КЫРГЫЗ-РОССИЯ СЛАВЯН УНИВЕРСИТЕТИ
“Жогорку математика” кафедрасы
А.К. Курманбаева
СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАНЫН НЕГИЗДЕРИ
Окуу-методикалык куралы
Бишкек-2011
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
УДК 512.643(575.2)(075) А.К. Курманбаева Сызыктуу алгебранын негиздери. Окуу-методикалык куралы/ Кыргыз-Россия Славян Университети: Бишкек, 2011-57с.
Кыскача сызыктуу алгебранын теориялык негиздери берилген. Ар бир параграфтагы теориялык материалдарды бекемдөө үчүн тиешелүү мисалдар толугу менен талданылган. Ал эми окуу-методикалык куралынын акырында өз алдынча иштөө үчүн жетишерлик санда көнүгүүлөр киргизилген.
Окуу- методикалык куралы Кыргыз-Славян университетинин архитектура, дизайн жана куруу факультетинин жана сырттан окуу факультетинин студенттери үчүн арналган.
Рецензенттер: д.ф.-м.н., с.н.с. С. Искандаров к.ф.-м.н., доцент И.А.Усенов
4
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
КРСУ, Бишкек, 2011
5
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
МАЗМУНУ Кириш сөз ……………………………………………………………….... 4
§1. Матрицалар жана алар менен болгон амалдар .......................5 §2 Аныктагычтар..............................................................................11
2.1.Экинчи жана үчүнчү тартиптеги аныктагычтар жана алардын касиеттери …………………………………………………………………..11 2.2. Жогорку тартиптеги аныктагычтарды чыгаруу....................................18
§3. Тескери матрица .........................................................................20 §4. Матрицанын рангы .........................................................23 §5. Теңдемелер системасы жөнүндө негизги түшүнүктөр ............27
§6.Сызыктуу теңдемелер системасын Крамердин формуласы
менен чыгаруу..................................................................29 §7. Бир тектүү үч белгисиздүү экинчи тартиптеги сызыктуу теңдемелер системасы.........................................................................32 §8. Үч белгисиздүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер
системасы.....................................................................34 8.1. Бир тектүү эмес үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер системасы.............................................................................34 8.2. Бир тектүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер
6
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
системасы............................................................................38 §9. Теңдемелер системасынын матрицалык формасы жана теңдемелер системасын матрицалык жол менен чыгаруу ......41 §10. Гаусстун ыкмасы ................................................................... 44 §11. Өз алдынча иштөө үчүн көнүгүүлөр.........................................49
Кириш сөз
Билимдин жана техникалардын ар түрдүү тармактарында кызмат
кылган окумуштуулардын жана инженердик адистердин билиминин
фундаменти- математика. Сызыктуу алгебра математиканын негизги
бөлүгү болуп эсептелет жана математикалык билим алууда эң
орчундуу орунду ээлейт.
Бул окуу-методикалык куралдын максаты сызыктуу
алгебранын негизги элементтерин студенттерге окуп үйрөтүү жана
практикалык маселелерди сапаттуу чыгарууга жардам берүү.
7
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Сызыктуу алгебра боюнча ар түрдүү деңгээлде орус тилинде
жазылган адабияттар арбын, бирок кыргыз тилинде жазылган окуу
куралдар жок.
Окуу- методикалык куралын жазууда Кыргыз-Славян
университетинин техникалык жана куруу адистери үчүн түзүлгөн
программалары эске алынды.
Окуу-методикалык куралына матрицалар жана алар менен
болгон амалдар , аныктагычтар, сызыктуу теңдемелер системасы жана
аларды чыгаруу ыкмаларына көнүл бурулду.
Ар бир параграфтагы теориялык материалдарды бекемдөө үчүн
тиешелүү мисалдар толугу менен талданып берилди. Ал эми окуу-
методикалык куралынын акырында өз алдынча иштөө үчүн
жетишерлик санда көнүгүүлөр киргизилди.
8
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
§1. Матрицалар жана алар менен болгон амалдар
Аныктама. Берилген сандарынын m—жолчодон жана n-
мамычадан турган төмөнкү тик бурчтуу таблица
ija
( )nmijnmij aaA
,,== =
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
n m ... 2 m1 m
n 22221
n 1 12 11
a a a... ... ... ...a ... a aa a a ...
матрица деп аталат.
Матрицаларды латын тамгалары менен белгилейбиз: А,В,С,...., же )( ijaA = ,
. 1 2 1 2( , , ..., ; , , ..., )i m j= = n
Матрицаны түзгөн сандарын матрицанын элементтери дейбиз.
Матрицанын ар бир элементи эки индекстен турат i жана j:
ija
i –индекси элементтин жайгашкан жолчосунун номерин көрсөтөт, ал эми j –
индекси –мамычасынын номерин көрсөтөт.Мисалы, a12 элементи 1- жолчодо
жана 2- мамычада жайгашкан, ал эми a31 элементи- 3- жолчодо жана 1-
мамычада жайгашкан.
9
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Эгерде матрицанын жолчолорунун саны менен мамычаларынын
саны барабар болсо (m=n) анда матрица квадраттык матрица деп
аталат жана n-ди анын тартиби дейбиз. Эгерде болсо, анда
матрицаны тик бурчтуу дейбиз.
nm ≠
Мисалы, матрицасы 2×4 өлчөмдүү тик бурчтуу,
анткени ал 2 жолчо жана 4 мамычадан турат.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
20765021
A
матрицасы ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
654321
B 23× өлчөмдүү тик бурчтуу матрица,
анткени ал 3 жолчодон жана 2 мамычадан турат
Ал эми - үчүнчү тартиптеги 3-жолчо жана 3-
мамычадан турган квадраттык матрица.
3,3154050312
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=D
10
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Матрицалардын айрым түрлөрү
Бир жолчодон турган n×1 өлчөмдүү матрицаны жолчо же
жолчо вектор деп айтабыз, мисалы ( ) 3,1512 −=B .
Бир мамычадан турган 1×m өлчөмдүү матрицаны мамыча же мамыча
вектор дейбиз, мисалы .
1,3532,1
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=C
Элементтеринин баардыгы нөл болгон матрицаны нөлдүк
матрица деп айтабыз, мисалы . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
000000000
O
Квадраттык матрицанын негизги диагоналы деп , , …, элементтеринен турган, анын сол бурчунан он бурчун көздөй жүргөн
элементтерин айтабыз, ал эми оң бурчунан сол бурчу көздөй жүргөн
элементтерин кошумча диагонал дейбиз:
11a 22a nna
11
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Эгерде квадраттык матрицанын негизги диагоналында жатпаган
элементтери нөлгө барабар болсо, анда ал матрица диагоналдык
матрица деп аталат, мисалы
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
1200020003
A
Негизги диагоналынын элементтери бирге барабар болгон
диагоналдык матрица бирдик матрица болот жана Е тамгасы менен
белгиленет, мисалы
E = - 3-чү тартиптеги бирдик матрица. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100010001
12
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Матрицанын тартибин өзгөртпөй туруп, анын жолчолорун
мамычаларына же мамычаларын жолчолоруна алмаштыруу матрицаны
траспорнирлөө деп аталат.Мисалы,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
957431
,973541 TAA
Матрицалар менен болгон амалдар
Кошуу амалы. Бирдей өлчөмдүү А жана В матрицаларынын
суммасы деп, А жана В матрицаларынын тиешелүү
элементтеринин суммасынан турган ошол эле өлчөмдөгү С
=А+В матрицасын айтабыз.
Мисал 1.
.220593
20)3(13)3()7(25421
233752
013241
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−++−−+++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Бирдей өлчөмдүү А,В жана С матрицаларды кошуунун
төмөнкүдөй касиеттери бар:
10 A B ; B A+ = +
13
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
20 ( ) (A B C A B C+ + = + + ) .
Матрицаларды кошууда нөлдүк матрица кадимки сандарды
кошуудагы нөлдүн ролун аткарат:
30 A O A+ =
Матрицаны санга көбөйтүү. А матрицаны µ санына
көбөйткөндө А матрицанын ар бир элементи ошол эле µ санына
көбөйтүлгөн С= µА матрицасын айтабыз.
Мисал 2. . Анда ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
8430
A
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−⋅⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
241290
8343)3(303
8430
3A .
Матрицаны матрицага көбөйтүү. Эгерде ) матрицасы
-өлчөмдүү, ал эми
( ijaA =
nm × )( isbB = матрицасы kn × -өлчөмдүү
болсо, анда А жана В матрицасынын көбөйтүндүсү km × -
өлчөмдүү )( iscCBA ==⋅ матрицасы болот. Мында С
матрицанын элементтери төмөнкү формула менен аныкталат: эsc
14
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Берилген А жана В матрицаларынын көбөйтүндүсү BAC ⋅= , А
матрицасынын мамычаларынын саны В матрицасынын жолчолорунун
санына барабар болгон учурда гана аныкталат.Эгерде А жана В n-
өлчөмдүү квадраттык матрицалар болушса, анда BA ⋅ көбөйтүндүсүн
да жана AB ⋅ көбөйтүндүсүн да табууга болот жана бул көбөйтүндү
матрицалардын өлчөмү да n-ге барабар болот.Жалпы учурда
матрицаларды көбөйтүүдө орун алмаштыруу закону орун албайт, б.а.
ABBA ⋅≠⋅ .
Мисал 3.
1 1 20 1 1
A⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ жана матрицалары үчүн
1 1 01 1 10 1 1
B⎛ ⎞⎜= −⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
⎟⎟
nsinsisi
n
jjsijэs babababac +++== ∑
=...2111
1, ;,...,2,1 mi = .,...,2,1 ks =
15
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
=⋅ BA =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
110111011
110211
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−+⋅+⋅⋅−+−⋅+⋅⋅−+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+⋅021
3221)1(11001)1()1(1100)1(1110
12110112)1(111021111
орун алат. Ал эми AB ⋅ мааниге ээ эмес, себеби В матрицасынын
мамычаларынын саны А матрицасынын жолчолорунун саны менен дал
келбейт.
Мисал 4.
, 121
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )2 1 1B = үчүн: а) С1=A B⋅ , б) ABC ⋅=2 ны
тапкыла.
а) .
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=111121121222111121
1C2 1 14 2 22 1 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
б) ( ) ( ) 5112112121
1122 =⋅+⋅+⋅=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅=C ( )
16
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Мисал 5. , .
1 0 11 1 10 1 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 0 01 1 02 1 1
B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
;121123112
100110010100110012100100002
110011002
110111101
1
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++++++++++++++
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⋅= BAC
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++++++++++++++
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⋅=
110110010011010011002000002
110111101
110011002
2 ABC
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
221212202
.
Мында BA ⋅ жана AB ⋅ матрицаларынын экөө тең А, В матрицаларындай эле
3×3 өлчөмгө ээ, бирок ABBA ⋅≠⋅ .
17
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Матрицаларды көбөйтүүнүн касиеттери:
1) (А⋅В)⋅С=А⋅(В⋅С);
2) (А+В)⋅С=А⋅С+В⋅С;
3) A E ; E A A⋅ = ⋅ =
4) A O , бул жерде O - нөлдүк матрица; O A O⋅ = ⋅ =
5) λ(А+В)=λА+λВ, λ -сан
6)λ(АВ)=(λА)В=А(λВ).
§2.Аныктагычтар жана алардын касиеттери
2.1. Экинчи жана үчүнчү тартиптеги аныктагычтар жана
алардын касиеттери
Аныктагычтар жөнүндөгү түшүнүккө биз биринчи даражагы
алгебралык теңдемелердин системасын кароодо келебиз.
Эки белгисизи бар экинчи таритиптеги сызыктуу теңдемелердин
системасын карайбыз:
18
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎩⎨⎧
=+=+
22221
11211
byaxabyaxa
(1)
Белгисиз х- табуу үчүн, биринчи теңдемени санына,
экинчисин- санына көбөйтүп, теңдемелерди кошсок,
төмөндөгүнү табабыз:
22a
12a
( ) .12222112212211 ababxaaaa −=⋅−
Ошондой эле, биринчи теңдемени санына, экинчисин
санына көбөйтүп, төмөнкү теңдемени табабыз:
21a 11a
( ) .21111212212211 ababyaaaa −=⋅−
Эгерде 012212211 ≠− aaaa болсо, анда
12212211
211112
12212211
122111 ;aaaa
ababy
aaaaabab
x−−
=−−
= . (2)
(2) формула менен аныкталган х, у - маанилерин (1) системага коюп, аны
канаатандыра турганын көрүүгө болот.
19
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Демек, эгерде 012212211 ≠− aaaa болсо, анда (1) теңдемелер
системасы жалгыз чыгарылышка ээ болот (чыгарылышты (2)
формула аркылуу табабыз).
(1) системасындагы белгисиз х, у-тин коэффициенттеринен
түзүлгөн төмөнкү сандардын таблицасын карайбыз:
. (3) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2221
1211
aaaa
Мындай таблицаны 2- тартиптеги (квадраттык) матрица дейбиз. Аны А
тамгасы менен белгилейбиз. (2) формуланын бөлүмүндөгү туюнтма
А матрицасынын экинчи тартиптеги аныктагычы деп
аталат. А матрицасынын аныктагычы төмөндөгүдөй символ менен
белгилейбиз
( 12212211 aaaa − )
A же Adet же ∆ .
Ошентип, бизге экинчи тартиптеги матрицасы
берилсе, анда А матрицасына тиешелүү 2-тартиптеги аныктагыч
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2221
1211
aaaa
A
Adet
төмөнкү формула менен аныкталган сан болот:
(4)
20
.det 211222112221
1211 aaaaaaaa
A −===∆
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Экинчи тартиптеги аныктагычты эсептөө үчүн негизги
диагоналындагы элементтеринин көбөйтүндүсүнөн жардамчы
диагоналындагы элементтеринин көбөйтундүсүн кемитүү жетиштүү.
Мисал 6. 72)2(313221
=⋅−−⋅=−
=∆ .
Жогорку көрсөтүлгөн экинчи тартиптеги аныктагычты
эсептөөнүн эрежесинин негизинде b1a11-b2a12 жана b2a11-b1a21
туюнтмаларын
222
121122221 ab
ababab =− ;
221
111211112 ba
baabab =−
түрүндө жазууга болот.
Анда (1) системасынын чыгарылышы төмөндөгү түрдө табылат:
21
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
2221
1211
221
111
2221
1211
222
121
;
aaaababa
y
aaaaabab
x == (5)
Эгерде үч белгисиздүү сызыктуу теңдемелердин системасынын
чыгарылышын карасак,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
3333231
2232221
1131211
bzayaxabzayaxabzayaxa
(6)
анда, үчүнчү тартиптеги аныктагычтарга келебиз.
Тогуз сандан турган квадраттык таблицаны (үчүнчү тартиптеги
матрицаны) карайбыз
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Үчүнчү тартиптеги А матрицасынын же 3-тартиптеги аныктагыч
Adet төмөнкү формула менен эсептелген сан болот:
22
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
.322311332112312213
312312322113332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
−−−
−++==∆ (7)
Бул туюнтма үч бурчтуктардын эрежеси боюнча төмөнкү схемадан
алынат:
+ –
Мисал 7. Төмөнкү 3-тартиптеги аныктагычты эсептегиле:
.2311111020310011121130121011
−=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==∆
23
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Үчүнчү тартиптеги аныктагычты карайлы:
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
=∆
Бул аныктагычтын берилген aij элементинин минору деп ал
элемент жайгашкан i-чи жолчону жана j-чи мамычаны сызып
салгандан кийинки келип чыккан экинчи тартиптеги аныктагычты
айтабыз жана эки индекстүү М i j - тамгасы менен белгилейбиз.
Мисалы а12 элементине тиешелүү минор төмөнкү экинчи тартиптеги
аныктагыч болот:
.233133213331
2321
333231
232221
131211
12 aaaaaaaa
aaaaaaaaa
M ⋅−⋅===
Бул минор үчүнчү таритиптеги аныктагычтын 1-чи жолчосун жана 2-чи
мамычасын сызып салгандан кийин келип чыкты.
24
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Берилген аныктагычтын aij элементинин алгебралык
толуктоочусу Aij деп ji+− )1( белгиси менен алынган анын минорун
айтабыз, б.а.
(9) ,( j MA ⋅= )1 iji
ij − +
мында i-aij элементи жайгашкан жолчонун номери; j- мамычанын номери.
Мисалы, 3332
23221111
1111 )1(
aaaa
MMA ==⋅−= + ,
3331
23211212
2112 )1(
aaaa
MMA =−=⋅−= + .
Мисал 8. Төмөнкү 3-тартиптеги аныктагычтын баардык
элементтеринин алгебралык толуктоочторун тапкыла:
135213653
=∆ .
Чыгаруу.
25
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
;51321
)1( 111111
11 −===⋅−= + MMA 71523
)1( 121221
12 ==−=⋅−= + MMA ;
;43513
)1( 131331
13 ===⋅−= + MMA ;131365
)1( 212112
21 ==−=⋅−= + MMA
;151563
)1( 222222
22 −===⋅−= + MMA
;163553
)1( 232332
23 ==−=⋅−= + MMA ;42165
)1( 313113
31 ===⋅−= + MMA
;122363
)1( 323223
32 ==−=⋅−= + MMA
;121353
)1( 333333
33 −===⋅−= + MMA
Аныктагычтардын касиеттери
1. Эгерде аныктагычтын кандайдыр бир жолчосу (мамычасы)
нөлдөрдөн гана турса, анда аныктагычтын мааниси нөлгө
барабар, мисалы
.0654000321==∆
26
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
2. Аныктагычтын эки жолчосунун (мамычасынын) ордун
алмаштыруудан аныктагычтын белгиси гана өзгөрөт, мисалы
.
232221
333231
131211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
−=
3. Эгерде аныктагыч бирдей эки жолчого (мамычага) ээ болсо,
анда анын мааниси нөлгө барабар болот, мисалы
.0321201510321
==∆
4. Эгерде аныктагычтын жолчолорун мамычалары менен же
болбосо мамычаларын жолчолору менен алмаштырсак, анда
аныктагыч өзгөрүлбөйт:
.
332313
322212
312111
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
=
27
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Бул аныктагычтарды транспонирлөө деп аталат. Бул касиет
текшерүү жолу менен далилденет.
5. Эгерде аныктагычтын кандайдыр бир жолчосу (мамычасы)
k-га барабар болгон жалпы көбөйтүүчүгө ээ болсо, анда k
санын аныктагычтын белгисинин алдына чыгарууга болот:
.
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
kaaakaaakaaak
⋅=⋅⋅⋅
6. Эгерде аныктагычтын эки жолчосунун (мамычасынын)
элементтери пропорциялаш болушса, анда аныктагыч нөлгө
барабар болот, мисалы
.004533622011
45123682041
=⋅=⋅=
7. Эгерде аныктагычтын кандайдыр бир жолчосуна (мамычасына)
каалаган санга көбөйтүлгөн башка жолчонун ( мамычанын)
элементтерин кошсок, анда аныктагычтын мааниси
өзгөрбөйт,мисалы
28
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
.
31333231
21232221
131211
333231
232221
131211
kaaaakaaaakaaaa
aaaaaaaaa 11
+++
=
8. Аныктагычтын мааниси бул аныктагычтын каалагандай
жолчосунун (мамычасынын) элементтеринин алардын
алгебралык толуктоочуларына көбөйтүлгөн көбөйтүндүлөрүнүн
суммасына барабар.
Башка сөз менен айтканда төмөнкү барабардыктар орун алат:
333332323131
232322222121
131312121111
,,
AaAaAaAaAaAa
AaAaAa
++=∆
++=∆++=∆
(10)
333323231313
323222222112
313121211111
,,
AaAaAaAaAaAa
AaAaAa
++=∆
++=∆++=∆
(11)
Аныктагычты (10) жана (11) формулалардын негизинде жазуу
аныктагычты тандалып алынган жолчонун же мамычанын
элементтери аркылуу ажыратуу деп аталат. Аныктагычтардын бул
29
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
касиети n-тартиптеги аныктагычты эсептөөнү n-сандагы (n-1)-
тартиптеги аныктагычты алып келүүгө мүмкүндүк берет.
Мисал 9. Биринчи жолчонун элементтери боюнча ажыратып
төмөнкү 3-чү тартиптеги аныктагычты эсептегиле.
.0)122(3)410(2)115(114
32)1(3
5412
)1()2(5113
)1(1514132
321
31
2111
=−−⋅++⋅+−⋅=−
⋅−⋅+
+−
⋅−⋅−+−
−⋅−⋅=
−−
−=∆
+
++
2.2. Жогорку тартиптеги аныктагычтарды чыгаруу
Бизге төртүнчү тартиптеги аныктагычты чыгаруу талап
кылынат:
2164729541732152
−−
−−−
=∆
30
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Чыгаруу. Биринчи жолчонун элементтери боюнча ажыратабыз:
=⋅+⋅+⋅−+⋅=∆ 14131211 21)5(2 AAAA
=
+−−
−⋅−⋅+
−−⋅−⋅−+
−−
−⋅−⋅ +++
264795473
)1(1214725413
)1()5(216729417
)1(2 312111
( )
( ) (( ) .96278)21(51523635365630272
126701441961205412110322820125
4918484236282164295173
)1(2 41
−=⋅−+−⋅+⋅=−−−++⋅−−−−++−⋅+++−−+−⋅+
+−−++−⋅=−−
−−⋅−⋅+ +
)
≥n
Биз бул аныктагычка алардын сегизинчи касиетин колдонуп, үчүнчү
тартиптеги 4 аныктагычты чыгарууга алып келдик. Бирок мындай жол менен
аныктагычты чыгаруу бизди канаатандырбайт, анткени 4 болгондо
мындай аныктагычты чыгаруу көп эсептөөнү талап кылат. Ошондуктан
аныктагычтардын башка касиеттерин колдонуп, аны чыгарууну
жөнөкөйлөтүүгө болот. Эң мурда аныктагычты төмөнкү түрдө кайрадан
өзгөртүп алабыз. Биринчи жолчонун элементтерин экинчи жолчонун
31
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
тиешелүү элементтерине кошобуз, андан кийин биринчи жолчонун
элементтерин кезеги менен (-2), (-1) сандарына көбөйтүп, алынган жолчону
үчүнчү, төртүнчү жолчонун элементтерине кошобуз
0012301160212152
2164729541732152
−
−−
=
−−
−−=∆
−
.
Үчүнчү мамычанын элементтери боюнча ажыратып төмөнкү Үчүнчү
тартиптеги аныктагычка алып келебиз
012311621
)1(11 3113
−
−⋅−⋅=⋅=∆ +A .
Эми Үчүнчү тартиптеги аныктагычты жөнөкөйлөтөбүз.Экинчи жолчонун
элементтерине биринчи жолчонун тиешелүү элементтерин кошуп, андан
кийин биринчи жолчонун элементтерин 2-ге көбөйтүп Үчүнчү жолчонун
тиешелүү элементтерине кошобуз
32
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
1230930621
012311621 −=
−
−=∆ .
Биринчи жолчонун элементтери боюнча ажыратып, экинчи тартиптеги
аныктагычка ээ болобуз:
( ) ( ) .9273639123)1(
12393
)1()1()1(1230930621
1111
−=−−=⋅−⋅⋅−=
=⋅−⋅−=⋅−=−
=∆ +A
§3. Тескери матрица
Аныктама. Эгерде матрицанын аныктагычы нөлдөн айырмалуу,
б.а. 0det ≠A болсо, анда мындай матрица өзгөчөлөнбөгөн матрица деп
аталат. Тескери учурда, б.а. 0det =A болгондо өзгөчөлөнгөн матрица
деп аталат.
33
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Аныктама. 1−A матрицасы А квадраттык матрицасынын
тескери матрицасы деп аталат, эгерде
(12)
EAAAA =⋅=⋅ −− 11
барабардыгы орун алса.
Аныктама боюнча квадраттык матрицалар үчүн гана тескери
матрица түшүнүгү жашайт деп айтууга болот.
Квадраттык А матрицанын тескери матрицасы А-1 жашайт качан
гана 0det ≠A болсо, б.а. А- өзгөчөлөнбөгөн матрица болсо.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A өзгөчөлөнбөгөн матрицасы берилсин дейли, б.а.
0det
333231
232221
131211
≠=aaaaaaaaa
A .
34
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Анда А матрицанын тескери матрицасы
(13)
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−
332313
322212
3121111 1
AAA
AAA
⎟⎜=det
AAAA
A
болот.
Тескери матрицанын табуу схемасы
1. Берилген А матрицанын аныктагычын табабыз. Эгерде det =A
болсо, анда А- өзгөчөлөнгөн жана А-1 жашабайт. Эгерде 0det ≠A
болсо, анда А- өзгөчөлөнбөгөн матрица жана тескери матрица
жашайт.
2. Берилген А матрицанын бардык элементтеринин алгебралык
толуктоочтору -лерди табабыз.
эja
эjA
3. Эми - алгебралык толуктоочтордун жардамы менен эjA
35
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
333231
232221
131211
*AAAAAAAAA
A матрицасын түзөбүз жана аны
транспорнирлейбиз
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
332313
322212
312111
*AAAAAAAAA
A T
4. матрицанын ар бир элементин ( )TA * Adet га бөлөбүз
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅=⋅=−
332313
322212
3121111
det1*
det1
AAAAAAAAA
AA
AA T .
5. Тескери матрица А-1 туура табылгандыгын EAA =⋅−1 же
EAA =⋅ −1 формуласы менен текшеребиз.
Мисал 10. Эгерде берилсе, ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
211110121
A 1A− матрицасын тапкыла.
Чыгаруу. 1. Матрицанын аныктагычын эсептейбиз.
