03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 1
1. Reguladores Clásicos 1. AJUSTE DE PIDS .................................................................................................... 1
1.1. PORQUÉ REALIMENTAMOS ........................................................................................ 2
1.1.1. Estructura estándar de un PID ......................................................................... 5
1.1.2. Efecto Antireset Windup up ............................................................................. 21
1.1.3. Efecto Bumpless ............................................................................................... 27
1.2. AJUSTES CLÁSICOS DE PIDS ................................................................................... 30
1.2.1. Ajuste Empírico Manual .................................................................................. 31
1.2.2. Método de Ziegler-Nichols (1942) ................................................................. 32
1.2.3. Relación entre ambos métodos: ...................................................................... 36
1.2.4. Método de Asignación de Polos. ..................................................................... 40
1.3. CONTROL CON MODELO INTERNO (IMC) ............................................................... 45
1.3.1. Paradigma de diseño para IMC ...................................................................... 73
1.3.2. Diseño de F ...................................................................................................... 74
1.3.3. Realización del Controlador IMC ................................................................... 79
1.3.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden ......................................... 81
1.4. AJUSTE ITERATIVO EN LAZO CERRADO (IFT) ........................................................ 88
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 2
1.1. Porqué Realimentamos
u
Rr G
y
v
e
u
Rr G
y
v
e
G
G
+
−
+
+
+
+
+−
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 3
u
Rr G
y
v
e
GG
+
−
+
+
+−
+
u
R′r
G
y
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 4
Acciones más comunes de control Control de dos posiciones Control proporcional Control Integral Control Derivativo
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 5
1.1.1. Estructura estándar de un PID
Ideal (de libro)
uipKr
y
e+
−
+
++
iiK
idK
( )e t dt∫
( )de tdt
i i ip i d
deu K e K edt Kdt
= + + ∫ [1.1]
ipK : Ganancia proporcional [unidades de salida / unidades de entrada].
100ipK Banda proporcional
iiK : Ganancia integral (reset) [repeticiones/seg] idK | : Ganancia derivativa (rate) [segundos]
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 6
Banda Proporcional
[ ]max %u
[ ]min %u
[ ]min %e [ ]max %e
pK
100
p
BPK
=
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Ganancia Integral – Tiempo Integral – Reset Time – Repeticiones
i1
ii
TK
=
pK
i2T i3T 1 minuto
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 8
Modelo Paralelo (sin interacción)
u
ppK
r
y
e+
−
+
++
piK
pdK
edt∫
dedt
p p pp i d
deu K e K edt Kdt
= + +∫ [1.2]
Ojo con las unidades!
PID con acción velocidad o incremento ude
dtr
y
e+
−PID edt∫
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 9
Acción Directa o Inversa u
r
y
e+
−PID
ur
y
e
+−
PID
Variantes
ur
y
e+
−PID
ur
y
e+
−
+
+PI
D
ur
y
e+
−
+
+I
PD
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 10
Función de Transferencia del PID i i ip i d
deu K e K edt Kdt
= + + ∫ [1.3]
( ) ( ) ( ) ( )1i i ip i dU s K E s K E s K sE s
s = + +
[1.4]
( )( )
11i i ip i d
U sK K K s
E s s = + +
[1.5]
( )( )
( )2i i ip i dK K s K sU s
E s s
+ += [1.6]
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 11
Discretización La mayoría de los controladores son digitales.
( )10
kd
k p k j k kji
TT = k e e e e u T T −=
+ + −
∑ (1.7)
( )k-1
k-1 k-2j dk-1 p k-1 ij=0
= + e eu k e k e k + -
∑ (1.8)
( ) ( )k k-1 p i d k d k-1 d k-2 - = 1 + + - 1 + 2 + u u k k k e k e k e (1.9)
Como Función de Transferencia, resulta 1 2
0 1 211
k
k
b b z b zue z
− −
−
+ +=
− (1.10)
con ( )( )
0
1
2
p i d
p d
p d
b 1 + + k k kb 1 + 2 k kb = k k
=
= − (1.11)
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 12
Acción Proporcional Acción más intuitiva Para error cero se tiene actuación cero. Puede tener error en régimen estacionario Alta ganancia, bajo sesgo o error No introduce desplazamientos de fase (eso es bueno - se verá más adelante) Ejemplo: sea un sistema de primer orden
AY(s) = U(s)1 + sT
(1.12)
Si se lo realimenta con un regulador P resulta pp
p
p
p
K AK A1 + K A1 + sY(s) = R(s) = R(s)K A 1 + s1 + 1 + K A1 + s
ττ
τ
(1.13)
La constante de tiempo en lazo abierto es τ y en lazo cerrado es 1 pK Aτ
+
Al aumentar K el sistema se hace más rápido.
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 13
La ganancia en lazo abierto es A y en lazo cerrado 1p
p
K AK A+
A medida que pK aumenta, la ganancia tiende a uno, objetivo buscado en el control.
