1...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
บทที่ 2
พหุนาม
2.1 เอกนาม
นิพจน ์(expression) คือ ข้อความที่เขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ต่าง ๆ แต่ในทางพีชคณิตจะมีการใช้ตัวอักษร เช่น a, b, c, A, B, C แทนจ านวนต่าง ๆ ที่เราต้องการ โดยมีตัวอย่าง เช่น 3, 6x, x+y , 11 , x2-y2-xy ,…
โดยเรียกตัวอักษรว่า ตัวแปร (variable) และตัวเลขเรียกว่า ค่าคงตัว (constant)
ข้อตกลงในการเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปร
1. ในกรณีที่มีค่าคงตัวมากกว่าหนึ่งตัว ให้หาผลคูณของค่าคงตัวก่อน แล้วจึงเขียนในรูปการคูณระหว่าง ค่าคงตัวกับตัวแปรโดยเขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร เช่น 2x5xaxb เขียนเป็น 10ab
2. ให้เขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร ในกรณีที่ค่าคงตัวเป็น 1 ไม่ต้องเขียน ถ้าค่าคงตัวเป็น -1 เขียนเฉพาะเครื่องหมายลบหน้าตัวแปรท้ังหมด ส่วนตัวแปรให้เขียนล าดับตัวอักษรและเขียนเรียงชิดติดกัน
เช่น (-1)xnxm เขียนเป็น -mn
3. กรณีมีตัวแปรหลายตัว ให้เขียนเรียงตามล าดับอักษร โดยเขียนเรียงชิดกัน ใช้สัญลักษณ์เลขยกก าลังในกรณีที่เป็นไปได้ เช่น 3x4xaxbxbxaxa เขียนเป็น 12a3b2
ตัวอย่างที่ 1 ให้นักเรียนเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปรต่อไปน้ีให้ถูกต้อง
5x(-2)xaxdxc เขียนเป็น .........................................................
(-4)x(-2)xbxbxaxa เขียนเป็น .........................................................
3x5xpxpxrxs เขียนเป็น .........................................................
(-1)xqxqxqxp เขียนเป็น .........................................................
2...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
เอกนาม (monomial) คือ นิพจน์ท่ีสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวข้ึนไป โดยที่ เลขชี้ก าลัง(exponent) ของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์ หรือจ านวนเต็มบวก
ตัวอย่างที่ 2 ตัวอย่างนิพจน์ที่เป็นเอกนาม
7x , 2
3ab, 8ab3c ,0 ,5 , 3x – x
เหตุผล 7x เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 7กับตัวแปร x เลขชี้ก าลังของตัวแปรเป็น 1
2
3ab เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 2
3 กับตัวแปร a, b เลขชี้ก าลังของตัวแปร
เป็นทุกตัวเป็นจ านวนเต็มบวก
8ab3c เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 8 กับตัวแปร a, b และ c เลขชี้ก าลังของตัวแปรเป็นทุกตัวเป็นจ านวนเต็มบวก
0 เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูป 0 คูณกับตัวแปรใดๆ ก็ได้ เช่น 0a3 ซึ่งเลขชี้ก าลังของตัวแปรน้ันเป็นจ านวนเต็มบวก
5 เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูป 5a0 ซึ่งเป็นการคูณกันของค่าคงตัว 5 กับตัวแปรใด (a) ซึ่งเลขชี้ก าลังของตัวแปรน้ันศูนย ์
3x – x เป็นเอกนาม เพราะสามารถเขียนเป็น 2x ซึ่งเป็นการคูณกันของค่าคงตัวกับตัวแปรท่ีมีเลขชี้ก าลังเป็นจ านวนเต็มบวกได้
ตัวอย่างที่ 3 ตัวอย่างนิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม
4x-1y , 𝑥𝑦 , 2 – 3x, a+b+c
เหตุผล 4x-1y ไม่เป็นเอกนาม เพราะเลขชี้ก าลังของตัวแปร x เป็น -1
𝑥𝑦 ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณจะได้ xy-1 เลขชี้ก าลังของ y เป็น -1
2 – 3x ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณกันไม่ได้
a+b+c ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณกันไม่ได้
3...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
สัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนาม
เอกนามประกอบด้วย 2 ส่วน คือส่วนที่เป็นค่าคงตัวและส่วนที่อยู่ในรูปการคูณกันของตัวแปร โดยส่วนที่เป็นค่าคงตัว เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของเอกนาม และ ผลบวกของเลขชี้ก าลังของตัวแปรทุกตัวในเอกนามจะเรียกว่า ดีกรีของเอกนาม