36
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
1 2 10 1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 0 2 21 1 2
detA = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
2. Aматрицасынын элементтеринин алгебралык толуктоочторун табабыз:
1 111
1 11 1
1 2( )A += − = ; 2 1
21
2 11 3
1 2( )A += − = − ; 3 1
31
2 11 1
1 1( ) += − = ; A
1 212
0 11 1
1 2( )A += − = ; 2 2
22
1 12
1 2( )A + 1= − = ; 3 2
32
1 11 1
0 1( )A += − = − ;
1 313
0 11 1
1 1( )A += − = − ; 2 3
23
1 21 1
1 1( )A += − = ; 3 3
33
1 21 1
0 1( )A += − = ;
3. *A матрицасын түзөбүз жана аны транспорнирлейбиз:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
111113111
*A , ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
111111
131* TA .
37
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
4. матрицанын ар бир элементин ( )TA * Adet -га бөлөбүз
1
1 3 12 2 21 3 1
1 11 1 12 2
1 1 1 1 1 12 2 2
A−
⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 12 2
= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
.
5. Тескери матрица А-1 туура табылгандыгын EAA =⋅−1 же
EAA =⋅ −1 формуласы менен текшеребиз:
1
1 3 1 1 1 3 1 1 11 1 12 2 2 2 2 2 2 2 21 2 11 1 1 1 1 1 1 1 10 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 1 11 12 2 2 2 2 2 2 2 2
A A−
⎛ ⎞ ⎛− + − − + + −⎜ ⎟ ⎜⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ − = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎜− + − − + +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
1
⎞+ ⎟⎟⎟ =⎟⎟⎟− + ⎟⎠
1 0 00 1 00 0 1
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
38
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
§4. Матрицанын рангы
m-жолчодон жана n-мамычадан турган тик бурчтуу А матрицасын
карайбыз
.
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mnmkmm
inkii
nk
nk
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
A
......
.........
..........
......
.........
......................
21
121
222221
111211
Бул матрицанын k-жолчосун жана k-мамычасын сызып k-
тартиптеги квадраттык матрицаны бөлүп алууга болот. Мындай
камтылуучу матрицанын аныктагычы А матрицасынын k- тартиптеги
минору деп аталат.
Мисалы, 3 жолчо жана 4-мамычадан турган
матрицасы үчүн үчүнчү тартиптеги минорлорунун бири болуп
биринчи, экинчи, үчүнчү жолчолорду жана экинчи, үчүчү, төртүнчү
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
24021602
4523A
39
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
мамычаларды бөлүп алгандан кийинки төмөнкү аныктагыч
240160
452
−− болот. Экинчи тартиптеги минорлорунун бири болуп
төмөнкү аныктагыч 2416
−−
болот. Ал эми матрицанын
элементтерин биринчи тартиптеги минорлор деп карасак болот.
Матрицанын кээ бир минорлору нөлгө барабар болушу мүмкүн, кээ
бирлери нөлдөн айырмалуу болушу мүмкүн.
Аныктама. Матрицанын рангы деп бул матрицанын нөлдөн
айырмалуу болгон минорлорунун эң жогорку тартиби аталат.
Эгерде А матрицасынын рангы r-ге барабар болсо, анда А-
матрицасында жок дегенде бир нөлдөн айырмалуу r-чи тартиптеги
минор бар дегенди билдирет, бирок r-ден чоң тартиптеги бардык
минорлор нөлгө барабар. А матрицасынын рангы Arang же )(Ar деп
белгиленет.
Аныктамадан төмөндөгүлөр келип чыгат:
40
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
а) А матрицасынын рангы бул матрицанын өлчөмдөрүнүн
кичинесинен ашып кетпейт, б.а. );;min()( nmAr ≤
б) 0)( =Ar болот качан гана матрицанын бардык элементтери нөлгө
барабар болсо;
в) n-тартиптеги квадраттык матрица үчүн nAr =)( болот, качан гана
А-өзгөчөлөнгөн матрица болсо.
Матрицанын рангын минорлорду курчоо жана элементардык
өзгөртүү ыкмалары менен эсептелинет.
1. Минорлорду курчоо ыкмасы
Мейли А матрицасындагы aij элементи нөлдөн айырмалуу
болсун (aij 0≠ ). Анда 01 ≠M жана 1)( ≥Ar , aij элементин (i+1) -
жолчо жана (j+1) - мамычасы менен курчап, экинчи тартиптеги
минорун алабыз: 2M
1,1,1
1,,2
+++
+=jiji
jiji
aaaa
M .
41
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Эгерде =0 болсо, анда башка жолчо жана мамычылар
менен a
2M
ij элементин курчап мүмкүн болгон экинчи тартиптеги
минорлорун карайбыз. Эгерде экинчи тартиптеги минорлордун
баардыгы нөлгө барабар болсо, анда 1)( =Ar болот; эгерде экинчи
тартиптеги минорлордун ичинен жок дегенде бир минор нөлдөн
айырмалуу болсо, анда 2)( ≥Ar болот.
Эми экинчи тартиптеги 02 ≠M минорун карайбыз жана аны
жанындагы жолчо, мамычалар менен курчап үчүнчү тартиптеги
минорлорду алабыз. Курчоо ыкмасын r-чи тартиптеги 0≠rM ,
бирок бардык болгонго чейин улантабыз. 01 =+rM
Мисал 11. матрицасынын рангын эсептегиле. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=111
222111
A
Чыгаруу. ,11 =M ,02222111
2 =+−=−−
=M ,02222112
2 =+−=−−
=M
042211223
2 ≠=+=−
=M
42
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
.2)(0111
222111
3 =⇒=−
−−
= ArM
2. Элементардык өзгөрүүлөр ыкмасы
Жалпы учурда матрицанын рангын аныктоо үчүн бардык
минорлорду карап чыгуу кыйынчылыктарды туудурат. Бул маселени
жеңилдетүү максатында матрицанын рангына таасирин тийгизбөөчү
өзгөртүп түзүүлөрдү жүргүзөбүз.
Матрицаны элементардык өзгөртүп түзүү деп, төмөндөгү
амалдарды айтабыз:
нөлдүк катарларды алып салуу;
матрицанын жолчолорунун (мамычаларынын) бардык
элементтерин нөлдөн айырмалуу болгон санга көбөйтүү;
матрицанын жолчолорунун (мамычаларынын) орундарын
алмаштыруу;
43
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
матрицанын кандайдыр бир жолчосунун (мамычасынын) ар бир
элементтерине башка бир жолчонун (мамычанын) жалпы мүчөгө
көбөйтүлгөн тиешелүү элементтерин кошуу;
матрицаны транспорнирлөө.
Теорема. Матрицаны элементардык өзгөртүп түзүүдө анын
рангы өзгөрбөйт.
Мисал 12. матрицасынын рангын тапкыла. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
1296386424321
A
Чыгаруу:1- жолчонун элементтерине 2- жолчонун тиешелүү
элементтерин кошуп, андан кийин 1-жолчонун элементтеринен
3- жолчонун тиешелүү элементтерин кемитебиз. Андан кийин
1- жолчону алып салабыз.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
1296386424321
A ~ ~ ~ ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
129638642
12963
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1296386420000
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛128
96
64
32
⇒ .2)( =Ar
44
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
§5. Теңдемелер системасы жөнүндө негизги түшүнүктөр
n белгисиздүү m сызыктуу теңдемелер системасы деп төмөнкү
системаны
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
...........................
,...,...
2211
22222121
11212111
(14)
айтабыз. Мында aij, bi njmi ,1;,1 == каалагандай сандар жана
тиешелүү түрдө белгисиздердин коэффициенттери, бош мүчөлөрү
деп аталышат.
Теңдемелер системасынын чыгарылышы деп, бул системага
койгондо ар бир теңдемени теңдеш барабардыкка айландыруучу
х1=C1, х2=C2, ..., xn=Cn сандарынын жыйындысын айтабыз.
Теңдемелер системасы жок дегенде бир чыгарылышка ээ болсо
биргелешкен, ал эми чыгарылышы жашабаса биргелешпеген деп
45
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
аталат. Системанын биргелешкендиги Кронекер-Капеллинин
теоремасынын жардамы менен аныкталат.
биргелешкен болот, качан гана системанын матрицасыныны рангы
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mnmkmm
inikii
nk
nk
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
A
........................
.........................
......
......
21
21
222221
111211
анын кеңейтилген матрицасынын рангына барабар болсо
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mmnmkmm
iinikii
nk
nk
baaaa
baaaa
baaaabaaaa
A
...........................
............................
......
......
21
21
2222221
1111211
.
Биргелешкен теңдемелер системасы жалгыз гана бир чыгарылышка
ээ болсо, система аныкталган деп аталат. Ал эми бирден көп сандагы
чыгарылышка ээ болсо, аныкталбаган деп аталат.
46
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Мисалы,
1) системасы биргелешпеген, анткени бул система
чыгарылышка ээ эмес;
⎩⎨⎧
=+=+
21
21
21
xxxx
2) системасы биргелешкен жана аныкталбаган, себеби
бирден көп чыгарылышка ээ (
⎩⎨⎧
=+=+
2221
21
21
xxxx
CxCx =−= 21 ;1 , мында С- каалаган
сан).
