[ CHAOS und FRAKTALE ][ CHAOS und FRAKTALE ]
Steffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli QuitschSteffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli QuitschStefan Quint - Johannes Horlemann - Achim BoltzStefan Quint - Johannes Horlemann - Achim Boltz
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]I. Chaos?!I. Chaos?!
Begriff „Chaos“Chaos“ 1973 von James A. Yorke geprägt
Beschreibung komplexer, dynamischer Systeme, die chaotisch wirken, aber durch Formeln beschreibbar sind
Laplace bzw.Laplace bzw. Klare Gesetzmäßigkeiten
Determinismus:Determinismus: Linearität
strenge Vorhersagbarkeit
Kausalitätsprinzip
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]I. Chaos?!I. Chaos?!
Reduktionismus entspricht nicht der Realität
hochkomplexe Systeme mit Rückkopplung
nie gleiche Bedingungen in der Praxis
Sensititve AbhängigkeitSensititve Abhängigkeit (bei chaotischen Systemen)
„kleine und kleinste Veränderungen der Anfangsbedingungen
können größte Effekte verursachen“
Beispiele: Wettervorhersage, Billardspiel „SchmetterlingseffektSchmetterlingseffekt“
Deterministisches ChaosDeterministisches Chaos
Ein System folgt streng einer Rechenvorschrift,
ist aber nicht vorhersagbar.
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]II. Logistische AbbildungII. Logistische Abbildung
XXnn = c * X = c * Xaa (1 – X (1 – Xaa)) Beispiel für Populationsentwicklung
Logistische Abbildung Logistische Abbildung Xn Populationsdichte
Xa Vorjahrespopulation
c Anzahl der Nachkommen
Diskrete Funktionswerte
Iteration ( output als input )Iteration ( output als input )
Kleinste Abweichung von c wird verstärkt sensitive sensitive AbhängigkeitAbhängigkeit
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]II. Logistische AbbildungII. Logistische Abbildung
XXnn = c * X = c * Xaa (1 – X (1 – Xaa))
1 < c < 3
stabiler Wert zw. 1 und 0
c > 3
zwei-peak-oszillierend
c = 3,45
vier-peak-oszillierend
c > 3,57
Periode chaotisch, unendlich
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]II. Logistische AbbildungII. Logistische Abbildung
XXnn = c * X = c * Xaa (1 – X (1 – Xaa))
Anzahl der Nachkommen
12
3 4
1
2
3
4
FeigenbaumdiagrammFeigenbaumdiagramm
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]II. Logistische AbbildungII. Logistische Abbildung
XXnn = c * X = c * Xaa (1 – X (1 – Xaa))
PeriodenverdopplungPeriodenverdopplung
an den
Bifurkations-Bifurkations-
StellenStellen
„„BifurkationswegBifurkationsweg
ins Chaos“ins Chaos“
universellAnzahl der Nachkommen
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]III. AttraktorenIII. Attraktoren
Für best. c läuft Algorithmus auf festen Wert zu
AttraktorAttraktor Systemzustand, auf den ein System sich einschwingt
GrenzzyklusGrenzzyklus
FixpunktFixpunkt
vorhersehbar
„„Seltsamen“ AttraktorSeltsamen“ Attraktor in chaotischen Systemen
unendlich viele Werte
unendlich stark gefaltet
fraktalfraktal
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]III. AttraktorenIII. Attraktoren
„„Seltsamen“ AttraktorSeltsamen“ Attraktor in chaotischen Systemen
unendlich viele Werte
unendlich stark gefaltet
fraktalfraktal
Beispiel: Lorenz-Attraktor Lorenz-Attraktor
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
„Ein FraktalFraktal ist eine Figur, deren Dimension nicht ganzzahlig ist.“
fraktal = „gebrochengebrochen“
Die Dimension eines Fraktals nennt man fraktale Dimensionfraktale Dimension.
Gehirn: d = 2,79Gehirn: d = 2,79
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
SchneeflockenkurveSchneeflockenkurve::
• Jede neu entstandene Strecke hat nun die Länge 1/3.
• Man nennt dieses Gebilde auch GeneratorGenerator, da bei jeder neuen Iteration mit jeder Strecke genauso verfahren wird.
• InitiatorInitiator: Linie der Länge 1
• Linie wird gedrittelt und auf das mittlere Drittel wird eine dreieckige Insel der Kantenlänge 1/3 gelegt:
1/3
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
Der Vorgang wird unendlich oft wiederholt, dabei entsteht die sogenannte SchneeflockenkurveSchneeflockenkurve, die unendlich lang ist.
Dimension: d = 1,26Dimension: d = 1,26
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
Betrachtet man als Initiator ein Dreieck der Länge 1, erhält man eine Koch‘sche Insel bzw. Schneeflocke:
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
„„Wie lang ist die Küste Britanniens?“Wie lang ist die Küste Britanniens?“
Küste ist unendlichunendlich lang, schließt aber einen endlichenendlichen Flächeninhaltein. => d(GB) = 1,26
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
Das FarnblattDas Farnblatt
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
JuliamengeJuliamenge
J(c) = { z0 C: (zn) < mit zn+1 = zn2 + c} mit c C fest.
Wiederholung: Komplexe ZahlenWiederholung: Komplexe Zahlen
R
I
1 i
1
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
SelbstähnlichkeitSelbstähnlichkeit
„Wenn eine Menge UntermengenUntermengen enthält, die sich durch Rotation, Translation und Skalierung in die Obermenge transformieren lassen, ist sie selbstähnlichselbstähnlich.“
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
MandelbrotmengeMandelbrotmenge
M = { c C: (zn) < mit zn+1 = zn2 + c} mit z0 = 0.
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]V. ResuméV. Resumé
Revolutionäre Bedeutung der Revolutionäre Bedeutung der ChaostheorieChaostheorie
Gegensatz zum streng wissenschaftlich kontrollierbaren Weltbild
Viele Bereiche des Lebens betreffend
[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]
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IHR HABT SUPER DURCHGEHALTEN!IHR HABT SUPER DURCHGEHALTEN!