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NDICE
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Y
\ Lr l r , 'r .r , l t 'sr ' lcccionrr
os
problcmas
considerrntos
cccsl l t ' i ( )
r tc l tr i r algu-
,, ' ,
l ,r , , l , l ,
nr :r r t l r is ieos
qLle
se
proponcn el t l l tuchos
l ibl t ls c lc
tcr to.
pcro
la
,r r ' \ r r .r
(
r r ( n((( 'n
l
l rucstras
colccciones
de
problcnttts dc clascs
y
cxttxct- lcs
t,,r r r .r , l .r .r
1,, :rgo
tlc l l rLlchos airos.
Este l ibro compt'cncjc
problel t tas dc clec-
i l ' ,
r r tr r ,r
( lon( l ( '
se
cr i l1'r icza studiando
los canipos
)i
polcncitlcs
crcados
po r
' l
l r r l 'r r r r ( 'n( ,,
( l ( '
c i l lgi rs
y
sistemas dc conductol"cs
c11
cl vaco
y
cn mccl ios
,l , , r r r r . , . \ l1r osrroblcnrus clc corr ientc clctr ica sir l 'cn clc i l t l rc lc luccicln
Ir r r r .r ,r r , , , . , t ,r l r ( r .
t londc sc incluycr- l
problelras
dc cl lcr- r los
lc calrpos
pl 'oclu-
, ' ,1, ' .
l r .r
r l r : tr l r l r rs
l st l ' ibuciones de
corr icntes
y pof matefialcs i t-nanrdos.
-a
,r l r r r r r .r
, .u
( t t :r l r r lc los clunpos vafiablgs en
el t ic lnpo:
le1'clc - 'aradlr .
col f icntc
,1, ,1,
1.z.r nr t 'r r lo.
,cct( ) r dc l )oynting.
relat i l ' idad
de los catttpos
clcctromag-
rrr r
, ,
\
'r r ( l ; l \
t ' l t 'etrottt i tgttt ictrs.
l ' r r r , . l r .
nlr 'r r t i t i l r cs r lr . lo slc
l ibro
sirva
de apo) io l
os numerosos
e i t t tpor-
r .ur tr ' .
l r 'r to.,
ql ,
's l l t nl r tcr ir . Los cr 'rnoci tnientos
cti r icos
l tcccsar ios
lscomo
1,,.
.r r r r l r r , l ( , . ,
l r l rz:r t losstln
los clc cr-ralquiera
c
los l ibros cl ts iccts.
olr to
los
qu e
.i ,
r r ,ur
'r r
rr
r r l r l i ,r i r r l r l l r .
- ror
o
clLre
o crccmos
neccslf ios
nclui t 'ul t
for lnulal ' i t)
,1,
, l ,
r
l t i l ln: t l ' i l ( ' l t \n)()
l ' , r r r r l t ln{r .
( lu( ' tcnlos
lrgl trc lcccr 't
lLlcstroscompacros
sLls
dcas cl l
la
prc-
1,i l ,r (
( , i l
( l ( '
l ) tr , l r lc l r r i ts
lc cxl inrcncs. algunos
de los cuales
sc
han incluido cr l
r. l, t r i l l ( ( ( l r ) l l
F:PLtsA
N(rlz
v E,t.oisA
Lpr.z
X
I 't t t l t t t l t t
Un discode
plst ico
e
radioBtiene
una cargaO
repart ida
niformemente n su superf icie on den-
sidadsuperf icial
e carga
o. Calcule
l
potencial
el
campo elctr ico n un
punto
del eje del disco
que
dista
x
de su centro.
Sc f vit f cl rl isco
cn clcrncntos e .rreanrdr
que pue-
t l t 'n
eorrsi t lcr i r rsc() ln()ani l los elementales e radio r ,
(
U\ l c ius: t
)() f
uni ( lrcllc
ongitud
cs 2
-
olr . c cmpie-
zr
t ; r l r ' r r l l r r r t lol crr t t t - l r rrci tdo
por
un ani l lo. Un ele-
1
Electrosttica
t
Problsma I
Solucin
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f ' r ' rcl 'r to
fc
ani l lo
dc lorrgitud dq
$efi un curnptl lc-
ne tal
dEx:
^
:u' =
4neo(rz xz)
Intcgrando
ara
odo el
anilloelemental e radio ,
y
tcnicndoen cuenta
que
a sumade as cornponentes
el
campoen a
direccin
perpendicular
l ej e x
seanula,el
campo E* tiene a direccindel
eje x:
F F '
I l - '
) ra(o
x
E*
=
|
dE*.cosa:
I
,t Jo
hteo(rz
+
x2)
?2
+
x2)rt2
7r x
:4e+fl3t 'z
Ahora
bien, eniendo n
cuenta
que
: odr, E* es el
campo
creado
por
un elementode
disco
y, por
tanto, un
campoelemental
E.El campocreado
por
todo el discoes
I fRordr
x
E: I dE: I
J
--
Jo
2to
(rz +
xztrz
ox/ 1
\^
ox/ 1 1\
: ; t
r:-t-:
o
trr-
,
J/o
2ro
JR,
+
,,
'
l*l/
ol
x
\
E:-
( i-
, .^l
zo
JR
)-
x /
donde se ha
considerado
ositiva
a raz cuadrada
del
denominador
ara
r
:
0, es
decir
lo
que
est de acue rdo
para
te
para
x
-
0, a la derecha
x > 0. Si se
pasa
al lmi-
y
a la izquierda el
disco,
l1
/ v lxl
v' -
|
00
problemas
e Electromagnetsmo
l
2nt,oR
Electrosttica
sc
obt icnc
cl cur l ' ruclctr ico
lc
ul r
p lurro
ndcl ' in ido
(.r
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Solucln
|00
preblwtt
Elnwnrgn$qmo
2nkRJ
Si x > 0, el
potencial
se
puede
expresar
v(x):#l(,
Para
puntos
alejados
z
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/^ .
-F,\
iJ
l; . .
' - ; - f \
i
-f}-
Solucin
Integrando
para
todo el disco, es decir, entre
0
y
para
E
y
entre 0
y
R
para
r, s e tiene
3Ox f lR
E:
^l lnl-
4zeoR'
\
Una distr ibucin e cargaest ormada por do s
planosparalelos
ndefinidosmuy
prximos,
carga-
dos
con
cargas
o
y
-
o-, espectivamente.i
a
dis-
tanciaentre
os
planos
es , calcule l
potencial
el
campoelctr ico n un
punto
Pque distaz
(z>>
) de
la distr ibucin.
Estadistribucinde cargaesequivalente una distri-
bucin
plana
de dipolos,siendodp
:
o 6
ds el
momento
dipolar de un elemento e rea ds.
El campocreado
por
dicho elemento n
el
punto
P es
d*lr:
e+
3(dpi'.)')
4fto
\
r r
/
+++r '++
| 00
problonttt:;
0
Floc
omnnltsmo
Eloctrusltltic
Se
uti l izan coordcnadas
polarcs
con origcrrcn cl
purt-
to O,
pie
de la
perpendicular
al
plauo
trazada desdc /',
el elemento de
rea
esv;_-:jnt?4t-lPor
simetra, al su-
mar las contribuciones
paralelas
a r, se anula-n as com-
ponentes
perpendiculares
a
p
y
slo
qugda
la componen-
te
del
campo
paralela
a
p.
Siendo u, el vector unitario
en
la direccin
de
p,
el campo elctrico elemental en la
direccin z es
u- dn
dE(r) :
^
. (- l+3cos'0:
+1rt
o
r-
:
r . o6r,d_Edr,
(
l+3cos2g)
4nen r
Sustituyendo
en la expres in anterior
z
tg9: r ' fz, dr ' :
*d0,
r ' : rsen?, r :zfcos9
COS.
U
e ntegrando ntre0
y
2n
parag y
entre0
y
I
para
0.
se
tiene
z
o
E(r)
:
uz
L--]
(cos
0
-
cos306lz
zEoz
El
potencial
elctrico se calcula de un modo anlogo.
El
potencial
creado
por
un elemen to ds
:
r'
dq dr'
es
dv:
o
r' drpdr' cos0 o sen
:_d]do
4nenneor2
Y el
potencial
en el
punto
P no depende
de la
distan-
cia al olano
dp.r
+TEor-
fj
o ren 0
f
2^
orj
u:
J,,
o^
u
),
o':
o;,,
^
/--\--a' \,,
'
- - -.-\ r , -,-.
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Una
carga
g
est dlstribuida
en el vol'urnen
de una
esfera
de radio Fcon
una
densidad
cbica d carga
no uniforme
p:
AIR
1, 'siendo la distancia
al
centro
de
la
esfera
y
A una constante,Calcule:
1. Et
vato' e la constante
A en funcin de
g y
de F.
@
t campo.elctrico
y
el
potencial
de
la
esfera
en-puntos interiores y exteriores.
3. Los valores
del
potencial
en el centro
y
en
la
superficiede
la esfera.
dv
=
4nr4.r
' lt
I
1. I-a.carga otal de
la distribuoin
es
f fR
nARa
q:
I
pd,
:
I
A@- r)4nr2dr
'u
'
Ju'
Jo
-- '--
de donde
.:3Q
zRa
2.
Los campos ienen
simetrfaesfrica
ssdireccio-
ncg
son radiales.
Aplicando el
teonemade Gauss
una
superficie
esfrica
e radip
r < R.
se
iene
r
t f ,
1fr '
I
p, .ds::
I
pdu:
-
1,4(R-r)4. i lr2dr
J,
so
Jo'
o
Jo
' ;
como el mdulo
de E tiene
el mismo
valor en todos
los
puntop
de la supelfigrg
gau_si_aqa,s9
erifica
J
",.u.:
"",rr: ,f ar: @'
por
tanto
E,4nr2.:
|(oo,^f,
-
or,),
t*
ur=
#"^^(4Rr
-
3r2)
El campo
en uo
punto
exterior se
obtiene aplicando
el teoremade Gauss a una superficieesfrica-de adio
r)R,
f
-
l f*
1
-
q
I
E, 'ds:-
| Pdu:-n
E":-
J"
-" --
so
Jo
to
4neor2
El
potencial
se
calcula
a
partir
de la circulacin
del
campo
(para
r < R)
l t f a
v,-
v^:
-
J*
E,.dr:
J.
onfF;(4Rr
3r2)dr
q / t 2rz 13 \
v' :vn+4*%\n-**^-)
(para
>
R)
V,
V* :
-
f*r".dr:
l_#,*:#*
i
j
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Parar:R
tl
-
vR
-
4neoR
de donde
a /2 2r2 13\
v n:.*
[
-
^t
*
*. /
v
-q
e)
r>R
4nuor
3. El
potencial
en el centro
de
la
esfera se obtiene
susti tuyendo
en la expresin
1)
el valor de r:
0
q
vo:
2n%R
El potencialen a superficie e a esfera, a calculado,
se obtiene
sustituyendo
:
R en cualquierade las
ex-
presiones1)
o
(2)
(1 )
1.
En a regin < a E: 0
En
la regin a < r < b el campo elctrico
iene si-
metra cilndrica
y
su direccin
es a radial de as coor-
denadas ilndricas.
Aplicando el teo remade
Gauss a
una superficie
ilndricade
radio r
y
altura h,
y
teniendo
en cuentaqueel flujo del campoelctrico travsde as
bases
s cero,se iene
/
-
R
-
4neoR
El
espacio omprendidoentre dos
ci l indroscoa-
xiafes
ndefinidos e radios
ay b
(a
< b) estcarga-
do elctr icamenteon una densidad bicade carga
no uniformE,
:
A,
siendo
la
distancia l eje de
los
ci l indros A una constante.
Calclese:
1. El campo
elctr icoen las dist intas egiones
del
espacio.
2. La
diferenciade
potencial
entre los
puntos
r= R.,y :82,
siendoa b
Er2xrh::
|
ZnrhAr2dr
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\-.____--..-
' i
(
12
Y
2.
Se calcula
V^,
-
campo
elctrico
V*,
a
partir de la
circulacin
del
Se
aplica
el
principio
de
superposicin.
a
esfera
on
Iagavtdads-9*pgp-d^s-gq-qqde*sr.spmo-lasupsrp*ssiprp'dc
uggesfrra'dsJ.dis3+*unrf,ornnsmpnle'"sarcada"Qon'
en.
tidad*e*Uteu
d.e*paxga.-t"p*y-atta-s$ftra-ds*radio'
2""uni'
fg$sgu0-e,ule...cargada..gaa-ds-q$1d.rud*qubjsa-dp*Earga-:'p"
gf
.urnpo
elctrico
n
un
puntocualquiera
el
nterior
de la cvidad ser la suma de
los
campos
creados
por
las dos
esferas
en
dicho
Punto.
El
campo
elctrico
en
un
punto
interior
de
una
esfera
cargadauniformemente con densidadde carga p se cal-
cul
apcando
el teorema
de
Gauss
a una
superficie
es-
frica
be
radio
r
< R,
cncntrica
con
la esfera
catgada'
Debido
a
la
simetra
el campo
es
radial
y
tiene
el mismo
mdulo
en
todos
los
puntos de
1a superficie
gaussiana
-
p4nr3
E4rr ' :
3*
de donde
se
obtiene
el campo
elctrico
o
": ,*
t'
Superponiendo
os
campos
de
las
dos
esferas,
arga-
das
con
cargas
l
p
y
-
p, en el
punto P
que
dista
rt
y
r, de
los
cantros
O,
O,
de
las
esferas,
e.
btiene
el
c.ullpo
en
el
punto P
de
a cavidad
v^, vor:
Una
esfera
e
radio
R.,,
ue
est
cargada
on
un a
densidad
de carga
uniforme
p,
t iene
una
cavidad
esfrica
de
radio
B,
no concntr ica
on
la esfera'
Calcular
l
campo
elctr ico
n
el interior
de la
ca -
vidad.
fb i*,
t- , t
- l
Erdr- l
E,dr
J,
Jb
v^,v^.:
f^,(ry).
+f F3.
v^,'
^,:
*(ry
+
on f,+
^ +)
o
:
lr,
-
r, )
Jt o
pp
^
tr-=2
Jto
J o
E:
Er
*Ez:
ElecffasttiEa
^_@
Solucin
13
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U^
Solucin
14
sicnclo
r
-
r:
:
rO), resulta
n:
oa
Jt o
El campoelctrico
n el interior
de a cavidad
es uni-
lbrmc
y
tiene a
direccin
e a recta
que
une
os
centros
dc
las
esferas.
El electrn
e un tomo
de hidrgeno
puede
con-
siderarse
distr ibuido>
n todo el
espacio on
un a
densidad e
carga
2r
P
:
Ae-,
siendo
a
:
0,53.10-10
. Determinar:
1.
Elvalor
de la constante de modo
que
a car-
ga
total
del
electrnsea
-
e.
2. La
carga
otal dentro
de
la
esfera
de
radio
a
que
corresponde
l radio
de la rbita
del electrn.
3. El campo
elctr ico
n funcin
de rcreado
po r
esta
distr ibucin
e carga.
El trminodcl
parntcsis
s nulo
y
la integral
e
re -
suelve c
nuevo
por partes
( /
o
-1\-
f '
"
I
Q:4nAa\[-;"
ur]
- l - ;e
odrl
(\
z
. /o Jo
L
)
el trmino
del
parntesis
e
anula
y
se
obtiene
(a
/
o
l\-)
e:4nAa1;(-; , " l l :Ana3
LZ\
z
/o )
siendo
Q:
-
e,
e
A-
-
"
ITQ-
2. Resolviendoa misma
ntegral
que
en el apartado
anterior, tomando
como lmite superior
r
:
a,
se iene
f
to
2,
O":
I
PQ)dv:
"
*- ;+n"d ' :
-'
Jv Jo
: *o{(-;ti*)'"-
f,-;"
Q.:
n,e{-+,-,
(t
ti,)"".
a2
lo
-2J
l
*
,
) "e
a
dr l=
-0,323e
-
"Zrrl
)
3. E'l campo
elcttico se obtiene aplicando
el teore-
ma de Gauss
1.
