Université de Strasbourg Agrégation interne
2021-2022 Y. Le Floch
Feuille de révisions sur le calcul différentielVersion du 03/09/2021 (merci de me signaler toute
coquille/erreur)
Attention : ces rĂ©visions porteront uniquement sur la partie âfonctionsdiffĂ©rentiablesâ du programme (qui constitue Ă elle seule un trĂšs gros mor-ceau), et pas sur les Ă©quations diffĂ©rentielles, traitĂ©es lâan dernier par M.Bittmann.
1 Programme et conseils
1.1 Le programme
Remarque prĂ©liminaire : le programme prĂ©cise quâon ne sâintĂ©resse quâauxfonctions dĂ©finies sur un ouvert de Rn et Ă valeurs dans Rp, pour certainsn, p â„ 1. Il y a deux maniĂšres dâinterprĂ©ter cela :
â littĂ©ralement,â simplement pour signifier quâon se restreint Ă la dimension finie.
MĂȘme si la premiĂšre hypothĂšse sâavĂšre exacte, il nâest pas inutile dâavoir unepetite idĂ©e de ce quâil se passe dans des cas trĂšs simples pour f : E â F avecE,F des espaces vectoriels de dimension finie qui ne sont pas nĂ©cessairementRn et Rp : diffĂ©rentielle dâune application linĂ©aire de E dans F , diffĂ©rentielledu dĂ©terminant (E = Mn(R), F = R), etc. Mais bien entendu il ne faudrapas y consacrer lâessentiel de votre temps.
12.1 Fonctions diffĂ©rentiables.DĂ©rivĂ©e selon un vecteur. DĂ©veloppement limitĂ© Ă lâordre 1. DiffĂ©rentia-
bilitĂ© en un point. InterprĂ©tation gĂ©omĂ©trique (plan tangent Ă une surface).Matrice jacobienne, dĂ©terminant jacobien. DiffĂ©rentielle dâune fonction com-posĂ©e. InĂ©galitĂ© des accroissements finis sur un ouvert convexe (admise). Unefonction f dĂ©finie sur un ouvert Ω est dite de classe C1 si lâapplication qui Ă tout point a de Ω fait correspondre la diffĂ©rentielle de f en a est continue.ThĂ©orĂšme : pour quâune fonction soit de classe C1 sur un ouvert Ω, il fautet il suffit quâelle admette des dĂ©rivĂ©es partielles continues sur Ω. Composi-tion des fonctions de classe C1. InĂ©galitĂ© des accroissements finis pour unefonction de classe C1. CaractĂ©risation des constantes parmi les fonctions de
1
classe C1 sur un ouvert connexe. Applications de classe Ck. ThĂ©orĂšme deSchwarz pour les fonctions de classe C2. Gradient dâune fonction numĂ©riquede classe C1. Formule de Taylor-Young pour une fonction de classe C2. Ex-trĂ©mums locaux dâune fonction de classe C2 de deux variables en un pointoĂč rt â s2 6= 0. Exemples de problĂšmes dâextrĂ©mums issus de la gĂ©omĂ©trie.DiffĂ©omorphismes. ThĂ©orĂšmes (admis) dâinversion locale et des fonctionsimplicites. Application Ă la caractĂ©risation des Ck-diffĂ©omorphismes parmiles fonctions injectives de classe Ck.
1.2 Quelques remarques avant de vous lancer dans les révi-sions
Avant toute chose, je vous conseille de rĂ©viser le programme sur la dĂ©-rivabilitĂ© des fonctions dâune variable rĂ©elle, et la continuitĂ© desfonctions de plusieurs variables (voir rĂ©visions de topologie). En effet,le calcul diffĂ©rentiel demande de solides bases dans ces deux thĂšmes.
La diffĂ©rentiabilitĂ© est une notion difficile car elle demande de bien com-prendre les objets mis en jeu. De nombreuses confusions sont possibles,et un premier gros problĂšme est de choisir des notations cohĂ©rentes etde pouvoir les comparer avec celles des diffĂ©rents auteurs des ouvrages quevous utiliserez (comparaison Ă faire pendant la prĂ©paration, et surtout pasdans le stress du jour J !). Mes conventions personnelles sont les suivantes,libre Ă vous dâen choisir dâautres ;â pour f : Ω â Rn â Rp diffĂ©rentiable, on notera df(a) â L(Rn,Rp) la
diffĂ©rentielle de f au point a â Ω, et df(a)·h lâimage de h â Rn par cetteapplication linĂ©aire. Jâinsiste lourdement : df(a) est une applicationlinĂ©aire de Rn dans Rp...quâil ne faut pas confondre avec df qui, elle,nâa aucune raison dâĂȘtre linĂ©aire ;
â si elles existent, les dĂ©rivĂ©es partielles de f : Ω â Rn â R en a âΩ seront notĂ©es âf
âx1(a), . . . , âfâxn
(a) ou âfâx (a), âfây (a) et Ă©ventuellement
âfâz (a) si n = 2 ou 3 ;
â si elle existe, la dĂ©rivĂ©e de f : Ω â Rn â Rp au point a â Ω selon levecteur u â Rn sera notĂ©e duf(a) ;
â si elle existe, la matrice jacobienne de f : Ω â Rn â Rp en a seranotĂ©e Jf (a) ;
â si elles existent, les dĂ©rivĂ©es partielles secondes de f : Ω â Rn â R aupoint a â Ω seront notĂ©es â2f
âxiâxj(a), i, j â 1, . . . , n ;
â si elle est bien dĂ©finie, on notera Hf (a) la matrice hessienne de f : Ω âRn â R au point a â Ω.
Je vous conseille de ne surtout pas faire comme le programme en utilisantla notation rtâ s2 sans lâavoir dĂ©finie au prĂ©alable...mĂȘme si cette notationĂ©tait Ă la mode il y a quelques annĂ©es, on ne peut pas supposer que tout le
2
monde sait ce quâelle signifie. En outre, elle fait un peu âformule magiqueâalors quâil sâagit simplement du dĂ©terminant de la matrice hessienne, et quela discussion porte sur les signes de ses valeurs propres, voir plus bas.
Le deuxiĂšme problĂšme avec la diffĂ©rentiabilitĂ© est la comparaison avecla dĂ©rivabilitĂ© des fonctions dâune variable rĂ©elle. Dâune part, il faut bienprendre le temps de comprendre en quoi la notion de diffĂ©rentiabilitĂ© gĂ©nĂ©-ralise celle de dĂ©rivabilitĂ© (posez vous la question suivante : si f : Râ R estdĂ©rivable en a â R, qui est df(a) ? Voir aussi lâexercice 6). Dâautre part, ilfaut faire attention Ă ne pas gĂ©nĂ©raliser hĂątivement les propriĂ©tĂ©s quisont vraies pour les fonctions dâune variable rĂ©elle (voir par exemplela discussion sur les accroissements finis ci-dessous).
Enfin, attention Ă lâordre du programme : il ne constitue pas forcĂ©mentun guide rigide Ă suivre Ă la lettre. Par exemple, Ă titre personnel, je prĂ©fĂšreparler de diffĂ©rentiabilitĂ© avant de parler de dĂ©rivĂ©e selon un vecteur. Enoutre, le programme semble passer assez vite sur la diffĂ©rentiabilitĂ© pour seconcentrer sur les dĂ©rivĂ©es partielles ; en pratique vous travaillerez surtoutavec ces derniĂšres, mais il est trĂšs important de bien comprendre leur rapportavec la diffĂ©rentiabilitĂ© (non seulement pour ne pas dire de bĂȘtise, mais aussicar cela aide Ă retenir/comprendre certaines formules).
1.3 Quelques références utiles
Voici une liste (pas du tout exhaustive) de références dans lesquelles vouspourrez retrouver les résultats de cours et/ou des exercices supplémentairespour vous entraßner.
â F. ROUVIĂRE, Petit guide de calcul diffĂ©rentiel Ă lâusage de la licenceet de lâagrĂ©gation : lâouvrage indispensable ! Il sâagit dâun livre dâexer-cices mais avec des Ă©lĂ©ments de cours au dĂ©but de chaque chapitre,avec un beau point de vue sur le calcul diffĂ©rentiel. Le seul bĂ©mol estque les exercices peuvent vite devenir assez difficiles ;
â B. HAUCHECORNE, Les contre-exemples en mathĂ©matiques : notam-ment le chapitre 14 sur les fonctions de plusieurs variables, pour biencomprendre les dĂ©finitions du cours et les hypothĂšses des thĂ©orĂšmesen se confrontant Ă des exemples et contre-exemples ;
â X. GOURDON, Les maths en tĂȘte : analyse : chapitre V sur les fonc-tions de plusieurs variables (cours et exercices). Ici aussi, les exercicesdeviennent rapidement assez difficiles ;
â J.-P. RAMIS, A. WARUSFEL, MathĂ©matiques Tout-en-un pour la Li-cence 1 (section IV.7) et MathĂ©matiques Tout-en-un pour la Licence 2(section II.5) : des ouvrages gĂ©nĂ©ralement bien apprĂ©ciĂ©s pour prĂ©parerles concours car ils couvrent un large spectre du programme (surtoutdu cours, quelques exercices) ;
3
â J.-P. MARCO, MathĂ©matiques Analyse L3 : dans le mĂȘme genre, maispour aller plus loin et sortir un peu du programme ;
â A. AVEZ, Calcul diffĂ©rentiel : un cours trĂšs bien Ă©crit mais un peudatĂ© et surtout qui parle du cas gĂ©nĂ©ral (dimension pas nĂ©cessairementfinie).
NâhĂ©sitez pas Ă chercher vos livres prĂ©fĂ©rĂ©s en dehors de cette liste. Parexemple, il y a un certain nombre de manuels classiques de classes prĂ©pa oude prĂ©paration Ă lâagrĂ©gation qui devraient contenir tout ou partie du cours,notammentâ J.-M. MONIER, Analyse 4 : cours et exercices, adopte un autre point
de vue (dĂ©finition de la diffĂ©rentielle dâabord Ă partir des dĂ©rivĂ©es par-tielles pour les fonctions de classe C1) ;
â A. POMMELLET, AgrĂ©gation de MathĂ©matiques, Cours dâanalyse :point de vue plus gĂ©nĂ©ral (dimension possiblement infinie)
et sans doute bien dâautres...
1.4 Conseils de révision
Voici un gros résumé du programme, assorti de conseils et de remarquessur certaines erreurs classiques. Attention, ces quelques paragraphes ne rem-placent pas un cours complet ! Vous devez absolument consulter des ouvragessur le sujet pour bien comprendre et consolider ce qui est raconté ci-dessous.
PremiĂšre remarque : il faut absolument connaĂźtre et avoir compris la dĂ©-finition de la diffĂ©rentiabilitĂ©. Une grande partie des problĂšmes proviennentdâune mauvaise interprĂ©tation de celle-ci.
DĂ©finition 1. Soient Ω un ouvert de Rn et f : Ω â Rp. On dit que f estdiffĂ©rentiable en a â Ω sâil existe une application linĂ©aire L : Rn â Rp etune fonction Δ : Rn â Rp telles que Δ(h) ââ
hâ00 et
f(a+ h) = f(a) + L · h+ âhâΔ(h)
pour tout h â Rn tel que a+ h â Ω.