ตัวอย่างที่ 4 สัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนาม
2xy เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = 2 ดีกรี = 1 + 1 = 2
-xy2 เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = -1 ดีกรี = 1 + 2 = 3
23a3b4 เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = 23 ดีกรี = 3 + 4 = 7
-8 เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = -8 ดีกรี = 0
x เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = 1 ดีกรี = 1
-a เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = -1 ดีกรี = 1
𝑥𝑦 𝑧2
3 เป็นเอกนามท่ีมีสัมประสิทธิ์ = 1
3 ดีกรี = 1+1+2 = 4
ข้อสังเกต ส าหรับเอกนาม 0 ไม่สามารถบอกดีกรีที่แน่นอนได้เพราะ 0 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 0 กับตัวแปรใดๆ ก็ได้ เช่น 0x3 หรือ 0y4 ดังน้ันดีกรีของเอกนาม 0 จึงก าหนดไม่ได้
และเอกนามท่ีเป็นค่าคงตัวท่ีไม่ใช่ศูนย์ จะมีดีกรีเป็น 0 ทั้งหมด เพราะจัดให้อยู่ในรูปการคูณกับตัวแปรใดๆ ก็ได้ท่ีมีเลขชี้ก าลังเป็น 0 หรือตัวแปรก่ีตัวก็ได้ท่ีมีเลขชี้ก าลังของตัวแปรทุกตัวเป็น 0 เช่น 3x0, 3a0b0,3y0 มีค่าเท่ากับ 3 ทั้งหมด
ก่อนนอนนักเรียนอย่าลืมทบทวนเอกนามอีกรอบนะค่ะ ... หรือไม่เรามาเริ่มท าแบบฝึกหัดท่ี 1 กันดีกว่านะค่ะ
4...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
แบบฝึกหัดที่ 1
เรื่อง เอกนาม
1. จงใส่เครื่องหมาย หน้านิพจน์ที่เป็นเอกนามและเครื่องหมาย หน้านิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม
.............. 1.1 5-2a ……………… 1.2 15xy-2 ……………… 1.3 4(x+y)
.............. 1.4 -5.5 a3b0 ……………… 1.5 32xy2z3 ……………… 1.6 13m-3n
.............. 1.7 11p2qr ……………… 1.8 𝑥2
3 ……………… 1.9 0.5
(𝑎𝑏𝑐 )−4
.............. 1.10 5 𝑎𝑏 ∙ 𝑎3𝑏3 ……………… 1.11 2.7 ……………… 1.12 1
4pq
.............. 1.13 3x + 2y ……………… 1.14 15x0y-1z2 ……………… 1.15 7xy
2. จงบอกสัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนามต่อไปน้ี
ข้อ เอกนาม สัมประสิทธิ ์ ดีกรีเอกนาม 1 -2p2q 2 7
13x2y5
3 -9ab2c3 4 -16x0yz4 5 1
2−3 m2n5
6 −𝑎3𝑏
8
7 3.6p5q7 8 3 𝑥2𝑦0𝑧3 9 9𝑎3𝑏2
3𝑎𝑏
10 𝑚3𝑛
𝑚−1
5...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.2 การบวกและการลบเอกนาม
เอกนามที่คล้ายกัน คือ เอกนามท่ีมีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้ก าลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละ เอกนามเท่ากัน
ตัวอย่าง 1 เอกนามท่ีคล้ายกัน ตัวอย่าง 2 เอกนามท่ีไม่คล้ายกัน
3x คล้ายกันกับ - 7x - 6x ไม่คล้ายกันกับ - 5y
- 5xy2 คล้ายกันกับ 𝑥𝑦2
3 3x2y ไม่คล้ายกันกับ 2xy2
5 คล้ายกันกับ 2 4x ไม่คล้ายกันกับ 3x2
3m2n ไม่คล้ายกันกับ 5m2nt
การบวกเอกนาม การหาผลบวกของเอกนามท่ีคล้ายกัน สามารถหาผลบวกได้โดยใช้สมบัติการแจกแจงได้ดังน้ี
ผลบวกของเอกนามท่ีคล้ายกัน = (ผลบวกของสัมประสิทธิ์)x(ส่วนที่อยู่ในรูปตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร)
ข้อสังเกต ส าหรับเอกนามท่ีไม่คล้ายกัน เช่น -7x กับ -7y
สามารถเขียนผลบวกในรูปเอกนามได้ คือ (-7)x + (-7)y
ตัวอย่าง 3 จงหาผลบวกของเอกนามท่ีก าหนดให้ต่อไปนี้
1. 11a + 7a = (11+7)a = 18a
2. -6x2y + 9x2y = [(-6) + 9] x2y = 3x2y
3. 10a2bc + 3a2bc = (10+3)a2bc = 13a2bc
4. 7xy2z + (-5xy2z) = [7+(-5)]xy2z = 2xy2z
5. -2pqr + (-4pqr) = [(-2)+(-4)]pqr = -6pqr
6...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
เน่ืองจากว่าเอกนามแทนจ านวน ดังน้ัน จึงใช้สมบัติการสลับท่ีส าหรับการบวก สมบัติการเปลี่ยนหมู่ส าหรับการบวก สมบัติการบวกด้วยศูนย์ และสมบัติการคูณด้วยศูนย์ มาใช้ในการหาผลบวกของเอกนามได้
