ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤ه : ه و از : طا ت
ه ..................................................................................................................................... وان
ی ر ی و ی ح ند ل اول : دار وط خ رب دار و داری دو رب دار ، ه ای دو رب ٦ ......................................................................................... دار ،
ضا ه ٨ ................................................................................................................................. ط و ی دوم ضا ٩ ............................................................................................................................. وح
س نان و ما ١١ .............................................................................................................................. دده ل ی ١٢ ............................................................................................................................... سا
١٦ ...................................................................................................................................... ن
داری ع وا ددی و ع وا ل دوم : ره ند ع ی ت ر ، ویپ ی م د ره ، ند ع د از ، ١٩ ................................................................................................ ی
ره ند ع وا ل ا ٢٠ ...................................................................................................................... ق و دی ٢١ ................................................................................................................................. قاات
ط ماس ه ٢١ ................................................................................................................ ح یک م ط و ماس ول ی ٢٢ ............................................................................................................................... ده سا
٢٦ ...................................................................................................................................... ن
ره ند ع دو یا وا ر وم : ا ل ره ع دو وا ر ٣١ ............................................................................................................................ ا
ه ) ه ره یک ند ع ر قدا ن ر وچ ن و ر ر روط ، ( م م و ٣٢ ...................................................................................... ماده ل ی ٣٢ ............................................................................................................................... سا
٤٤ ...................................................................................................................................... ن
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥ه : ه و از : داری ی) ن یدا ع ( وا ھارم : ل
داری ی) ن یدا ع ( وا ی ت ٤٨ ................................................................................................................ د و ویپتاب ت و ر ی ٤٨ ........................................................................................................................ دار
ب نا و ه ا ٤٨ ............................................................................................................................... داادیان ی ، و ٤٩ ............................................................................................................................. ق
ده ل ی ٥١ ............................................................................................................................... سا ٥٤ ..................................................................................................................................... ن
ند گا ی ال ت م : ا ل پی دو گا ال ت ٥٨ ............................................................................................................................. ا
صات گاه A ال دوگا د ت ه ا حا یروش ٥٨ .......................................................................................................... دکاری صات گاه A ال دوگا د ت ه ا حا ٥٩ ............................................................................................................ روش
ال دوگا ت ر ا ٦٠ ......................................................................................................................... ر ی گا ال ت ٦٠ .............................................................................................................................. ا
ی صات دکار ھدر ی گا ال ت ه ا ٦٠ ............................................................................................................... حاوا ای صات ا ھدر ی گا ال ت ٦١ ................................................................................................................ ا
وی صات ھدر ی گا ال ت ٦٢ .................................................................................................................. ادهسا ل ٦٢ ............................................................................................................................... ی
٦٥ ..................................................................................................................................... ن
س و ی و ا ا ن و وا ی ه ی رو ای ، ال ت ط ، ا ی ا ی ال ت م : ا ل وع اول ) ط ی ا ی ال ت وس ( ا ول ط ی ا ی ال ت ٦٧ ....................................................................................... ا
ا ت صات ( ا ط ی ا ی ال ت وع دوم )ا ط ی ا ی ٦٨ ......................................................................................... ل ی رو ای ال ت ٧٠ ............................................................................................................................. ا
ده ل ی ٧٣ .............................................................................................................................. سا ٨٣ ..................................................................................................................................... ن
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦ه : ه و از : ی١ل ( ر ی و ی ح ند (
دار وط خ رب دار و داری دو رب دار ، ه ای دو رب دار ،
م Pه ی صات دکار گاه A ضا د )با xyzاز , , )P x y z = ول ود آن ی ض = xشان داده ،y = فاع ه zو ار ه دو ص .( , , )A x y z1 1 و 1
( , , )B x y z2 2 ول 2 از ٢ ٢ ٢٢ ١ ٢ ١ ٢ ١( )AB d x x y y z z ط م پاره وا گاه ود. ی ه ABن ه ی را و
( , , )M x y z ه صات م. M ول ,را از ,x x y y z z
x y z
2 1 2 1 2
1 1 دار 1 م. ی Aن ضای
ورت وان ی ی را Aصات دکار ai bj ck ش داد؛ آن ,ما ,c b a دار Aصاو
ی ور ,z رو y, x ند وi وj
وk ی ور ن ه ا ی ی دار
ی دار ند. aiبا وjb
وkc دار ھا ع آ A
دار ی ه و د، ی د شان Aرا دار ول د. و ی یده ی صات دکار ی ور د تدا A ا
را باA ود از شان د ی اده
Aول a b c 2 2 2 .م ی آور ت د
دار تای Aت یا را ی ه زاو ی ,و , دار A
دار دی ھای و ن زاو ، ی ا وس ود. ی ص ی سازد ، ور Aبا :م د و دار و ی یده
cos
cos
cos
cos cos cos
a a
A a b c
b b
A a b c
c c
A a b c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 1
B,، ا b i b j b k A a i a j a k 1 2 3 1 2 3 گاه آ
١ ١ ٢ ٢ ٣ ٣
١ ١ ٢ ٢ ٣ ٣
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A B a b i a b j a b k
A B a b i a b j a b k
و اr گاه krajrairaArآ
٣٣١ ی دار ،AAr
ند و ا , وازی
٠r ند و ا ی با ت دار یک ن دو rاA
1 گاه آ
A
AAr
ه و داری ی را
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧ه : ه و از : دار ت با Aھم
ی و د Aی با دار ت ) ،A
دار م . ی ، (OP ه روع و ء بدا ) از , , )P x y z ه کان دار ود را ی ورت Pم ا م و آ ی
kzjyixp
م. ا ی د ٠شان ٠ ٠ ٠( , , )p x y z و),,( ١١١١ zyxp گاه آ٠ ١ ١ ٠ ١ ٠ ١ ٠ ١ ٠
( ) ( ) ( )P P P P x x i y y j z z k
دار ی) دو ه ای، داخ ددی ( رب ل Aحا وB
ھا د زاو آ با ٠ , ورت ،cosA B A B .د ی با
A) ا ١و یاB
یاBA
گاه ٠Aآ B و ،١) ٢, ٠i i j j k k i j i k j k
kajaiaAkbjbibB) ا ٣و
٣٢١٣٢١ , گاه ١آ ١ ٢ ٢ ٣ ٣A B ab a b a b
دار داری دو رب ل Aحا وB
ھا د ، زاو آ ٠)با ) ماد A، و با B ی دار ه ود ت ع داری ا ود، ی Aشان داده
وB زه دا و ا
A B سا ی ا با دار ده با ه وازی االضالع سا Aت
وB ول ند و از ی روی ت پ ت را ن د ون ا ت آن از ت و ا
sinA B A B U ود ؛ آن ی Uن
ی دار ه ود ه ع Aداری وB
ند و ی روی ت پ ت را ن د ون ا ت آن از و
ف) ABBA(ا
(ب) ا ،A یاB
یاBA گاه Aآ B
(ج) ،( )A B C A B A C ،
)١و , ,
i i j j k k
i j k j k i k i j
،ا )٢وkajaiaA
٣٢١ ١و ٢ ٣B b i b j b k
وkcjcicc
٣٢١
گاه ١آ ٢ ٣
١ ٢ ٣
١ ٢ ٣
( )
a a a
A B C b b b
c c c
زه دا )و ا )A B C
.ود ی ه دار سا ن ط ا و ت ی ا و وازی ا م ا با
ف) : )٣و )(ا ) ٠A B C )} د.( ١گاه دار با ل از ند.( ٢) الا وازی با دار ند.}، ٣) دو ه با دار یک (
)ب) ) ( ) ( )C A B A B C B C A ، ت )٤و دار آ ودن ه ای ھم ی )رط الزم و کا ) ٠A B C
ی Vا) ٥و دار ل از ده حا قا ث ا م م ABCا با
گاه ,, د آ ١با( )
۶V A B C
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨ه : ه و از : ضا ه ط و
ه ی از ط ٠عاد ٠ ٠ ٠( , , )P x y z دار ذرد و با kcjbiaAی
ول د با ٠وازی با ٠ ٠x x y y z z
a b c
یان ط) ی عاد دکار ):
ود ، آن ,ی ,c b a ه ی از دو ط عاد م. ی ط دی ی ر ٠را پارا ٠ ٠ ٠( , , )P x y z و),,( ١١١١ zyxP :ت از بارت ا ذرد ی ٠ ٠
١ ١ ٠ ١ ٠
x x y y z zt
x x y y z z
ه ی از ری عاد پارا ،٠ ٠ ٠ ٠( , , )P x y z دار وازات kcjbiaA
:ت از بارت ا ذرد ی
٠
٠
٠
x at x
y bt y
z ct z
ه وازات ی عاد ،xy ل د ٠با ٠
٠
x x y y
a bz z
ور ثًال صات ی ور وازات از ی عاد ود. ی بارت zیان د با
ت از: ٠ا
٠
x x
y y
عادالت ط با ، زاو دو ١ ١ ١
١ ١ ١
٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢
x x y y z z
a b c
x x y y z z
a b c
ول از ٢٢
٢٢
٢٢
٢١
٢١
٢١
٢١٢١٢١coscbacba
ccbbaa
ت از: بارت ا ط ن دو ودن ا ود رط ع ی آیدو ت ٠٢١٢١٢١د ccbbba :ت از بارت ا ط ن دو ودن ا وازی رط و ٢
١
٢
١
٢
١
c
c
b
b
b
a ،
ت ط آ ن دو ودن ا ه ای ھم ی ٢رط الزم و کا ١ ٢ ١ ٢ ١
١ ١ ١
٢ ٢ ٢
٠
x x y y z z
a b c
a b c
ه ه ای را از عاد ،٠ ٠ ٠ ٠( , , )P x y z دار ذرد و ب
ckbjaiN ول د از ود با ع
٠ ٠ ٠( ) ( ) ( ) ٠a x x b y y c z z ی ل ن ه عاد ی ورت ک م.
٠Ax By Cz D را ود.ا از ی ,یان ,C B A ثًال د ٠Aا با د. ا دو از ی با ول ور وازی وب ط ه ورت ن ا
,را ,C B A ثًال ند ٠Aا با B ه وازی وب ط ه ورت ن ور xy ا ود د. ا zو ع ی با ٠D ثًال را دی د، ٠Aو از ه با ورت ا
ت. ا ول ا ور ل وب شا ٠Dط ثًال را دی ٠Aو دو از B ه وب ط ه ورت ن ند ا عاد xyبا ت. ا ق ا
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٩ه : ه و از : ٠Ax By Cz D ،٠D ن د با )(با D :م xدار y z
a b c 1 ن abcا فاع از ,, ء و ار بدا ض از ء، بدا ول از را
ه ند. زاو دو ی ء ١بدا ١ ١ ١
٢ ٢ ٢ ٢
٠
٠
A x BY C z D
A x B Y C z D
ول را از ٢٢
٢٢
٢٢
٢١
٢١
٢١
٢١٢١٢١cosCBACBA
CCBBAA
.م ی ن
ت زاو ه آن ا ن دو ودن ا ود رط ع د. ی با حات ود ی ع دار ١زاو حاده ٢ ١ ٢ ١ ٢ ٠A A B B C C ت ه آن ا ن دو ودن ا وازی رط و
٢
١
٢
١
٢
١
C
C
B
B
A
A ه ه ص ،٠ ٠ ٠ ٠( , , )P x y z ه ٠Ax By Cz D :ت از ٠بارت ا ٠ ٠
٢ ٢ ٢
Ax By Cz Dd
A B C
،
ه رک دو ل ه ای از ١عاد ١ ١ ١
٢ ٢ ٢ ٢
٠
٠
A x B y C z D
A x B y C z D
ود ( ی ص ول ز ذرد با ت) : ی واه ا د
١ ١ ١ ١ ٢ ٢ ٢ ٢( ) ٠A x B y C z D A x B y C Z D ه ه ای از عاد ،),,(),,,( ٣٢١٣٢١ aaaAbbbB و
),,( ٣٢١ cccC :ت از بارت ا ذرد ١ی ٢ ٣
١ ١ ٢ ٢ ٣ ٣
١ ١ ٢ ٢ ٣ ٣
٠
x a y a z a
b a b a b a
c a c a c a
ی دوم ضا وح
عاد آن ندرو ز ت ما ی ا ی، ضا ) دوم ح (رو ,یک ,z y x ل از ده ل فاده از دوران یا ا وان با ا ی ی را ضا ح دوم د. و از دوم با
ود. ل بد د و ی ی ی ذیًال ٢ ثا ٢ ٢ ٠a x b y c z d x y e x z f y z g x h y j z k
٢٢٢: رو )١ثال ayx ه دی آن دا ی ت وا ای ا ٢٢٢، ا ayx ه ور xyون د آن و م. zو ی وا دوار د و آن را ا ی با
٢: رو )٢ثال ٢z py ی ھ دی آن ی ت وا ای ا ، اp
zy
٢
٢
ه ور yzون د آن و م. xو ی وی ھ وا د و آن را ا ی با
-٢
-١
٠
١
٢ -٢
-١
٠
١
٢
٠
۵
١٠
١۵
٢
-١
٠
١
o y
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٠ه : ه و از : ١: رو ) :٣ثال
٢
٢
٢
٢
c
z
b
y ی دی آن ی ت وا ای ا ١، ا٢
٢
٢
٢
c
z
b
y ه ور yzون د آن و م. xو ی وی وا د و آن را ا ی با
yرو : ) ٤ثال x
b a
2 2
2 2 ی 1 و ذ دی آن ی ت وا ای ا y، ا x
b a
2 2
2 2 ه 1 ور xyون د آن و م.zو ی وی و ذ وا ت و آن را ا
١: رو ) ٥ثال ٢
٢
٢
٢
٢
٢
c
z
b
y
a
x د. ا ی با ی ند یک ی ع ل را صات حات وازی با ه ع آن با ا ود. ز ی یده ون ی ،٢٢ ba ل را
ور ن حا م ا ی ون دوار ت) . ا zی غ ا م ه ل د ( ی با ور دوران ٢٢٢ cba .ود ی یده ه و ل
١: رو )٦ثال ٢
٢
٢
٢
٢
٢
c
z
b
y
a
x ه ع رو با ود. و ی یده پار ون ی ی و ذ ،٠z c حات وازی با ه ی رو با رک ل د و ی با ی یک
xzyz, ند. ا ی و ٢٢ذ ba ور ور دوران م. ی پار ون دوار ی ی و ذ ت. zآن را ا
١رو ) :٧ثال ٢
٢
٢
٢
٢
٢
c
z
b
y
a
x حات وازی با ه ، با رک رو ل ود. ی یده ون دو پار ی و ذ ،xzyz, ه رک رو با ل ت. ی ا و ذ یک
٠z z ٠وz c ت. ا ی ا ٢٢یک ba .م ی ون دوار دو پار ی و ذ ن رو را ، ا
٢: رو )٨ثال ٢
, ( , ٠)x y
z p qp q ود و ا ی یده وی ون ی ھ ،p q .م ی ون دوار ی ھ د، رو را با
٢رو ) : ٩ثال ٢
, ( ٠, ٠)x y
z p qp q ه ـ ـن رو بـا رک ا ـ ـل نـد. ـی ـز ـب ـن ا ی آن را ز ـت. گـا ـن ا ه ز ـ ل آن ـ ـود. ـی یده ی و ذ ون ی ھ ،
ه ه xyوازی با وازی با حات رک آن با ل ت و ی ا و ذ ت. yzو xzیک ی ا ھ یک
-٢
٠
٢
-٢
٠
٢
٠
٢
۴
۶
-٢
٠
٢
z
x
y
z
xy
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١١ه : ه و از :
٢رو ) :١٠ثال ٢ ٢
٢ ٢ ٢٠
x y z
a b c ـ نـد و ا ـی وی وط ،٢٢ ba ه ـ ـن رو بـا رک ا ـ ـل م. ـ ـی وط دوار ـ ـد رو را ٠zبا z ـل ـت و ـی ا یـک
حات ,٠رک آن با ٠x y عادالت ط xدو a
cz وy
b
cz .ت ا
س د نان و ما
س وس ما عnxnA ول وان از ی را
١١ ٢١ ٣١ ١
١٢ ٢٢ ٣٢ ٢١
١ ٢ ٣
١
n
n
n n n n n
A A A A
A A A AA
A
A A A A
ت آورد. آن د
١١ ١٢ ١
٢١ ٢٢ ٢
١ ٢
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
ذف mnAو ل از نان حا ون mی د س nام و نان ما در Aام د ر m n1 ه باید A؛ا 0
س وس ما ع د. ند ٢×٢با ١١ما ١٢
٢١ ٢٢
a aA
a a
ول ٢٢از ١٢١
٢١ ١١
١ a aA
a aA
ی آید؛ آن ت det دa a
A Aa a
11 12
21 22 .
ی س : ما و ijA a ت ا tAقارن ا A ی, , ij jii j a a ی س ؛ و ما ijA a ت ا قارن ا tAه A ی
, , ij jii j a a .ند ی باید با ی روی اص ا مام ورت ن ا
س ه ما عاد a a a
A a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
١١عاد ١٢ ١٣
٢١ ٢٢ ٢٣
٣١ ٣٢ ٣٣
det( ) ٠
a a a
A I a a a
a a a
ی ه د.ر ١٢٣ی با ,, عاد ن ا
س ه ما قاد و س Aرا م. ا ما : ا Aی و ند. ی واره ه، ھ قاد و ن د، ا ه و قارن با ر و قدا ر Xیک ه گاه دارو د آ AXبا X
- ٢
٠
٢
- ٢
٠
٢
- ٢
٠
٢
۴
- ٢
٠
٢
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٢ه : ه و از : د. ی با ی ل ھای و د عدا م ا با ی و یا ل ی د عدا م ا با س ه ما : ر و
ده : ل ی سا
)١,٣,٢,()٣,۴,١(قاط .١ AB ه د. ده ا ط Mداده ط ABرا پاره ید پاره ن ند. ۴را ABوری
ل: ١ ۴( ٢) ٧
١ ۴ ۵۴ ۴(٣) ١۶ ٧ ١۶ ٧
, ,١ ۴ ۵ ۵ ۵ ۵٣ ۴(١) ٧
١ ۴ ۵
x
M y M
z
دار .٢ )٠,١,١,()١,١,٠(زاو دو AB :ل ت؟ ا با ١
٠ ١ ٠ ١cos cos
٢٢ ٢
١cos
٢ ٣
A BA B A B
A B
kjiVkjVا .٣
ل ٢,٢٣١ گاه حا ١Vآ V .ید یا را
١ل:
١
٣ ٢ ٠ ٢ ٠ ٣٠ ٣ ٢
١ ١ ٢ ١ ٢ ١٢ ١ ١
۴ ۶
i j k
V V i j k
V V i j k
رب .٤ ر حاص )قدا )A A B ا ت ز BAا با ا
ی دار ل ه شا ود B,داری ع A
دار ذا ت و Aا ت پس ود ا ع
( )A A B .ت ا ا ود ھم، دار ع ی) دو ه ای (داخ رب ا حاص ت ز ا ا رش قدا ت و کا ا ا
ی .٥ rدار i j k 1 2 3 وr i j k 2 4 2
دار ند. rوض 1ی از ر ید از آن نان د عا دار وع دو rرا 2
.د با
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٣ه : ه و از : دار ): ی دو رب داخ فاده از سا با ا ل م ا( rی دا v v 1 1 2
وری v 1ی از rر 2
وv 2 ود rع 2
گاه د آ rبا rv r
r
1 221 2
2
و
r rv r r
r
1 21 22 2
2
ن و ا rوبا r 1 2 8 1 6 15
وr 2
2 16 1 4 21 : م دار
v r i j k i j k
v i j k
21
1
15 15 20 5 104 221 21 7 7 720 5 107 7 7
و
v r r i j k i j k i j k
v i j k
1 22
2
15 20 5 10 6 2 112 321 7 7 7 7 7 76 2 117 7 7
دار ) : داری دو رب فاده از سا با ا ل م ا ( rی دا v v 1 1 2 وری v 1
ی از rر 2 وv 2
ود rع 2گاه د آ rبا r
v rr
1 221 2
2
و
r r rv
r
2 212 2
2
ن و ا وبا r r r i j k 2 21 18 6 33 وr
22 16 1 4 21 : م دار
v r i j k i j k
v i j k
21
1
15 15 20 5 104 221 21 7 7 720 5 107 7 7
و
r r r i j kv i j k
r
v i j k
2 212 2
2
2
18 6 33 6 2 1121 7 7 7
6 2 117 7 7
,ا .٦ ,c b a وری ند واه با دار د a b c 0
: ید ،a b b c c a
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٤ه : ه و از : ل:
a b c b b a b b b c b a b c b b c a b b c
a b b c c aa b c c c a c b c c c b c a c c a b c c a
0 0 0
0 0 0
,ا .٧ ,c b a عاد ند دار با a x b y c z d
.ید ل را
ل:
d b ca x b y c z b c d b c a b c x d b c x
a b c
d a ca x b y c z a c d a c b a c y d a c y
b a c
d a ba x b y c z a b d a b c a b z d a b z
c a b
ط .٨ ید از یا ه ای را 2عاد 4
24
31
zyx ط وازی با ذرد و ب
12
41
21
zyx . د با
ی آید: ت ط د دی دو ی ر ی پارا رب خار ه از حاص ود دار ع kjiل:
kji
N
1676142223
ه ورد از ),,(ه ذرد پس 441 ی )۶ز ١) ٧( ۴) ١۶( ۴) ٠
۶ ٧ ١۶ ٩٨
x y z
x y z
قاط .٩ م یک از ),,,(),,(دا 211
214201
ط روی ٣ ٢
٢ ٣
۴ ٣
x t
y t
z t
t
د؟ ع ا وا
ـــل: ١ ١١, , ۴, ,
٢ ٢
١ ١ ١ ١١ ١٣ ٢ ۴ , ٢ ٣ , ۴ ٣
٢ ٢ ٢ ٢ ٢
x y z
x t t y t t z t t
ـــه ),,(پـــس 211
214 روی
ار دارد. ط ن ا , , ١,٠, ٢
٢ ٢٣ ٢ ١ ١, ٢ ٣ ٠ , ١
٣ ٣
x y z
x t t y t t
ه ),,(پس 201 .ت ع ط وا ن روی ا
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٥ه : ه و از : ه .١٠ ده از ذر ط ),,(عاد 432 ی ه وازی 54326543و zyxzyx ید. , یا را
دار وازی بارت دی باید د ه با رک دو ل وازی با ورد باید ط 21ل: NN
د ، آن ),,,(),,(با 4325432 NN د. پس ی با
١ ٢
٣ ۴ ٢ ۴ ٢ ٣٢ ٣ ۴ ٢
۴ ۵ ٣ ۵ ٣ ۴٣ ۴ ۵
i j k
N N i j k i j k ه ط از ن ),,(، ا 432 ذرد پس ی ز
x y z
2 3 41 2 1
عاد .١١ ه با ت 0203و zyxzyx 012و , x ت؟ و ا چ
ا ند ز رک ی ه دارای ل:
0120302
xzyx
zyx
عاد .١٢ 04002516م رو 22 zyx ت؟
م رو ی دا ٢ل: ٢
, ( ٠, ٠)x y
z p qp q ون ت. ن ا ه ز ل آن ود و ی یده ی و ذ ون ی ھ ،22 1625400 xyz پس
16400
25400
pq ت. , وی ا و ذ ون ی ھ ل رو ، و
س .١٣ وس ما ع
682351321
A .ید یا را
ل: ١ ٢ ٣١ ٢
١ ۵ ٣١ ۵ ١ ۵ ۶ ٢ ٣ ٢ ٣ ١ ٨ (٢ ۵ ٣ ٨ ٣ ١ ۶ ١ ٢) ٠
٢ ٨ ۶٢ ٨
٠
A
A
س د. Aپس ما ی با وس پذ ع
س .١٤ ه ما قاد و وع
3142
A :ل ید. یا را ٢
١ ٢
٢ ۴det( ) ٠
١ ٣
det( ) (٢ )( ٣ ) ۴ ٠
٢ ٠ ١
A I
A I
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٦ه : ه و از : ر .١٥ قدا دار aازای ،),,( 101 س ه ما دار و یک
43323211a
ت؟ ا
ه و ل: ا ر و قدا ر xیک ه دار و م: یک د دار XAXبا : و
0
101
43323211a
ن ا نا و
١
٢ ٢ ٠ ٢
٣ ۴ ١
a
a
س .١٦ م ا Aما و د عا س 1را ما AAT ی س ھما ا I، پس ما ت ز د ا عا س IIIIIIAیک ما TT ,,1
ن :
ی .١ ل ٢بد ٢:T V V ی پا ورت jو iدار )را )
( ) ٢
T i i j
T j i j
گارد. ی
ی ل بد ف) : ٣)٢(ا ۴ ) , (٣ ۴ )T i j T i j ب ی jو iرا س ید. ، (ب) :ما ید. ، ٢TوTیا ن را
ید ل ی ت (ب) را حا س (پ) : ,i j با ١ ٢,e e د آن ده با ١وض
٢ ٣
e i j
e i j
.
ید .٢ ٣ض ٣:T V V وری د ی با ل بد یک ( ) ,
( ) ,
( ) ٢ ٣ ۵
T i j k j k
T j k i
T k i j k
ف) : )؛ (ا ٢ ٣ )T i j k ه و ده و ر ساب را
ی ید. Tپو ص س را ت آورید. T(ب) : ما را د
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٧ه : ه و از : ی .٣ ل ٣بد ٢:T V V ورت ی پا را دار
( ) ٠,٠ ,
( ) ١,١ ,
( ) ١, ١
T i
T j
T k
ف) : گارد. (ا ۴)ی )T i j k ی ه و پو ده و ر ساب ص Tرا را
س ت آورید. (پ) : از پا Tید. (ب) : ما را د , ,i j k ٣vو پا ١ ٢,w w ٢v ١ ١,١w و ٢ ١,٢w س ده و ما فاده ، ا
T .ید ص ن پا را ا
س .٤ ما١ ٢
٣ ٢
٢ ٣
ی ت گا ٢ف یک ٣:T ی پا
١ ٢
١ ٢ ٣
١,١ , ١, ١ ,
١,٠,١ , ١,٢,٣ , ٠,١,٠
v v
u u u
د . ی با
س ی Tما ل را پا بد ن س ا پس ما ید و و ی) رد (ط دا تا ی ا را پا
١,٢ , ٠, ١ ,
١,١,٢ , ١,١,١ , ١,٠, ١
ید. و
ضای .٥ م ز و ٣از Wض ه ی و ١ ٢ ٣, ,x x x آن ٣ ٢ ١٣,٢,٣ , ١,٠,١ , ١,١,١x x x ، د ی با
ای ه د ی عا ود یک پا ید.Wف یا
س .٦ ما٢ ١ ١
٢ ٣ ۴
١ ١ ٢
A
ند س ما ت. یک ما س Cوض ا ید ما یا ١Cوری AC.د ی با
ح دوم .٧ یک) و رد (کا دا تا ٢عاد ا ٢ ٢٣ ۵ ٣ ٢ ٢ ٢ ٢ ٠x y z xy xz yz z .ید ص ح را وع ده و را پیدا ی .٨ عاد دکار ی با و ٢ع ٢۵ ۴ ٢ ۶ ٠x xy y .ید و رد آن را دا تا م ا ید و ی ناسا را
ه .٩ ی ۴ه تال ٣ , ٣ ۶ ٠ , ٢ ١x y z x y z x y z .ت آورید را د١٠. a ه ت آورید نان د ٢را ٧ ٨ , ۵ ٢ ٧ , ٢ ٣ ۶x y az x y z x y z ..ند ه با دا ی ر ه ١١. m دار ید دو یا نان ٢aرا i mj k
۴و ٢ ٢b i j k ود ند. ھم ع با
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٨ه : ه و از : ه .١٢ ید از یا ه ای را عاد ١,٢,٣A و ٠, ١,٢B و ١,٠,٠C.ذرد ی
ه .١٣ ده ذر ه عاد ط ١,١,١ ود ١و ع ١ ١
٢ ٣ ۴
x y z .ید یا را
ذ .١٤ ط ه عاد ده ر ه ١,١,١ ود ١٠xو ع y z .ید یا را ط .١٥ ده ذر ه ١عاد ١ ٣
١ ١ ٢
x y z
دار وازی با و ٣,١, ١V
.ید یا را
ی .١٦ ی با راس ھار و م ٢,٢, ١ , ٢, ١,٣ , ١,٣,٠ و ١,١,٢ .ید ه حا را دار .١٧ ت ید یا ٢داری را ٢A i j k
ا ش و د. ٩وده و ی باه .١٨ ه ص ١, ١,٢ عاد ه ٢را از ٢ ٣x y z .ید یا
١ا .١٩ ١
٢A
a
ورت ن س a ا نان ما ید د یا نان د. ٩ا ٢Aرا با
ید دو .٢٠ یا وازی دار دو ند.١,١,١ د با عاط .٢١ ل دو ه شا عاد ١ ٠,١, ٢ ٢,٣, ١v t و ٢ ٢, ١,٠ ٢,٣, ١v t .ید یا را
ید .٢٢ ض ۵, ٣,١u و ٢, ١,١v
دار و .u تای v را
دار و ن ید. ھ uرا پیدا ود تای ع vرا را
. ما ه حات آورید. .٢٣ دار را د ن دو د زاو ی ا ی آن با رب داخ ه ی دار ی دو رب خار زه دا ا ای .٢٤ قار عادالت وط با ید xشان د y z ١و
٢ ٣
y zx .ید یا ه آن را ص د و نا ی و
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٩ه : ه و از : )٢ل ( داری ددی و ره ند ع وا ) : (
ره ند ع ی ت ر ، ویپ ی م د ره ، ند ع د از ، ی
ع ی nف: یک و ای از زوج ره ، ١ ٢, ,..., ,nx x x w .د با سان ر اول ی فاوت دارای ت آن دو زوج ا
ن از م و ن ز ر ر ع nف: آن ١ ٢, ,..., nw f x x x ع ه د را دا ده با ن fف م قاد مام و ع w و د م. fرا ی
ع از ی )ف: , )u f x y ند ی ما cyxfیک ),( ه ع xyروی ت ),(ا yxfu ر قدا قاط آن cu از ح ت و را دارا
),,(ع zyxfu ند ح ما czyxfیک ),,( ع ت ),,(ا zyxfu ر قدا قاط آن cu .ت را دارا
ع ه fره nف: ع ٠P nو ند و اف fو ی ا سای ت، ا ازای ٠P یک ھ ده ا وان 0ف ٠, ٠p نان یا را
٠٠ ( )P P f P L آن ،nP ع د ورت ن ی f، ا ت Pو ا ٠P س ود و و ند ی م Lل و ی ت و ا
٠
lim P L P P
f
.
ا و : ٠
lim P L P P
f
ری از گاه از ت Pآ ر ٠P س قدا م، و دیک Pf بایدL ود حال ا فاوت Pدیک ر ود و ٠Pاز دو دیک
ت. ود و د وان ی ود ا د ر قدا
ید ض )ف: , )f x y دود د، یک از ره با ٠ی دو ٠
٠ ٠
١٢
٢١
lim lim ( , )
lim lim ( , )
x x y y
y y x x
L f x y
L f x y
م. ی ر ی م د را
ند و 21Lو 12L: ا و ود با و 2112 دو LL ع د گاه ٠ fآ ٠( , )x y .ت ود و
ید ض ٠ره و nی fف: nP ع د . ه fبا د، ٠Pرا ار با رط ز ط ا م ا و و ه ویپ
ع ١ (f ه ٠P ، .د ده با ) ٢ف ٠
lim ( )P P
f P
د. ، ود با ) ٣و٠
٠lim ( ) ( )P P
f P f P
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٠ه : ه و از : م ه : ند ه از nه ای ت. nره ه ا ویپ
g,ا ه : h ه ای م ند ویای nدو ع گاه ند آ hره باf
g ه ٠
nP ،٠( ) ٠g P .ت ه ا د ، ویپ با
٠ره و nی gا ه :nP ه و ره و fویپ )٠ی یک )g P گاه د آ ه با fویپ g ٠P .ت ه ا ویپ
ره ند ع وا ل ا ق و د
ع ی ),(ق yxfz ر x :ت از بارت ا٠
( , ) ( , )limx
z f x x y f x y
x x
د ازای ود ورت و y ی ه حا
ع ی ق ),(ود.و yxfz ر y :ت از بارت ا٠
( , ) ( , )limy
z f x y y f x y
y y
د ازای ود ورت و x
ود. ی ه ند و :حا ی ھم ما ی دی ماد ی را با ,ق , , , , , ,y x y x y x
f ff f z z D f D f
y x
ند. ی د ش ما
ع ل ل ا )ف : د , )z f x y را باf fdz dx dy
x y
ع ل ل ا م و د ی )ساب , , )u f x y z را باf f f
du dx dy dzx y z
ع ه دوم ی قات م. ی ه )حا , )z f x y : د و ی یان ورت ز ند و ه اول آن قات ی قات ،٢
٢ ٢
٢ ٢
٢ ٢
٢ ٢
xx xx
yx yx
yy yy
xy xy
z zz f
x x x x
z z fz f
x y x y x y
z z fz f
y y y y
z z fz f
y x y x y x
د. و ی ف وم و باال ه قات ، شا ور ، و
ید ض ره ای : ),(ده ز yxfz و)(),( thytgx ع وا ید ض ن ھ)(th و)(tg و),( yxf گاه ند آ ع ق پذ با ق
))(),(( thtgfz ول dzاز z dx z dy
dt x dt y dt
ود. ی ه حا
),(),(ا yxfzxhy ل ق گاه ول z xآ وان از ی .را dz z z dy
dx x y dx
د. ساب
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢١ه : ه و از :
)ا , ), ( , ), ( , )y y r s x x r s z f x y ورت ی قات گاه آ,
z z x z y
r x r y r
z z x z y
s x s y s
د. و ی یان
ی قات
عاد zا ه ی )و , , ) ٠f x y z ی از ی ورت x, y گاه ود آ ف ,
y
z
z fx
x fzfz
y f
v,، ا u ل ی ر ی از م. yو xوا ه با ند و دا با
( , , , ) ٠, ( , , , ) ٠f x y u v g x y u v : گاه آ
( , ) ( , )( , ) ( , )
,( , ) ( , )( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
,( , ) ( , )( , ) ( , )
f g f gu ux v y v
f g f gx yu v u v
f g f gv vu x u y
f g f gx yu v u v
) آن , )
( , )
f ff g u v
g gu v
u v
.
ع )ف: , )f x y ن از م ا ازای nرا ھم fDyxو ),( م ه با :دا ),(),( yxfyxf n
ع : ا )ه اوی , )f x y) ن از ھمn گاه د، آ ق پذ با ه اش، ه از دا ),(و yxnf
y
fy
x
fx
ح یک م ط ماس و ط ماس و ه
ه ح ماس یک ٠ه ٠ ٠( , , )P x y z ه ح از ی روی ی وم ھای ما مام ل ه ای شا ت از عاد Pبارت ا ح د، ا د با ذر ی
, , ,F x y z f x y z 0 د آن رو ده با )ص , , )F x y z ع ودار ,z f x yی د ، ی با
, , : , , fنمـــودار, x y z z f x y F x y z 3 ه ح ن ماس ا ه عاد ،٠ ٠ ٠( , , )P x y z ول ط و
ع ودار بارت دی ود. ی یان
,z f x y ه م ر ماس ه ١دارای ٠ ٠( , )P x yعاد ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠, ( ) ( , ) ( ) ( , )x yz f x y x x f x y y y f x y
٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ٠x y zx x F x y z y y F x y z z z F x y z
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٢ه : ه و از : د ، آن ی با ٠ ٠ ٠,z f x y ه ح ن ا م ط عاد ٠، و ٠ ٠( , , )P x y z ول ط ٠و ٠ ٠
٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , , ) ( , , ) ( , , )x y z
x x y y z z
F x y z F x y z F x y z
از م ماس ط عاد و ,z f x y ه ح ن ماس ا ه ع ١وا ٠ ٠( , )P x y ول ط و ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , ) ( , ) ٠x xx x f x y y y f x y
عاد ح شا ا ور ود و ی )یان , , , )F x y z u 0 ی د، ده با ص , , , , ,F x y z u f x y z u 0 ن ماس ا ه عاد ح ،
٠ه ٠ ٠ ٠( , , , )P x y z u ول ط و ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠, , ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , )x y zu f x y z x x f x y z y y f x y z z z f x y z
ود. ، آن ی یان ٠ ٠ ٠ ٠, ,u f x y z ه ح ن ا م ط عاد ٢، و ٠ ٠ ٠ ٠( , , , )P x y z u ول ط و٠ ٠ ٠ ٠
٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y z u
x x y y z z u u
F x y z u F x y z u F x y z u F x y z u
از ماس رو ط عاد و
, ,u f x y z ه ٣ ٠ ٠ ٠( , , )P x y z ول ط و ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , , ) ( , , ) ( , , ) ٠x x zx x f x y z y y f x y z z z f x y z یان
عاد ع و ودار نا با ح م ط عاد ع ، ودار نا با ح ماس ه عاد ود. ود. ی ی ف شا ور د ر دار ی از وا ای ع از ماس رو ط
ده : ل ی سا
ع .١ ٢د ٢
٢ ٢( , )
y xf x y
y x
را),( ط 00 د تدا م. ا ا ی ی mxyر از ),( ذرد و 00 ),(ی ت 00 ی با د ود ورت و م، و دیک
جای م ا دی ر ر yدد م: mxقدا م دار ٢ار د ٢ ٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢( , ) (٠,٠) ٠
( ١) ١lim lim
( ١) ١x y x
y x x m m
y x x m m
د 0m ازای ر قدا
ثًال ازای -١ا ( ه 1m) و ع ذا ت ا ا ر آن ),(قدا رد. 00 دا د
د .٢ ر قدا٢ ٢( , ) (٠,٠)
limx y
xy
x y ر تدا ل: ا ید. یا mxyرا م ی حان : را ا
٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢( , ) (٠,٠) ٠ ٠ ٠ ٠ ٠lim lim ٠ , lim lim ٠ , lim lim ٠
١x y x x y y xy mx
xy mx xy xy
x y m x y x y
ت ا ا ع د م ی ف فاده از د . حال با ا ا با د آن د باید ه با د دا ع ن ت ا ا وان : ی
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٣ه : ه و از : ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
x yxy xyx
x y x y y
ا ، ( ز 222 yxxx(
zyexzyxfا .٣ ل ),,(3 حاy
z
:ل ید. یا ٣را
٣١
y z
y z
fz x ey
fy x ez
ی .٤ ث ع ت ٤/٢یک ض ر ت و با ـ ١٠ر ا ث آن ـ ع دی ـت. یـک ضـ ش ا ا ـ ـه حـال ا ر ی ت ٦/١سا ـر ـه حـ ٥ـر و بـا ـر ی ـت. زاو سـا ش ا ا ـ ال ا
ع ن دو ض ا6 .ت ش ا ا ی حال ا ر ث با ت سا ت. ا
م ی دا ١ل: sin
٢s ab C ث و ت ی از bو aسا م: tوا ند دار (زمان)
٢
١ ١. . ( sin ) ( sin )
٢ ٢١ ١ ١ ١
( ١۶٠ ١٠) ٢۴٠ ۵ ٧٠٠٢ ٢ ٢ ٢
ds s da s db da dbb c a C
dt a dt b dt dt dtds cm
sdt
,٢ا .٥ ٣ ۴ , ( , )u
V xyz u x y z f u vv
ر fقدا
z
١, ١, ٢x y z :ل ید. یا را
٢٢
٢
٢٢
١ ٢. . ( )
٣ ۴
٣ ۴٢
٣ ۴
٢ ١ ٣ ٨ ۶ ۶ ۶ ۶(١,١,٢) (١,١,٢)
۴ ۶ ۴ ١٢ ١٢٢ ١ ٣ ٨
f f u f v uxy
z u z v z v vx y z
x y zf
z xyzxyz x y z
f f
z z
٢ا .٦ ٢١١ , , ٢
١y t x z x xy y
t
ر dzقدا
dtید. 1t ازای یا را
ل: ٢
١ ١
١ ١(٢ ) ( ۴ )
(١ ) ٢
١ ١(١) , (١) ١ ١ ٢
١ ١ ٢
١ ١ ١ ١٢ ٢ ( ٨) ۴ ۴
٢ ۴ ٢ ٢ ١t t
dz z dx z dyx y y y
dt x dt y dt t t
x y
dz dz
dt dt
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٤ه : ه و از : )ع .٧ , , )w f y z z x x y ت؟ ی ا قات ل با ا عاد د م دا واب
ض ل: با u y z
v z x
t x y
م )دار , , )w f u v t و
. . .
٠
. . .
