1
제 3 장 관계 (Relations)
이항 관계 (Binary Relations)
관계의 표현 (Representation of Relations)
합성 관계 (Composite Relation)
관계의 성질 (Properties of Relation)
동치 관계와 분할 (Equivalence Relations and Partitions)
순서 관계 (Order Relations)
2
3.1 이항 관계 (Binary Relations)
두 집합 A, B 에 대하여 A 로부터 B 로의 이항 관계 R 은 두 집합의 곱집합 A B 의 부분 집합이다 . A B
의 원소인 순서쌍 (a, b) 가 주어졌을 때 , aRb 는 (a, b) R 의 필요
충분 조건이다 .
a R b (a, b) R
a b (a, b) R
정의역 (domain) 관계 R 의 순서쌍에서 모든 첫 번째 원소의 집합 : dom(R) Dom(R) = {a | (a, b) R} A
치역 (range) 모든 두 번째 원소의 집합 : ran(R) Ran(R) = {b | (a, b) R} B
R
정의 3.1정의 3.1
두 개의 원소로 구성된 순서쌍 (ordered pair) 의 집합
3
기본 개념 ( 계속 )
예제 3.1, 3.2 풀이
[ 예제 3.3]
두 집합 A={a, b}, B={1, 2} 일 때 를 구하고 , A 에서
B 로의 관계를 모두 나타내어라 .
[ 풀이 ]
의 모든 부분집합이 A 에서 B 로의 관계이므로 모든 관계의수는 24=16
BA
4
역관계 (Inverse Relation)
< 정의 3.2>
관계 R 에 대한 역관계는 R-1로 표기하고 , 순서쌍 (a, b)
R 일 때 (b, a) R-1이다 .
R-1 = {(b, a) | (a, b) R}
[ 예제 3.4] 두 집합 A={1, 2, 3}, B={3, 4} 에서 관계 R ={(1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 일 때 관계 R 의 역관계 R-1 을 구하여라 .
[ 풀이 ] R-1={(3, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)}
정의 3.2정의 3.2
5
3.2 관계의 표현 (Representation of Relations)
관계의 표현 방법 서술식 방법
예 ) 집합 A={1, 2, 3} 에서 원소 a, b 가 a>=b 인 관계 R
나열식 방법 예 ) R = { ((1, 1), (2, 1), (2, 2), (3,1), (3, 2), (3, 3) }
순서쌍의 원소들간의 관계를 그래프로 표현하는 방법 화살표 도표 좌표 도표 방향 그래프 관계행렬
6
화살표 도표 (Arrow Diagram)
화살표 도표 a A, b B 이고 (a, b) R 일 경우 집합 A 에 있는 원소 a 에서 집합 B 의 원소 b 로 화살표를 그려서 관계를 표현한다 .
< 예제 3.5> 집합 A = {1, 2, 3, 4}, 집합 B = {a, b, c} 라 하고 그들 사이의 관계 R = {(1, a), (1, c), (2, b), (3, a), (3, c), (4, b)} 일 경우 ,
관계 R 을 화살표 도표를 이용하여 나타내어라 .
< 풀 이 >
예제 3.5예제 3.5
7
좌표 도표 (Coordinate Diagram)
a A, b B 이고 (a, b) R 일 경우 집합 A 의 원소를 x 축 위의 점으로 표시하고 집합 B 의 원소를 y 축 위의 점으로 생각하여 a 와 b
가 만나는 곳에 점으로 표시한다 .
< 예제 3.6> A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4} 이고 , 집합 A 에서 집합 B
로의 관계 R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (4, 2), (4, 4), (5, 2), (5, 3)} 일 때 ,
관계 R 을 좌표 도표를 이용하여 표시하여라 .
< 풀 이 >
예제 3.6예제 3.6
8
방향 그래프 (Directed Graph)
관계 R 이 두 집합 사이의 관계가 아니고 하나의 집합에 대한 관계일 때 집합 A 의 각 원소를 그래프의 정점 (vertex) 으로 표시
(a, b) R 일 경우 a 에서 b 로 화살표가 있는 연결선 (edge) 으로 표현
루프 (loop) (a, a) 가 관계일 때 a 에서 a 로 그리게 되는 에지
< 예제 3.7> 집합 A = {1, 2, 3, 4, 5} 이고 , 관계 R = {(a, b) | a>b, a, b
A} 이라 할 때 , 관계 R 에 대한 방향 그래프를 그려라 . 예제 3.8
< 풀 이 >
예제 3.7예제 3.7
2
1
5
4
3
2
1
9
관계 행렬
A = {a1, a2, ..., an}
B = {b1, b2, ..., bm}
M[i, j] = 1 if (ai, bj) R
0 if (ai, bj) R
< 예제 3.9> 집합 A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6} 에 대한 관계 R 의 순서쌍들의 집합이 다음과 같다 . R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (3, 4), (3, 6)}관계 R 을 관계 행렬로 표현하여라 . 예제 3.10 < 풀 이 >
2 4 6
1 1 1 0
M = 2 1 0 0
3 0 1 1
{예제 3.9예제 3.9
10
3.3 합성 관계 (Composite Relation)
< 정의 3.3> 합성 관계세 집합 A, B, C 에서 R1 A B, R2 B C 라 하면 , 집합 A 에서
집합 C 로의 합성 관계 R1 R2 또는 R1 R2 는 다음과 같이 정의된다 .
R1 R2 = {(a, c) | aA, c C, (a, b) R1 이 고 (b, c) R2}
< 예제 3.11> 집합 A, B, C 가 각 각 A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}, C =
{x, y, z} 이고 , 집합 A 에서 집합 B 로의 관계를 R, 집합 B 에서 집합 C 로의 관계를 S 라 한다 . R 과 S 가 다음과 같을 때 합성 관계 R·S 를 화살표 도표를 사용하여 나타내어라 .
R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, a), (4, b), (4, c)}
S = {(a, x), (b, y), (c, x), (c, z)}
정의 3.3정의 3.3
예제 3.11예제 3.11
11
합성관계 ( 계속 )
관계행렬을 이용한 합성관계 예제 3.12
R S
R S
]),[],[...((
]),2[]2,[((]),1[]1,[(],[
jnMniM
jMiMjMiMjiM
SR
SRSRSR
12
< 예제 3.13> 집합 A = {a, b, c, d} 이고 , A 에 대한 관계 R 이 R = {(a, c), (b, b), (b, d), (c, b), (d, a) }
일 때 R·R 을 관계 행렬을 이용하여 구하여라 .
방향그래프로 그리면 ??
예제 3.13예제 3.13
13
< 정의 3.4> Rn
n 1 일 때 Rn은 다음과 같이 정의한다 .
Rn = R if n = 1
R·Rn-1 if n > 1
< 예제 3.14> 집합 A = {1, 2, 3, 4} 에 대한 관계 R 이 다음과 같이 주어졌 을 때 R2와 R3를 구하여라 .
R = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}
< 풀 이 > 관계 R 에 대한 방향 그래프를 그리면
이 된다 .
정의 3.4정의 3.4
예제 3.14예제 3.14
14
R2와 R3는 각 정점에서 길이가 2 또는 3 인 경로를 갖는 정점을 찾아서 화살표를 가진 연결선으로 이어 주면 된다 . R2와 R3에 대한 방향
그래프는 아래와 같다 .
15
< 정리 3.1>
집합 A 에 대한 관계를 R 이라 하면 다음이 성립한다 .
( 1 ) Rx Ry = Rx+y
( 2 ) (Rx )y = Rxy , x, y N
< 정리 3.2>
집합 A, B, C, D 에서 R 이 A 에서 B 로의 관계 , S 가 B 에서 C
로의 관계 , 그리고 T 가 C 에서 D 로의 관계를 나타낼 때
다음의 두 식이 성립한다 .