การลบเอกนาม อาศัยหลักการเช่นเดียวกับการลบจ านวนสองจ านวนที่กล่าวว่า “การลบ คือ การบวกด้วยจ านวนตรงข้ามของตัวลบ” ตามข้อตกลงดังน้ี
a – b = a + (-b) เมื่อ a , b เป็นจ านวนใด ๆ
และ -b เป็นจ านวนตรงข้ามของ b
การลบเอกนามสองเอกนามที่คล้ายกัน เราจึงเขียนการลบให้อยู่ในรูปการบวกของเอกนาม เช่น 4a5 – 3a5 = 4a5 + (–3a5) แล้วจึงใช้หลักเกณฑ์ท่ีได้จากการบวกเอกนามทีค่ล้ายกัน
ตัวอย่าง 4 จงหาผลลบของเอกนามท่ีก าหนดให้ต่อไปนี้
1. 5xy – 2xy = 5xy + (-2xy) = [5+(-2)]xy = 3xy
2. 6a2b – (-3a2b) = 6a2b + 3a2b = (6+3)a2b = 9a2b
3. (-2x2) – 4x2 = (-2x2) + (-4x2) = [(-2)+(-4)]x2 = -6x2
4. 7m2n – 10m2n = 7m2n + (–10m2n) = [7 +(-10)]m2n = -3m2n
5. (-7st2) – (-2st2) = (-7st2) + 2st2 = [(-7)+2]st2 = - 5st2
เอกนามท่ีไม่คล้ายกัน เช่น 3x2y4 กับ x3y3 ไม่สามารถหาผลลบในรูปเอกนามโดยใช้สมบัติการแจกแจงได้ จึงเขียนผลในรูปการลบ ดังน้ี 3x2y4 - x3y3 เป็นต้น
7...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
แบบฝึกหัดที่ 2
เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
1. จงพิจารณาเอกนามท่ีก าหนดให้ต่อไปนี้ว่าคูใดคล้ายกันหรือไม่คล้ายกัน โดยเติมเครื่องหมาย ในช่อง
1.1 5w2 กับ 2w2 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน
1.2 -19y5 กับ -5y5 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน
1.3 x3 กับ y3 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน
1.4 -a2 กับ -4a2 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน
1.5 xy2z3 กับ x3y2z คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน
1.6 xyz กับ xzy คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน
1.7 x2y กับ xy2 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน
1.8 -4u กับ 3u คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน
1.9 -5x3y2 กับ -5x2y3 คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน
1.10 x กับ –x คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน
2. จงหาผลบวกของเอกนามท่ีก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปน้ี
2.1 -12x+13x 2.2 3ab+5ab
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
2.3 17m2+(-3m2) 2.4 (-3ab4)+(-17ab4)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
2.5 25p2q4+6p2q4 2.6 (-5x2y)+3yx2
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
8...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.7 10a2b2c2 + 21a2b2c2 2.8 (18x2yz)+ (-
1
8x2yz)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
2.9 (-2m2n5)+( -18m2n5) 2.10 15yxz + 13xyz
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
3. จงหาผลลบของเอกนามท่ีก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปน้ี
3.1 15mn – 13mn 3.2 27x2 – (-11x2)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
3.3 (-8p2q) -6p2q 3.4 (9a4bc) – (- 6a4bc)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
3.5 (-16m2n3) – (-11m2n3) 3.6 -12st2 – 5st2
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
3.7 20c2d2 – 15c2d2 3.8 8pq – (-10pq)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
3.9 (-10x2y2z2) - (-9x2y2z2) 3.10 13xy2- (-7y2x)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
4. จงหาผลลัพธ์ของเอกนามต่อไปน้ี ให้อยู่ในรูปผลส าเร็จ
4.1 7m + (-3m) + (-4m) 4.2 (4c2-3c2) + 6c2
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
9...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
4.3 9xy3z - 4xy3z - xy3z 4.4 12x2y + (-8x2y) - 4x2y
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