٠
w w u w v w t
x u x v x t xw w w
x v t
w w u w v w t
y u y v y t y
w w w
y u t
و
. . . ٠
٠
w w u w v w t w w
z u z v z t z u v
w w w
x y z
ع )پس , , )w f y z z x x y ل با ا عاد د واب
ی ٠قات w w w
x y z
ت . ا
)ا .٨ , ) ٠x y
fz z
بارت ر قدا گاه zآ zx y
x y
ید. یا را
ض ,ل: با , ( , )y x
v u z z x yz z
م )دار , ) ٠f u v حال ازf بار بار xی م: yو ی ر ی ق ( ) ( ) ٠
( ) ( ) ٠u x v x
u y v y
f u f v
f u f v
ون ،f ی ازu وv ی د واب گاه دارای A ن د ت پس ا ٠uا vf f :م ت و دار
٠x x
x y x yy y
u vu v v u
u v ی ، از
٢ ٢
٢ ٢
,
,
x xx x
y y
y y
z x z y zu v
z z
x z z y zu v
z z
م: قاد دار ن ری ا ذا ، و با جای
٢ ٢ ٢ ٢
y yx x
x y
z y z x zz x z y z
z z z z
xz yz z
٢گاه .٩ ٢( )z f x y ه حا ت وب ا zط zy x
x y
ض ل: با .22 yxu م )دار )z f u و
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٥ه : ه و از : . ٢
٠
. ٢
z f u fx
x u x u z zy y
x yz f u fy
y u y u
ود رو .١٠ 4333ط ع xyzzyx ه ),,( a11 .ید یا ع رو را وا
ل: ٢
٢
٢ ٢
٣ (١,١, ) ٣
٣ (١,١, ) ٣
٣ (١,١, ) ٣ ١
x x
y y
z z
f x yz f a a
f y xz f a a
f z xy f a a
ه ی ),,(، از a11 : ند. پس ی عاد آن صدق د و ی با روی رو
٣ ٣
٠ ٠ ٠
١ ١ ۴ ٢ ٠ ١
١ ١ ١١ ١ ١
۴ ۴ ۴
x y z
a a a a a
x x y y z z
f f fx y z
x y z
عاد .١١ ح ماس ه 25عاد 8
2518 22 yx
z ه ),,( ید. 221 را پیدا
ورت ماس ه عاد ل:
٢ ٢
٣۶ ١۶, , ١
٢۵ ٢۵١٨ ٨, ,
٣۶ ٣١٢۵ ٢۵١ ٢ ٢ ٠
٢۵ ٢۵
x y zf x f y fx y
f x y z zx y z
ود. ی یان
عاد .١٢ ح ماس ه ٢عاد ٢ ٢ ٠x y xz ه ),,( ید. 101 یا را
ل:
٢ ٢ ٢
٢
٠ ٠ ٠
( , , )
٢ (١,٠,١) ٣ (١,٠,١) (١,٠,١) (١,٠,١) ٠٢ (١,٠,١) ٠
٣ ١ ٠ ٠ ٢ ١ ٠ ٣ ٢ ۵٢ (١,٠,١) ٢
x xx y z
y y
z z
f x y z x y xz
f x z f x x f y y f z z ff y f
x y z x zf xz f
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٦ه : ه و از : ن :
ید : .١ یا دود ز را کان ورت ا
٢
٠ ٠٢
٢ ٢ ٢٢
۴ ٢
sinlim , , cos , lim , sec , , lim cos , sin , ١ ,
tan ۴١۶ ۴ ۴lim , ٧ , , lim , ٢ ١ ,
۴ ۵ ٢ ٢
x
x x t
x x
x x xx x e t t t Lnt
x x x
xx x xx x x
x x x x
ی .٢ قات ل یک از ع ز ، حا وا ,ای یک از , , ,
, , ,
xx yy
zz zx yz xy
f f ff f
x y z
f f f f
ید: یا را
٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٢ ٣
٢ ٣ ٢ ٢ ٢١ ۴ ٧
٢ ٣ ۴٢ ۵ ٨
٢ ٣ ٢٣ ۶ ٩
cos , cos sin tan ,
sin , sin ,
sin , sin , tan
y z
x y x y z
x y
f x y xy z y f x z y f x
f ze x y f x y z xyz f e
f z e f xyz x yz f xyz
ط .٣ ماس و ه عادالت م و ط ماس دار ید :و یا ده ه داده ی ز را م یک ازرو ف ) : ٢ا ٣
١f x y z ه ب): ١,١,١ ، ٢٢ sin ٢ x yf z x y ه ج) : ١,١,٢ ،xyz e ه ٠,١
د) : ٣ cos sinf x z x y ه ٣, ,٢٢
، ه ) : , cos cosf x y x x y ه ٠, ،
و ) : ٢ ٢ ٢ ٢z x y Ln x y ه ٢، ز ) : ٠,١ ٣٢z x y ه ١,١,٣ ،
٢ح ) : ٢ ٢ ١٨x y z ه ٣,۵, ۴ : ( ط ، ، sinz xy ه , ١٣
ی .٤ ماس ط ٢عاد
٢ ١۶
y x
z y
ه ۴,١۶,ید. ٠ ص را
ع .٥ ی ت دم ویپ ی یا ت ویپ
٢
۴ ٢, , ٠,٠
,
٠ , , ٠,٠
x yx y
x yf x y
x y
ه ید. ٠,٠ ث
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٧ه : ه و از : ع .٦ ی ت ویپ
١ ١sin sin , , ٠,٠
,
٠ , , ٠,٠
x y x yx yf x y
x y
ید. ی ر را
ع .٧ ی ق پذ دم ی یا ق پذ
٢
٣ ٣, , ٠,٠
,
٠ , , ٠,٠
x yx y
x yf x y
x y
ید. ث صات ء بدا
ع .٨ ٢ ٢
٢ ٢, ٠
,
٠ , ٠
xyx y
f x y x y
x y
ع ی ت ت . ویپ ید fوض ا شان د ید و ی ر ء بدا د. fرا ی با ی قات دارای
م .٩ ی ض
٢ ٢
٢ ٢, , ٠,٠
,
٠ , , ٠,٠
x yx y
x yf x y
x y
ف) : ت : (ا و ط ٠,٠xf : (ب) ، ٠,٠yf : (ج) ، ٠,٠xxf ،
(د) : ٠,٠yyf : (ه) ، ٠,٠xyf : (و) ، ٠,٠yxf
ض .١٠ با ,w f x y آن y u v وx u v ه حا ت و ط د. ٢wی با
u v
ی قات . yو w xب
ند ). ی با ه ی ویپ قات )
ا .١١٣
٢
٢
sin
sin
cos
t
u x y
x y e
x y t
بyو xو ی ت tوا وب ا ط ند. duبا
dt ؟
ر .١٢ ر vبا xy وu x ٢عاد ٢
٢
f f fx y
x y y y
ود؟ ی ل بد عاد ای
عاد .١٣ sin ٠ue v y وcos ٠ue v x ،u وvی از وا ورت y,را x دار ید زاو دو شان د ند. ی ف u u
i jx y
وv vi j
x y
.ت ری ا قدا
ع .١٤ ,w f x y ت ا cosxوض ا r وsiny r : ید شان د د. ٢٢٢با ٢
٢
١w w w w
r r x y
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٨ه : ه و از : ح .١٥ ماس ه x y z قاط صات را ی B,ور AوC ع ل ید حا ند. ی OAع OB OC
ید. یا ر را قدا ن ت و ا ری ا قدا
ا .١٦ f x at g x at : ید شان د د. ٢با ٢٢
٢ ٢a
t x
ا .١٧ ,w f x y وcos
sin
r
r
x e
y e
ید : شان د د. ٢با ٢ ٢ ٢
٢٢ ٢ ٢ ٢
rw w w we
x y r
م .١٨ ض ,u f x y وsin
cos
y r
x r
ید : شان د٢
١ ١rr r xx yyu u u u u
r r
y,ی از zا .١٩ x عاد وده و ٢sin ٢ ٣ ٢ ٣x y z x y z : ید شان د ند. ١صدق z z
x y
م : .٢٠ ه با ی دا ور ٢ ٢
٢
, , ٢
z uv
y u v
x u v
x y z Ln x y z
ید : ٠شان دv u
ید .٢١ ض , ,f x y u v ٢و ٢
٢
u x y
v xy
ید :
٢ ٢ ٢ ٢٢ ٢
٢ ٢ ٢ ٢۴
f fx y
x y u v
ید ا .٢٢ ,f x yعاد الپالس ٢ ٢
٢ ٢٠
f f
x y
ع ( ازای ند ، صدق , ٠,٠x y ، ٢ ٢ ٢ ٢
, ,x y
x y fx y x y
(
عاد ع صادق ید ه با و دا ند. ( ی ن ز یک)الپالس را را و ر ساز ، ع ھ ی ، ( وا ع ند.) یک ی ، ف) : .٢٣ ع (ا وا ید ٢ ٢,f x y Ln x y : (ب) ،
٢ ٢ ٢
١, ,g x y z
x y z
،
(ج) : ٢ ٢ ٢ ٢
١, , ,h x y z w
x y z w
ف) : ند : (ا ی عادالت الپالس ز صدق ،٠xx yyf f ،
٠xx(ب) : yy zzg g g : (ج) ،٠xx yy zz wwh h h h ٢، آن
٢xx
ff
x
ل . ن واز ا
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٩ه : ه و از : ی .٢٤ ر ر ٢ ٢
٢
u vy
x uv
بارت ,f x y را ,g u v : (ف ند. (ا ی ل ,بدg g
v u
٢gو
u v
ی قات ب را
f گاه ازای رید. ) ؛ (ب) : ساوی ب وط را خ ی قات ید وا ی ید. ( y,ساب x م ه با دا ٢
, ٢f x y ی ،a وb وری را
ید ٢ن ٢٢ ٢g g
a b u vu v
.
ید .٢٥ ند و bو aض , ax byz u x y e د و با ,u x y ی ازx وy ت و ٢ا
٠u
x y
قاد ،a وb بارت ند با
٢z z zz
x y x y
قاد مام د. yو x ا ازای ا با
ا .٢٦ ٢ ٢, ٠f x y z x y ،z ی از وان ید : yو xرا شان د ند، zف zx y x y
y x
عاد .٢٧ ح قاط روی مام ۴صات ٣ ٢۴ ۶ ٢z x xy y ماس ه ت آورید آن د.را د ی با ی رو ، ار .٢٨ قدا ل ، ا فاده از د ید . fبا ا آورد وض ه را
ف) : (ا ٢ ٢,f x y x y ه ۵ /٠١,۴ ، (ب) : ٠٢/ ٢ ٢, ٢٠ ٧f x y x y ه ١/٩۵,١/٠٨ ،
(ج) : , ٣f x y Ln x y ه ۶ ، (د) : ٩,٢/٠۶/ , xyf x y xe ه ۵ /٩,٠/٠١ ،
(ه) : ٢ ٣ ۴, ,f x y z x y z ه ١/٠۵,٠/٩,٣ /٠١ ،
(و) : ٢, , sinf x y z xy z ه ٣ /٩٩,۴ /٩٨,۴ /٠٣
ف) : .٢٩ وض (ا د دا ل ، ا ا فاده از د با ا ٢٨ /٩۴ ٩ /٩٩ ١/٠١ : (ب) ، ۴٣٩٩ ١٢۴ :(ج) ، ٠/٠٢٠/٩٩ e، (د) : ٢ ٢ ٢
٣ /٠٢ ١/٩٧ ۵ /٩٩ . ید آورد را
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٠ه : ه و از : ا .٣٠ ٢ ٣ ٣, ۵f x y x y y x از ی ، , ۶f x y ٢را ازایx .ید از یا ی ی : ا ما ( را ,f x y c ،
ی از از xودار ی ماس ط از یا ھمان ی د. xول با ، با
y
fdy
dx f
(. ی آید ت د
عاع آن و .٣١ ش ا صد ا وا را با یک م ا ر ید. ٢صد ه حا ی ور ود ، ی ل فاع آن حا ار ش ا صد ا
م ( ر صد ی : ما ا با vرا ی ور ١٠٠
v vr h
r hv
د.) ی با
ع .٣٢ ی را با ٢ ٢ ٢, , ٢ ٣x y z x ax y bz ن یدا یک و ر ع ود. Dیک ی ع .٣٣ ن الپال ٢ ٢, , ٢f x y z x y z ه را ١, ١,٢M .ید یا
ا .٣٤٢
٣ ٣
x u v w
y u v w
z u v w
ل گاه حا آ
, ,
, ,
u v w
x y z
ید. یا را
ا .٣٥
٢ ٢ ٢ ٢
٢ ٢
٠
٠
,
,
u uv v x y xy
uv x y
u u x y
v v x y
ل گاه حا uآ
y
ید. یا را
٠xا .٣٦ وf دو yق پذ باz xy xf
x
ل گاه حا z؛ آ zx y
x y
ب y,را x وz.ید یا
ا .٣٧ ٢ ٢
٢ ١ ٢
١ ١ ١
tv t i j k
t t t
ت یک و ر ه دار تاب دار دار و ن ٠tزاو ا ل گاه حا د. آ ید. cosبا یا را
ی .٣٨ ماس ٢ط
٣
١
١
٢
x t
y t
z t t
ه ه ٠,٢,١ ه ای ی ند.xozاز ی ع را
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣١ه : ه و از : ره٣ل ( ند ع وا م ر ) : ا
ره ع دو وا م ر ا
ع ید ض ,z f x y ی از سای یک ھ ٠ ٠ ٠,P x y م و ی ت ده ا ی از ٠P fف سای ت ا یک ھ ی ا م ی ر قدا د ٠Pدارای یک ه با ود دا و
ای وری ,x y :م ه با ی دا سای آن ھ ٠ ٠, ,f x y f x y م و ی ی از ٠P f؛ سای ت ا یک ھ ی ا م ر ما قدا ه ٠Pدارای یک ود دا و
ای وری د با ,x y :م ه با ی دا سای آن ھ ٠ ٠, ,f x y f x y ، ٠هP م ر ع آن ا م. ی م ر ه ا دارد را یک
ع ه: ا ,z f x y ه ٠ ٠ ٠,P x y ه ه اول آن ی قات گاه د آ ود م ر ا ٠ ٠ ٠,P x y .د ر دا ود ند یا و ا
: ا ع و ,z f x yه ٠ ٠,x yدو ق پذ با ٠ ٠,x y ای م ر ه ا گاهfیک د آ ٠با ٠ ٠ ٠( , ) ٠ , ( , ) ٠x yf x y f x y
ه ف: ٠ ٠,x yع ی ا ه م گاه fرا یک fی ٠ ٠,x y ه د و یا را با ٠ق پذ ٠ ٠ ٠( , ) ٠ , ( , ) ٠x yf x y f x y .د ار با
م. ی ی قاط ز د و ی ی م ر قاد ا ی را ا قاط
ید ض ه: ٠ ٠,x y ع ی ا ه یک ,f x y ه اول و دوم ی قات مام ی از fوده و سای یک ھ ٠ ٠,x y:ید ض ند و ه با ویپ
٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠, , , , ,xx xy yyA f x y B f x y C f x y ن ٢D، حال B AC .م ی د ل را
ف) ا ٠D(ا ه ، ٠ ٠,x y ، .ت ی ا ه ز یک
٠D(ب)ا ی آید. (ج) ا ت د ن روش ای ٠Dاز ا ٠وA ع ورت ن f ا ٠ ٠,x y .ت ی ا م ر قدا دارای یک
٠D(د) ا ٠وA ع ورت ن f ر ا ٠ ٠,x y .ت ی ا م ر ما قدا دارای یک
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٢ه : ه و از : ه) ه ره یک ند ع ر قدا ن ر وچ ن و ر ر ره ( ند ع روط م ی م و ما
ع م ر م ا وا ی z x, yf رط را با g , ٠x y ا ع ال وم و ی، و ع م ر ون ا وان یک آز ی ن کار را م.ا ن
( , ) ( , )u f x y g x y د آن ل ت از : و بارت ا ا ع ال م ر ای ا رط الزم ت. ا ا ر ال وم و ر
, , ( , )u f g u f g
g x yx x x y y y
0 0 0
ساب ی را ا قاط ع قاد ف) ت: (ا ه الزم ا ه ع یک ر قدا ن ر وچ ن و ر ر دن م. ای پیدا زی پیدا ی ی ع را ر قدا ن ر وچ ن و ر ر م . (ب) قد ن ر وچ ن و ر ر م.(ج) ی یار ف) و(ب) را ا ده (ا ت آ د قاد مام ر از ا
ده : ل سا ی
ع .١ ی م) ل ( دا ٢ ٢x, y ٣x ٢xy ٢x y y ۴f .ید یا را
ل: ١
۶ ٢ ٢ ٠ ۴٢ ٢ ١ ٠ ١
۴
x
y
xf x y
f x yy
ه ١پس ١,
۴ ۴
ی عه ی ا fم ت ز ٠ا
٠xxf
D
.
