Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
CHƯƠNG 4
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
2 2 20 0 0 0 0 0 0 0
2 2
( , ) "( , ) 2 "( , ) "( , )
2
d f x y f x y dx f x y dxdy f x y dy
Adx Bdxdy Cdy
Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2 của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:
Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định dấu của vi phân cấp 2:
2 2 2 211 12 13 22 23 332 2 2d f a dx a dxdy a dxdz a dy a dydz a dz
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2 của hàm nhiều biến.
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Định nghĩa: Cho V là không gian vector n chiều trên R, hàm
xác định như sau: với mỗi
:V R
1 2( , ,..., )nx x x x V
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
211 1 12 1 2 13 1 3 1 1
222 2 23 2 3 2 2
233 3 3 3
2
( ) 2 2 ... 2
2 ... 2
... 2....................
n n
n n
n n
nn n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
a x
được gọi là dạng toàn phương trên V.
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương Ví dụ: Cho dạng toàn phương:
31 2 3
21 1 2 1 3
22 2 3
23
2 2 21 1 2 1 3 2 2 3 3
: , ( , , )
( ) 2 4 6
2
8
2 4 6 2 8
R R x x x x
x x x x x x
x x x
x
x x x x x x x x x
11a 122a132a 22a 232a 33a
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Định nghĩa: Cho dạng toàn phương2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
222 2 23 2 3 2 2
233 3 3 3
2
( ) 2 2 ... 2
2 ... 2
... 2....................
n n
n n
n n
nn n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
a x
khi đó, ma trận sau:
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Gọi là ma trận của dạng toàn phương
11 12 1
12 22 2
1 2
...
...... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a aa a a
A
a a a
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương Ví dụ: Cho dạng toàn phương
31 2 3
2 2 21 1 2 1 3 2 2 3 3
: , ( , , )
( ) 2 4 6 2 8
R R x x x x
x x x x x x x x x x
Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là:
2 2 32 1 13 1 8
A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:2 2 2
1 2 3 1 1 2 2 2 3 3( , , ) 6 3 4 5x x x x x x x x x x
1 3 03 3 2
0 2 5A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:
2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 3 7 3 8 10 8x x x x x x x x x x
3 4 54 7 45 4 3
A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận:
2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 5 4 6 2x x x x x x x x x x
1 2 32 4 1
3 1 5A
Khi đó, dạng toàn phương tương ứng là:
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Nhận xét: Xác định dấu của các dạng toàn phương sau:
.35)(
.432)(
.523)(
.8262)(
23
22
214
23
22
213
23
22
212
32312123
22
211
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxxxx
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Dạng chính tắc của dạng toàn phương
Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo
nna
aa
000............0...00...0
22
11
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
....)( 22222
2111 nnnxaxaxax Hay
Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng toàn phương.
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Lagrange (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 10 2 4 8x x x x x x x x x x
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3
2 2 21 2 3 2 3 2 3
2 2 21 2 3 2 3 3
( ) 2 10 2 4 8
( 2 ) 6 4
( 2 ) ( 2 ) 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
1 1 2 3
2 2 3
3 3
22
y x x xy x xy x
2 2 21 2 3( ) 2y y y y
Đặt
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 6 13 4 6 2x x x x x x x x x x
21( )x 22x 33x 2
22x 234x 2 310x x
2 2 21 2 3 2 3 2 3( 2 3 ) 2[ 2 5 ]x x x x x x x
2 21 2 3 2( 2 3 ) 2[( ) ]x x x x 3
52x 2
3174x
2 2 21 2 3 2 3 3
5 17( 2 3 ) 2( )2 2
x x x x x x 2 2 21 2 3
1722
y y y
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange:
2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 10 4 8 2x x x x x x x x x x
21 )(x
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Jacobi (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 2 4 6x x x x x x x x x x
132331212
A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
132331212
A
,2111 aD0 1,D 11 122
21 22
2 15,
1 3a a
Da a
Đặt
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
2 1 21 3 3 35,2 3 1
a a aD a a a
a a a
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương Nếu thì dạng toàn phương có dạng chính
tắc là:
23
2
322
1
221
0
1)( yDDy
DDy
DDy
2 2 21 2 3
2 5 35( )1 2 5
y y y y
,...2,1,0 iDi
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
§7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi:
2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 4 2 8x x x x x x x x x x
341422
121A
Recommended