4.5 18abc – 13abc + 2abc 4.6 (-10p2q3) + 2p2q3 - 6p2q3
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
4.7 5a3b + 4
3a3b+
5
3a3b 4.8 1.5xy3z + 3.3xy3z – 2.2xy3z
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
4.9 5x + 3xz + (-7x) – (-3xz) 4.10 (4y2+7y2) – (6y2 – 20y2)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
ข้อสรุปที่ได้ ในการบวกและการลบเอกนามคือ
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
10...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.3 พหุนาม
พหุนาม (polynomial) หมายถึง นิพจน์ท่ีสามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวกของเอกนามต้ังแต่สองเอกนามข้ึนไป
พหุนาม คือ เอกนาม หรือผลบวกของเอกนาม
ตัวอย่าง 1 ตัวอย่างของพหุนาม
7 เป็นเอกนาม และเป็นพหุนาม
-3x เป็นเอกนาม และเป็นพหุนาม
4x3+7 เป็นพหุนามท่ีอยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามสองเอกนาม คือ 4x3 และ 7
5x3+3xy+(-2x) เป็นพหุนามท่ีอยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามสามเอกนาม คือ 5x3 , 3xyและ -2x หรือเขียนใหม่ได้ 5x3+3xy -2x
เพื่อความสะดวกส าหรับพหุนามใด ๆ ที่จะกล่าวต่อไปน้ี จะเรียกแต่ละเอกนามท่ีอยู่ในพหุนามน้ันว่า พจน์ของพหุนาม ในกรณีที่พหุนามน้ันมีเอกนามท่ีคล้ายกัน จะเรียกเอกนามท่ีคล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน เช่น
พหุนาม 7 มี 1 พจน์ คือ 7
พหุนาม 2x + 7 มี 2 พจน์ คือ 2x กับ 7
พหุนาม x2 – 2x +7 มี 3 พจน์ คือ x2, 2x กับ 7
พหุนาม x2 – 2x + 4x +7 มี 4 พจน์ คือ x2,2x,4x กับ7และ -2x กับ 4x เป็นพจน์คล้ายกัน
ในกรณีพหุนามบางพจน์เป็นพจน์ท่ีคล้ายกัน สามารถรวมพจน์ท่ีคล้ายกันเข้าด้วยกันเพื่อท าให้เป็นพหุนามในรูปที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลย เรียกพหุนามท่ีไม่มีพจน์คล้ายกันเลยว่า พหุนามในรูปผลส าเร็จ (polynomial in the simplest form)
11...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
ตัวอย่าง 2 การท าพหุนามให้อยู่ในรูปผลส าเร็จ
1. 7x2+5x+2x2-3x = (7x2+2x2)+(5x-3x)
= (7+2)x2+(5-3)x
= 9x2+2x
2. 4z2+18 – z2 = (4z2-z2) + 18
= (4-1)z2 + 18
= 3z2 + 18
3. 2x2y + y2 – 3 + x2y + 9 = (2x2y + x2y) + [(-3) + 9] + y2
= (2+1) x2y + 6 + y2
= 3x2y + y2 +6
ดีกรีของพหุนาม เมื่อพหุนามอยู่ในรูปผลส าเร็จ โดยถือว่าดีกรีสูงสุดของพจน์ในพหุนามในรูปผลส าเร็จเป็นดีกรีของพหุนาม (ดีกรีของพหุนามแต่ละพจน์ คือ น าเลขชี้ก าลังของตัวแปรแต่ละตัวมารวมกัน )
ตัวอย่าง 3 การหาดีกรีของพหุนาม
1. 7x5 – 5x4 + 2xy – 3y2 เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ
ดีกรีของพจน์ 7x5 เท่ากับ 5 ดีกรีของพจน์ – 5x4 เท่ากับ 4
ดีกรีของพจน์ 2xy เท่ากับ 2 ดีกรีของพจน์ 3y2 เท่ากับ 2
2. 0 เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จท่ีเป็นเอกนาม และไม่กล่าวถึงดีกรีของเอกนาม 0
ดังน้ัน จึงไม่กล่าวถึงดีกรีของพหุนาม 0
พหุนามในรูปผลส าเร็จ
พหุนามในรูปผลส าเร็จ
พหุนามในรูปผลส าเร็จ
12...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
3. 3a3b2c – 22a2b2 + 7abc3 – 33a3b3 เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ
ดีกรีของแต่ละพจน ์ 6 4 5 6
(ดีกรีสูงสุดของพหุนามซ้ ากันให้ตอบเพียงตัวเดียว )
ดังนั้น ดีกรีของพหุนาม 3a3b2c – 22a2b2 + 7abc3 – 33a3b3 เท่ากับ 6
ตัวอย่าง 4 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปน้ีให้เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ และบอกดีกรีของพหุนาม
1. 3a3b2 – 4a2b2 + 5ab5 + 4a3b2 = (3a3b2+ 4a3b2) – 4a2b2 + 5ab5
= 7a3b2 – 4a2b2 + 5ab5
ดังน้ัน พหุนามในรูปผลส าเร็จ คือ 7a3b2 – 4a2b2 + 5ab5 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 6
2. 3n2 + 5 + mn2 + 2mn2 - 8mn2 – 7 - 3n2
= (3n2- 3n2)+ (5 - 7) + (mn2 + 2mn2 - 8mn2)
= -2 – (1 + 2 – 8) mn2
= - 2 – 5mn2
ดังน้ัน พหุนามในรูปผลส าเร็จ คือ - 2 – 5mn2 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 3
3. 4x3 – 5x2y – 6y4+ 2x2y +3x3+y4 = (4x3+3x3)+( – 5x2y+ 2x2y)+( – 6y4+y4)
= 7x3 – 3x2y – 5y4
ดังน้ัน พหุนามในรูปผลส าเร็จ คือ 7x3 – 3x2y – 5y4 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 4
ตัวอย่าง 5 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปน้ี โดยเรียงพจน์ของพหุนามจากดีกรีมากไปน้อย
1. 2x2 + 5 – 3x = 2x2 – 3x + 5
2. 5 – 2x = - 2x + 5
3. 6x2 + 4 – x + 8x3 = 8x3 + 6x2 – x + 4
13...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
แบบฝึกหัดที่ 3
เรื่อง พหุนามและดีกรีของพหุนาม
1. จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปน้ีในรูปผลส าเร็จ พร้อมท้ังบอกดีกรีของพหุนาม
1.1 17x + 2 – 8x – 11 1.2 5y + ( -3x2) + 6x2 + 2y
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ ……………………………………………………………
1.3 10st + (-2x2)+ 6x2 – 8st 1.4 6xy – 5x3 + 7xy + 18x3
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ ……………………………………………………………
1.5 9x2 + 3x2y – 7x2y – 4x2 + 5
…………………………………………………………………………………….
ดีกรี เท่ากับ ..…………………………………………………………
2. จงเขียนพหุนามต่อไปน้ีให้เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ
2.1 a2 – 2ab + b2 – a2 + b2 2.2 4x5 – 4x2 + 5x2 – 3x5 –x5
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
2.3 4a6 – 3a3 + 1 + 5a3 + 2 2.4 x2y – 4xy2 – x3 + x2y
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
14...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.5 m2 – 7m + 6 + 2m2 – 12 2.6 y3 + 3y – 5y2 – 4y – y2 + 1
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
2.7 3x2 + 4y5 – 2x + 5 – 5x2 + y2 – 1 2.8 2m2n – 3mn2 + m2n – 4m2n – 2mn2
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
2.9 5c3d – 4cd3 – 2c3d – 2cd2 2.10 9x2-3xy-y2-3x2-5xy-x2-4xy+y2-7y2
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
3. จงเขียนพหุนามต่อไปน้ีให้เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ และ เรียงพจน์ของพหุนามจากพจน์ที่มีดีกรีน้อยไปพจน์ที่มีดีกรีมาก
3.1 4x5 – 3x2 +5x2 – 3x4 – x5
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3.2 m2 – 7m + 6 + 3m2 – 12m
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3.3 2y3 + 8y – 5y2 – 4y – y2 + 7
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
15...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
3.4 - 6a2 – 3a3 + a + 4a3+ 8a2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3.5 - 8x + 5x3 + x2 – 5x3 + 4x – 7
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2.4 การบวกและการลบพหุนาม
การหาผลบวกพหุนาม การหาผลบวกของพหุนามท าได้โดยน าพหุนามมาเขียนในรูปการบวก และถ้ามีพจน์ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน ซึ่งมีหลักการบวกพหุนาม 2 วิธี คือ
1. การบวกตามแนวราบ
ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามท่ีก าหนดให้ทั้งหมดท่ีต้องการบวกกันในบรรทัดเดียวกัน
ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน
ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ
ตัวอย่าง 1 จงหาผลบวกของพหุนามแต่ละข้อต่อไปน้ีโดยวิธีการบวกตามแนวราบ
1. 5x + 3 และ - 12x + 15 2. 3s + 5st และ - 9s – 3st
3. 2x2 – 3x + 7 และ – x2 + x – 8
วิธีท า 1. (5x + 3) + (- 12x + 15) = 5x + 3 - 12x + 15
= (5x – 12x)+ (3+15)
= - 7x + 18 .............................
16...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2. (3s + 5st) + (- 9s – 3st) = 3s + 5st - 9s – 3st
= (3s - 9s)+ (5st – 3st)
= - 6s + 2st .............................
3. (2x2– 3x + 7)+(– x2 + x– 8) = 2x2– 3x + 7 – x2 + x– 8
= (2x2– x2)+(– 3x+x)+ (7– 8)
= x2 – 2x – 1 .............................
ตัวอย่าง 2 จงหาผลบวกของ 2ab – 3b2+5a2 กับ 2a2 +2ab + 3b2
วิธีท า (2ab – 3b2+5a2) + (2a2 +2ab + 3b2) = 2ab – 3b2+5a2 + 2a2 +2ab + 3b2
= (2ab+2ab)+(–3b2+ 3b2)+(5a2 + 2a2)
= 4ab +0 + 7a2
= 4ab + 7a2 .............................
ตัวอย่าง 3 จงหาผลบวกของ 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3+2c2+7
วิธีท า (3c3– 8c2+ 2c– 1)+( 5c3+2c2+7) = 3c3– 8c2 + 2c– 1 + 5c3 + 2c2 + 7
= (3c3+ 5c3)+(– 8c2+ 2c2) + 2c+(–1 + 7)
= 8c3- 6c2 + 2c + 6 .............................
2. การบวกในแนวตั้ง
ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามท่ีก าหนดให้ โดยให้พจน์ท่ีคล้ายกันอยู่ตรงกัน
ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน
ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ
17...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
ตัวอย่าง 4 จงหาผลบวกของพหุนามแต่ละข้อต่อไปน้ีโดยวิธีการบวกในแนวต้ัง
1. 7xy - st และ – 10st + 3xy 2. 3x + 9y - 15 และ 2 + 8y - z
3. 7y , -16y+ 2 และ y2 + 6y
วิธีท า 1. 7xy – st 2. 3x + 9y - 15
3xy – 10st 8y – z + 2
10xy – 11st 3x +17y – z – 13
3. 7y
-16y + 2
y2 + 6y
y2 – 3y + 2
หมายเหต ุ ในการบวกในแนวต้ังกรณีไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน ให้เว้นที่ว่างไว้
ตัวอย่าง 5 จงหาผลบวกของ 2ab – 3b2+5a2 กับ 2a2 +2ab + 3b2
วิธีท า 5a2 +2ab – 3b2
2a2 +2ab +3b2
7a2 +4ab + 0 = 7a2 +4ab ............................
ตัวอย่าง 6 จงหาผลบวกของ 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3+2c2+7
วิธีท า 3c3 – 8c2 + 2c – 1
5c3 + 2c2 +7
8c3 – 6c2 +2c +6 ............................