Solo con pK = ∞ llegaríamos a ganancia uno
El error permanente es 11 p
r yK A
ε = − =+
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 14
Ejemplo:
ur
y
e+
− +
+pK
BIAS
TanqueL
,e eV Q
sQ
z
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 15
Caso 1: 50% 50% 50% 50%eV r y BIAS= = = = [1.14]
entonces 0 0 50% e se z u BIAS V V= = = = = [1.15]
e sQ Q y r= = [1.16]
Caso 2: 60%eV = [1.17]
y e z u↑ ↑ ↑ ↑ [1.18]
se debe lograr que e sQ Q= o sea 60%eu V= = [1.19]
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 16
En este caso no se logra y r= porque, 60%
10%10 0
e
p p
u Vz u BIAS
zeK K
= == − =
= = ≠
[1.20]
10% 50%p
y e rK
= + = + [1.21]
Para 1 60% 10%pK y d= = = [1.22]
10 51% 1%pK y d= = = [1.23]
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 17
El desplazamiento es proporcional a 11pK +
El BIAS se ajusta para compensar el desplazamiento promedio. Se hace BIAS = actuación promedio En muchos casos se fija BIAS = 50% BIAS se puede usar para rechazar una perturbación promedio Notar que la acción de control es proporcional y negativa con respecto al error
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 18
Acción Proporcional + Integral Recupera el desplazamiento
zy
tiempo
%
r
Lazo Abierto
La acción integral aumenta el tiempo de respuesta del sistema Lo inestabiliza Introduce un retardo en la fase (es malo)
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 19
Acción Proporcional + Derivativa
zy
tiempo
%
r
Lazo Abierto
z
y
tiempo
%
r
Lazo Abierto
zy
tiempo
%
r
zy
tiempo
%
r
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 20
Aumenta la velocidad de respuesta del sistema No corrige desplazamientos permanentes Introduce avance de fase (bueno). Puede corregir el retardo del I Es anticipativo Altas acciones de control. Bueno para sensores lentos Alta ganancia a altas frecuencias. Amplifica ruido Malo para plantas de no mínima fase (péndulo invertido)
frecuencia
t∂∂
Derivador Ideal
Solo se necesita la acción derivativa hasta cierta frecuencia Se utiliza un pasa bajos para anular la acción a altas frecuencias
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 21
fdedt
udK
e pasabajos
frecuencia
t∂∂
Derivador Ideal
pasa bajos
efecto totalcf
[ ]1 12cf Hzπ γ
= [1.24]
en muchos controladores comerciales (SPEC-200, Bailey FC-156) existe este ajuste
0,1 0,2 dKγ = [1.25]
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 22
1.1.2. Efecto Antireset Windup up (el malo de la película es la Integral)
u
KTds-y
1/s
Actuador+
+
e v
+pK
iK
e: curva roja v: curva verde u: curva azul Se produce un retardo no deseado en la acción de control (de aproximadamen-
te 170 segundos)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-50
0
50
100
150
200
250
300
350
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 23
u
KTds-y
es
u
K
K/Ti 1/s
Actuador
1
iT
-
+
+
+
e v
+
+
+
u
KTds-y
es
u
K
K/Ti 1/s
1
iT
-
+
+
+
e v
+
+
+
ActuadorModelo
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 24
Con anti windup se obtiene e: curva roja v y u: curva verde
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-20
0
20
40
60
80
100
120
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 25
Comparación e: curva amarilla v sin antiwindup: curva verde u sin antiwindup: curva azul u y v con antiwindup: curva violeta
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 26
Otra forma de implementarlo
11 1
i
sK
+
pKe u
+ +a
Cuando no hay saturación
( ) 1 ip
KU s K
s = +
La señal a, se puede interpretar como un BIAS automático.
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 27
1.1.3. Efecto Bumpless
Manual
u
PDy
es1
rT
-
+
e
+
r
Actuaciónmanual
1
rT1s
1s
1
rT
1
mT
Auto
-
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 28
Otra forma de implementarlo
manual
mu
e
automático
auintegral
referencia
y
Sea un PI
iPI p
KC K
s= +
en forma digital,
1k k i k
ak p k k
I I TK eu K e I+ = +
= +
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 29
Al pasar de manual a automático, la Integral estará en cualquier valor. Es deseable que la acción de control en el instante de conmutación mantenga
el valor que tenía en manual. /a m a manu u=
esto se logra haciendo / /m a man p m aI u K e= −
manual
mu
e
automático
auintegral
referencia
y
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 30
1.2. Ajustes Clásicos de PIDs No es magia Los parámetros dependen del proceso Existe una teoría para el ajuste óptimo (se verá más adelante) Existen ajustes empíricos Se requiere una perturbación a la planta
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 31
1.2.1. Ajuste Empírico Manual Ajustar primero la respuesta transitoria sin importar el error estacionario. Solo usar P y obtener la mejor respuesta que se pueda obtener (ejemplo control
de caudal) Agregar D e intentar mejorarlo Verificar el error estacionario y eventualmente introducir I sin que afecte el tran-
sitorio Si tiene retardos bajar la derivativa y aumentar integral (no mucho porque osci-
la) Ojo con los autotuners
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 32
1.2.2. Método de Ziegler-Nichols (1942) Objetivo: reducir el sobrepico a un cuarto
1s 2s
1
2
4ss=
Método de Respuesta en frecuencia
Es más seguro porque el lazo permanece cerrado incluye todas las no linealidades funciona en dos direcciones
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 33
Procedimiento: Se utiliza un controlador solo P Se cambia la referencia y se observa la respuesta Se incrementa la ganancia proporcional hasta que se obtiene una oscilación Si la oscilación crece, disminuir la ganancia o aumentarla si decrece. Cuando la oscilación es sostenida, se registra la ganancia del controlador cK ,
se la denomina ganancia crítica Se mide también el período de la oscilación cT Se calculan los parámetros de acuerdo a la tabla pK iK dK
P 0,5 cK
PI 0,45 cK 1,2cT
PID 0,6 cK 2cT
8cT
Zieglers y Nichols utilizaron un PID serie neumático (Taylor Fullscope con 0,2 dKγ = )
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 34
Método de Respuesta al Escalón Rápido, solo un escalón da idea de la respuesta de la planta
L
Y
u
T
X
L
u
a
X
YK X= , LYa
TX=
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 35
Se calculan los parámetros de acuerdo a la tabla pK iK dK
P 1 TYa LX=
PI 0,9 0,9TYa LX
=
13L
PID 1,2 1,2TXa LY
=
12L
2L
¡Ojo con las unidades! ¡Ojo con la forma del PID!
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 36
Método del Relé. Åström – Hägglund (Heladera) Mejora al método de Z-N de respuesta en frecuencia el Z-N introduce grandes oscilaciones
se aproxima entrada y salida a dos senoides y la ganancia crítica de Z-N sería
42cK
A∆
≈ [1.26]
donde ∆ es la amplitud del relé y A la amplitud de la salida Con esto se aplica Z-N 1.2.3. Relación entre ambos métodos:
El método en lazo abierto también es válido para sistemas inestables siempre que la respuesta inicial tenga la forma de la figura.
uipKr
y
e+
−Planta
u
y
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 37
En particular se puede considerar el integrador con retardo siguiente -sTbG(s) = es
(1.27)
que tendrá una respuesta al escalón de la que se obtendrá: L T a bT= = (1.28)
de acuerdo a la segunda tabla el regulador PID será
i d1.2 TK = = 2T = T TbT 2
(1.29)
Si se ensaya de acuerdo al método de respuesta en frecuencia se obtendrá un período de oscilación y una ganancia,
c c = 4T = t k 2bTπ
(1.30)
De acuerdo a esto, el regulador PID será:
i d0.6 0.94 TK = = 2T = T T2bT bT 2
π≈ (1.31)
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 38
Interpretación
( )
cdr c c c c c
ic c c
c
1 2 2t(i ) = 0.6 1 + j - = 0.6 1 + j 0.12 - G k k tT 2t tT = 0.6 + 0.26 j k
πω ω
πω
(1.32)
es un avance de 23
Generalización sea la función de transferencia en lazo abierto
pj( + )pp(j ) = G er π φω (1.33)
queremos ubicar esta respuesta a una determinada frecuencia en un punto sj( + )
sB = er π φ (1.34)
mediante un regulador rj
rr(j ) = G er φω (1.35)
Podríamos hacer el diseño por el método de márgen de amplitud es decir que para Φs= 0 la amplitud sea rs= 1 / Am siendo ésta un márgen de amplitud dado. Por lo tanto se debe cumplir:
s p rj( + ) j( + + )s p r = e er r rπ πφ φ φ
(1.36)
entonces el regulador será:
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 39
sr
p
r s p
r = rr
= - φ φ φ
(1.37)
la ganancia proporcional es la parte real del regulador coss s p
pp
( - )r = kr
φ φ (1.38)
el ángulo estará dado por
tand s pi
1 - = ( - )T Tω φ φ
ω (1.39)
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 40
1.2.4. Método de Asignación de Polos. sistema de primer orden
pp
1
k = G 1 + s T (1.40)
regulador PI
ri
1 = K 1 + GsT
(1.41)
resultando un sistema de segundo orden en lazo cerrado
p rc
p r
G G = G 1 + G G (1.42)
la ecuación característica será
p p2
1 1 1 i
K K1 k k + s + + = 0s T T T T
(1.43)
y nuestra condición de diseño dice 2 2 + 2 s + = 0s ξ ω ω (1.44)
el regulador PI resulta
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 41
1
p
1i 2
1
2 - 1TK = k
2 - 1T = T T
ξ ω
ξ ωω
(1.45)
se puede hacer algo parecido para un sistema de 2do órden
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 42
Caso Discreto del Método de Asignación de Polos. sistema de segundo orden
21 2
1 2
A(z) = + z + a azB(z) = z + b b
(1.46)
regulador PI
r
1
S(z)(z) = H R(z)R(z) = ( z - 1 ) (z)R
(1.47)
una forma genérica sería 2
0 1 2
1
S(z) = + z + s s szR(z) = ( z - 1 ) ( z + )r
(1.48)
la ecuación característica será 2
11 2
21 2 0 1 2
( + z + )( z - 1 )( z + ) +a az r ( z + )( + z + ) = 0b b s s sz
(1.49)
que es de cuarto orden.
