetky výpočty. Každéhožiaka, ktorý si sám uvedomí, žeto nie je potrebné, by sme od-menili nielen veľkou pochvalou,ale určite aj skvelou známkouv žiackej knižke.
Nie Nie
–
–
–
–
–
–
40
4
24
28
8
36
40
4
24
28
8
36
–
50
5
30
35
10
45
–
80
8
48
56
16
72
–
–
–
16
8
48
56
24
72
–
–
47,32
61,88
23,66
68,25
39,13
33,67
49,2
16,4
32,8
57,4
41
–73,8
–30
3
18
21
6
27
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
10
5
30
35
15
45
–
–
–
–
–
–
19,76
25,84
9,88
28,5
16,34
14,06
–31,8
10,6
21,2
37,1
26,5
47,7
–
–
–
–
–
24,6
8,2
16,4
28,7
20,5
–36,9
32,4
10,8
21,6
37,8
27
–48,6
47,4
15,8
31,6
55,3
39,5
–71,1
18
9
54
63
27
81
–
–
–
–
–
–
8
4
24
28
12
36
–
–
14
7
42
49
21
63
–27,56
36,04
13,78
39,75
22,79
–19,61
–21,84
28,56
10,92
31,5
18,06
–15,54
–24,44
–31,96
–12,22
–35,25
–20,21
–17,39
251. zošit
Úloha 6d)Zadanie má veľa riešení. Bude
dobre, ak si ich susedia navzájomskontrolujú.
–6
–2,4
–12
–1,8
–0,06
–18
–5
–0,1
–0,5
–10
–1
–0,05
10
20
12
24
8
1
–
–
–
–
–
–
–
+
–
+
+
+
4
1,6
8
1,2
0,04
12
–
4
0,08
0,4
8
0,8
0,04–
2,5
5
3
6
2
0,25
–4
12
4,8
24
3,6
0,12
36
–
10
0,2
1
20
2
0,1–
2
4
2,4
4,8
1,6
0,2
+5
3
1,2
6
0,9
0,03
9
–
20
0,4
2
40
4
0,2–
10
20
12
24
8
1
+1
–2
0,8
4
0,6
0,02
6
–
–
–
–
–
–6
–2
0,04
0,2
4
0,4
0,02
–
–
–
–
–
5
10
6
12
4
0,5
+2
10
20
12
24
8
1
–1
–
+
–
–
+
+
–
+
–
+
–
+
–
–
–
+
+
–
Jedno z mnohých riešení.
26zošit
12
–10
–12
–4,9
42
4,5
1,4
20
–1
12
6,3
0,8
–6,1
2,1
1
–3
0,2
–0,3
0,2
–20
–2
–5
–55
0
–9,8
105
–7,32
–8
–4,9
5
–4
13
–7
–63
–5
7,5
–60
–4
–1,47
–28
2,4
0,55
1,96
–100
–4
0,7
5
–5
–56
A
–50
B
–30
S
–27
O
–19
L
8 · (–7) = –56
9 · (–3) = –27
(–4) · (–8) = 32
–4
(–8) : (–2) = 4
(–2) · 15 = –30
(–10) · 5 = –50
4 : (–4) = –1
(–18) · (–1) = 18
(–5) · (–2) = 10
–20 + 15 = –5
18 – 7 = 11
11 – 11 = 0
–7 + (–12) = –19
(–1) · 9 = –9
(–25) : (–9) = 5
–9
Ú
–5
T
–4
N
–1
A
–0
H
4
O
5
D
10
N
11
O
18
T
32
A
–25
–25
100
5 –45 –54 –9
–0,5
80
–4
120
–50
5
10
–20
271. zošit
Úloha 10
Úloha 11
Úloha 12
Vráťťe sa k modelom (niekomupomôže predstava peňazí, inémuposchodia alebo teplota, niekto sinakreslí číselnú os a niektorí vašižiaci to budú vedieť vypočítaťlen tak).
Nie je podstatné zapísať úlohu po-mocou počtovej operácie, podstat-né je vedieť správne odpovedať!
Pátrajte na internete, v novinácha časopisoch po podobnýchúdajoch.
–9
–10
19
7
–20
3 · (–6) = –18
Teplomer ukazoval –18 °C.
Oddelila sa 20 sekúnd pred tým, ako družica vstúpila na obežnú dráhu Zeme.
–5 – 2 = –7
Počas sucha je hladina vo výške –7 m
Auto mal zaparkované na –2. poschodí.
n = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
(–2) (–1) (0) (1) (2) (3)–1
(–6) : 3 = –2
Teplomer ukazoval –2 °C.
–1 –1 –1 –1
281. zošit
Úloha 16c) d)Na otázku a sa nedá presne
odpovedať, pretože neviemeo koľkej presne teplota prekročilahranicu 0°C.
–8 °C
+4 °C
Nedá sa presne povedať, určite aspoň 14 hodín.
Nedá sa presne povedať, určite aspoň 8 hodín.
Medzi 0 °C a 1°C.
Dvakrát.
Pod nulou.
291. zošit
Tematické strany z histórie,ktoré sme zaradili na koniec každejčasti, majú za cieľ odhaliť čriepkyz histórie matematiky, nahľiadnuťdo kuchyne niekoľkých géniovmatematiky a ukázať žiakom, žeproblémy, ktoré riešili, sú zaujíma-vé aj v súčasnosti a mnohé z nichnevieme vyriešiť ešte ani dnes.Veríme, že žiaci vás prekvapia svo-jimi riešeniami a hlavne dôvodmi.Len upozorňujeme – toto nie súúlohy, v ktorých máte nájisť správ-ne riešenie, ale úlohy, pri ktorýchmáte diskutovať.
301. zošit
Úloha 1Úloha 2Obidve úlohy sú zameranéna zopakovanie pojmov ,
. Okrem tohomajú žiaci možnosť pripomenúťsi poradie počtových operáciía prednosť zátvoriek pri počítaní.
súčetrozdiel, súčin, podiel
102 · 3,54 = 361,08
6,7 – 198 = –191,3
121 : 11 = 11
–64,8 + (–13,02) = –77,82
(154 + 2 013) + (315 – 678) = 1 804
(42 – 38) : — = 4 · 2 = 8
(50,5 : (–10)) : 2,5 = –5,05 : 2,5 = –2,02
(13,8 + 5,5) · 1,5 = 19,3 · 1,5 = 28,95
(62,8 – (–3,5)) – (5,5 : (–1,1)) = 66,3 + 5 = 71,3
60 : 15 + (–3,7) = 4 – 3,7 = 0,3
– — · –– + — : (– ––) = – — – — = – ––
– — · (– —) – — = — – — = ––
–2,8 – — = –3,3
— + (–0,5) = 0
— : — = — · — = ––
– — · — = – ––
12
12
65
48
35
35
13
57
98
75
38
2125
3625
56
12
3625
65
56
6130
65
38
35
38
940
311. zošit
Úloha 5Nech si dvaja žiaci zahrajú ťavy.Slovné spojenie „opačným sme-rom“ v nás väčšinou evokuje to,že stojíme chrbtom k sebe.
2 · (17 + 89) = 212
((–50) – (–100)) + 2 · ((–50) + (–100)) = 50 – 300 = –250
Má mu dať 5 oviec.
Maťkovi 5 oviec ubudne, Kubkovi 5 oviec pribudne,
čiže rozdiel bude 10 oviec.
západ východ
— · (1 001 · 513) = 171 171
6 · (— – —) – — · (72 · —) = 6 – 12 = – 6
13
32
12
12
13
22 · (11 – 10) = 22
7 · (1 000 · 999) = 6 993 000
— · (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 7,5
— · (99 999 : 3) = 11 111
12
13
321. zošit
(19 : 19) – 3 = 1 – 3 = –2
3 · (8 – (–2)) = 3 · 10 = 30
(10 – 19) : 3 = –3
12 · (14 + 6) = 12 · 20 = 240
= 14 756
= 202,8
= 285
= 12,6
321 · 987 · 654 = 207 204 858
321 + 987 + 654 = 1 962
123 · 456 · 789 = 44 253 432
123 + 456 + 789 = 1 368
–60 =
202,8 =
285 =
29,8 =
=/=
=
=/
((4 : 0,5) · 1,5) : 1,2 = 12 : 1,2 = 10
331. zošit
Zostručnenia žiakov budú veľmipodobné – texty obsahujú jasnéfakty, zadanie hovorí, čo je danéa čo treba vypočítať.Ak máte chuť viac pracovať týmtosmerom, skúste opačný postup –zadajte niekoľko faktov (literár-nych a potom matematických)a nechajte žiakov príklady/príbehyvymýšľať. Slovné úlohy vyžadujútrochu dôvtipu, systematickýpostup...Nemusíte ich riešiť.Možno všakvďaka netypickým textom žiakovzaujmú a budú ich chcieť vyriešiť.
xx
x
AA
Úlohu vyriešime napríklad rovnicou22x + 10(62 – ) = 800,kde je počet km stúpania.Riešením je = 15 km.
Loď každý desiaty deň vyplávaz prístavu . Deviateho aprílabude v prístave .
Prvé dve lietadlá odletia spolukaždý 15. deň. Pri treťom lietadlemusíme zvážiť dve možnosti.
Ak 4. január je nedeľa, musímehľadať násobky 7 deliteľné 15 (to súznova nedele) a násobky 7 zväčše-né o 3 deliteľné 15 (to sú stredy),keď sa lietadlá opäť stretnú. Počasroka nájdeme 7 takýchto dní.
. Ak 4. január je streda, musímehľadať násobky 7 deliteľné 15 (stre-dy) a násobky 7 zväčšené o 4 deli-teľné 15 (nedele), keď sa lietadláopäť stretnú. Takýchto dní počasroka nájdeme 6.
1.
2
Úloha 1 a)
Úloha 1 b)
Úloha 1 c)
341. zošit
Úloha 2
Úloha 3
Úlohy s výberom odpovede tak,ako sa objavujú v rôznych testoch.Žiaci sa s nimi stretávajú čorazčastejšie. Okrem nácviku práces úlohami tohto typu precvičuje-me zápis slovnej úlohy pomocoupremennej – príprava na riešenieslovných úloh pomocou rovníc.
Úloha môže ukázať žiakomvýznam skúšky pri riešení slovnejúlohy. Úlohu neriešia, iba dosa-dia ponúknutý výsledok do zada-nia a kontrolujú, či spĺňa všetkysformulované podmienky.(Je to jedna z možností, ako riešiťúlohy s výberom odpovede v tes-te. Najmä vtedy, keď úlohu neve-dia vyriešiť).
D = 16 Ch = 32 – 16 = 16 16 + 3 =/ 16 – 1
D = 17 Ch = 32 – 17 = 15 15 + 3 =/ 17 – 1
D = 18 Ch = 32 – 18 = 14 14 + 3 = 18 – 1
D = 14 Ch = 32 – 14 = 18 18 + 3 =/ 14 – 1
351. zošit
Jednoduché úlohy, prostredníc-tvom ktorých máte možnosť overiťsi, ako vedia žiaci „matematizovať“text slovnej úlohy. Aj to je jedenz krokov, kde žiaci pri riešení slov-ných úloh zlyhávajú.
x x
Cieľom úloh nie je zostaviť rovnicua vyriešiť ju, skôr práca s premen-nou, so znázornením premennej.
Môže sa stať, že formuláciu„trojnásobok čísla zmenšený o 7“pochopia vaši žiaci rôzne –ako 3 – 7 alebo ako 3( – 7).My by sme druhý zápis formulo-vali ako „trojnásobok čísla zmen-šeného o 7“.Rozdiel je minimálny – vhodnáukážka toho, ako jazyk ovplyvňujeriešenie úloh. Za ideálny spôsobpovažujeme zápis vzťahov vyplý-vajúcich z textu pomocou premen-nej a potom skúška dosadzovaním.
Úloha 4Úloha 5
Úloha 6
100
36 36 – 14 22 : 214
· 4 – 8 : 3
300 Sk.:(77 · 4 – 8) : 3 = 10030877
Myslím si číslo 77.
1. číslo ....
2. číslo .... + 14
x
x
1. číslo .... 11
2. číslo .... 25
Sk.:11 + 25 = 36
25 – 11 = 14
x x
x xx
(3 · 28 – 7) – (2 · 28 + 3) = 77 – 59 = 18 =/ 20
(3 · 29 – 7) – (2 · 29 + 3) = 80 – 61 = 19 =/ 20
(3 · 30 – 7) – (2 · 30 + 3) = 83 – 63 = 20
(3 · 31 – 7) – (2 · 31 + 3) = 86 – 65 = 21 =/ 20
x x x+ ( + 1) + ( + 2) = –168 = – 57
+ 1 = – 56
+ 2 = – 55
x
x
x
Sk.:–55 + (–56) + (–57) = –168
Sú to čísla –55, –56, –57.
(3 – 7) – (2 + 3) = 20x x
— – — + 5 = 2 – 0,5x x xĽ: — – — + 5 = –– P: 2 · 1 – 0,5 = —
Ľ: — – — + 5 = –– P: 2 · 4 – 0,5 = ––
Ľ: — – — + 5 = 5,5 P: 2 · 3 – 0,5 = 5,5
Ľ: — – — + 5 = — P: 2 · 2 – 0,5 = ––
12
42
32
22
12
13
43
33
23
13
316
346
96
456
326
216
361. zošit
Keďže žiaci ešte nemajú prak-tické zručnosti s riešením rovnícpomocou ekvivalentných úprav,ponúkame vám pri každej úloheriešenie, ktoré nevyžaduje tútozručnosť. Spôsob znázorneniasituácie, ktorú úloha popisuje,a jej následné riešenie závisí odmnohých faktorov – napríklad čije váš žiak viac vizuálny typ (vtedymu rozhodne kreslenie obrázkovpomôže), alebo akustický typ(vtedy je dôležité mu situáciupopísať a nechať aj jeho aby o nejhovoril), alebo kinestický typ(vtedy je dobre, aby žiak pri rieše-ní úlohy manipuloval s predmetmialebo sa sám hýbal). Každá úlohasa dá vyriešiť aj bez použitia rie-šenia cez ekvivalentné úpravy.Pri každej úlohe robíme skúškusprávnosti jej riešenia.
Nebojte sa použiť aj premennú.Je dobre, aby si žiaci na ňu zvykliaj v spojení s riešením slovnýchúloh.
Najjednoduchší spôsob, ako vy-riešiť túto úlohu, je robiť priamoskúšku správnosti s každou z po-núknutých možností. Šikovnej-ších žiakov však môžete nechaťriešiť úlohu bez ponúknutýchmožností.
Úloha 12
Úloha 13
24
16
16
svetlé
tmavé
krémeše
venčeky
Katka
Danka
Janka
prvý
druhý
tretí
štvrtý
... 1,5
...
... 2
... 2
x
x
x
x
6,5 = 26
= 4
2 = 8
Tretí mravec mal 8 omrviniek.
x
x
x
....
.... + 112
.... + 112 – 92 = + 20
x
x
x x
x x x
x
+ + 112 + + 20 = 5 109
= 1 659
Sk.:1 659 + 1 659 + 112 +
+ 1 659 + 112 – 92 = 5 109
Katka má pravdu.
.... 32
.... 16
spolu .... 48
Na začiatku bolo 48 zákuskov.
teda
šál
čiapka
x
x
x
112
11292
15 dní
šál: 15 : 5 = 3 dní
čiapka: 3 · 4 = 12 dní
Sk.: 60 + (60 – 24) =
= 60 + 36 = 96
Sk.: 3 + 12 = 15
Sk.: 32 : 2 = 16
32 – 16 = 16
Čiapku plietla 12 dní.
96· 2 – 24
12060Na parkovisku je 60 svetlých áut.
16
x
16
371. zošit
Úloha 16
Úloha 17
Vyskúšajte tabuľku a postupnédosadzovanie možností. Trénujetetým odhad žiakov.
Opäť ako úloha 13, šikovnejší žiacinech úlohu vyriešia bez ponúka-ných možností a zvyšok triedy mô-že robiť iba overenie ponúknutýchmožností.
2video
televízor
video: 7 rokov
televízor: 7 + 2 = 9 rokov
Sk.: 7 + 9 = 16
16· 2 + 2
147
Video má 7 rokov a televízor 9.
Dorota
158
108
...
90
teraz
pred 50 r.
...
pred 68 r.
Teraz má viac Janka o 5 servítok.
predtým
Janka ............. ............................
Danka ......... + 9 ....... ( + 9) – 7 =
j
j j
Tvrdenie a) nie je
správne, lebo odporuje
1. vete zadania.
20 : 40 = 0,5
Tvrdenie b): začiatok po hre
Norbert .............. 40 ............. 40 + 5 = 45
Róbert ................ 20 ............. 20 – 5 = 15
porovnanie ... 40 : 20 = 2 ...... 45 : 15 = 3
teraz
+ 7
+ 2
rozdiel 5
j
j
Bolo to pred 68 rokmi.
Dorotka
71
21
...
3
Porovnanie
158 : 71 =. 2,23
108 : 21 =. 5,14
90 : 3 = 30
381. zošit
Nebráňte sa ani v triede rôznymriešeniam. Čím viac ich vaši žiacivymyslia, tým lepšie. Ukazujte siich na tabuli, diskutujte o nich,rozprávajte sa o výhodách alebonevýhodách každého z nich(pozri riešenia úlohy 18). Nie jecieľom, aby sa žiaci naučili riešiťslovné úlohy jediným spôsobom.Čím viac metód a prístupov imukážeme, tým viac rastie pravde-podobnosť ich úspešnosti pri rie-šení (nielen) slovných úloh.
