Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Теорија електричних кола
на Енергетском одсеку
Дејан Тошић
3
3
3
cb2
a2
c2
ba1
cba0
UaUaUU
UaUaUU
UUUU
++=
++=
++=
Користите само
материјале које вам
достави и препоручи
предметни наставник у
текућој школској
години.
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Симетричне компоненте
временски непроменљивих, линеарних, трофазних кола са устаљеним
простопериодичним одзивом
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Циљ, покретач (мотив), замисао (идеја)
• Решити неуравнотежена трофазна кола.• Решавати простије заменске једнофазнешеме уместо сложених трофазних.
• Представити несиметричне трофазнесистеме напона и струја помоћузаменских симетричних система иискористити развијен поступак зарешавање симетричних трофазних кола.
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Неуравнотежено 3Ф коло Y-Y
����
����
����
�
aE
bE
cE
gaZ
gbZ
gcZ
aZ
bZ
cZ
vaZ
vbZ
vcZ
nZ
����
����
����
�
aI
bI
cI
nI
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Матрице трофазног Y-Y кола
=
c
b
a
E
E
E
E
=
c
b
a
U
U
U
U
=
c
b
a
I
I
I
I
=
gc
gb
ga
g
00
00
00
Z
Z
Z
Z
=
pc
pb
pa
p
00
00
00
Z
Z
Z
Z
=
pc
pb
pa
p
U
U
U
U
=
vc
vb
va
v
00
00
00
Z
Z
Z
Z����
����
����
�
aE
bE
cE
gaZ
gbZ
gcZ
aZ
bZ
cZ
vaZ
vbZ
vcZ
nZ
����
����
����
�
aI
bI
cI
nI
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Једначине неуравнотеженог кола
0
0
0
nnpccvcc
nnpbbvbb
nnpaavaa
=+++−
=+++−
=+++−
IZUIZU
IZUIZU
IZUIZU
ncba IIII =++
ccgcc
bbgbb
aagaa
EIZU
EIZU
EIZU
=+
=+
=+
0
0
0
ccpc
bbpb
aapa
=−
=−
=−
IZU
IZU
IZU
30c
20b
10a
UU
UU
UU
===
67pc
57pb
47pa
UU
UU
UU
=
=
=
Фазне струје су једнаке линијским
����
����
����
�
aE
bE
cE
gaZ
gbZ
gcZ
aZ
bZ
cZ
vaZ
vbZ
vcZ
nZ
����
����
����
�
aI
bI
cI
nI
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Преобликовање у матрице
=
++++++
+
+
+
−0
0
0
)(
)(
)(
cban
cban
cban
pc
pb
pa
cvc
bvb
ava
c
b
a
IIIZ
IIIZ
IIIZ
U
U
U
IZ
IZ
IZ
U
U
U
=
+
c
b
a
cgc
bgb
aga
c
b
a
E
E
E
IZ
IZ
IZ
U
U
U
=
−
0
0
0
cc
bb
aa
pc
pb
pa
IZ
IZ
IZ
U
U
U
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Матричне једначине Y-Y кола
OIUIZU =
+++−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
pv
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
EIZU =+ g
OZIU =−p
Матрице импеданси у сложенијим моделима, када се узимају у обзир спреге, могу имати све чланове а не само дијагоналне чланове.
����
����
����
�
aE
bE
cE
gaZ
gbZ
gcZ
aZ
bZ
cZ
vaZ
vbZ
vcZ
nZ
����
����
����
�
aI
bI
cI
nI
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Замисао Фортески (Fortescue)
• Сваки члан трофазног система напонаили струја разложити на три сабирка.
• Први сабирци треба да чине системфазора истог аргумента (унифазни).
• Други сабирци треба да чине симетричандиректан систем напона или струја.
• Трећи сабирци треба да чине симетричанинверзан систем напона или струја.
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Разлагање Фортески
333cb
2ac
2bacba
aUaUaUUaUaUUUU
U++
+++
+++
=
333cb
2ac
2ba2cba
bUaUaU
aUaUaU
aUUU
U++
+++
+++
=
333cb
2a2c
2bacba
cUaUaU
aUaUaU
aUUU
U++
+++
+++
=
унифазан директан инверзан
zero sequence positive sequence negative sequence
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Симетричне компоненте
22
10c
212
0b
210a
UaUaUU
UaUaUU
UUUU
++=
++=
++=
3
3
3
cb2
a2
c2
ba1
cba0
UaUaUU
UaUaUU
UUUU
++=
++=
++=
{ }210komponentesimetricne ,, UUUU =
=2
2
1
1
111
aa
aaA
*1
3
1AA =−
sAUU =
UAU 1s
−=
=
2
1
0
s
U
U
U
U
Матрица
симетричних
компоненти
Symmetrical components
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Симетричне компоненте импеданси
psp AUU =
Матрица
симетричних
компоненти
импеданси
ZIU =p
sAII =
)( sps AIZAU =
))(()( s1
ps1 AIZAAUA −− =
s1
ps )( IZAAU −=
ssps IZU =
ZAAZ *s 3
1=
Од интереса је испитати какве
су ове матрице за трофазне
уређаје који се граде да буду
конструктивно симетрични.
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Примери матрице симетричних
компоненти импеданси
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
== −
000
000
003 n
n1
ns
Z
AZAZ
=
S
M
m
m
S
M
M
m
S
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
++++
++== −
m2
MS
mM2
S
mMS1
s
00
00
00
ZaZaZ
ZaZaZ
ZZZ
ZAAZ
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Матричне једначине Y-Y колапреко симетричних компоненти
OAIAUAIZAU =
+++− )()()()( s
n
n
n
n
n
n
n
n
n
pssvs
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
)()()( ssgs AEAIZAU =+ OAIZAU =− )()( sps
Лева и десна
страна
једначина се
множе са
инверзном
матрицом.
*1
3
1AA =−
OIUIZU =
+++− s
n
pssvss
000
000
003Z
ssgss EIZU =+ OIZU =− ssps
����
����
����
�
aE
bE
cE
gaZ
gbZ
gcZ
aZ
bZ
cZ
vaZ
vbZ
vcZ
nZ
����
����
����
�
aI
bI
cI
nI
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Распрезање трофазног кола по
симетричним компонентама
• Посебан случај чине кола чији трофазниелементи имају дијагоналну матрицу
симетричних компоненти импеданси.
• Тада се једначине могу написати ускаларном облику тако да свака једначина
зависи само од величина једне
симетричне компоненте: коло сераспреже по симетричним компонентама.
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Посебан случај
=
2g
1g
0g
gs 0
0
0
0
0
0
Z
Z
Z
Z
=
2v
1v
0v
vs 0
0
0
0
0
0
Z
Z
Z
Z
=
2
1
0
s 0
0
0
0
0
0
Z
Z
Z
Z
Матрица симетричних
компоненти импеданси
трофазног генератора
Матрица симетричних
компоненти импеданси
трофазног потрошача
Матрица симетричних
компоненти импеданси
трофазног енергетског вода
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Распрезање Y-Y кола посиметричним компонентама
000n0p00v0 =+++− IZUIZU n0n 3ZZ =
000g0 EIZU =+ 0000p =− IZU
011n1p11v1 =+++− IZUIZU 01n =Z
111g1 EIZU =+ 0111p =− IZU
022n2p22v2 =+++− IZUIZU 02n =Z
222g2 EIZU =+ 0222p =− IZU
За сваки подсистем
од три једначине
можемо нацртати
заменску шему у
којој се појављују
величине само
једне симетричне
компоненте, нулте, или директне, илиинверзне.
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Заменске шеме распрезања по
симетричним компонентама
0E0gZ
0Z0vZ
0nZ
1E1gZ
1Z1vZ
1nZ
2E2gZ
2Z2vZ
2nZ
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Компонентни системи
• Заменске шеме трофазног кола посиметричним компонентама називају секомпонентни системи.
• Дефинишу се импедансе компонентнихсистема као количници симетричнихкомпоненти напона и струја.
• Импедансе компонентних система се упракси одређују мерењем.
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Снага 3Ф кола изражена прекосиметричних компоненти
QPIUIUIUS j*cc
*bb
*aa +=++=
*TIU=S
*s
Ts )()( AIAU=S
*s
*TTs IAAU=S
*s
Ts3 IU=S
*22
*11
*00 333 IUIUIUS ++=
Напони и струје
у једначини за
снагу су фазни
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Кварови у 3Ф колима
• Кварови у трофазним колима су изразитенесиметрије трофазних елемената.
• Кварови настају услед елементарнихнепогода (ветрови, поплаве, хладноће, ...).
• Кварови се јављају и као последицапромена својстава уређаја услед хабања, неправилне употребе, или старења.
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Врсте кварова
• Потпуни кратак спој проводника: фазеи нуле (најчешће), две фазе, три фазе
• Делимичан кратак спој проводника
• Потпуни прекид једног или вишепроводника
• Комбиновани квар: и кратки спојеви ипрекиди проводника
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Анализа кварова
• Кварови се прегледно могу анализиратипомоћу симетричних компоненти.
• Посебно се анализирају идеализованикварови, на пример идеалан кратак спојфазног проводника и нултог проводника, при чему се сматра да су остали
трофазни елементи, укључујући итрофазне генераторе, симетрични.
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Пример квара: споја фаза-нула
����
����
����
�
E
Ea2
Ea
gZ
gZ
gZ
Z
Z
Z
vZ
vZ
vZ
nZ
����
����
����
�
Кратак спојКратак спој
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Питања (1)
• Како гласе матричне једначине Y-Y кола?• Шта су симетричне компоненте Фортески (Fortescue)?• Који је мотив за увођење симетричних компоненти?• Написати матричне једначине за одређивањесиметричних компоненти из трофазног система напонаили струја, и обрнуто.
• Шта су симетричне компоненте импеданси?• Како гласи матрица симетричних компонентиимпеданси ако је задата матрица импедансипријемника?
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Питања (2)
• Како гласе матричне једначине Y-Y кола прекосиметричних компоненти?
• Шта је распрезање трофазног кола посиметричним компонентама?
• Шта су компонентни системи?
• Шта су импедансе компонентних система?
• Како гласи израз за снагу трофазног кола прекосиметричних компоненти?
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Питања (3)
• Шта су кварови у трофазним колима? Како онинастају?
• Које су основне врсте кварова у трофазнимколима? Како се они могу прегледноанализирати?
• Нацртати шему трофазног кола у коме сепојављује квар изазван спојем једне фазе инуле.
• Да ли симетричне компоненте трофазногсистема струја могу бити једнаке струјама којечине трофазни систем?
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Питања (4)
• Како гласе симетричне компоненте (а) унифазног система напона, (б) директногсистема напона, (в) инверзног система струја?
• Када је матрица симетричних компонентиимпеданси потрошача дијагонална?
• Како гласи матрица симетричних компонентиимпеданси мреже симетричног пријемника?
• Навести практичне разлоге због којих се могупојавити кварови?
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Питања (5)
• Како гласи матрица симетричнихкомпоненти импеданси пријемника чија
је матрица импеданси циклично
симетрична?
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Питања (6)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Питања (7)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Задатак (1)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Задатак (2)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Задатак (3)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Задатак (4)Вредности елемената трофазног електричног кола са слике су познате. Трофазни потрошач је повезан у звезду, а чине га три спрегнута калема сопствених индуктивности L и међусобних индуктивности M . Симетричан трофазни генератор је повезан у звезду, а његови напони чине инверзан
симетричан трофазни систем напона },,{ cba eee и )cos(2a θ+ω= tEe .
Одредити (5) симетричне компоненте трофазног система напона генератора, (5) симетричне компоненте трофазног система линијских струја, и (5) симетричне компоненте импеданси потрошача.
1
2
3
L
Z0
Z
Z
Z
Ea
Eb
Ec
0
4
5
6
7
Ia
Ib
Ic0
L
L
M
M
M
I0
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Задатак (5)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Задатак (6)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.
Charles Legeyt Fortescue1876–1936
Инжењер електротехнике. Рођен у York Factory (Manitoba), САД.
Charles L. Fortescue, "Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks". Presented at the 34th annual convention of the AIEE (American Institute of Electrical Engineers) inAtlantic City, N.J. on 28 July 1918. Published in: AIEE Transactions, vol. 37, part II, pp. 1027-1140, 1918.