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 43
Se podría especificar un denominador como, 2- h 2
1 2P(z) = ( z - ( + z + )) p pe zαω (1.50)
donde
cos 2- h1
-2 h2
= - 2 ( h 1 - )p e = p e
ξω
ξω
ω ξ (1.51)
Ejemplo:
p1(s) = G ( 1 + s )( 1 + 0.26 s )
(1.52)
si el período de muestreo es h = 0.1 seg.
p 2
0.0164 z + 0.0140(z) = H - 1.583 z + 0.616z (1.53)
condición de diseño: = 0.5 = 4 = 1ξ ω α (1.54)
P será
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 44
2 2P(z) = ( z - 0.670 ( - 1.54 z + 0.670 )) z (1.55)
reemplazando
1
0
1
2
= - 0.407r = 6.74s
= - 9.89s = 3.61s
(1.56)
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 45
1.3. Parametrización Afin - Control con Modelo Interno (IMC) Lazo clásico de control
u Cr G
y
od
e+
−
+
+++
id
1
1 1 1o iCG Gy r d d
CG CG CG= + +
+ + +
Si nos interesa solo la relación entre salida y referencia,
1CGy r
CG=
+
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 46
Fijamos una condición de diseño: Encontrar el controlador C tal que la dinámica entre salida y referencia en lazo
cerrado, sea
1CGy r Fr
CG= =
+
El controlador que satisface esta condición es 1
1FC
F G=
−
Observar que queda en función de la inversa de la dinámica de la planta Realmente, no conocemos G , sino una estimación (o modelo) G . En este caso
el controlador resultará 1ˆ1
FCF G
=−
Elegido el controlador de esta forma y suponiendo un modelo perfecto, la rela-ción entre las variables es:
( ) ( )1 1o iy Fr F d F Gd= + − + −
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 47
Problemas: (a) nunca el modelo es perfecto (b) los actuadores se saturan (c) un retardo no se puede invertir en forma exacta (d) problemas matemáticos de inversión (e) problemas con plantas inestables
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 48
1.3.1. Paradigma de diseño para IMC Se elige el término 1 ˆˆ invG
G=
siendo ˆinvG una aproximación estable de la inversa de G
y F una condición de diseño (filtro) para lograr determinadas propiedades en lazo cerrado.
ˆinvG intenta resolver el problema (c) y F los problemas (a), (b) y (d)
Si se toma esta condición de diseño se obtiene
( )( )
( )( )
( )ˆ ˆ1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆo i
F G F GFGy r d GdG F G G G F G G G F G G
− −= + +
+ − + − + −
( )( )( )
( )( )
ˆ 1 1ˆ ˆ ˆ1 1 1 1 1 1inv
o iinv inv inv
F FFG Gy r d GdF G G F G G F G G
− −= + +
+ − + − + −
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 49
suponiendo que ˆ ˆ ˆ 1inv invG G G G≈ ≈ [1.57]
Resulta ( ) ( )1 1o iy Fr F d F Gd≈ + − + −
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 50
recordar que elegimos ˆinvG como una aproximación estable de la inversa de G
si G tiene inversa estable y no tiene retardos se puede elegir 1ˆ ˆinvG G−=
si no es el caso se hace una separación
( ) ( )( )
( ) ( )( )
ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆe iB s B s B s
G sA s A s
= = [1.58]
( )ˆeB s contiene los ceros estables y
( )ˆiB s contiene los ceros inestables o de no mínima fase
se elige
( ) ( )( ) ( )( )
0
ˆˆ
ˆ ˆinv
e is
A sG s
B s B s=
= [1.59]
se considera la ganancia estática de ( )ˆiB s
no se puede hacer esto con el retardo (se verá luego)
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 51
1.3.2. Diseño de F ( ) ( )1 1o iy Fr F d F Gd≈ + − + −
F es la respuesta deseada del sistema. Para seguimiento de referencias:
- F rápida => respuesta rápida - F lenta => respuesta lenta
Para rechazo de perturbaciones: - F rápida => buen rechazo de perturbaciones - F lenta => rechazo pobre
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 52
Generalmente F se elige de la forma
( )1
1 pFsβ
=+
[1.60]
se agrega el exponente p de modo de que ˆinvQ FG= sea bipropia o tenga igual
número de polos y ceros. Por ejemplo
( ) 1ˆ2 1
G ss
=+
, 1
1F
sβ=
+,
1 2 1ˆ1
F sCF sG β
+= =
− [1.61]
( ) 2
5ˆ2 1
sG ss s
−=
+ +, ( )
2 2 1ˆ5inv
s sG s + +=
−,
( )21
1F
sβ=
+,
( )21 2 1
ˆ1 5 2F s sC
F s sG β β+ +
= = −− +
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 53
β pequeño => F rápido β grande => F lenta
Una F lenta reduce los efectos negativos de - incertidumbre en el modelo - limitaciones de los actuadores - ruido de medición
β se convierte en un potenciómetro de diseño Una elección más sofisticada de F lleva a un diseño más complejo.