( 1 ) R • ( S • T ) = ( R • S ) • T
( 2 ) ( R • S ) -1= S -1 • T -1
정리 3.1정리 3.1
정리 3.2정리 3.2
16
항등 관계 (Identity relation)
< 정의 3.5>
집합 A 에 대한 항등 관계 IA는 다음과 같이 정의된다 .
IA = {(a, a) | aA}
IAR = RIB = R
< 예제 3.15> A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3} 이고 , 집합 A 에서 집합 B 로의 관계가 R 과 S 로 나타내어진다 .
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 2)}
S = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}
이 경우 다음을 구하여라 .
(1) IA (2) IB
(3) IAR (4) R·S
(5) (R·S)-1 (6) (R·S)·R
정의 3.5정의 3.5
예제 3.15예제 3.15
17
3.4 관계의 성질 (Properties of Relation)
집합 A 에 대한 관계 R 반사관계 (Reflexive relation)
모든 a∈A 에 대하여 aRa 일 때의 R
비반사관계 (Irreflexible relation) 모든 a∈A 에 대하여 일 때의 R
대칭관계 (Symmetric relation) 모든 a, b∈A 에 대하여 aRb 이면 bRa 일 때의 R
반대칭관계 (Antisymmetric relation) 모든 a, b∈A 에 대하여 aRb 이고 bRa 이면 a=b 일 때의 R
추이관계 (Transitive relation) 모든 a, b, c∈A 에 대하여 aRb 이고 bRc 이면 aRc 일 때의 R
aa R
18
3.4 관계의 성질 (Properties of Relation)
< 정의 3.6> 반사 관계 (Reflexive relation)
집합 A 에 있는 모든 원소 x 에 대하여 xRx 이면 , 즉 (x, x)
R 이면 관계 R 을 반사 관계라고 한다 . 그림 3.2
정의 3.6정의 3.6
19
비반사 관계 (Irreflexive relation)
집합 A 의 모든 원소 aA 에 대하여 (a, a) R 인 관계
< 예제 3.18> A = {a, b, c} 이고 관계 R1과 R2가 다음과 같을 때 이
관계가 반사 관계인지 비반사 관계인지를 구분하여라 .
(1) R1 = {(a, b), (a, c), (b, a), (c, a), (c, b)}
(2) R2 = {(a, b), (b, a), (b, b), (c, c)}
< 풀 이 >
(1) R1 의 경우는 (a,a), (b,b), 혹은 (c,c) 의 순서쌍이 포함되어 있지
않으므로 비반사 관계이다 .
(2) R2 의 경우는 (b,b) 와 (c,c) 가 포함되어 있으나 (a,a) 가 포함되어
있지 않으므로 , 반사 관계도 비반사 관계도 아니다 .
예제 3.18예제 3.18
20
대칭 관계 (Symmetric relation)
< 정의 3.7> 집합 A 에 있는 원소 x, y 에 대하여 (x, y) R 일 때 (y, x) R
이면 관계 R 을 대칭 관계라고 한다 . < 그림 3.3>
< 예제 3.19> x, y 가 자연수의 집합 N 의 원소일 때 다음의 관계들이 대칭 관계인지 아닌지를 구별하여라 . (1) R1 = {(x, y) | x N, y N, x + y = 20}
(2) R2 = {(x, y) | x N, y N, x y}
(3) R3 = {(x, y) | x N, y N, x = y}
정의 3.7정의 3.7
예제 3.19예제 3.19
21
반대칭 관계 (Antisymmetric relation)
< 정의 3.8>집합 A 에 있는 모든 원소 x, y 에 대하여 (x, y) R 이고 (y, x) R 일 때 x = y 인 관계를 만족하면 , 관계 R 을 반대칭 관계라고 한다 .
< 예제 3.20> 다음의 관계들이 반대칭 관계인지 아닌지를 구별하여라 . (1) R1 = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}
(2) R2 = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (4, 1)}
(3) R3 = {(a, b) | a N, b N, a b}
< 풀 이 >(1) R1의 경우는 a b 일 때 , (a,b) R1 이면 , (b,a) R1 이므로 , 반대칭 관계이다 .