+ +
+
+
+
ง่ายจังเลยค่ะ
18...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
การหาผลลบพหุนาม การลบของพหุนามด้วยพหุนาม ท าได้โดยการบวกพหุนามท่ีเป็นตัวต้ังด้วยพจน์ตรงข้ามของพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามท่ีเป็นตัวลบ
ตัวอย่างการหาพหุนามตรงข้าม (inverse polynomial for addition) เช่น
x – 5 พหุนามตรงข้ามคือ - (x – 5) = -x –(- 5) = -x + 5
- x3 + 5y พหุนามตรงข้ามคือ -(- x3 + 5y) = -(-x3) -5y = x3 - 5y
ข้อสรุปของการลบพหุนาม
พหุนามตัวตั้ง – พหุนามตัวลบ = พหุนามตัวต้ัง + พหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ
โดยหลักการลบพหุนามมี 2 วิธี ดังน้ี
1. การลบตามแนวราบ
ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามท่ีก าหนดให้ทั้งหมดท่ีต้องการลบกันในบรรทัดเดียวกัน แต่ยึดหลักการลบ คือ การบวกด้วยพจน์ตรงข้ามของพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามท่ีเป็นตัวลบ
ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน
ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลส าเร็จ
ตัวอย่าง 7 จงหาผลลบของพหุนามต่อไปน้ี
1. (3 + 5x + x2) – (8x2 – 9x) 2. (4z2+7z - 5) – (9z +1)
3. (5x2 + 6x - 4) – (3x2 – 12x – 1)
วิธีท า 1. (3 + 5x + x2) – (8x2 – 9x) = (3 + 5x + x2) + [-(8x2 – 9x)]
= (3 + 5x + x2) + (-8x2 + 9x)
= 3 + 5x + x2 -8x2 + 9x
= 3 + ( 5x + 9x) + (x2 -8x2)
= 3 + 14x – 7x2 ………………………………..
19...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2. (4z2+7z - 5) – (9z +1) = (4z2+7z - 5) + [– (9z +1)]
= (4z2+7z - 5) + [– 9z -1 ]
= 4z2+7z - 5 – 9z -1
= 4z2+(7z – 9z) - 5 -1
= 4z2 – 2z – 6 ………………………………
3. (5x2 + 6x - 4) – (3x2 – 12x – 1) = (5x2 + 6x - 4) + [– (3x2 – 12x – 1)]
= (5x2 + 6x - 4) + [– 3x2 + 12x + 1 ]
= 5x2 + 6x - 4 – 3x2 + 12x + 1
= (5x2 – 3x2) + (6x + 12x) + (- 4 + 1)
= 2x2 + 18x – 3 ………………………………
ตัวอย่าง 8 จงหาผลลบของ 5y3 + 2y2 – y กับ 2y3 + 3y
วิธีท า (5y3 + 2y2 – y) - (2y3 + 3y) = …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
ตัวอย่าง 9 จงหาผลลบของ 4x2- 3xy -2y2 กับ 2x2 + 3xy – 5y2
วิธีท า (4x2- 3xy -2y2) - (2x2 +3xy – 5y2) = …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
20...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2. การลบในแนวตั้ง
เขียนพหุนามท่ีก าหนดให้ทั้งหมดโดยให้พจน์ท่ีคล้ายกันอยู่ตรงกัน โดยท าได้ 2 แบบ คือ
ตัวอย่าง 10 จงหาผลลบของ 4x2 – 2x – 1 กับ x2 – x + 4
วิธีท า แบบที่ 1 ท าการลบเหมือนกับตัวเลขทั่วไป
ตัวตั้ง 4x2 – 2x – 1
ตัวลบ x2 – x + 4
3x2 – x - 5
แบบที่ 2 เปลี่ยนการลบให้อยู่ในรูปการบวกพจน์ตรงข้าม แล้วหาผลบวก
(4x2 – 2x – 1) - (x2 – x + 4) = (4x2 – 2x – 1) + (- x2 + x - 4)
ตัวตั้ง 4x2 – 2x – 1
ตัวลบ - x2 + x - 4
3x2 – x - 5
ข้อสังเกต หลักการของการลบพหุนาม จะบวกพหุนามท่ีเป็นตัวต้ังด้วยพจน์ตรงข้าม
ของแต่ละพจน์ของพหุนามท่ีเป็นตัวลบ
ข้อสังเกตคือ 1. การลบพหุนามสองพหุนาม ท าได้โดยถอดวงเล็บของตัวลบ เปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละพจน์ของตัวลบเป็นเครื่องหมายตรงข้ามแล้วน าผลที่ได้ไปบวกกับตัวตั้ง 2. การบวกกัน จ านวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกันน ามาบวกกัน เครื่องหมายต่างกันน ามาลบกัน
จากเรื่องการลบพหุนาม นักเรียนพบข้อสังเกตอะไรบ้างค่ะ
_ เปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบเป็นตรงข้ามแต่ไม่แสดงให้เห็น (ทดไว้ในใจ) แล้วน าตัวตั้งและตัวลบมาบวกกัน
+ เปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบเป็นตรงข้าม แล้วน าตัวตั้งและตัวลบมาบวกกัน
21...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
ตัวอย่าง 11 จงหาผลลบของ 4x2 – 3xy – 2y2 กับ 2x2 + 3xy – 5y2
วิธีท า แบบที่ 1 4x2 – 3xy – 2y2
2x2 + 3xy – 5y2
แบบที่ 2 (4x2–3xy –2y2) - (2x2+3xy–5y2) = (4x2–3xy –2y2) + (- 2x2 -3xy + 5y2)
4x2 – 3xy – 2y2
2x2 + 3xy – 5y2
ตัวอย่าง 12 จงหาผลส าเร็จของ [(2x2 - 5xy + 6y2)+( 3y2 + 7- 8xy)] - (3x2 + 2xy - 5)
วิธีท า แบบแนวราบ [(2x2 - 5xy + 6y2)+(3y2 + 7- 8xy)]- (3x2 + 2xy - 5)