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 54
step(tf(1,[.1 1]),tf(1,[1 1]),tf(1,[2 1])) a=[.1 1];b=[.4 1];c=[.8 1]; step(tf(1,conv(a,conv(a,a))),tf(1,conv(b,conv(b,b))),tf(1,conv(c,conv(c,c))))
0 2 4 6 8 10 120
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
0 2 4 6 8 10 120
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 55
1.3.3. Realización del Controlador IMC Podemos igualar nuestro controlador a un PID,
u
PIDCr G
y
od
e+
−
+
+
de donde se deduce que
1ˆ1PID IMC
FC CF G
= =−
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 56
Con el diseño IMC se puede lograr un comportamiento PID si - se controla con un PI un modelo de primer orden - se controla con un PID un modelo de segundo orden - se controla con un PID un modelo de primer orden con retardo
Ventajas del diseño de un PID vía IMC: - fácil obtener el modelo de los datos de planta (resp. escalón) - se explicita la forma de la respuesta en lazo cerrado eligiendo F o β - se calculan las constantes del controlador (P, I y D) con fórmulas apropia-
das.
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 57
1.3.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden Modelo de la planta
ˆˆˆ 1
KGsτ
=+
[1.62]
el tiempo de crecimiento está relacionado con la constante de tiempo ˆ ˆ2,2rT τ≈ [1.63]
ˆ 1ˆˆinv
sGK
τ += ,
11
Fsβ
=+
[1.64]
el controlador según IMC es ˆ 1ˆˆ1 inv
F sC GF K s
τβ+
= =−
Si nuestro PI es paralelo, p
p iPI p
KC C Ks
= = + [1.65]
eligiendo ˆ
ˆppK
Kτβ
= ,1ˆ
piK
Kβ= [1.66]
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 58
dado β , τ y K tenemos una forma sistemática de ajustar el controlador. ˆ ˆ1 1
ˆ ˆ ˆPIsC
K K s K sτ τβ β β
+= + = [1.67]
Resumen: - encontrar τ y K - elegir el controlador PI y β
Recordar que con β pequeños se obtiene - rápidos seguimientos de referencias - menor robustez a errores de modelo - mayor sensibilidad a errores de modelado en alta frecuencia - actuaciones más importantes - más sensible a saturaciones de los actuadores - mejor rechazo a perturbaciones - mayor sensibilidad al ruido de medición - mayor efecto de los ceros inestables - mayor efecto del retardo
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 59
% Control PI IMC Sistema de Pri-mer Orden % Sistema continuo Kh = 10; tauh = 1; d=poly([-1/tauh]); sis = tf( Kh,d); %Sistema en variables de estado Pss = ss(sis); % y su respuesta al escalón ... precision= .01; t = 0:precision:5; u = ones(size(t)); y = lsim(sis,u,t); figure(1) plot([y]); % período de muestreo T=.1; % PI discreto beta =5; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; beta =.2;
kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; % se usa la aproximación de Eu-ler s=(q-1)/T %ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1) A = kp; B = ki*T-kp Tfin = 5; t = 0:precision:T; ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); x0= zeros(1,1); [xx yx]= size(x0); yy = 0; uu = 0; ttt=0; yd=zeros(Tfin/T,1); ud=zeros(Tfin/T,1); error=zeros(Tfin/T,1); for i = 3:Tfin/T % muestreo de la salida
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 60
yd(i) = y(length(y)); % Regulador error(i)= ref-yd(i); ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1); % bloqueador de orden cero ub = ud(i) * ones(size(t)); % Sistema [y, tt, x0] = lsim(Pss,ub,t,x0(length(x0),:)); % se guardan los valores de entrada y salida yy = [yy ; y(2:length(y))]; uu = [uu ; ub(2:length(ub))']; end; figure(2) plot([uu yy]);
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 61
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 62
0 100 200 300 400 500 6000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 63
0 100 200 300 400 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 64
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 65
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 66
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 67
1.3.5. Otro Esquema Se puede plantear el siguiente esquema
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
la salida es
( ) ( )ˆ1
ˆ ˆ1 1 oQG QGy r d
Q G G Q G G−
= ++ − + −
[1.68]
si el modelo es perfecto,
( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.69]
el IMC se puede mostrar como
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 68
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+++
C
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 69
u
ˆ1QCQG
=−
r G
y
od
e+
−
+
+
El control es diseñado en base al modelo de la planta
( )ˆC C G= [1.70]"
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 70
Es muy intuitivo
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
está relacionado con el concepto de predictor de Smith
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 71
Si la planta es estable, ¿cómo elegir Q? ¿Si probamos con 1ˆQ G−= ?
( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.71]
( )1 1ˆ ˆ ˆ1 oy G Gr G G d− −= + − [1.72]
ˆ1ˆ ˆ o
G Gy r dG G
= + −
[1.73]
1ˆG y rG≈ ⇒ ≈ [1.74]
con 1ˆQ G−= se obtiene el control perfecto
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 72
Problemas: (f) nunca el modelo es perfecto (g) los actuadores se saturan (h) un retardo no se puede invertir en forma exacta (i) problemas matemáticos de inversión (j) problemas con plantas inestables
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 73
1.3.6. Paradigma de diseño para IMC Se elige
ˆinvQ FG= [1.75]
siendo ˆinvG una aproximación estable de la inversa de G
y F una condición de diseño (filtro) para lograr determinadas propiedades en lazo cerrado.
ˆinvG intenta resolver el problema (c) y F los problemas (a), (b) y (d)
Si se toma esta condición de diseño se obtiene
( ) ( )ˆ1
ˆ ˆ1 1 oQG QGy r d
Q G G Q G G−
= ++ − + −
[1.76]
( ) ( )ˆ ˆ ˆ1
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv inv
oinv inv
FG G FG Gy r dFG G G FG G G
−= +
+ − + − [1.77]
suponiendo que ˆ ˆ ˆ 1inv invG G G G≈ ≈ [1.78]
resulta ( )1 oy Fr F d≈ + − [1.79]
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 74
recordar que elegimos ˆinvG como una aproximación estable de la inversa de G
si G tiene inversa estable y no tiene retardos se puede elegir 1ˆ ˆinvG G−=
si no es el caso se hace una separación
( ) ( )( )
( ) ( )( )
ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆe iB s B s B s
G sA s A s
= = [1.80]
( )ˆeB s contiene los ceros estables y
( )ˆiB s contiene los ceros inestables o de no mínima fase
se elige
( ) ( )( ) ( )( )
0
ˆˆ
ˆ ˆinv
e is
A sG s
B s B s=
= [1.81]
se considera la ganancia estática de ( )ˆiB s
no se puede hacer esto con el retardo (se verá luego) 1.3.7. Diseño de F
( )1 oy Fr F d≈ + − [1.82]
F es la respuesta deseada del sistema.
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 75
Para seguimiento de referencias: - F rápida => respuesta rápida - F lenta => respuesta lenta
Para rechazo de perturbaciones: - F rápida => buen rechazo de perturbaciones - F lenta => rechazo pobre
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 76
Generalmente F se elige de la forma
( )1
1 pFsβ
=+
[1.83]
se agrega el exponente p de modo de que ˆinvQ FG= sea bipropia o tenga igual
número de polos y ceros. Por ejemplo
( ) 1ˆ2 1
G ss
=+
, 1
1F
sβ=
+,
2 1ˆ1inv
sQ FGsβ+
= =+
[1.84]
( ) 2
5ˆ2 1
sG ss s
−=
+ +, ( )
2 2 1ˆ5inv
s sG s + +=
−,
( )21
1F
sβ=
+,
( )
2
22 1ˆ
5 1inv
s sQ FGsβ
+ += =
− + [1.85]
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 77
β pequeño => F rápido β grande => F lenta
Una F lenta reduce los efectos negativos de - incertidumbre en el modelo - limitaciones de los actuadores - ruido de medición
β se convierte en un potenciómetro de diseño Una elección más sofisticada de F lleva a un diseño más complejo.
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 78
step(tf(1,[.1 1]),tf(1,[1 1]),tf(1,[2 1])) a=[.1 1];b=[.4 1];c=[.8 1]; step(tf(1,conv(a,conv(a,a))),tf(1,conv(b,conv(b,b))),tf(1,conv(c,conv(c,c))))
0 2 4 6 8 10 12
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
0 2 4 6 8 10 120
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 79
1.3.8. Realización del Controlador IMC en la forma IMC
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
en la forma "PID" clásica
u
PIDCr G
y
od
e+
−
+
+
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 80
de donde se deduce que
ˆ1PIDQCQG
=−
[1.86]
Con el diseño IMC se puede lograr un comportamiento PID si - se controla con un PI un modelo de primer orden - se controla con un PID un modelo de segundo orden - se controla con un PID un modelo de primer orden con retardo
Ventajas del diseño de un PID vía IMC: - fácil obtener el modelo de los datos de planta (resp. escalón) - se explicita la forma de la respuesta en lazo cerrado eligiendo F o β - se calculan las constantes del controlador (P, I y D) con fórmulas apropia-
das.