4
4
1
mäkčeň
4
hrúb
ka
písm
eno
A) B)
12 · 4 = 48
1. etapa 2. etapa
1. etapa ...... 3
2. etapa ...... 2
3. etapa ...... 4
nakoniec .... 3
spolu .........12
3. etapa nakoniec
Diktát mal 48 slov.
— + — + — + 12 = x
Sk.:48 : 3 = 16
48 : 4 = 12
48 : 6 = 8
16 + 12 + 8 + 12 = 48
hrúbka ............................................ 54 cm
1. rok ................................... 54 : 3 = 18 cm
2. rok .... 54 – 18 = 36 .......... 36 : 3 = 12 cm
3. rok .... 54 – 18 – 12 = 24 .... 24 : 3 = 8 cm
4. rok .... 54 – 18 – 12 – 8 = 16 ....... = 16 cm
Zúbok má pravdu
x = 48
x3
x4
x6
1 1
391. zošit
2
4
3,6
4,4
–294
54
102
–12
4
4—
–8 999 994
1 500 004
0
–6
4,7
17,5
–4—
–28
25
13
trojčlen jednočlen štvorčlen štvorčlen
401. zošit
Úloha 7Možno žiaci vymyslia ďalšieobrázky, situácie, ktoré sa dajúzapísať vzťahom + .a b c d+ +
–x
–2c – 3
3 – 2a
7 – 5d
–x – 2
–2x – y
y – 2
7 – x
obvod štvoruholníka celkovú hmotnosť vozidla vrátane
náplní, nákladu a vodiča
celkovú vzdialenosť
z Podhradia do Rázcestia
hrúbku (hĺbku) súvrstvia
411. zošit
Úloha 11
Úloha 12
Zapísať najbližšie väčšie prirodzenéčíslo výrazom + 1 sa nám môžezdať triviálne. My si myslíme, žežiakom nie. Vráťte sa k číselnej osi,kreslite na ňu obrazy prirodzenýchčísel a študujte vzťahy medzi nimi.
Súčet sa dá zapísať viacerými spô-sobmi, napíšte si ich a interpretujteso žiakmi. Skúste každý zo súčtovvypočítať – možno bude výsledokpre niektorých prekvapujúci.
n
4x
4a
5( )m n+
5m n+ 5
( – ) · 2 + )m n n(m
2 – 7k l
n + 1
n – 1
( – 1) + + ( + 1)n n n
n n n n+ ( + 1) + ( + 2) + ( + 3) ( – 1) + + ( + 1) + ( + 2)n n n n
2( ) – —( )k l+ –k l
—( ) : 3a b– ab
( ) : + 3x y+ ( – )x y
—————
4a d + 50,1 = : 10 = —b b
d3 a · b 2( + + )xy yz zx
b10
12
13
a a b+ 4( – )3
421. zošit
Úloha 13
Úloha 17
d)
Vráťte sa k deliteľnosti a k Archi-medovi (pozri publikáciu Bero, P.:
). Ukladanímkamienkov (alebo čohokoľvekpodobného) žiaci najlepšie po-chopia myšlienku zápisu párnehočísla v tvare 2 a nepárneho číslav tvare 2 + 1. Uvedené riešeniasú, samozrejme, iba príkladymožných zápisov, napr. v zada-ní môže mať zápis podobu2 + (2 + 2) + (2 + 4). Prípadnežiaci môžu použiť iné premenné.
Pri hľadaní príslušných zápisov samôžete oprieť o postup, ktorý stepoužili pri hľadaní zápisu pre pár-ne číslo (teda číslo vždy deliteľnédvoma).Teraz sa môžete vrátiť so žiakmik predchádzajúcim slovnýmúlohám a pokúste sa zapísať ichv „reči premenných“.
Matematici, ja a ty
nn
n n n
2n
2n 4n 5n 6n3n
(2 – 2) + 2 + (2 + 2)n n n
( + ) + ( )m n m – n
( + 7) + ( 5)x y + ( + ) + ( – )x z y z( – 4) + ( 5)x y +
x – x x(— + — ) 2 —( + )r + r s
v u+
(2 – 1) + (2 + 1) + (2 + 3)n n n
2 + 2n
2 – 2n
2 + 1n
2 + 3n
2 – 1n
13
23
110
431. zošit
Cieľom úloh na tejto strane jedať žiakom možnosť overiť si správ-nosť úpravy výrazu s premennou(respektíve ukázať im, ako sa dásprávnosť takejto úpravy overiť).
9b
2mn
–72
24
6
x y x y x y+ + 2 – 3 = 3 – 2
3 – 4 = – 1
x x y x y+ ( – ) = 2 –
2 · (–2) – 4 = – 8
2 +x y
–y
y
–2 + (–2 – 4) = – 8
3
2
25
6 + 4 + 13k m km
1 + 2 + 2 – 6 = –1
441. zošit
5 – 2x y
11 – 3a b
2 – 10m n
– – 4t st
8x
a
–2 + 16z
x y+ 3
2 – 6 + 11x y
–4 – 7 + 9a b
–3 – 10 + 9m n
3 zošity ......... 3
7 ceruziek .... 7
z
c
Katka ....
Petra ..... + 20
k
k
Lenka .... + ( + 20) – 30 = 2 – 10
spolu: + + 20 + 2 – 10 = 4 + 10
k k k
k k k k
2 pravítka .... 2( + )
spolu: 3 + 7 + 2( + ) = 5 + 9
z c
z c z c z c
451. zošit
Úloha 10Tabuľku môžete rozšíriť o ďalšieriadky, napríklad 2 + ; 2 + 2(aj keď trocha predbieha prebe-rané učivo). Myslíme si však, ževypočítať výraz 2 zvládne každýžiak vo vašej triede – a máte pripra-venú pôdu na násobenie výrazov.
A B A B
A
– –
–
+
m n
x
–a b
y
–3 – 3x
–0,3 + – 5r s
5 – + 31
5 + – 29
a x
a x
x y
x y
+ 15 – 8
– 15 – 8
86 – 1
43
x –10 + 14
8 – 6
y
y
–0,9 + 6,2
–2,3 + 1
u
u
0
2b
–2 – 3
3 + 4
–2 – 5
— –
a b
x y
x
v z
4 – 3
5 + 6
9
3 +
m n
d
b a12
461. zošit
2 + 2a b
0
2a
2b
2 + 2a b
–2 + 6x
3 + 5a b
– – 9x
x y– 5
3 – 3y
–2 – 8x y
–33 – 3 + 21m n
–7 + 5 + 3xy x y
3 – 4 + 9a b
2 – 2x
5r
–2s
0
2b
2a
471. zošit
Každú úlohu môžete „rozšíriť“tým, že si žiaci dosadia do zadaniakonkrétne čísla a vyriešia ju aj nu-mericky. Opäť sme pri zovšeobec-ňovaní, teraz z opačnej strany.x x x+ 2 – 5 = 3 – 5
1 317 – + – 2 + = 1 317 – 3 + +
V mravenisku bolo 1 317 – 3 + + mravcov.
a b a c a b c
a b c
a x
b x
c x
=
= + 4
= – 1
a) po roku .......... 12 + —
b) po rokoch .... (12 + — ) ·
k k
r k k r
a) jedna fotografia .......... 9 + 100 · 0,5 = 59 eur
b) kópií ......................... 9 + 100 · 0,5 · = 9 + 50k k k
o x
o x
= 3 + 3
Obvod trojuholníka je = 3 + 3 cm.
V autobuse zostalo 3 – 5 ľudí.x
34
34
481. zošit
6 – 18 + 30y x
2,1 – 6,3 + 10,5y x
— – + —y x
–9 + 27 – 45y x
7 – 8x
–5,5 + 28,5p
–6 + 16 + 88c d
21 – 8r s
– + – 15a b
–6 + 108p
53
13
– — – ––x y34
314
491. zošit
Úloha 4Ku každému vzorcu si povedzte,ktorému geometrickému útvarupatrí a čo vyjadruje. Pomenujtevšetky premenné vo vzorci.
1. auto ....
2. auto .... –
3. auto .... + 300
n
n m
n a) 1 deň: 4 + 3 · ( + 300) + 5 · ( – ) =
= 4 + 3 + 900 + 5 – 5 ) =
= 12 – 5 + 900
b) 6 dní: 6 · (12 – 5 + 900) = 72 – 30 + 5 400
n n n m
n n n m
n m
n m n m
a) = ·
b) = · ( + 10)
c) – = · ( + 10) – · = 10
S š d
S' š d
S' S š d š d š
šd
šd + 10
V a b: ( · ) = ——
o : 6 = —
S a: = —
S a: = —
——— = — – a
o a b c o a b c– ( + + ) = – – –
Va b·
o a– 22
o2
o6
Sa
Sa
501. zošit
Úloha 11Diskutujte o tom, kedy budemať úloha celočíselný výsledok.Pre mnohých žiakov je problémprečo odčítame 1, nie 2. Častovšak na to úplne zabudnú.
3
–3
–3
3
–1
5
–3
1
3
0,5
–0,5
12 – 8 + 3x y
–12 + 8 – 3x y
48 – 32 + 12x y
–72 + 48 – 18x y
–96 + 64 – 24x y
3 – 2 + 0,75x y
a) kilometrov .... : 130 hodín
b) hodín ............ 130 · kilometrov
k k
h h
počet topoľov: : 15 – 1aa
511. zošit
Úloha 12
Úloha 13
Úloha 15
f)
Nech si žiaci v posledných dvochpríkladoch vymyslia obe zátvorkya navzájom si svoje riešeniaskontrolujú.
Príklad v zadaní môže mať dveriešenia podľa toho, či vyjmetepred zátvorku kladné alebozáporné číslo.
Veľmi dôležité príklady. Príkladompodobného typu by ste sa malivenovať dovtedy, kým nebudúabsolútne jasné každému žiakovivo vašej triede.
8 – 4x
2 – 1x
–8 + 4x
16 – 8x
–16 + 8x
8(4 – 5 )x y
5( – )a b
5(2 + 3 )u v
7( + + )a b c
7(2 – 2 + 1)m n
5( – 7) – 3( – 7) = 2( – 7)x x x
10(6 – ) – 3(6 – ) = 7(6 – )a a a
4( – 2 ) + 3( – 2 ) = 7( – 2 )x y x y x y
2(–5 + ) – 3(–5 + ) = –1(–5 + ) = 5 –m m m m
–7 – 5x
–6 + 4y
2 – 8a
4 + 7x
–9 + 4c
–4( + 2 + 3 + 4)x y z
3( – 1)r
12 (2 – )y x
—(— – — )a b
3(0,7 + 2,1 )x
x – 0,5
–4 + 2x
–16 + 8x
12
14
13
–7 – 5x
–6 + 4y
2 – 8a
4 + 7x
–9 + 4c
521. zošit
Úloha 1
Úloha 3
Ktorý zo spôsobov je prijateľnej-ší a pochopiteľnejší pre vašichžiakov? A pre vás?
Ukážte si všetky možné spôsoby,ktoré sa objavia v riešeniachvašich žiakov.
3(1 – 2) + 15 + 6 = 18
3 + 3 + 15 – 3 = 18 .... 18b c b c b
24
2 + 14z
5
2 + 13x
19
4 – 3 + 5u v
–12
–3 + 16a b
10
2x
a) 8 + 1
b) 4 – 2 + 1
a
a b
a) + 3 =
– 3 =
b a
a b
b) = : 3 = — = —
= 3
a b b
b a
13
b3
531. zošit
Úloha 4
Úloha 5
Úloha 6
Úloha 7
Ilustráciou sme sa snažili priblížiť„kotúľanie“ štvorca po priamke.Najmä pre žiakov s malou pred-stavivosťou bude ešte vhodnejšievystrihnúť štvorec a „kotúľať“ hopo lavici, tabuli a pod. Môže vznik-núť zaujímavá diskusia o tom, čoznamená, že štvorec sa „otočí“.
Náročná je najmä úvaha, že akmakrela s 20 sardinkami stojí dvoj-násobok ceny makrely, tak 20 sardi-niek stojí toľko ako jedna makrela.Ak to žiaci pochopia, majú riešenie„vo vrecku“.
Je to jediná interpretácia danéhozápisu? Myslíme si, že týmto spô-sobom sa dá určiť aj to, pre koľkolevov vydrží zakúpené mäso najeden deň. Čo na to vaši žiaci?
Kreslite si pomocné obrázky,znázorňujte prejdené vzdialenosti.
d
xxx
x
x
x
n = —–dx4
zk
200r
1 makrela ............................
1 makrela + 20 sardiniek .... 2
20 sardiniek ....
a) 1 makrela + 40 sardiniek .... 3
b) 3 makrely + 80 sardiniek .... 7
m
m
m
m
m
— vyjadruje, na koľko dní vydrží pre 1 leva
mäso kúpené na začiatku mesiaca.
a) 5 vyjadruje, akú vzdialenosť prejde auto za 5 hodín.
b) —– vyjadruje, za koľko hodín prejde auto 200 km.
r
541. zošit
15
15
10
10
5
5
5
5
1510 20
201510
25
25
30
30
1
6
2
4
16
13
10
3
7
2
10 219 1
23 7
21 1128 12
30 2
16 14
551. zošit
15
10
5
5
10
5
5 10
201510 25 30
M[3; 4]
K[23; 2]
E
A
G C
DF
BH
[5; 2]
[6; 4]
[8; 5]
[6; 6]
[5; 8]
[4; 6]
[2; 5]
[4; 4]
561. zošit
nikdy
od 20. do 30. mina asi v 53. min
od 40. do 50. min
množstvo peňazí
v závislosti od dní
nie
Záporné eurá sú dlh.
Záporné dni sú
dni pred dneškom
(dnes = 0).
v 10. a asi 56. min
0 5 10 10 15 15 0
571. zošit
Táto strana vám a vašim žiakommôže opäť slúžiť ako inšpiráciana projekt – tentokrát by ste samohli venovať téme „Naj- vecina svete a matematika okolo nich“.
246
55
35
priemer: 112
35
1,52
–11
22
51
16
–24
24 · 99 – (24 + 99) + 47 = 2 300
1,1 – ————— = 0,5
Sherman
Shermana 2 300
112
0,5
1,1 + 7 · 0,13
581. zošit
Úloha 3
c)Môžu byť dva vonkajšie uhlytrojuholníka tupé – zadanie ?Diskutujte so žiakmi o podob-ných vzťahoch.
3 A
a
'
3
3
3
= 180 – = 180 – 102 = 78°
= 180 – = 180 – 38 = 142°
= 180 – ( + ) = 180 – (38 + 78) = 64°
= 180 – = 180 – 64 = 116°
'
'
'
' ' '= 159°20'; = 149°45'; = 50°55'
= 144°35'; = 105°5'; ='
= 120°23'; = 118°37'; =
= 38°; = 142°
= 64°; = 116°
= 78°; = 102°
'
'
'
= 105°; = 50° – tupouhlý trojuholník
= 60° – rovnostranný
= = 160° – neexistuje,
lebo 160° + 160° = 320° > 180°
a) tupouhlý trojuholník rôznostranný
b), c) neexistuje
B
b
'
C
c
''
'
'
a
bc
'
'
'ab
cA
B
C
'
'
'ab
cA
B
C
591. zošit
Úloha 6Dobrá propedeutika podobnostitrojuholníkov a faktu (na ktorý žiacis obľubou zabúdajú, respektíve siho neuvedomujú), že pri podob-nosti sa veľkosti uhlov nemenia.
Každý trojuholník má súčet
vnútorných uhlov 180°.
Vnútorné uhly trojuholníkov
sú zhodné.
= 28°; = 45°; = 107° sú zhodné
10°25'
39°20'
169°35'
49°45'
43°40'
91°
134°40'
136°20'
60°
60°
120°
120°
60°
96°
24°
156°
33°
75°
138°
147°
66°
44°
110°
136°
65°
25°
155°
90°
89°
54°30'
91°
143°30'
A'
B'
C'
601. zošit
Úloha 8Pripomeňte si so žiakmi trojuhol-níkovú nerovnosť – zmenšujtepočet riešení takmer v každomzadaní tejto úlohy. možné trojuholníky: 3, 4, 6
4, 6, 7
4, 6, 9
6, 7, 9
5 trojuholníkov
6 cm 7 cm
3344 2
9 cm
611. zošit
Úloha 1Konštrukcie .To, či budete so žiakmi robiť iba ná-črt a konštrukciu alebo konštrukčnúúlohu ako celok, rozhodnite podľaaktuálnej situácie. Treba klásť dô-raz na náčrt, na presné a úhľadnérysovanie a postupné (slovné) zdô-vodňovanie jednotlivých krokov.Ak by sa žiakom zdali konštrukcienudné, skúste súťažiť – v rýchlosti,presnosti, farebnosti...
sss
Postup konštrukcie:
1. ; | |= 8 cm
2. ( ; 7 cm)
3. ( 4 cm)
4. ;
5.
AB AB
k; k A
l; l B
C C k l
ABC
;
Rozbor:
; | |= 8 cm
;
AB AB
C C k( , 7 cm) ( , 4 cm)A l B
Konštrukcia:
AB
Ca = 4 cm
b = 7 cmc = 8 cm
A B
Ck
l
621. zošit
Úloha 2
c)
Konštrukcie .Zmysluplné je (podľa nás) robiťkompletnú konštrukčnú úlohu(teda aj rozbor a postup konštruk-cie) vtedy, keď žiak zvolí inýpostup ako štandardný. Napr. takako v zadaní , keď sme najskôrnarysovali 90° uhol a potom smekružidlom odmerali dĺžky strán.Vedy si môžeme navzájom kon-trolovať správnosť postupu...
sus
Postup konštrukcie:
1.