3) системасы биргелешкен жана аныкталган, себеби бул
ситема жалгыз гана чыгарылшка ээ:
⎩⎨⎧
=−=+
11
21
21
xxxx
.0;1 21 == xx
Эгерде эки теңдемелер системасы чыгарылыштардын бирдей
көптүгүнө ээ болушса, анда алар эквивалентүү системалар деп
аталышат. Матрицаларга колдонулуучу элементардык өзгөртүп
түзүүлөрдү берилген системага колдонууда ага эквиваленттүү болгон
система алынат.
Системаны элементардык өзгөртүп түзүүлөргө төмөнкүлөр кирет:
теңдемелердин орундарын алмаштыруу;
47
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
системанын каалагандай бир теңдемесинин эки жагын тең
кандайдыр бир нөлдөн айырмалуу чыныгы санга көбөйтүү;
системанын бир теңдемесинин эки жагына тең кандайдыр
бир чыныгы санга көбөйтүлгөн экинчи бир теңдемесин
кошуу.
00...00 21 =⋅++⋅+⋅ nxxx түрүндөгү теңдемени сызып
салуу.
Сызыктуу теңдемелер системасын чыгаруу ыкмалары:
Крамердин ыкмасы;
Матрицалык жол менен чыгаруу ыкмасы;
Гаусстун ыкмасы.
§6. Сызыктуу теңдемелер системасын Крамердин формуласы
менен чыгаруу
Сызыктуу теңдемелер системасын чыгаруу үчүн m=n учурда
кана Крамердин формуласы колдонулат.
48
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Эгерде эки белгисизи бар эки сызыктуу теңдемелердин системасын
карасак
⎩⎨⎧
=+=+
22221
11211
byaxabyaxa
анда §2 негизинде төмөндөгүнү алабыз:
⎩⎨⎧
−=−−=−
21111212212211
12222112212211
)()(
ababyaaaaababxaaaa
(15)
Аныктагычты эсептөө эрежеси боюнча:
∆==−2221
121121122211 aa
aaaaaa ;
;222
121122221 xab
ababab ∆==− yba
baabab ∆==−
221
111211112 ,
белгилөөлөрүн киргизебиз.
Анда (15) системасын (16) ⎩⎨⎧
∆=⋅∆∆=⋅∆
y
x
yx
түрдө жазсак болот.
Эгерде (1) система чыгарылышка ээ болсо, анда ал чыгарылыш
(16) системасын дагы канааттандырат.
49
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Системанын аныктагычы 0≠∆ болсо, анда (1) системасы жалгыз
чыгарылышка ээ болот:
∆
∆=
∆∆
= yx xx 2; . (17)
x менен - тин бул маанилерин (1) системасына коюп, аны канааттандыра
тургандыгын көрөбүз. (17) формула Крамердин формулалары деп аталат.
y
Эгерде системанын аныктагычы 0=∆ болсо, анда эки учурду
карайбыз:
1. 0=∆=∆=∆ yx болсун, анда
021212212121112212211 =−=−=− babababaaaaa ⇒ 2
1
22
12
21
11bb
aa
aa
== ,
демек системанын теңдемелеринин коэффициенттери пропорциялаш
болушат. Пропорциялардын коэффициентин k менен белгилесек, анда
2122122111 ;; kbbkaakaa === болот.
Системанын биринчи теңдемесине маанилерин койсок 12111 ,, baa
22221 byaxa =+ экинчи теңдеме келип чыгат. Эки белгисизи бар бир теңдеме
чексиз чыгарылышына ээ болот, анткени теңдеменин бир белгисизине ар
50
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
түрдүү маанилерин берүүгө болот, экинчи белгисизи ушул маанилер аркылуу
туюндурулат. Демек бул учурда (1) система чексиз чыгарылышка ээ болот
2. Эгерде 0 жана жок дегенде аныктагычтардын бири =∆ x∆
же нөлгө барабар эмес болсун. Мейли, мисалы болсун,
анда
y∆ 0≠∆ x
xx ∆=⋅∆ барабардыгы x -тин каалагандай маанилерине
канаатандырылбайт. Ошондуктан бул учурда (1) системасы
чыгарылышка ээ болбойт.
Мисалдар:
1. ⎩⎨⎧
=+=−
74332
yxyx
Бул жерде 0114132
≠=−
=∆ . Демек система бирден бир чыгарылышка ээ
болот.
117132
,334733
21 ==∆=−
=∆
Крамердин формуласынын негизинде .1;3 22
11 =
∆∆
==∆∆
= xx
51
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
2. ⎩⎨⎧
−=+−=−
64232
yxyx
062
31;0
4623
;04221
21 =−−
=∆=−
−=∆=
−−
=∆ .
Эгерде системанын биринчи теңдемесин эки тарабын тең (-2) ге
көбөйтсөк, анда системанын экинчи теңдемеси келип чыгат.
Ошондуктан бул система бир теңдемеге тең күчтүү жана чексиз
чыгарылышына ээ. Теңдеменин у белгисизине ар түрдүү маанилерди
берсек, экинчи белгисиз х ти табабыз:
.32 += yx Мисалы, у=0 болсо, анда х=3; эгерде у=1 болсо, анда х=5 жана
б.у. .
3. ⎩⎨⎧
=−−=+
24212
yxyx
чыгарылышка ээ эмес, анткени
.0842
21;0
4221
1 ≠−=−
=∆=−−
=∆
§7. Бир тектүү үч белгисиздүү экинчи тартиптеги сызыктуу
52
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
теңдемелер системасы
Бир тектүү үч белгисиздүү экинчи тартиптеги сызыктуу
теңдемелердин системасы деп төмөнкү теңдемелердин системасы
аталат:
, (18) ⎩⎨⎧
=++=++
00
232221
131211
zayaxazayaxa
бул жерде а11,а12, а13, а21, а22, а23 сандары системанын коэффициенттери деп
аталат.
(18) системанын чыгарылышы деп , бул системага койгондо ар бир
теңдемени теңдеш барабардыкка айландыруучу х=с1, у=с2, z=с3 деген үч сан
аталат. Системаны чыгаруу үчүн, адагенде белгиcиздердин
коэффициенттеринен түзүлгөн аныктагычтардын бири:
2221
1211
aaaa
, 2321
1311
aaaa
, 2322
1312
aaaa
, мисалы, биринчиден 02221
1211 ≠aaaa
нөлгө барабар эмес деп болжолдойлук.
Анда (18) системаны төмөндөгү түрдө жазабыз:
53
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎩⎨⎧
−=+−=+
zayaxazayaxa
2322121
1312111 (19)
z - белгисизин параметр деп эсептеп, (19) системасынын чыгарылышын
Крамердин формуласынын негизинде табабыз:
z
aaaaaaaa
aaaa
azaaza
x ⋅=−−
=
2221
1211
2322
1312
2221
1211
2223
1213
; )(
2221
1211
2322
1312
2221
1211
2321
1311
z
aaaaaaaa
aaaa
zaazaa
y −⋅=−−
= . (20)
z - маанисин параметр деп эсептегендиктен система чексиз көп
чыгарылышка ээ болот. Системанын бардык чыгарылыштарынын
жыйындысын төмөнкү түрдө жазууга болот:
taaaa
ztaaaa
ytaaaa
x ⋅=−=⋅=2221
1211
2321
1311
2322
1312 ),(, ; (21)
Мында
2221
1211
aaaa
zt = белгиленген, ал ар кандай сандарды туюнтат. Эгерде үч
аныктагыч тең 2322
1312
2321
1311
2221
1211 ,,aaaa
aaaa
aaaa
нөлгө барабар болсо, анда
54
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
(18) системанын коэффициенттери бири бирине пропорциялаш болушат.
Ошондуктан система үч белгисизи бар бир теңдемеге келтирилет:
.23
13
22
12
21
11 λ===aa
aa
aa
⇒ .;; 231322122111 aaaaaa λ=λ=λ=
Системанын биринчи теңдемесине 231322122111 ;; aaaaaa λ=λ=λ=
маанилерин койсок , системанын экинчи теңдемесин алабыз:
0232221 =λ+λ+λ zayaxa ,
же болбосо 0232221 =++ zayaxa . Үч белгисизи бар бир теңдеме чексиз
чыгарылышка ээ болот. Ал чыгарылышты табуу үчүн теңдеменин эки
белгисизине ар кандай маани берип, үчүнчү белгисизин теңдемени
канаатандыра тургандай кылып табабыз.
Мисалдар.
1. ⎩⎨⎧
=−+=+−0032
zyxzyx
<=>⎩⎨⎧
=+−=−zyx
zyx 32
031121
≠=−
; .34
31
31
;31
3123
zz
z
yzz
z
x =
−
=−=
−−
=
55
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Система чексиз чыгарылышка ээ. Чыгарылыштардын жыйындысын
төмөндөгү түрдө табабыз: }3;4;{ tztytx ==−= мында t-ар кандай сан.
