1
Autor: Mario A. Jordán
Fundamentos de Control Realimentado
NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2015. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la
Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones.
Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007
Clase 9-10-11 Versión 1 - 2015
Contenido
Diseños de Sistemas de Control
Reglas de diseño de Ziegler-Nichols
Estructura y dinámicas de controladores PID
Propiedades de un SC en estado estacionario
Definición de la propiedad “Tipo de Sistema”
Regla de Truxal
2
Estructura de un controlador PID
kP + kD s + kI1s
Ccl(s) = = kp (1+ TD s + )1s
kD
kP
TD =kP
kI
TI =
e
y
r u
-
kP e(t) + kD + e(t) dtdedt
kI 0
t
Forma industrial
TI
Ccl(s) = U(s) / E(s)
ControladorControlador PID
3
Tipos de controladores
e
y
r u
-kP e(t) + kD + e(t) dtde
dtkI0
t
Controlador PID
4
sTI
11s
= kp (1+ TD s + ) kP + kD s + kICPID(s) =
TI
1s
1s = kp (1+ ) kP + kICPI(s) =
= kp (1+ TD s) kP + kD sCPD(s) =
kPCP (s) =
kP e(t) + e(t) dtkI0
t
kP e(t) + kDdedt
kP e(t)
Controlador PI Controlador PD Controlador P
Estructura de un controlador PID
A veces es útil en diseños analíticos expresar la Función de Transferencia del controlador factoreada:
Ccl(s) = kPTD (s2+1/TDs+1/TDTI)
s
s=
kPTD (s+1/2TD (1+ 1-4TD/TI )) (s+1/2TD(1- 1-4TD/TI ))
= kPTD(s+z1)(s+z2)
s
s
xz1z2Configuración USUAL de
polos y ceros de un PID p=0
5
s
Ceros de un PDI con modificación de TD
Sean las expresiones analíticas del polo y de los ceros:
p = 0
x
TI=3, TD : variable
Derivador puro
6
kPs
TI
C(s)=
Controlador PI
z2= -1/2TD (1- 1- 4TD/TI )z1= -1/2TD (1+ 1- 4TD/TI )
z1= 0z2= 0
Derivador puro
TD
0
Sean las expresiones analíticas del polo y de los ceros:
s
TI
0
Ceros de un PDI con modificación de TI
TD=2, TI : variable
z2= -1/TD z1= 0x
Controlador PD
7
C(s)= kp(1+TDs)
Controlador oscilante de frecuencia infinita
p = 0 z2= -1/2TD (1- 1- 4TD/TI )z1= -1/2TD (1+ 1- 4TD/TI )
Controlador PD
kI
0
Los ceros de un PID son en general reales negativos
Ubicación válida de ceros en un PDI
Para un Ti muy chico, o para un TD muy grande, los ceros delPID pueden ser complejos
Vemos de las expresiones:
-TI - TI2-4TDTI
2TITD
z1 = -TI + TI
2-4TDTI
2TITD
z2 =
que para TD=TI /4, los dos ceros son dobles, reales y negativos,
y que sólo para TITD<0, al menos un cero es inestable. Este caso no puede darse pues en general TI>0 y TD>0.
Para TI= el controlador PID se convierte en un controlador PD con ceros en z2=0 y z2=-1/TD
Para TD= el controlador PID se convierte en un derivador puro.
8
Dinámica de un Controlador PID
e(t) = t 1(t)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
time
e(t) vs. u(t)
kp=11, kd=1, ki=10
-1; -10 s
x
kp=3, kd=1, ki=6.25
-1.52j s
x
kp=3,1 kd=1, ki=2
-1; -2 s
x
-1.5; -1.5 s
x
kp=3, kd=1, ki=2.25
kP + kD s + kI1s
Ccl(s) =
Respuesta súbita pues el PID tiene másceros que polos
9
Si e(t) crece uniformemente
Dinámica de un controlador PD
Término derivativo: TD 1(t)
Término Proporcional: t 1(t)con kp=1
e(t) = t 1(t)
TD
TD
C(s) = kp (1+ TD s)
u(t)
10
5 10 15 20 25
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
u(t) vs. e(t)
Propiedades de un Controlador PD
G(s)D (s) = kP + kD sY(s)R(s) U(s)E(s)
-
Aplicando el Teorema del Valor Inicial:
u(0) = lim s D(s) (R(s) -Y(s)) =s
Es decir, con una entrada r(t) escalonada, el PD reacciona con un valorinicial infinitamente grande que provoca la saturación de sus actuadores.
s R(s) =lim
s
D(s)
1+D(s)G(s)
lim
s s 1/s = D(s)
1+D(s)G(s)ya que G(s) tiene al menos un polo !
Sea D(s) con un cero y la planta con n-m > 0 (grado relativo +)
11
Alternativa de un Controlador PD
Aplicando el Teorema del Valor Inicial:
G(s)Y(s)R(s) E(s)
-
D (s) = kP + kD sU(s)
u(0) = lim s D(s) Y(s) =s
slim
s
D(s)G(s)
1+D(s)G(s)R(s) =
slim
s
D(s)G(s)
1+D(s)G(s)1/s = lim
s
D(s)G(s)
1+D(s)G(s)=
cte< si n-m={1,0}
0 si n-m>1
Para plantas con muchos polos y pocos ceros, u(0) es finito!
Una alternativa de diseño PD salva este problema indeseado:
12
Además la estabilidad no se modificó en este caso respecto al primero!
Especificaciones temporales para el diseño de PID’s
1 Tiempo de subida tr
2 Sobrepico Mp
3 Tiempo de sobrepico tp
4 Tiempo de establecimiento ts (para ±1% de tolerancia)
2’ Pico inverso Mpi
3’ Tiempo de pico inverso tpi
tr = 1.8
wn(promedio equivalente a =0.5 o sea q=30°)
Mp = e-pz / 1-z2 = e-p
/s d Mpidh(t)
dt= 0
tp = pwd
tpi h(tpi) = - Mpi
ts = 4.6
s(1%)
Muchos sistemas de control resultan oscilantes sub-amortiguados.
13
En muchos casos también pueden aproximarse a un sistema sub-amortiguado de segundo orden (ejemplo: 2 de sus polos son complejos conjugados dominantes y con coeficiente Ci de alto modulo.
jw
s
s
Diseño de PID’s en el plano complejo
CerosPID
PoloPID
CeroPlanta
Polo Planta
PoloPlanta
Los polos dominantes de la planta controlada se adentran en la región
de buena performance
14
FT de un SLC con controlador PID
La ecuación característica del sistema con un PID es:
KtG(s) =
Se observa que los 3 coeficientes nuevos son modificables por diseño!
Sea una planta de segundo orden:
Se deben usar métodos de diseño avanzados para definir kP, kD y kI
acorde a especificaciones temporales.
Si el sistema planta tiene un par de polos complejos dominantes con módulo |Ci| grande, vale la aproximación a un sistema de 2do orden!
15
Por ello se pueden localizar los 3 polos resultantes donde se desee.
tiempo
y(t), u(t)
0
0
PRIMER DISEÑO DE UN PID: Reglas de Ziegler-Nichols para Curva de Reacción
A
Sea un Controlador PID:
Pendiente R=A/
A e-sL
Planta: G(s) ts+1
r(t)
y(t)
1
16
Punto de inflexión
tL
Recta tangenteRespuesta de la aproximación
CURVA DE REACCIÓN
y una planta real sin modelo a la cual se la excita con un escalón unitario.
Tomamos ese modelo aproximado para diseñar un controlador PID
R= A/t =1/90
L= 13
t=90 s 5013 s
Sea la siguiente curva de reacción de un Intercambiador de Calor,la cual fue medida en un experimento excitando a la planta con 1(t)
Curva de Reacción - Ejemplo
Buscamos un punto de inflexión y trazamos la línea tangente hasta cortar el eje de tiempo
Estimamos en el periodo de tiempo desde el instante cero hasta el instante de corte
Luego buscamos una constante de tiempoequivalente a un sistema de primer orden
Planta: G(s) e-13s
1+ 90s
17
Diseño de Controladores P-PI-PID según Ziegler-Nichols
Para un Controlador P, la regla de ZN dice:
Para un Controlador PI, la regla de ZN dice:
kp = 1/RL = 6.92
kp = 0.9/RL = 6.22 Ti = L/0.3 = 43.3
Para un Controlador PID, la regla de ZN dice:
kp = 1.2/RL = 8.3 TD= 0.5 L = 6.5 Ti = 2L = 26
18
Notas sobre las Reglas de Ziegler-Nichols
o No es necesario estimar a la planta, se mide su respuesta al escalón únicamente
o La configuración de polos y ceros del modelo posee una función exponencial e-sLt que no es racional, y es de orden infinito. Se la puede aproximar por Circuitos de Padé de orden finito.
o La familia de plantas válidas a las que se les aplican las Reglas deZ-N son en general todas las que tienen sólo polos reales negativos, sin importar cuan alto sea su orden de la ODE
o Por ello la FT del sistema es desconocida. Aunque sí se puede obtener una estimación del modelo a través de su curva de reacción
o Quedan excluidos de la aplicación los sistemas oscilantes subamortiguados, los que poseen sobrepico debido a ceros, los inestables y los de fases no-mínima
19
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.2
1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Planta: G(s) e-sL
ts+1
Respuesta original
Respuestas de Padécon órdenes 1, 2, 3, 8 y 15
Planta con Circ. de Pade’s de distintos órdenes20
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
L =1 seg
=1 seg
zoom
L =1 seg =1 seg
1
Padé con distintosórdenes
32 8 16original
Objetivo: reemplazar la función e-Ls con una función de transferencia
jw s
s-0.011
-1/t
DcG(s) A kPe-sL
ts+1+kP
e-sL 1 - Ls/2 + (Ls)2/12 1 + Ls/2 + (Ls)2/12
con:
Aproximante de Padé de 2o orden
Polo conjugadode Padé
Cero Conjugado de Padé
Planta Aproximada con Controlador P
FT de LA del sistema de con un P:
21
kp
0
>kp3kp1>kp2 >kp4>kp*
0.2308 0.1332i-0.2308 0.1332i
: Polos de lazo cerrado
-
Con ayuda de Simulink se puede simular numéricamente una planta con una FT dada por su aproximación de la Curva de Reacción y un retardo puro exacto (sin aproximar por Padé).
Sea:
kP
Y(s)R(s) UE
-
Curva deReacción
Performance del Sistema de Control P
Mp
esscon kp
kp=9kp=8kp=6.92kp=6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
tiempo
1.8
2.0
ess
Pero ess no es cero!
22
A menos que kp sea crítico
con kp
salida controlada P
referencia escalón
kp=11.5*
-1/t
jw s
s
e-sL 1 - Ls/2 + (Ls)2/12 1 + Ls/2 + (Ls)2/12
con:
Planta Aproximada y Controlador PI
Aproximante de Padé de 2o orden:
DCG(s) kp(Ti s + kp) A e-sL
(tTi s2 + Ti s)
-1/TI
FT de LA del sistema de control PI:
23
kp
0
: Polos de lazo cerrado
Ti=10
-
kP(1+s/TI)
Y(s)R(s) UE
-
Curva deReacción
Sea:
Performance del Sistema de Control PI
kp*2kp/2 TI/2kp y TI originales TI*2
tiempo
16020 40 60 80 100 120 140
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
con kpMp
ess = 0 siempre
y con Ti(y viceversa)
24
Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID
retraso correctivo por lasaturación efectuadaa la acción de control
Origen del fenómeno de Wind-Up
25
e(t) dt1
TI
Máximo
Umax(t)
tiempo
e(t)
uI(t)
tiempo
Cruce por cero
saturación
Cruce por cero
0
t
Aquí empieza el término integral acorregir el error negativo
Aquí empieza el término integral acorregir el error negativo
Corrección Anti-Wind-Up en SC PI o PID
Polo s=0
Intensidad de la corrección integral: ki
26
Para kI muy alto, la acción integral puede crecer desmesuradamente,tal que cuando se produce un cambio de signo del error, la integral tarda un tiempo largo en cambiar su signo.
Esta situación demora la acción correctiva del error.
Esta situación se acentúa cuando existe una saturación de la acción de control.
Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID1er Método Anti Wind-Up
GI= s + kI Ka
kI Polo s = -kI Ka
Cuando existe saturación, cambia la ganancia en la realimentación de cero a Ka
27
Es decir, para uI baja se reduce el valor de la integral del error segun kI /s. Si este valor supera umax se crea una “fuga” en la integral para
reducir la acumulación del error.
Saturación: salvaguarda de los actuadores en la planta
De kI/s se pasa a:
PI c/AWUjw
s
Alternativa para implementación del Método Anti Wind-Up
Fenómeno de anti Wind-Up en SC PI o PID
-Ka kI-kI / kP
28
u
Cuando NO existe saturación: Ka (u-u)=0Cuando SI existe saturación:
GI= s
kp s + kI
PI s/AWU
Diseño de un Controlador PID con Métodode la Sensitividad Límite
G(s)D (s) = kP + kD s + kI1s
Y(s)R(s) UE
-
G(s)=K
(s+1)4
Planta típica de un proceso de alto orden
Y sea la planta (desconocida) y que para los fines del análisis es:
29
Son Reglas alternativas a las de Zigler-Nichols, sin embargo en lugar de una Curva de Reacción, se ejecuta el diseño de un PID (PI o P) mediante un experimento real en planta que consiste en llevar la planta controlada a su límite de estabilidad
Sea un sistema de control PID a diseñar:
Diseño de un Controlador PID con Métodode la Sensitividad Límite
kPY(s)
R(s) UE
-G(s)
Se adopta una r(t) acotada de baja energía: puede ser un tren de pulsos, por ejemplo, de amplitud max r(t) = 5% max y(t) permitida
30
Para dicha planta real desconocida se instala un controlador proporcional en un lazo de control:
Se comienza a subir la ganancia kp suavemente, por ejemplo en forma escalonada con un periodo por escalón mayor al tiempode establecimiento ts de la planta
Cuando la escalera de kp(t) llega a un valor para el cual la salida y(t)oscila en forma permanente (kp crítica), el proceso se detiene.
0 5 10 15 20
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Pu= 6.35
kp=ku=4
Sintonización de un Controlador PID31
Salida de la planta controlada con ganancia crítica
Ganancia crítica
Periodo deoscilación Planta: G(s)=
K
(s+1)4
Controlador P: ku = 4
jw
s-1 -0.19
PI jw
s-1
P jw
s-1
-0.67
-0.59
PID
Sintonización de un Controlador PID
00
5 10 15 20 25
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
kp=0.6 ku= 2.4
TI=0.5 Pu= 3.175
TD=1/8 Pu= 0.79
kp=0.45 ku=1.8
TI=Pu/1.2= 5.29
kp=0.5 ku= 2.0
ess
Finalmente, analizamos tr, tp, Mp, ts y luego ess
32
Con dichos parámetros (ku y Pu) se aplican las siguiente reglas:
Si no son los deseados, resintonizamos manualmente,
Respuestas de la planta controlada
por ejemplo: bajando Mp con kp TI TD
Supóngase el siguiente sistema dinámico (planta o proceso):
G(s)= 2/(s3+6s2+9s+3)
s3+6s2+9s+2 kp +3=0
T(s)=2kp/(s3+6s2+9s+2 kp +3)y un controlador proporcional de ganancia kp. La FT de LC es:
Estabilidad: entonces sabemos que la ganancia cumple: 25.5 > kp > -1.5 con 2 ganancias críticas en los límites del intervalo
La ecuación característica es:
s3 1 9s2 6 2 kp +3s1 (6*9-(2 kp +3)/6 0s0 2 kp +3 0
Por Criterio de Routh se tiene:
Aplicación del Método con Modelo33
acción de control u
2
den(s)
FT de la Planta Fcn
y
Registro Y
kp
Registro K
Saturación
Salida y
1s
IntegradorGenerator de pulsos
Ganancia kp
Controlador P
1
escalón
Ejemplos de Aplicación con Matlab34
Asumamos desconocer las ganancias críticas y que solo nosinteresa una ku positiva
Supongamos que no tenemos un modelo de la planta, sólo la planta real a disposición. Aplicamos el Método de Sensitividad
Diagrama en Simulink
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
5
10
15
20
25
30
Ejemplos de Aplicación con Matlab35
Incremento escalonado de la Ganancia kp
1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600
21.5
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
25.5
26
Zoom de la Ganancia kp
cerca de su valor crítico ku
Ku=25.45
Por Criterio de Routh: Ku=25.00
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Ejemplos de Aplicación con Matlab
Evolución de la salida controlada y(t) del sistema dinámico ante una ganancia variable
36
1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600
0.934
0.936
0.938
0.94
0.942
0.944
0.946
0.948
0.95
0.952Zoom de la evolución del
sistema dinámico
Nivel de la evolucióntemporal donde se observa
una oscilación auto-mantenida
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Pu=2
ku=25.4
Ejemplos de Aplicación con Matlab37
Respuesta del sistema de control con ganancia crítica
Propiedades de un Sistema de Control en
Estado Estacionario
FCR Mario Jordán38
Propiedades de Estado Estacionario (ss)
Hy sale como 1/Hy afuera del lazo. Se supone luego Hr1=Hr / Hy.
Nos queda entonces:
39
También Hy es absorbida el controlador en el camino directo y queda como Dcl Hy=D.
Propiedades de Estado Estacionario (ss)
E’ U
Definimos el error entre R e Y, es decir E = R - Y, y vale:
40
Propiedades de Estado Estacionario (ss)
E(s)
S =
T =1 - S =
E = S R - S G W + T V
E = S R - S G W + (1- S ) V
Función de Sensitividad
Función de Sensitividad Complementaria
41
S + T = 1
la Función de Transferenciade Lazo Cerrado
La Función de Sensitividad Complementaria es igual aFunción de Sensitividad Complementaria
V(w)
Propiedades de Estado Estacionario (ss)
E = S R - S G W + (1 - S) V
w
Ganancia frecuencial (Función de Transferencia de Fourier)
1
R(w)
T =1-S =Gcl
W(w)
Excelente performance y buen rechazo al ruido y a las perturbaciones !
G/(1+DG)W
S
42
S + T = 1
con S = 1 / (1 + DG) y T = Gcl= DG / (1 + DG)
¿Cómo debería ser el controlador para ofrecer buena performance y simultáneamente buen rechazo al ruido y a las perturbaciones?
Tipo de Sistema de Control
FCR Mario Jordán43
NOTAS PRELIMINARES
El TIPO de SISTEMA de CONTROL es un concepto ligado al estado permanente de un sistema controlado y no a su estabilidad
44
El TIPO de SISTEMA de CONTROL se mide con un número entero mayor o igual a cero, ejemplo: 0, 1, 2, 3,…
Mientras más alto es el TIPO de SISTEMA de CONTROL tanto mejor será la precisión del sistema controlado en estado estacionario
En el TIPO de SISTEMA de CONTROL intervienen tanto ladinámica de la planta como la del controlador
La herramienta básica para calcular el TIPO de SISTEMA de CONTROL es el Teorema del Valor Inicial
Error de Estado Estacionario (ess)El error de control e(t) puede tomar un valor asintótico a una constante (que puede ser cero o no) o bien tender a un valor infinito a medida que transcurre el tiempo
1
1+D(s)G(s)ess = e () = lim s
s 0R(s)
Ahora bien, R(s) puede ser, entre otras, un escalón, o una rampa, o una señal cuadrática, etc., y en general un polinomio de grado t
k
t
r(t)t2
1(t)t 1(t)
1(t)
t3 1(t)
Escalón R(s)=1/s
Rampa R(s)=1/s2
Parábola R(s)=1/s3
Polinom. t k R(s)=1/sk+1
...
45
Este valor asintótico dependerá no sólo de la entrada R(s) sino también de las dinámicas de la planta G(s) y del controlador C(s).
Por el Teorema del Valor Final:
Veamos.
Tipo de Sistema - DefiniciónSe define TIPO DE SISTEMA al grado del polinomio necesario de la señal r(t) para que el ess sea una constante finita y distinta
de cero. Supongamos una familia de señales r=t
0=1, r=t1=t, r=t 2, …
Señal parabólica
Señal rampa
Señal escalón
Entonces este sistema es de TIPO CERO
s1
1+D(s)G(s)
1s =
1
1+D(0)G(0)
1
1+Kp
= 0 y < (>- ) e () = limess=s 0
ss 0
1
1+D(s)G(s)
1
s3 = 1
1+Kp
= 1s2
e () = limess=lim
s 0
1 1 ss 0 1+D(s)G(s) s2 = =
1s
e () = limess= lims 0
1
1+Kp
Sea por ejemplo un sistema tal que con una:
46
Kp es finita
Tipo de Sistema
Contemplemos otro conjunto planta y controlador DG(s) tal que:
Para una familia de señales r=1, r=t, r=t 2, … se cumple lo que sigue:
Señal parabólica
Señal rampa
Entonces este sistema es de TIPO UNO
Señal escalón e () = lim ss 0
1
1+D(s)G(s)
1s =
1
= 0 ess=
e () = lim ss 0
1
1+D(s)G(s)
1
s3 = 1
Kv
= 1s
ess= lims 0
e () = lim ss 0
1
1+D(s)G(s)
1
s2=
1Kv
0 y < (>- )ess=
Sea por ejemplo un sistema tal que con una:
47
D(0)G(0) es infinito
0 D(0)G(0)=Kv es finito
Tipo de Sistema
Contemplemos otro conjunto planta y controlador DG(s) tal que:
Para una familia e señales r=1, r=t, r=t 2, … se cumple lo que sigue.
Señal parabólica
Señal rampa
Señal escalón1 1
s1
ss 0 1+D(s)G(s)
= = 0 e () = limess=
ss 0
1
1+D(s)G(s)
1
s2 = 1
= 0 e () = limess=
ss 0
1
1+D(s)G(s)
1
s3 = 1
Ka
0 y < (>- ) e () = limess=
Entonces este sistema es de TIPO DOS
Sea por ejemplo un sistema tal que con una:
48
D(0)G(0) es infinito
0 D(0)G(0) es infinito
02 D(0)G(0)=Ka es finito
Resumen: Tipo de Sistema
Kp : cte. de error de posición
Kv : cte. de error de velocidad
Ka : cte. de error de aceleración
49
Según las ecuaciones de ess para definir el tipo de sistema, resulta:
Tabla: error de estado estacionario vs tipo de sistema
Ejemplos: Tipo de Sistema CERO
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 10 15 20 250 tiempo
Respuesta a la parábola
ess=
ess=
Respuesta al escalón unitario
Respuesta a la rampa
50
e(t) creciente
e(t) crecienteess=1/(1+Kp)
Ejemplos: Tipo de Sistema UNO
ess=cte=1/Kv
Respuesta a la rampa
ess=0Respuesta al escalón unitario
5 10 15 20 25 300
5
10
15
20
25
0 tiempo
51
e(t) creciente
Recta asin
tótica
Par
ábol
a as
intó
tica
ess=
Respuesta a la parábola
Ejemplos: Tipo de Sistema DOS
ess=0
Respuesta al escalón unitario
Respuesta a la rampa
ess=0
ess=cte=1/Ka
Respuesta a la parábola
00
1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
12
14
16
tiempo
52
Resumen: Error de Estado Estacionario
E = S R = (1-T ) R donde:
S =
T =1 - S =
Si R(s) es polinómica (constante 1(t), rampa t 1(t), parábola: t2 1(t), etc.)
1+D(s)G(s) sk+1E(s) =
1
1+D(s)G(s)R(s) =
1 1
Para entradas r(t) de grado menor que k, la precisión es ideal, o sea ess=0
ss 0
1
1+D(s)G(s)
1sk+1 =
1sk e () = limess= lim
s 0
1
1+D(s)G(s)=cte0
53
Para un sistema tipo k, ocurre que:
(cte. jerk)
Primer ejemplo
¿Qué tipo de sistema es?
Rta: Probamos ordenadamente con R=1/s, R=1/s2, R=1/s3, etc.
Con R=1/s llegamos a:
Kv = lim s DG(s) = KkI s 0
s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs)ess = lim
s 0
= 0s(t1s+1)(t2s+1)
Y con R=1/s2 llegamos a:s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs)
ess = lims 0
=(t1s+1)(t2s+1) 1
KkI
El TIPO es 1 y la cte. de velocidad es:
54
ControladorPlanta
YR UE
-
K
(t1s+1)(t2s+1)skP+kI
s
PI
Segundo ejemploControlador Planta
kP+kDsYR UE
-
K
s(t1s+1)(t2s+1)
¿Qué tipo de sistema es?
Rta: Probamos ordenadamente con R=1/s, R=1/s2, R=1/s3, etc.
Con R=1/s llegamos a:
Kv = lim s DG(s) = Kkp s 0
s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs)ess = lim
s 0
= 0s(t1s+1)(t2s+1)
Y con R=1/s2 llegamos a:s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs)
ess = lims 0
=(t1s+1)(t2s+1) 1
Kkp
El TIPO es 1 y la cte. de velocidad es:
55
PD
Tercer ejemplo
¿Qué tipo de sistema es?
Es de tipo 2. Probarlo.
56
Cuarto ejemplo
¿Qué tipo de sistema es?
Es de tipo 3. Probarlo.
Control de orientación de un satélite con un controlador PID
Controlador Planta
YR UE
-
K
s(t1s+1)skP+kI
s
PI
Si R=V=0, queda:
Tipo de Sistema para las Perturbaciones
E(s)
WControlador Planta
D(s)YR UE’
-G(s)
V
+
+
+
+
+
Y = - E = S GW = = G(s)
1+D(s)G(s)
1sk+1
G(s)
1+D(s)G(s)W(s)
ss 0
G(s)
1+D(s)G(s)
1sk+1 =
1sk y () = limyss= lim
s 0 1+D(s)G(s)=cte0
G(s)
57
Sistema de tipo k para el rechazo a las perturbacionesV(w)
R(w)
T =1-S =Go
w
Ganancia frecuencial (Módulos de las Transformadas de Fourier)
Y(w)
SG WG
W(w)
S1
Ejemplos de SC con dos entradas
¿Qué tipo de sistema es respecto a perturbaciones de planta w(t)?
Rta: Probamos ordenadamente con W=1/s, W=1/s2, W=1/s3, etc.
Con W=1/s llegamos a:
KP = lim D(s) = kP s 0
El TIPO es 0 y la cte. de posición es:
Controlador Planta
kP+kDsYUE
-
K
s(t1s+1)(t2s+1)
W
R
s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs)yss = lim
s 0
=K 1
kP
Este ejemplo es el caso del Servomotor con un controlador P o PD !A la entrada R, el sistema es de tipo 1, y a la entrada W, es de tipo 0
58
PD
Otro ejemplo de SC con disturbio
¿Qué tipo de sistema es?
Rta: Probamos ordenadamente con W=1/s, W=1/s2, W=1/s3, etc.
Con W=1/s llegamos a:
Kv = lim sD(s)= kI s 0
Y con W=1/s2 llegamos a:s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs)
yss = lims 0
=K 1
kI
El TIPO es 1 para W(s) y la cte. de velocidad es:
Controlador Planta
kP+kI/sYUE
-
K
(t1s+1)(t2s+1)
W
s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs)yss = lim
s 0
= 0s K
59
PI
y de TIPO 1 para la entrada R(s) y la cte. de velocidad es: Kv=KkI
Ejemplo: Satélite con disturbio de orientación
Controlador Satélite/orientación
kP+kDsYUE
-
K
s2
W (carga de viento solar)
1+D(s)G(s)Y = - E = S G W = =
G(s)W(s)
K
s2+KkDs+KkP
W(s)
Para W(s)=1/s : yss=y()=1/kP Sistema TIPO 0 para W(s)
KP = lim D(s) = kP s 0
Y la constante de error de posición es:
Para una entrada de referencia R, el sistema es de TIPO 2 (probar!)
60
PD
Sin embargo, este sistema de control es inestable para todo kP y kD
Ejemplo: Satélite – Control PID de orientación
Controlador Satélite/orientación
kP+kDs+kI/sYUE
-
K
s2
W
Y = - E = S GW = = G(s)
1+D(s)G(s)W(s)
sK
s3+KkDs2+KkPs+kI
W(s)
Para W(s)=1/s2 : yss=y()=1/kI Sistema TIPO 1 para W(s)
Kv = lim s D(s) = kI s 0
Y la constante de error de posición es:
61
PID
En cambio para la entrada R el sistema de control es de grado 3
Formula de Truxal: Sistemas TIPO UNO
La mayoría de los sistemas de control son de tipo 1.