2. ( 5 cm)
3. ( 4 cm)
4. ;
5.
6.
<) ; |<) |= 90°
;
;
;
XCY XCY
B B CX l
k; k C
l; l C
A A CY k
ABCRozbor:
C;
( , 4 cm)
|<) |= 90°
( , 5 cm)
XCY
k CA; A CY
B; B CX l C
Konštrukcia:
A
B
C
4 cm
5 cm
Y
X
90°
C A
k
X
B l
Y
631. zošit
Úloha 3Konštrukcie .usu
Postup konštrukcie:
1. ; | |= 8 cm
2.
3.
4. ;
5.
AC AC
B B AX CY
ABC
<) ; |<) |= 45°
<) ; |<) |= 70°
XAC XAC
YCA YCA
Rozbor:
; | |= 8 cm
;
AC AC
B B AX CY
Konštrukcia:
A
B
C
45°70°8 cm
X
Y
C A
C
X
Y
641. zošit
Úloha 4Úloha 5Všetko sú to geometrické značky,ktoré potrebujete pri rysovanítrojuholníka a pri zápise postupukonštrukcie, tak sme si ich pripo-menuli v jednoduchej, kryštalic-kej forme.
L
AB
p
MN
| |= 5 cm
= 54°
AB
|<) |= 88°AVB
KL
k S;( 5 cm)
p AB|| m KL = { }X
k l = { }Y; Z
A
B
X
m
Y CD k S;( 4 cm)
C AX BY
k
Y
C
k
l
Y
Z
651. zošit
ABC
KLM
MNO OY
M N
X
M
K L
X
k
A B
Ck
l
661. zošit
Úloha 7Pristupujte k vašim žiakom dife-rencovane. Nie je v našich silách,aby všetci žiaci v jeden danýmoment vedeli všetko rovnakodobre. Tak je to aj s konštrukčný-mi úlohami. Niektorí zvládnuvšetky postupy bravúrne, preiných je úspech narysovaťsprávny trojuholník. Ale praxje základom úspechu. Aj tí, čoteraz horko-ťažko rysujú, sa ča-som naučia aj ten zvyšok, ibapotrebujú viac času a praxe.
C k A; AC b( 7 cm) | |= 7 cm =
C l B; BC a
AB c
( 6 cm) | |= 6 cm =
| |= 5 cm =
| |= 7 cm
| |= 6 cm ( 6 cm)
;
AC
BC C l B;
C C k l
C k A;( 7 cm)
1.
( 7 cm)
3.
| |= 5 cm
2.
( 6 cm)
4. ;
5.
AB
l; l B;
C C k l
ABC
k; k A;
D:
7 cm
a =
ABC
6 cm
= 5 cm
Ú:
b =
c
A B
C
a = 6 cmb = 7 cm
c = 5 cm
k l
A B
Ck
l
671. zošit
Úloha 8Pristupujte k vašim žiakom diferen-covane. Nie je v našich silách, abyvšetci žiaci v jeden daný momentvedeli všetko rovnako dobre.Tak je to aj s konštrukčnými úloha-mi. Niektorí zvládnu všetky postu-py bravúrne, pre iných je úspechnarysovať správny trojuholník.Ale prax je základom úspechu.Aj tí, čo teraz horko-ťažko rysujú,sa časom naučia aj ten zvyšok,iba potrebujú viac času a praxe.
| |= 5 cm
|<) |= 60°
|<) |= 60°
;
LM
KLM
M LX; KLX
M M k LX
M k L;( 5 cm)
|<) |= 60°; |<) |= 60°
( 5 cm) | |= 5 cm
KLX M LX KLM
M k L; LM
1.
; ( ; 5 cm)
KL;
k k L
| | 6,5 cm
2. <) ; |<) |= 60°
3.
4. ;
5.
KL =
KLX KLX
M M k LX
KLM
D: | |
| |
KL
LM
=
KLM
KLM
6,5 cm
= 5 cm
|<) |= 60°
Ú:
KL
M
5 cm
60°6,5 cm
kX
K L
Mk
X
681. zošit
M
<) KML
<) <)MKL; MLK
KL
KM, LM
KM, LM
rovnoramenný trojuholník
100°
40°
119°
49°30'
(180° – 30°) : 2
180° – 2 · 40°
75°
60°
82°15
64°35
'
'
dve
K L
X
o
A B
C
40° 40°
A B
C
30°
691. zošit
Úloha 5Za predpokladu, že strom rastiekolmo zo zeme (a mravec mápresný uhlomer).
a) 4 = 180
= 45
2 = 180
= 90
)
°
°
°
°
Uhly pri základni 45°,
uhol pri hlavnom vrchole 90°.
b
r
o
o
= 5,2 cm
= 2 · 5,2 + 6,5
= 16,9 cm
Obvod trojuholníka je 16,9 cm.
2 · + = 35
= 11
Základňa je dlhá 11 cm.
r z
z
MKŠ je rovnoramenný
| |=| |= 15 m
Strom je vysoký 15 m.
KM KŠ
A B
C
A B
C
z
r = 12 cmr = 12 cm
rr
z = 6,5 cm
45°90°K
Š
45°
a) b)2
—2
—2
701. zošit
Úloha 9Objavia sa spontánne obidveriešenia vo vašej triede?Ak nie, ukážte ich žiakom.
3 + 6,4 = 21,4
= 5 cm
= 8,2 cm
Ramená sú dlhé 8,2 cm,
základňa meria 5 cm.
z
z
r
a) >r z
r z r z
z z r
r z
z r z r
r r z
– = 2,4 = 2,4 +
3 + 4,8 = 33 = 9,4 cm, = 11,8 cm
<
– = 2,4 = 2,4 +
3 + 2,4 = 33 = 10,2 cm, = 12,6 cm
)b
nevieme
M
r1
A B
C
z
r r
A B
C
z
r z= + 3,2r z= + 3,2
C
r2
M
Lr1
r1
r2
r2
711. zošit
Úloha 1
Úloha 4
Aj tu si žiaci zvykajú, že v troj-uholníku stačí zadať dva uhly.
Ukážte žiakom pätu výšky.Trochu predbiehame vlastnostitrojuholníka, ale napríklad pre-hnutím papiera ukážte žiakom,že v rovnostrannom trojuholníkupäta výšky delí stranu na dverovnaké časti.
a b= = = (180 0 0° – 6 °) : 2 = 6 °
Rovnostranný trojuholník.
1 + 3 + 9 = 13 trojuholníkov
18 · 2 = 36 cm
Trojuholník je rovnostranný.
= 6 °
= 120°
= 4,75 cm
' ' '
a
= = 0
= =
= =b cA
B
C
4,75 cm
AB
C
60°3 cm
60°
3 cm
60°
2 cm
C M
L
M
721. zošit
Úloha 5
Úloha 6
Urobiť presný náčrt je trochuzložité, no pre pochopenie po-dobných patternov je dobré prvésituácie, s ktorými sa žiaci stretnú,podrobne vysvetliť a názorneukázať. Čas venovaný tomutopríkladu sa vám neskôr určitevráti.Krása a zložitosť tejto úlohyspočíva v tom, že 100 dlaždicovýtrojuholník so stranou dlhou 10 mmetrov sa nachádza 100-krátv trojuholníku so stranou dlhou100 m a takýchto trojuholníkovje na námestí 9. Toto bude ka-meň úrazu pre mnohých vašichžiakov. Kreslite, prípadne si na-strihajte trojuholníky a dlážditenimi triedu.Zabudnite na chvíľu na geomet-riu a môžete sa venovať súčtomvo vzorovom riešení. Skúste cel-kový súčet hľadať napríklad postĺpcoch.Toto riešenie je len jedno z mož-ných.
Propedeutika stredných priečok.Môžete vyzvať žiakov, aby podob-né vlastnosti skúmali aj v rovno-ramennom, rôznostrannom čitupouhlom trojuholníku.
Uhly majú veľkosť 60°;
je rovnostranný.
| |= —| | | |= —| |
| |= —| |
XYZ
XYZ
YZ AB XZ BC
XY AC
1. pás
2. pás
3. pás
4. pás
5. pás
10 + 9 = 19
9 + 8 = 17
8 + 7 = 15
7 + 6 = 13
6 + 5 = 11
1212
12
A
B
C
D
E
F
A B
C
X
YZ
A B
C
Z Y
X
6. pás
7. pás
8. pás
9. pás
10. pás
spolu
5 + 4 = 9
4 + 3 = 7
3 + 2 = 5
2 + 1 = 3
1 = 1
100 dlaždíc
10 m
námestie
731. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Úloha 3
Začíname skúmať vlastnosti výšokvo všetkých typoch trojuholníkov.Na začiatku takto, cez konkrétneobrázky. Postup zovšeobecňujte.Napríklad aj pomocou podobnýchtvrdení ako v úlohe 2.
Našťastie sú správne samé nie,lebo ten obrázok niet kam nakresliť.
Ak žiakom prezradíme, že troj-uholník je rovnoramenný,asi skôr prídu na to, že uhly prizákladni majú veľkosť 45°, a tedauhol pri hlavnom vrchole 90°.Úloha je trošku zradná, leboo rovnoramennosti sa treba pre-svedčiť meraním. Preto je pri nejpiktogram Baltazára.
KLM
| |=| |= 4 cm je rovnoramenný
|<) |= 90° |<) |= 45° =|<) | |<) |= 90°
KP PL KPM
KPM MKP KLM KML
A B
C
A B
C
A B
C
A
B
C
C
A
B A
B
C
va
vb
vc
vb
vb
vbvb
vb va va
va
va
va
vc
vc
vc
vcvc
P
741. zošit
Úloha 4
Úloha 5
Úloha 6
Overte si to na viacerých troj-uholníkoch (stačí, ak každý žiaknarysuje nejaký trojuholníka zmeria výšky, alebo sa vráťtek úlohe 1 na s. 73).
Čím viac trojuholníkov, týmpresvedčivejší argument.
Naše odpovede sú o dĺžkach,žiaci však možno zistia niečoo priesečníkoch či uhloch.
Najdlhšia výška je výška
na najkratšiu stranu .(v )a
Vo vrchole pravého uhla.
Výšky v rovnostrannom trojuholníku
sú rovnako dlhé.
V rovnoramennom trojuholníku
sú rovnako dlhé výšky na ramená.
Nedá sa.
751. zošit
Úloha 8
Úloha 9
Podstatná je myšlienka: „Vrcholyvšetkých takýchto trojuholníkovležia na rovnobežke, ktorej vzdia-lenosť od strany je . Zamerajtepozornosť na rysovanie a hľadanieriešenia, nie na formality konštruk-čnej úlohy.
Jednou z myšlienok, na ktorých jepostavená táto úloha, je vlastnosťvýšky trojuholníka, ktorú sme siukázali v predchádzajúcej úlohe.Druhou je vlastnosť rovnoramen-ného trojuholníka – vrchol oprotizákladni leží na osi základne.Tejto myšlienke sa bude potrebnévenovať podrobnejšie.
AB v
veľa
na priamke rovnobežnej so stranou ,vzdialenej od nej 4 cm
AB
A B
C4 C1C2 C3 C5
p
Náčrt:
D:
| |
rovnoramenný
= 7 cm
= 5 cm
Ú:
KLM
KLM
KL
vKL
Rozbor:=vKL 5 cm
( || ); | |= 5 cm
je rovnoramenný
M p
p KL p, KL
KLM M o
M p oKL
KL
Záver:M p; p KL; p, KL
v
M o KLM
|| | |= 5 cm
= 5 cm
je rovnoramennýKL
KL
Postup konštrukcie:1. |
2.
KL; KL
p; p KL; p, KL
o
M p o
KLM
|= 7cm
|| | |= 5 cm
3.
4. M;
5.
KL
KL
M
K LoKL
p
K L
Mp
oKL
761. zošit
Zmyslom úloh je neustáleutvrdzovanie pojmov a ichspájanie v rôznych situáciách.
Riešenia by mali byť intuitívne,ale samozrejme sa môžemevenovať aj zdôvodňovaniu.
Úloha 3všetky uhly majú veľkosť 60°
môže, napr. 90°, 45°, nemusí
existuje aj tupouhlý aj pravouhlý rovnoramenný trojuholník
90°, 45°, 45°
všetky sú ostré
neexistuje – rovnostranný trojuholník má všetky uhly ostré
dva
existuje, napr. 95°, 75°, 10°
neexistuje – 90°, 45°, 45° oba uhly nemôžu byťmenšie ako 45°
existuje, napr. 89°30 , 15°30 , 75°' '
šesť
E
A B
C
D
F
771. zošit
Úloha 5Úloha 6Úlohy treba riešiť experimentova-ním a systematickým vypisovanímmožností.
A
B
C
D
E
F
2 + = 20a b
a
b
1
18
5
10
2
16
6
8
3
14
7
6
4
12
trojuholníková nerovnosť
trojuhol-níkovánerovnosť
a b= = 2 000 – 2c a
a b=
c
999
2
999 – 501 + 1 = 499 trojuholníkov
998
4
997
6
... 502
996
501
998
500
1000AB
C
ab
c
C
A B
781. zošit
Úloha 7
Úloha 9
Veríme, že to naozaj praktickyvyskúšate.
Začíname vo výpočtovej geo-metrii pracovať s premennou.Na úvod je vhodné vypočítaťniekoľko konkrétnych príkladov,na základe ktorých žiaci môžupochopiť systém počítaniatakýchto úloh.
180°
(ak sa v poslednom vrchole
otočil do smeru, ktorým vyšiel)
môže byť rovnoramenný pravouhlý
môže byť aspoň rovnoramenný
môže byť tupouhlý rovnoramenný
môže byť rovnostranný
= = (180° – ) : 2A
B
C
I.II.
III.
791. zošit
Projekt PytagorasTrojuholníkové čísla môžemehľadať kreslením alebo počítanímzo vzťahu · ( + 1) : 2.Napríklad 15 + 21 = 36 je ďalšímriešením našej úlohy. Šikovnejšímžiakom môžete dať za úlohu nájsťtaké trojuholníkové čísla, ktorýchsúčet je 30 = ( 3 + 6 + 21).
n n
Odporúčané pojmy a postupy
celé čísla v bežnom živote,kladné a záporné čísla v rozšírenom oboredesatinných čísel
obraz kladných a záporných čísel na číselnej osi,absolútna hodnota čísla, navzájom opačné čísla,usporiadanie a porovnanie kladnýcha záporných čísel
sčítanec, súčet, menšenec, menšiteľ, rozdiel,sčitovanie/odčitovanie celých čísel,kladných a záporných desatinných čísel
činiteľ, súčin, delenec, deliteľ podiel,násobenie/delenie celých čísel,kladných a záporných desatinných čísel
číselný výraz, členy číselného výrazu,hodnota číselného výrazu,matematické operácie s číselnými výrazmi,rovnosť číselných výrazov
algebrický výraz, premenná, člen s premennou,hodnota výrazu pre hodnotu premennej,matematické operácie s výrazmi s premennou,vynímanie pred zátvorku
rovnosť výrazov, úlohy s váhami a ich prepis,riešenie jednoduchých rovníc,ekvivalentná úprava,skúška správnosti,vyjadrenie neznámej zo vzorca
trojuholník, základné prvky trojuholníka(vrcholy, strany, vnútorné a vonkajšie uhly),ostrouhlý, pravouhlý a tupouhlý trojuholník,konštrukčná úloha – náčrt, rozbor, postupkonštrukcie, konštrukcia,konštrukcia trojuholníka podľa vety sss, sus, usu
trojuholníková nerovnosť
rovnoramenný trojuholník – hlavný vrchol,základňa, ramená, uhly,rovnostranný trojuholník – uhly a strany
výška trojuholníka (priamka, úsečka, dĺžka úsečky),päta výšky, ortocentrum,výšky v rôznych trojuholníkoch, body trojuholníka,body ležiace mimo trojuholníka
Odporúčané témy
Kladné a zápornéčísla.
Zobrazeniecelých číselna číselnej osi.
Súčet a rozdielcelých a desatin-ných čísel.
Súčin a podielcelých a desatin-ných čísel.
Číselný výraz.
Výrazs premennou.
Rovnice.
Konštrukciatrojuholníka.
Trojuhol. nerovnosť.
Rovnoramennýa rovnostrannýtrojuholník.
Niektorécharakteristikytrojuholníka.
Odporúčaný výkonový štandard
poznať vlastnosti celých čísel, vedieť vymenovať príklady využitiakladných a záporných čísel v praxi, čítať a zapisovať celé čísla (aj z rôznychtabuliek a grafov);
vedieť zobraziť celé/desatinné čísla na číselnej osi, určiť absolútnu hod-notu čísla (aj racionálneho), vedieť určiť navzájom opačné číslo k zadanémučíslu, zakresliť polohu opačných čísel na číselnej osi, porovnávať celé číslaa usporiadať ich podľa veľkosti zostupne/vzostupne;
sčitovať a odčitovať celé/desatinné čísla (aj na kalkulačke), pri riešeníúloh s viacerými počtovými operáciami a úkonmi vedieť rozhodnúť o po-radí ich riešenia, riešiť primerané slovné úlohy na sčítanie a odčítaniecelých/desatinných čísel;
násobiť a deliť celé/desatinné čísla (aj na kalkulačke), rozhodnúť o zna-mienku násobenia a delenia dvoch čísel, analyzovať text slovnej úlohy, nájsťstratégiu riešenia a použiť jednotlivé operácie pri jej riešení, pri riešení úlohs viacerými počtovými operáciami a úkonmi vedieť rozhodnúť o poradí ichriešenia a úlohu vedieť vyriešiť.
osvojiť si pojem číselný výraz, určiť počet členov v číselnom výraze,vedieť sčitovať, odčitovať, násobiť a deliť číselné výrazu, rozhodnúť orovnosti dvoch číselných výrazov, prepísať text do tvaru číselného výrazu,
vedieť rozlišovať medzi číselným výrazom a výrazom s premennou;rozumieť pojmu premenná, zostaviť jednoduchý výraz s premennou, určiťvo výraze s premennou členy s premennou a členy bez premennej, rozlišo-vať pojmy dvojčlen, trojčlen..., určiť hodnotu výrazu, ak je daná hodnotapremennej, sčitovať a odčitovať výrazy s premennou, násobiť a deliť prime-rané výrazy s premennou číslom rôznym od nuly, upraviť výraz na súčinvynímaním pred zátvorku;
zapísať matematicky rovnosť dvoch výrazov s premennou, pomocouekvivalentných úprav vedieť vyriešiť jednoduché rovnice a vykonať skúškusprávnosti, analyzovať text slovnej úlohy, matematicky zapísať slovnú úlohuvo forme rovnice, vedieť overiť skúškou správnosti, či dané číslo je riešenímslovnej úlohy, vedieť vyjadriť a vypočítať neznámu z jednoduchých vzorcov.
vedieť rozlíšiť základné prvky trojuholníka, poznať vetu o jeho vnútornýchuhloch, vedieť vypočítať vonkajšie uhly trojuholníka, samostatne riešiť úlohys využitím vnútorných a vonkajších uhlov trojuholníka, zobraziť v náčrte za-dané informácie o trojuholníku, vedieť vykonať rozbor konštrukčnej úlohy,vysvetliť a zapísať postup zostrojenia trojuholníka, vedieť zostrojiť trojuhol-ník využitím vety sss, sus, usu, vedieť narysovať pravidelný šesťuholník;
poznať vetu o trojuholníkovej nerovnosti, vysvetliť ju a využiť pri konštruk-cii trojuholníka podľa vety sss, poznať vetu o vnútorných uhloch trojuholníkaa o súčte vnútorného a vonkajšieho uhla pri tom istom vrchole a využiť ichpri konštrukcii trojuholníka podľa vety usu;
vedieť popísať rovnostranný/rovnoramenný trojuholník a jeho vlastnosti,vedieť presne narysovať ľubovoľný rovnostranný/rovnoramenný trojuholník,uviesť príklady rovnostranného/rovnoramenného trojuholníka zo života;
poznať vlastnosti výšok trojuholníka, vedieť skonštruovať výškytrojuholníka (v ostrouhlom, pravouhlom a tupouhlom trojuholníku), zostrojiťpriesečník výšok v ľubovoľnom trojuholníku, riešiť ďalšie konštrukčné úlohys využitím poznatkov o konštrukcii trojuholníka, zostrojiť štvorec, obdĺžnik.
Návrh obsahového štandardu z matematiky – 8. roč. ZŠ/3. roč. GOŠOdporúčaný obsahový štandardTemat.
celok
Cel
éčí
sla.
Počt
ové
výko
nys
celý
mi č
ísla
mi
Prem
enná
, výr
az, r
ovni
caTr
ojuh
olní
k
Temat.celok
Kruh
,kru
žnic
aPr
avde
podo
bnos
ť,št
atis
tika
Hra
noly
, ich
obje
ma
povr
chRo
vnob
ežní
ky, l
icho
bežn
íky.
Obs
ahtr
ojuh
olní
kaOdporúčaný obsahový štandard
Odporúčané pojmy a postupy
rovnobežky, rôznobežky, priečka,súhlasné a striedavé uhly, ich vlastnosti
štvoruholníky, rovnobežníky,štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec, kosodĺžnik – strany,veľkosti strán, vnútorné uhly, uhlopriečky, výšky,súčet vnútorných uhlov rovnobežníka,konštrukcia rovnobežníka
obvod a obsah štvorca a obdĺžnika,obvod a obsah trojuholníka,obvod a obsah kosoštvorca a kosodĺžnika
lichobežník – základňa, ramená, výška,všeobecný/pravouhlý/rovnoramenný lichobežník,konštrukcia lichobežníka,obvod a obsah lichobežníka
teleso, kocka, kváder, hranol,kolmý, pravidelný, trojboký/štvorboký/... hranol
jednotky obsahu, jednotky objemu,povrch, objem hranola
kruh/kružnica ako množiny bodov danej vlastnosti,stred kruhu/kružnice, polomer, priemer
priamka a kružnica: nesečnica, dotyčnica, sečnica,tetiva, vzdialenosť stredu od tetivy,vzájomná poloha dvoch kružníc: bez spoločnéhobodu, jeden spoločný bod (dotyk kružníc zvonku/zvnútra), dva spoločné body
kružnicový oblúk, stredový uhol,kruhový výsek, kruhový odsek
dĺžka kružnice, Ludolfovo číslo ,obsah kruhu, dĺžka kruhového oblúka,obsah kruhového výseku, medzikružie
pravouhlý trojuholník, Tálesova kružnica
udalosť, pravdepodobnosť, pokus,istá udalosť, náhodná, nemožná udalosť
štatistika, štatistický súbor, štatistické zisťovanie,jednotka a znak, početnosť javu, relatívnapočetnosť javu, aritmetický priemer,tabuľka, grafické znázornenie údajov, kruhový dia-gram, stĺpcový graf
Odporúčané témy
Striedavéa súhlasné uhly.
Rovnobežníkya ich základnévlastnosti.
Obvod a obsahtrojuholníkaa rovnobežníkov.
Lichobežník.
Hranol, jehoznázornenie a sieť.
Povrch a objemhranola.
Kruh, kružnica.
Vzájomná polohapriamkya kružnice.Vzájomná polohadvoch kružníc.
Kružnicový oblúk.Kruhový výsek.
Dĺžka kružnice.Obsah kruhu.
Tálesova kružnica.
Pravdepodobnost-né hry a pokusy.
Zber a systemati-zácia údajovpri jednoduchýchexperimentoch.
Obvod a obsahlichobežníka.
Odporúčaný výkonový štandard
vedieť zostrojiť dve rovnobežné priamky, ich priečku, určiť a vymenovaťsúhlasné/striedavé uhly, poznať ich vlastnosti a vedieť dopočítať ich veľkosťpodľa jedného zadaného uhla, riešiť úlohy s využitím týchto vlastností;
načrtnúť, pomenovať a popísať rovnobežníky, uviesť príklady rovnobežní-kov zo života, poznať ich základné vlastnosti (o stranách, vnútorných uhloch,uhlopriečkach a ich priesečníku), správne rozlišovať (vysvetliť rozdiel) pravo-uhlé a kosouhlé rovnobežníky, skonštruovať rovnobežníky a správne označiťich základné prvky, zostrojiť a odmerať v rovnobežníku jeho výšky;
načrtnúť, pomenovať lichobežník, popísať jeho základné prvky, na základezadaných prvkov a konštrukčného postupu vedieť zostrojiť ľubovoľný licho-bežník, poznať rovnoramenný a pravouhlý lichobežník, popísať ich vlastnosti,vedieť ich narysovať (skonštruovať), narysovať a odmerať výšku lichobežníka;
poznať základné vzorce na výpočet obvodu a obsahu trojuholníka, rovno-bežníkov (štvorec, kosoštvorec, obdĺžnik, kosodĺžnik) a lichobežníka, vedieťvypočítať obvod a obsah týchto útvarov, riešiť kontextové a podnetové úlohyzo života s využitím poznatkov o obsahu a obvode trojuholníka, rovnobež-níkov a lichobežníka (s využitím premeny jednotiek dĺžky a obsahu).
načrtnúť kocku, kváder, hranol vo voľnom rovnobežnom premietaní, po-znať vlastnosti podstavy a plášťa hranola, určiť počet vrcholov, hrán a stien ľu-bovoľného hranola, zostrojiť sieť kolmého hranola, uviesť príklady zo života;
poznať vzorce na výpočet povrchu a objemu hranola, vedieť ich aplikovaťpri riešení konkrétnych príkladov, vedieť vypočítať povrch a objem hranola.
zostrojiť a zapísať kružnicu/kruh s daným polomerom (alebo priemerom),vedieť vysvetliť vzťah medzi polomerom a priemerom;
určiť vzájomnú polohu kružnice a priamky, zostrojiť dotyčnicu ku kružnicis určeným dotykovým bodom, zostrojiť dotyčnicu ku kružnici určeným bo-dom ležiacim mimo kružnice, opísať postup týchto konštrukcií, popísať vzá-jomnú polohu dvoch kružníc, vedieť vypočítať vzdialenosť stredu tetivy odkružnice, nadobudnuté vedomosti aplikovať pri riešení kontextových úloh;
vedieť na kružnici vyznačiť kružnicový oblúk k prislúchajúcemu stredové-mu uhlu, vedieť vyznačiť kruhový výsek prislúchajúci k stredovému uhlu;
poznať približné hodnoty Ludolfovho čísla, poznať základné vzťahy pre vý-počet dĺžky kružnice (obvod kruhu) a obsahu kruhu, vedieť vypočítať dĺžkukružnice (obvod kruhu)/dĺžku kruhového oblúka a obsah kruhu/kruhovéhovýseku/medzikružia (aj v slovných úlohách);
poznať pojem Tálesova kružnica, popísať a zrealizovať jej konštrukciu,využívať vlastnosti Tálesovej kružnice v kontextových úlohách, využívaťvlastnosti Tálesovej kružnice v konštrukčných úlohách.
získať skúsenosť z porovnávania rôznych udalostí z pohľadu pravdepo-dobnosti, vedieť uskutočňovať jednoduché a primerané experimenty, rozlíšiťa posúdiť isté/možné/nemožné udalosti, vedieť rozhodnúť o pravdepodob-nosti udalosti, vyjadriť pravdepodobnosť udalosti zlomkom a percentami;
vedieť spracovať, systematicky zhromažďovať a triediť údaje v experimen-te, vybrať štatistický súbor, vypočítať aritmetický priemer z primeraných úda-jov, zaznamenávať a usporadúvať údaje do tabuľky, interpretovať údaje z ta-buľky, diagramu/grafu, znázorniť zaznamenané údaje diagramom/grafom.
Úloha 1
Úloha 2
Pripomíname pojmy, s ktorými sažiaci budú stretávať počas celejkapitoly. Zopakujte si vlastnostisúhlasných a striedavých uhlov.My sme vyznačili iba jednudvojicu súhlasných a striedavýchuhlov.
Veľkosti uhlov môžeme počítaťvychádzajúc z vlastností vnú-torných a vonkajších uhlov troj-uholníka alebo z dvojíc uhlov(súhlasné, vrcholové, susedné,poprípade aj striedavé).
22. zošit
= 40
= 60
= 80
= 60
°
°
°
°
p l
a
b
Úloha 4
b)
Zdôvodňujeme na základe vlast-ností rovnobežných priamok –priamka, ktorá ich pretína vytváradvojice súhlasných uhlov – a v prí-pade to tak nie je.
32. zošit
60°
nie sú rovnobežné
78sú rovnobežné
° uhly sú súhlasné,priamky 55 nie sú rovnobežné° =/ 54°,
sú rovnobežné
47°
83°55°
78°
120°60°
120°60°
60°
60°
60°
60°60°
60°85°
35°
85°
35°
35°
85° 85°
120°
Úloha 6V tabuľke po vyplnení peknevidieť, ktoré vlastnosti platiav rovnobežníku všeobecnea ktoré sú špecifické pre ten-ktorýrovnobežník. Upozornite žiakovna to, že tabuľku môžu používať(a je dobrým pomocníkom)pri riešení ďalších úloh o rovno-bežníkoch.
42. zošit
A
A
A
A
A
A
A
A
A
N
A
A
A
A
A
A
N
A
A
A
N
A
N
A
N
A
A
N
A
N
A
N
A
N
N
A
štvorec a kosoštvorec
kosoštvorec a kosodĺžnik
štvorec a obdĺžnik
A B
CD
ef
E F
GH
fe
K L
MN
fe fe
O P
QR
e f
M N
OP UV
X Y
e f
Úloha 8
Úloha 10
e)
Upozornite žiakov, že v teste,kde je iba jedna správna odpo-veď, by bola dobrá odpoveď ,pretože obsahuje obe možnostizodpovedajúce zadaniu.
Zadaniu vyhovuje štvoreca obdĺžnik.
52. zošit
Úloha 12
Úloha 13
Pripomeňte žiakom, že rovno-bežník má dvojice protiľahlýchstrán rovnobežné a súčet vnútor-ných uhlov trojuholníka je 180°.
Jedna z najkrajších, najľahšícha u žiakov najobľúbenejšíchdôkazových úloh.
62. zošit
ABD je rovnostranný
|<) |= 130DAB |<) |
|<) |= 50 |<) |
DCB
ABC CDA
° =
° =
+ + = 180
= 180
= 360
°
+ + °
+ + + + + °
60°
30°
60° 30°
50° 40°
40°
50° 50°50°
130°A B
C
72. zošit
rozpoľujú sa
v2
v1
v2 v1v2
v1
Najmä zo začiatku sa žiacimôžu stratiť v záplave geometric-kých značiek, ktoré pri konštruk-čných úlohách používame.Podstatné je, aby zvládli, ktoréprvky charakterizujú ten-ktorýgeometrický útvar a aby ho vedelitýmito prvkami určiť. Možno jedobrou cestou (najmä pri slabšíchžiakoch), nechať ich napríkladpostup konštrukcie napísať slova-mi, aby vám bolo jasné, v čom mádaný žiak problém. Nerozumiesamotnej podstate konštrukčnejúlohy, alebo to iba nevie „zašifro-vať“ do geometrických znakov?
Pri každej úlohe je naznačenámyšlienka riešenia náčrtom a roz-borom. Samozrejme, váš postupmôže byť niekedy odlišný od náš-ho, ale tak, ako sme každý iný,rôzne pristupujeme aj k riešeniuproblémov okolo seba.
sus
Možností, ako postupovaťpri konštrukcii štvorca, je veľa.Ponúkame jednu z ciest, ktorávyužíva konštrukciu trojuhol-níka. Každý žiak si môže vybraťsvoj spôsob, dôležité je, aby roz-bor úlohy bol správny a postupkonštrukcie zodpovedal samot-nej konštrukcii.
Úloha 1
82. zošit
A B
CD
k1
k2Náčrt: Rozbor:
ABD (sus)
k B;1( 5 cm)C
k D;2( 5 cm)
Rozbor:
| |= —|AS AC|
ABS (sus)
ASC
k S;( 3 cm)
BSD
k S;( 3 cm)
12
Rozbor:
ABD (sus)
k B;1( 4 cm)C
k D;2( 5 cm)
5 cm
5 cm
Náčrt:
Náčrt:
A B
CD
k1
k2
BA
CD
S
k
4 cm
5 cm
Úloha 5Zatiaľ čo v prvých príkladochsme konštrukcie trojuholníkapodrobne opísali, tu už volímeskratku.
92. zošit
Rozbor:
K, L; KL| |= 6 cm
k C;1( 4,5 cm)D
k A;2( 4,5 cm)
Rozbor:
M
N
k K;( 8 cm)
Rozbor:
A,B; AB| |= 5 cm
ABC (sus)
p||AB >| |=pAB 4,5 cm
p
C
D
k B;1( 5 cm)
k A;2( 5 cm)
MY, LMY|<) |= 90°
LX, KLX|<) |= 90°
KZ, LKZ|<) |= 90°
Náčrt:
Náčrt:
Náčrt:
K
A
A
L
B
B
M
C
C
N
D
D
6 cm
8 cmk
Z
Y
X
105°
k1
k2
4,5 cm
4,5 cm
5 cm
5 cm5 cm
4,5 cm
pk1
k2
102. zošit
Rozbor:Náčrt:k K;( 4 cm)
N
Rozbor:Náčrt:
| |=| |
| |= | |= —| |= 4 cm
AC BD
AS BS AC
ASD (sus)
ABS (sus)
KLM (sus)
MX||KL
Rozbor:Náčrt:
AS
AS
C
C
k S;1( 4 cm)
k S;( 4 cm)
DS
BS
B
D
k S;2( 2 cm)
k S;( 4 cm)
12
A B
CD
kS
4 cm4 cm 110°
A B
CD
k1
k2
2 cm
4 cm
S45°
K L
MN
6 cm
4 cm
k
X
120°
112. zošit
o
a
S a
S
= 462 : 11 = 42 m
= 42 : 4 = 10,5 m
=
= 10,5 = 110,25 m
Výmera ihriska je 110,25 m .
2
2 2
2
=
= 102,5 = 7 328,75 m
Ročné nájomné by bolo
S a
S
·
· 71,5
7 328,75 · 165 = 1 209 243,75 eura
1 209 243,75 eura.
b2
S
a
o a
= 45 : 5 = 9 cm
= 3 cm
= 12 = 12 · 3 = 36 cm
Útvar má obvod 36 cm.
2
150 : 50 = 3
Mohlo by vzniknúť
432 stoličkových
nôh.
480 : 40 = 12
12 · 12 · 3 = 432
a
a = 10,5 m
a = 10,5 m
480 mm50 cm
150 cm
102,5 m
71,5 m
Úloha 7Plocha sa dá „nakrájať“ naobdĺžniky aj iným spôsosbom(dva s rozmermi 18,5×3 ma dva s rozmermi 25×3 malebo po dva s rozmermi12,5×3 a 25×3 a štyri s roz-merom 3×3 m).