Quelques commentaires sur cette dĂ©finition :â essayez de la comparer Ă celle de la dĂ©rivabilitĂ© pour f : R â R (qui
est L dans ce cas ? Pourquoi nâĂ©crit-on pas un taux dâaccroissementpour la diffĂ©rentiabilitĂ© ? Etc.) ;
â â·â est nâimporte quelle norme sur Rn (elles sont toutes Ă©quivalentes) ;â on Ă©crit souvent un peu nâimporte quoi avec le dernier terme...je prĂ©-
conise de bannir les notations du type o(h), etc. ;â il ne faut pas oublier lâhypothĂšse âL linĂ©aireâ !
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On montre que si un tel couple (L, Δ) existe, alors L est unique, et on notedf(a) = L, quâon appelle la diffĂ©rentielle de f en a.
Ainsi, en pratique, si pour une fonction f donnée, on veut montrer quef est différentiable en a et calculer df(a) en partant simplement de cettedéfinition :
1. on calcule f(a+ h)â f(a) et on essaye dâidentifier les termes linĂ©airesen h ;
2. on appelle L · h lâensemble de ces termes linĂ©aires, et on essaye deprouver que L est bien une application linĂ©aire ;
3. on note Δ(h) = f(a+h)âf(a)âL·hâhâ , et on tente de montrer que cette fonc-
tion tend vers 0 en 0. En pratique on essaye de majorer âΔ(h)â avecâ · â votre norme prĂ©fĂ©rĂ©e sur Rp.
Câest un peu lourd, mais câest un trĂšs bon exercice et câest indispensablequand on travaille dans des espaces de dimension finie plus abstraits queRn. Heureusement, dans Rn, on va identifier des classes de fonctions dif-fĂ©rentiables (fonctions polynomiales, fonctions de la forme (x1, . . . , xn) 7âf1(x1) . . . fn(xn) avec les fi diffĂ©rentiables, etc.) et on peut utiliser les dĂ©ri-vĂ©es partielles pour f : Ω â Rn â R. Mais attention, il faut bien comprendrece que disent et ne disent pas ces dĂ©rivĂ©es partielles :â il ne suffit pas dâadmettre des dĂ©rivĂ©es partielles selon toutes
les variables au point a pour ĂȘtre diffĂ©rentiable en a (voirexercice 14) ;
â par contre, si f est diffĂ©rentiable en a, elle admet des dĂ©rivĂ©es partiellesselon toutes les variables en a et pour tout i â 1, . . . , n, âf
âxi(a) =
df(a) · ei, ou dans lâautre sens : df(a) · h =âni=1
âfâxi
(a)hi si h =(h1, . . . , hn) ;
â le vrai rĂ©sultat que vous pouvez utiliser est le suivant : si f admetdes dĂ©rivĂ©es partielles selon toutes les variables en a et si celles-ci sonttoutes continues en a, alors f est diffĂ©rentiable en a ;
â jâinsiste : les dĂ©rivĂ©es partielles sont dĂ©finies pour f : Ω â Rn â R !Si on sâintĂ©resse Ă f : Ω â Rn â Rp, on regarde les dĂ©rivĂ©es partiellesdes composantes f1, . . . , fp de f .
En gĂ©nĂ©ral le plus difficile est de justifier proprement lâexistence de dĂ©rivĂ©espartielles ; lâĂ©tape de calcul de celles-ci est assez intuitive.
Si f : Ω â Rn â Rp admet des dĂ©rivĂ©es partielles en a â Ω par rapportĂ toutes les variables, on appelle
Jf (a) =(âfiâxj
(a))
1â€iâ€p1â€jâ€n
=
âf1âx1
(a) . . . âf1âxn
(a)... . . . ...
âfp
âx1(a) . . .
âfp
âxn(a)
.
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la matrice jacobienne de f au point a. Si f est diffĂ©rentiable en a, câesttout simplement la matrice de df(a) dans les bases canoniques de Rn et Rp.Bien comprendre ce fait vous aide pour plusieurs choses, notamment pourarrĂȘter de confondre Jf (a) avec sa transposĂ©e : vous savez que df(a)est une application linĂ©aire de Rn â Rp, donc Jf (a) doit renvoyer un vecteurcolonne de taille p quand on la multiplie Ă droite par un vecteur colonne detaille n.
Si f : Ω â Rn â Rp est diffĂ©rentiable en a â Ω et f(a) â ΩâČ, si g : ΩâČ âRp â Rq est diffĂ©rentiable en f(a), alors la composĂ©e g f est diffĂ©rentiableen a et
d(g f)(a) = dg(f(a)) df(a).
Il faut bien comprendre cette formule pour ne pas faire dâerreur : df(a)est une application linĂ©aire de Rn dans Rp, et dg(f(a)) est une applica-tion linĂ©aire de Rp dans Rq. Les deux membres de lâĂ©galitĂ© ci-dessus sontdes applications linĂ©aires de Rn dans Rq. Si vous avez compris cela, vousnâoublierez pas la formule
Jgf (a) = Jg(f(a))Jf (a)
pour les jacobiennes, qui est simplement la traduction matricielle de celleci-dessus. Et dans cette derniĂšre, penser aux tailles des diffĂ©rentes matricesjacobiennes peut vous aider. Enfin, en observant les coefficients matricielsdans cette Ă©galitĂ©, on obtient la rĂšgle de dĂ©rivation en chaĂźne : pour i â 1, qet j â 1, n,
â(g f)iâxj
(a) =pâ
k=1
âgiâyk
(f(a))âfkâxj
(a).
En pratique, il vaut mieux ne pas avoir Ă passer par les jacobiennes Ă chaquefois, peut-ĂȘtre trouver un moyen mnĂ©motechnique (par exemple en compa-rant avec la version pour n = p = q = 1) mais surtout sâentraĂźner Ă lâutiliser(voir par exemples les exercices 17 et 28) !