بارت .٢ ی ٣م ٣x y ۶xy :ل ید. یا٣ ٣
٢
٢
( , ) ۶
٣ ۶ ۶
٣ ۶ ۶
۶
x xx
y yy
xy
f x y x y xy
f x y f x
f y x f y
f
٠؛ ا
٠x
y
f
f
قاط و ٢,٢ ی ٠,٠ ا قاط
ند و fع ٢
٠ , ٠ , ۶
, ٠,٠ ( )
٣۶
xx yy xy
xy xx yy
f f f
x y D f f f
D
ون ٠Dو ه پس ت. ٠,٠ ی ا ه ز
٢
١٢ , ١٢ , ۶
, ٢,٢ ( )
٣۶ ١۴۴ ١٠٨
xx yy xy
xy xx yy
f f f
x y D f f f
D
ون و ٢,٢ ٠
٠xxf
D
ه پس ت. ٢,٢ ی ا م ه
و : min ٨ ٨ ٢۴ ٨ min ٨f f
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٣ه : ه و از : م .٣ ر ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ٢ ۴ ١۴ ١٢ ١٢ ١٢ ٢ ۴ ٢f x y x x x yx yx x y y . ی ا م یک fقاط دا ید وم ع ید و یا را
ند. ی ه ز ی یا م ی ، ما م ی ، ا قاط ن از ا
ل : ٢
٣ ٢
٢
٢۴ ٢۴ ٢٨ ٢۴٨ ١٢ ٢٨ ٢۴ ١٢ ١٢
٢۴ ١٢
١٢ ١٢ ۴ ۴ ۴
xxx
xy
y yy
f x x yf x x x xy y
f x
f x x y f
٠؛ ا
٠x
y
f
f
قاط
١ ١, , ٠, ١
٢ ۴
و ١, ١ع ی ا ند. fقاط ٢
١۶ , ۴ , ٠١ ١, ,
٢ ۴ ( ) ۶۴
xx yy xy
xy xx yy
f f fx y
D f f f D
١ون ١, ٠
٢ ۴
٠
xxf
D
ه ١پس ١,
٢ ۴
ت. ی ا م ه
٢
۴ , ۴ , ١٢
, ٠, ١ ( )
١۴۴ ١۶ ١٢٨
xx yy xy
xy xx yy
f f f
x y D f f f
D
٠Dون ه پس ٠, ١ .ت ی ا ه ز
٢
۴ , ۴ , ١٢
, ١, ١ ( )
١۴۴ ١۶ ١٢٨
xx yy xy
xy xx yy
f f f
x y D f f f
D
٠Dون ه پس ١, ١ .ت ی ا ه ز
م .٤ ر ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ٢ ٣٩ ١٠ ١٠ ۴٠ ٨ ١۶f x y x x x yx yx x y y قاط ید شان د . ١ ٢١, , ٠, ۴
٢ ۴
و
١,۴ ع ی ا ید. fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را
ل : ٢
٣ ٢
٢
١٢ ١٢ ٧٨ ٢٠۴ ۶ ٧٨ ٢٠ ١٠ ۴٠
٢٠ ١٠
١٠ ١٠ ٢ ٨ ٢
xxx
xy
y yy
f x x yf x x x xy y
f x
f x x y f
٠؛ ا
٠x
y
f
f
قاط گاه آ
١ ٢١, , ٠, ۴
٢ ۴
و ١, ۴ ع ی ا ند. fقاط
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٤ه : ه و از :
٢
١٨ , ٢ , ٠١ ٢١, ,
٢ ۴ ( ) ٣۶
xx yy xy
xy xx yy
f f fx y
D f f f D
١ون ٢١
, ٠٢ ۴
٠
xxf
D
ه ١پس ٢١,
٢ ۴
ت. ی ا م ه ما
٢
٢ , ٢ , ١٠, ٠, ۴
( ) ١٠٠ ۴ ٩۶
xx yy xy
xy xx yy
f f fx y
D f f f
٠Dون ه پس ٠, ۴ .ت ی ا ه ز
٢
٢٢ , ٢ , ١٠, ١, ۴
( ) ١٠٠ ۴۴ ١۴۴
xx yy xy
xy xx yy
f f fx y
D f f f
٠Dون ه پس ١, ۴ .ت ی ا ه ز
م٥ ر . ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ۵ ١٠ ١٧ ۶ ۶ ١٢ ۵ ٢٠ ٢٠f x y x x x yx yx x y y قاط ید شان د . ١ ٣٧, , ٠,٢
٢ ٢٠
و
ع ١,٢ ی ا ید.fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را
ل : ٢
٣ ٢
٢
۶٠ ۶٠ ٣۴ ١٢٢٠ ٣٠ ٣۴ ١٢ ۶ ١٢
١٢ ۶
۶ ۶ ١٠ ٢٠ ١٠
xxx
xy
y yy
f x x yf x x x xy y
f x
f x x y f
٠؛ ا
٠x
y
f
f
قاط گاه آ
١ ٣٧, , ٠,٢
٢ ٢٠
و ع ١,٢ ی ا ند و fقاط ٢
١۶, ١٠ , ٠١ ٣٧ ۵, ,
٢ ٢٠( ) ٣٢
xx yy xy
xy xx yy
f f fx y
D f f f D
ون
٠D ه ١پس ٢١,
٢ ۴
ت. و ی ا ه ز ٢
١٠ , ١٠ , ۶, ٠,٢
( ) ٣۶ ١٠٠ ۶۴
xx yy xy
xy xx yy
f f fx y
D f f f
ون ٠,٢ ٠
٠xxf
D
ه پس ت.و ٠,٢ ی ا م ه ٢
١٠ , ١٠ , ۶, ١,٢
( ) ٣۶ ١٠ ۶۴
xx yy xy
xy xx yy
f f fx y
D f f f
ون ١,٢ ٠
٠xxf
D
ه پس ت. ١,٢ ی ا م ه
م٦ ر . ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ۴ ٨ ۴ ۴ ۴ ٨ ۴ ١۶ ١۶f x y x x x yx yx x y y قاط ید شان د . ١ ١٧, , ٠, ٢
٢ ٨
و
١, ٢ ع ی ا ید. fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٥ه : ه و از : ل :
٢٣ ٢
٢
۴٨ ۴٨ ٨ ٨١۶ ٢۴ ٨ ٨ ۴ ٨
٨ ۴
۴ ۴ ٨ ١۶ ٨
xxx
xy
y yy
f x x yf x x x xy y
f x
f x x y f
٠؛ ا
٠x
y
f
f
قاط گاه آ
١ ١٧, , ٠, ٢
٢ ٨
و ١, ٢ ع ی ا ند. fقاط
٢
٣ , ٨ , ٠١ ١٧, ,
٢ ٨ ( ) ٢۴
xx yy xy
xy xx yy
f f fx y
D f f f D
٠Dون ه ١پس ١٧
,٢ ٨
ت. ی ا ه ز
٢
٨ , ٨ , ۴, ٠, ٢
( ) ١۶ ۶۴ ۴٨
xx yy xy
xy xx yy
f f fx y
D f f f
ون ٠, ٢ ٠
٠xxf
D
ه پس ٠, ٢ .ت ی ا م ه
٢
٨ , ٨ , ۴, ١, ٢
( ) ١۶ ۶۴ ۴٨
xx yy xy
xy xx yy
f f fx y
D f f f
ون ١, ٢ ٠
٠xxf
D
ه پس ١, ٢ .ت ی ا م ه
م٧ ر . ۴ ٣ ٢ ٢ ٢٣ ٣, , ۶ ۶ ٢ ٢ ١٢ ١٨
٢ ٢f x y z x x x zx zx z y y قاط ید شان د . ١
١, ٣, , ٠, ٣,٠٣
و ٢, ٣,٠ ع ی ا ید. fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را
ل :
٢
٣ ٢
١٨ ٣۶ ٢ ١٢
۶ ١٨ ١٢ ٢ ٢ ٨ ٠
٢ ٢
۴۴ ١٢
٠
xx
x xy
xz
yy
yyz
f x x z
f x x x xz z f
f x
ff y
f
؛ ا ٠
٠
٠
x
y
z
f
f
f
قاط گاه آ
١١, ٣, , ٠, ٣,٠
٣
و ٢, ٣,٠ ع ی ا ند. fقاط
١٢ , ۴ , ٣
, , ٠, ٣,٠٠ , ٢ , ٠
١٢ ٠ ٢
٠ ۴ ٠
٢ ٠ ٣
xx yy zz
xy yx xz zx yz zy
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
f f fx y z
f f f f f f
f f f
H f f f
f f f
یان س ه ما ند از : Hقاد و ١۵بار ٩٧ ١۵ ٩٧۴, ,
٢ ٢
ه ند پس ی د دا ی ا یان ھم س ه ما قاد و ون ، ٠, ٣,٠ .ت ی ا م ه ما
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٦ه : ه و از :
١٢ , ۴ , ٣, , ٢, ٣,٠
٠ , ٢ , ٠
١٢ ٠ ٢
٠ ۴ ٠
٢ ٠ ٣
xx yy zz
xy yx xz zx yz zy
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
f f fx y z
f f f f f f
f f f
H f f f
f f f
یان س ه ما ند از : Hقاد و ١۵بار ٩٧ ١۵ ٩٧۴, ,
٢ ٢
ه ند پس ی د دا ی ا یان ھم س ه ما قاد و ون ، ٢, ٣,٠ .ت ی ا م ه ما
١۶
, ۴ , ٣١, , ١, ٣, ٣
٣ ٠ , ٠ , ٠
١۶٠ ٠
٣٠ ۴ ٠
٠ ٠ ٣
xx yy zz
xy yx xz zx yz zy
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
f f fx y z
f f f f f f
f f f
H f f f
f f f
یان س ه ما ند از : Hقاد و ١۶بار, ۴, ٣
٣ ه عال پس دا ی یان ھم س ه ما قاد و ون ،١
١, ٣,٣
ت. ی ا ه ز
ع .٨ ی ا قاط ید ورت fشان د ه ز با ضا ٢ ٢, , ,٢ ١٠ , ۵ ,x y z t t t t t t ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را
ید : ندی ه ی د قاط ز ۴ ٣ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢١ ۵ ٢۵ ١٠ ۵٠ ١٩ ٩۵ ۵ ١٠ ١, ,
۶ ٣ ۶ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ۶f x y z x x x yx yx zx zx y zy z
ل : ٢ ٢
١۶, ۴ , ٣
, , ,٢ ١٠ , ۵ ٣٠ , ٠ , ٠
xx yy zz
xy yx xz zx yz zy
f f fx y z t t t t t
f f f f f f
٢ ٢۵ ٢٠ ٣٨ ٢٠ ۵٠ ٣٨ ٩۵
٢ ١٠٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣
٢٠ ۵٠ ١٠ ١٠
٣ ٣ ٣ ٣٣٨ ٩۵ ١٠ ١
٣ ٣ ٣ ٣
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
x x y z x xf f f
H f f f x
f f fx
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٧ه : ه و از : ٢۴ ٢٠ ٢۵ ٢٠ ۵٠ ٣٨ ٩۵
٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣٢٠ ۵٠ ١٠ ١٠
٣ ٣ ٣ ٣٣٨ ٩۵ ١٠ ١
٣ ٣ ٣ ٣
t t t t
H t
t
یان س ه ما قاد و ،H : ند از بار
٢ ۴ ٣ ٢ ٢ ۴ ٣ ٢٢ ١٠ ٢ ٢ ١٠ ٢٠ , ۶ ١٠ ٩۴٣ ٢٣۴٠ ٢٩١۶ , ۶ ١٠ ٩۴٣ ٢٣۴٠ ٢٩١۶
٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣t t t t t t t t t t t t
ورت ی ه عال پس دا ی یان ھم س ه ما قاد و ون ٢ ٢, , ,٢ ١٠ , ۵ ,x y z t t t t t t ..ند ی ه ز ی ھم
ع٩ ر قدا م . ما x, y, z a x b y c zf ه ٢ روی ٢ ٢x y z ١ ) ت؟ د) c,b,aقدر ا ی ا قاد
ا ع ال ه uل: با ضا ٢ ٢ ٢u , , ax by cz x ١x y z y z : م ر ی را
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢٢
٢ ٢ ٢
٢ ٠٢ ١
١ ٠ ( ) ١۴٢ ٠
١٢
٢٢ ٠
٢
u aa x x
xx y z a b c
u bb y
ya b c
u cc z z
z
ی fع ا قاط ٢ از ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
, ,
, ,
a b c
a b c a b c a b c
a b c
a b c a b c a b c
ود و ی م ما
ع م ر ما ت با: fقدا ا ا
ع١٠ ر قدا م . ما , , ٣ ٢g x y z z x y ه ی راک م ا ١xرا روی y z وا ٢و ا ٢ ١x y .ید پیدا
ا ع ال هfل : با ضا ٢ ٢١ ٢, , ٢ ٣ ١ ١f x y z x y z x y z x y : م ر ی را
٢ ٢ ٢٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢
a b cM ax f a b c
a b c a b c a b c
M ax f a b c
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٨ه : ه و از : ١
١ ٢ ٢ ٢
١ ٢٢ ٢ ٢
٢ ٢
٢ ٢٢٢
٢ ٢
١ ۵٣ , ,
٠ ١ ٢ ٢
١ ۵ ٧٠ ٢ ٢ ١ ١ ١
٢ ٢
٠ ٣ ١ ۵ ٢٩١ ١
٢ ٢
x yfx
xf
y x y z z zy
fx yz
١ ١ ١ ٢ ٢ ٢
١ ١ ١
٢ ٢ ٢
٢ ٢٩ ۵ ٢٩ ٧ ٢٩ ٢ ٢٩ ۵ ٢٩ ٧ ٢٩, , , ,١ , , , , ,١
٢٩ ٢٩ ٢٩ ٢٩ ٢٩ ٢٩
, , ٣ ٢٩
, , ٣ ٢٩ , , ٣ ٢٩
x y z x y z
g x y z
g x y z Max g x y z
ی١١ و ذ ء را از بدا ه ص ن ر و .٢ ٢٨ ٧ ٢٢۵
, ٠
x xy y
z
ت آورید. د
ه ل : ا ,x y م گاه باید د آ ی با و ذ ٢روی ٢x y ط را ت ٢را ٢٨ ٧ ٢٢۵
, ٠
x xy y
z
ا ع ال م. م و :fیا ی د ل را
٢ ٢ ٢ ٢
٢
٢
, ٨ ٧ ٢٢۵
٠ ٢ ٢ ٨٢ ٢ ٨ ٠
٨ ٢ ١۴ ٠٠ ٢ ٨ ١۴
٢ ٢ ٨٠ ۶۴ ٢ ٢ ٢ ١۴ ٠
٨ ٢ ١۴
١٣۶ ٣٢ ۴ ٠ , ١
٩
f x y x y x xy y
fx x y
x yxf x yx x yy
٢ ٢
٢٢٢
۴ ٨ ٠ ١١
٨ ١۶ ٠ ٢
٨ ٧ ٢٢۵
١٠٠١ ١٨ ٧ ٢٢۵
٢ ٢
x yy x
x y
x xy y
xx x x x
عاد ٢،اما ١٠٠x .رد دا ی ه ر
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٩ه : ه و از :
٢ ٢ ٢٢ ٢
٢٢ ٢ ٢٢
١۶ ٨٠
١ ٩ ٩ ٢٨ ۴٩
٠٩ ٩
۵ ٢۵٨ ٧ ٢٢۵۵
٢۵٨ ٢ ٧ ٢ ٢٢۵
x yy x
x y
x y xx xy yx
x yx x x x
ی و ذ ء از بدا ه ص ن ر و ٢پس ٢٨ ٧ ٢٢۵
, ٠
x xy y
z
د. ٥ا با ی با
م ١٢ م و قاد ما .٢ ٢ ٢x y z طرا را ع ید ٢یا ٢ ٢
١ ,۴ ۵ ٢۵
x y zz x y .د با
ا ع ال هfل : با ضا ٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢١ ٢, , ١
۴ ۵ ٢۵
x y zf x y z x y z x y z
م : ر ی را
٢١
٢ ١٢ ٢ ٢
١ ١ ١١ ٢٢
١١ ١
١٢٢
١
٢٠ ٢ ۴ ٢ ۵ ٢ ۵٢ ٠ ٠
۵ ٠ ٢ ۴ ١ ٠ ٢٢ ۵٠ ٢
۵ ١ ٠ ٢ ٧ ۵١ ٠ ,
٢ ١ ٧٢ ۵٠ ٢٢ ۵ ۵ ٠ ٢
xfx x
x z x yf
y y yy
fz z zz
٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢
١ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٣۴ ١٧ ١٧, ,
٧ ۴ ٢٨
۴٠
۶۴۶٧۵ ٣۴ ١٧ ١٧١۴٠ ٣۵٧ ۴ ٢٨١٧
١ ١۴ ۵ ٢۵ ۴ ۵ ٢۵ ١٧ ۶۴۶ ۶۴۶
۵
۶۴۶
١۶٠٠ ١٢٢۵ ٢۵ ٧۵
۶۴۶ ۶۴۶ ۶۴۶ ١٧
x y z
x
x y zy
z
x y z x y z
بارت م ر ما قدا ٢پس ٢ ٢x y z م ١٠ا با ر قدا ٧۵ا با آن و
١٧ت . ا
ع ١٣ ی م ی و م ه f. ما با ضا ٢ ٣, ,f x y z xy z ط را ع ید ن ۶را
٠ , ٠ , ٠
x y z
x y z
د. با
٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢
١ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
١ ١ ۵, ,
٣ ٢ ۶
۵٢
١٩١ ١ ۵
١٠۵ ۵٣ ٢ ۶
١ ١ ۶ ٣۴ ۵ ٢۵ ۴ ۵ ٢۵ ١٩ ١٩
۵۵
١٩
٢٠ ۴۵ ١٢۵١
١٩ ١٩ ١٩
x y z
x
x y zy
z
x y z x y z
٠
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٠ه : ه و از : ا ع ال ه gل : با ضا ٢ ٣g , , xy z x ۶
٠ , ٠ , ٠
x y z y z
x y z
م : ر ی را
٢ ٣ ۵ ۵ ۵۵
٣ ۵٨
٢ ٢ ۵
٩ ٢ ٩ ٩٩ ۶ ۶٠۴ ٣ ۴ ۴۴
٣٢ ٩٢ ٠ ٢٣ ۴ ٣ ٣ ٣ ٨١
١ ,١,٢ ٢ ٢ ١۶٩ ٣٣ ٠
۴ ٢
g x y zy z xx
g xxyz yy
y fg
xy z z zz
یان س نان ما ه fع Hاز د وان ٣ی ٣,١,
٢ ٢
ل از ه حا ه ای م ند ند ا ت ز ی ا ه ز ٠Hیک I ه ر و قدا دارای دو
ت. ه ا ر و قدا عال و یک ف ا ت ر م ١٤ ی و وازی ا ن ر ر م ه . وی با ضا د وا ی ید ن ٢را ٢ ٢
١٩ ١۶ ٣۶
x y z .ود حاط
ا ع ال ه gل : با ضا ٢ ٢ ٢g , , xyz ١۶x ٩ ۴ ١۴۴x y z y z : م ر ی را ٢
٣٢ ٢٣
٢ ٢ ٢
٢ ٢
٣٢ ٠ ۴۶٠٨٣٢ ٣٢ ١۴۴۴۶٠٨
١٨ ٠ ١٨ ٠ ٢۵۶١٨ ١٨
٣٢ ٠ ۵٧۶٨ ٠
٨٨
g yz yz x yzyz x x x x xyzx xg xz xz
xz y y y xyz y yy
xyz x zyxg yx zxy z zz
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢١۶ ٩ ۴ ١۴۴ ١۶ ١۴۴ ٩ ٢۵۶ ۴ ۵٧۶ ١۴۴
٣ , , ٨ ٣٣ ۴ ٣
۴ ٣١٢ ٣ ٣, ,٢ ٣ ٨ ٣٣٢ ٣
x y z
x f x y z xyz Max xyz
yf
z
ی ١٥ م ی و م ٢. ما ٢x y ط را ع ید ن ٢را ٢٣ ۴ ۶ ١۴٠x xy y .د با
ا ع ال ه gل : : با ضا ٢ ٢ ٢ ٢g , x +y ٣x ۴ ۶ ١۴٠ , , ٠x y xy y x y : م ر ی را
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤١ه : ه و از :
١ ٣ ٢٠٢ ۶ ۴ ٠ ٢ ١ ۶١ ٣ ٢ ٠
٢ ٢ ۶ ٠ ٩ ٢ ۶٢ ۴ ١٢ ٠٢٨
٩ ٢ ۶ ٩ ٢ ۶١ ٣ ٢ ٠
٢٨ ٢٨٩ ٢ ۶
٢٨ ٩ ٢ ۶ ٩ ٢ ۶٢ ١ ۶
٢٨ ٢
gx x y
x yxg x yy x yy
x y
x
٨١ ٧٢ ۶
١١۴٠
٨
٩ ٢ ۶ ٩ ٢ ۶١ ٣ ٢ ٠
٢٨ ٢٨٩ ٢ ۶ ٨١ ۵۶ ۶
٢٨ ١١۴٩ ٢ ۶ ٩ ٢ ۶٢ ١ ۶ ٠
٢٨ ٢٨
y x
y
x y
y x
x y
٢ ٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢٨١ ٧٢ ۶ ٨١ ۵۶ ۶١ , ١
١١۴ ١١۴Max x y x Min x y x
م ١٦ ل ب ل م ه ای ت از با ٣٢. وض ا ب ر م ی د.سا ه با م دا ل ت سا ید ن وری عاد آن را د. ا ی با ال باز
ا با ه ل ت سا ل : , , ٢ ٢f x y z xy yz xz ا با ه م ٣٢و , , , ٠v xyz x y z ا ع ال ت. ه gا با ضا
, , ٢ ٢ ٣٢g x y z xy yz xz xyz : .م ر ی را
۶
٣ ۶ ۶
٢
۶
۶
۶ ۶ ۶
٣٢٢ ٠ ٢ ٢٧
٢ ٣٢٣٢۴ ٢ ٢٢ ٠ ٢ ٣٢٢٧
٢ ٢ ٣٢ ۴۴٢ ٢ ٠٢٧
٢ ١۶ ٨٢ ۴ ۴٢ ٢ ١۶ ٢ ٢
٣ ٣ ٣
g xy z yz x y zx xy xzg
x z xz xy yz yy
zy zg
x y xy zz
Min xy yz xz
۶ ۶ ۶٢ ٢ ١۶ ٨ ٢٢ ٢
٣ ٣Min xy yx xz
ث ١٧ ون ید .ABC ند ه ای ما ،P بارت وری ود دارد و ٢ ٢ ٢
PA PB PC ت و د.Pم ا ی با ث ی یا ی ل تال
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٢ه : ه و از : ل :
٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
, ,
, A B B A C C
P x y f x y PA PB PC
f x y y y x x y y x x x x y y
ث ون
ABC : م دار
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٢
, ٠A A B B C C
PA PB AB AB AC BCPA PB PC m
PA PC AC
h x y m x x y y x x y y x x y yPB PC BC
ا ع ال ه gپس با ضا g , , , , , ٠x y f x y h x y x y : م ر ی را
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٢
٠ ٢
٠ ٢
٠ ۶ ٢
CA BA B C
A A B B C C
CA BA B C
A A B B C C
AA B C
A
x xx x x xgx x x x x x
x x x y y x x y y x x y y
y yy y y ygy y y y y y
y x x y y x x y y x x y y
x xgx x x x
x x x y
٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٠
٠ ۶ ٢
CB
A B B C C
CA BA B C
A A B B C C
x xx x
y x x y y x x y y
y yy y y ygy y y y
y x x y y x x y y x x y y
بارت وری ند ت ساوی ھم عال ن ون و ٢ ٢ ٢
PA PB PC د پس م با ٠باید : و
٠۶ ٢ ٠ ٣۶ ٢ ٠٠
٣
A B C
A B C
A B C A B C
g x x xxx x x xx
g y y y y y y yy
y
ه پس ,P x y ث ی یا ی د.ی ABCل تال با
م١٨ ر قاد ا .z ٢را روی رو ٢ ٢٢ ٣ ١٢ ۴ ٣۵x y z xy xz .ید یا
ا ع ال ه gل: با ضا ٢ ٢ ٢g , , z ٢x ٣ ١٢ ۴ ٣۵x y z y z xy xz : م ر ی را
٠٠ ۴ ١٢ ۴۴ ١٢ ۴ ٠
٢٠ ۶ ١٢ ۶ ١٢ ٠
۵١ ٢ ۴ ٠
٠ ١ ٢ ۴
gx y z
x x y zy xg
y x y xz xy
z xg
z xz
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٣ه : ه و از :
٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢ ٢ ٢
٢
٢ ٣ ١٢ ۴ ٣۵ ١min ۵
٢٢ ١٢ ٢۵ ٢۴ ٢٠ ٣۵۵
۵٣۵ ٣۵
x y z xy xz xz
yx x x x xMax z
zx
ع ١٩ م ر ما قدا .٢ ٢z y x رط ٢با ۶x y .ید یا را
ا ع ال ه gل : با ضا ٢ ٢g , y -x x ٢ ۶x y y : م ر ی را
٢ ۶٠ ٢
٢٢ ۶٢
٢ ۴٠ ٢ ٢۴
٢,۴ ١۶ ۴ ١٢ ١٢
x ygx
xxxg yy yy
Max z f Max z
وض ٢٠ ع م ر قاد ا . , ,f x y z yz xy روط یرا ١xyید ٢و ٢ ١y z .ید پیدا
ا ع ال هgل : با ضا ٢ ٢١ ٢, , ١ ١g x y z xy yz xy y z : م ر ی را
١ ١
١١٢ ٢
١ ٢ ٢
٢
٢
, ٠٠ ١١١ ١
٠ ٢ ٢ ١
٢ ١١٠ ٢
g x t ty y yx
ygx z x y y z y ztz yy
z y x yg zy z tz
٢ ٢٢
٢ ٢ ٣٢ , ,
٢ ٢ ٢
٢ ٢ ٢ ١٢ , ,
٢ ٢ ٢١ ١ ٢١ ٢ ٢٢ ٢ ٢ ٣
٢ , ,٢ ٢ ٢١ ,
٢ ٢ ٣٢ , ,
٢ ٢ ٢
f
xf
t t yt t
fx y z y
f
ع ی ا قاط , ,f x y z yz xy ل ١ ١ ١ ١, , , , ,t tt t t t
ند و بارت ی با م ر ما yzقدا xy ٣ا با
٢م ر قدا ١ا با آن و
٢ت . ا
وض ٢١ ون را ت و پ سا ن ی با ث ید بات ت.p.ا ساوی االضالع ا ی ث ،
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٤ه : ه و از : م ی ض ,ل : ,z y x ندو ث ٢xول اضالع y z p s ا با ث ت سا و , ,f x y z s s x s y s z
ا ع ال ت. ه gا با ضا g , , , x ٢x y f x y z y z s : م ر ی را
٢ ٢
٢ ٢
٢ ٢
٠٢
٢ ٢ ٢
٠ , ٠ , ٠٢
, ٠
٠٢
s s y s zg s s y s z s s x s z s s x s yx s x
s x s y s zs s x s zg
s y s z s x s z s y s xy s y
s z s x s y s x s zs s x s yg
s z s y s x s yz s z
s y s
x
x y zs z s y
s z s x
ن :
ع .١ ی ل دا ه ٢ ٢, ٣ ٢ ٢ ۴f x y x xy x y y .ید یا را بارت .٢ ی ٣م ٣ ۶x y xy .ید یا را
عاد .٣ ٣رو ای با ٣ ٣z x y xy تای رو قاط ا وع ت. م رو ) ، وض ا ر قاط ا وع ی قاط ، ( را و ٠,٠ ید. ١,١ ص ع .٤ ق ط م ر ما ه uقدا با ضا ٢ ٢٢ ٢ ٢, , ,x yu x y x y e x y .ید یا را
ره .٥ ع دو ر قدا ن ر ٢ک ٢٣ ٢ ١٢z x y x y ید.را یابارت .٦ ی م ١ما ۶۴
xyx y .ید یا را
ع .٧ ی و م م و قاط ما ٢ ٢
, ۵ ٧ ٢۵x xy y
f x y x y e
.ید یا را
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٥ه : ه و از : م .٨ ر ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ٣ ۶ ٣٧ ١٠ ١٠ ۴٠ ٣ ٢۴ ۴٨f x y x x x yx yx x y y قاط ید شان د .
١ ۵٣, , ٠, ۴
٢ ١٢
و ١, ۴ ع ی ا ید. fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را
م .٩ ر ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ٢ ۴ ۴٢ ٨ ٨ ۴٠ ٢ ٢٠ ۵٠f x y x x x yx yx x y y قاط ید شان د . ١ ٩, , ٠, ۵
٢ ٢
و ١, ۵ ع ی ا ید. fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را
م .١٠ ر ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ۴ ١۶ ۴ ۴ ٨ ۴٠ ۴ ۴٠ ١٠٠f x y x x x yx yx x y y قاط ید د شا . ١١١, , ٠, ۵
٢
و ٢, ۵ ی ا ید. fع قاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را
م .١١ ر ٢ ٢١ ٣٢ ۴ ١۶ ۵٨ ١,
٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣f x y x x yx y y . ی ا ی fقاط م ی ، ا قاط ن م یک از ا دا ید وم ع ید و یا را
ند. ی ه ز ی یا م ، مام .١٢ ر ٢ ٢ ٢۵ ٢ ٢ ٨ ٢ ١۴ ٢٨ ۵ ١۴ ٨
, ,٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣
f x y z x x yx y zx z y zy z
. ی ا fقاط
ی ، ما م ی ، ا قاط ن م یک از ا دا ید وم ع ید و یا ند.را ی ه ز ی یا م ع .١٣ ی ا قاط ید ورت fشان د ه ز با ضا ٢ ٢, , ,٢ ۶ , ٣ ,x y z t t t t t t ، ی م وان ند و آن را
ید : ندی ه ی د قاط ز ی یا م ما ٢ ٢ ٢, , ٢ ۶ ۴ ١٢ ٢f x y z yx yx zx zx y yz رط xyzبارت .١٤ ت ٢را ٢ ٢ ٢٧x y z .ید م سازی ، ما
ط .١٥ را ٢ت ٢ ٢ ۴x y z ٢و ٠x y بارتxyz .ید م سازی را مام .١٦ ٢ما ٣ ۶x y z ید ٢را ٢ ٢٢ ٣ ٩x y z .ت آورید د
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٦ه : ه و از : عاع .١٧ ه د یک دا وا ه ا ی را ن ر ر عاد ید. rا یا ود ، حاط ی روی .١٨ ٢قا ٩y x قاط ن دیک ید یا ند.٠,٠
ی روی .١٩ ۴yxقا قاط ن ود دور ورت و ید یا ید. ٠,٠ یان ش را ی ود د و ی قا ن ند.ا ه .٢٠ , .x y z از ح ٢را روی ٢ ٢۴ ١x y z ط ن دیک ید یا ی س د. ٠,٠,٠ باه .٢١ راک ٢ی از ا ٣ ٣x y z وا ٢وا ٢ ۴x y ط ن دیک ید یا م ن ه ای روی ا ت. ده ا جاد ا د. ٠,٠,٠ با
ر .٢٢ هی از ا ٢اک ٣ ٣x y z ه ٢و ٢ ٢ ١۶x y z ط ن دیک ید یا م ن ه ای روی ا ت. ده ا جاد ا د. ٠,٠,٠ باه .٢٣ ٢ه ای روی ٣ ۴x y z ط ن دیک ید یا د. ١,٢,٣ بای .٢٤ راک رو ٢ه ای روی ا ٢z x y ١وx y z ط ن دیک ید یا د. ٠,٠,٠ با
٢ه ای روی .٢٥ ٢٢ ١
۴ ٩
x yz ط ن دیک ید ١٠xه یا y z د.با
از ه ای روی .٢٦ ٢ح ٢٢ ١۶x xy z ط ن دیک ید یا د. ٠,٠,٠ بای .٢٧ و ٢ع ٢٢ ١Ax Bxy Cy ٢، آن , ٠B AC A ید ض ت. ن و Mو mوض ا دیک ء بدا ل وا
ید : شان د ند. ی با و قاط ن دور
٢ ٢٢
٢
۴
٢
A C A C BM
AC B
ای شا آن را ول . ٢mو ما پیدا
ا با .٢٨ ی ید ی ٣۶ض ند.سا م ح رو را ید یا ی س م را ن عاد ا ت. ا ب ا رمم .٢٩
١
n
jj
x ید ٢را ٢
١
n
jj
x a
ید ض ت ن ا م ید. ت. aیا دد ا یک
د .٣٠ وا ی ی را ث ن ر ر عاد عاعا ه ید r یک دا یا ود ، حاط
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٧ه : ه و از : ٢م .٣١ ٢ ٢۴ ٩x y z ط را ت ١xرا y z ٢و ٠x y z .ید یا
ط xyzم .٣٢ را ت ٢را ٢ ٢ ٢x y z r ٠وx y .ید یا
د. nا .٣٣ ی با شان nددی ط و ید یا دد ٨n .د ن با م ر قدا ن وچک شان عا وع د و با
م .٣٤ ٢ما ٢x y ی ن را روط ا ید ٢ا ٢٢
p qx yr
p q آن ،p وq ه ند و را ر از یک ر ی د دا ١ا ١
١p q ی ید و شان د د. صادق ا
٢ ٢p qx y ا با م رید ا٢rما ت . حال ب ,ا ٠x y گاه pآ qx yxy
p q وx وy ند.ی ل بد عاد ساوی را یک ن د ا ود دار و
,گاه .٣٥ ,c b a م ند. ما ی با د دا ا , , a b cf x y z x y z ی رط جا ت ١xرا y z .ید یام .٣٦ ٣Lnxما Lny Lnz ه ی از ٢را ٢ ٢ ٢۵x y z r ٠ آن , ٠ , ٠x y z فاده از ید. با ا پیدا
ی د دا ید ازای ا ن ، ,ا ,c b a ،۵٣ ٢٧
۵
a b cabc
ی .٣٧ ٩xو y z ٢و ٣ ٢٠x y z بارت م ،٢ ٢ ٢x y z .ت آورید را دا .٣٨ , .x y z ی ه راک م ا ٠xه ای از y z ١وx z ع م د. ٢با ٢ ٢f x y z .ید یا را
م .٣٩ م و ع قاد ما , ٢f x y xy z ه رک ل ه ٠xرا روی دا y z ه ٢و ٢ ٢ ٢۴x y z .ت آورید دع .٤٠ م م و قاد ما ٢,f x y x y z ود ت ٢را ٢ ٢y z وz x .ت آورید د
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٨ه : ه و از : داری ٤ل ( ھای) یدا ع ( وا :(
داری ع وا ی ت دو ویپضای ت از ی ا داری وری n mع ود ی ند nف و ای ما دار ازnاز Dی از ز دد. mیک ی م. Dوط ی ع ه را دا
داری ع :٣ف: nF ورت ١را ٢ ٣( ) ( ) ( ) ( ) , nF P F P i F P j F P k P
ع د م. ر ی F P
ی و٠P P ورت را
٠ ٠ ٠ ٠١ ٢ ٣lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )
P P P P P P P PF P F P i F P j F P k
ه ود دا ت و ف را د ه رط آن م. ی ف داری ع د و با F P
ه ٠Pرا Dط ا و ا و ه ویپ٠
٠lim ( ) ( )P P
F P F P
.
تاب ت و ر ی داری ه ای روی ید عاد Cض ١ ٢ ٣( ) ( ) ( ) ( )R t f t L f t j f t k
ود ورت و د با ٣ ٢ ١, ,f t f t f t ه ه ای ت ر ،ت از : tزمان بارت ا ١ ٢ ٣( ) ( )v t R t f t i f t j f t k
:ت از بارت ا ه ه ای تاب و ١ ٢ ٣( ) ( )a t v t f t i f t j f t k
:د و ی ه حا ھای ز و ه از تاب ندی ت و ر ندی ؛ ٢ ٢ ٢
١ ٢ ٣( )v t f t f t f t ، ٢ ٢ ٢
١ ٢ ٣( )a t f t f t f t
)ف: ا )R t ی دد Cه ای رویC ،Pمایان t ی ماس، ی کا دار ورت ن د ا ود با ی ه Cوط Pم ی ف ورت ز :را
( )( )
( )
R tT t
R t
دار )و )
( )( )
T tN t
T t
دار ت با )را ھم )T t
م. ی ی ی اول کا م ی یا ود اص ی ع کا دار د را بات از بارت ا ضا، ی ه از ود دوم ی ع کا Bدار T N
. ی عاد Cه: ا ( ) ( ) ( ) ( )R t x t i y t j z t k
د.و ,وض با ,z y x ه ص ١ ٢,t t ی وس ول گاه ند آ ه با ی Cویپ از tو١t ٢t ا با د ی یا ش ا ٢ا
١
( )t
tL R t dt
.ت اب نا و ه ا دا
ید ض )ف: )T t ی ماس ی کا نا با Cدار ه t ی د Cروی نا با sبا ه واه ه د وس از ش sو tول ا دار tبا ا ورت ود، ا زیاد
نای ت از:Cا بارت ا ه ن ) ا )dT
tds
.م ی نا عاع ا ی را نای س ا ه و ع ن ی ا نای دار را ا ن زه ا دا ، و ا
١( ) , ( ) ( ) ٠
( )t t t
t
آن ،( )t د و ی د شان ی را نای ٢ا ٢ ٢( ) ( ) ( )ds dx dy dz ول وان از ی ی را نای ، ا
٣( )R R
tR
ی د. ا ه عادCحا با y xf نای گاه ا د آ ده با ول Cص وان با ی را
٣
٢٢١
y
y
د. ه حا
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٩ه : ه و از : ی عاد Cا )با ) ( ) ( )R t x t i y t j
نای گاه ا د آ ده با ول Cص ر از
٣٢ ٢ ٢
x y y x
x y
ی ند.ا ی ه یCحا عاد با
r f گاه د آ ده با ص
٢ ٢
٣٢ ٢ ٢
٢r r rr
r r
٢ آن
٢,
d r d rr r
d d .
ه Cی xy ه ت ا ٠Pوض ا ی ه Cروی ن د ا ٠وری با ه ای گاه دا ٠Pآ C ا با ش عا ی و ت ش د و ماس بات را نا ا ناعاع ا ه ا وسانیا دا ه نای دا ه، ا ن دا م. ا ٠P Cی ی نای صات ا ود. ی یده y xf ھای و وان با ی را
٢ ١)٢ ) ١,C C
y y yx x y y
y y
ید ض د. ه B,حا N
ھای و ط و ند. ی اول و دوم با کا م ی دار ( )
, ( )( )
T tB T N N t
T t
و( )( )
( )
R tT t
R t
شان داد وان ی ی د آسا ده ا dی B
ds
ی دار ل ه شا ,T B
دار ی با ت ود ا ع
N ند ددی ما ذا ت وری t sوازی ا وان یا ی ی دارد را dت B
Nds
ر ر قدا قدا ی و ب ه باال را ١ را
ی ش ه پ ب عاع را
ی م. گاه عاد Cی )با )R tگاه د آ ده با ٢ص
( )٠ ( ) ( )
( ) ( )
R t R t R t
R t R t
ادیان ی ، و ق
ی و ه ق دار ی د یک تدا ا : ع ع ق ی ، و ق z x, yf ه ٠ ٠ ٠( , )P x y دار ت ٠PP
:ود ی ف ورت ز ٠
٠
٠
( ) ( )limP P
f P f P
PP
ع ی و ق ،f ت ه uدار ی ماد )٠ با )
uf Pول وان از ی ود را ی ٠شان داده ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , ) ( , ) cos ( , )sinx yu
f x y f x y f x y د. آن زاو ساب uدار ور ع xبا ورد ت. ا x, y,zf ل ر ت ، آن ز ول cosا ,cos ,cos دار دی ھای uو
.ند ی با٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , , ) ( , , ) cos ( , , ) cos ( , , ) cosx y zu
f x y z f x y z f x y z f x y z ع ف ادیان :( , , )w f x y z ه x, y,zP ء بدا ت داری ا ،P ع ی قات ش ، ه و w.ند ی با
( , , ) ( , , ) ( , , )x y zgrad w w f x y z i f x y z j f x y z ل بد م: ، عمل یا م ودار ی بال ) را ( دل ) یا (
٠ ٠( ) . ( )u
f P u f P ا ، ی دار f,زاو u
ه ٠P گاه د آ ٠با ٠( ) ( ) cosu
f P f P ن ا نا ،٠( )
uf P م ی ما و
ت cosا ١ ی د uبا تf
د.ا با x, y,z ٠f عاد رو ,وsو ,z y xf f f ٠ه ٠ ٠ ٠( , , )P x y z s گاه ند آ با ی وده وھم ه ویپ٠ ٠ ٠( , , )f x y z
ح م هsدار ٠P .د ی با
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٠ه : ه و از : ع ی و یق د یک تدا : ا
ع ی ورت C یrو ن ند ا ی ف و rرا ت.و ی ) ، ا ماس دار ت ، ( و ر gدار ی ره ای ، ( ه ز g t f r t r t ق ، (f
ض ت ، با ر دار r 0 د. ا ی با T t
ت ه دار ی r t ) ، د دار با T t ه ای رب ل ت ) ، حا ماس ا ه دار ی f r t T t
ی دfق تدا ی C ا ق ت fیا C ت ر د وا ی ش ما ر ود.یک ی د داد.یده وا ر ی را و ق ت ود، عال ن ، جای ند. ا س ا عمثال : ت و fض ق پذ ا ه ه جا د ھ کا با ن ا یدا ی cیک عاد دکار ن د.ھ دد با یک ,f x y c یC ماس ط ه اش را
ید ماید. ف و ی fدارد ه ی C ادیان دار ف) : ت : (ا واص ز ا یfدارای ی Cم ق ت. (ب) : یfا د تدا C ای ق ت. (ج) : ی fا م ی C .رش را دارد قدا ن
Tل : ا ی ماس ه دار ی ی Cیک ق د یfبا د تدا ه ای C ا رب ل fحا T ت.ا f Tا
د ود با ت و اع رب ا ل ن حا اfوازی باT
د ح با ی ف ) ، بات (ا ای ا ند. ی با ف ) ج حکم (ا تا ن دو حکم (ب) و (ج) ا نا ر را دارد. قدا ن رب ل ن حا داری ا عاد را با r t x t i y t j ع م و ر ی g t f r t : م ره ای دار ده ز ق م. ی ی را g t f r t r t
ی Cو ع ،g ر قدا ت. ا cدارای ا r t C گاه آ g t ون 0 gو f r د ی د شان ن ی fا C rروی ن ا نا ت ود ا ی fع د.Cم ی با
ه ی یک سای ع ھ ی یک ر قدا ه : حاع ای ی یک ر ه ی fقدا ی سای ھ ,a b ول از , , x yf x y f a b x a f y b f ی ر قدا ی آید.و ت n د
ع ه ی fای ی سای ھ ,a b ول از
,, ,
! !j
j m j m jjn m
n m jm j
x a y b f a bf x y p x y
j m j yx
0 0
ود ی ه .حاذورات ن ر : ط ک
قاط ای ذورات ن ر ط ک عاد , , , , , ,n nx y x y x y2 2 1 1 ت با yا ا mx b : آن
n xy x ym
n x x
x y x xyb
n x x
22
2
22
ده : ل ی سا ا .١
٢ ٢
٢
:
۴( , ) ٣
F R R
xF x y xy i j x k
x y
ع ی ت ه F، ویپ را ید. ٢,١ ی ر
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥١ه : ه و از : ع ه (F، پس ت.٢و١ ه ا ) ویپ
عاد .٢ ی وس ید: ول ساب را ل:
ع .٣ ی نای ول عاع ا ه ای ید.را یا
ل:
دود ا .٤ ی ماس ی کا بارت Cدار گاه د آ ت؟با ا با ل:
ری .٥ عاد پارا ی ی ه ید ید.را یا
ول فاده از م:ل: با ا م. دار ی ه حا ی را ی ید ر قدا
ع .٦ ی نای عاع ا ید.م یا را
ل:
٢
, ٢,١ , ٢,١ , ٢,١ , ٢,١
, ٢,١
۴lim , lim ٣ lim lim
٨lim , ۶ ۴ ٢,١
٣
x y x y x y x y
x y
xF x y xy i j x k
x y
F x y i j k F
s in , co s , ٠ ١t tx e t y e t t
١
٠
( ) ( ) ( ) ( ) ( sin cos ) ( cos sin )
( ) ٢ ٢ ٢ ٢( ١)
t t t t
t t t
R t x t i y t j R t e t e t i e t e t j
R t e L e dt e L e
y L nx٢
۵x
٢
٣ ٣ ٣ ٣٢٢ ٢٢ ٢ ٢ ٢
٢
١١ ٢٢ ۵, ( )
١ ۵ ۴١ ١١ ١١ ۵
١٠ ١ ٢ ٢٧( ) ( ) ٢ / ٧
٢٧ ( ) ١٠۵
yy xxxy Lnx
y y xx
x
tt
T
CT d R
( )( )
( ) C C
R t RT t T d R R d t R d t T d R R d t
R t R
٣
٣
٢cos
٢sin
x t
y t
۴t
٣
٢ ٢ ٢
( )x y y x
t
x y
٢ ٢
٢ ٣ ٢ ٣
٣ ٢ ٣ ٢( ) ۶cos sin ( ) ( ) ۶sin cos ( )
۴ ٢ ۴ ٢,٣ ٢ ٣ ٢
( ) ١٢cos sin ۶cos ( ) ( ) ١٢sin cos ۶sin ( )۴ ٢ ۴ ٢
٩ ٩١ ١٢ ٢
( ) ( )۴ ٢٧ ٣ ۴ ٣
x t t t x y t t t y
x t t t t x y t t t t y
xy e
٣ ٣٢ ٢٢ ٢
٣٣ ١٢ ٢ ٢ ٢ ٢٢ ٢
٢
, , ( )
١ ١
١ ٣ ١ (١ )١( ) ( ) , ( )
( )
xx x x
x
x x x x x x
x x
y ey e y e y e x
y e
e e e e e ex x x
x e e
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٢ه : ه و از :
ق پذ از و و ا .٧ گاه ی د آ ید. با یا را
ل:
ع .٨ ی و ه ق دار ت ید. و ه حا را
ل:
ع .٩ ه ق , ,1 1 دار 2 تای ت؟ را ا با دار ل: ا ت ه گاهدار ی د آ و : با
ع ١٠ ی و ق ر قدا ه . د تدا ید.و ا یا را دار ل : ا ت ه گاهدار ی د آ و : با
از . ١١ ح ود ه ع ه دار ی ید . با را
ض :ل ت .پس با ود ا ه ، ع ازآن ح ه از یک رو ادیان دار م م : ی دا دار
١٢ ٢ ٢ ٢٢
٢( ) ٠ ١ ٣ ١ ٠ ٢ ١ ٠
٢
٢ ٢ ٣ ٣٠ m in ( )
٢ ٢ ٢
x x x x L nx e e e e x
L n L n
( , , )r x y z x i y j z k
٢ ٢ ٢r x y z fr( )f r
٢ ٢ ٢
٢( ) ( ) ( ) ( ) ,٢( )
( ) ( )( )
( ) , ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )
x z
x
y z
r x x r y r zf r f r i fy r j f r kx r y r z rx y zf r r r
f r f rr x x f r r
f r x i y j z k f r f rr r r rf r f r f r f ry z
٢ ٢z x , y x y f ١ ١,
٢ ٢
٢A i j
١ ٢ ١ ١, ( , ) ٢ ٢ ,
٢ ٢۵ ۵
١ ١ ١ ١ ١ ٢ ١ ١ ١ ۵, . , ,
٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ۵۵ ۵ ۵u u
Au i j f x y x i y j f i j
A
f u f f
٢ ٣x , y, z xy yzf ٢ ٢D i j k
u
D١ ٢ ٢
٣ ٣ ٣
Du i j k
D
٢ ٣ ٢( , , ) ٢ ٣ ٢, ١,١ ٣ ٣
١ ١١ ١١٢, ١,١ . ٢, ١,١ ٢ ٢ ٢, ١,١
٣ ٣ ٣u u
f x y z y i x y z j y z k f i j k
f u f f
٢ x y zx , y , z L n y x z ef ٣,٢, ١١ ١ ١, ,
٣ ٣ ٣
u
١ ١ ١, ,
٣ ٣ ٣D
٣ ٣ ٣
٣ ٣ ٣
Du i j k
D
٢ ٢ ٢
٢( ) ( ) ( )xyz xyz xyzf f f z y x
f i j k f yze i xze j xye kx y z y xz y xz y xz
۶ ۶ ۶١, ٢,٣ ٣ ۶ ۴ ٣ ١ ٢f e i e j e k
۶ ۶ ۶
۶
٣ ٣ ٣١, ٢,٣ . ١, ٢,٣ ٣ ۶ ۴ ٣ ١ ٢
٣ ٣ ٣
١١ ٣١, ٢,٣
٣
u
u
f u f e e e
fe
٣ ٢ ۴x y z ( ١, ١,٢)
٣ ٢, ,f x y z xy z
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٣ه : ه و از :
ری Cی .١٢ عادالت پارا ه با ت. ده ا ی داده نای ر ا قدا ی و ن م دوم ا ی و م اص ماس ، ه ی ی ید . Cدار یا را
کان :ل داری ه ع م . :را باضا ی د ل
ید .١٣ یا ی را عاد ذورات ، ن ر یار ک فاده از قاطبا ا , , , , ,4 3 2 3 1 د. 1 ن با دیک طل : ه ن م از ا ل وا ذورات وع ده ، شان داده ل ز و yھمان mx b ا با
d d d m b m b m b 2 2 22 2 21 2 3 1 2 3 4 قاد3 وع ن ت.ا ره bو mا ع دو وان وان آن را ی ی دارد و ت ند ی ص ط را
٣ ٢ ٢ ٢ ٣٣ ٢
١, ١,٢ ۴ ١٢ ۴
١, ١,٢ ۴ ١٢ ۴ ۴ ١٢ ۴ ١١ ٣ ١١ ١١
١١ ١١ ١١١, ١,٢ ١٧۶ ۴ ١١
١١ ٣ ١١ ١١١
١١ ١١ ١١
f f ff i j k f y z i xy z j xy z k
x y z
f i j k
f i j k i j ku i j k
f
u u i j k
sin(٢ )
cos(٢ )
٢
t
t
t
x e t
y e t
z e
٠t
( )R t ( ) sin ٢ cos٢ ٢t t tR t e t i e t j e k
/ / / /
/ /
//
/
( ) ( ) ( ) ( )
( ) sin٢ ٢ cos٢ cos٢ ٢ sin٢ ٢ (٠) ٢ ٢
٠ (٠) ٢ ٢ ١٣ ٠ (٠) ٩ ٣ (٠) (٠) ٢ ٢
٣ ٠(٠)٣
t t t t t
t
v t R t x t i y t j z t k
v t R t e t e t i e t e t j e k R i j k
v R i j kv t e v R T T i j k
Rv
// // // //
//
//// //
//
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ٣ sin ٢ ۴ cos٢ ٣ cos٢ ۴ sin ٢ ٢
٠ (٠) ۴ ٣ ٢ ١(٠) ۴ ٣ ٢ (٠) ٢٩ (٠) (٠) ۴ ٣ ٢
(٠) ٢٩ ٢٩
(٠)(٠)
t t t t t
a t v t R t x t i y t j z t k
a t v t R t e t e t i e t e t j e k
a R i j kR i j k R N N i j k
Ra t
T NB
/ //
٣ ٣/
١٢ ١ ٢
٣ ٢٩۴ ٣ (٠)٢ ٨ ۴ ١٠ ١
(٠) ٨ ۴ ١٠۶ ۵ ١٨ ١۴۵ ١٨ ١۴۵(٠) (٠)
٢ ١ ٢٠ ٠ (٠) (٠) ۴ ٣ ٢ ٨ ۴ ١٠ ۶ ۵ ٢ ۵
٢٧ ٢٧ ٢٧ ٠(٠)٩
i j k
i j kB i j k
T N
i j k
v a R R i j k
Rv
٥٤
م : م. دار ی د ر
آن
ن مارچیپ دارای
و و و
A
N
B
٤ه :
S
b
ا ساوی را
ن ید ا ت. ا
ی دار
F x xe
t T
ی ی Sق
m
و
S
mS
b
m
m
2
2
217
ده ف و
ه ت. ده ا
xxe A F
x
1
1
R
0
یدن رال ن ع
ق ن کار ، ای ا ت.
m b
m b
m b
m b
1
1
7 193 7
.
،
ید. یا را
داده
R t
x F t dt
cot a
tz e 2
ه و از : ر قدا د ازای آن ،
S mت ل ا دا
m b
m b
m
b
4 2
2 2
9
ید ازای
و
,tae a e2 2 2
0
x a
y a
1
s t i a
coty e
د bو mد ی با
,b m b
m
m
3 8 4
3 2 4
471
ی ی
وری پیدا ت را ه ا
عادالت
.
و
,te at2
sin
cos
sina t j
x os t2
ی و ی ع ٢ریاقا ن دف ، یا ن ا
m b 21 2
m b
m b
y mx b
y x
3
3
47
نایو عاع ا و
ویپ
ی نای ی ا
د. ی با
ی
NB
,0
b t k
a
sinte t2
S ا نا .
b m 23 4
m b
m b
b
42 14
14 6
1
ه حا و ت
بازه اری
د. ی با ی
ی ند کان ری ت پارا
ع ه ی کان چیپ و
ری عادالت پارا
ید. ی یا را
T
N
F
a
b2 2
C
C
ی عا ق م ,S m b
b 23
38 0
14 0
ن :
ت .١ و ط
د .٢ ع
دار
عادالت .٣
یک مار .٤
نای ا
ی .٥
نای ا
C
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٥ه : ه و از : ی .٦ ی ورت گاه دار گاه د.آ ی وو با نای ی و ا ب واهو ه د ید. را یک یا
م .٧ ماس و ی ه ی وو وسان ه عاد نا و م)، و ا تاب ی و ما تاب را ،(
ت آورید.ه ای ازای دم .٨ ت م و را وسان و ی ه ت آورید. را ازای عادالت د
عاد .٩ ت. ی م ا م یا ی ما نای قاط ، ا م دا ت. وض ا
ری ی .١٠ عادالت پارا ت؟و و م ا تا ما ه ای ا ت آورید. نای آن را د م. ا ر ی را ی .١١ دار ه حا ت و ی مارچیپ وو ط نای ش و ا ا نا دارد ؟ ؛ ا ری ا
ی .١٢ دار ه حا ت و ی وو ط نای .و اعاد .١٣ ه ی نا) ، آن را ه ا وسان ،(دا ه عاد دا ت. ت آورید. وض ا د
ی .١٤ عاع ه ای روی ید د. یا م با نا آن ا
ب ، .١٥ ف فاده از ید اوًال با ا شان د ب چیپ ، فاده از آن ، ید. وبا ا ساب را
ی .١٦ رده ری عادالت پارا ورت ن ت. ا ی ا رده آن ی ، نای ی ا ند کان م ت آورید. ی دا را د
عاد .١٧ ی رده ری ید. عادالت پارا را پیدا
ی .١٨ رده ری ید. عادالت پارا یا را
Cz x y
x y z
2 2
2 2 21 14T
N
B
CC , ,x y z
Ta
Na R t t t i t t j t k
3 3 21 13 3
t 1
cos sinR t t i t j t k 2 2
t 0
,x y
a ba b
2 2
2 2 1
Ctx ety e z t 2
T
N
B
cos sinR t a t i a t j bt k
b
T
N
B
sin cosR t t i t j t k 6 2 6 2 5
s iny x x 2 ,0 0
xy e
dB
ds
d Bdt
v
cos sinR t t i t j t k
cos sin
sin cos
x a t t t
y a t t t
coshx
y aa
cos sinR t a t i a t j
t
3 3
0 2
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٦ه : ه و از :
ی .١٩ عاد ی نای آن ، ا یک عاع ا ید شان د د. ور با ی آید. آن ، از د ت د
د.ی با و داری .٢٠ ه ع حا ت و ط ت. ه ووض ا ه حا دون ).و ، (کا .٢١ ع ا وا ف) : ادیان یک از ت آورید: (ا ده د ه داده ه ز را ،
ه (ب) : ه ، (ج) : .
ی .٢٢ و کاق ع ا وا ت یک از ده و ه داده ف) : ز را ید: (ا ه یا ،
ه (ب) : ه ، (ج) : .
ی .٢٣ ق ید :f حا ز ، ساب ده ت داده ه و را ف ): (ا , ,f x y z x y z 3 5 ه ی 2 , ,2 2 ه 1 م رو خارج ت x y z 2 2 2 9 ،
(ب) : , ,f x y z x y 2 ح 2 ی و ه ع x یک y z 2 2 2 ه ، 4 م رو خارج آن ت
(ج) : , ,f x y z x y z 2 2 ه ی 2 , ,3 4 ح 5 رک دو ل ی د تدا x ا y z 2 2 22 2 xو 25 y z 2 2 2 ید .٢٤ یا ی را عاد ول، ی و روش ی ق فاده از روش ذورات ، و با ا ن ر یار ک فاده از قاطبا ا , , , , ,4 3 2 3 1 د. 1 ن با دیک
ف) : .٢٥ ید :(ا یا و را ذورات ن ر ط ک عاد ی ، ی ق فاده از با ا , , , , ,4 2 2 3 0 ، (ب) : 1 , , , , ,6 0 2 2 1 1 (ج) : , , , , , , ,5 2 4 4 2 4 1 ، (د) : 2 , , , , , , ,6 0 3 2 2 4 1 5
ف) : .٢٦ ید : :(ا یا و را ذورات ن ر ط ک عاد ول ، فاده از با ا , , , , , , ,5 5 2 3 2 2 1 2 ،
r f R r r
Rr r rr
322 2
2 22
r f r f
cosR t t t i t t j t k 2 22 3 3 4 4 6
TaN
at 0T
N
ff x y z 2 3 , ,1 1 2
f uLn x y z w 2 , , , , , , , ,x y z w u 1 1 1 1 2 sin x yf z x y 2 2 , ,1 1 0
f, ,
1 1 12 2 2
f x y z 2 3 2 , ,1 1 1
f xy z w 2 , ,1 2 3 sin x yf z x y 2 2 , ,1 1 2
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٧ه : ه و از : (ب) : , , , , , , , , , 1 2 0 1 1 0 3 0 4 1 ،
(ج) : , , , , , , , , ,6 1 4 2 2 3 0 4 2 5 ،
(د) : , , , , , , , , , , , 3 2 1 1 0 3 0 0 3 1 6 2 ،
(ه) : , , / , / , / , , , / , ,4 5 3 1 3 9 2 2 3 1 1 6 0 1 ،
(و) : / , / , / , / , / , / , , / , , /8 03 5 67 7 52 5 32 6 2 5 12 4 5 31 3 5 72 دول .٢٧ ل ی قا ومان)، یارد ی د یک ی ،( وا ر یا د سا آ س آن ٥، سال اول
ید. ، یا ذورات را ن ر ط ک عاد ف) : ت.(ا ده ا داده ید. ر را شیپ م وش سال ذورات ، ن ر ط ک فاده از (ب) : با ا
قاط .٢٨ , , , , , , ,4 3 3 2 1 2 1 ید.را رسم 1 یا ذورات را ن ر ط ک عاد ی ، ی ق فاده از ید و با ارک دو رو .٢٩ ل ی ماس ه و دار ت آورید. را د
کا .٣٠ ع ا وا رات یک از ف) : زان ید: (ا یا ده د داده تدا ده و ا ن ه ه ز را ور زاو ت دی تدا ا
ه ی سازد. (ب) : دار د تدا ه، (ج) : ا دار د تدا ، ا
ه (د) : دار د تدا ه ، (ه) : ا ه ف وی ، و
ه (و) : دار د تدا . ا
ند گا ی ال ت م : ا ل پ
z x y 2 2xyz 30 0 , ,3 2 5
ff x y 2 2 ,1 2
3
f x y 3 4 ,0 2 i2f x y 2 , 1 1 i j2
xf
y
1 ,00 i j
sin xf y z e 2 , ,0 2 , ,1 10
fx y z
1 1 1 , ,2 3 4 i j k
٥ ٤ ٢٣ ١ سال
د ٠/٣ ٤/٢ ٥/١٩/١ ٩/٠ آ
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٨ه : ه و از : ی دو گا ال ت ا
ع ید یض نا ه و ه ه ه از د ده با واه ف ور د و را ھای ز سا
ید ض م و ی واه ه د د ه با ن ز ر ر ول تا ) ، م د ه ، ( ربرا ز خاب و حاص وان ام ا م ا ی ساب را
ند ای ددی ما وری دد یا از ، ای ا ی س د ه با ود دا ن و و م ی خاب مام ا م: ای ه با دا
بارت دی ع ، ورت ن ه ، ا ال پذ و را روی ت عا ال دو گا ت روی را ا
ماد م و آن را با ود ی ید و ه با و دا م. ی د ه شان ندی وه ل از ت ون ی با قاط خاب ه و ا د.ا ه با ن ز ا
م ه با ه دا ز ت از پا وا ای ا م ا ساوی با وق، ال دو گا ت گاه ا ز و از باال رو ، آ دی آن ی وا ای ط ا و اف و از ا
ور د آن و ت. و ده ا ور ت ول ا ن گاهم ، و ا ا ود آ ه ض ت ( ) .سا
ی صات دکار گاه A ال دوگا د ت ه ا حا روش
ه ف ) ا ی( ا ی ھ وطور ای و و وری د ه با ص م ه با ه دا ص
ول وان با ی ال دو گا را ت گاه ا ند آ ه با ود.ویپ ه حا
ه ی (ب) ا ی وط ور ای و و د و ه با ص م ه با ع ا وا و
ه ورت ص ال دو گا ت گاه ا ند آ ه با ود. ویپ ی یان
:( ذ ه ( و دا ا م. ی از ف ) و ( ب ) ا شا حا ( ا ی وا ه را کان ورت ا د با ف ) یا ( ب ) م ( ا ری ال ت م ا ور وارد یاری از ید ه با
م. وض ری را ال ت ا
,f x yRxyRn,..., ,nR R R2 1,...., ,nA A A 2 1
,i ix yi ,i i if x y A
L 0 ,i ix yiR
,n
i i ii
f x y A L
1
,n
i i ii
L im f x y A L
0 1
fRL fR
,R
L f x y dA L RiR
,z f x y 0R ,z f x y
Rz ,R
V f x y dA ,f x y 1R
dA R
R ,y f x y f x 2 1x=ax=bx a,b xfxfff 2112 ,,
a,b
, ,
b f x
R a f xf x y dA f x y dydx
2
1
R ,x g y x g y 2 1y = c y = d y c,d g y g y1 2,g g2 1
c,d
, ,
d g y
x yR c g yf x y dA f x y d d
2
1
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٩ه : ه و از : ده ال داده ت عادل ا ید و ال دو گا ای ت د. ثال: ا ده با س ری ع ال ت وری ا
م ی ری را رسم ال ت ه ا تدا ر ل: ا تدا ی ا م وض ری را ال ت م ا وا ه ی ورت ن م و ا ری ال ت ا
ورت ری را ال ت م ا ی یان
یروش صات ال دو گا ت ه ا حا
ه ف) ا ی ا عاع ی ور ی ای و وری د ه با ص م ه با و دا
ع ه عاع وا ند و ع ه ر دو دا ه را ص گاه ند آ ه با ویپه ی ب) ا ی ای و دوا ور د و ه با ص م ه با ه دا ن دا و ھ
ع ه وا ند و ع ه ر دو دا ه را ص گاه ند آ ه با ویپ
ه ه ، ا روی ی سم ص م د ول و رو با ط و ت ع ا م ، = وا
ود؛ و ا ی ه گاه حا ه آ ت ( سا م = صات ال دو گا از ت ل ا بد ی ) ؛ صات ه را
ول ط و ت ار ا رد. آن ی ورت
( ال دو گا ت ر ا ر )
ید و از د ض گ دو ز ند ت یک یک با ورت از ا ع را م: ا ی روی و ف
ل بد و ند و ژا ه با ی ویپ قات ی دارای د ف با ل خا ال دو گا ت ر ا ر ول ، ن حا و ، ا =ژا
,xef x y dydx
2
0 1
, xx y e 0 2 1x
n
y e
L y x
212
, ,xe e
Lnyf x y dydx f x y dxdy
22 2
0 1 1
R , 12 grgr , , 21 gg
R12 gg , ,
, ,
g
gR
f r dA f r rdrd
2
1
R rhrh 12 ,,r b r a R a ,b rhrh 21 r c
bca R12 hh , a,b
, ,
b h
a hR
f r dA f r rd dr
2
1 1
R ,z f r 0R ,z f r ,R
v f r rdrd
,z f r 1R
rdrd Ry , x,r
sin , cosy r x r , ,R R
f x y dxdy f r rdrd
DD2kDD
,
,
, ,K
x h u v
y g u v
u v x y
,h u v ,g u vD
D
,
,
x xx y u vJ
y yu v
u v
10
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٠ه : ه و از : د. ه ی با حا ی ور ه وان از را ی د ود. با فاده ا
ی گا ال ت ا
ید هض وده و ازای ضا ی نا ه و ع ه ای ه آن، د. ده با ه را ف ی ز م با
واه ه د م و ی ع را ل خاب و حا ه ا ن ز ید ا ض م . ی د ل را
ی وق و وع د د. حال ا ه با ن ز ر ر ه ول ندی وه ل از ود آن ود و و ه و خاب د و ا ن د ، ا ه با ن ز ا
ع ال گا ت م:وی ررا ا ی د شان ماد ید ا یده و آن را با ه با و دا ،
ور سم ی ه گا گاه د آ سم ) ، وابا م گاه ( ور آ سم ) .م(
ی صات دکار ال گا ت ه ا حا
عادالت ه ی و ری ال ت ه ا ید ند. آن ، ض ده با ص
ورت ن ند. ا ی با ه ی ویپ ه وا حا ، گاه
ضای م از وا ال گا ت ضای ا م : ه با م و دا د و و ه ا ه اول آن ویپ ی قات وق و ع وا آن
قاط ضای نا یک قاط از ضای و ند و از ی جاد گاها ، آ
وا ای صات ا ال گا ت ا
, ,D D
f x y dxdy f h u v j dudv
,
,
x y
u v
,
,
ju v
x y
1
DP( x,y,z ) , ,f x y zDn,...., ,nD D D2 1
,...., ,nv v v 2 1 , ,i i ix y zi , ,n
i i ii
f x y z
1
0D , ,i i ix y zi
, ,f x y zD , , , ,n
i i i i Di
L im f x y z V f x y z dv
0 1
, ,f x y z D , ,x y zD
m dv , ,f x y z 1D
v dv D
, , , ,a x b g x y g x h x y z h x y 1 2 1 2
, , , , ,h x y h x y g x g x2 1 2 1
, ,
, ,
, , , ,g x y h x yb
Da g x y h x y
f x y z dv f x y z dzdydx 2 2
1 1
xyzuvw , , , , , , , ,x x u v w y y u v w z z u v w
DxyzDuvw
x x x
u v wy y y
ju v wz z z
u v w
0
, , , , , , , , , ,f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w j dudvdw
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦١ه : ه و از : ی گاه با A ن د ه ا ت. ضا ا ی صات دکار ی ور ی و ه ی از وا ای، صات ا گاه A ود آن د ی ص
گ ١و A ن د تد و اه: ا وا نده یک ا عاع شان د ء و بدا ه ن عاد یک ور و ھ ل ت شا ه ای ا با عاد
ه ی سازد و زاو ه د.ا ی با وط حات عاد ی ور وا وری و ا ))
ه و ه ص ای روی وار و م : ھ ه دار ص ن ی ا وری )) و رو ) ]
ه ی روی ی ه ی و ی ه گاه د آ ند ) ] با وار ت ھ ور ا
ی ٢و صات دکار ل بد وا ای : با صات ا ط ت از با روا بارت ا ل بد و د، ژا و ی وط ھم
ورت وا ای صات ا ال گا ت ل ا بد ول د. و ی با
وی صات ال گا ت ا
ی ه با وی صات گاه A ود آن د ی گاهص A ن د ید ا ه با و دا عاع ، ء و بدا ه عاد یک
دد = د ؛و( ور ی با تد با ی و عاد ت ؛ و ) ور ا ف ت از یک ه ای ا م ه عاد ت و با ی سازد.با زاو دود ا
, ,r z
, ,r z 0 0 2
r ar z a 2 2 2a 0z
xz0z = r D , 12 grgr ,
1g 2g , g g 1 2 , , ,z h r z h r 2 1
,,, rhrh 12R , , ,r g r g 2 1
,
,, , , ,
g h r
D g h rf x y z dv f r z rdzdrd
2 2
1 1
z,y,xzr ,,cos , sin ,x r y r z z
rj , , , ,D D
f x y z dx dy dz f r z r dr d dz
, ,r ,r
000 2
r = a r
oz0 ozxoz0
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٢ه : ه و از : ی صات دکار ل وی بد صات ط ل با روا بد و د .ژا و ی وط ل ھم بد ول د و د وا
ت از : بارت ا وی صات ی صات دکار ال گا از ت ا
ده : ل ی سا
بارت .١ ت؟ واب ا با
ل:
ر .٢ ید. قدا یا را
ل:
ه .٣ حا ت و ی ط وط و دود ی د و یدا با
ل:
م ) .٤ ی ( ور دو ح زه دا ید.ا یا را
گاه A ل د قاط ( ل: از دی را ی ی ن دو م . ا ی ی را پیدا ی دو ند. ١و ٠) و ( ٠و١ل تال ی ع (
z,y,x, ,r sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
sinJ r 2
, , , , sinD D
f x y z dz dx dy f r r dr d d 2
2
0
3
23
22 2y dxdyyxI
yI x y x dy y y y dy y y y
I
3 22 33 2 2 3 3 3 4
0 03 02
1 9 33 352 9 6 3 9 23 8 32 2
352
dydxyx
IX
5
1 0 221
a rc tan (( ) a rc tan )x
y d xI d x d x L n x L n
x x x x
I L n
5 5 5 5
11 1 10
1 1 1 54 4 4
54
,F
f x y d A F022 yxyx ,, xyyxf ,
, (x x
F
xf x y dA x ydydx y dx x dx
I x I
2 2 2 222 3
00 0 0 0
240
221 8 82
11 yxyx ,
11yx
yx
X
X X
x y y xA dydx x x dx
x y y x y x x
A
1 1 1
0 1 2 0
1 1 12 2 31 1 1 213
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٣ه : ه و از : ر .٥ ید. قدا ه حا را
ال ل: ت ورت ون ا ری را ال ت ه ا ورت ن م ا ی وض ری را ال ت د. پس ا ه حا وان ی را
م ر ی
ال .٦ ت ری ا ال ت م: ا ی ری را رسم ال ت ه ا تدا ل: ا ید. ر د و را
ی وض ری را ال ت ر حال ا تدا ی ا م:م م و دار ر ی ال ت ا
ال .٧ ت م. ا ی وض ری ار ال ت پس ا م و ی ری را رسم ال ت ه ا ل: ید. ه حا را
ال .٨ ت ر ا ید. قدا یا را
ل:
ال دو گا .٩ ت ر ا ه قدا ع اول دا ید. راروی ر یا ل:
sinx
ydydx
y
0
y
yx
x
yx
00
0
xdy
y
ysin
y
yx
00 sin sin sin
sin cosy
y
x
y y ydydx dx dy x ydy y
y y y
00 0 0 0 0
01 1 2
40 0
y
dxdyyxfItan
,tanx y
y
0
0 4
arctan
x
x y
0 1
4y
arctan
,x
I f x y dydx
1 40
2
0
1
2
3
yx dxdyyeI
x x
yxx
I ye dydxy x
y
31 2
0 0
0 112 0 20 2
x
x x xI e y dx x e dx e I e
3 3 32 11 12 2
0 00 0
1 2 22 12 3 3
dxdyeIyx )٢٢(
٠ ٠
( )
cos
sin
x y r
r
I e dx dy e rdrd
x y rxx
x r I e d dx
y r
I
2 2
2
220 0 0 0
2 2 2
2 20 0 0
00 1 10 2 2 40 2
4
x yI dx dy
x y
2 2, ,x y a x y 2 2 2 0 0
(cos sin ) (cos sin ) sin cosax y a a
I dxdy r d dx y
I a
2 2
22 2 2002 2 0 0
2
12 2 2
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٤ه : ه و از : ور ا .١٠ ال ه ت ر ا قدا د ید. با ه حا را
ید ض م: ل: ورت دار ت از: ا بارت ا ل بد و وژا
وس ا .١١ ی با ر ھار ض ال ون یک ت ر ا قدا گاه د آ ید. با ه حا را ید ض تدا ن :و و : پس ل: ا ا نا و
ل .١٢ ید. حا یا را
ل:
عادالت .١٣ ی ه رو ی و ور ید. م ه حا را ل:
ی .١٤ ور رو ید. و م ساب را ل:
D, ,x y y x 1 0 0x y
x ye dx dy
yxv
yxu
٢
٢uv
v
vux
x x
u vJy y
u v
1 112 2
1 1 22 2
,
( )
vx y v u ux y v v
v v
v u u v u vx y y x v u u v
v x y v
x v u y v u
I e dxdy e dudv ve dr
eeI e e vdv I
1 1
0 0
1 10
21 1 1 22 2 22 2 1 1
0 0
1 12 2
112 4
A , , , , , , , 0 2 2 0 ( ) sinA
x y x y dx dy 2 2
u x y
v x y
u vx
v uy
2
2
x x
u vj jy y
u v
1 11 12 2
1 1 2 22 2
x u
y v
0 20 2 3
( ) s in ( ) s in
s in
AI x y x y d x d y u v d v d u v
I u v v d u u d u I
32 2 2 2
3 42 2
1 321 1 24 2 2 3
sin ( )yz
x y z dx dy dz
2
0 0 0
s in ( ) c o s ( ) c o s ( )
s in ( ) s in s in
c o s c o s
yz z zy
z
I x y z d x d y d z x y z d y d z y z d y d z
y z d z z z d z
I z z I
2 2 2
00 0 0 0 0 0 0
2 2
00 0
2
0
2
1 1 12 32 2 2
1 1 1 1 136 2 6 2 3
, , , ,y x z a z x y x 2 2 20 0 0
( )
aa x a x a x a av d z d y d x a x d y d x x a x d x a x v
2 2 3 32 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
1 22 3 3
z x y 2 2z 1
( )r
r rv d v r d z d r d v r d z d r d r r d rd d
v d v
2
12 1 1 2 1 2 2 43
0 0 0 0 0 02
0
2 414 2 2
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٥ه : ه و از : ال گا .١٥ ت ر ا ه قدا ح ید. روی ه حا را
وی صات ه عاد ون ورت ل: د و پسی با
ن :م .١ ر ض قدا ورت ن ید. ا یا را
م .٢ ه ض ط آن ع اول ، ز ده ر ف ی ث ه ط ، ت چپ ر و س قدا د. اوًال ی باکان دوباره ورت ا ید و ض و ال ت یاً ا ید. یا .را ما ری ال ت ا
٣. : ما ری ال ت کان دوباره ا ورت ا ید و ض و ال ت پس ا ما و ه حا ی ز را ال ت یک از ا
م .٤ ر هض قدا ورت ن د ا ید.با یا را م .٥ ر هض قدا ورت ن د ا ه با حا ید.را ال .٦ ت ددی ا ر ید. قدا یا را ر .٧ دا ا ه ت ط سا و ده ور ید. ، یا را ر .٨ دا ا ه ت ط سا و ده ور ید. ، یا را
ط سم ص .٩ و ده ور ی ، کا ی با ک د. ید. ی با یا را
dxdydzzyx )( ٢٢٢٩٢٢٢ zyx
= ٣
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
0 20
( ) ( sin )
sin sin
(cos )
I x y z dxdydz d d d
I p d d d d I
I d d I
2 32 2 2 2 2
0 0 32 3 2
5
0 0 0 0 02 2
00 0
1 2435 5243 486 9725 5 5
,
, , ,
f x y x y yx
x y R
2
0 1 0 2 ,
R
f x y d y d x
,
,
f x y x y y x
x y R
2Ry xx 4
,R
f x y dydx
sin, , , ,
, cos , , ,
yx
y
x
y y x
x x
y yy y z x yx xy
y y y
ye dxdy xy dxdy xy dxdy dydx x dydx
x y
x y dzdydx x y dxdzdy dzdydx dzdxdy z e dx
2 2
2
2 25
2
2 2
3 24 2 3 2 22 3 2 2
0 0 0 0 0 0 2
1 9 93 5 53 5 3
2 3 3 0 0 0 0 0 0 3 9 9
1
4yz
dydz
32 4
0 0 0
s, r 0 26 sin
s
x y dxdy 2 24 4
s, r 0 1 24
s
ydx dy
x
xxe dx
2
0
R,
,
y x x y
y x x y
3 3 3 84 3 3 1
R,
,
y x x y
y x x y
2 5 15 5 9
R,
,
y x x y
y x x y
2 5 3 45 5 3 9
x R
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٦ه : ه و از : ط سم ص .١٠ و ده ور ی ، کا ی با ک د. ید. ی با یا را ط سم ص .١١ و ده ور ی ، کا ی با ک د. ید. ی با یا را
وی ه .١٢ ط و ده ور ه ، م ت . ید.ا یا را دار .١٣ وح وازی ا دار یک ن د . ا ده ا ی داده گا ی با سم ص ند ی ن ید. را یا سم ص را ن م ا ت . ادار .١٤ وح وازی ا دار یک ن د . ا ده ا ی داده گا ی با سم ص ند ی ن ید. را یا سم ص را ن م ا ت . ا
م .١٥ ل هض ورت حا ن د ا ه با حا ید.را ه .١٦ ی وی و صات ی وط ش ی یک ی یک ب سا د ت . ا وا ده ا ف و
ید. یا ب رم ی ب سا ی را ن ی ا م ک ند ، ر باید. وم .١٧ یا راعاع .١٨ ا با وپی ی گا ل دارای ه ای ه ی وپ و ن ت. باالی ا ی ا صات دکار ت ؟ ا با ده ما سم با م ت . ده ا ش داده
ه .١٩ حا ت وب ا ون ط ا ت ه ا ت از : آن بارت اال گا .٢٠ ت آنا فاع را م ار تد وط ه یک ده ای عاع و د تدا وری ا و
ید.ور ساب د، ی با ال رو ای ت ط و ا ی ا ال ت م : ا ل
وع اول ) ط ی ا ال ت وس ( ا ول ط ی ا ال ت ا
ع ید وس ض ه از وار ی ھ عاد از وس د . ه با ده و ویپ واه ف قاط د را با
ید ض م . ی ی وس وس واه ول ه د د . ی با وس ع را روی ر قدا یار و ول ام ا رب را
وع ر ده و قدا ن ی وق و وع د م . ا ی د ل خاب س را ندی و ا وه ل از د ن ود و ا و ند ی ل ت
R,
,
y x x y
y x x y
4 2 2 15 2 2 10
x 1R
R,
,
y x x y
y x x y
4 2 16 4 2 9
y 1R
Ex y z
2 2 2
14 9 49E
, ,
2 4 32 1 27 6 6
Ry
, ,
1 3 22 1 25 4 4
Rx y
D , :D x y x y 2 2 2 25 x y
D
e dxdy2 236 36
, , , , ,
0 8 0 0 24
z x y 2 25z x y 2 2
11x y z 2 2 2z 1
R
dzdydxI
x y z
22 2 2R , , :R x y z x y z 3 2 2 2 1
S
I z y d z d y d x 2 2Shxya
z
,f x yABC ( )y g x
a x b
AB, , ,....., hA P P P P B 0 1 2
nns
m mA A1 ,m mx ym ,m mf x yns
,n
m m mm
f x y s
1
ns
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٧ه : ه و از : ع روی ه ط ی ا ال ت د را ا ن د. ا ی با وس ن ی ا ه روی عاد از ابا م و آ یا ی
ول م و با ی د ی شان ود.ا ی ه ری حا عادالت پارا ه ی و
گاه د آ ده با ع ص ط ی ا ال ت را ، ا
ی ضا ی وان روی یک ی ی ود ا ری ن عادالت پارا گاه با د آ ده با ص
ی : ا ١و ل ه باریک ی ی گاه گا د آ ت . با ه ا ی م ا با
ف) : ٢و (ب) : ، : (ا
ی ی (ج) ا گاه و دو ود آ
وع دوم) ط ی ا ال ت صات ( ا ط ی ا ال ت ا
ع وا ید وس وض ه از وار ی ھ عاد از ند و ه با ده و ویپ ی و ف وس ام صاو
ی ور واه و روی ه د ند ی با وس وع را روی خاب و وع ام ا د م . ا ی د ل را
ی ه و وق و خاب دی و ا وه ل از ود و وع دوم روی و ط ی ا ال ت د را ا ن د ا ی با وس ن ا
,m mx ym ,f x yC AB ,A B
f x y d s
,C
f x y d s , ,b
AB a
f x y ds f x y y dx 21C
x x t
y y t
t t t
1 2
, ,t
C t
f x y ds f x t y t x t y t dt 2
1
2 2 , ,f x y z
C C
x x t
y y t
z z t
t t t
1 2
, , , ,t
C t
f x y z ds f x t y t z t x t y t z t d t 2
1
2 2 2
( , , )f x y z C C
ds
( , ) ( , )A B B A
f x y d s f x y d s ( , ) ( , ) ( , ) ( , )C C C
f x y f x y ds f x y ds f x y ds 1 2 1 2
C ١C٢C , , ,C C C
f x y ds f x y ds f x y ds 1 2
p(x,y)q(x,y)A BC ( )y g x
a x b
mxmym
oxoy ,m mx ym , ,m m
nP x y x q x y y
m
1
max mx 0 max my 0 ,m mx ym
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٨ه : ه و از : ماد م و با روی ی ط و ده جام ورت کار ا وع دوم ط ی ا ال ت ی ا ی کا ر م . ی د شان
ر د . روی ی با
وع دوم : ط ی ا ال ت ی ا وع د، واص اسا ط ی ا ال ت وم را ا
ول وان با ی ی ود .ا ه ری حا عادالت پارا ه ی ص و
گاه د آ روی ده با ط و ده جام .کار ا
ی ضا ی عادالت روی ود :با ه حا ول ز وان با ی را
ورت ی ورت و :ا ن ود . ا داده
و
ع ندداری ف : ا ی ما کا ع ا ی ادیان د گاهبا ده و آ ر ھدا ن ن یدا ل را یک ع پتا بارت دی ا را م ؛ گاه ی آ
داری ن دهرا یدا ر ھدا م ؛و ا ن داری و وی ن یدا گاه آ
ده را ر ھدا م. ن ی
( , ) ( , )AB
p x y dx q x y dy , ,F p x y i q x y j
AB
,AB BA AB AB AB
p dx q dy p dx q dy p dx q dy p dx q dy
( , ) ( , ) ( , ( ) ( ) ( , ( )b
C ap x y dx q x y dy p x g x g x q x g x dx C
x x t
y y t
t t t
1 2
( , ) ( , ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )t
C tp x y dx q x y dy p x t y t x t q x t y t y t dt
2
1
( , , ) ( , , ) ( , , )F p x y z i q x y z j r x y z k
C
x x t
y y t
z z t
t t t
1 2
( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( )t
C tp dx q dy r dz p x t y t z t x t q x t y t z t y t r x t y t z t z t dt
2
1
: ( ) ( ) ( ) ( ) ,C R t x t i y t j z t k t t t 1 2
d R d x i d y j d z k
.C C
F dR pdx qdy rdz
F
F
FF
p q
y x
( , ) ( , ) ( , )F x y p x y i q x y j p q
y x
p r
z x
q r
z y
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٩ه : ه و از : ل ون ف : ماد ، و ( ر ورت ) را با شان داده و
م. ی ف
ف) :(ه داری ا ن ھا ا یدا ت ا و ده ا ر ھدا داری ن ن یدا د . ، (ب) : ا ی با ر ل از ط آن ی ا ال ت گاه ا د آ ده با ر ھدا ن
داری ن یدا ه و : ا ر ط روی ی ا ال ت گاه ا د آ ده با ر ھدا د .ن ی با ا
ن : ید ه ه ض م ه واریک ه ای ھ ور ه و ی د ت وبا ع دود ا وا ت . ا ی ا ثا ث ت ه و و دارای ویپ
ه اول ق لویپ دارای ه شا گاه ه د آ با
ه ه : ا م ه وار یک ه ای ھ ور ه و ی ور یو د و گاه با د آ ی با ثا ث ت دارای
ه ت ( سا =.(
ه و : ا گاه ی د آ ه با ت ( ) سا
ی رو ای ( ال ت ح )ا ی ال ت ا
F
F
F
curl F
i j k
r q p r q pcurl F F i j k
x y z y z z x x y
p q r
F Curl F 0
F
F C
R xy C C p(x,y)q(x,y)
,p q
y x
R ( )C R
q ppdx qdy dydx
x y
R xy C C
C C C
x d y y d x x d y y d x 12 R
C ( )r f C
r d 212 R
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٠ه : ه و از : ید وار و ض ح روی ی ھ د . ده با ھای را ف سا ی با ح ه ز را و
وع خاب و ح ا ن ز ل ا ر آن قدا ود و و ند ی ل ت ی س ی ح ن ر ر ول ی وق و وع د م . ا ی د ل را
ه خاب ندی و ا وه ع از ال رو ت د را ا ن گاه ا د آ ی با ح ن ز حا ما دروی م و آن را با م . شان ی ی د
ف) : ا ١و گاه : (ا ح آ ت سا ه ) ، (ب ) : ا = ( ی ح گا گاه از د آ با
م ) = (
ی از روه : ا ه س م آن روی و د ه با گاه ، ت آ ا
ی از رو ٢و س ح ت سا ه : م آن روی و ه ت از ، بارت ا د حبا ت سا ) = (
عاد ح با گاه شا ، ور گاه و د آ ده با حص ت سا ه ) ، آن = ( ح ت و و ا
ل ح عاد ن ا گاه ھ د آ ح با ت سا ه ) ، آن = ( ح ت. و ا
ید عاد ض وار یک رو ھ , ,G x y z م رو و 0 ی کا داری دار ن یدا ای د با
ال رو ای روی ت د ا ه با د را شار ویپ تدا ا
دار ت ال شار ت م .ا ی دارد . ی ت
s , ,h x y zs s n, , ..., ns s s 1 2 , ,i i ix y z
i , ,n
i i i ii
h x y z s
1
ihs , ,S
h x y z ds
, ,h x y z 1 s
dss , ,x y z , ,x y zs
, ,s
x y z dss
s z = ,f x yxy R
( , , ) , , , x y
s R
h x y z ds h x y f x y f f dxdy
221
z = ,f x yxy R x y
R
f f dxdy 221s
x = ,f y z y z
R
f f dydz 2 21s R yz
y = ,f x z x z
R
f f dydz 2 21s R xz
s Gn
G
s
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k
s S
F n ds
F
s
n
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧١ه : ه و از : ود :و ه حا ی ز ول وان از ی ال شار را ت ه آن : ا ح شا و ور د و ی با
ه آن ح شا و ور دو ح آنی با و
ه د. ی با
ول ف : ا ط س و ورژا د د ده با را با یان
ورت ماد م . شان داده و ی ف
ف ) : و : (ا
گاه (ب) : ( ا د ) آ ددی با ز ی و
داری : ز ی از آ ول
ن ، ، و ازای .١ ، و ھم ی .٢ قا م : ، و د ، دار با
ن .٣ ، و ھم ٤.
ن .٥ ، و ھم ن ، و ، و .٦ ، و ھم ن .٧ و ھم
S R
F nF n ds dx dy
n k
R xy
S R
F nF n ds dxdz
n j
R xz
S R
F nF n ds dydz
n i
R
yz
( , , )F x y z
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k
F
d i v Fp q r
divF Fx y z
( )div curlF F 0
f curl grad f f 0
f f fdiv grad f f f
x y z
2 2 22
2 2 2
f g f g c c f c f f g f g g f
f g f g g f g x 0f g f f g
g g
2
div F G div F div G Curl F G Curl F Curl G
F G F G G F F Curl G G Curl F
div f F f div F F f div F G G Curl F F Curl G
div Curl F 0 div f g 0Curl f 0 Curl f F f Curl F f F
Curl Curl F grad div F F 2 F F F F F Curl F 2 2
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٢ه : ه و از : ن .٨ ، و ھم
ن .٩ ، و ھم ن .١٠ ، و ھم
س) : ورژا ه د ی یا ( ا ه و ا ه وا م ی آن رو قاط داخ ه و و ی ویپ م خار ی کا گاه دار د، آ ه از آن با
ه آن ط را ت . و ده ا یان
ی : ادس رو ند و ا ول ا ه با ی ویپ گاه وا آ
ه ه از رو ف) : ا دار و (ا ح ، گاه د آ ود با گاه ، (ب) : اع د آ ه با رو ای
ول س)( و ع ا وا گاه ح : ھا ه اول آ ی قات ه و و ح ویپ ـ ـد ه ای با ـ ـی
گاه : را دارد آ
ط ی ا ال ت م ا ی دا ه و : ی ت از :روی بارت ا
داری ) : ل س و ول ا ع ( وا ها ی قات م و ح رو ھا هاول آ ی ه ی و ند و ه با ده ، ویپ ور
ی و م خار ی کا گاه دار د ، آ با
Curl F G F div G G div F G F F G H F G H G F H F G
f g f g g f f g 2 2 2 2 f g g f f g g f 2 2
H F G G H F F G H H G H F H G H F G
( , , )F x y z
F
s ١Vn
s
S
p q rF n d s F d v d v
x y z
F
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k
r, , , r , q , p
z
q p
y x
cos cos cosn i j k
cos cos coss V s V
p q rF n ds dx dy dz p dy dz q dx dz r bx dy p q r ds
x y z
1 1
s ( , , )F x y zs
V
F dv 1
0 s
( )s
n F ds 0
( , , ) , ( , , ) , ( , , )p p x y z q q x y z r r x y z s Cs
cos cos cosr q p r q p
p dx q dy r dz dsy z z x x y
F
CC C
F dR p dx q dy r dz
, ,r q ps C
:C R x i y j z k n
s
C s
F dR F n ds
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٣ه : ه و از : ط: ی ا ی ال ت ای ا ده ل ی سا
رو ا .١ قدا د ، ید.با یا را
ل :
ه ع .٢ ید را یا نان ند. را صدق
م : ی ی ر ودن را ادیان رط تدا ل :ا
ون داری و ن یدا ع ذا وان ی ت و ده ا ر ھدا ت آورد. ن را د
ال .٣ ت ل ا ی حا ول عاد را ه با ه از ید. یا
ل :
ی از و ا .٤ ھ ط روی ی ا ال ت ل ا ند. حا ید. ا یا ی ن راروی ا
ی عاد ت از :ل : و : بارت ا
xy xx
212 3x y
x
2 26 8 ,x y
,
,
x y xy x dx f y x y x f y x f y x y f y yy
f y y c x y x y x y c
2 2 3 2 2 2 2
3 2 3 3
12 3 6 6 6 8 8
8 863 3
, ,u x y z xy xyu xz ye i xe yz j x y k 2 2 2 22 2 2 1
, ,
, ,
xy xy xy xyp p qe xye xz e xye
y z x
q r ryz x z yz
z x y
4
4 4 4
, ,q r p r p q
z y z x y x
u , ,u x y z
, , , ,
,,
, ,
, ,
x y x y x y
x y
x y
u hu x y z p dx h y z x z e h y z x e x e yz
y y
h y zyz h y z yz dy g z y z g z
y
uu x y z x z e y z g z x z y z g z
zu
x z y z z g z z g z z cz
u x y z x z e y z z c
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
C
ydsCy x 2x 3x 24
C
yds x dx x dx xx
32
224 24 243 3
33 3
1 4 42 1 2 1 1 5 2 1563 3
,f x y x xy i y xy j 2 2 f ,11 ,1 1y x 2f d
C : ,C t x t i y t j t i t j t 2 1 1
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٤ه : ه و از :
ال .٥ ت ل ا ی حا ید آن یا ه را ود.، دا ی وده ت پ ی سا ت خالف ت یک بار ا
ری ل : ذا الو با جای ت م : ا دار
ی ، ( ا .٦ عاد ی با و ع عدی ضای ه ای ت.) ، ی ر ا قدا ل یک گاه حا د.آ با
ل : . ما ه حا ن را ا نا ،
داری ن ی یدا ت. ( ده ا ر ھدا ل ن داری کا ن یدا یک
ت.) و ها ر ط آن روی ال ت ر ا قدا د. ی با
ال .٧ ت ر ا ید. قدا ساب را
داری ل : ن یدا ن ا نا ،
ی ت. ( ده ا ر ھدا ل ن داری کا ن یدا یک
قاط ر وان ی ذا د . ی با ر ل از ال ، ت ت.) و ا ری ا ی پارا عاد ت با ط را را
و :
, , , , ,p x y x xy p t t t t q x y y xy q t t t t
f d t t t t t dt t t t t dt f d
2 2 2 3 2 2 4 3
1 12 3 4 3 2 3 5 4
1 1
2 22 2 2 15 15
C
x y dx x y dy
x y
2 2
Cx y a 2 2 2
cos , sin ,
sin , cos
x a y a
dx a d dy a d
0 2 C
x y dx x y dy
x y
2 2
co s s in s in co s s in co sa a d da
2 2
22 22 0
0 0
1 2
Cax y z xz a
x y a
2 2 2 22
C
y z dx x z dy x y dz , ,
, ,
p y z q x z r x y
p q p r q r
y x z x z y
1 1 1
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k
( , , )F x y z
C
, ,
, ,
xy dx x z dy yz dz 1 2 3
2 2
0002 2
, ,
, ,
p xy q x z r yz
p q p r q rx z
y x z x z y
2 22 2
2 0 2
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k
( , , )F x y z
, ,000 , ,1 2 3
, , ,x t y t z t t 2 3 0 1 I t t t t d t 1
2 2 2 2
04 2 9 3 6 2 0
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٥ه : ه و از : ر .٨ ه قدا ه از ن نان را
د. ر با ل از ید ول فاده از تدا با ا هل :ا ل دو ط وا عاد پاره م : و ، و ی را
ی .٩ وس ا ی با ر ث ون را ل وو، پ گاه حا د.آ . با ما ه حا را
داری ل : ن یدا ن ا نا ،
ی ت. ( ده ا ر ھدا ت.) و ن ل ا داری کا ن یدا یک
ه ر ط آن روی ال ت ر ا قدا د. ی با
ی .١٠ ط و ده ور ت ری سا ی پارا عاد ده دارای ی داده ل : ید. ساب د. : را ی با
ی ت سا
ال .١١ ت ر ا ی قدا ید.را روی یا
ی با ی ت سا م ی دا م : ا با ول : ن دار ه و ز با د و ی با
C
I xy yz dx x xz z dy xy yz dz 2 22 4 4 2 4 4 , ,1 1 2 , ,3 2 1
,R t t A t B t 1 0 1AB
, ,
R t t i j k t i j k t i t j t k
x t dx dt y t dy dt z t dz dt
I t t t t t t t t t t t t dt
I t t dt t t t
12 2
01 12 3 2
00
1 2 3 2 4 1 1 3 24 1 4 1 3 3 2
4 2 4 1 1 3 4 1 3 2 3 4 1 4 4 1 2 2 2 4 4 1 1 3 4 1 3 2
9 112 81 3 56 81 3 56
I
81 28 28
C , ,3 1 0 , ,1 3 0 , ,1 1 2 C
y z dx x z dy x y dz
, ,
, ,
p y z q x z r x y
p q p r q r
y x z x z y
1 1 1
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k
( , , )F x y z
C
x y
a b
2 2
2 2 1cos
: sin
x a t
C y b t
t
0 2
cos cos sin sinC
abA x dy y dx a t b t dt b t a t dt dt ab A ab
2 2
0 0
1 12 2 2
C
ydx xdy 3:C x y 2 24 1
abab
C R
dx dydx xdy y
13 1 2 1 23
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٦ه : ه و از : ی .١٢ ی ا ل ، گاه حا د.آ ت با ی سا . خالف ما ه حا را
ی با ی ت سا م ی دا م : ا با ول : ن دار ه و ز با د و ی با
ال .١٣ ت ر ا ی قدا وس از دیک تدا ید.را ا یا
ی با ت سا م ی دا م : ا با و ی ل : : ن دار ه و ز با د و ی با
ط .١٤ ال ت ل ا ی حا ید. ودود روی یا ت را ی سا ت صات گاه A ع اول د ر
ول ن و ه و خاب ل : با م : و و با ا دار
ال .١٥ ت ل ا ی حا ید آن یا عاد را ی د. ، ی با ت
ورت ی را عاد ی با ی ل : ت سا م ی دا م . و د و : ا با وی ی با
م : ن دار ه و ون با ا
ل ی ی رو ای:سا ال ت ای ا ده
ه .١٦ ر نا قدا د ید. با یا را
Cx
y 2
2 14 C
x y dx xy x dy 2 3 23 3 2
abab
C R
yx y dx xy y dx dyx dy 2 3 2 2 23 23 22 3 2 13 4
C
y dx x dysin , cosy t x t 2
abab
C R
dx dydx x ydy 2 2 2 1 4
C
x y dx x y dy 2 2Cy x 2y x
C R
q pdx dp dx y
xq dy
y
p x y 2q x y 2
x
C R x
x y dx x y dy dx dy dy dx x x dx x x
2
11 12 2 3
00 0
1 1 12 2 2 2 2 2 2 3 3
C
xdy ydxCy x x 2 24 4
xy
2
2
12 11
4
abab
ab
11 2 2
C R
x dy y dx dx dy 1 1 2 2
T x xy z y z 2 23 2 7 8T2
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٧ه : ه و از : ل :
وا .١٧ وط ا ی ند از پار با ال ح ما ال رو ی از یک ت ر ا قدا ند. ی دا را
. ما ه حا را
ول فاده از و ل :با ا
ه ن و ا هوبا ا با ، دا ت آن سا د م :ی با ت ؛ دار ا
دار .١٨ ه ل ید. یا را
ول و خاب ل: با و و با ا
م : و دار
ید ا .١٩ ت. شان د ده ا ر ھدا ن ن یدا یک ن یدا م ی دا ھا ا داری ل: ت ا و ده ا ر ھدا و :ن
, ,T T T T T T
T Tx y z x y z
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 22 0 4 2 0 4 6 6
x y x 2 2 2x y z 2 2 2S
S
I x y y z z x ds 4 4 2 2 2 2 1
( , , ) , , , x y
s R
h x y z ds h x y f x y f f dxdy
221 ,z f x y x y 2 2
R x y x x y 22 2 22 1 1
, , ,x y x y
R R
f x f yz f x y x y f f f f
x yx y x y
I x y yx y x y x y x dx dy dx dy I
222 22 2 2 2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2
1 2 2 2 2
I x y i xz j xy k 23 7 4 , ,1 2 3
i j k
r q p r q pcurl F F i j k
x y z y z z x x y
p q r
p x y 23
q xz 7r xy 4
, , , ,
i j k
curl I I z x i z x k curl I I i kx y z
x y xz xy
2
2
4 7 7 3 1 2 3 1 2 3 5 18
3 7 4
F xy yz i x yz xz j y xy k 2 22 3 2 3 3
F
F C url F 0
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٨ه : ه و از :
ع .٢٠ ید ید. ض یا ل آن را ع پتا د . ده با ر ھدا ن
ع ید ض ل ل: ورت ع پتا ن ا د ن :با ا نا ری از و ال ت با ا
ر ساوی ا م : ن دار
ه و ا .٢١ ی و و را ال ت ورد ا
ل: ید. یا ی را ال ت ر ا قدا ورت ن ند ا ی ی صدق ال ت ا
عاع ع .٢٢ ء و بدا ه ح رش روی قدا ت و ه دوم ا ه ی ویپ قات ت ، دارای د با ) ، ، (
داری ن یدا ای س را ورژا ه د د. ا ر ی با قدا ید شان د م ر ه کار ح ل و روی ت. دا ی ا
ر ل:با قدا ن ت پس و ا ا با ا ه ح روی
و :
i j k
curl F F y x y x i y y j x z x z kx y z
xy yz x yz xz y xy
curl F F i j k
2 2
2 3 2 3 3 3 2 3 2 3
2 3 2 3 30 0 0 0
F x y i y x j 2 3 2 3
,x yF
,F x y i jx y
,
,
x y y xy
x y x yx
2 3
2 3
x
, ,
,
x y x xy g y x y x g y x yy
g y y g y y c x y x xy y c
2
2 2 2
3 3 3 2
2 3
r x i y j z k
d d di j k
dx dy dz
S V
r n ds r dv
V
r dv v 1 1 1 3 3 3
, ,u x y zp a 0a
u up a
I u u dx dy dz
2
, ,u x y z
, ,u u u
u x y z x y z a ux y z
2 2 22 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 6
sin sin
sin cos
aa
p a
aI x y z a dx dy dz a d d d d d
aIa a a
I d d d I
a
2 2 22 2 2 2 2 2 2 5 3
0 0 0 0 0 0
52 25 5 5
00 0 0
16 6 6 5 3
84 4 8 055 5 50
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٩ه : ه و از : ل، ه و ا .٢٣ گاه حا د . آ م رو خارج با ه ید. دار ی یا را
م : ی دار ا ه وا ق ت. پس ه ا م ه ، یک رو م ی دا ل:
ل، ه و ا .٢٤ گاه حا د . آ م رو خارج با ه ید. دار ی یا را
م : ی دار ا ه وا ق ت. پس ه ا م ه ، یک رو م ی دا ل:
ل، ه و ا .٢٥ گاه حا د . آ م رو خارج با ه فاده از دار ی را با ا
ید. یا س ورژا ه دم : ی دار ا ه وا ق ت. پس ه ا م ه ، یک رو م ی دا ل:
ه و ا .٢٦ ی ی با ه ه ی و ور و
ی د، ھ لبا گاه حا د . آ م رو خارج با ه ید. دار ی یا را
م : ی دار ا ه وا ق ت. پس ه ا م و ورد ، ه ل:
, , , ,F x y z x y z 3 3 3Sx y z R 2 2 2 2n
S
F n ds
sin
sin cos
R
S V V
x y zI F n ds dv x y z dv d d d
x y z
R R R R RI d d d d d I
23 3 32 2 2 4
0 0 02 2 25 5 5 5 5
00 0 0 0
3 3
3 3 6 12 125 5 5 5 5
, , , ,F x y z ax by czSx y z 2 2 2 1n
S
F n ds
S V V V
x y zI F n ds dv a b c dv a b c dv a b c
x y z
3 3 3 43
, , , ,F x y z x y y z z x Sx y z a 2 2 2 2n
S
F n ds
S V V V
x y y z z x aI F n ds dv dv dv a
x y z
3341 1 1 3 3 43
, , cos , sin , xF x y z x y y z z e SV, ,y e y z 0 0
z x 21n
S
F n ds
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨٠ه : ه و از :
و و ا .٢٧ پ ح ا ی ت خار ل، س گاه حا د . آ م رو خارج با ه ید. دار ی یا را
م : ی دار ا ه وا ق ت. پس ه ا م و ورد ، ل: رو
ال را یکا .٢٨ ت ر ا قدا م . ض ه ید آن ح یا نان قاط رو و را کان حدار ود ند. دار ع با
ون قاط رو ل: کان ت پس دار م: ا س دار ورژا ه د فاده از و با ا
ه .٢٩ هح ها م ه ی دود روی و ن یدا ح ال ت د.ا ی با
ح ر قدا ی ید آن ، ه حا ت. را ح ا ه م ی دار
م: س دار ورژا ه د فاده از ل: با ا
cos sinx
S V V V
e x e
z ex y y zI F n ds dv dv dv
x y z
I dz dy dx x dy dx e x dx e x x I e
2 11 1 1 1
2 2 3
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 3
13 3 1 3 1 3 43
, , , ,F x y z x y z
3 3 31 2 13 3 3
Sx y z 2 2 22 1n
S
F n ds
x zx
S V V x
x zx
x
x y zI F n ds dv x y z dv x y z dy dz dx
x y z
x zI x z y y dz dx x z
2 22
2
2 22
2
13 3 31 1 2
2 2 2 2 2 2
1 01
11 1 2 222 2 3 2 2
01 1
1 2 13 3 3 2 2 2
2 12 23 2
x
x
if u r
x z dz dx
I r r r r dr d u u u du u u du
I u u I
232
2
32
2
1 12 2
1 12 1 0 03 32 2 2
0 0 1 1113 5
0
1 13 2
1 1 1 1 22 1 1 13 2 3 2 3
1 2 4 1 12 3 15 5 5
SS
r n ds
r
n
S
r
Sr x i y j z k
S V V
r n ds dv dv v 1 1 1 3 3
SDx y z 2 21,x y x y
, , zF x y z y e z i x z j z k 23 5 2 3
SS
F n ds
n
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨١ه : ه و از :
وا ا .٣٠ رک ا ل هی ت و ه و ت ی سا ت ال خالف ت را قدا گاه د آ با
ید. یا را
س و ول ا نا ل:
م : ی دار و، از روی و
ه ه م :، دا و ی ی گاه A وق را د ال دوگا ت ون ا د. ا ی با
عاد ا .٣١ ی رو ای ت خار ی و س ه ی ای از تال ال و با ت ر ا قدا د. با
ید. ساب را
داری ل س و ول ا فاده از ول ل:با ا و و با
ح آن ه و م: د دار ، ی با
sin sin
cos
S V V
S S
F n ds dv dv d d d d d
F n ds d d F n ds
12 24 42
0 0 04 4
4 420
4 4
20 0 1 2 3
2 23 3 3 3
Cx y 2 2 1x y z 1Cxy
C
I y dx x dy z dz 3 3 3
cos cos cosr q p r q p
p dx q dy r dz dsy z z x x y
cosC S
I y dx x dy z dz x y ds 3 3 3 2 23 3 cos ds dx dy S
xyx y 2 2 1
I r dr d r d d I 2 1 2 213 4
00 0 0 0
3 3 3 33 4 4 2 2
Sz a x y 2 2 2CSz 0 , , , ,F x y z y z 5
C
F dr
C s
F dR F n ds
S R
F nF n ds dxdy
n k
R Sxyi j k
F kx x xy z
5
C S R R
k nF dR k n ds dx dy dx dy a
k n
2
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨٢ه : ه و از : ر .٣٢ ید قدا یا نان د .و هو را م رو خارج با ه دار ی
م ا ی دا ه ول: طم ی آن رو قاط داخ ، و
ه و گاه ویپ د .آ ه از آن با ی م خار ی کا دار
ال .٣٣ ت ر ا ید آن قدا یا ی را دود ت. ه ا
ر ل: ر فاده از ، با ا
م : دار
S
F n ds
, , , ,F x y z xy yz zx 2 2 2Sx y z a 2 2 2 2n
, , , , , , , ,F x y z p x y z i p x y z j p x y z k
F
SV
n
sin sin sin
cos
S V V V
aa
S
S
p q rF n ds F dv dx dy dz y z x dx dy dz
x y z
aF n ds d d d d d d d
a a aF n ds d d
2 2 2
2 2 254 5
00 0 0 0 0 0 0
2 25 5 5
00 0
15 5
2 45 5
S
aF n ds
54
5 5
D
x ydx dy
a b
2 2
2 21Dx y
a b
2 2
2 2 1
x xb b
a aa a
D a xb
a
x y x y x yI dx dy dx dy dx dy
a b a b a b
2 22 2
22
1 12 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 20 0
1
1 1 4 1
cosy x
b a
2
21
sin , ,
cos sin sin cosa a a
x xdy b d y y b
a a
x x x x xI b d dx b d dx b d dx
a a a a a
I b
2 2
2 2
0 2 2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 2 20 0 0 0 02
1 0 1 02
4 1 1 1 4 1 2 1 1 2
2 1 sinaa x x a
d dx b x b a ab I aba a a
2 3 322 2 2
00 0
1 2 222 3 3 3 3
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨٣ه : ه و از : ی ی ال ت ن):ن (ا ه ط و ا
ید .١ ورت ض داری آن عاد د ی با ط ی ی ا ال ت د. ا ول با را
ی از ه و ه از ید. ساب د ی باط .٢ ی ا ال ت آنا ه را ی از ه پاره ید. ساب د ی با
ط ا .٣ ی ا ال ت د ا یبا ی ه باال ه را روی ه از ید ساب
ر قدا ت.. ازای م ا ال ت ن ا اه .٤ ید ا شان د ف) : ه (ا ی ز آن ه وده و ت سا گاه ند آ ن صدق ه ط را ت. ا با ا
ی ور ت سا ید. ، (ب) : را پیدا
ط .٥ ی ا ال ت آنا ی را ه باال ه م دا از
ه ید. ساب ت ، اه ا .٦ ی ه ای ز آن ه وده و ت سا د و ض ا با با ن با د و ھم و با
ه ه ز ه با ید : شان د ن ول فاده از ود با ا ه گا
ط .٧ ی ا ال ت آ ا ور ررا دود ع اول و ع ر ز وا ت از ط بارت ا ی و ، دو و
ن ه فاده از م ، (ب) : با ا ه حا ف) :با ید: (ا ساب ورت
C cos sint tR t e t i e t j
٣٢٢ ٢
C
xdy ydx
x y
C ١,٠ ٢ ,٠e
C
y z dx x z dy x y dz C ١,١,٢ ٣,۵,٠
٢, ٣ ٢ ١۶F x y y i x j
C
F dR ٢ ٢ ٢ ٢b x y b ١,٠ ١,٠
b
DxyCD١
٢ C
xdy ydx
Astroid
٣
٣
٢ cos
٢ sin
٠ ٢
x l t
y l t
t
٢ ۴ cos sin ۶xy xy xy
C
y e y x dx e xy e y x dy C ٢ ٢ ٢x a y a
٢ ,٠a ٠,٠
RxyCR١
٢ C
xdy ydx ,x f u v
,y g u vRR C uvR R
f g f gdy dx du dv
u v v u
٣ ٢ ٢٢ ۴C
xy dx x y dyCx١x ٣y x
ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨٤ه : ه و از : ال .٨ ت کات ) ، ا ی ( ل ی از س ر آن را قدا ید و ل بد ال دوگا ت را یک ا
ه ه اول ر ا ، قدا فاده از آن ید. وبا ا ساب ده ع ت آورید.وا ه د ار ه اول ی وس ی از س ط را ی ا ال ت
داری .٩ ن یدا ای ن را ی ه و ه ه و ی ده و ید. ف ق ر .١٠ وری قدا ید ساب هو را ع دا ر
د آن ت. و ی با اط .١١ ی ا ال ت یا ھ ر مام ت را ید. ساب ی و ی
ط .١٢ ی ا ال ت ه ا حا ت وب ا ی مارچیپط ر ر روی ر پارا ه راز ر پارا ه .
١٣. ١٤.
١٥. ١٦. ١٧.
٢ ٢cos sinx x
C
e y x y dx e y x y dy
٢ cos ٢ xy
٣ ٣ ٣ ٣, ٢F x y x y i x y j
D٢ ٢ ٢ ٢٠ a x y b
C
W F d R
٢ ٣ ٣ ٢ ٣ ٣, ٢ ٢ ١ ٢ ٢ ١F x y x x y i y x y j
C٢ ٢ ٢x y a
٠x ٠y
٢ ٢C
y dxI
x y
٢ ٢ ١y x y
C
z dx x dy y dz cos
sin
x a
y a
z a
٠ ٢