122. zošit
2 + 6 = 22
= 8 m
Strany obdĺžnika sú dlhé 3 m a 8 m.
a
a
2( – 3 + ) = 22
= 7 cm
bdĺžnik má obsah 28 cm .
a a
a
= 4 cm
= 28 cm
O
b
S = a · b
S 2
2
S = 2 · (31 · 3 + 12,5 · 3)
má obsah 261 m .
S = 261 m
Plocha
2
2
a
3 m
a
a
a
a – 3b = a – 3
25
31
3
12,5
3
Úloha 8
Úloha 11
Upozornite žiakov na to, že exis-tujú rôzne kosoštvorce s rovnakýmobvodom, ale s rozdielnym obsa-hom (v našej tabuľke sú to koso-štvorce so stranou dlhou 4 cm).
Ukážte žiakom, že skúšanie v ta-buľke je zmysluplné. Táto metódasa im zíde vždy, keď nebudúvedieť podobný typ úlohy vyriešiťvšeobecne.
132. zošit
o
o
a
+ 4 · 2,4 = 20
= 10,4 cm
= 2,6 cm
Pôvodný kosoštvorec mal stranu dlhú 2,6 cm.
o
o
a
– 4 · 30 = 70,8
= 190,8 mm
= 47,7 mm
Pôvodný kosoštvorec mal stranu dlhú 47,7 mm.
o a= 4
Treba ju zdvojnásobiť.
o a
o o
o a a
a a
= 4
= 2
= 2 · 4 = 4 · 2
= 2
' '
'
'
'
16
20
5
25
30
a'
5
12
4
16 10
8
4
14
1,5
11,2
2,6
10,4
a 2,4
2,4
2,4
2,4
30
30
30
Úloha 12
Úloha 13
Úloha 14
Myšlienka osovej súmernostikosoštvorca zatiaľ nie je žiakomzrejmá. Ukázať im, že uhloprieč-ka delí uhol na dva zhodné uhly,môžete napríklad preloženímkosoštvorca cez uhlopriečku.
Myšlienka tejto úlohy vychádzaz dôkazu, že ak sa uhlopriečkyrozpoľujú, tak akúkoľvek úsečkuprechádzajúcu bodom S, ktorámá koncové body na protiľahlýchstranách kosoštvorca, bod S tieždelí na polovice. Dôkaz tohtotvrdenia je založený na zhodnostitrojuholníkov (učivo vyššiehoročníka). Narysujte si dve rovno-bežky, bod v strede medzi nimi,niekoľko priamok prechádzajú-cich týmto bodom a merajte.Nechajte žiakov získať skúsenosťs týmto faktom – dokazovať homôžete, keď budete mať dosta-točný matematický aparát.
Na tento „výskum“ môžete využiťpriestor určený na túto úlohu,pretože po podrobnom preskú-maní isto aj vaši žiaci uznajú,že je o tom istom ako predchá-dzajúca úloha.
142. zošit
Ten istý kosoštvorec
ako v úlohe 13.
| |KS
| |LS
I. II. III. IV. V.
o a
SX v
S a · v
= 32 cm = 8 cm
| |= 3 cm => = 6 cm
=
Kosoštvorec má obsah 48 cm .
S = 8 · 6 = 48 cm2
2
a
o a
= 7 cm
= 4 · = 28 cm
Kosoštvorec má obvod 28 cm.
|<) |= 60BAD |<) |= 120 =>
=>|<) |= 60 |<) |= 60
ABC
ABD ADB
° => °
° => ° =>
=> je rovnostrannýABC
E
A
F
B
G
C
H
D
60°
3 cm
7 cm
S3 cm
S
I. II. III. IV. V.
Úloha 17Máte všetci rovnaké vysvedčenia?Naše majú rozmery 29,9×21,3 cm.
152. zošit
2( + 2 ) = 79,5a a
a
b a
= 13,25 m
= 2 = 26,5 m
Strany rovnobežníka majú
dĺžku 13,25 m a 26,5 m.
3,3
4,125
18
300 · 240 : (29,9 · 21,3) =. 113,05
Žofka by potrebovala
113 vysvedčení a kúsok.
Ešte musí chodiť do školy.
4,5
2,7
12,15
5,6
3,1
17,36
7,8
3,9
2,7
6
2,4
2
3,3
2,7
20
6,2
3
18,6
6,5
5,2
2,8
A B
CD
2a
b a= 2
a a
Úloha 18
Úloha 20
Úloha nie je náročná. Problémje iba v tom, že výšku v rovno-bežníku väčšinou kreslíme akoúsečku kolmú na vodorovnústranu rovnobežníka, pretožiaci na tomto obrázku výškuna stranu s dĺžkou 3 cm vlastne„nevidia“.
Posúvajte úsečku a deľte rov-nobežník v rôznych pomeroch.
XY
162. zošit
S = a v·
231 = 15,4a
·
= 15 cm
Výška rovnobežníka
má dĺžku 15 cm.
v
va
a
S = a
S
·
Rovnobežník má obsah 12 cm .
va
= 3 · 4 = 12 cm2
2
Obsah útvaru je polovica
obsahu celého rovnobežníka,
teda 24 cm .2
= va
= a
A B
CD
15,4 cm
va
3 cm
3 cm
Úloha 1Dokreslite si trojuholník s obsa-hom 14 cm .Obsahy môžete počítať, ale ajzisťovať počítaním štvorčekovv štvorcovej sieti.Je to ťažšie, ale môžete zisťovaťaj pomery obsahov a základnítrojuholníkov.
2
172. zošit
| |= 4 cmAB
ABC
ABD
ABE
ABF
ABG
ABH
ABI
ABJ
ABE
BCE
CDE
ACE
BDE
ADE
vAB
1
2
4
8
6
9
6
5
S (cm )
2
4
8
16
12
18
12
10
2
S (mm )
798
273
1 176
1 071
1 449
2 247
2
Úloha 3
Úloha 4
Upriamte pozornosť žiakovna tento príklad. Je nesmierneužitočný a zíde sa im, keď si hobudú pamätať.
Platí to aj pre iné dvojice rovno-bežníkov a rovnoramennýchtrojuholníkov? Musí byť troj-uholník rovnoramenný?Zovšeobecnite.
182. zošit
S = a v· = 24 cm
24 = ——a
2
v = 8 cm
Rovnoramenný trojuholník
má výšku dlhú 8 cm.
S = ——
S = ———— = 13,975 cm
V trojuholníku je jedna strana
a výška na ňu stále rovnako dlhá.
2
Obsahy trojuholníkov sú rovnaké.
18 : 3 = 6 cm
6 : 2 = 3 cm
= 3 · 3 = 9 cm
Menší trojuholník má obvod 9 cm.
o
A B
CD
6 cm
v
6 ·2va
a v·2
a
6,5 · 4,32
6 cm
3 cm3 cm
4 cm
K L
M
6 cm
192. zošit
SADR = —— = 15 cm2
SSCR = —— = 7,5 cm2
SABS = ——– = 15 cm2
SASR = 10 · 6 – (15 + 7,5 + 15) = 22,5 cm2
Obsah trojuholníka je 22,5 cm .2
S
S a b
b
b
= ——
= ·
21 = 10,5 ·
= 2 cm
= —— = 21 cm
Druhá strana obdĺžnika
má dĺžku 2 cm.
2
S S
S S
S
CDS SBC
SBC ASD
CDS
= 2 ·
= = —— = 24 cm
= 48 cm
2
2
3 cm
A B
C
7 cm
6 cm
a v·2
a 6 · 72
6 · 52
10 · 32
5 · 32
6 · 82
3 cm
5 cm 5 cm
K L
b
N M
10,5 cm
6 cm
Úloha 9
Úloha 11
Tak ako v úlohe 12 na s. 14.
Žiaci zvyknú kontrolovať troj-uholníkovú nerovnosť vzhľadomna súčet 5 + > 11, ale väčšinou sineuvedomujú aj nutnosť kontrolyvzhľadom na súčet 5 + 11 > .
x
x
202. zošit
S = ———– = 6,48 cm2
S
S
= 40 · 40 = 1 600 cm
= 1 600 – 4 · 6,48 = 1 574,08 cm
Obsah podložky je 1 574,08 cm .
2
2
2
| | | |
=
AX = XC
SARX —— = 20 cm =
= 8 · 10 = 80 cm
= 80 – 20 = 60 cm =
2
2
2
S
S
S S
CSX
ARSD
SDAX RBCX
Pre hľadané trojuholníky musí platiť
trojuholníková nerovnosť.
5 + > 11 a 5 + 11 >
6 < < 16
22 cm < < 32 cm
Najmenší obvod môže byť 22 cm
a najväčší 32 cm.
x x
x
o
11 cm
8 · 52
3,6 · 3,62
8 cm 8 cm
10 cm
5 cm
5 cm
X 60 cm260 cm2
20 cm2
20 cm2
40 cm
40 cm
3,6 cm
3,6 cm
x cm5 cm
212. zošit
N
A
N
A
N
N
A
N
A
A
N
A
N
A
A
N
N
A
A
N
A
N
N
N
N
A
A
Nedá sa.
Úloha 6Dvojice uhlov, vnútorné uhlyv trojuholníku i štvoruholníku –a všetko pekne zmixovanéa naservírované...
222. zošit
| |=| |
je rovnoramenný
|<) |=
PQ RP
PQR
PQR |<) |=
= (180° – 28°) : 2 = 76°
|<) |= 28 |<) |
|<) |= |<) |=>
|<) |=
|<) |= 48
QRP
QRS RSP
SPQ PQR
SPR
SPQ
° + 76° = 104° =
76° – 28° = 48°
° + 28° = 76°
|<) |=CSB 180° – 95° = 85°
|<) |= 180
|<) |= 47
|<) |= 180
|<) |= 180
|<) |= 30 <)|<) |= 180
BCS
DAS
ADS
ABS
SCD SAB
CDS
° – (85° + 40°) = 55°
° – 30° = 17°
° – (17° + 85°) = 78°
° – (95° + 30°) = 55°
° striedavý s
° – (95° + 30°) = 55°
= 47°; = 95°; = 85°; = 133°
132°
48°
132°
(360° – 2 · 48°) : 2 = 132°
48°
S
104° 76°
76°
78°30°
85°
55°
95°
55°
17°
55° 30°
Úloha 1Zamerajte pozornosť na náčrt,rozbor a konštrukciu. Šikovnížiaci môžu napísať aj postupkonštrukcie (do zošita).
232. zošit
A
A
B
B
C
C
D
D
k1
k2
k
X 4 cm
5 cm6 cm
7 cm
A B
CD
k
X
4,5 cm
5 cm60°
4 cm
5 cm
4 cm
6 cm
Rozbor:
A,B; AB| |= 6 cm
|
|
|
|
|
|
AB
AB
AB
D
C
C
k C;( 4 cm)
k D;( 4,5 cm)
k D;1( 4,5 cm)
Rozbor:
Rozbor:
ABC (sss)
ABD (sus)
CX
DX
DX
Dk B;2( 5 cm)
AY, BAY|<) |= 90°
X
242. zošit
C
D
k B;1( 4 cm)
k A;2( 4 cm)
Rozbor:
ABS (usu)
AS
BS
A B
CD
Náčrt:
S 4 cm4 cm
6 cm30° 30°
k1k2
o = a b c d
o
+ + +
= 23,6 cm
S
S
= ————
= 25,575 cm2
18,25
17,625
( + ) ·2
a c v
3,5
18,7
4,1
19,055
3,5
2,75
6
2,7
19,7
22,035
4 cm
A
B C
D
9,5 cm
7 cm
3,1 cm
252. zošit
S
S
= ————
= 15,255 m
Obsah lichobežníka je 15,255 m .
2
2
S
c
a
o
= ———— = ——–
= 7 cm
= 14 cm
= 31,6 cm
Lichobežník má obvod 31,6 cm.
S
S
R
N
= —— = 12 m
= ————— – 12 = 17,25 m
Viac bude zametať Norbert.
2
2
N: n n
R: n n
5,4 + 5 + 1,5 + = 11,9 +
8 + 3 + = 11 +
Norbert má viac o 0,9 m.
( + ) ·2
a c v
( + ) ·2
a c v
8 · 32
(8 + 5) · 4,52
A B
CD
5,3 cm
2c
4 cm
c
n
3 ·2
c v
262. zošit
ADEI
ABHI, ACEI, CDFG, BDFH
—
BCGH
—
DEF
BDEH, CDEG
ADEH
230
ABHI
60
ACGI
110
CDFG
105
BDFH
155
BCGH
50
DEF
15
BDEH
170
CDEG
120
Lichobežník: A D
EI
B C
FGH
23
Geometrický útvar
obsah (cm )2
S
S
= ———–– = 27,5
= 2 · 5 = 10
S = 17,5
Trojuholník má obsah 17,5.
(9 + 2) · 52
Úloha 3Úloha 4Niektorí žiaci nevidia rovnobež-níky v obdĺžnikoch. Preto je imriešenie vzdialené. Možno bypomohlo vystrihovanie.
272. zošit
S chodníkom
c
bez
hodník
chodníka
Časť
A
B
C
D
o: A = D < B < C
s: B < A = D = C
= 21 · 12,5S = 262,5 m
= 1,6 · 12,5 = 20 m
= 242,5 m
2
2
2
S
S
obvod (cm)
32,6
34,2
35,2
32,6
obsah (cm )
44
38,5
44
44
2
A DB C
6 = ——
12 = ·
12 =
Dĺžka úsečky je 12 cm.
v
v x v
x
XY
x v·2
v
x
Úloha 6
Úloha 8
Vlastne sme urobili dôkazo veľkosti dĺžky strednej priečkytrojuholníka (zatiaľ iba rovno-stranného).
Najlepšie žiakov presvedčítekreslením. Dôležitý príklad.
282. zošit
| |=| |= 2,5 cm
|<) |= 6
CM CN
CAB 0°
je rovnostranný
=> | |= 2,5 cm
MNC
MN
Áno (úloha 6).
Áno
= (10 + 35) · 2 = 90 cmo
MNC:
ABC:
MNC:
ABC:
o1 = 3 · 2,5 = 7,5 cm
o2 = 3 · 5 = 15 cm
o a1 = 3
o a a o2 1= 3 · (2 ) = 2 · 3 = 2
| |=| |
||
Lichobežník je rovnoramenný.
MA NB
MN AB
C
BA 5 cm
2,5 cm 60° 2,5 cm
Úloha 10Opäť je kreslenie najlepšou me-tódou na riešenie tohto príkladu.Možno bude treba niektorýmžiakom ukázať myšlienku štrnástin.Keďže zvyšok obvodu sú tri sed-miny, je lepšie hovoriť o nich akoo šiestich štrnástinách, a potomuž vieme, že hľadaná strana tvorítri štrnástiny obvodu.
292. zošit
6 cm
|
|
|
|
AB
AB
D
D
A
C
k A;( 3 cm)
k C;3( 4 cm)
k B;2( 5 cm)
k B;1( 4 cm)
Rozbor:Náčrt:
Náčrt:
Náčrt:Rozbor:
8 cm = — o
8 · 7 = 2
8 cm =
(28 – 2 · 8) : 2 = 12 : 2 = 6 cm
Druhá strana rovnobežníka
má dĺžku 6 cm.
o
2 o
27
ABC (sss)
XBC |XB|= 1 cm
|= 90°|<) BXY
CX
CZ
BX
XY
A B
CDk
X
4 cm
5 cm 3 cm
A B
CD
8 cm
2 cm
A B
CDk3
Z
4 cm
4 cm
1 cmX
Yk1
k2
4 cm
302. zošit
S
a
a
= 9 cm
= 3 cm
8 = 24 cm dĺžka jednej čiary
horizontálnych 9 čiar
vertik
2
álnych 9 čiar
18 · 24 = 432 cm
Všetky čiary majú dĺžku 432 cm.3 cm
24 cm
Náčrt:
A B
CD
5 cm
10 cm
2 cmX
Y
k1
k2
7 cm
||AXD
B
k C;2( 5 cm)
k A;1( 7 cm)
Rozbor:
AXC |AX|= 5 cm
|= 130°|<)|= 10 cm
AXC
|AC
CY
AX
5 cm
50° 50°130°
21
5= 105
Písmenko
obsah (štvorčekov)
K
10
O
12
N
12,5
E
10
C
9
spolu
58,5
I
5
Projekt EuklidesVieme, že uhlopriečka delí obdĺž-nik na dva zhodné trojuholníky.Z každého trojuholníka sme„odrezali“ dva rovnaké trojuhol-níky B a C. Z toho vyplýva, že to,čo nám zostalo z jedného ajz druhého trojuholníka, musímať rovnaký obsah (A)
312. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Úloha 3
Opakujeme základné pojmy.Ak si žiaci pri riešení ďalších úlohnebudú vedieť spomenúť na nie-ktorý z pojmov, môžu sa vrátiťk tejto úlohe.
Cieľom je, aby si žiaci uvedomili,aké typy trojbokých hranolovmôžu pri riešení úloh stretnúť,ktoré vlastnosti majú spoločné(podstava trojuholník, 3 bočnésteny, 6 vrcholov) a ktoré rozdiel-ne (rôzny tvar podstavy, čo všaknemá vplyv na výpočet povrchua objemu trojbokého hranola).Pri každom telese si môžete na-písať vzťah na výpočet povrchua objemu. Telesá sme umiestniliaj v atypických polohách, pretoniektorí žiaci môžu mať probléms rozpoznaním trojbokých hrano-lov. Pomohlo by vyrobiť si modelkaždého hranola, prezerať si hov rôznych polohách a zakresliťvo voľnom rovnobežnom pre-mietaní.