Si f : Rn â R est diffĂ©rentiable en a, df(a) est une forme linĂ©aire, doncdâaprĂšs le thĂ©orĂšme de reprĂ©sentation de Riesz, il existe un unique vecteurâf(a) â Rn tel que
âh â Rn df(a) · h = ăâf(a), hă.
On appelle âf(a) le gradient de f en a. Explicitement, âf(a) est le vecteurcolonne dont les coefficients sont les dĂ©rivĂ©es partielles de f en a. Le gradientest utile pour avoir un vision plus gĂ©omĂ©trique : gradient et lignes de niveau,le noyau de la diffĂ©rentielle en a est lâorthogonal du gradient en a, extremaliĂ©s (hors programme), etc.
Le thĂ©orĂšme des accroissements finis pour des fonctions de R dans R nese gĂ©nĂ©ralise pas aux fonctions de Rn dans Rp (voir exercice 23). Ce quâil enreste sâappelle lâinĂ©galitĂ© des accroissements finis : si f : Ω â Rn â Rp est
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diffĂ©rentiable et si a, b â Ω sont tels que [a, b] := (1 â t)a + tb, 0 †t †1est contenu dans Ω, alors
âf(a)â f(b)â â€(
supcâ[a,b]
âdf(c)â)âbâ aâ.
Ici âdf(c)â est la norme de lâapplication linĂ©aire df(c) : Rn â Rp, et lesupremum peut trĂšs bien ĂȘtre infini. En particulier, si Ω est convexe on a
âa, b â Ω âf(a)â f(b)â â€(
supcâΩâdf(c)â
)âbâ aâ.
On dĂ©duit de cette inĂ©galitĂ© que si Ω est un ouvert connexe (attention, nepas confondre connexe et convexe) et si f : Ω â Rp est diffĂ©rentiablesur Ω de diffĂ©rentielle identiquement nulle, alors f est constante. Si Ω nâestpas connexe, la conclusion est que f est constante sur chaque composanteconnexe de Ω (voir exercice 24).
On dit que f : Ω â Rn â Rp est de classe C1 sur Ω si df est continue surΩ. Dans ce cas, pour tous a, b â Ω tels que [a, b] â Ω, df est bornĂ©e sur lecompact [a, b]. Ainsi, le supremum dans lâinĂ©galitĂ© des accroissements finisest un maximum :
âf(a)â f(b)â â€(
maxcâ[a,b]
âdf(c)â)âbâ aâ.
On montre que f est de classe C1 sur Ω si et seulement si chaque fi admetdes dĂ©rivĂ©es partielles par rapport Ă chaque variable en tout point de Ω etles fonctions dĂ©rivĂ©es partielles âfi
âxjsont toutes continues sur Ω. GrĂące Ă
ce rĂ©sultat, on va maintenant âoublierâ la diffĂ©rentiabilitĂ© pour dĂ©finir lesfonctions de classe Ck par rĂ©currence (on pourrait parler de fonctions deuxfois diffĂ©rentiables et pas forcĂ©ment C2, mais le programme lâĂ©vite). Atten-tion, dans la dĂ©finition des dĂ©rivĂ©es partielles dâordre supĂ©rieur, lâordre desvariables par rapport auxquelles on dĂ©rive est important ! Mais lethĂ©orĂšme de Schwarz nous dit que ce nâest plus le cas si f est de classe C2
(et en fait, deux fois diffĂ©rentiable suffirait). Câest ce qui fait que la matricehessienne
Hf (a) =(
â2f
âxiâxj(a))
1â€i,jâ€n
dâune fonction f : Ω â Rn â R de classe C2 en un point a â Ω est unematrice symĂ©trique (et câest donc la matrice dâune forme quadratique). EnĂ©crivant le dĂ©veloppement de Taylor-Young
f(a+ h) = f(a) + df(a) · hïžž ïž·ïž· ïžž=ăâf(a),hă
+12ăHf (a)h, hă+ âhâ2Δ(h), Δ(h) ââ
hâ00
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on voit que si a est un point critique de f (df(a) = 0) et si Hf (a) estdĂ©finie positive (respectivement dĂ©finie nĂ©gative), alors a est un minimumlocal (respectivement maximum local) de f ; attention, âpositiveâ ne suffitpas, voir exercice 36. Quand n = 2, on retrouve le fameux ârt â s2â duprogramme (r = â2f
âx2 (a), s = â2fâxây (a), t = â2f
ây2 (a)), qui fait un peu formulemagique, alors quâil suffit de constater que :â Hf (a) est une matrice symĂ©trique rĂ©elle de taille 2 Ă 2, elle est donc
diagonalisable et admet deux valeurs propres rĂ©elles λ1, λ2 ;â Hf (a) est dĂ©finie positive (respectivement dĂ©finie nĂ©gative) si λ1 et
λ2 sont toutes deux strictement positives (respectivement strictementnégatives) ;
â on peut connaĂźtre les signes de ces valeurs propres en calculant la traceet le dĂ©terminant de Hf (a) de deux maniĂšres : dâabord de la maniĂšreclassique (notamment detHf (a) = rtâs2), ensuite en remarquant queTr(Hf (a)) = λ1 + λ2 et detHf (a) = λ1λ2. Ainsi :1. si detHf (a) = 0, alors lâune de ces valeurs propres est nulle, donca nâest pas un extremum local de f ,
2. si detHf (a) < 0, alors λ1 et λ2 sont de signes opposĂ©s, doncHf (a) nâest ni dĂ©finie positive, ni dĂ©finie nĂ©gative, et a nâest pasun extremum local (point selle/col),
3. si detHf (a) > 0, alors λ1 et λ2 sont de mĂȘme signe :(a) si Tr(Hf (a)) > 0, alors λ1, λ2 > 0 donc Hf (a) est dĂ©finie
positive et a est un minimum local de f ,(b) si Tr(Hf (a)) < 0, alors λ1, λ2 < 0 donc Hf (a) est définie
nĂ©gative et a est un maximum local de f .Attention, il y a souvent deux aspects Ă concilier dans la recherche dâex-trema : pour les questions dâexistence on aime bien se placer sur un compact,mais pour la diffĂ©rentiabilitĂ© et la recherche des points critiques on travaillesur un ouvert. En pratique on essaye de jongler avec ces deux aspects, voirpar exemple lâexercice 41.
Un Ck-diffĂ©omorphisme est une application de classe Ck, bijective, etdont la rĂ©ciproque est de classe Ck. Le thĂ©orĂšme dâinversion locale donne unecondition suffisante pour obtenir un Ck-diffĂ©omorphisme local. Le thĂ©orĂšmedes fonctions implicites indique quand il est possible dâĂ©crire localement lessolutions dâune Ă©quation de la forme f(x, y) = 0 comme les couples (x, Ï(x))avec Ï de classe Ck. Il faut bien sĂ»r bien connaĂźtre les hypothĂšses de cesthĂ©orĂšmes (et se rappeler quâils ne donnent quâune information locale),mais Ă©galement savoir en donner une intuition gĂ©omĂ©trique (par exemple,problĂšme pour Ă©crire une courbe dans R2 comme un graphe en un point oĂč latangente est verticale). Et il faut travailler la mĂ©thode de calcul des dĂ©rivĂ©esde la fonction implicite Ï (voir par exemple lâexercice 47).
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2 ExercicesLes exercices suivants sont classés par thÚme, puis plus ou moins par
ordre de difficultĂ© dans chaque thĂšme. Il nâest bien sĂ»r pas question de traitertous ces exercices, mais au moins les premiers de chaque thĂšme. Et cette listepeut Ă©ventuellement vous donner des idĂ©es pour les leçons dâexercices (parexemple 415, 418, 431, 452, etc.).
2.1 Pour sâĂ©chauffer : rappels sur la continuitĂ©
Voici quelques exercices pour se remettre en mĂ©moire les rĂ©visions detopologie ; si vous avez ces derniĂšres bien en tĂȘte, vous pouvez passer direc-tement Ă la suite.
Exercice 1. Montrer que f : R2 â R dĂ©finie par
f(x, y) =
x2y2
x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)
.
est continue en (0, 0).
Exercice 2. Montrer que la fonction f : R2 â R dĂ©finie par
f(x, y) =
sin(xy)â|xy|
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0).
est continue en (0, 0).
Exercice 3. Soit f : R2 â R dĂ©finie par
f(x, y) =
xyx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)
.
Montrer que x 7â f(x, 0) et y 7â f(0, y) sont continues en 0, mais f nâestpas continue en (0, 0).
Exercice 4. DĂ©cider si les fonctions f : R2 â R dĂ©finies par les formulesci-dessous sont continues en (0,0) :
1. f(x, y) = x3+y3
x2+y4 si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0,
2. f(x, y) = x3y2
x6+y4 si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0,
3. f(x, y) = |xy|âx2+3y2
si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0.
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2.2 Différentiabilité
Exercice 5. Soit f : R3 â R dĂ©finie par f(x, y, z) = 24y+63zâ5. Montrerque f est diffĂ©rentiable sur R3 et calculer sa diffĂ©rentielle.
Exercice 6. Montrer que f : R â R, x 7â x3 est diffĂ©rentiable en toutpoint a â R et calculer df(a).
Exercice 7. Soit f : Rn â R. On suppose quâil existe C > 0 telle que|f(x)| †Câxâ2 pour tout x â Rn. Montrer que f est diffĂ©rentiable en zĂ©roet calculer df(0).
Exercice 8. Soit k > 1 entier. Soit f : Rn â R une fonction diffĂ©rentiablevĂ©rifiant
âx â Rn ât â R f(tx) = tkf(x)
(on dit que f est homogĂšne de degrĂ© k). Montrer que pour tout x â Rn, ona df(x) · x = kf(x). Indication : dĂ©river la fonction t 7â f(tx).
Exercice 9. Donner lâĂ©quation du plan tangent Ă la surface ÎŁ = (x, y, z) âR3 | z = x2 â 2y3 en un point quelconque (x0, y0, z0) â ÎŁ.
Exercice 10 (DiffĂ©rentielle et plan tangent Ă une surface dĂ©finie implicite-ment). Soit f : R3 â R diffĂ©rentiable. On note ÎŁ = a â R3 | f(a) = 0 eton suppose que pour tout a â ÎŁ, df(a) est surjective. Soit a â ÎŁ.
1. Quelle est la dimension du noyau de df(a) ?2. On définit le plan tangent à Σ en a comme
TaÎŁ = ÎłâČ(0) | Îł : I â Râ ÎŁ dĂ©rivable, I intervalle ouvert contenant 0, Îł(0) = a.
Exprimer TaÎŁ Ă lâaide de df(a).3. Proposer un dessin illustrant la situation.4. Application : regarder le cas de f(x, y, z) = x2+y2+z2â1 et comparer
Ă lâintuition gĂ©omĂ©trique.
Exercice 11 (Applications bilinĂ©aires (difficile)). Soit B une applicationbilinĂ©aire de EĂF dans G, oĂč E,F,G sont des espaces vectoriels de dimen-sion finie, munis des normes â · âE , â · âF et â · âG. On rappelle que B estalors continue, ce qui signifie quâil existe C > 0 telle que pour tout x â E ettout y â F ,
âB(x, y)âG †CâxâEâyâF .
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1. Montrer que B est diffĂ©rentiable sur E ĂF et calculer sa diffĂ©rentielledB(a, b) en un point (a, b) de E Ă F .
2. Soient f et g deux applications différentiables de I intervalle ouvertde R dans R3. Montrer que
Ï : I â R, t 7â ăf(t), g(t)ă
est différentiable sur I, et calculer sa différentielle.
Exercice 12 (difficile). Le but de cet exercice est de calculer la diffĂ©rentiellede Ï : GLn(R)â GLn(R), A 7â Aâ1 .
1. Expliquer pourquoi GLn(R) est un ouvert deMn(R). On admettra queÏ est diffĂ©rentiable sur celui-ci (cela dĂ©coule par exemple de la formuleA com(A)> = det(A)In).
2. Montrer que lâapplication g : Mn(R) ĂMn(R) â Mn(R) qui envoie(A,B) sur le produit AB est diffĂ©rentiable et calculer sa diffĂ©rentielle.
3. Soit f : Mn(R) â Mn(R) une application diffĂ©rentiable, et soit F :Mn(R) ĂMn(R) â Mn(R), (A,B) 7â Af(B). Montrer que F estdiffĂ©rentiable et calculer sa diffĂ©rentielle.
4. En dĂ©duire, Ă lâaide de la formule AAâ1 = In, la diffĂ©rentielle de Ï aupoint A â GLn(R).
Exercice 13 (difficile, adaptĂ© de lâexercice 26 du RouviĂšre). Soient E =Mn(R) et f : E â R,M 7â detM .
1. Montrer que f est de classe C1 et que df(In) = Tr.2. Soit A â GLn(R). Montrer que pour tout H â E
df(A) ·H = detA Tr(Aâ1H).
3. En dĂ©duire que pour tous A,H â E,
df(A) ·H = Tr(com(A)>H)
avec com(A) la comatrice de A (la matrice des cofacteurs de A).4. Soit A : R â E une fonction continue. Soient Y1, . . . , Yn : R â Rn
des solutions du systĂšme diffĂ©rentiel linĂ©aire Y âČ = AY . Donner uneĂ©quation diffĂ©rentielle vĂ©rifiĂ©e par le wronskien
w : Râ R, t 7â det(Y1| . . . |Yn
)de la famille (Y1, . . . , Yn).
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2.3 Dérivées directionnelles, dérivées partielles
Exercice 14. Soit f : R2 â R dĂ©finie par
f(x, y) =
xy2
x2+y4 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)
.
Montrer que f admet des dĂ©rivĂ©es dans toutes les directions en (0, 0), maisnâest pas diffĂ©rentiable en ce point.
Exercice 15. Soit f : R2 â R dĂ©finie par
f(x, y) =
x|y|âx2+y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0).
Montrer que f admet des dérivées dans toutes les directions en (0, 0), et estcontinue mais pas différentiable en ce point.
Exercice 16. Montrer que la fonction f : R â R dĂ©finie par f(0) = 0 etf(x) = x2 sin(1/x) si x 6= 0 est dĂ©rivable sur R, mais f âČ nâest pas continueen 0.
Exercice 17. Soit f : R2 â R diffĂ©rentiable. On considĂšre la fonctionu : R â R dĂ©finie par u(t) = f(t,ât). Montrer que u est dĂ©rivable etcalculer sa dĂ©rivĂ©e.
Exercice 18. Soit f : R2 â R dĂ©finie par f(x, y) = exp(x2y) + x3 sin y.Montrer que f admet des dĂ©rivĂ©es partielles en tout point et calculer celles-ci.
Exercice 19. Soit f : R2 â R3 dĂ©finie par f(x, y) = (cosx cos y, xy, x2+y3).Montrer que f est diffĂ©rentiable en tout point et calculer Jf (x, y) pour tout(x, y) â R2.
Exercice 20. On considĂšre les fonctions
f : R3 â R3, (x, y, z) 7â(ln(1 + x2 + y2), x2 + y2 â z2, cos(xz)
)et
g : R3 â R, (x, y, z) 7â 3x2y + exz2 + 4z3.
DĂ©terminer la matrice jacobienne de g au point (0,â1, 1) et celles de f etÏ = g f au point (0, 0, 1).
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Exercice 21. Soit f : R3 â R dĂ©finie par f(x, y, z) = xy+z3 arctan y. Mon-trer que f admet des dĂ©rivĂ©es partielles en tout point et calculer âf(x, y, z)pour tout (x, y, z) â R3.
Exercice 22 (difficile). Soit f : R2 â R diffĂ©rentiable et telle que
2âfâx
(x, y) = âf
ây(x, y)
pour tout (x, y) â R2.1. Montrer que Ï : R2 â R2 dĂ©finie par Ï(x, y) = (x + y, x + 2y) est declasse C1, bijective, et que sa rĂ©ciproque est aussi de classe C1.2. On pose g(u, v) = f(Ïâ1(u, v)) pour tout (u, v) â R2. Montrer que gadmet une dĂ©rivĂ©e partielle par rapport Ă u et calculer âg
âu .3. Que peut-on en dĂ©duire pour g ? Et pour f ?
2.4 Inégalité des accroissements finis
Exercice 23. Proposer un exemple illustrant le fait que lâĂ©galitĂ© des ac-croissements finis ne se gĂ©nĂ©ralise pas pour des fonctions Ă valeurs dans Rp,p â„ 2.
Exercice 24. Soit Ω = R2 \ (x, 1x) | x 6= 0 â R2. Pour x, y â Ω, on pose
f(x, y) = arctan x+ arctan y â arctan(x+ y
1â xy
).