2. . ⎩⎨⎧
=++−=−−
062203
zyxzyx
Система чексиз чыгарылышка ээ болот, анткени системанын экинчи
теңдемеси биринчи теңдеменин натыйжасы. Ошондуктан системанын
чыгарылышынын жыйындысын төмөндөгү түрдө жазууга болот:
{ uztyutx = }=+= ;;3 мында t жана u ар кандай сандар.
§8. Үч белгисиздүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер
системасы
8.1. Бир тектүү эмес үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер
системасы
Бизге үч белгисиздүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер
системасы берилсин дейлик:
56
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
3333231
2232221
1131211
bzayaxabzayaxabzayaxa
(22)
Белгисиздердин коэффициенттеринен түзүлгөн үчүнчү тартиптеги
аныктагычты
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
=∆
системанын аныктагычы дейбиз.
Төмөнкү кошумча аныктагычтарды түзөбүз
33231
22221
11211
33331
23221
13111
33323
23222
13121
,,baabaabaa
abaabaaba
aabaabaab
zyx =∆=∆=∆ .
Системанын биринчи теңдемесин а11 элементинин алгебралык
тотуктоочусу А11- ге, экинчи теңдемесин а21 элементинин алгебралык
толуктоочусу А21 -ге, үчүнчүсүн а31 элементинин алгебралык толуктоочусу
А31- ге көбөйтүп кошобуз:
57
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
331221111333123211311
323122211211313121211111
)()()(
bAbAbAzaAaAaAyaAaAaAxaAaAaA
++=+++
++++++ (23)
Мындан ;aAaAaA ∆=++ 313121211111
,aAaAaA;aAaAaA
00
333123211311
323122211211
=++
=++
анткени
,
333231
232221
131211
313121211111 ∆==++aaaaaaaaa
aAaAaA
,0
333231
232221
131212
323122211211 ==++aaaaaaaaa
aAaAaA
.0
333331
232321
131312
333123211311 ==++aaaaaaaaa
aAaAaA
Анда (23) теңдемени төмөнкүдөй жазууга болот
331221111 bAbAbAx ++=⋅∆ , (24)
58
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
мында
x
aabaabaab
bAbAbA ∆==++
33323
23222
13121
331221111 .
Же болбосо xx ∆=⋅∆ . Ошондой эле системанын экинчи жана үчүнчү
теңдемелерин zy zy ∆=⋅∆∆=⋅∆ ; түрдө жазууга болот.
Демек, эгерде (22) система чыгарылышка ээ болсо, анда чыгарылыш
төмөнкү системаны канаатандырат
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∆=⋅∆∆=⋅∆∆=⋅∆
z
y
x
zyx
(25)
Эгерде системанын аныктагычы нөлгө барабар болбосо 0≠∆ , анда
(25) система жалгыз чыгарылышка ээ болот, жана ал чыгарылыш
төмөнкү формула менен табылат
∆∆
=∆
∆=
∆∆
= zyx zyx ;; (26)
59
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Муну далилдөө үчүн х, y ,z - тин маанисин системанын теңдемелерине
коебуз
=∆∆
+∆
∆+
∆∆
=++ zyx aaazayaxa 131211131211
++++++∆
= )()([13232221211231321211111 AbAbAbaAbAbAba
+++∆
=+++ )([1)]( 131312121111133323213113 AaAaAabAbAbAba
133133212311132313221221112 )]()( bAaAaAabAaAaAab =++++++ .
(26) формула Крамердин формуласы деп аталат.
Мисал 13. Берилген теңдемелер системасын Крамердин формуласы
боюнча чыгаргыла: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
14351543913327
zyxzyxzyx
Системанын аныктагычтарын түзөбүз:
;03315439327
≠==∆ ;6311443153213==∆ x
60
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
;15314541593137
−==∆ y 9141515391327
==∆ z .
Демек система жалгыз чыгарылышка ээ. Аны Крамердин формуласы менен
табабыз
.339;2
36;5
315
==∆∆
===∆
∆=−=−=
∆∆
= zyx zyx
Эгерде 0 болсо, анда система чыгарылышка ээ болбойт, же
болбосо чексиз көп чыгарылышка ээ болушу мүмкүн.
=∆
Төмөнкү учурларды карап көрөлү:
1) жана кошумча аныктагычтардын жок дегенде бири 0=∆ x∆ ,
же , же нөлгө барабар эмес болсун ( мисалы, ). Анда
канааттандырылбай калат. Демек (25) системасы
чыгарылышка ээ болбойт. Бул учурда (22) системасынын
чыгарылышы жок.
y∆ z∆ 0≠∆ z
zz ∆=⋅∆
61
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Мисал 14. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−=+−=+−
03422
13
zyxzyx
zyx
Система чыгарылышка ээ болбойт, анткени
;04101
432311
;04110
423311
;0111
422311
≠=−−
=∆≠=−
−−
=∆=−−
−−
=∆ yx
.0011322111=
−−−
=∆ z
2) 0=∆=∆=∆=∆ zyx болсун, анда система же болбосо чыгарылышка ээ
болбойт, же болбосо чексиз чыгарылышка ээ болушу мүмкүн. Төмөнкү
мисалдарды карап көрөлү.
Мисал 15. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+−
=+−
13334222
2
zyxzyx
zyx
62
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Мында ;0331224112
;0333222111
=−−−
=∆=−−−
=∆ x
,0133422211
;0313242121
=−−−
=∆==∆ zy бирок система чыгарылышка ээ
болбойт, анткени системанын биринчи жана экинчи теңдемелерин кошсок
6333 =+− zyx
үчүнчү теңдемеге карама-каршы келип чыгат, демек системанын
чыгарылышы жок.
Мисал 16.⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=−+
=−+
44442222
1
zyxzyx
zyx
Мында 0=∆=∆=∆=∆ zyx , система чексиз чыгарылышка ээ, анткени
системанын экинчи, үчүнчү теңдемелери биринчи теңдеменин натыйжасын
берет. Ошондуктан бир теңдеме (үч белгисизи бар) чексиз чыгарылышка ээ
1=−+ zyx ; { }1,, −+=== utzuytx .
63
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
8.2. Бир тектүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер
системасы
Эми тектүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер
системасына токтолобуз:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
000
333231
232221
131211
zayaxazayaxazayaxa
(27)
Бул система ар дайым нөлдүк чыгарылышка ээ болот .0=== zyx
Эгерде системанын аныктагычы 0≠∆ болсо, анда нөлдүк чыгарылыш
0=== zyx системанын бирден бир чыгарылышы болот, анткени
. 0=∆=∆=∆=∆ zyx
Эми системанын аныктагычы 0=∆ болсун дейлик, бирок
аныктагычтын жок дегенде бир минору нөлгө барабар эмес болсун, мисалы
02221
12112 ≠=
aaaa
M .
Анда системанын биринчи эки теңдемесин карайбыз. §7 негизинде бул
система
64
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎩⎨⎧
−=+−=+
zayaxazayaxa
2322121
1312111
чексиз чыгарылышка ээ болот, чыгарылыштын жыйындысын төмөнкү түрдө
жазууга болот
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=−=⋅= taaaa
ztaaaa
ytaaaa
x2221
1211
2321
1311
2322
1312 ),(, , (28)
мында t-ар кандай сан.
Системанын үчүнчү теңдемесине x, y, z маанисин коебуз:
.0
333231
232221
131211
2221
121133
2321
131132
2322
131231 =⋅=⋅+⋅−⋅ t
aaaaaaaaa
taaaa
ataaaa
ataaaa
a
Демек системанын үчүнчү теңдемеси биринчи жана экинчи теңдеменин
натыйжасы болот, ошондуктан бул теңдеме x, y, z маанисин канааттандырат.
Эгерде 0 болсо жана аныктагычтын бардык минорлору нөлгө барабар
болушса, анда системанын теңдемелеринин коэффициенттери бири бирине
пропоциялаш болушат, ошондуктан (27) система үч белгисизи бар бир
теңдемеге келтирилет:
=∆
0131211 =++ zayaxa
65
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
(системанын калган эки теңдемеси бул теңдеменин натыйжасы).
Эгерде системанын аныктагычы нөлгө барабар эмес болсо, анда
система жалгыз нөлдүк чыгарылышка ээ болот. Эгерде 0 болсо, анда
система чексиз чыгарылышка ээ болот. Мындан төмөнкү натыйжа келип
чыгат: бир тектүү сызыктуу теңдемелердин системасы нөлгө барабар эмес
чыгарылышка ээ болуш үчүн системанын аныктагычы болушу зарыл
жана жетишерлик болот.
=∆
0=∆
Мисалдар.