Cieľom je, aby si žiaci uvedomili,aké typy štvorbokých hranolovmôžu pri riešení úloh stretnúť,ktoré vlastnosti majú spoločné(podstava štvoruholník, štyribočné steny, 8 vrcholov) a ktorérozdielne (rôzny tvar podstavy,čo však nemá vplyv na výpočetpovrchu a objemu štvorbokéhohranola). Pri každom telese simôžete napísať vzťah na vý-počet povrchu a objemu.
322. zošit
horná podstava
podstavou je trojuholník; 6 vrcholov; 5 stien
rôzne tvary podstavy
podstavou je štvoruholník; 8 vrcholov; 6 stien
rôzne tvary podstavy
dolná podstava
hrana podstavy
vrchol
bočná stena
bočná hrana
3
3
4
4
2
2
1
1
Úloha 4
Úloha 5
Úloha 6
Žiaci by si prostredníctvom úlohymali uvedomiť, že pre pravidelný6-boký ( -boký) hranol je charak-teristické, že všetky jeho bočnésteny sú zhodné.
Pri riešení tejto úlohy môžete vy-chádzať z úloh 2 až 4 (s. 32 a 33).Myslíme si, že pre žiakov nebudeťažké zovšeobecniť získané poz-natky pre -boký hranol. Ak sa tokaždému z nich nepodarí, nevadí.Podstatná je činnosť, ktorú budúpri riešení úlohy vykonávať (na-kresliť si 3-boký, 4-boký, 5-boký,6-boký, 7-boký... hranol, počítaťvrcholy, hrany, steny a snažiť sao zovšeobecnenie).
Doplnenie tretieho tvrdenia môžebyť pre niektorých žiakov proble-matické – pochopenie výšky hra-nola ako vzdialenosti dvoch rovínje náročná predstava. Kreslite,rozprávajte sa, vysvetľujte.
n
n
332. zošit
Pravidelný 6-boký hranol má všetky bočné steny zhodné.
obdĺžnik.
štvoruholník.
vzdialenosť jeho podstáv.
rovnostranný trojuholník.
6
8
10
12
2n
troj
-uholník
uholník
štvoruholník
päťuholník
šesťuholník
n
9
12
15
18
3n
5
6
7
8
+ 2n
3
4
5
6
n
Pripravené náčrty jednotlivýchtelies využite na to, aby si žiacido nich vyznačili dĺžky, ktorémajú dané. V ďalšom kroku simôžete farebne vyznačiť podsta-vu, aby ste ľahšie identifikovalijej tvar, čo vám môže pomôcťpri výpočte jej obsahu a potompri výpočte povrchu a objemutelesa.
342. zošit
a
v
V
S
= 15 cm
= 20 cm
= ? cm
= ? cm
3
2
a
b d
c
v
= 12 cm
= = 5 cm
= 6 cm
= 4 cmp
( + ) ·2
a c vp ( + ) ·2
a c vpV v= ————– ·
V = 720 cm3
S a b c v
S
= 2 · ————– + ( + 2 + )·
= 632 cm2
a
b
c
V
S
= 17 cm
= 13 cm
= 20 cm
= ? cm
= ? cm
3
2
V S v
V
= ·p
a v
V
= ·
= 4 500 cm
2
3
v
S
= 20 cm
= ? cm
V = ? cm3
2
V abc=
V = 4 420 cm3
= 2
= 2 + 4
= 1 650 cm
S S + Q
S a av
S
p
2
2
= 2( )
= 1 642 cm
S ab + ac + bc
S 2
20 cm
20 cm
20 cm
15 cm
17 cm
6 cm
15 cm
13 cm
5 cm
12 cm
4 cm
352. zošit
a v·2
a a b·2
a v·2
a a b·2
6 ·2
a va
6 · 0,5 · 0,432
V v= –—— ·
V
S av
S
= 107,5 cm
= 2 · –—— + 3
= 171,5 cm
3
2
V v= —— ·
V
S a b c · v
S
= 240 cm
= 2 · —— + ( + + )
= 288 cm
3
2
Sp = ———
S
S
Q a · v
Q
p
p
= —————–
= 0,645 m
= 6
= 7,5 m
2
2
a
v
v
V
S
= 5 cm
= 4,3 cm
= 10 cm
= ? cm
= ? cm
a
3
2
a
b
c
v
V
S
= 6 cm
= 8 cm
= 10 cm
= 10 cm
= ? cm
= ? cm
3
2
a
v
v
= 0,5 cm
= 0,43 cm
= 2,5 ma
V Sp · v
V
V
=
= 0,645 · 2,5
= 1,6125 m3
S Sp + Q
S
S
= 2
= 2 · 0,645 + 7,5
= 8,79 m3
6 cm5 cm
8 cm4,3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
Na tejto strane už žiakom nepo-núkame náčrty telies (jednouzo zručností, ktoré majú zvlád-nuť, je aj kreslenie obrazov teliesvo voľnom rovnobežnom pre-mietaní).
Pri riešení úlohy (aj ostatných) vo-líme postupné počítanie medzi-výsledkov a ich dosadzovanie doďalších vzťahov. Na to, aby vyjad-rili najprv vzťah na výpočet výškyhranola pomocou premenných
v = —————
žiaci ešte nemajú zodpovedajúcezručnosti.
Úloha 5
362. zošit
V
v
= 648 cm
= ? cm
3
a
c
v
= 10 cm
= 8 cm
= 6 cmp
Kocka
= 15 cm
=
= 3 375 m
a
V a
VK
K
3
3
S
S
p
p
= ————–
= 54 cm2
V S v
v
= ·
= 12 cmp
V
v
S
= 350 dm
= 5 dm
= ? dm
3
2p
V S v
S
= ·
= 70 dmp
p2
Hranol
= 10 125 m
= 15 m
V
vH
H
3
V S v
SH p H
p
= ·
= 675 m2
( + )2
a c · vp
50 cm
10 cm
6 cm
8 cm
2( + )
Va c vp
Vo väčšine úloh hľadáme kolméhranoly v tvaroch okolo nás.
Úloha sa dá vyriešiť pomocou vý-razov alebo jednoduchou úvahouo delení hranola na dve zhodnéčasti a o rovnosti objemov týchtočastí. Ak ani jedna z týchto metódnie je zatiaľ žiakom blízka, môžeteúlohu riešiť tak, že si vymyslia roz-mery kvádra, rozdelia ho a budúpočítať a porovnávať vzniknutéobjemy.
Na výpočet obsahu podstavy šesť-uholníka potrebujú žiaci poznaťvýšku rovnostranného trojuholníkaso stranou 5 cm. Tento údaj nájduv zadaní a) úlohy 2 na s. 35.
Môžete vypočítať, koľko je to dní,týždňov (pracovných týždňov)a pod.
Úloha 1
Úloha 2
Úloha 3
372. zošit
S S Q
S ab + a b v
S
—S
= +
= 2( + ) ·
= 2 385,44 m
=. 1 590 ,3 m .......... 4 770,9 min
79,5 hod
p
2
213
a v·2
a
23
a v·2
a
12
12
12
12
a b·2
a v·2
V S v
V
= ·
=p
—— · = — · = —v ab v Vk
V S b
V
= ·
=p
—— · = — · = —b ab v VkKváder
= aVk · ·b v
ab
v
a
bab
v
a
v
v
V v
= 5 cm
m
= 20 cm
= 6 · ——– ·
a = 4,3 c
= 1 290 cmV 3
S av= 2 · 6 · ——– + 6
S = 729 cm2
V = ? cm3
S = ? cm2
a
b
c
........
= 61 m
m
= 3,2 m
1 m 3 min
okná ....... — plochy
Vymaľovanie bude trvať približne 79,5 hodiny.
= 29,6
2
205
4,3
Úloha 5
Úloha 6
Teleso môžete deliť rôznymispôsobmi, sami sme zvedaví,koľko sa ich podarí vymyslieťvašim žiakom. V každom prípa-de veríme, že vám vyjde takýistý výsledok ako nám.
Trojboký hranol sa dá z kvádravyrezať aj zo stredu (vznikne tu-nel). Diskutujte so žiakmi o tom,či a ako to zmení výsledky rieše-nia (objem sa nezmení, povrchtelesa s tunelom bude väčšío 2 · 7 · 20 = 280 cm ).Iná situácia, samozrejme, na-stane, ak zmeníme vzájomnúpolohu hranola a kvádra. Nájdusa v triede aj takéto riešenia?
2
382. zošit
6,44 · 1,2 – 5,15 · 0,7 = 4,255 m =2 Sp
V = 9,7865 m3
S S Q= 2 +
= 47,38 m
p
= 2 · 4,255 + 2,3 · (6,55 + 1,2 + 0,7 + 0,7 +
+ 5,15 + 0,7 +0,7 + 1,2)2
S
S
S
S
V S v
p
p
p
= 10 · 15 – ——
= 144 cm
= ·
2
V
V
S S Q S o v
S
S
S
= 144 · 20
= 2 880 cm
= 2 · + = 2 · + ·
= 2 · 144 + (10 + 15 + 7 + 5 + 11) · 20
= 288 + 960
= 1 248 cm
3
2
p p p
4 · 32
a
b
c
V
= 40 cm
m
= 14 cm
= ? cm
= 40 c
3
V = abc
V = 22 400 cm = 22,4 dm
1 dm .............. 1 euro
22,4 dm .......... 22,4 eura
3 3
3
3
Torta by stála 22,40 eura.40 cm
14 cm
5,15 cm
40 cm
10
20
7 3
15
45 11
Úloha 7
Úloha 8
Úloha 9
Nech si žiaci rozhodne načrtnúteleso základov. Ich objem sa dápočítať rôznymi spôsobmi – podľatoho, ako budú teleso základovdeliť na jednotlivé hranoly.
S najlepšími žiakmi môžete úlohuvyriešiť aj všeobecne: „Ako sazmení objem kvádra, ak sa jehorozmery zmenšia na polovicu?“
= — · — · — = ————— = —
Objem sa zmenší na osminu pô-vodného objemu.
Úloha je určená predovšetkým žia-kom so zvýšeným záujmom o ma-tematiku. Ak máte pocit, že mátetakých žiakov a nudia sa na hodi-nách, prípadne vyrušujú ostatných,táto úloha ich zamestná na dosta-točne dlhý čas.Úloha je jednoduchá, ak ovládamepočítanie s mocninami a uvedo-míme si, že ak súčin má byť treťoumocninou prirodzeného čísla, číslo1 331 môžeme násobiť iba treťoumocninou prirodzeného čísla(súčin mocnín je mocnina súčtu).S celou triedou sa k nemu môžetevrátiť v nasledujúcom školskom ro-ku po tematickom celku .Teraz dajte žiakom kalkulačkya dostatok času, nech skúsia tútozákonitosť objaviť.
V'
Mocniny
392. zošit
4 = 10,175 m
= 40,7 m
= 10,175 m
= 1,2 m
= 0,4 m
– ( – 2 )( – 2 )
=. 18,768 m
o
a
b
c
V = aab a c a c b
V 3
a
b
c
V = abc
V
= 6 cm
= 4 cm
= 2 cm
= 48 cm3
a
b
c 1
V = a b c
V
= 3 cm
= 2 cm
= cm
= 6 cm
'
'
'
' ' ' '
' 3
— = — = —
= —V V'
Za 7 dní minula — mydla. Vydrží jej ešte 1 deň.78
18
648
18
40,7 :
a = 22 cm
a
a
= 33 cm
= 44 cm
V = (11 · 2) = 22 = 10 648
= (11 · 3) = 33 = 35 937
= (11 · 4) = 44 = 85 184
3 3
3 3
3 3
V
V
x = 2
x
x
= 3
= 4
1 331 = 113
Hrana kocky je menšia sko 47 cm.
99 999 =. 46,4
V x= 1 331 · 3
11x
11x11x
4 cm2 cm
6 cm
10,175 m
0,4 m
1,2 m
VV
'
3
V8
a2
b2
c2
abc2 · 2 · 2
Úloha 10
Úloha 11
Úloha 12
V prvom spôsobe výpočtu smenajprv počítali objem krémešaa objem vagóna a potom početkusov. V druhom spôsobe smevypočítali, koľko kusov krémešovsa zmestí na výšku, na šírku a nadĺžku, a nakoniec sme ich všetkyspočítali. Ktorý spôsob budeprevládať vo vašej triede?
Môže vzniknúť diskusia, či mápodstavec aj spodnú podstavuplechovú. My si myslíme, že áno,a tak sme úlohu aj riešili.
Slovné spojenie „voda siahado výšky troch štvrtín hĺbky“sa môže zdať nezmyselné či ko-mické. Podarí sa žiakom vymys-lieť formuláciu, ktorá presnejšievystihuje podstatu zadania úlohy?
402. zošit
VV = 21 · 35 · 4,2 = 308,7 m
= 0,07
= :
3
3V
p V VK
V K
21 : 0,07 = 300 kusov na dĺžku
4,2 : 0,07 = 60 kusov na šírku
3,5 : 0,07 = 50 kusov na výšku
= 300 · 60 · 50 = 900 000 kusovp
= 0,000 343 m
= 900 000 kusov
3
I.
II.
a
b
c
v
v
V
S
= 1 m
= 0,9 m
= 0,45 m
= 0,86 m
= 4 m
= ? m
= ? m
p
3
2
Zostávajúci objem
= —
= 1,875 m
2 m > 1,875 m
Kameň do akvária vložiť nemôžeme.
V ab c
V 3
3 3
V v
V
S
S
= –———— ·
= 2,494 m
= 2 ·
= 14,247 m
3
2
–———— + ( + 2 + ) ·a b c v
14
—c
ab
14
( + ) ·2
a c vp
( + ) ·2
a c vp
Úloha 13
Úloha 14Úloha 15Úloha 16
S touto problematikou mali žiacimožnosť stretnúť sa už minulýškolský rok, keď sme v Pomocníkuriešili problém duplicity kocky privýlete na ostrov Délos vstarovekom Grécku. Riešenie tejtoúlohy by ste mali začať odposlednej otázky a najprv si s celoutriedou ujasniť, čo rozumietepojmom dvakrát väčší kváder.Nemusíte to však urobiť, o tozaujímavejšia bude diskusia ovýsledkoch.
Všetky tri úlohy sa venujú spostupnou gradáciou rovnakémuproblému: ako sa zmení objemkvádra, ak zmeníme jeho rozmery?Ak niektorí žiaci ešte nebudú vidieťriešenie vo všeobecnej rovine,nech si vymyslia rozmery kvádra apočítajú. S podobnými príkladmi sado konca základnej školy stretnúešte veľakrát a budú mať možnosťkomplexnejšie preniknúť do tajovpráce s premennou.Z nášho pohľadu je dôležité, abyžiak neostal sedieť so založenýmirukami, keď takúto úlohu nevievyriešiť všeobecne, aby si našielspôsob ako nájsť výsledok. Ide námo to, aby sa žiaci naučilizovšeobecňovať - a toto je jeden zospôsobov ako začať.
412. zošit
a
bc
a
V abc
a
=
= 2
=
=
Objem sa zväčší dvojnásobne.
a
b b V
c c
'
' ' = a'b'c' abc V
'
= 2 = 2
V abc
a
=
= 2
= —
=
Objem sa zväčší o jednu tretinu.
a
b b V
c c
'
' ' = a'b'c' a—bc V
'
= 2 = —abc = 1—
V abc
a
=
= 2
= —
= —
Objem sa zväčší o dve tretiny.
a
b b V
c c
'
' ' = a'b'c' a—b—c V
'
= 2 = —abc = 1—
23
2354
23
23
54
43
53
13
23
Úloha 17Niečo na rozptýlenie. Pravidel-nosti (a tu je pravidelností viacnež dosť) žiakov lákajú a keďbudete mať dosť času a chuti,môžete si z papiera vyrobiťmodely jednotlivých telies.Posledný stĺpec tabuľky je ilus-tráciou Eulerovej vety, ale o tomniekedy inokedy.
422. zošit
4
8
20
12
Tetraéder
Hexaéder
Oktaéder
Ikosaéder
12
12
30
30
4
8
12
20
2
2
2
2
2
4
4
6 68
8
12
12
20
20
8
20
4
6
12
Projekt PyramídyPodarí sa žiakom nájsť ďalšiepodobné údaje o pyramídachči iných svetových stavbách?Celkom pekný námet na projekt,najmä ak ho spojíte s tvorboua riešením úloh na danú proble-matiku.
432. zošit
1 200
Trojboký hranol = 360 dmV 3 Hranol = 720 dm
720 = 1,5 · 4 ·
=1 200 cm
V
v
v
3
Štyri steny 20 000 m
Jedna stena 5 000 m
5 000 = ———
= 100 m
2
2
v
Objem vhadzovaných kociek:
1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 l
225 + 25 = 250 l
Na začiatku bolo v nádrži 250 litrov vody.
V n V= 12,5 · 80 · 4 = : 4
V n= 4 000 m = 1 000
Do haly by sa zmestilo 1 000 ľudí.
3
100 ·2
v
250
1000
100
Úloha 1Úloha 2Opakujeme základné pojmysúvisiace s kružnicou a kruhom,pripomíname rozdiel medzimnožinou bodov, ktoré tvoriakružnicu, a množinou bodov,ktoré tvoria kruh.
442. zošit
Kružnica: množina bodov roviny, pre ktoré platí | |= („čiara“)
Kruh: množina bodov roviny, pre ktoré platí | | (plocha)
XS r
XS r
S1 S2
k1
k2
A
B
D1
D2
C
Úloha 1
Úloha 3
a)
Vo väčšine úloh kreslíme jednutetivu kružnice s danou dĺžkou(maximálne dve). Môže to u žia-kov vyvolať dojem, že viac tetívdanej dĺžky neexistuje. Preto jetu zadanie . Upozornite žiakov,že je rozdiel, či sa pýtame na teti-vy, ktorých krajný bod je v danombode na kružnici (vtedy sú dve,prípadne jedna, ak je súčasnepriemerom kružnice), alebona všetky tetivy s danou dĺžkou(tých je nekonečne veľa).
Základom je uvedomiť si, že naj-dlhšia tetiva je súčasne priemeromkružnice.
452. zošit
nekonečne veľa
7 cm
2 (1; 0)
| |=| |= 5 cm
5 < 2 2 tetivy
AP BP
r
| |= 6 cm
6 = 2 1 tetiva
| |= 8 cm
8 > 2 0 tetív
CP
r
XP
r
S
kB
A
S
kB
A
S
k
B
A
PC
k5k6k8
Úloha 4
Úloha 5
Úloha 6
Tetiva a polomery vytvárajúrovnostranný trojuholník, ktoréhovnútorné uhly majú veľkosť 60°.
Priamka prechádzajúca stredomkružnice a stredom tetivy jekolmica na tetivu. Postupnežiakov zvykáme, aby sa naučilizapisovať postup konštrukciegeometrickej úlohy. Začínamejednoduchými konštrukciami.
Základom riešenia je uvedomiť si,že os tetivy prechádza stredomkružnice. Postupne žiakov zvy-káme, aby sa naučili zapisovaťpostup konštrukcie geometrickejúlohy. Začíname jednoduchýmikonštrukciami.
462. zošit
| |=| |=| |=
je rovnostranný
AC AS SC r
ASC
|<) |= 60°
| |=| |=| |=
je rovnostranný
|<) |= 60°
|<) |=|<) |+|<) |= 120°
SAB
AB BS SA r
ABS
SAC
BAC SAB SAC
1. ; ( ; 3,5 cm)
2. ; | |<
3.
k k S
T T S TS r
ST
p p ST T p
A, B; A p k
B p k
4. ;
5.
1.
2. ; je os
3.
A, B, C; A k
B k B A
C k C A B
o o BC
S S o o
; je os
4. ;
o o AB1 1
2 2
1 2
120°
S
k
B
A60°
C
r 60°
r r
r r
S
k B
A
T
p
S
k
B
C
A
o2
o1
Úloha 7
Úloha 8
Úloha 9
Spoločná tetiva musí mať dĺžkuako najväčšia možná tetiva v men-šej kružnici – a to je jej priemer.
Nechajte žiakov narysovať niekoľ-ko bodov s danou vlastnosťoua potom vysloviť záver o množinevšetkých bodov s danou vlastnos-ťou.
Uvidia žiaci hneď na prvý pohľadsúvis medzi touto a predchádza-júcou úlohou?
472. zošit
1. ; ( ; 4 cm)
2. ;
3.
k k S
A A k1 1
1
k k A
B; B k k
p p AB S p
S ; S AB p
k k S
A k
B k
; ( ; 5 cm)
4.
5. ;
6.
7. ; ( ; 2,5 cm)
Skúška:
1
1
2 2
2 2 2
2
2
kružnicu ( ; —| |) okrem boduk X AS Ax12
1. k k S r
K K k
3. X X KS XS XK
k k X XS
; ( ; )
2. ;
; | |=| |
4. ; ( ; | |)x x
S
S1
k1
B
A
pS2
k2
k
A
k
X
kx
S
k
K
X
kx
Úloha 1
Úloha 2
Úloha 3
Pripomíname pojmya .
Nech žiaci pomenujú každúpriamku (vzhľadom na jejpolohu ku kružnici) a potomvyznačia spoločné body.
Úloha je špeciálne zameranána podstatnú vlastnosť dotyč-nice – kolmosť na priamkuprechádzajúcu stredom kruž-nice a dotykovým bodom.
nesečnica,sečnica dotyčnica
482. zošit
s ...
k s = A; B
sečnica
s ...
k t = T
n ...
k n
dotyčnica
nesečnica
= 0/
{ }
{ }
1.
2.
ST
t t ST T t;
dotyčnica
sečnica
nesečnica
k
t
AS
T
B
S
T
t
A
Bsn
Úloha 4
Úloha 5
Úloha 6
Žiakom treba neustále pripo-mínať, že ak chceme narysovaťdotyčnicu ku kružnici, musímepoznať bod dotyku. V tomtobode potom rysujeme kolmicuna priamku prechádzajúcu stre-dom kružnice a bodom dotyku.V úlohe dostaneme body dotykuako priesečníky kružnice s jejpriemerom.
Bod dotyku dostaneme ako prie-sečník priamky, ktorá prechádzastredom kružnice a je kolmána priamku .
Ak zostrojíme priamku prechá-dzajúcu bodom tak, aby bolakolmá na priamku , ich prie-sečník nám určí bod dotyku.Vzdialenosť je polomeromhľadanej kružnice.
p
St
ST
492. zošit
1. ; ( ; 3,5 cm)
2. ;
3.
k k S
p p k
m m p S m
T T k m
t; t m T t
= 0/
;
4. ;
5.
rovnobežné ( || )t ta b
1.
2.
3.
p; p t S p
T T t p
k k S ST
;
; ( ; | |)
S
k
B
A
tatb
S
k
T1
t1p
m
T2
t2
T
p
k
Úloha 7
Úloha 8
Úloha 9
a)
b)
Polomer kružníc sme zvolili tak,aby žiaci po narysovaní dostalivšetky tri vzájomné polohy priam-ky a kružnice a mohli zapísať,čo platí pre veľkosť polomerua vzdialenosť stredu kružniceod priamky.
V zadaní dostaneme boddotyku ako priesečník kružnices priamkou, ktorá je rovnobežnás priamkou a prechádza stre-dom kružnice.V zadaní dostaneme boddotyku ako priesečník priamky,ktorá je kolmá na priamkua prechádza stredom kružnice.
Opakujeme učivo 6. ročníkaUhol, konkrétne dvojice uhlov.
b
b
502. zošit
t b
t b
t b
t b
1
2
3
4
||
||
dotyčnica
sečnica
nesečnica
=
>
<
= 60°
= 80°
= 90°
= 90°
30° 30°
70°40°
t1 t2
t3
t4
T1
T2
T3
T4
Úloha 3
Úloha 4
c)
c)
Precvičujeme výpočet dĺžky kruž-nice. Najmä zadanie môženiektorým žiakom robiť problémy.Ale takéto „hranie sa“ s písmen-kami je určené najmä pre týchšikovnejších.
Opäť upozorňujeme na zadanie, ktoré môže byť zatiaľ pre nie-
ktorých žiakov problematické.
512. zošit
B
d
A
r
k
l
l
= 2
=
r
d
l = 2
= 25,12 m
r
l
l = 2
= : 2
= 3 cm
r
r l
r
l = 2
= 19,72
r
l
l = 2
= : 2
=
r
r l
r r
l =
= 31,4 cm
d
l
l = 2
= : 2
= 1,51 cm
r
r l
r
Úloha 5
Úloha 6
Základom riešenia je nakresliť sidobrý obrázok. My sme postu-povali tak, že sme si uvedomili,koľko kružníc a s akým polome-rom sa dá poskladať z každejvlnovky. Iný postup je, že si vy-počítame dĺžku jednej polkruž-nice a vynásobíme ju počtompolkružníc.
Môžete počítať prejdenú dráhuna hodinách na najbližšej kos-tolnej veži, na vašich hodinkách,dráhu prejdenú za mesiac, rok,storočie...
522. zošit
l = 2 — = r
l = 2 · 2 — + — = r
a)
b)
c)
1 hodina
1 deň
1 týždeň
1 deň
1 týždeň
1 deň
1 týždeň
l
l l
l l
l
l l
l
l l
H
D H
T D
D
T D
D
T D
= 2 · 12
= 24
= 7
= 2 · 2 · 6
= 7
= 2 · 2 · 12
= 7
l
l
l
l
l
l
l
H
D
T
D
T
D
T
= 75,36 cm
= 1 808,64 cm
= 126,604 8 cm
= 75,36 cm
= 527,52 cm
= 150,72 cm
= 10,550 4 cm
l = 2 · 2 — = rd4
d10
d8
—d4
d10
—d8
—d10
Základom riešenia úloh na tejtostrane je uvedomiť si vzťah:aká časť 360° uhla tvorí kruhovývýsek, taká časť obvodu kruhumu prislúcha.
Toto sú otázky, s ktorými sa žiacimôžu stretnúť na rôznych testoch.Nie vždy vedia na ne pohotovoodpovedať. Ak im robí problémnájsť správnu odpoveď na základemanipulácie so vzorcom na výpo-čet dĺžky kružnice, nech si najprvvezmú pár konkrétnych veľkostípolomerov, počítajú dĺžky kruž-níc a hľadajú vzťah.
Úloha 7
532. zošit
2 -krát
-krát
zdvojnásobí sa
180° = — · 360°
= — · 36
= 18 m
l
l
30° = — · 360°
= — · 36
= 3 m
l
l
90° = — · 360°
= — · 36
= 9 m
l
l
120° = — · 360°
= — · 36
= 12 m
l
l
10 cm = — · 40 cm
|<) |= — · 360°
|<) |= 90°
ASB
ASB
l
l
r
r
r
= + 5
= 4 · ( + 5)
2 = 4 + 20
= ———–
= 5,18 cm
kruhu
24 cm ............ 360°
cm ............. 30°
— = —–
= 2 cm
x
x
60° ................ 7 cm
360° .............. cm
—– = —
= 42 cm
x
x
45° = — · 360°
= — · 36
= 4,5 m
l
l
15° = — · 360°
= — · 36
= 1,5 m
l
l
12
112
14
14
2 + 10
x24
x7
14
13
18
124
12
112
14
13
18
124
10 cm
AS
B + 5
30360
36060
Úloha 2
Úloha 3
Úloha 4
Precvičujeme výpočet obvodukruhu.
Precvičujeme výpočet obsahukruhu.
Úloha komplexne spája všetkyštyri charakteristiky kruhu –polomer, priemer, obvod, obsah.Poznáme jednu a dajú sa vypo-čítať aj tri ostatné.
542. zošit
a)
a)
c)
c)
8
25,12
50,24
b)
b)
d)
d)
711
d2
414
o = 2
= 12 =. 37,68 m
r
o
S =
= · 5 = 25 =. 78,75 m
r
S
2
2 2
o = 2 · 0,9 =. 5,562 dm
S =. 0,125 6 m2
o =
= 10 =. 31,4 dm
d
o
S = —
= · — · — =. 0,282 6 dmS 2
o = — =. 1,998 dm
S =. 3,14 cm2
925
1,4
8,792
6,1544
3
6
28,26
B
d
A
r
K
CS
Úloha 5Úloha 6Úloha 7Precvičujeme výpočet obvodukruhu v slovných úlohách.
552. zošit
op =
=. 94,2 cm
d
op
p
S
S
S
S
S
S
V
V
M
M
=
= 64 =. 200,96 cm
=
= 25 =. 78,5 cm
= –
= 64 – 25 = 39
=. 122,46 cm
r
r
S S
S
V
M
V M
2
2
2
2
2
Koleso
dráha
Koleso sa otočilo približne 32-krát.
Väčší kruh
menší kruh
medzikružie
o = = 3,14 m
100 m
d o100 : 3,14 =. 31,85
oz =
=. 125,6 cm
d
oz
z
d
d
d
d
= 2 · 90 + 2 · 40
= 180 + 80
= 20 · (9 + 4 )
=. 431,2 m
Dĺžka bežeckej dráhy je 431,2 m.
rozdiel 31,4 dm
d d– ( – 10) = 10
S
40 m
90 m
8 cm
5 cm
Všetky úlohy na tejto straneprecvičujú výpočet obsahukruhu v slovných úlohách.
Ak žiaci nevedia vyjadriť vzťahiba pomocou premenných, nechsi dosadia konkrétne čísla a po-čítajú. Ak si každý žiak v triedevyberie iný polomer a verifikujetvrdenie, ľahšie sa vám budezovšeobecňovať.
Úloha 10
562. zošit
d = 10 m
S = ?
= 5 m
Lampa osvetľuje plochu 78,5 m .
r
2
r2 = 2
Obsah bude štyrikrát väčší.
r1
r = 1,8 m
= ? m
Tryska zavlažuje približne 10,2 m trávnika.
S 2
2
Obdĺžnik
kruhy
odpad
Odpad tvoril 36,415 %.
S
S
=
= 25
= 78,5 m
r
o
2
p2
S
S1
2
=
= = (2 ) = 4 = 4
r
r r r S1
2 1 1 1
2
2 2 2
S
S
=
= · 1,8 =. 10,173 6 =. 10,2 m
r2
2 2
S
S50
=
= 50
(1 – ————) · 100 = 36,415 %
a · b
r2
S
S50
= 5 000 cm
= 3 179,25 cm
2
2
3 179,255 000
Úloha 16Je dôležité uvedomiť si, že obvodpolkruhu tvorí dĺžka polkružniceplus priemer polkruhu. Potom užľahko získame polomer polkruhua následne jeho obsah.
572. zošit
S
SK
K
=
= 100 =. 314 cm
31 400 – 20 000 = 11 400 mm
Obsah štvorca je o 11 400 mm menší.
r2
2
2
2
SŠ =
= 14,14 = 200 cm
a
S
2
2 2Š
r1 = 2,83
= 2r2
S
S
S
1
2
1
=
=
–
= 8 – 4 = 4
r
r
S = S
S
1
2
2
2
2
S
S1
2
=. 25,148
=. 12,56
=. 12,588S
Opísaná
vpísaná
medzikružie
o
o
= 2 +
= + 2
=
=
r r
S r
S
2
2 + = + 2
(2 + ) = 2 +
= 1
r r
r
r
o : = 2 : 5S
2 : = 2 : 5r r2
—– = —
— = — = 5r25
25
2r
2 rr2
rS
10 cm
Úloha 17Vyjadriť obsah vyfarbenéhoútvaru hneď pomocou premen-nej je pre väčšinu žiakov náročné.Preto sme im dali k dispozíciikonkrétnu dĺžku strany štvorca,čo by im malo uľahčiť riešenie.
582. zošit
Štvorec
kruh
vyfarbené
= – (—) = (1 – —)S a a2 2 2
Kruh
plocha
vyfarbené
= (—) – ( – ( —) ) = (— – 1)
a)
S a a2 2 2 2
Polkruh
plocha
vyfarbené
= — (—) + – (—) ) = (1 – —)
a)
S a a2 2 2 2
Štvorec
vyfarbené
= —S a2
2= rS
S = — r2
S = a2
S
S
=
=
a
r
2
2
S
S
S
= 400 cm
= 314 cm
= 400 – 314 = 86 cm
2
2
2
2
2
2
= 314 cm
= 86 cm
= 314 – 86 = 288 cm
S
S
S
S
S
S
= 157 cm
= 86 cm
= 157 + 86 = 243 cm
2
2
2
S
S
= 400 cm
= — · 400 = 200 cm
2
2
r = — = 10 cm
a2
a2
a2
a2
4
2
8
12
a2
a2
12
12
12
plocha a)
plocha a)
Úloha 1
Úloha 2
Úloha 3
Opakujeme vlastnosť dotyčnice(je kolmá na priamku prechádza-júcu stredom kružnice a bodomdotyku).
Narysovaním rovnobežky s rame-nom pravého uhla viete porovnaťveľkosť uhla a s pravým uhlom.
„Každý žiak si zvolil desať inýchbodov a vždy tam vyšiel uhols veľkosťou 90°? Tak to asi budeplatiť pre ľubovoľný bod na kruž-nici, nie? A čo urobíme s bodmi
a ?“ Jednoduchá úvaha, ktorávás privedie k formulovaniutvrdenia a Tálesovej kružnici.
A B
592. zošit
> 90° = 90° < 90°
90°
90°
90°
90°
90°
90°
90°
90°
90°
90°
|<) |= 90°RTO
C1
C2
C3C4
C5
C6
C7
C8C9
C10
Úloha 4
Úloha 5
Úloha 6
Upozornite žiakov na body a .Tie do hľadanej množiny nepatria!
Ak sú vnútorné uhly trojuholníkav danom pomere, jeden z nichmá veľkosť 90°, teda trojuholníkje pravouhlý. Potom stred stra-ny je stredom Tálesovej kruž-nice, čiže vzdialenosť bodovje polomer kružnice.
Riešenie vychádza z definícieTálesovej kružnice. Vieme, žekaždý bod ležiaci na kružnicije vrcholom pravého uhla pravo-uhlého trojuholníka. Preto exis-tujú iba dva pravouhlé rovnora-menné trojuholníky.
A B
ABSC
C
602. zošit
Všetky body kružnice, okrem bodov a .A B
ABC
CSB
CSB je rovnostranný
o = 45 cm
| |=| | |<) |=|<) |= 60°SB SC SCB SBC
|<) |= 60°CSB
| |=| |SA SC C kt
: : = 1 : 2 : 3 (180 : 6 = 30°)
= 30° = 60° = 90°
žiaden
dva
žiaden
nekonečne veľa
AS
B
kt
AS
B
kt
C
AS
B
k
A SB
kt
C
30° 60°15 cm
15 cm
C1
C2
C4
C3
Na záver sme zaradili niekoľkokonštrukčných úloh, ktoré využívajúpráve Tálesovu kružnicu. Aby smežiakov postupne oboznamovaliso zápisom postupu konštrukcie,žiadame, aby ho pri každej úlohenapísali.
C
AB
Bod je vrcholom pravého uhlapravouhlého trojuholníka, leží tedana Tálesovej kružnici, ktorejpriemer je strana c hľadanéhotrojuholníka.