1. Représenter Ω sur un dessin.2. Montrer que f est de classe C1 sur Ω.3. Calculer df .4. Simplifier f .
Exercice 25. Soit F : R2 â R2 dĂ©finie par
â(x, y) â R2 F (x, y) = (cosxâ cos y, sin xâ sin y).
1. Justifier que F est de classe C1.2. Montrer que pour tout (x, y) â R2, âdF (x, y)â â€
â2 (pour la norme
subordonnĂ©e Ă la norme euclidienne).3. Soit (x0, y0) â R2. On dĂ©finit la suite (xn, yn)nâ„0 par la donnĂ©e de
(x0, y0) et la relation de récurrence :
xn+1 = 12(cosxn â cos yn), yn+1 = 1
2(sin xn â sin yn).
Montrer que cette suite converge. Quelle est sa limite ?
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2.5 DĂ©rivĂ©es dâordre supĂ©rieur
Exercice 26. Soit f : R2 â R dĂ©finie par
f(x, y) =
xy(x2ây2)x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
Montrer que f admet des dérivées partielles secondes en (0, 0) et que
â2f
âxây(0, 0) 6= â2f
âyâx(0, 0).
Que peut-on en déduire ?
Exercice 27. Soit f : Rn â R de classe C2. Ăcrire le dĂ©veloppement deTaylor-Young de f Ă lâordre 2 au point a â Rn Ă lâaide des dĂ©rivĂ©es partiellespremiĂšres et secondes de f en a.
Exercice 28. Soit f : R2 â R une fonction deux fois diffĂ©rentiable. Onnote
α = âf
âx(1, 0), ÎČ = âf
ây(1, 0), Îł = â2f
âx2 (1, 0), ÎŽ = â2f
âxây(1, 0), Δ = â2f
ây2 (1, 0).
On considĂšre la fonction g : Râ R dĂ©finie par g(Ξ) = f(cos Ξ, sin Ξ). CalculergâČâČ(0) en fonction de α, ÎČ, Îł, ÎŽ et Δ.
Exercice 29. On considĂšre lâapplication
f : R3 â R, (x, y, z) 7â 3x2y + exz2 + 4z3.
Calculer la hessienne de f en (x, y, z). Ăcrire le dĂ©veloppement de Taylor-Young Ă lâordre 2 de f au point (1, 1, 0).
Exercice 30. Ăcrire le dĂ©veloppement de Taylor-Young Ă lâordre 2 au point(1, 1) de la fonction
f :]0,+â[Ă]0,+â[â R, (x, y) 7â xâ yx+ y
.
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Exercice 31. Ăcrire le dĂ©veloppement de Taylor-Young Ă lâordre 2 au point(0, 0) de la fonction f dĂ©finie sur un voisinage de (0, 0) par f(x, y) = expx
cos y .En déduire que la quantité
exp(x)â (1 + x) cos y(x2 + y2) cos y
admet une limite quand (x, y) tend vers (0, 0), et calculer celle-ci.
Exercice 32. Soit U un ouvert de R2. On dĂ©finit le laplacien âf dâunefonction f : U â R admettant des dĂ©rivĂ©es secondes par rapport Ă toutesles variables par la formule
âf = â2f
âx2 + â2f
ây2
et on dit que f est harmonique si son laplacien est nul. Montrer que lesfonctions suivantes sont harmoniques.1. f : R2 â R dĂ©finie par f(x, y) = (cosxâ sin x) exp(y).2. f : R2 \ (0, 0) â R dĂ©finie par
f(x, y) = exp(x) sin y + exp(y) sin x+ ln(x2 + y2).
Exercice 33. Ăcrire le dĂ©veloppement de Taylor-Young Ă lâordre 2 au point(1, 1) de f : (x, y) 7â xy.
Exercice 34 (difficile). 1. Trouver toutes les applications f : R2 â R deuxfois diffĂ©rentiables vĂ©rifiant â2f
âxây = 0.2. Trouver toutes les applications g : R2 â R deux fois diffĂ©rentiables vĂ©ri-fiant
â2g
âx2 = â2g
ây2 .
On pourra poser Ï(u, v) = 12(u+ v, uâ v) et f = g Ï.
2.6 Points critiques et extrema
Exercice 35. Donner un exemple de point critique dâune fonction de Rdans R qui nâest pas un extremum local.
Exercice 36. Soit f : R2 â R dĂ©finie par f(x, y) = x2 â 3y3. Montrer quele point (0, 0) est un point critique de f , que la matrice symĂ©trique Hf (0, 0)est positive, mais que f nâatteint pas un minimum local en (0, 0).
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Exercice 37. DĂ©terminer les points critiques des fonctions de R2 dans Rci-dessous et prĂ©ciser leur nature (extremum local, point selle ou ni lâunni lâautre). PrĂ©ciser si les extrema locaux obtenus sont globaux. (Bonus :donner Ă©galement lâallure des courbes de niveaux.)
1. f(x, y) = x2 â y2 + 14y
4,2. g(x, y) = x3 + y3 â 3xy.
Exercice 38. DĂ©terminer les points critiques de la fonction f : R2 â RdĂ©finie par
f(x, y) = x4 + y4 â 2x2 + 4xy â 2y2
et préciser leur nature.
Exercice 39. On a reprĂ©sentĂ© ci-dessous quelques courbes de niveaux dâunefonction f : R2 â R. Le dĂ©gradĂ© de rouge indique les valeurs prises par f ;plus la couleur est foncĂ©e, plus la valeur correspondante de f est Ă©levĂ©e.
1. Conjecturer les points critiques de f sur [â2, 2] Ă [â2, 2], ainsi que leurnature.2. Sachant que pour tout (x, y) â R2, f(x, y) = 3xâx3â2y2+y4, dĂ©terminertous les points critiques de f et leur nature. VĂ©rifier que la conjecture de laquestion prĂ©cĂ©dente Ă©tait bonne.
Exercice 40. Soient α, ÎČ â R avec α 6= 0. DĂ©terminer les points critiquesde
f : R2 â R, (x, y) 7â αx2
2 + ÎČxy + y3
3ainsi que leur nature, selon les valeurs de α et ÎČ. La fonction f admet-elleun minimum/maximum global ?
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Exercice 41. Trouver les extrema de la fonction f donnée par f(x, y) =x2 + xy + y2 sur le triangle ABC, avec A = (0, 0), B = (1, 0) et C = (0, 1).
Exercice 42. Soit ABC un triangle du plan. DĂ©terminer le minimum deMA2 +MB2 +MC2 quand M varie dans le plan.
Exercice 43 (Difficile, adaptĂ© de lâexercice 122 du RouviĂšre). On considĂšreun triangle ABC du plan dont les angles sont tous strictement infĂ©rieurs Ă 120. Pour un point M du plan, on note
f(M) = MA+MB +MC
la somme des distances de M aux sommets du triangle.1. On note O une origine du plan. Montrer que f tend vers +â quandâOMâ tend vers +â. En dĂ©duire que f admet un minimum global.
2. Prouver que ce minimum ne peut pas ĂȘtre atteint en un des sommetsdu triangle. Montrer de plus quâil ne peut pas ĂȘtre atteint en un pointextĂ©rieur au triangle.
3. Justifier que f est de classe Câ sur Ω = R2 \ A,B,C. Calculer ladiffĂ©rentielle de f en tout point de Ω.
4. Soit P un point réalisant le minimum global de f . Montrer que lesangles APB, BPC et CPA valent tous 120. En déduire que P estunique.
5. On construit trois triangles Ă©quilatĂ©raux ABC âČ, BCAâČ et ACBâČ Ă lâex-tĂ©rieur de ABC. Montrer que les droites (AAâČ), (BBâČ) et (CC âČ) sontconcourantes en P et que f(P ) = AAâČ = BBâČ = CC âČ.
2.7 Difféomorphismes, inversion locale, fonctions implicites
Exercice 44. Donner un exemple de fonction de classe C1, continue, bijec-tive, dont la rĂ©ciproque est continue, mais qui nâest pas un C1-diffĂ©omorphisme.
Exercice 45 (Coordonnées polaires). On considÚre la fonction
Ï : R2 â R2, (r, Ξ) 7â (r cos Ξ, r sin Ξ).
1. La fonction Ï est-elle injective ? Surjective ? Trouver un ouvert maxi-mal Ω â R2 telle que Ï soit injective sur Ω.
2. Ï est-elle un C1-diffĂ©omorphisme de Ω sur Ï(Ω) ?
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Exercice 46. Soit f : Râ R dĂ©finie par
f(x) =x+ x2 sin(Ïx ) si x 6= 0,0 si x = 0.
Montrer que f est dĂ©rivable sur R, que f âČ(0) 6= 0 mais que f nâest bijectivesur aucun voisinage de 0. Quâen dĂ©duire pour f ?
Exercice 47. Soit f : R2 â R dĂ©finie par f(x, y) = x3 + y3 â 3xy ; onconsidĂšre la courbe implicite
C = (x, y) â R2 | f(x, y) = 0.
1. En quels points (a, b) de C peut-on appliquer le théorÚme des fonctionsimplicites ?
2. Calculer la dĂ©rivĂ©e de la fonction implicite qui dĂ©crit la courbe prĂšsdâun tel point (a, b), et donner lâĂ©quation de la tangente Ă C en (a, b).
3. Essayer de représenter C.
Exercice 48 (Inverse local de lâexponentielle (difficile, adaptĂ© des exercices16 et 65 du RouviĂšre)). On note E = Mn(R). On admet que lâexponentiellematricielle exp : E â E est de classe C1.
1. Calculer la diffĂ©rentielle de exp en 0.2. Montrer que exp est un C1-diffĂ©omorphisme dâun voisinage de 0 sur un
voisinage de In.3. Est-ce un difféomorphisme global de E sur exp(E) ?
2.8 Extrema avec contraintes (hors-programme)
Le thĂ©orĂšme des extrema liĂ©s ne fait techniquement pas partie du pro-gramme. Cependant, cette consĂ©quence du thĂ©orĂšme des fonctions implicitesfournit de jolis exercices dâapplications qui peuvent cocher la case âExemplesde problĂšmes dâextrĂ©mums issus de la gĂ©omĂ©trieâ du programme.
Exercice 49. DĂ©terminer les points du plan dâĂ©quation 2x â y + 2z = 18dans R3 les plus proches de lâorigine, et en dĂ©duire la distance entre ce planet lâorigine.
Exercice 50. On considĂšre la fonction f : S2 â R dĂ©finie par f(x, y, z) = xyoĂč S2 est la sphĂšre unitĂ© dans R3, dâĂ©quation x2 + y2 + z2 = 1.1. f possĂšde-t-elle des extrema globaux sur S2 ?
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2. Déterminer les extrema locaux de f sur S2.3. Préciser la nature de ceux-ci.
Exercice 51. On veut rĂ©aliser une boĂźte parallĂ©lĂ©pipĂ©dique contenant uncertain volume V fixĂ© de liquide, de la maniĂšre la plus Ă©conomique possible,câest-Ă -dire en faisant en sorte que la surface S de la boĂźte soit minimale.1. Exprimer V et S en fonction des longueurs x, y et z de la boĂźte.2. Traduire le problĂšme sous la forme dâune recherche dâextrema sous contrainte.3. RĂ©soudre celui-ci. Quelle est la forme de la boĂźte la plus Ă©conomique ?Calculer sa surface quand V = 125 cm3.
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