5 Flexão de Vigas
Tradução e adaptação: Victor Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.
Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.
Mecânica dos Materiais
5 - 2
Introdução
• Vigas – elementos estruturais que suportam
forças transversais
• As forças transversais podem ser concentradas
ou distribuídas
• As forças aplicadas dão origem a forças internas
que consistem em:
• Força de corte: Esforço transverso V
• Momento flector M
5 - 3
Introdução
Vigas estaticamente determinadas e
estaticamente indeterminadas
5 - 4
Diagramas de Esforço Transverso e Momento Flector
• Para a determinação das tensões normais e
de corte, máximas, é necessário identificar
os locais onde ocorrem o momento flector
máximo e o esforço transverso máximo.
• Convenções para os esforços
transversos V e V’ e momentos
flectores M e M’
5 - 5
Convenção de sinais do Esforço Transverso e
do Momento Flector (resumo)
Convenção de sinais para
o Momento Flector M
e para o Esforço
Transverso V
Forças transversais
Momentos flectores
positivo negativo
5 - 6
Exemplo 5.1
Para a viga e carregamentos ilustrados,
desenhar o diagrama de esforço transverso e
momentos flectores e determinar a tensão
normal máxima devido a flexão.
5 - 7
Exemplo 5.1 (cont.)
kN14kN460;0 DBBy RRMF
• Seccionar a viga, imediatamente à esquerda ou
à direita das forças concentradas e, aplicar as
equações de equilibrio aos corpos livres
individuais:
00,0kN200
kN200kN200
111
11
dirA
y
MMxMxM
VVF
mkN505.2,0kN200
kN200kN200
222
22
esqB
y
MMxMxM
VVF
057kN,14
mkN2855kN,14
mkN2855kN,26
mkN5052kN,26
66
55
44
33
esq
C
C
B
MM.xV
MM.xV
MM.xV
MM.xV
dir
esq
dir
• Equilíbrio global:
x
5 - 8
Exemplo 5.1 (cont.)
• Identificar o esforço tranverso
máximo e o momento flector máximo:
mkN50kN26 maxmax BMMV
• Calcular a tensão normal máxima:
36
3
max
36
2
612
61
m1033.833
mN1050
m1033.833
m250.0m080.0
S
M
hbS
B
Pa100.60 6max
5 - 9
Relações entre Forças, Esforço transverso e Momento Flector
xwV
xwVVVFy
0:0
D
C
x
xCD dxwVV
wdx
dV
• Relação entre a força distribuída e o
esforço transverso:
xxwVM
xxwxVMMMMC
)(
02
:0
21
D
C
x
x
CD dxVMM
Vdx
dM
• Relação entre esforço transverso e
momento flector:
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Exemplo 5.5
Desenhar os diagramas de esforço
transverso e momento flector para
a viga representada.
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Exemplo 5.5 (cont.)
• Equilibrio global da viga para calcular as
reacções em C:
330
0
021
021
021
021
aLawMM
aLawM
awRRawF
CCC
CCy
• Aplicar a relação entre esforço transverso e a
força distribuída e desenhar o diagrama de
esforço transverso:
O resultado em C é compatível com o
equilibrio global.
wawV
a
xxwdx
a
xwVV
B
aa
AB
curva da abaixoarea
21
021
0
2
0
0
0
5 - 12
Exemplo 5.5 (cont.)
• Aplicar a relação entre o momento flector e o
esforço transverso e desenhar o diagrama de
momento flector:
203
1
0
32
00
2
0622
awM
a
xxwdx
a
xxwMM
B
aa
AB
323 0
061
021
021
aL
waaLawM
aLawdxawMM
C
L
aCB
O resultado em C é compatível com o
equilibrio global.
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Exemplo 5.4
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Projecto de Vigas em Flexão
• Escolher o perfil cuja secção garanta o módulo de
resistência à flexão superior ou igual a .
• Calcular a tensão normal máxima que ocorre onde o
momento flector é máximo:
fW
M
I
cMmaxmax
max
• A tensão normal máxima não deverá ultrapassar a tensão
admissível para o material em causa:
admf
adm
MW
max
min
max
minfW
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Exemplo 5.8
Uma viga em aço simplesmente
apoiada suporta os carregamentos
ilustrados. Sabendo que a tensão
admissível para o material é 160 MPa
seleccionar o perfil HEB que deverá ser
usado em segurança.
/m
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Exemplo 5.8 (cont.)
• Reacções em A e D:
kN0.52
kN50kN60kN0.580
kN0.58
m4kN50m5.1kN60m50
y
yy
A
A
AF
D
DM
• Diagrama de esforço transverso:
kN58
kN8
kN0.52
D
B
yA
V
V
AV
• O momento flector máximo ocorre
onde V = 0 ou x = 2.6 m.
kN.m6.67
,max
EAVcurvaabaixoareaM
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Exemplo 5.8 (cont.)
• Determinar o módulo de resistência à flexão
mínimo:
3336
max
min
mm105.422m105.422
MPa160
mkN6.67
adm
f
MW
• Escolha do perfil HEB: HEB-180
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Tensões de corte devidas ao esforço transverso
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Tensões de corte devidas ao esforço transverso
5 - 33
Tensões de corte devidas ao esforço transverso
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byh
byh
yh
yAyQ
2
2
42
1
222
1''
22
33
22
4
6
12
1
42
1
yh
hb
V
bbh
byh
V
tI
QV
Tensão de corte:
1º momento de área:
A
V
hb
V
hb
hV
2
3
2
3
4
6
3
2
max
Para a secção rectangular, a
tensão de corte máxima ocorre
em y=0:
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5 - 36
Secções normalizadas: IPE, HEA, HEB, etc.
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Alma Banzos
5 - 38
tI
QV
5 - 39
5 - 40
5 - 41
5 - 42