Dada
a
simetra adial
de a distribucin
de
carga
y
resolviendo
a
integral
por
partes,
e
iene:
f lo
-2 '
O:
J,P@)du:
"
o"
o4nr2dr:
\
-'
-2:
\@ f@ n -2'
)
)
:4nAt(-;
r*),
I
i ,
;z,a,l
E4rcr
E(r):
I
f '-
e
-'z:
-
|
- '=e
a4nr"dr
t'o
) o
na'
e
f ' r
-2 '
^
I
^e
oLt t rzdr
neor'
Jo
fta"
100
roblemas
e Electronagnetismo
Electrosttica
15
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10/108
N1
Hi##,$ i i ; i
I
16
, , ,n=#{ ' -
, t l : f f i{t
quc puede
escribirseambin
Intcgritndo
los cces
or partes,
eobtiene
La energfa e ntcraccin ntre os dipoloso energa
del dipolo
2 en
el
campo
del dipolo
1 es
y,,
-pz.E,
+(+
-
(P'
l(e'
))
wzt
:+(cos(g,
-
or) 3cos
,
cosdr)
+fteOf
Derivando a expresin e la energa on respecto
0r, supuestosijos
r
y
0p e
igualando
a cero se obtiene
la
posicin
de equilibrio del dipolo
pr.
)Wrt
P z
-,
[sen(0,
0r)
+
3 cos , sen r]
:
0
oaz +fieor-
Desarrollando despejando r, seobtiene
-':
-,(:), -,G)'
i\
* -I rl'*L z(:)'lri\
De estemodo seevidencia
ue,
a
distancias
equeas
delcentrode a distribucinde carga,
omina
el
trmino
exponencial n el campo elctrico,mientras
que
si
r
aumenta
prevalece
l trmino culombiano.
Siendo el vector distancia, upuesta nvariable,
entre
dos dipoloscoplanarios e momentos
p i
p2 ,
y
siendo0,
y
0r los
ngulos
que
estos dipolos or-
man, espect ivamente,
on a direccin e r ,
deducir
la relacin ntre
0, ' 0, en
la
posicin
de equi l ibr io,
considerando
onstante l
valor
de 0., .Se conside-
ran
posit ivos
os
ngulos
omados en la direccin
contrar ia la de las
agujasdel
reloj .
roz: l rrt ,
z.
Es decir, el dipolo
p,
se coloca en la direccin del
campo creado
por
el dipolo
pro gue
es su
posicin
de
mnima energa
o
posicin
de
equilibrio.
Tres
esferasconductoras
dnticas
de
radio
a es-
tn colocadas n os vrt ices e un tr inguloequi l-
tero de
lado
b
(b>>
). Inic ialmente
as
res esferas
t ienen cargas
gualesde valor
q.
A cont inuacin,
una a una
y,
sucesivamente,e conectan tierra
y
se
desconectan
Cul
er
a
carga de cada esferaal
f inal del
proceso?
100
roblemas
e Electromagnetismo
Electrosttica
a
/-\--/'=\r/
Solucin
\,,
.iri
f
17
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11/108
Solucin
18
@
sustituycndol valorde
41
rlculadorntcs,eobtiene l
vulor
dc
h carga
q',
\
4'z:
-
4' t
Por ltimo
se conecta
a
esfera a''terra
y
luego se
desconecta
vt :
obtenindose
Q't
+
n',
*
4'z
:0 ,
4neoa
4neob
4rceob
aaa2a
l - t t l :zqar-qi
aa
Q't: Q'r$-
Q'26
Inicialmente
Qt: Qz:
Qz: Q
Si se conecta
a esfera1 a tierra
adquiere
una carga
q',
tal que
%
:0, luegosedesconecta, s decir,seasla,por
lo
que
semantiene
u carga
q'r.
El valor de
q',
secalcula
de a condicinV,
0.
Por
el
principio
e
superposicin
se iene
e'rqq
t1
=;.-
T
-------=
r -:---::
v
'
4neoa
4rcob ,' 4neob
y
se obtiene
-
.
a
q',
:
-2a
-
l
,b
A
continuacin
se
procede
del mismo
hodo con la
esfera ,
que
adquiere
una
carga
e'2eue
verifrca
V :
Q'z
+
4' t
+
Q
:O
'
4neoa
4ntob
4neob
y
sustituyendoos valoresde as cargas
\
y
4'z
calcula-
dos antes, e iene
a2
a3
a2 a2 e3
e\:
2q
*
-
2q
Ar*
q
*:
3q
a,-.2q a,
Una esfera onductora
1)
de radio R'
se cargaa
un
potencial
Vy despus e asla.A
cont inuacn
a
esfera
1)
se
rodea
por
otra esferaconductorahueca
(2),
oncntr ica
on
el la,
de
radios
Rry Rr(R2< R3l,
y se desea alcular os potenciales e las esferas n
las situaciones
ucesivas iguientes:
, , i l l
La
esfera
2)
estaislada descargada.
). La esfera
2)
se
une
a t ierra.
l3:
La esfera
2)
se desconecta e
tierra
y
despuds
la
esfera
1)
se
conectaa tierra
r)
00
roblemas
e Electromagnetismo
Electrosttica
:
19
-nr'lr-
7/25/2019 100problemas Electro
12/108
Solucin
1
0
problenas
de Electromagnetismo
Electrosttica
potcncial
N
V,
n,0
y
su curgtt t t tnbit trd
r1',
uri tqu e
6l
potenciol
en
ero,
Los vttlorcs lc
os
cittttpos
ion
Inicialmente
a esfera
1)
seconecta
l
potencial
V
ad-
quiriendo
una
r:
4neoRrV.
continuacin
se
asla,manteniendo
u'carga
constante.
L La
esfera
1)
iene vna carga
qr:
4neoRrV
la
esfera
2) por
influencia
adquiere
una carga
-
4t
en
la
superficienterior y *
et
en a superficie
xterior.Apli-
candoelprincipio
de superposicin, ,se
ienen os
poten-
ciales
de as dos
esferas
y
los
potenciales
ecalculan
partir
de
a circulacin c
los
ccmpos
fR' a',-q,
vi:
-
)*
u'rd,
4,r=
'
,^, nt n'
(l
J\
v --vL:
v 'z:
.J . .
*#d,:h(n-o-)
De estas
dos ecuaciones e
obtienen a carga
de la
esfora
1),
e'p
y
el
potencial
de a esfera
2),
Vr:
( l l1
7/25/2019 100problemas Electro
13/108
Solucin
100
roblemas
e Electromagnetismo
{t'q:di &x.[tr'"
''l*0 **#WtfflIl
*
b) Si se desconectan
as esferas
de sus
fuentes
y,
a continuacin a
esferade radio F,
se une a tierra,
calclense,
n esta
situacin,
as
cargas
y
los
poten-
ciales e cadaesfera
la carga
que
ha
pasado
de
la
esfera
de radio R, a tierra.
a) Suponemos
que
las
cargas
adquiridas
por
las es-
feras
son
et, e2,4.;
aplicandoel teorema
de Gauss, e
verifica
para
< R,
Eo:0
vz-
=
-
Jn,
A;;
t,=
i:;
\n
n/
(2)
"
fR'
4t
,
Qt
(l
l\
v,
v,=
Jo,
,r
,
-qh(n
-
;)
(3)
Resolviendo
l sistema c ecuacioncs
l),
(2)
y
(3),
se
sbtiene
4mr(V,
-
V2 \
4t:
-7--
"
( i i )
q,=4n,of=
++l
L&-&
&-&J
q3=4neof*^,Y+l
L
&-&J
b)
Cuando
se
conecta
a
esfera e
radio R, a
tierra
y
lcr
orferas
e
radiosRr
y
R continan
aisladas, e
tlener
c;fbra
t corga
r y potencial
i
ofbre2i
carga
', y
potencial
VL
=
0
ofere rarga
,
y potencial
Loa
eempos
n
las
tres
regiones on radiales sus
mdulo
on:
R,
R.
siendoasdireccionese os
campos
adiales.
os
poten-
ciales eben
erificar
v^:
-
lR '
q, + qz
l l to,
-
qt *
Qz
%
11 )
"
J-
4neor'
neoR,
Eleatotlo
7/25/2019 100problemas Electro
14/108
4*
\5
24
r lR
-
4t* ' | ,rq,
1
:
-----*;-
'
4ftEnr'
y
los
potenciales
erifican:
f^,
nr* 4'z*
ez,
Qtl
q'r l q,
v
3:
-
)_
a^
or
:
4*g,
v:: _ l*'
q,+
q:
nr:Q,
e',
fa _ 1).
'
Jo,
4neor '
4t t to
\R,
Rr/-
de donde se
obtiene
la
cargade la esfer a de radio R,
Qz:
ln,
*
n,
)
\
^./
Los
potenciales
e as esferas e radios R,
y
R,
son
ffi,=h(i )
,':o\*(i ) #( #)
c) La
ca;a
que
ha
pasado
de la esfera de radio R,
a tierra es
ez
e'2.
fR '
v 'r :
-
|
JR .