= (2x2 - 5xy + 6y2 + 3y2 + 7 - 8xy) - (3x2 + 2xy - 5)
=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
แบบแนวตั้ง 2x2 - 5xy + 6y2
- 8xy + 3y2 + 7
_
+
+
_
22...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
แบบฝึกหัดที่ 4
เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม
1. จงหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปน้ี โดยวิธีแนวราบและแนวต้ัง
1.1 5a3+a กับ 2a3 + 3a
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
1.2 x2 + x + 3 กับ 4x2 – 4
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
1.3 3xy2 – x2y กับ 2xy2 – 1
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
1.4 5y2 – 3y – 9 กับ 16y2 +5y – 8
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
1.5 3m2 + 4 กับ 5m2 – 2m – 7
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
+
+
+
+
+
23...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
1.6 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3 + 2c2 + 7
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
1.7 4x2 – 3xy + 5x2y – 4x กับ 3x2 – 5xy + 3x2y
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
1.8 2a2b + b3 กับ a3 + 2a2b +3ab2 + b3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
1.9 x2 – 4xy + 4y2 กับ 3x2 + 2xy – y2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
1.10 3yz – 7xy – 5x2yz กับ 4x2yz – 3yz + 5xy
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
+
+
+
+
+
24...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2. จงหาผลลบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปน้ี โดยใช้พหุนามแรกเป็นตัวต้ัง ท าทั้งวิธีแนวราบและแนวต้ัง
2.1 5m2 – 3m + 2 กับ 4m2 – 7m
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.2 3a2 – 4b2 + ab กับ a2 – 10b2 – 5
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.3 4y2 – 5y กับ 2y2 + 3y – 4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.4 3x2 + 2xy - 5 กับ 2x2 – 5xy + 7
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.5 4a4 + 3a2b2 – 2b4 กับ - 5a4 – a2b2 + b4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
25...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.6 2x3 – 7x2 – 5x + 2 กับ 3x2 + 2x – x3 – 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.7 5y3 + 2y2 + 7 กับ 3y3- 8y2 + 2y – 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.8 3c4 – 2c3d + 5c2d2 – cd3 กับ 6c3d – 4c2d2 + 3d4
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
2.9 5x2 – x3 + 2x – 7 กับ - 2x3 – 4x2 + 8x – 9
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
2.10 3y3 – 2y2 + 4y + 1 กับ - 4y3 + y2 – 2y + 6
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
26...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
3. จงท าให้เป็นผลส าเร็จ
3.1 (a3 – b3) + (ab2 – a2b)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.2 (3x4 – 2x3 + x2 – 3) – (x3 – 3x – x + 5)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.3 (3m - 2n) + (2m – 3n) – (m + n – 3)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.4 (5t4 – 2t3 + 3t – 4) – (- 2t3 + 3t2 + 4)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.5 (5a2+ 2a + 5) + (- 2a2 + 3a - 5) - (4a2 + 5a)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
27...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
3.6 (4x2 – 3xy – 2y2) + (2x3 + 3xy – 5y2) – (2x3 – 10y2)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.7 (3y2 – 4y + 5) – (y3 + 2y2 + 3) + (2y3+ 5y – 1)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.8 (3x4 + 4x3 – 2x2 – 8x + 5) – (4x4 – 9x3+ 3x2 – 6x + 3 )
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
เอ!.......... ชักจะงงแล้วซิ
เย็นน้ีคงต้องทบทวนแล้ว
28...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.5 การคูณและการหารพหุนาม
การคูณและการหารพหุนาม