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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Resolución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales
• En esta clase, trataremos la resolución mixta simbólica y numérica de sistemas de ecuaciones no lineales acopladas.
• El método de rasgadura brinda también una solución eficiente para el tratamiento de sistemas de ecuaciones no lineales.
• La iteración numérica de los sistemas de ecuaciones no lineales puede limitarse a las variables de rasgadura.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Contenido
• Sistemas de ecuaciones no lineales• Iteración de Newton• Iteración de Newton con rasgadura• Iteración de Newton de sistemas de ecuaciones
lineales
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Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo I
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo II
p2
p0
Embalse Esclusa
Consumidor IConsumidor II
Presión ambiental
p1
q1
q3
q2
Vista topológica
Vista esquemática
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Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo III
q
p
q: Caudalp: Caída de presión
q
p
q = k · sign(p ) · p
p = sign(q) · q2 / k2
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Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo IV
p2 = 100
p0 = 1fS(q1 ,p1 ,p2) = 0fI(q2 ,p0 ,p1) = 0fII(q3 ,p0 ,p1) = 0q1 = q2 + q3
p2
p0
Embalse Esclusa
Consumidor IConsumidor II
Presión ambiental
p1
q1
q3
q2
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Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo V
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
Sistema de ecuaciones no lineales con 4 incógnitas
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Iteración de Newton I
Sistema de ecuaciones no lineales:
f(x) = 0 x n f n
Vector inicial: x 0
Fórmula de iteración: x i+1 = x i - x i
H n
n
Incremento: x i = H(x i )-1 · f(x i )
x n
Matriz Hessiana: H(x) =f(x)x
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Iteración de Newton: Ejemplo I
x =
p1
q1
q2
q3
p2 - p1 - sign(q1) · q12 /k1
2
p1 – p0 - sign(q2) · q22 /k2
2
p1 – p0 - sign(q3) · q32 /k3
2
q1 - q2 - q3
f(x) = = 0
-2|q1 |/k12
-2|q2 |/k22
-2|q3 |/k32
-1110
001
0
0-1
00
-1
H(x) =
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Iteración de Newton II
Cálculo del incremento: x i = H(x i )-1 · f(x i )
H(x i ) · x i = f(x i )
Sistema lineal de ecuaciones con incógnitas x
x n
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Iteración de Newton con Rasgadura I
Elección
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
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Iteración de Newton con Rasgadura II
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
p2 = 100
p0 = 1q1 = q2 + q3
p1 = f1 (q1 ,p2 )q2 = f2 (p0 ,p1 )q3 = f3 (p0 ,p1 )
q1 = f2 (p0 ,p1 ) + f3 (p0 ,p1 )= f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) + f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 ))
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Iteración de Newton con Rasgadura III
q1 = f2 (p0 ,p1 ) + f3 (p0 ,p1 )= f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) + f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 ))
x = q1 f(x) = q1 - f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) - f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 )) = 0
H(x i ) · x i = f(x i )
Sistema lineal de ecuaciones con incógnita x
x 1
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Iteración de Newton : Ejemplo IIp2 = 100
p0 = 1q1 = q2 + q3
p1 = p2 - sign(q1 ) · q12 / k1
2
q2 = k2 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0
q3 = k3 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0
pq1q1 = 1pp1q1 = - 2|q1| / k1
2
pq2q1 = k2 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1q1
pq3q1 = k3 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1q1
f = q1 - q2 - q3
h = pq1q1 - pq2q1 - pq3q1
La sustitución simbólica de expresiones casi nunca es provechosa. Es mucho mejor iterar sobre todas las ecuaciones y derivar cada ecuación en forma separada para determinar las derivadas parciales.
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Iteración de Newton : Ejemplo IIIq1 = Valor inicialdx = 1while dx > dxmin p1 = p2 - sign(q1 ) · q1
2 / k12
q2 = k2 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0
q3 = k3 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0
pp1 = - 2|q1| / k12
pq2 = k2 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1
pq3 = k3 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1
f = q1 - q2 - q3
h = 1 - pq2 - pq3
dx = h \ f q1 = q1 – dxend
La iteración se produce sobre todas las ecua-ciones. Sin embargo, el sistema lineal de ecuaciones interno sólo se resuelve para las variables de rasgadura.
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Iteración de Newton en Sistemas Lineales
Sistema lineal: A·x = b
f(x) = A·x – b = 0
H(x) = f(x)/ x = A
A·x = A·x – b
x = x – A-1·b
x 1 = x 0 – (x 0 – A-1·b) = A-1·b
La iteración de Newton converge tras una sola iteración.
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Conclusiones• El método de rasgadura es igualmente apto para el uso con sistemas
lineales y no lineales.• La iteración de Newton en un sistema de ecuaciones no lineales
conduce internamente a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. La matriz Hessiana de este sistema de ecuaciones lineales sólo necesita ser determinada para las variables de rasgadura.
• La iteración de Newton puede también utilizarse muy eficientemente para la resolución de sistemas lineales en muchas variables ya que converge en un sólo paso (con el cálculo correcto de la matriz H(x)).
• En la práctica, la matriz H(x) generalmente se aproxima de manera numérica en lugar de calcularse analíticamente.
• De todas maneras, las técnicas de manipulación simbólica de fórmulas pueden usarse para obtener expresiones simbólicas de los elementos de la matriz Hessiana.