第1章 质点运动学
质点运动的矢量描述:
1. 位矢、运动方程、轨迹方程、速度、加速度,在直角坐标系中的表达;
2. 自然坐标系中的切向加速度、法向加速度;
3. 圆周运动的角量描述及其与限量的关系、匀加速圆周运功公式(角量)。
第1章 质点运动学
1. 位置矢量(矢径,位矢)
直角坐标系中位矢表示为: kzjyixr
222 zyxr
方向: r
z
r
y
r
x coscoscos
大小: r
特性:
矢量性、瞬时性、相对性 1coscoscos 222
2. 轨迹方程
参数方程
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
消去参数 t 0),,( zyxF
质点运动轨迹方程
0),,( zyxG
3. 速度 加速度
t
r
t
r
t d
dlim
0
v k
t
zj
t
yi
t
x
d
d
d
d
d
d
kji zyx
vvvv
速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向
kt
zj
t
yi
t
xk
tj
ti
tta zyx
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
vvvv
2
2
0 d
d
d
d
Δ
Δlim
t
r
tta
t
vv
当 t 趋向零时,速度增量 的极限方向. v
方向:
— 运动方程是运动学问题的核心
1) 已知运动方程,求质点任意时刻的位置、速度以及
加速度
trr
2) 已知运动质点的速度函数(或加速度函数)以及初始
条件求质点的运动方程
4. 运动学的两类问题
2
2
d
d
d
d
t
r
ta
v
t
r
d
d
v
t
ttata
00
dd,dd
v
vvv
t
t
r
rtrtr
00
dd,dd vv
xaa
aa
taa
v
运动特性: 相对性、瞬时性、矢量性
tattr
,v求导
tattr
积分
, v
两类问题:
小结:
运动方程: )(trr
瞬时速度: t
r
t
r
t d
d
lim
0
v
瞬时加速度: 2
2
0 d
d
d
dlim
t
r
tta
t
vv
kt
zj
t
yi
t
x
t
r
d
d
d
d
d
d
d
dv
加速度:
在直角坐标系中:
ktzjtyitxr
)()()( 位矢:
速度:
kt
zj
t
yi
t
x
t
ra
2
2
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
kji zyx
vvv
kajaia zyx
矢量问题,标量解决: 任意曲线运动可作为沿 x,
y,z 三个方向各自独立的直线运动的叠加。一维
运动的方向用 “+”、“-”表示。
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
dd
d
d
d
d
d
t
za
t
ya
t
xa
t
z
t
y
t
x
tzztyytxx
zyx
zyx
vvv
总加速度 nt aaa
n
2
td
dee
ta
vv
2
n
2
t aaa t
n1tana
a
切向加速度 法向加速度
改变速度大小 改变速度方向
5. 自然坐标系中的速度和加速度
路程: 自然坐标之差 PQ sss
速度:
td
d
d
de
t
s
t
r
v
速率:
t
s
d
dv
6.角量表示圆周运动
(1)角位置 单位: rad 角位移
(2)角速度 ttt d
dlim
0
角速度矢量:
方向按右手螺旋规定.
(3)角加速度 2
2
d
d
d
dlim
0 tttt
Rs
(4)角量与线量的关系
Rt
R
t
s
d
d
d
dv
Rt
Rt
a d
d
d
dt
v
222
n
)(
R
R
R
Ra
v
♣ 角量表示匀加速圆周运动的
基本公式(β=恒量)
0
2
0
2
2
00
0
2
2
1
tt
t
第2章 质点动力学
牛顿运动定律:
♣ 牛顿定律及其在直角坐标系和自然坐标系中的应用.
动量好动量守恒定律:
♣ 冲量、动量定理、动量守恒定律及其条件.
工、机械能和机械能守恒定律:
♣ 功、动能定理、功能原理、机械能守恒定律及其条件、重力势能及弹性势能的表达。
amF
tmmaF
d
dtt
v
RmmaF
2
nn
v
xx maF yy maF zz maF
牛顿第二定律 t
m
t
pF
d
)d(
d
d v
(1)确定研究对象:对于物体系,画出隔离图.
(5) 解方程. 进行文字运算,然后代入数据求解.
(2) 进行受力分析,画出示力图.
(4) 对各隔离体建立牛顿运动方程(矢量式——分量式) .
(3) 判断各物体的加速度,建立坐标系.