Tres minasmetl icas
aralelas
e rea S estn
dispuestas omo se indica en la f igura: a lmina
centraf aislada, iene una carga A
y
las otras dos
estnunidas
elctr icamente separadas e
la
lmi-
na centraldistancias
y
3d, respectivamente.
i a
la
lmina
zquierda e le da una carga gual
a
-30,
determinar:
|
00
problemas
e Electromagnetismo
f i)
Laa
ltr ibuclonos
e
carga
n
ae
supe
ficies
d-la
ro
minae.
2,
La
uorza
ue
acta
obre
a
mina entral.
8E
deprecian
fectos
e
bordes
d
7/25/2019 100problemas Electro
15/108
26
Aplicunckr
l
tcorcnla
c
Gauss
lassupcrf icicsun -
teadas ndicadas
n
la figura,
como
el campo
en
el
intcrior
dc los
conductores
s cero.
ambin
es cero
a
cilrga
ncerrada
or
la
gaussiana
elementos
orrespon-
dicntes)
orlor:0
oolor:0 (4)
Las
placas
A
y
C estn
al
mismo
potencial
Vn Vr: 0, es decir, a circulacindel campo entre
ellas
s gual
a cero:
O
O.
'd
+
--:3d:
O
;r o
Por
tanto
orl3on:0 (5)
Por
ltimo,
utilizando
argumentos
e
simetra
ot: o6
Resolviendo
l sistema
e as
seisecuaciones
e
obtie-
nen os valores
(3)
(6)
_3 Q
4S
_O
4S
I
S
o
o^: -
45
ot7
oa:
-
o2 :
os :
o2
4eo
3Q
45
2. El mdulo
de a
fuerza
or
unidad
de rea
o pre-
sin
electrosttica)
obre
a lmina
entral
s
dF
o'^ ol
O,
gO,
e,
--
+
-
:
dS 2eo
2 0
32eoS
32eoS
4eoS
su direccines normal a lwplaca y el signo negativo
indica que
est
dirigida
hacia
la izquierda.
La
fuerza
total
sobre
a lmina
central
es
100
problenias
de Electromagnetsmo
Electrosttica
8ea
un
Bletoma
ormado
por
tres
esferas onduc-
tortf
1,2
y
3, de
radiosR, Rry
F.
y
cargas
ev ezy
9r
olPcctlvamente.
asesferas
1
y
2 son concntri-
6t l
(8r
Rry Rs
7/25/2019 100problemas Electro
16/108
28
Segundo
stado:
lo est
cargado
el
conductor
2 bon
carsd
Q2;
os
otros
dos estn
descargados,
e
verifica:
vi :
q,
vL:
art , t ,
vL: atrqt
:
i t_
4nr;nR,
:Q ,
4ntoR..
:Q ,
4neod
I
4nt :uR,
I
(I t '
-
-
4nt,oR,
1
(Ir,
-
-
4neod
4neoR.,
I
I
d,r
:
-= -
4neoR,
1
1.:
-
4neod
ta:
dr t
dzt:
t z
I
f l?r
:
--
4neoR,
a"
V
'
:
d'A.
:
--
d., .
A*^ D
-taoor\2
q"
v.
:
ch.q"
4neoR,
Qz
vz
:
dszQz
+fteo4
Tercer
estado: El
conductor
3
cargado
con
czrgz
e31
los otros
dos
descargados,
e verifica:
v'i'
utrqr:
ffi
vi '
:
uztqz:
v'
:
azrqt:
Y- l
4neod
Qt
4neoR.,
Conocidos
los
coeficientes
9le
potencial,
el
potencial
de
cada
conductor
cuando
sus cargas
son
ql, q2
y q3,
soni
v,:
Q'
+
q'
+
q3
l lr
'
neoR,
neoR,
4xend
\- '
100
problemas
de Electromagnetismo
Electrosttica
v,
- .
. t
+
-:2=+
.3+
(3)
"
4ntrrd
4nr.tl
ntoR,
b)
Si el conductor
se
conecta
tierra, a
carga
ue
udrtrielc
e obticnc
dc la segunda cuacin aciendo
vt o,
q\:
Qt
-
Qt
Stmtituycndo
stevalor de
la
cargaen las ecuacrones
(l)
y
(3),
sc
obticnen os
potenciales
e
os
conductores
lv t
(l
t
v,
.l
'
4ru:,,11 4ntrrll, 4nql
R2
Qt ,
,o-
Qt
"3
-
4neoR. hteod
R2
d
vi*h,(i
^;)
Se
obscrva l efecto
pantalla,
es decir,el cond uctor 1
rtrt
nfluyc n el
3,
y
viceversa.
Un condensador
lanoparalelo,
uyas
placas
de
rea S estn
separadasuna distancia a, est total-
mente
rodeado
por
una caja
metlica
achatada on
8uB
bases
paralelas
las
placas,
e modo
que
la
placa 1)distabde la basede la cajaprximaa el la
y
la
placa
2)
dista c
de la otra base.Considerando
l
conjunto
como dos conductores
1)
y
(2)
y
la caja
metlica
como tierra, calclense
os
coefii ientes de
capacitancia
de inf luencia t1tc.,zy
22.
e
despre:
cia
el
efecto
de bordes
(a
7/25/2019 100problemas Electro
17/108
Solucin
30
( r)
(2)
/
Las
cargas
de
as
placas
en funcin
de
sus
potenciales
se
expresan
et:
cttVt
t
crV"
ez:
cztVt
*
crrV,
Como
los
coeficientes
on
independientes
el
estado
elctrico
del
sistema,
e
consideran
os
estados
lctricos:
Primer.estado:
a
placa
2)
unida
a tierra y
la
placa
(l)
a
potencial
Vr,
se
verifica
Los camposen las regiohesa y b son
E'=+
':+
V= 0
vr
vz=o
7= 0
y
las
cargas
de
las
dos
placas
qr:
eoS(Eo*
):
,oS
V,
ab
100
roblenas
de
Etetronagnetismo
Electrosttica
8^s
f-
-coSEo-
-tVt
a
on
Etr-#r-
s#
4z
eo S
, r t
=
l:
- ;
i,
,{irt
Qt
t r r=l
qr:
eoS(Eo
E)
:
,osgj:
V,
Q,
Al
C
czz: i :8oS-
v2
ac
-3q
a
lllllda
eatailo:La
placa
(1)
unida
a tierra
y
la
placa
phnolal
V2, os
camposen las
regiones
y
c son
V= 0
Yr=o
v2
V= 0
E':+E":+
flF
oargm
e as
placas
Qr
-eeSEo:
-
lo oocficientes
eoSV,
J
31
7/25/2019 100problemas Electro
18/108
ffiliu*'r
Solucin
32
El
ospacio ntrodos
planos
onductores
aralelos
indsfinidos
st
ocupado
por
cuatro
egiones
ist in-
tas
y
el
potencial
entre las
placas
vara segn
se
indica
en
la f igura.
Sabiendo
ue
la regin
en con-
tacto
con
la
placa
a
potencial
ero es el vaco
y que
esta
placa
iene una
densidadde carga superf icial
que
es
la
mitad de la
que
tiene a
placaque
est a
potencial
V: 1OV,
qu
nformacin
e
puede
ob -
tener
de
las
otras
egiones?