(2) R2의 경우는 (1, 3) R2 이고 , (3, 1) R2 이나 1 3 이므로 , 반대칭 관계가 아니다 .
(3) R3의 경우는 a = b 일 때 , (a,b) R3 가 되고 , a b 일 때 , (a,b) R3
이면 , (b,a) R3 이므로 , 반대칭 관계이다
정의 3.8정의 3.8
예제 3.20예제 3.20
22
추이 관계 (Transitive relation)
< 정의 3.9>
집합 A 에 있는 원소 x, y, z 에 대하여 관계 R 이 (x, y) R 이고 (y, z) R 이면 (x, z) R 인 관계를 만족하면 관계 R 을 추이 관계라고 한다 .
< 예제 3.21> 다음의 방향 그래프로 표현된 관계들이 추이 관계인지를 구별하여라 .
정의 3.9정의 3.9
예제 3.21예제 3.21
23
< 예제 3.22> 집합 A = {1, 2, 3, 4} 일 때 다음의 관계들에 대하여 그 관계가
반사 , 대칭 , 반대칭 , 추이 관계인지를 구별하여라 .
(1) R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (4, 4)}
(2) R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4)}
(3) (4) R4 1 2 3 4
1 1 1 0 0
M = 2 1 1 0 0
3 0 0 1 1
4 0 0 1 1
예제 3.22예제 3.22
24
반사 클로우저 (reflexive closure)
반사 클로우저 (reflexive closure)
관계 R 을 포함하고 반사적이며 , R 이 포함된 모든 반사관계 안에
포함됨
R 이 집합 A 에 대한 관계일 때 R 의 반사클로우저
[Example]
집합 A={a, b, c, d} 에 대한 관계 R={(a, b), (a, c), (c, b), (d, a), (d, d)} 의
반사클로우저를 구하여라 .
[ 풀이 ]
{(a, b), (a, c), (c, b), (d, a), (d, d)} {(∪ a, a), (b, b), (c, c)}
={(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (c, b), (c, c), (d, a), (d, d)}
}|),{( AaaaR
25
대칭 클로우저 (symmetric closure)
대칭클로우저 (symmetric closure) 관계 R 을 포함하고 대칭적이며 , R 이 포함된 모든 대칭관계 안에
포함됨 R 이 집합 A 에 대한 관계일 때 R 의 대칭 클로우저
[Example]
집합 A={0, 1, 2, 3} 에 대한 관계 R={(0, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 2)} 의
대칭클로우저를 구하여라 .
[ 풀이 ]
{(0, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 2)} {(1, 0), (2, 1)}∪
={(0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)}
}),(|),{( RbaAAabR 1RR
26
추이 클로우저 (Transitive closure)
관계 R 의 추이 클로우저 (transitive closure) : R* 임의의 정점에서 적어도 길이가 하나 이상인 경로로 도달할 수 있는
정점들의 집합
R* = Rn = R R2 R3 ...
< 예제 3.23> 집합 A = {1, 2, 3, 4} 이고 관계 R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1),
(2, 3), (3, 4)} 일 때 R2와 R* 를 구하여라 .
< 풀 이 >
R2= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 4)}
R*= R R2 R3 … 이므로 ,
R*= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 이다 .
i=1
예제 3.23예제 3.23
27
3.5 동치 관계와 분할
< 정의 3.10> 동치 관계 관계 R 이 반사적 , 대칭적 , 추이적일 때 이를 동치 관계라고 한다 .
반사관계 : 모든 a∈A 에 대하여 aRa 일 때의 R
대칭관계 : 모든 a, b∈A 에 대하여 aRb 이면 bRa 일 때의 R
추이관계 : 모든 a, b, c∈A 에 대하여 aRb 이고 bRc 이면 aRc 일 때의
R
< 예제 3.24> 집합 A = {1, 2, 3, 4} 이고 A 에 대한 관계가 다음과 같다 .
R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 2), (4, 4)}
R 이 동치 관계임을 보여라 .
< 예제 3.25> 집합 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 이고 R = {(x, y) SS | x -y 는 2 로
나누어 진다 } 일 때 , 관계 R 이 동치 관계임을 보여라 .
정의 3.10정의 3.10
예제 3.25예제 3.25
예제 3.24예제 3.24
28
동치류 (Equivalence classes)
집합 A 에 대한 동치 관계를 R 이라 하면 , 집합 A 의 각 원소 x 에 대하여 [x] 를 R 에 대한 x 의 동치류라 하 고
[x] = {y | (x, y) R} 로 정의한다 .
몫집합 (quotient set): 집합 A 의 동치류의 모임 A / R = {[x] | x A}
< 예제 3.26> 집합 S 와 그에 대한 관계 R 이 예제 3.25 와 같을 때 각 원소의 동치류를 구하고 , 몫집합 S / R 을 구하여라 .
정의 3.11정의 3.11
예제 3.26예제 3.26
29
[Example]관계 R1, R2가 동치관계인지 판별하고 , 동치관계일 경우 동치류를 구하여라 .(1) 집합 {1, 2, 3, 4} 에 대한 관계 R1={(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4),
(3, 1), (3, 3), (4, 2), (4, 4)}(2) 집합 {1, 2, 3, 4, 5} 에 대한 관계 R2={(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}
[ 풀이 ](1) 동치관계 동치류 : [1]=[3]={1, 3}, [2]=[4]={2, 4}(2) 동치관계 동치류 : [1]=[3]=[5]={1, 3, 5}, [2]={2}, [4]={4}
30
분할 (Partitions)
< 정의 3.12>
공집합이 아닌 집합 A 의 분할은 A 의 부분 집합의 모임 {A1, A2, ..., An}
을 말하며 , 다음 조건을 만족시킨다 .
(1) Ai , 1 i n
(2) A = Ai
(3) Ai Aj = , i j
< 예제 3.27> A = {1, 2, 3, 4, 5} 이고 A 의 부분 집합이 A1 = {1}, A2 = {2, 3, 5},
A3 = {4} 일 때 이들이 집합 A 의 분할이 되는 지를 밝혀라 .
< 정리 3.3>
집합 A 에 대한 동치 관계가 R 일 때 A 의 몫집합 A / R 은 집합 A 의 분할 이다 .
ni=1
정의 3.12정의 3.12
예제 3.27예제 3.27
정리 3.3정리 3.3
31
3.6 순서 관계 (Order Relations)
< 정의 3.13> 부분 순서 관계 (partially ordered relation, partial order)
집합 A 에 대한 관계 R 이 반사 관계 , 반대칭 관계 , 추이 관계가 성립하면 관계 R 을 부분 순서 관계라 한다 .
반사관계 : 모든 a∈A 에 대하여 aRa 일 때의 R
반대칭관계 : 모든 a, b∈A 에 대하여 aRb 이고 bRa 이면 a=b 일 때의
R 추이관계 : 모든 a, b, c∈A 에 대하여 aRb 이고 bRc 이면 aRc 일 때의 R
R 이 A 에 대한 부분 순서 관계이면 순서쌍 (A, R) 을 부분 순서 집합 (pa
rtially order set, paset) 이라 한다 .
< 예제 3.29> 다음의 관계들이 부분 순서 관계임을 보여라 .
(1) 자연수의 집합 (N) 에 대한 관계 (2) 집합 S 의 부분 집합간의 포함 관계
정의 3.13정의 3.13
예제 3.29예제 3.29
32
부분순서관계 ( 계속 )
부분순서관계는 관계 ≤를 일반화하는 것
집합 A 에 대한 관계 R 이 부분순서관계일 때 (a, b)∈R 을
나타내기 위해서 ‘ ’를 사용하여 라고 나타냄
‘a 가 b 보다 우선한다 (a precedes b)’ 라는 의미
비교 가능집합 A 에 대한 관계 R 이 부분순서관계고 a, b∈A 일 때
또는 이면 a 와 b 는 비교가능 (comparable)
또는 이면 a 와 b 는 비교불가능 (noncompar
able)
ba
ba ab
ba ab
33
부분순서관계
선형 순서 집합 (linearly ordered set)
집합 A 의 모든 두 원소가 비교 가능한 집합
선형순서관계 (linear order relation)
집합 A 에 속하는 원소들의 모든 쌍이 비교가능할 때의 R
< 예제 3.30> 부분 순서 집합 (N, ) 에서 자연수 2 와 5 는 비교 가능한가 ?
또 , 7 과 4 는 비교 가능한가 ?
< 풀 이 > 2 5 이기 때문에 2 와 5 는 비교 가능하다 .
4 7 이기 때문에 7 과 4 역시 비교 가능하다 .
예제 3.30예제 3.30
34
하세 도표 (Hasse diagram)
부분 순서 집합을 그림으로 나타내는 방법
방향 그래프의 일종으로 화살표는 표시하지 않음 화살표는 모든 아크의 윗쪽을 향하는 것으로 약속
순환 (cycle) 은 표시하지 않음
if x y, and there is no z such that x z y
1
2
3
4
12
3
4
예제 ) 방향그래프
12
3
4
반사제거
12
3
4
추이제거 하세 도표
12
3
4
35
하세 도표 (Hasse diagram)
Motivation
trying to draw the graph,
would result in a graph that would be very "busy".
carry a lot of redundant information
Recall the requirements on a partial order:
a ≤ a ( 반사 : reflexivity)
if a ≤ b and b ≤ c then a ≤ c ( 추이 : transitivity)
if a ≤ b and b ≤ a then a = b ( 반대칭 : antisymmetry)
Remove redundant information
reflexivity and transitivity– do not need the edges to the other predecessors
36
< 예제 3.31> 집합 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 일 때 나누어짐에 관한 관계 ,
즉 , x, y 가 A 의 원소일 때 mod(x, y) = 0 (x 는 y 로 나누어
나머지가 0 이 된다 ) 이 되는 관계에 대한 방향 그래프와 하세
도표를 그려라 .
예제 3.31예제 3.31
1
23 5
4 6
1
23 5
4 6
37
부분순서관계 ( 계속 )
[ 예제 3.32]
집합 {a, b, c} 에 대한 멱집합 (power set) 을 A 라고 할 때 부분순서집합
에 대한 하세도표를 그려라 .
[ 풀이 ]
),( A
38
부분순서관계 ( 계속 )
[ 정의 15]부분순서집합 가 있을 때극대원소 (maximal element)
A 의 원소 a 에 대하여 인 원소 b 가 A 에 존재하지 않을 때 원소
a
극소원소 (minimal element) 인 원소 b 가 A 에 존재하지 않을 때 원소
a
),( A
ba
ab
39
부분순서관계 ( 계속 )
[ 정의 16]최대원소 (greatest element)
부분순서집합 A 의 모든 원소 b 에 대하여 인 A 의 원소 a
최소원소 (least element) 부분순서집합 A 의 모든 원소 b 에 대하여 인 A 의 원소 a
ab
ba
40
부분순서관계 ( 계속 )
[ 예제 48]
다음의 하세도표에서 극대원소 , 극소원소 , 최대원소 , 최소원소를 찾아라 .
(1) (2)
(3)
41
부분순서관계 ( 계속 )
[ 풀이 ](1) 극대원소 : 5 극소원소 : 1 과 2 이다 최대원소 : 5 최소원소 : 없음
(2) 극대원소 : e 와 f 극소원소 : a 최대원소 : 없음 최소원소 : a
(3) 극대원소 : I 극소원소 : a, b, c 최대원소 : I 최소원소 : 없음
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