Jelas bahwa ax > by∀x > y, x, y ∈ N ∗ Akan dibuktikan ak > bk∀k ∈ N untuk k = 1,

a1 > b1 ⇔ 625 > 5(benar)

untuk k = 2,a2 > b2 ⇔ 625625 > 55(benar)

Andaikan ai > bi∀i = 1, 2, 3, ..., n benar, dengan n sembarang, n ∈ N Akan dibuktikan juga benar untuk nilaii = n+ 1

an+1 > bn+1

⇔ 625an > 5bn

⇔ 54an > 5bn

Ini benar karena an > bn maka 4an > bn sehingga 54an > 5bn ⇒ an+1 > bn+1 Terbukti ak > bk∀k ∈ N , makab625 < a625 ......................................(1)

∗ Akan dibuktikan bk > 4ak∀k ∈ N untuk k = 1,b2 > 4a1

⇔ 55 > 4× 625

⇔ 3125 > 2500(benar)

untuk k = 2,b3 > 4a2

⇔ 555

> 4× 625625

⇔ 53125 > 4× 52500

⇔ 5625 > 4(benar)

Andaikan bi+1 > 4ai∀i = 1, 2, 3, ..., n benar, dengan n sembarang, n ∈ N Akan dibuktikan juga benar untuk nilaii = n+ 1

bn+2 > 4an+1

⇔ 5bn+1 > 4× 625an

⇔ 5bn+1 > 4× 54an

Perhatikan bahwa b1 = 5, a1 = 625, at = 625at−1 , bt = 5bt−1∀t ∈ N, t > 1 . Maka aj , bj ∈ N∀j ∈ N

⇔ 5bn+1−4an > 4

karena bn+1 > 4an, maka bn+1 − 4an ≥ 1

⇔ 5bn+1−4an ≥ 51 > 4(benar)

Terbukti bk+1 > 4ak∀k ∈ N , maka b626 > 4a625 ..............................(2) Dari (1) dan (2), maka diperoleh k > 625dan k = 626 memenuhi bk > a625. Jadi, kmin = 626.

−theoneandonly−