一. 牛顿三大定律
直角坐标系
自然坐标系
二、力的累积效应
功、能
空间累积效应
冲量、动量
时间累积效应
动量: v
mp 单位:kgms-1
冲量:
恒力的冲量: )( 12 ttFI
变力的冲量: 2
1
d)(t
tttFI
ptF
dd
1. 动量定理
动量定理——动量守恒 动能定理——机械能守恒
(2)质点系的动量定理
合外力的冲量 系统初动量 系统末动量
ppptF
t
t
i
0
0
d
0 iF
常矢量 iimp v
(3)动量守恒定律
(1)质点动量定理: 000
d vv
mmpptFIt
t
(4)几点说明:
②系统动量守恒的条件:
a.系统不受外力;
b.合外力=0;
①动量守恒定律只适用于惯性系.
⑤动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一
③ 若系统所受外力的矢量和≠0,但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零,动量守恒可在某一方向上成立.
④内力>>外力.在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中,内力>>外力,可略去外力.认为系统动量守恒
(1)功
1)恒力的功 SFFSW
cos
单位:焦耳(J)
2)变力的功 rFrFW
ddcosd
总功:
b
azyx
b
a
b
a
b
a
zFyFxF
rFsFWW
ddd
ddcosd
① 功是标量(代数量)
W > 0 力对物体做功
W < 0 物体反抗阻力做功
W = 0 力作用点无位移
力与位移相互垂直
② 功是过程量
与力作用点的位移相关
与参考系的选择相关
讨论:
2. 动能定理 功能原理 机械能守恒定律
(2)动能 2
k2
1vmE 单位:焦耳(J)
(3)势能 ba
b
aEEErF PPPd
保
零势能点
保aa rFE
dP
设 0PbE
重力势能: mghEp (地面为势能零点)
弹性势能: 2
2
1kxEp (自由端为势能零点)
引力势能: r
MmGEp 0 (无限远为势能零点)
EEE kp 机械能:
(4)质点的动能定理 1k2k
2
1
2
22
1
2
1EEmmW vv
(5)质点系动能定理 1k2k EEWW 内外
(7)机械能守恒定律
EEEWW kp非保内外(6)功能原理
如果 0 非保内外 WW恒量 pk EEE
注意:
(1) 机械能守恒定律只适用于惯性系,不适合于非惯性系.这是因为惯性力可能作功.
(2) 在某一惯性系中机械能守恒,在另一惯性系中机械能不一定守恒.这是因为外力的功与参考系的选择有关.对一个参
考系外力功为零,但在另一参考系中外力功也许不为零.
第3章 刚体力学
刚体运动的描述:
刚体定轴转动定律 角动量守恒定律:
1. 力矩、转动惯量、常见刚体的转动惯量(质点、细杆、圆盘)、转动定律及其应用(一般联合牛顿定律解题);
2. 质点的角动量、刚体的角动量、角动量守恒定律及其条件。
刚体的能量:
♣ 刚体的势能和动能、刚体机械能守恒。
1. 转动惯量
(分立)2
iirm
(连续) mr d2J 质量有关
质量分布有关
转轴位置有关
转动惯量与
lm dd
Sm dd
Vm dd
质量为线分布
质量为面分布
质量为体分布
线分布 面分布 体分布
一、定轴转动刚体的描述
单位: 牛[顿]·米(N·m)
2. 力矩
FrM
大小: sinFrM
方向: 右手螺旋法则
JM z 刚体定轴转动定律:
(1)受力分析
(2)分别列出牛顿第二定律和转动定律
(3)找到角量和线量关系
(4)联立方程组
转动定理的应用:
3. 角动量
v
mrprL
微分式 t
LM
d
d
4. 角动量定理
积分式 12
2
1
d LLtMt
t
JLz 刚体定轴转动的角动量
------微分形式
112212
2
1
d JJLLtMt
tz
zz LJtM d)d(d
刚体定轴转动的角动量定理
---积分形式
定轴转动刚体角动量守恒定律
1122
JJ
5. 角动量守恒定律
v
mrprL 常矢量如果 0M
,则
时当: 0zM
恒矢量zL
2
k2
1JE
二、刚体的能量
2. 刚体定轴转动的动能定理
2
1
2
22
1
2
1dd
2
1
JJJWW
1. 动能
3. 刚体的重力能 ii
gzmE P
结论:刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重力势能
4. 刚体的机械能 cmghJE 2
2
1
刚体定轴转动与直线运动作比较
2
1
2
22
1
2
1d vv mmrF 2
1
2
22
1
2
1d JJM
x
va
M
J
vm
2
2
1J
J
2
2
1vm
F
m
vF M
求轴力 求轴力
JM
t
pF
d
d
amF
t
LM
d
d
1122
2
1
d
JJtMt
t12
2
1
d vv
mmtFt
t