:قسمت دومتئوري احتمال، متغيرهاي تصادفي و فرايندهاي
.تصادفي
مخابرات ديجيتالآباددکتر فرهاد فغانی، استاديار دانشكده برق دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف
:تئوري احتمال
2فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
:يادآوري قوانين احتمال
3فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
:باشدونه ميك پيشامد از فضاي نEاگر
.10 ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 1
.2𝑃 Ω = 1
:ها افرازي از فضاي نمونه باشند، آنگاه𝐸𝑖اگر 3.
𝑃
𝑖=1
∞
𝐸𝑖 =
𝑖=1
∞
𝑃(𝐸𝑖)
:ويژگيهاي توابع احتمال
4فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
احتمال شرطی :
:ويژگيهاي توابع احتمال
5فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
دو پيشامد را مستقل گوييم اگر:
قانون بيز:
:مثال
6فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
يك تاس را می ريزيم:𝐸1 :پيشامد اينكه عدد ظاهر شده زوج باشد:
𝐸2 : کوچكتر باشد4پيشامد اينكه عدد ظاهر شده از:
:قانون احتمال کل
7فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
اگر𝐸𝑖ها افرازي از فضاي نمونه باشند، آنگاه:
:آنگاه
:و بر اساس قانون بيز خواهيم داشت
:متغيرهاي تصادفی
.به مجموعه اعداد حقيقی استمتغير تصادفی نگاشتی از فضاي نمونه
8فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
:مثالی از متغيرهاي تصادفی
9فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
تخصيص اعداد به نتايج حاصل از ريختن يك تاس:
:تابع توزيع تجمعی
10فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
cumulative distribution function (cdf)
:CDFخواص
11فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
.1
:يك تابع غير نزولی است𝐹𝑋(𝑥)تابع 2.
.3
.4
.5
:CDFانواع توابع
12فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
گسسته:
پيوسته:
ترکيبی:
:تابع چگالی احتمال
13فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
Probability Distribution Function (PDF)
به صورت مشتق تابعCDFتعريف می شود:
لذا می توان نوشت:
14فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
:pdfخواص تابع
15فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
.1
.2
.3
:متغير تصادفی برنولی
16فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
را با احتماالت 0و يا 1دو مقدارp 1و-pانتخاب می کند.مدل مناسبی براي توصيف منبع مخابراتی ديجيتال است.
: متغير تصادفی يكنواخت
17فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
مقداري را بين مقاديرa وbبا احتمال يكسان انتخاب می نمايد.
معموالً فاز سيگنال دريافتی داراي توزيع يكنواخت است.
(:نرمال)متغير تصادفی گوسی
18فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
داراي تابع چگالی احتمال زير است:
داراي ميانگين و واريانس𝜎2است.
پرکاربردترين متغير تصادفی در مخابرات است.
:فاوتمتغيرهاي تصادفی گوسی با ميانگينهاي مت
19فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
:وتمتفاواريانسهاي متغيرهاي تصادفی گوسی با
20فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
(:ميانگين آماري) اميد رياضی
21فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
اميد رياضی متغير تصادفی عبارتست از:ميانگين آماري و يا ممان مرتبه اول:
ممان مرتبهnاُم :
ممان مرکزي مرتبهnاُم:
برايY=g(X)خواهيم داشت:
(:ميانگين آماري) اميد رياضی
22فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
برايn=2 شود، واريانس ناميده می.
واريانس ميزان تصادفی بودن يك متغير را نشان می دهد.
همچنين خواهيم داشت:
توانAc توان منهاي برابر است با توان کلDC.
:خواص ميانگين و واريانس
23فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
خواص ميانگين با عدد ثابتc:
خواص واريانس:
:Qتابع
24فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
:مثال
25فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
يانس يك ولتاژ الكتريكی نويزي داراي مدل گوسی با ميانگين صفر و وار𝜎2 می
𝑄: زيادتر باشد برابر است باAنشان دهيد احتمال آنكه ولتاژ نويز از .باشد𝐴
𝜎
حل:
:متغيرهاي تصادفی توأم
26فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
اگر دو متغير تصادفی از فضاي نمونه يكسان باشد، آنگاه تابعcdf توأم:عبارتست از
تابع چگالی احتمال توأم عبارتست از:
توابع چگال مرزي:
:متغيرهاي تصادفی توأم
27فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
دو متغيرX وYرا مستقل گويند اگر:
ممان توأم:
:ممانهاي توأم
28فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
ممان مرکزي:
ضريب همبستگی:
:متغيرهاي تصادفی ناهمبسته و همبسته
29فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
:متغيرهاي تصادفی ناهمبسته و همبسته
30فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
:ضريب همبستگی
31فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
:فرايندهاي تصادفی
32فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
متغير تصادفی که وابسته به زمان باشد.
:فرايندهاي تصادفی
33فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
:فرايندهاي تصادفی
34فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
(:مُمان مرتبه اول)ميانگين آماري
ميانگين مربعی:
35فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
هبستگی متقابل:
متغير تصادفی با سه ويژگی زير را ايستان(WSS)می گوييم:
36فرهاد فغانی-دانشكده برق-دانشگاه آزاد اسالمی واحد نجف آباد
اگر ، براي تمامی مقاديرkخواهيم داشت: