08-11-05 © Roland Angst
8. Übungsstunde
Zeit: 13h-15hDatum: 6.11.08Raum: IFW B42
Linear Algebra HS08
08-11-05 © Roland Angst
Organisatorisches
■ Wechsel des Dozenten und Hauptassistenten■ Prof. Marc Pollefeys
▪ Vorlesung in Englisch
■ Roland Angst
08-11-05 © Roland Angst
Organisatorisches
■ Theoretische Aufgaben■ Behebe klar ersichtliche Fehler (Gegenprobe)
▪ Nicht einfach im Kommentar Rechenfehler erwähnen
■ Lösungsweg sollte klar ersichtlich sein
■ Praktische Aufgaben■ gesunden Menscherverstand einsetzen■ Nicht eingebaute Matlab-Funktion aufrufen um
eigentliche Aufgabe zu umgehen■ In Zukunft striktere Korrektur
08-11-05 © Roland Angst
Neue Übung (Serie 7)
■ Spätester Abgabetermin:■ 20. November 2008
■ 3 theoretische + 1 praktische Aufgaben
08-11-05 © Roland Angst
Repetition: Vektorraum
■ Nichtleere Menge mit zwei Operationen■ Addition:■ Skalare Multiplikation:■ Mit 8 Axiomen
▪ V1▪ V2▪ V3▪ V4▪ V5▪ V6▪ V7▪ V8
Skalarenkörper
08-11-05 © Roland Angst
Beispiele
■ Im Intervall [a,b] definierte, stetig reelle Funtionen■ Punktweise Addition
■ Punktweise skalare Multiplikation:
■ Im Intervall [a,b] m-mal stetig differenzierbare Funktionen
■ Polynome mit maximalem Grad m■ Details siehe später
08-11-05 © Roland Angst
Körper
■ Nichtleere Menge mit zwei Operationen■ Addition:■ Multiplikation:■ Mit 10 Axiomen
08-11-05 © Roland Angst
Definitionen
■ Linearkombination einer Vektormenge
■ Beispiel
08-11-05 © Roland Angst
Definitionen
■ Aufgespannter (oder erzeugter) Unterraum einer Vektormenge■ Menge aller möglichen Linearkombinationen
■ Beispiele■ Polynome vom max. Grad m
■ Spalten einer Matrix (siehe Aufg. 7.1 & 7.2.b)
08-11-05 © Roland Angst
Definitionen
■ Linear unabhängige Vektormenge
■ Linear abhängige Vektormenge
■ ist Linearkombination der restlichen Vektoren
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.1
■ Abhängigkeiten von Vektoren■ Linear abhängig?
▪ Nicht-triviale Lösung für
■ Errinnerung: Aufgespannter Unterraum einer Vektormenge
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.1
■ Abhängigkeiten von Vektoren■ Linear abhängig?
▪ Nicht-triviale Lösung für
▪ Rang von A < n Mittels Gauss-Elimination zu bestimmen
■ Linear unabhängig?▪ Rang von A = n (vollen Spaltenrang)
■ Erzeugend?▪ Jeder Vektor des Vektorraums lässt sich als Linearkombination des
Erzeugendensystems darstellen▪ Gleichungssystem hat Lösung für jede RHS
Rang von A = m (vollen Zeilenrang)
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.1
Linear unabhängig Rang von A = n (vollen Spaltenrang)
Linear abhängigRang von A < n (nicht triviale Lösungen)
ErzeugendRang von A = m (vollen Zeilenrang)
Basis reguläre MatrixRang von A = n
=
=
=
=
•
•
•
•
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.2
■ Unterräume■ Nichtleere Teilmenge U eines Vektorraums V die
bzgl. Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist
■ Ein Unterraum ist selbst auch ein Vektorraum
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.2
■ Wie zeigt man ob U ein Unterraum von V ist?■ Abgeschlossen bzgl. Addition■ Abgeschlossen bzgl. Skalarer Multiplikation
■ Beispiele■ Ist der Nullraum ein Unterraum?
▪ Falls ja, von welchem Vektorraum?
■ Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems
?▪ Beweis, Gegenbeispiel?
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.2
■ Aufgabe 7.2.a■ Zeige wieso Lösungsmenge eines inhomogenen
Gleichungssystems kein Unterraum ist
■ Aufgabe 7.2.b■ Zeige, dass ein
Unterraum ist.
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.3
■ = Vektorraum der Polynome vom maximalen Grad m
■ Addition
■ Skalare Multiplikation
■ Rein algebraische Definition■ Potenzen sind “Platzhalter”■ Dimension dieses Vektorraums?
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.3.a
■ Basis für Polynom-Vektorraum■ Erzeugend■ Linear unabhängig
■ Standardbasis■ Monome:
▪ Erzeugend▪ Linear unabhängig
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.3.a
■ Vektorraum:■ Mögliche Basis:■ Tipp: Satz 4.12
■ Jeder Vektor? ■ Wähle Monombasis
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.3.a
■ Zu zeigen■ Jedes Polynom in Monombasis impliziert eine
eindeutige Linearkombination bzgl. Basispolynomen der anderer Basis
■ ist bekannt in Monombasis▪ Einsetzen▪ Koeffizientenvergleich der Monomterme▪ Liefert Gleichungssystem für
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.3.b
■ Trivial, wenn 7.3.a gelöst…
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.3.c
■ Polynom in unserer Basis
■ Gegeben■ 4 Funktionswerte yi an 4 verschiedenen Stellen ti
■ 4 Bedingungen…
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.4
■ Matlab-Aufgabe■ Implementiere Vorgehen in Aufgabe 3.c in Matlab■ Für beliebig viele Basispolynome der gegebenen Form (d.h.
auch für mehr als m = 3)
■ 2 Funktionen■ a = interpol(t,f)
▪ A: Koeffizientent: Stützstellenf: Funktionswerte
■ f = eval_poly(a,t,tau)▪ A: Koeffizienten
t: Stützstellentau: Auswertestellenf: Funktionswerte
08-11-05 © Roland Angst
Aufgabe 7.4
■ Wie kann diese Polynombasis effizient ausgewertet werden?
08-11-05 © Roland Angst
Serie 6
■ Abgabe nächste Woche■ Fragen? ■ Probleme?
08-11-05 © Roland Angst
Vorlesung
■ Fragen? ■ Probleme?
08-11-05 © Roland Angst
Nachbesprechung Serie 4
■ Bestimme sodass orthogonal ist■ Mehrere Bedingungen an■ Sind alle erfüllt?
■ Fallunterscheidungen■
■ Komplexe Zahlen■ ■ x liegt auf Einheitskreis der komplexen Ebene
08-11-05 © Roland Angst
Nachbesprechung Serie 4
■ Matlab-Aufgabe■ Forward- und Backwardsubstitution■ Matrixprodukte anstatt Schleifen■ Gesunder Menschenverstand welche eingebauten
Matlabfunktionen verwendet werden können!
08-11-05 © Roland Angst
Nachbesprechung Serie 4
■ Individuelle Fehler■ Bei Unklarheiten zur LR-Zerlegung
■ Skript■ Mich fragen
■ Genereller Tipp■ Den Zug nicht abfahren lassen
▪ Lücken aufarbeiten um der Vorlesung folgen zu können