Ak je úsečka tetivou kružnice,kolmica na tetivu prechádzajúca jejstredom určuje množinu stredovhľadanej kružnice. Presnú polohustredu poznáme, pretože vieme,že jeho vzdialenosť od koncovéhobodu tetivy sa rovná polomeru.Druhý prístup k riešeniu určujeúvaha, že tetiva s polomermi vy-tvárajú rovnoramenný trojuholník,pričom stred hľadanej kružnice jevrchol rovnoramenného trojuhol-níka oproti jeho základni (ktorouje daná tetiva).
Úloha 2
Úloha 3
612. zošit
Bez použitiaTalesovej kružnice1. AC; | |= 3,5 cm
2. ;
3. ; ( ; 6 cm)
4. ;
5.
AC
p p AC C p
k k A
B B p k
ABC
1 1
1
1. SA
2. ; | |=| |
3. ; ( ;| |)
6. ;
7. ;
8. ; =
9. ; =
X X SA SX XA
k k X SX
T T k k
T T k k
t t AT
t t AT
T T
T
T
1 1
2 2
1 1 1
2 2 2
1. AB; | |= 6 cm
2. ; | |=| |
3. ; ( ;| |)
4. ; ( ; 3,5 cm)
5. ;
6.
AB
S S AB AS BS
k k S SA
k k A
C C k k
ABC
T T
T
1 1
1
S použitím Talesovej kružnice
1. ; | |=| |
2. ;
3. ; ( ; 2| |)
4. ;
5. ; ( ; 2| |)
—————————
| |= 2| |
X X AB AX BX
p p AB X p
k k A AB
S S p k
k k S AB
AA' AB
1 1
1
Náčrt:
B C
A
6 cm 3,5 cm
k1
SA B
CkT
kT
X
T2
T1
t1
t2
k1
k
X
S
A'
p
Úloha 4
Úloha 6
Poznáme bod dotyku a vieme,že priamka kolmá na dotyčnicuprechádzajúca bodom dotykuprechádza súčasne stredomkružnice.
Výška je kolmá na stranu, takževieme nájsť päty obidvoch za-daných výšok. Posledný vrcholtrojuholníka je priesečníkompolpriamok, ktoré vychádzajúz vrcholu trojuholníka a prechá-dzajú cez pätu výšky.
622. zošit
d
r
p p t T p
k k T
S S
S k p S k p
k k S
k k S
= 7 cm
= 3,5 cm
1. ;
2. ; ( ; 3,5 cm)
3. ,
,
5. ; ( ; 3,5 cm)
6. ; ( ; 3,5 cm)
1 2
1 2
1 1 1
2 2 2
1. LM; | |= 5 cm
2. ; | |=| |
3. ; ( ;| |)
4. ; ( ; 4 cm)
5. ;
6. ; ( ; 4,5 cm)
7. ;
8. ;
9.
LM
S S ML SM SL
k k S SL
k k L
P P k k
k k M
P P k k
K K MP LP
KLM
T T
L L T
M M T
L M
1 1
1
2 2
2
S1
S2
k1
k2k
p
S1
S2X
p
l
k m
n2
n1N1
N2
M1
M2
L MS
kT
k1k2
PM
PL
K
L M
PM
PL
KNáčrt:
ProjektSpoločné dotyčniceSpoločné dotyčnice dvoch kruž-níc môžeme hľadať v prípade, žekružnice majú rovnaký polomera v prípade, že rovnaký polomernemajú. V druhom prípade napresné určenie bodov dotyku ichspoločných dotyčníc potrebujemerovnoľahlosť.Pre 8. ročník sme teda vybrali kruž-nice, ktoré majú rovnaký polomer.Nezabudnite na rôzne možnostivzájomnej polohy dvoch kružníc.
632. zošit
I. Dve dotyčnice
1. , ; | | 2
2
k k S S r1 2 1 2 <
. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
p p S S S p
T T p k
T T p k
t t p T t
t t p T t
1 2 2
1 1 2
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
III. Štyri dotyčnice
1. , ; | | 2k k S S r1 2 1 2 >
2. ;
3. ;
| |=| |
4. ;
| |= 0,25 ·| |
5. ; ( 0,25 ·| |)
6. ;
7. ;
8. ; =
9. ; =
t t
X X S S
XS XS
Y Y S S
YS S S
k k Y; S S
T T k k
T T k k
t t XT
t t XT
1 1
1 2
1 2
1 2
1 1 2
1 2
3 3 1
4 4 1
3 3 3
4 4 4
T T
T
T
II. Tri dotyčnice
1. , ; | | 2k k S S r1 2 1 2 =
2. ;
3. ;
| |=| |
4. ;
t t
T T S S
T S T S
t t S S T t
1 1
3 3 1 2
3 1 3 2
3 3 1 2 3 3
S1 S2
k1 k2
t1
t2
T1
T2
p
S1 S2
T3
k1 k2
t1
t2
T1
T2
pt3
S1 XY S2
k1 k2
t1
t2
T1
T2kT
T3
T4
Úloha 1
Úloha 2
Zabavte sa na treťom tvrdení.
Hovorte svoje udalosti, počúvajtezdôvodnenia a diskutujte o nich.
642. zošit
Počasie nezávisí od našich rozhodnutí.
Neviem, aké auto uvidím ako prvé.
Na každej kocke môže padnúť jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Iná možnosť neexistuje.
Každý deň má 24 hodín.
Február nikdy nemá 30 dní.
Úloha 3
Úloha 4
Napríklad takto.
Diskutujte.
652. zošit
Súčet bodov piatich hodov bude 4.
Súčet bodov piatich hodov bude väčší ako 4 .
Padne 5 šestiek.
Úloha 5
Úloha 6
c)V časti závisí miera našej vieryvo víťazstvo našich basketbalistiekod mnohých vecí (od toho, akísme patrioti, od toho, ako pozor-ne sledujeme výsledky našichreprezentantiek atď.). Vyjadritekaždý svoju vieru číslom od 0po 1 a diskutujte prečo ste satakto rozhodli.
Predpokladáme, že vášnivé dis-kusie budú na tému „sneh v letea nemožnosť tejto situácie“a „polovičná šanca na výhruv rulete“. Čím viac budete sožiakmi diskutovať, tým rýchlejšiea hlbšie preniknú do „zákutí“pravdepodobnosti.
662. zošit
Hádžem raz (padne jedno číslo) a počet všetkých čísel,
ktoré môžu padnúť je 6.
Ak nevyváženosť spôsobuje, že 3 padá častejšie, bude pravdepodobnosť,
že padne 3 väčšia ako —. V opačnom prípade bude menšia ako —.
Nedá sa určiť presne.
I.
II.
III.
I.
II.
III.
—16
16
16
Úloha 7
Úloha 8
Úloha 9
D
E
H
G
Nami nevyplnené riadky tabuľkysa budú u vašich žiakov líšiť.( závisí od toho či je žiak jednot-kár alebo sa mu v škole príliš nedaría samozrejme aj od toho, či budetento týždeň v škole,
závisí od toho, či je žiak maji-teľom mobilu a či a ako častoposiela sms,
závisí od momentálneho počasiav deň, keď riešite túto úlohu,
závisí od toho, či má v daný deňniektorý z vašich žiakov narodeninyalebo meniny...)Sú teda udalosti, o pravdepodob-nosti ktorých sa pomerne presnevieme zhodnúť „na celom svete“,a sú udalosti, ktoré závisia od kon-krétnych vstupných podmienok.To je „posolstvo“ tejto úlohy.
Aj tu sa výsledky pozorovaní môžulíšiť od vstupných podmienok –skúšajte triafať úsečku tak, že:– pred každým „triafaním“ sapozriete, kde úsečka je,– pozriete sa na začiatku, potomuž oči neotvoríte a úspešnosť va-šich pokusov zapisuje niekto iný,– nepozeráte sa počas pokusua sused pred každým pokusomo trafenie pohne vaším zošitom.
Výsledky budú zaujímavé, keďbudete sumarizovať výsledkycelej triedy.
672. zošit
Mám iba dve možnosti výsledku.
Môže nastať, ale je to veľmi málo pravdepodobné.
Určite pôjdem spať.
Žiadne pozorovanie tomu nenasvedčuje.
Sú na nej tri párne a tri nepárne.
AB C
F G
Úloha 10Úloha 11Možno sa vám na prvý pohľadbude zdať, že úlohy tohto typunič neprinášajú, akurát je celúhodinu hluk v triede a žiaci si ničz hodiny neodnesú. Je to omyl.Odnesú si v prvom rade skvelýpocit. Toto je cesta, ktorou môžupostupne pochopiť krásu prav-depodobnosti a štatistiky. Naj-mä keď výsledky každého žiakaporovnáte medzi sebou a keďurobíte výsledky pre veľký početopakovaní (všetci žiaci spolu)a tie porovnáte s výsledkamijednotlivých žiakov.
682. zošit
Úloha 13Úloha 14Úloha 15Úloha 16Najlepšie čo môžete pri riešenítýchto úloh urobiť je, že každý žiakbude mať dve hracie kocky a budúhádzať. Najprv si vypíšte všetkymožné hody (nie každý žiak budeokamžite vedieť, že ich je 36, väč-šina bude potrebovať si to overiťexperimentálne – až potom urob-te zovšeobecnenie; či to žiaci po-chopili, si môžete overiť kladenímotázok „Koľko by bolo všetkýchmožných hodov, keby sme malikocku, ktorá má 8, 12, ... stien?“Nedajte sa odradiť „neveriacimTomášom“, takéto kocky sa dajúdnes kúpiť a existuje veľa hier,kde sa takéto kocky používajú).
692. zošit
Všetky možné hody ....... 36
vyhovujúce hody ............ 3
pravdepodobnosť ........... — = —
Všetky možné hody ....... 36
vyhovujúce hody ............ 6
pravdepodobnosť ........... — = —
Všetky možné hody ....... 36
vyhovujúce hody ............ 4
pravdepodobnosť ........... — = —
(6–3; 5 ) B M
(=. 8,3 %)
–2; 4–1 –
B M M B– –(6–3; 5 )
(=. 16,7 %)
–2; 4–1; 1–4; 2–5; 3–6
(6–2; 2 )
(=. 11,1 %)
–6; 3–1; 1–3
— —
— —
136
1136
136
336
636
436
3536
112
16
19
Úloha 17Úloha 18Vezmite si kocky a hádžte.Teraz je čas s priestor na to, abyžiaci robili tieto experimenty.Bez nich sa nedá urobiť druhýkrok – zovšeobecnenie a tretíkrok – riešenie ďalších úloh(tri, štyri, päť, ..., kociek).Kontrolná otázka: budeš hrať hru,v ktorej máš možnosť na začiatkusi vybrať pole s hodnotou 1 – 12;ak bude tvoja figúrka stáť na tom-to poli a pri hode dvomi kockamipadne číslo tohto poľa, získavašbod; ktoré pole si vyberieš,keď budeš vyberať ako prvý/á,druhý/á, tretí/ia,
n
702. zošit
1 možnosť
2 možnosti
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1
5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1
6 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 4 + 2 = 5 + 1
7
8
9
10
11
=
= 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 4 + 3 = 5 + 2 = 6 + 1
= 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4 = 5 + 3 = 6 + 2
= 3 + 6 = 4 + 5 = 5 + 4 = 6 + 3
= 4 + 6 = 5 + 5 = 6 + 4
= 5 + 6 = 6 + 5
Všetkých možností hodov dvomi kockami je 36.
6 + 6
—136
—118
—112
—19
5 6 7 8 9 10 11 12
—536
—16
—536
—19
—112
—118
—136
Úloha 20
Úloha 21
Je to ako hádzanie kockou. Ibažeje len päť možných výsledkov.
Na ochutnávku niečo z geomet-rickej pravdepodobnosti. Urču-jeme časť obvodu budíka, keďnastane žiadaná udalosť. Kreslite!
712. zošit
— ——
— — = —
— = — — = —
25
45
35
112
412
212
612
13
12
16
87
722. zošit
—
— = —
— = —
— = — — = —
— = —
— · — = —
ABC: — · — = — AEC: — · — = — ADC: — · — = —
— + — + — = —
ABEC: — · — · — = — ABEDC: — · — · — · — = —
ADEBC: — · — · — · — = —AEBC: — · — = — — + — + —+ — = —
ABEC ADEC: — : — AEBC AEDC: — : — AEC: —
— + — + — + — + — = —
190
412
1590
812
912
4590
12
12
12
1212
13
13
12
136
16
23
34
12
13
13
13
1312
112
13
13
13
112
19
13
16
16
16
112
1361
24
19
19
16
49
—12
—12
—13
—13
—13
—13
—13
—12
—12
—12
—12
16
12
1212
112
19
19
19
19
112
19
112
19
12
Úloha 22
Úloha 24
Úloha 25 a)
Úloha 25 b)
Úloha 25 c)
a) b)
Diskutujte so žiakmi o tom, či jeto náhoda, že súčet výsledkovv časti a je 1 (takisto akov úlohe 20 na predchádzajúcejstrane). Opäť môžete naraziťna rozpor medzi jazykom mate-matiky a realitou – koľkí z vašichžiakov budú argumentovať tým,že ak sú napríklad modré autáoveľa väčšie ako zelené, takbude pravdepodobnosť iná?
Pri riešení tejto úlohy si uvedom-te, že nie všetky cesty sú rovnakopravdepodobné.
Vypočítajme pravdepodobnosticiest z bodov a potom ichspočítame.
Môžete sa rozhodnúť, či záležína poradí bodov alebo nie.
Tu je naozaj veľa možností,treba si ich trpezlivo vypísať.
B, E, D
B, E
—13
—13 —1
3
—13
—13
1313
1972
124
19
Úloha 26Úloha 27
Úloha 28
Úloha 29
Úloha 30
Úloha 31
Môžete si pomôcť aj stromovýmgrafom.
Úlohu môžete riešiť aj tak, že na-kreslite úsečku a vyznačte na nej„hudbu“ a „hovorené slovo“.Pripomeňte žiakom úlohy o bu-díku. Majú spoločný prístup.
Diskutujte, či bližšie k domčekuznamená aj mať väčšiu šancuna víťazstvo. Kedy áno a kedy nie.
Najjednoduchšie je napísať všetkymožnosti.
V prvom rade treba určiť, koľkočísel sa dá vôbec vytvoriť.Ostatné by už nemal byť problém.
732. zošit
—– = — (= 20 %)
—
—–
—–
—– = —
—– = —
—– = – —
—– = 0
20100
13
1120 1
12024120 48
12072120
—– = 1 (ciferný súčet: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15)1201200
120
12
12
15
ak si zapamätám prvý kľúč:
—
ak si nezapamätám prvý kľúč:
— · — = —
Rovnaká – pravdepodobnosť, že padne číslo 2
je taká istá, ako že padne číslo 5.
— · — · — = — — · — · — = —12
12
12
12
12
12
18
18
35
15 2
5
12
14
742. zošit
3 biele plochy ..... —
4 farebné plochy ..... —
Pravdepodobnejšia je 15 % zľava.
8.A .... — (=. 11,76 %) 8.B a 8.C .... — (= 12 %) — > —
Väčšia pravdepodobnosť výhry bola na spojenom večierku 8.B a 8.C.
37
217
47
325
217
325
Úloha 36
Úloha 37
Budete rozlišovať písmená s dia-kritikou alebo nie? Výsledky budúv každom prípade iné. My smezaokrúhľovali na jednotky – dis-kutujte so žiakmi, aký bude súčetvšetkých relatívnych početností.
Zaujímavé by bolo zistiť početnostiv rôznych slovenských textoch –budú rozdiely veľké? Alebo môžeteporovnávať početnosti výskytu jed-notlivých písmen v textoch rôznychslovenských autorov (súčasných,minulých, súčasných a minulých,mladých a starých...) budú roz-diely a budú veľké alebo malé?
752. zošit
524
525
584
585
Spolu 30 písmen.
154
170
174
A
4
13 %
K
2
7 %
E
1
%3
Š
1
%3
Ť
1
%3
S
2
7 %
T
3
10 %
I
2
7 %
E
5
17 %
Ž
1
%3
D
1
%3
N
1
%3
M
4
1 %3
Á
1
%3
U
1
3 %
4
5
4
5
2
8
5
Úloha 38Úloha 39Úloha 40Urobte si podobné štatistickézisťovanie v triede – napríklads výškou žiakov.
762. zošit
27
25
521
3.A 8 žiakov 3.B 10 žiakov spolu 18 žiakov
3.A 15 žiakov 3.B 13 žiakov spolu 28 žiakov
3.A 36 kg má 8 žiakov 3.B 38 kg má 5 žiakov spolu 36 kg má 13 žiakov
Hmotnosť 40 kg má v každej triede práve jeden žiak.
Posledný riadok tabuľky.
10 žiakov.
(32 + 68 + 175 + 288 + 222 + 38 + 78 + 40 + 41) : 27 = 36,37 kg
(66 + 136 + 140 + 180 + 148 + 190 + 40) : 25 = 36 kg
(982 + 900) : (27 + 25) = 36,19 kg
— = — (25 %)1352
1 2 2 26 610139
14
772. zošit
Úloha 44Rozprávajte sa so žiakmi o tom,kedy je výhodnejšie použiť stĺp-cový diagram a kedy kruhovýdiagram. Nechajte ich vymýšľaťpríklady a diskutovať o nich.
782. zošit
516—
416—
416—
216— 1
16—
Sj
M
Z
D
?
56,25°
78,75°
101,25°
90°
33,75°
SjM
Z
D
?
Sj M Z D ?
109876543210
792. zošit