La razón de esto yace en el deseo de que la performance de los sistemas de control tengan ess cero a una r(t) escalonada
Además ésta es una propiedad robusta, es decir, por másque varíen los parámetros de la planta, el TIPO es invariante
Existe una forma de hallar el error de estado estacionario rápida-mente si se conocen los polos y ceros de la FTLC: DG/(1+DG), es decir, si se quiere que por diseño estos sean de un valor particular
Esta forma de cálculo se denomina Fórmula de Truxal
62
Lo mismo vale para el ess en el rechazo a una perturbación en sistemas de tipo 1, es decir, si se conocen los polos y ceros de: G/(1+DG), es posible calcular rápidamente este error.
Fórmula de Truxal
La FTLC es:1+DG
DG K (s-z1)…(s-zm)
(s-p1) (s-p2)…(s-pn)=Tlc(s) =
El error e(t) a una r(t) rampa:
ess= lim s(1-Tcl)/s2
s 0
= lim (1-Tcl)/ss 0
0
0=
Regla de L´Hospital
Como Tcl(0)=1, entonces vale:
= - lim s 0 ds
essd
ln Tcl
s 0
dTcl
ds- lim 1
Tcl
ess=
1+DG 1+DG
DG1 -
1
s2E(s) = =
1 1
s2
= - lims 0 ds
dln K (s-z1)…(s-zm)
(s-p1) (s-p2)…(s-pn)=
1
Kv
Si se asume el TIPO 1 y esto implica Tlc(0)=1, pues r()-y()=0,
dTcl= - lims 0 ds
1
Kv
=
63
Fórmula de Truxal
ess = - lims 0 ds
dln
K (s-z1)…(s-zm)
(s-p1) (s-p2)…(s-pn)=
ess = - lims 0 ds
dK + ln (s-zi) - ln (s-pi) =
m n
ess = -
s=0ds
d lnTcl(s)=
m n
- 1zi
1pi
=1
Kv
Para un sistema de control, los pi son estables, por lo que su parte real es negativa.
64
Si los ceros son estables, KV será tanto más grande (más precisión) si ambos grupos de polos y ceros tienen sumas inversas similares
Diseño con la Fórmula de TruxalSupongamos el siguiente sistema de control PI
El sistema es de tipo 1 respecto a r(t)
(s+3) (s+1)2R
Controlador Planta
(s+2) / sYUE
-
Se quiere que el sistema posea una constante de error de velocidad Kv=10
s
s
jw
Polo Planta
Polo Planta
65
Si se calcula la Kv del actual lazo, sedesprende :Kv=lim [(s+2) (2/(s+3)(s+1)] =1,33
s 0
Para ello se propone relocalizar el cero del PI
Cero PIPolo PI
Polo delazo cerrado
Polo delazo cerrado
Polo delazo cerrado
Diseño con la Fórmula de TruxalEl cero que se relocaliza varía también los polos del sistema de lazo cerrado, por lo que hay que verificar la performance resultante
p1 = -3.2695 p2 = -0.3652 + 0.6916ip3 = -0.3652 - 0.6916i
El cero se provee desde el controlador PI. Este adapta el seguimiento de una rampa con un menor error de velocidad.
66
s
s
jw
Cero PI
Polo FTLC
Polo FTLC
Polo FTLC
z
La función de transferencia de lazo cerrado tiene 3 polos:
Diseño con la Fórmula de Truxal
Se emplea la Formula de Truxal para sintonizar este cero:
1Kv
Cero del PI: z = - 0.7143
Resultado:
= - -0.3652 + 0.6916i
1 --3.2695
1= 0.1
-0.3652 - 0.6916i
1 -1
+z
67
s
s
jw
Polo del PI
Cero FTLC
Polo FTLC
Polo FTLC
Polo FTLC
z
-0.7143
Diseño con la Fórmula de Truxal
ess= 0.66 (sistema sin cero adicional)
0 10 20 30 400
10
20
30
40
ess= 0.1 (sistema con cero adicional)
t
Sistema sin cero
1Kv
1Kv
Sistema con cero
68
69
=3.9L=1.5
Ejemplos de diseño con las Reglas de Ziegler-Nichols
70
2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0
A=1.5
R=A/=0.384
RL=0.577
kp = 1.2/RL = 0.866 TD= 0.5 L = 0.750Ti = 2L = 3.000
PID según Ziegler-Nichols: