问题探究如图,是一块直角三角形余料,∠ C=90° ,工人
师傅要把它加工成一个正方形零件,使点 C 为正方形的一个顶点,其余三个顶点分别在AB、 BC、 AC 边上.你有什么办法吗?
双流中学实验学校 朱春烨
还记得角平分线上的点有什么性质吗 ?你是怎样得到的 ?
用心想一想
角平分线上的点到角两边的距离相等.
已知:如图, OC是∠ AOB的平分线,点 P 在 OC上,PD OA⊥ , PE OB⊥ ,垂足分别为 D 、 E.
求证: PD=PE.
证明:∵∠ 1= 2∠ , OP=OP,
∠PDO= PEO=90°∠ ,
在△ PDO 和△ PEO 中,
∠1= 2 ∠
∠PDO= PEO ∠
OP=OP
∴△PDO PEO(AAS)≌△ .
∴ PD=PE(全等三角形的对应边相等 )
21
E
D
CP
O
B
A
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
21
E
D
CP
O
B
A
如果有一个点到角两边的距离相等,那么这个点必 在这个角的平分线上.
你能写出这个定理的逆命题吗 ?
用心想一想,马到功成
角平分线性质定理的逆命题:在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.
这是一个真命题吗 ?
已知:在∠ AOB内部有一点 P,且 PD OA⊥ , PE OB⊥ ,D 、 E为垂足且 PD=PE,
求证:点 P在∠ AOB的角平分线上.
用心想一想,马到功成
证明:∵ PD OA⊥ , PE OB⊥ ,
∴∠ PDO= PEO=90°∠ .
在 Rt ODP△ 和 Rt OEP△ 中
OP=OP,
PD=PE
∴ Rt ODP Rt OEP(HL)△ ≌ △ .
∴∠ 1= 2(∠ 全等三角形对应角相等 ).
21
E
D
CP
O
B
A
角平分线的判定定理
在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.
• 例 1 :在 △ ABC 中,∠ BAC = 60° ,点 D 在 BC 上, AD = 10 , DE AB⊥ , DF AC⊥ ,垂足分别为 E , F ,且 DE = DF ,求 DE 的长 .
用心做一做,马到功成
问题解决如图,是一块直角三角形余料,∠ C=90° ,工人
师傅要把它加工成一个正方形零件,使点 C 为正方形的一个顶点,其余三个顶点分别在AB、 BC、 AC 边上.你有什么办法吗?
课堂小结 , 畅谈收获:
( 一 )角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
( 二 ) 角平分线的判定定理
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.