1. система нөлдүк чыгарылышка ээ болот, анткени ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=++=+−
03200
zyxzyxzyx
.06132
111111
≠−=−
−=∆
2. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
09450523032
zyxzyxzyx
чексиз чыгарылышка ээ болот, анткени
66
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
.0945523312==∆ Аныктагычтын минору ,01
2312
2 ≠==M демек
системанын үчүнчү теңдемеси биринчи жана экинчи теңдеменин натыйжасы.
Ошондуктан төмөнкү системаны чыгарабыз
⎩⎨⎧
−=+−=+
zyxzyx
52332
,
;5332
;2513
;12312
zzz
zzz
yx −=−−
=∆−=−−
=∆==∆
.; zyzx yx −=∆
∆=−=
∆∆
=
Демек системанын чыгарылышынын жыйындысы };;{ tztytx =−=−= ,
мында t-ар кандай сан.
67
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
3. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+−=+−
06330422
02
zyxzyx
zyx Система чексиз чыгарылышка ээ, анткени
0633422211=
−−−
=∆ , аныктагычтын бардык экинчи тартиптеги минорлору
нөлгө барабар, ошондуктан система биринчи теңдемеге келтирилет
.02 =+− zyx Системанын бардык чыгарылыштарынын жыйындысын
төмөнкү түрдө жазабыз
)}(21;;{ tuzuytx −=== , мында t, u ар кандай сандар.
§9. Теңдемелер системасынын матрицалык формасы жана
теңдемелер системасын матрицалык жол менен чыгаруу
Бизге үч белгисизүү үчүнчүтартиптеги сызыктуу теңдемелер
системасы берилсин дейлик:
68
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
(29)
Төмөнкү белгилөөлөрдү киргисебиз:
,
333231
232221
131211
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
aaaaaaaaa
A , . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3
2
1
xxx
X⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3
2
1
bbb
B
Анда =⋅ XA ⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3
2
1
xxx
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
333232131
323222121
313212111
xaxaxaxaxaxaxaxaxa
жана берилген (29) системаны төмөнкү түрдө жазууга болот
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
333232131
323222121
313212111
xaxaxaxaxaxaxaxaxa
= , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3
2
1
bbb
же кыскача
(30) .
BXA =⋅
(30) барабардыгы матрицалык теңдеме деп аталат. Эгерде (29)
системасы матрицалык формада (30) теңдемеси түрүндө жазылса
69
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
жана А матрицасы өзгөчөлөнбөгөн матрица болсо, анда теңдеме
төмөнкү түрдө чыгарылат. (30) теңдеменин эки жагын А
матрицасынын А-1 тескери матрицасына көбөйтөбүз:
BAXAA ⋅=⋅⋅ −− 11 .
Аныктама боюнча жана EAA =⋅−1 XXE =⋅ , анда
матрицалык теңдеменин чыгарылышына ээ болобуз
(31) BAX ⋅= −1
Мисал 17. Теңдемелер системасын матрицалык жол менен
чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=++=+
1322323
102
32
321
21
xxxxx
xx
Чыгаруу. Системаны матрицалык формада төмөнкү түрдө
жазабыз BXA =⋅ . Мында
70
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
132310
,,210123021
3
2
1
Bxxx
XA
Эми тескери матрицасын табуу үчүн Adet=∆ жана
алгебралык толуктоочторду табалы:
ijA
,09210123021
det ≠−===∆ A
( ) ;31023
)1(;62013
)1(;32112
1 3113
2112
1111 =−=−=−==−= +++ AAA
;11021
)1(;22001
)1(;42102
)1( 3223
2222
1221 −=−==−=−=−= +++ AAA
.42321
)1(;11301
)1(;21202
)1( 3333
2332
1331 −=−=−=−==−= +++ AAA
Мындан
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
−
−=−
413126
243
)9(11A
71
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
болот. Эми (27) формула боюнча
,534
452736
)9(1
13)4(23)1(10313)1(23210)6(
13223)4(103
)9(1
132310
413126
243
)9(11
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅−+⋅−+⋅⋅−+⋅+⋅−
⋅+⋅−+⋅
−=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
−
−=⋅= − BAX
б.а. берилген системанын чыгарылышы х1=4; х2=3; х3=5 болот.
Матрицалык теңдемелердин негизги түрлөрү
1. BXA =⋅ . Бул жерде А матрицасы квадраттык матрица болушу
керек, .0det ≠A Теңдеменин эки жагын А-1 матрицасына сол
жагынан көбөйтөбүз: BAXAA ⋅=⋅⋅ −− 11 , BAXE ⋅=⋅ −1 , BAX ⋅= −1 .
2. BAX =⋅ . Бул жерде А матрицасы квадраттык матрица болушу
керек, .0det ≠A Теңдеменин эки жагын А-1 матрицасына оң
жагынан көбөйтөбүз: 11 −− ⋅=⋅⋅ ABAAX , 1−⋅=⋅ ABEX , 1−⋅= ABX .
3. .CBXA =⋅⋅ Бул жерде А жана В матрицалары квадраттык
болушу керек жана .0det,0det ≠≠ BA Теңдеменин эки жагын А-1
матрицасына сол жагынан көбөйтөбүз: СABXAA ⋅=⋅⋅⋅ −− 11 ⇒ 72
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
.1 CABX ⋅=⋅ − Андан кийнин теңдеменин эки жагын В-1
матрицасына оң жагынан көбөйтөбүз: 11111 −−−−− ⋅⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅ BCAXBCABBX .
Мисал 18.Матрицалык теңдемени чыгаргыла
.9553
4321
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ X
Чыгаруу. Бул жерде . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
9553
,4321
BA BAX ⋅= −1 ,
( )
.3211
,3211
9)5,0(55,15)5,0(35,1915)2(513)2(
9553
5,05,112
,5,05,1
12*
det1
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−+⋅⋅−+⋅
⋅+⋅−⋅+⋅−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−==
−
−
X
BA
AA
A T
§10. Гаусстун ыкмасы
Бизге теңдемелердин саны m, ал эми белгисиздердин саны n
болгон (14) системасы берилсин.
73
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Гаусстун ыкмасы- сызыктуу теңдемелер системасын
чыгарууда белгисиздерди удаалаш жоюу ыкмасы деп аталат. Бул
ыкмада элементардык өзгөртүүлөлдүн жардамы менен
теңдемелердин системасы тең күчтүү (баскычтуу) (же үч бурчтуу)
системага келтирилип, ал системанын акыркы (номерине карата)
теңдемесинен биринчи теңдемени көздөй бардык белгисиздери
удаалаш табылат.
Гаусстун өзгөртүүлөрүн (28) системанын теңдемелерине
жүргүзбөстөн, ал системанын коэффициенттери менен бош
мүчөлөрү аркылу түзүлгөн
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mmnmkmm
iinikii
nk
nk
baaaa
baaaa
baaaabaaaa
A
...........................
............................
......
......
21
21
2222221
1111211
кеңейтилген матрицага жүргүзгөн ыңгайлуу болот.
Мисалдар.
74
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
1. Теңдемелер системасын Гаусстун ыкмасы менен чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=−+=++
043,432,632
321
321
321
xxxxxxxxx
Чыгаруу. Системанын коэффициенттеринен жана бош
мүчөлөрүнөн турган кеңейтилген матрицасын түзөбүз:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
046
413132
321A
Эми A матрицанын жолчолоруна төмөнкү элементардык
өзгөртүүлөрдү жүргүзөбүз:
1. A матрицанын биринчи жолчосун кезеги менен (-2),
(-3) сандарына көбөйтүп, алынган жолчолорду 2-чи, 3-чү
жолчолоруна кошуп, акыркы эки жолчодон х1 белгисизин жойобуз,
б.а. төмөнкүнү алабыз:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
046
413132
321A ~
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−−−
188
6
1350710
321
75
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
2. Акыркы матрицанын 2-чи жолчосун (-5) санына көбөйтүп жана
анын элементтерин 3-чү жолчонун тиешелүү элементтерине кошуп,
акыркы жолчодон х2 белгисизин жойобуз, б.а.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−−−
188
6
1350710
321
~⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−22
86
2200710
321
Акыркы матрицага төмөнкү система туура келет:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=−−=++
222287632
3
32
321
xxx
xxx
Бул системанын 3-теңдемесинен х3=1 ди табабыз, 2- теңдемеден
;117878 32 =⋅−=−= xx
Биринчи теңдемеден 113126326 321 =⋅−⋅−=−−= xxx болот. Демек
(1;1;1) берилген системанын чыгарылышы болот.
2. Теңдемелер системасын Гаусстун ыкмасы менен чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+−=++
6223,13,42
321
321
321
xxxxxxxxx
76
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Чыгаруу. Бул система үчүн
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
614
223131112
A
матрицасы кеңейтилген матрица болот.