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 81
1.3.9. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden Modelo de la planta
ˆˆˆ 1
KGsτ
=+
[1.87]
el tiempo de crecimiento está relacionado con la constante de tiempo ˆ ˆ2,2rT τ≈ [1.88]
ˆ 1ˆˆinv
sGK
τ += ,
11
Fsβ
=+
[1.89]
ˆinvQ FG= [1.90]
el controlador según IMC es ˆ ˆ 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv
inv
FGQ sCsK sQG FG G G
τββ
+= = = =
− − [1.91]
en el caso de un PI paralelo p
p iPI p
KC C Ks
= = + [1.92]
eligiendo
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 82
ˆˆ
ppK
Kτβ
= ,1ˆ
piK
Kβ= [1.93]
dado β , τ y K tenemos una forma sistemática de ajustar el controlador. ˆ ˆ1 1
ˆ ˆ ˆPIsC
K K s K sτ τβ β β
+= + = [1.94]
Resumen: - encontrar τ y K - elegir el controlador PI y β
Recordar que con β pequeños se obtiene - rápidos seguimientos de referencias - menor robustez a errores de modelo - mayor sensibilidad a errores de modelado en alta frecuencia - actuaciones más importantes - más sensible a saturaciones de los actuadores - mejor rechazo a perturbaciones - mayor sensibilidad al ruido de medición - mayor efecto de los ceros inestables
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 83
- mayor efecto del retardo
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 84
% Control PI IMC Sistema de Pri-mer Orden % Sistema continuo Kh = 10; tauh = 1; d=poly([-1/tauh]); sis = tf( Kh,d); %Sistema en variables de estado Pss = ss(sis); % y su respuesta al escalón ... precision= .01; t = 0:precision:5; u = ones(size(t)); y = lsim(sis,u,t); figure(1) plot([y]); % período de muestreo T=.1; % PI discreto beta =5; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; beta =.2;
kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; % se usa la aproximación de Eu-ler s=(q-1)/T %ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1) A = kp; B = ki*T-kp Tfin = 5; t = 0:precision:T; ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); x0= zeros(1,1); [xx yx]= size(x0); yy = 0; uu = 0; ttt=0; yd=zeros(Tfin/T,1); ud=zeros(Tfin/T,1); error=zeros(Tfin/T,1); for i = 3:Tfin/T % muestreo de la salida
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 85
yd(i) = y(length(y)); % Regulador error(i)= ref-yd(i); ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1); % bloqueador de orden cero ub = ud(i) * ones(size(t)); % Sistema
[y, tt, x0] = lsim(Pss,ub,t,x0(length(x0),:)); % se guardan los valores de entrada y salida yy = [yy ; y(2:length(y))]; uu = [uu ; ub(2:length(ub))']; end; figure(2) plot([uu yy]);
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 86
0 100 200 300 400 500 6000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 87
0 100 200 300 400 500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 88
1.4. Ajuste Iterativo en Lazo Cerrado (IFT) Método alternativo de autoajuste de parámetros la planta es
10 ( )k k ky G z u v−= + [1.95]
u
Rr G
y
v
e
el lazo cerrado resulta
0
0 0
11 1
RGy r vRG RG
= ++ +
[1.96]
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 89
Objetivo: encontrar los parámetrosθ del regulador tal que minimicen el siguiente
funcional:
( ) ( ) ( )2 2
1 1
12
N Nd
k k kk k
J E y y uN
θ λ= =
= − + ∑ ∑ [1.97]
hay que derivar e igualar a cero: ( ) ( )
1 1
1 N Nd
k k kk k
J y uE y y uN
θλ
θ θ θ= =
∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ [1.98]
Una forma de ajustar los parámetros es recursivamente en la dirección del gra-diente
( )11k k k k
JR
θθ θ γ
θ−
+
∂= −
∂ [1.99]
El problema está en el cálculo del gradiente, en realidad los términos yθ∂∂
y uθ∂∂
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 90
llamando 0
001
RGTRG
=+
, 00
11
SRG
=+
[1.100]
sea dy la respuesta deseada a la referencia d
dy T r= [1.101]
0
0 0
11 1
d dRGy y y r y vRG RG
= − = − ++ +
[1.102]
0
0 0
11 1d
RGy T r vRG RG
= − + + +
[1.103]
( ) ( )
2 20 0 0
2 20 0 0
1 1 1G RG Gy y R R Rr r vRG RG RGθ θ θ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = − −
∂ ∂ + ∂ ∂ ∂+ + [1.104]
2 20 0 0 0 0 0 0 0
1 1y R R R RT r T r T S v T r T r T S vR Rθ θ θ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − = − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [1.105]
0T y 0S no son conocidas
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 91
se sabe que 2
0 0 0 0T y T r T S v= + [1.106]
se puede reescribir [1.105]
[ ] ( )0 0 01 1y R RT r T y T r yR Rθ θ θ
∂ ∂ ∂= − = −
∂ ∂ ∂ [1.107]
en donde sigue sin conocerse 0T . Pero si se realizan los siguientes experimentos: 1) se realiza un primer ensayo con una referencia 1r r= , obteniéndose una res-
puesta
1 0 0 1y T r S v= + [1.108]
2) el segundo ensayo se efectúa con una referencia 2 1r r y= − , obteniéndose una respuesta
( )2 0 1 0 2y T r y S v= − + (1.109)
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 92
Si se reemplaza (1.109) en [1.107] resulta
( ) [ ]0 2 0 21 1y R RT r y y S vR Rθ θ θ
∂ ∂ ∂= − = −
∂ ∂ ∂ [1.110]
con lo que se podría tomar como aproximación,
21y R yRθ θ
∂ ∂=
∂ ∂ [1.111]
Con la actuación ocurre algo similar. De esta forma se logra el cálculo del gra-diente del funcional.
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 93
Ejemplo 1.1. Regulador PI En este caso simplificado, se cumple
( )1
1
11
p ik k zR
z
−
−
+ −=
− (1.112)
por ende 1
1
11
i
p
k zRk z
−
−
+ −∂=
∂ − , 11
p
i
kRk z−∂
=∂ −
(1.113)
( ) ( )( )
1
1 1
2 2 21
1 11
1111 1
1 1111 1 1 11
i
pp
p ip i
i i
k zkky z z y y y
k kk k zk z k zz
θ
−
− −
−
− −−
+ − ∂ − − = = = +∂ + − + − − +−
(1.114)
( )( )
2 2
1
1
1 11 1 1
p
i
i
ku u ukk z
θ−
∂ = = ∆ +∂ − +
(1.115)
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 94
( ) ( )1 11 1
1 N Nd
k k kk k
J y uy y uN
θλ
θ θ θ= =
∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ (1.116)
Algoritmo: 1) Cálculo del vector ∆ 2) Ensayo 1 3) Ensayo 2
4) Cálculo de los gradientes yθ∂∂
y uθ∂∂
5) Cálculo del gradiente Jθ∂∂
6) Ajuste de los parámetros con la ley 11k k k k
JRθ θ γθ
−+
∂= −
∂
7) volver al paso 2)
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 95
Simulaciones plot(yes);grid
0 200 400 600 800 1000 12000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 96
plot([ym ydd]);grid
plot(j);grid
0 50 100 150-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
20
40
60
80
100
120
140
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 97
plot(th');grid
1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 98
Código %Sistema continuo Bc= 1; Ac=poly([-1 -2 -1]); na=length(Ac)-1; syscont = tf(Bc,Ac); %Sistema en variables de estado Pss = ss(syscont); [a,b,c,d] = ssdata(Pss); % y su respuesta al escalón ... t = 0:0.01:10; u = ones(size(t)); yes = lsim(syscont,u,t); T=.2; % Parámetros del regulador PID kp = 0.05; ki = 0; %kp = 0.1522; % 56 it .001 %ki = 0.0470; % 56 it .001 kd = 0; iter = 5; j=zeros(1,iter); th=zeros(2,iter+1); th(:,1)=[kp;ki]; lambda=.0; Tfin = 30; precision= .02; t = 0:precision:T;
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 99
ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); nd = Tfin/T; ed = zeros(nd,1); ud1 = zeros(nd,1); yd1 = zeros(nd,1); ud2 = zeros(nd,1); yd2 = zeros(nd,1); ud3 = zeros(nd,1); yd3 = zeros(nd,1); ym = zeros(nd,1); ydd = []; var =.001; gamma=.5; % Cálculo de La respuesesta del modelo am=.5; for i = 3:nd ym(i) = am*ym(i-1)+ (1-am)*ref; end; for k = 1:iter % Experimento 1 x0= zeros(1,na); y = zeros(size(t)); yy = 0; uu = 0; int = 0; for i = 3:nd % Regulador
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 100
yd1(i) = y(ly)+ var*randn; ed(i)=ref- yd1(i); int = int + ki * ed(i); der = kd * (yd1(i)-yd1(i-1)); ud1(i)=kp*(ed(i)+ int + der); % bloqueador de orden cero u = ud1(i) * ones(size(t)); % Sistema s=size(x0); [y, tt, x0] = lsim(Pss,u,t,x0(s(1),:)); yy = [yy ; y]; uu = [uu ; u']; end; % Experimento 2 x0= zeros(1,na); y = zeros(size(t)); yy = 0; uu = 0; int = 0; for i = 3:Tfin/T % Regulador yd2(i) = y(ly)+ var*randn; ed(i)=ref - yd1(i) - yd2(i); int = int + ki * ed(i); der = kd * (yd2(i)-yd2(i-1)); ud2(i)=kp*(ed(i)+ int + der); % bloqueador de orden cero u = ud2(i) * ones(size(t)); % Sistema s=size(x0); [y, tt, x0] = lsim(Pss,u,t,x0(s(1),:));
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 101
yy = [yy ; y]; uu = [uu ; u']; end; j(k)=(ym-yd1)'*(ym-yd1)+lambda* ud1'*ud1; dydkp=yd2/kp; dydki = zeros(nd,1); for i = 3:nd dydki(i) = 1/(1+ki)*dydki(i-1)+1/(1+ki)*yd2(i); end; dudkp=ud2/kp; dudki = zeros(nd,1); for i = 3:nd dudki(i) = 1/(1+ki)*dudki(i-1)+1/(1+ki)*ud2(i); end; dydp=[dydkp';dydki']; dudp=[dudkp';dudki']; yt=yd1-ym; djdp=(dydp*yt+lambda*dudp*ud1)/nd; kp=kp-gamma*djdp(1); ki=ki-gamma*djdp(2); th(:,k+1)=[kp;ki]; ydd=[ydd yd1];
end
03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 102
Referencias 1. Häkan Hjalmarsson, Michel Gevers, Svante Gunnarsson, Olivier Lequin,, Iterative
Feedback Tuning: Theory and Applications – IEEE Control Systems – Agosto 1998
2. G.C. Goodwin, S.F. Graebe, and M.E. Salgado. Control System Design. Prentice Hall, 2001.
3. K. Astrom, B Wittenmark. Computer Controlled Systems. Prentice Hall, 1997. 4. Äström, K., Hägglung: Automatic Tuning of PID Controllers, ISA – 1988 5. Stephanopoulos