1. Биринчи жолчо менен экинчи жолчонун ордун алмаштырабыз.
Андан кийин A матрицанын биринчи жолчосун кезеги менен (-2),
(-3) сандарына көбөйтүп, алынган жолчолорду 2-чи, 3-чү
жолчолоруна кошуп, акыркы эки жолчодон х1 белгисизин жойобуз,
б.а.
A~⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
641
223112131
~⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
321
170170
131
2. Акыркы марицанын 3-жолчосунан 2-жолчонун тиешелүү
элементтерин кемитип, акыркы жолчодон х2 белгисизин жойобуз, б.а.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
321
170170
131~
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
121
000170
131
77
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Акыркы матрицага төмөнкү система туура келет:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅=−=+−
102713
3
32
321
xxx
xxx
Системанын үчүнчү теңдемеси карама каршы келип чыкты (0=1),
демек берилген система биргелешпеген.
3. Теңдемелер системасын Гаусстун ыкмасы менен чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−=+−=−+
174,332,72
zyxzyx
zyx
Чыгаруу. Бул ситема үчүн
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−=
1737
114132121
A
матрицасы кеңейтилген матрица болот.
1. A матрицанын биринчи жолчосун кезеги менен (-2), (-4)
сандарына көбөйтүп, алынган жолчолорду 2-чи, 3-чү жолчолоруна
кошуп, акыркы эки жолчодон х1 белгисизин жойобуз, б.а.
78
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−=
1737
114132121
A ~⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
−
11117
370370121
Акыркы марицанын 3-жолчосунан 2-жолчонун тиешелүү
элементтерин кемитип, акыркы жолчодон х2 белгисизин жойобуз, б.а.
A~⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
−
11117
370370121
~⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
−
0117
000370121
~ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−117
370121
Мында нөлдүк 3-жолчону алып салдык. Акыркы матрицага төмөнкү
система туура келет:
⎩⎨⎧
−=+−=−+
113772
zyzyx
Акыркы система баскычтуу система. Демек, системанын экинчи
теңдемесинен у белгисизин аныктап, андан кийин системанын
биринчи теңдемесине у-тин маанисин коюп, х-белгисизин
аныктайбыз (бул жерде z-эркин өзгөрмө болот):
,711
73
7311
+=−−−
= zzy
79
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
.
727
71
722
76727 +=+−−=+−= zzzzyx
Жообу: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
,711
73
,727
71
zy
zx
z-каалагандай сан.
80
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
§11. Өз алдынча иштөө үчүн көнүгүүлөр.
Вариант 1 1. A жана B матрицаларынын A B ; көбөйтүндүүсүн эсептегиле, мында
A= , B= , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
342
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 312
431
2. Төмөнкү аныктагычты экинчи жолчо боюнча ажыратып, эсептегиле
214120531
4. Матрицалык теңдемени чыгаргыла
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛9553
4321Х
4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери боюнча чыгаргыла
81
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=−=+
.yx,zy,zx
2432262
Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла
⎩⎨⎧
=−−=−+
03202
zyxzyx
Вариант 2
1. А жана В матрицаларынын АВ көбөйтүндүүсүн эсептегиле, мында
А = , В= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5321
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −0124
2. Төмөнкү аныктагычты биринчи жолчо боюнча ажыратып, эсептегиле
82
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
341235312
3. Төмөнкү матрицанын тескери матрицасын тапкыла
А = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
121011322
4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери боюнча чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−=++−=+−
.zyx,zyx
,zyx
114354
7532
6.Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=++=−+
.zyx,zyx,zyx
0320202
83
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Вариант 3
1. А жана В матрицаларынын АВ көбөйтүндүүсүн эсептегиле, мында
A= , B= , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
− 123204153
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
342
2. Төмөнкү теңдемени чыгаргыла 022
142
=+−−−хх
х
3. Төмөнкү матрицалык теңдемени чыгаргыла ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
1001
2112
Х
4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери боюнча чыгаргыла
84
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+−
=−+
.0,10332
,1333
zxzyxzyx
6.Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын чыгарылышын тапкыла
⎩⎨⎧
=−−=−+
03202
321
321
xxxxxx
Вариант 4
85
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
1. Эгерде А = , В= болсо, анда (A + B) тапкыла ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −5123
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −0124 2
2. Төмөнкү аныктагычты 1) үчүнчү мамыча боюнча ажыратып, эсептегиле; 2) үч бурчтуктар эрежеси боюнча эсептегиле
213
237142
−
−
3. Төмөнкү матрицанын тескери матрицасын тапкыла
В= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
100210321
4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери боюнча чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=++−=−+
.23,22523,4432
zyxzyxzyx
86
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
6.Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=−−
.zyx,zyx
,zyx
0373024
0
Вариант 5
1. А жана В матрицаларынын АВ көбөйтүндүүсүн эсептегиле, мында
А = (1 5 6), В = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
− 521143012
2. Төмөнкү аныктагычты 1) биринчи мамыча боюнча ажыратып, эсептегиле; 2) үч бурчтуктар эрежеси боюнча эсептегиле
87
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
341
123112
−
3. Төмөнкү матрицанын тескери матрицасын тапкыла
D= ; ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
165543321
4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери боюнча чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+−−=−+−=+−
.zyx,zyx,zyx
73241342
6.Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла
⎩⎨⎧
=−−=−+
.032,02
zyxzyx
88
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Вариант 6
1. А жана В матрицаларынын АВ көбөйтүндүүсүн эсептегиле, мында
А = , В = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
342
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
− 521143012
2. Төмөнкү теңдемени чыгаргыла
0512154
31=
−−х
3. Төмөнкү матрицанын тескери матрицасын тапкыла
D= ; ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
997637
942
4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери
89
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
боюнча чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−=++−=+−
.zyx,zyx
,zyx
114354
7532
6.Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0;4 5 6 0;2 9 12 0.
x x xx x xx x x
+ + =⎧⎪− + + =⎨− + + =⎪⎩
Вариант 7
1. А жана В матрицаларынын АВ көбөйтүндүүсүн эсептегиле, мында
90
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
A= , B= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 312
431
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
504273
2. Төмөнкү теңдемени чыгаргыла
0cos
1sin4=
xxx
3. Төмөнкү матрицалык теңдемени чыгаргыла
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
0521
2143
-Х
4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери боюнча чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
.zyx,zyx,zyx
1132132523
6.Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла
91
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 02 33 3 0
x x xx x xx x x
+ − =⎧⎪ − + =⎨+ + =⎪⎩
;0;.
Вариант 8
1. Матрицаларынын көбөйтүндүүсүн эсептегиле
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
231521652
352142231
2. Төмөнкү аныктагычты 1) биринчи мамыча боюнча ажыратып, эсептегиле; 2) үч бурчтуктар эрежеси боюнча эсептегиле
92
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
318432
174−
3. Төмөнкү матрицалык теңдемени чыгаргыла
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
1091614
8765
2513
Х
4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери боюнча чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=−+=−+
.zyx,zyx
,zyx
1973415423
112
6.Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 04 26 3 0
x x xx x xx x x
+ − =⎧⎪ − + =⎨+ − =⎪⎩
;0;.
93
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
Вариант 9
1.С жана N матрицаларынын көбөйтүндүүсүн эсептегиле, мында
С = (1 5 6), N= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
342
2. Төмөнкү барабарсыздыкты чыгаргыла
035
211122>
−−−+
x
x
3. Элементардык өзгөрүү ыкмасын колдонуп, төмөнкү матрицанын рангын тапкыла
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
4171453312231
94
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери боюнча чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=−+=−+
.zyx,zyx,zyx
1620128810644532
6.Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=−+
=−+
.034,0638
,0
zyxzyx
zyx
Вариант 10
1. Матрицаларынын көбөйтүндүүсүн эсептегиле
95
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⋅
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
569314523
374596485
2. Төмөнкү теңдемени чыгаргыла
23
3213
=−−хх
х
3. Төмөнкү матрицалык теңдемени чыгаргыла
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−0124
2175
X
4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери боюнча чыгаргыла
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−=+
−=−+−
.3xx5x3,6x3x
,11x3xx2
321
21
321
6.Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла
96
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+−=+−
.03,0334,023
yxzyxzyx
Адабияттар
1. В.А. Малугин. Математика для экономистов: Линейнная алгебра. Курс лекций-М.:Эксмо, 2006.-224с.
2. Просветов Г.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: задачи и решения: учебное пособие.-М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.-192с.
3. А.Б. Соболев, А.Ф.Рыбалко. Математика:учебное пособие-Екатеринбург:ГОУ ВПО УГТУ-УПИ,2004.-180с.
4. Л.Г. Лелевкина. Основы линейной и векторной алгебры. Задачи и упражнения для компьютерного тестирования/КРСУ: Бишкек,2001.-80с.
97
© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики
98