7
(cm)
Teniendo
n cuenta
que
as
superficiesquipotenciales
son
planosparalelos,
os campos n as
diferentes
egio-
nesson uniformes,
usdirecciones sentidos
e
ndican
en a figura
y
susmdulosson:
D
^
D
100
roblemas
e Electromagnetismo
Electrosttica
l in
lOv
v
*
.(X)0
I crn
ffr
lOv
v
Iir '-
i i, i^=
500
-
Il 't '
*
0
30v v
Er:7.,o = 1.000
Fltt
r
=
| cm
hay una
discontinuidad
el
campoelc-
lrlcrt,
que
crtrrcsponde
la
frontera
entre
dos medios
rl loldclr icos
l ist intos,
ntre
:3
cm
y
x:4
cm,el
po -
toffcf
l
e$
c()tlstante,
c
:0,
como corresponde
un
etrntiuctor
uc
est
a
un
potencial
:30y'
Si
a densi-
darl
nuperl'iciul
c carga
de
a
placa
situada
en x
:
0 es
cl doble
ele
a de
la
placa
situada
en x
:
7 cm,
se iene
oo:
EoEr:
1.000
o:
-
01 ,
oo
:i'- e,rEo
:
2o,
:
-
2'000 eo
cle
donde
e
deduce
u
pfiitiuif,u& Jiru
deldielc-
trico
que
ocupa
a regin
2.000
-_-1
""-1.ooo-"
lin
la
frontera
entre
os medios
A
y
B
(x:
1 cm)
se
conserva
a componente
normal
del vector
desplaza-
micnto
elctrico,
D.t:
Du,es
decir,8,,4.8.4:
,"E",
obte-
nindosea permitividad elativadel dielctrico ueocu-
pu
u
regin
B
2.000
^
-_-A
" 'u-
5oo
-
33
7/25/2019 100problemas Electro
19/108
Solucln
34
La mxima
intonsidaddel
campo elctr ico
qu e
puode
exist i ren
el aire,en condiciones ormales
e
presin
temperatura, in
que
se
produzca
uptura
es
3MVlm. Calcular:
a) El mayor
potencial
elctr ico
a
que
se
puede
conectaruna esferaconductora
de 2O
cm de di-
metro.
b)
Ou
uceder i , manteniendo
onectada a
esferaa dicho
potencial,
se la rodea
por
otra esfera
conductora
de radio 20 cm,
concntrica
con ella
y
conectadaa tierra?
a) La carga
que
adquiere a
esfera l conectarla
l
potencial
Vo es
q:
4neoRrVo.
l
campo creado.
or
la
esfera
s
E, :
4neor2
:vo
El
valor mximo del campo
es en r
:
Rr,
es decir
.E
Lmx
-
El irximo
potencial
al
que puede
conectarse a
es-
fera sin
que
se
produzca
a ruptura
es
(Vp)-n
E^e,Rr 3. 106.0,1
3. 10sv:
vn
b)
Si
la
esfera e mantiene
al
potencial
V^ su car-
ga
cambiar cuando
se aproxima
otro conductor uni-
do a tierra. Si la carga
que
adquiere a
esfera s
q',
se
R1
12
vo
R1
100
problemas
de Electromagnetismo
Electrosttica
I cr tc
E
=
ull,,,,,t
v^:-1
' , t r : * ( i
i )
l i l inrinnndo
1'
ntrc
as dos ecuaciones,
e obtiene
l
cntnpo
lctrico
ntrc
asesferas
u': l '^
t , )
t - -- l
\R,
Rr )
cuyo
vnlr tr
mximo s
3.
10 5
t, '
:6. l0 Vlm>E.upt, ,u
rn l \
I
^
-R
2R ,
ror
o
quc
saltar
a
chispa
entre
ambas
esferas onduc-
tor.$s,
En
el caso
a) a carga
de a esfera
s
q
:
4neoV*R,
En cl casob) la cargade a esfera s
n,
lrtovl-
:
4neov^2Rt:
q
R1
R2
Una esfera
conductora
de
radio
R est conectada
a una
uente
de
potencial
Vo. i
la esferase
rodeade
una capa esfricadielctrica, oncntrica on la es-
fera, de
radios
nterior
y
exterior
R
y
9R,
respectiva-
mente,
qu
permitividad
elativa
e, deber
ener el
dielctr ico
ara
que
el campo
elctr ico
n la zona
vacla
r>
9R)
sea 1,5veces
mayor
que
el
que
haba
anteede
colocar
el dielctr ico?
35
F|;FF-
7/25/2019 100problemas Electro
20/108
Solucln
36
Antes
de
poner
el dielctrico,
a
carga
de a
esfera
s
eo
vo :
4neoR'
Qo:
AneoRVo
Qo
Despus
de
poner
el
dielctrico
a
carga
ibre
de la
esfera
es
Q,
que
se
obtiene
de la
condicin
de
que
el
potencial
de a esfera emantiene guala Vo.
feRof^o
Vn:-)
-ar- t
---------
dr :
"
J*
4nt,or'
Jr(irrgi
-/
0
0
(1
1\
T-
4neo9R
4zreoe,
\R
9R/
-
o:36neo\ vo
er*8
Como el
campo
en
la zona
vaca
debe
ser
1,5
veces
mayor despus
de
poner
el
dielctrico,
para
r
> 9R
se
verifrca
|
--g-: , , --q
[dF:
' ' '
4n%,,)
100
problemas
de Electromagnetsmo
Electrosttica
e
docir
Q=l,5Qu
3(rn
,,r;"RV,,
:
1,5(4zeoRVo)
t ;r*8
de
dondc
sc dcspeja
l valor de la
permitividad
elativa
del rlielctrict'r,
btenindose
t :r: 116
Una
eefera
conductora de radio B est aislada
y
orgda
on una
carga
O.
Sobre a
esfera
e
coloca
un
dlelctrico
stropo ormando
una capa esfrica
de
radloe
nterior exteriorR
y
3R, espectivamente.
Celcular:
al
La expresin
de la
permit ividad
dielctr ica
part
que
el
mdulo
del campo elctr ico n la
capa
dblctrica
sea constante
y
no
exista carga de
pola-
rlracln sobre
a superficiede radio
38 .
b)
La distr ibucin e cargas e
polarizacin.
l-,us ampos
E
y
D
en
el
dielctrico on radiales
sus
mclulos
on
D:9
4nr'
o
4ter"
Pnru
que
el mdulo
de E sea onstante,
ebe erificar-
sc :r2= ,4,y por tanto
A
or-
1,
Ef-
siendoA vna constante.
Solucin
37
l
q; -
7/25/2019 100problemas Electro
21/108
38'
100
roblemas
e Electromagnetismo
l i l vcctor
rol iu ' iz lci r l r r
'
cs tunbin lcl ir l
su l rr t l -
clukl cs
A /.
l\
QQ:,-t)
I r :D-t rrE:
_l l -- l :
4zr2
\ \/
4nt,rz
La dcnsidad de carga
de
polarizacin
en la superficic
dc radio
3R debe ser cero
o': Pn.=,^:0
cs dccir
?(o
-tl
o
'
l
'
,
4nq.9R'
\
dc dondeseobtiene
A
8,,,^:1:-
A:9t^R'
eo9R'
De modo
que
a expresinde la
permitividad
del die-
lctrico en funcin de la distancia r al centro de la esfe-
ra
es:
b) La densidad
cin es
-Po:
_V'P:
A
9toR2
"r212
de volumen
de carga de
polariza-
I d
f
r2O
/gR2 \ l
| - | -_ ' l | :
12
Ar
l4n
'9R2
\
12
/ t
: - -9
,n^,-12):2Q.
4n9R2
12 r ' ' - '
'
l
36nR2
La
carga total de
polarizacin
en el volumen
del die-
lctrico es
/'.r
(
4t,
I
JI '
Lls
dcrrsidadcs
upcrl icialcs
c carga de
polarizacin
r1n
6..
-
0
^
_r
8
ou,
^,
I ' r , -n:P, .o: #O: -f f iA
l,n cut'gu
otal
de
polarizacin
n
a superficie sfrica
de
rtrlio
t c s
Anr2
tt.
l^'
'ronrlr:
u,
f,
n
^8
4P":
onu=*,4nRt:
-
gQ
Se cornprucba
que
la carga otal
de
polarizacin
es
ecro.
Dos esferas
onductoras
oncntricas e
radiosRt
y
F2
R1
R, se iene
QrlQt 4r*0,
E.:
" - :
D":
-4
'
4ttt,or"
'
4nr'
b)
Las densidadesde carga
de la esfera de radio
R,
en las
zonas vaca
y
con
dielctrico son
6
,:
D'),:*
;+ '
r:Kr
2nRiG
+
eo )
o'o:Da) ' :^ , : ; f f i
Las densidades e carga
de la esfera e
radio R, en
su superficie
nterior son
orr:-Dr\.
,
^l to
'r:R
2nR @ eol
,za:
-Do),:^,:
^#T "
En la superfrcie xterior
de la esferade
radio R, la
carga est
uniformementedistribuida
con densidad
_ Qt*Qz
.o:
D"l
-
:
-rr :^2
4nRi
|
00
problemas
e Electromagnetismo
I
I
t
(2)
Electrosttic
41
7/25/2019 100problemas Electro
23/108
ilWn$*nao'
I
\
42
c) Calculanclo
a
circulacinc
os
campos'sebtie-
rrcrros
potcncialcs.
l
potencial
e a esfera xterior s
vz:
I^,
,*:##,
La
diferencia de
potencial
entre las dos esferases
f^ ' o, / t
1\
V,-Vr:-
|
E,dr : f
--- l
JR. ' 2n(eo e) Rr R' )
El
potencial
e a
esfera
nterior
es
a,lq. a. / l 1\
,l
v.:-T-
'
4nerR, 2n(eo
)
R,
Rr /
Una esfera onductorahueca
de
radio R
y
espesor
despreciable st descargada, isladay situada si-
mtricamente
entre dos
medios
dielctricos
ndefi-
nidos
y
homogneos e
permit ividades
,, er.
Si en
el centro
de
la
esfera e colocauna
carga
puntualq,
calcular a distr ibucin
e carga ibreen las
superf i-
cies nterior
y
exterior de
la
esfera
y
el
potencial
de
la misma.
En cl interiorde a esfera l campoelctrico s
adial
y
su mduloes
-q
i " t :
4n^
La cargaen la superficienterior de la esfera s
gual
a
--
q
y
estuniformementeepartidacon densidad
_ __ q
" int
-
4nR2
La
cargaen
a superficie
xterior
de a esfera s gual
a
q,
pero
no
est
uniformemente istribuida.El campo
en el ex terior es
radial
y
su mdulo vara con
r
de
la
forma
k
E: -
El
potencial
de
la
esfera
es
lRk
k
V:
-
|
-dr:-
*r"
R
de donde
k: RV, E:ry
r-
Y las
densidades
e
cargade
os hemisferios
xteriores
son
or: (Dr)"=^ , RY
R,
: r
oz:
lDz),:*
v
R
v
-.
.R
ta"e, f ' r - i . - . ' j
i;.^v;
;
,
,
.,*i."".ja^e"*
.
:
Ld.
=
^
)urrbl^_*
{)
\'
dff*?flf
*{if;
;ti{'=
i,
{,
b':
*l=*'-**=
'
' l
|
, , . .
*. i. t
*( h rr I '* '-
q"
'"r
*;T
| 00
problemas
e Electromagnetismo
Electrosttica
-
?.
NZ * :4-
'
"f
tt "' *- ', * 'd
_,a'\-_-/.'-'\r/
Solucin
I;FFF-_ I'
.{dt
7/25/2019 100problemas Electro
24/108
44
(lotno
la
carga otal
on la supcrficic xterior
de la
csl'cra s 11
4:
@t
se obtienen el
potencial
de la esfera
v:
2nR@,
*
t,r)
y
las densidades
de carga
de los hemisferios
_exteriores
etQ
tzQ
o1 *,
(t, +
q)r N
o2 ^t:
(tJ
%rr R,
Para abricar
un condensador
planoparalelo,
e
deposita obreun electrodo na capa ina de un ma -
terialaislante
e espesor
: 1
pm,
de
permit ividad
relat iva
1.000
y
rigidez
dielctr ica1
MVlm. En el
intervalo
e iempo
ranscurrido asta
que
se depo-
sita el electrodo
superiorse
produce,pr
el contacto
con a
atmsfera,
na oxidacin
uperf icial
e
la
ca -
pa
de
aislante; a
oxidacin
se extiendehasta
un a
distancia
e
a:
1OO
por
debajode la
superf icie.
Estudiar
l efecto'de
staoxidacin
obre a
permi-
_t ividad
el
potencial
de
ruptura
del condensador,
suponiendo
ue
a
permit ividad
elat iva
el xidoes
100
y
su r igidez1
MVlm.
1,
*
o,)2nR2:
',
#
+
,,Y)znn'
La
capacidad
dcl condcnsador
que
sc
pretende
abri-
car es
s
^s
C
:
totr ;
:
e103
:
enSl0e
- 'd
10-o
y
su campo de ruptura,
o
rigidez
dielctrica, es Er
:
106
Vfm,por lo
que
el
potencial
de
ruptura
es
Vt: 106'10-6
:
lV
El
condensador real
que
se ha fabricado
es equivalen-
te a dos condensadores
en serie uno de espesor
d
-
a:
(10-6
-
10-8) m
y
el
otro de
espesor
:
l0-8 m
I
d-a
q
I
/10-6
10-8\
c:r .rrs*r*rs=*t[
*
*
io ') :
la capacidad del condensador real
es
e^ S
c':10'
C
es decir
C'
:
-,
lo
que
significa
que
la
permitividad
'1.1',
1.000
relativaaparente
el condensador s
1l
Llamando Et
y
Ez
a
los
camposen los dos medios,
aislante xido
y
V,
ala d.d.p. ntre
as
placas,
everifica
1
^
1,1. 0
e
to J
t rEr: erE,
Vr:
Er(d
-
a)
I
Er a
Siendo tt t tz se iene E, I Er, es decir, a ruptura se
produce
en el medio 2
(xido),
cuando
E,
alcanza el
campo de ruptura del xido, es decir, Ez:106V.
Se ie-
ne, entonces
100
roblemas
e
Electromagnetisno
103E, 102.10 6
E,
--
r}svlm
Electrosttica
a
./-.---r---\-P'
Solucin
45
r|||F---
7/25/2019 100problemas Electro
25/108
Solucin
46
Y
cl
potcncial
c rupturadel condensador
ealesme-
nor
quc
cl
dcl
proycctado
.
vz
-
10s.
0-6
+
106. 0-8
0,11v
Un condensador
i l ndricode radios R'
:
1 cm
y
83 2
cm t iene el espacio omprendido
ntreB,
y
Rz: 1,9cm l lenode un material e perrnit iv idade-
lat iva4
y
rigidez
ielctr ica
0
MVlm,
estando
l
res-
to al aire
(r igidez
1 MVlml. Calcular
l
potencial
e
ruptura
del condensador,
ndicando
en cul de los
dos medios
se
produce
a
ruptura.
Suponiendo
ue
a
carga
por
unidad
de
longitud
del
condensador
s ,1 aplicando
el teoremade
Gauss
para
el vector desplazamiento
ue, por
simetra,
iene a di-
reccin
adial de as
coordenadas ilndricas
e obtiene
7
_
D2nr:
). D
:
zn r
EI campoelctrico
n as
dos
regiones
s
I
F
-_
'
2nerh
1
Para una carga
dada,la
relacin entre
os
valores
m-
ximos de
los campos
en los dos
medios es
;#:+
mientras
ue
a relacin
entre os campos
e
ruptura en
los dos medios
es
E-:t-t*:20
E,
,u,
por
lo
que
a chispa
se
produce
enla
zona vaca,
para
r: 1.9 m
E,
^n*:
l06Vlm:
2ntol,9
t0-2
de donde
se obtiene
a
mxima carga
por
unidad de
longitud
que
puede
almacenar l condensador:
,7^:
2neol,9. l}a
Y
el
mximo
potencialque puede
oportar
el conden-
sador
potencial
e
ruptura)
es
Los valores
mlximosde
so n
los camposen
cada regin
)
D_
L2
mx
2nenR.,
_
Dt
mx-
2nen4R,
1^
(Rr
7/25/2019 100problemas Electro
26/108
u^
tffit.i
Solucin
48
Un condensador
lanoparalelo
e reaS
y
distan-
cia entre
placas
a
est
leno
de un dielctr ico uya
permit ividad
ara con la distancia
a
una
de
la s
,armaduras,
iendo
a funcin
de
variacin
elx)S
dc:1-
ax
la capacidad
equivalente
eri l ica:
1:f1:f '
a, :
C
J
dC
Jo
Seo(x
a)
q
A, -
:
j ln(x+
a)f$:; In2
Seo
J o
Por
tanto,
la capacidad
y
Ia
enetga
del
condensador
son:
x+ a
o-oo
a
Si se apl ica una diferenciade
potencial
V a las
placas,
siendo la placanegativa a correspondiente
a
x:
O,calcule:
a) La
energaelectrosttica el condensador.
b) La distrbucinde
cargas de
polarizacin,
I
comprobando
ue
la carga otal
de
polarizacin
s
I
nula.
I
a)
La
energa del condensador es:
-
w:I
nr: I
r '
El conden sador sepuede considerar formado por con-
densadores elementales en serie. Siendo la capac idad ele-
mental
Se n
r
-
------:-
-
aln2
b)
El vector
desplazamiento-al
z'
'-'.-.".-\
t\
I o:
- u"
l
,/
-
"---'/
el signo
-
significa
que
est
dirigido
en
el sentido
nega-
tivo
del eje
x.
El
vector
polatizacin
en el
dielctrico
es:
P: D soE:
"( '-
?): - 3( ' ; ) ' "
Siendo
u
"ugu
I 5
del
condensador
e^S
q:
Cv:
-- '
el
vector
polarizacin es:
e^V/
a\
P:--+-11- lu,
aln2\
x-ra/ '
Las
densidades
e cargas
de polarizacinen as super'
ficies
del
dielctrico
rximasa
las
placas
on:
1
Se"
w:-
"
V
2 alnZ
op(,:o):
P":o'(-u'):0
)
op1*:o:
P'-, ' [ r:
-
eo V
I
o,J
I i
+
r
.r
, r
r
l
t
+ i - -"
v:
ol
I
T"tf f irIt -
\ /
^
4'
100
roblemas
e
Electromagnetismo
2aln2
Electrosttica
49
7/25/2019 100problemas Electro
27/108
50
Solucin
l ,a densidad
c cargade
polarizacin
n el
volumen
dcl diclctrico
s:
dP eoV
&
P,:
_
v.P:
_
d_:f f i1_.ry
La
cargatotal
de
polarizacin
es:
la
ep: oplx:at
Jo
prdu:
e^Sv e^V
o 1
:- .=:- ;- l
^Sr/x:0
aln2
In2
o
$
*
a)
El vector
polarizacin
p
:
eo(e,
1)E
(arz
I)
ffi",
Las densidades
e carga
de
polarizacin on
o
(oo)^,
(PJ.:*,
-(aR
-
l)
q,*ni
o
1or)^,:
P,).:*,
(uRl
t)
qr*ni
pp:-y
:-"
(#).,
e^""):
_
o
t:
_
o
4nq.r2 r
ra
2nars
2.
La carga
otal de
polarizacin
es
la suma
de las
distribuidas
en as superficies
en el volumen
del dielc-
trico: Qo,uo Qp,ot
Entre as
armaduras
e
un
condensador
sfr ico
de radios
R., R,
l4
< R2Ihay
un dielctrico
cuya
permitividadrelativaes funcin de la distancia al
centro del
condensador:
.: af
,
siendo d-una
cons-
tante.
Si la carga
del condensador
s O, se
pide:
1.
Calcular
as densidades
e volumen
y
de
su -
perficie
de
cargasde
polarizacin.
2. Comprobar
que
la
carga otal
de
polar izacin
es nula.
1.
Aplicando
el t eorema de
Gauss
generalizado,
e-
niendo en cuenta a simetraesfrica el problema,
se
tienen
os campos:
rt
o
D
a
fio.ds:0,
D:;1u",
B:a:
JJ,4nr" 'Eooro ' '
(Q), :
(oo\^,4nRl
(oo)*,
nRl:
:
- (oRi
rr&+@R|-
r&
:3G,
)
@t).:
I^ ,r ,0,:
-
*""L *
4nr2dr:
:
-22;l:I:?G
c)
100
problemas
de
Electromagnetismo
(Qo)"+(Qo),:o
Electrosttica
51
t|;r--
7/25/2019 100problemas Electro
28/108
t[
F
Solucin
52
Se consideran ndependientemente
os conden-
sadores
lanoparalelos
dnt icos,
e
reaS
y
distan-
ciaentre as
armaduras . El
condensador
se carga
a n
potencial
Vy despus
e
asla,mientras
ue
el
condensador
permanece
onectado la
fuente
de
potencial
V,
Calcule:
a) Lasexpresiones
e
afuerza
ntre asarmadu-
ras en los
dos
condensadores.
b)
Si a causa
de dicha fuerza
as
armaduras
e
acercan na distancia x, cunto ara a energa e
cada
condensador?
Condensador
(q=
cte.)
a) Las uerzas
ntre
as armaduras
n os
condensa-
dores
son:
", :- l+)
ox/q
,r:(ry)
\ox/v
La energa
de un
condensador
se
puede
expresar
en
funcin
dela
carga
o del
potencial
siendo la
capacidad
rq2 1
^
w:
t: tv 'c
s
co
Condensado
(V=
cte.)
l0A
problemas
e Electromagnetismo
C:
Electrosttica
dondex es a distancia
variable)
ntre as
annaduras.
En
este asoconviene xpresara energa el
condensa-
dor 1 en funcin de la carga
y
la del 2
en
funcin
del
potencial.
La fuerza
entre
las
armaduras en los condensadores1
y 2 son:
_
q'
2 eoS
_VeoS
zx -
b) Al acercarseas
placas
una distanciaAx, hay
variacin de energa.En el condensador1
lq ' 1q '* 1.. ,^
1_.rcoS
w,:_L:
- :_
w":_v,c:_v
_
'
2C 2enS
'
2 2 x
Lq 2
-- ^ Ax
2
enS
F,:
-)n*(*)
:
F,: t**
(T)
una
w' + Lwt
*(x
- ax) Lwt:
*f
rL
Esta
disminucin e energa s gual al trabajo mec-
nico AI4z_, FrAx realizado
por
las fuerzasdel campo
para
acerar a$
placas
una di stancia Ax.
La
energa el condensador aumenta
cuando
as
ar-
maduras
eacercanAx.
.1.nS
W,+ LW":-V'
2
x-Ax
s^SY2
LWz:
^z
Lx
En estecasoel trabajo realizadopor las fuerzasdel
campoes ambin
positivo
e^SV2
LW
:
F,Ax:
-:
^
Ax
m2
'
2x t
'i
53
I
I
I
i
Il
.
el
peso
de
Ia
masa
7/25/2019 100problemas Electro
29/108
Solucin
54
Esto se
ustil ica
porque,
en estc
proceso,
a batera
aportaunacarga
Aq
al
condensaldor,uministrandona
enersa
AlVo* VLq: V2LC
Vt
$
At
La mi tad de esta energa se utiliza en aumentar la
energa del condensador
y
la otra
mitad
en
realizar el
trabajo de acercar as armaduras.
Dos
placas
metl icas
aralelas
e
reaa
x
a
y
se -
paradas
una distanciad estn sumergidasen
un a
vasi ja
que
cont ieneun l quidodielctr ico e
permi-
t iv idad relat ivae,
y
densidad. Calcular
a
altura
h
de l quido
que
asciende ntre
as
placas
uando
se
apl ica entre ambas una di ferencia e
potencial
V.
Desprciese l efectode los bordes
y
el
rozamiento.
Lasdimensionesle
la vasi ja la
cant idad e
quido
son
o
suf ic ientemente
randes
ara
suponer
que
el
nivel
del
l quido
se
mantiene onstante n la vasi ja.
Debido
a
la fuerza electrostticasobre el di elctrico,
ste subir entre las
placas
una altura h,
hasta
que
la
100
roblemas
e
Electromagnetismo
Electrosttica
fueza
electro
sftica
se
equilibre
con
de
lquido
que asciende.
Es
decir,
se
verifica:
F
:
(vwv:
ms
La
energa
lectrosttica'
uando
el dielctrico
ha
as-
cendido
un'
altura
x,
es:
1.
-_
l_
,,
(to
-
*lo
*
A)
:
w:
tv c:2
\
d.
d
/
I Vza
-- ,
d
[eo/-*x(e
-co) l
siendo
Ly
xlas
alturas
medidas
sobre
el
nivel
dellquido
en
la
vasija.
La
fuerza
sobre
el
dielctrico
es
:
V2q
F,:
(YWr:
,
(t
-
to )
El
peso de
la columna
de
lquido
es
P:
ahd6g'lgua'
lando
ambas
fuerzas
F,:#(c-e6)
:ahd6s
se
obtiene
a
altura
ft del
lquido
.
V2(t,-
t)
V'4@,-
l)
h:
ur6g
:-
,ards
Dos
esferas
metlicas
de
radios
R',Y
R,
estn
se -
paradas
una
distancia
d
(d>>
R1,
R2l '
Cmo
debe
iepart i rse
una
carga
dada
q
entre
as
dos
esferas
para
que la energa
electrosttica
el
sistema
sea
55
mfnima?
s entonces
a poten-
7/25/2019 100problemas Electro
30/108
Solucin
56
Cul
diferencia
e
'cial
entre
as
dos
esferas?
(Las
esferas
se
suponen
o
suficientemente
leja-
das
para
poderlas
onsiderar
omo
cargas
puntua-
les
cuando
se
calculan
os
potenciales
ue
se in-
f luyen
mutuamente.)
Si las
cargas
de as
esferas
on ql y
ez:
q
-
ql,
es-
pectivamente,
a
energa
del sistema
es
I
1
| (
q' L) *
:
retvt
r;azvz:
ie, ( . *d
+
imnal
1
/__q'
*
n,
)
iqr \+nron,
4nend)
w:
|
(*ql*2q'qz\ -
8nco
R,
R2
d
l
t
(
ei ,
@
qr) ' ,
2q, (q-
s,)\
-sr%\&-
&
-
d
)
La
condicin
de mnima
energa
es
ry
:
-t
( 'z
-2(q
q)
*2(q
q,)
_ ?t\
:
n
dq,
8zeo
R,
R2
d
d
)- '
100
roblemas
e
Electromagnetismo
Electrosttica
clcdondc
sc
obticncn os vrlorcs
e
as
carras
ll
R2 d
4t:Q
1 |
2
RrR2d
t l
R1 d
Qz:Q
I | 2
RrR2d
Sustituyendo
os
valoresde as cargas n a expresin
de os
potenciales,
e
iene
/
^
q,
\ /
q,
^
\
v,-v": [
' '
+
"
l_ l
""
+
Yt
l:o
\4zeoR,
4neod/
\4zeoR,
4neodf
La
energa el
sistema
s mnima cuando as
dos
es-
ferasestn
al
mismo
potencial.
A
qu potencial
Vodebe
conectarseuna esfera
conductora
de
radio R
y
densidad
para que
se
mantenga umergidahasta a mitad
en un dielctr i-
co lquido de permitividadelctrica elativae.y den-
sidad'(' 2l?
La esfera
adquiere una carga
Q,
siendo o,
y
o,
las
densidades uperficiales e carga
de
os
hemisferios n el
Solucin
57
FFr
7/25/2019 100problemas Electro
31/108
vacfo err l fquido, espectivamente.
asdensidadese
carga
ecalculan
partir
de
os
campos. or a
simetra
del
problema,
l campoelctrico.esadial
y
de
a forma
i" \ /-\
" ,
'
E:-r1
u,
\
\
, ,
\._1,*._/
La constante
/r se expresa en funcin
del
potencial
de
la esfera
f*k
k
Vo: - |
-dr:=
*r '
R
De dondek
:
VoR, el campoelctrico
s
%R
E:7,,
Los vectores
esplazamiento las densidades
e carga
son:
R
Dr: eoVo
,u:,
e^V.
o,
:
(D,) , :o.u,:1-
R eoe,Vo
D,
:
eoerVo,
, or:
(Dr), :p.u,
-
,R
La fuerza
sobre cada hemisferio
se obtiene a
partir
de
la
presin
electrosttica. s
sobreun elemento e tea
ds del hemisferio
vaco. a fuerza
es
dFr:
ptds:
{
n'sen0d0dE
.o o
-Al
sumar as uerzas
lementales,as
componentes o-
rizontales
se
anulan
y
la fuerza etultante es vertical:
f' Rzoz f 2n (nt2
r,
:
I
dF,
cos
:
- ; :
|
,p
I
sen d0cos0:
J
zo
Jo Jo
_
nR2o?
1.
Lo o
100
roblemas
e
Electromagnetisml
(hacia
arriba)
3eo(e"
1)
Electrosttica
Anlogamente
^2
dF
:
pzds
]
n'sen0d0
d< p
LoOo
r
y
la fterza
sobreel
hemisferio n
contactocon
el lqui-
do es
I nRzo?
F,
:
I
dF
rcos?
:
;::
(hacia
abajo)
J
LOL|
La fuerzaelctrica
esultante
obre
a esfera
iendea
introducirla
en
el lquido
nR2
ol
,\
nt'oVl
F: F,-
Ft:
a
\;
- ' ) :
- ;=
G.-
r)
La condicin
de equilibrio
es
que
a sumade
as uer-
zaselectrostticaF,
eso
P
y
empuje
E sea
gual a cero:
F+P+E:0
esdecir
* , , , -
1)
,n 'ao
_
lnR'6'o:
de donde
se tiene
4R3g(6'
26)
r tz
-
vo
-
-v
59
\,
v\-------r'-.r-
7/25/2019 100problemas Electro
32/108
3lmllamn
o
Solucin
60
Ou
arga
debedarsea una esfera onductora
e
radio R
y
densidad
para
que
se mantenga
umer-
gida
hasta a mitad
en un l quidodielctr ico
e
per-
mit ividad
elctr ica elat iva .
y
densidad '
('
> 26)?
Se
esuelve
del mismo modo
que
el
problema
anterior.
La nica diferencia es que ahora hay que expresar las
densidades
de carga de los dos hemisferios
o,
y
02 en
funcin de la
carga
q.
Por
conservacin de la
carga elc-
trica
or2nR2*or2nR2:q
(l )
Como la componente tangencial
del campo elctrico
seconserva
en la superficie rontera
entre
os
dos medios,
Dt:D,
o
60,
y
por
tanto
ot
_
o,
(Z )
to o"
Resolviendo
el sistema de
ecuaciones
1) y (2)
se ob-
tiene
CI
o':F+
oz :
Qt,
2nR2(l
+
q)
La fuerzaelctricasobre a esfera, egnvimos en el
problema
anterior.es
F:Fr-Fr:
*( :-"?)
100
roblemas
e Electromagnetismo
Electrosttica
nll2
l t :" -
2t,,
.- 2
q
8eozR2(1 e,)2
de
donde se obtiene la c arsa
12ftR2(l
*
t:,)f2
(.
1)
t_
l -
q2
I
t ' ::
lznnz
*
r;.)12
8eonR2(1
e,)2
y
su sentidoes al
que
tiendea sumergir a esfera n el
lquido.
La
condicinde equilibrioes
F
*
P
+
E
:
0, es
decir
-2
(e,
1)
+|nn'ao
_
21nR'6'o:0
s'
+
n2toRss*T
@'
26)
5
Un sistemade res conductores st
ormado
po r
tres ci l indros oaxiales e
longitud h. Los
ci l indros
1
y
3
de radiosR.,yR"
81
< R3)
onsti tuyen
n con-
densador i l ndrico el ci l indro2 es un tubo de ra-
dios interior
y
exterior a
y
b,
respectivamente
(R.,
a
'dt : NI ,
J
(
*
\r9-
e): NI -/
Un oroide
cuya
circunferencia
edia
mide :50
cm
est ormado
por
un material.magnticamente
ineal
de
permeabil idad
.:
100
un
entrehierro
e ongi-
tud e:
2
cm. Cuando
el material
st odeado
e Nespirasrecorridaspor una corriente : 200 mA,
el
campo
obtenido
en
el entrehierro
s B":
10 mL
Si
se dupl ica
a longitud
del
entrehierro
mantenindo-
f f"
ds:
B,:B.
Llamundo
a
os
campos
n
el material
y
en el entrehierro
E^,
H^y
8",
H", respectivamente,
n
as condiciones
ni-
clglcs
c
verifica
H^.0,48
+
H".0,02:
N.0,2
H-oH"
:
to
00H-
:
0,017
rcsolviendo
stas
res
ecuaciones,
e iene
H,,:
7,96.
03Am-',
H^:
79,6
m- 1
\r
987 espiras
Si
sc
duplica
a
longitud
del
entrehierro
:
4
cm
y
I'.: e
=
46 cm.
se
verifica
H;.0,46
*
H"'0,04:
NI '
siendo
B":
l0 mT;
H^y
H"fendrn
el valor
calculado
lntos seobtiene
79,6.0,46
7,96.
030,04
100
roblemas
e Electromagnetismo
I' =
987
:0,36A:
360
mA
Magnetosttica
Solucin
125
P(r
0)
Una esfera erromagntica
e
radio a
est mana-
da
uniformemente
on manacin
M.
Hal lar l
cam-
po
magntico
entro
y
fuera de
la esfera.
Seundtt
tnil icitt:
it l el
l ltcrirl l
dr
it
cslbrit
l
p()lcll-
o lnl
s
l ist into
lc
nf
ni to,
s lccir ,
i
- -r
,
{ , f
)
#
'x ' ,
dc
dontlc
sc
obticnc:
Czo:
Czr:
Crr:
Cz.r :
' :0
ffi
./ \
/'
-
,
7/25/2019 100problemas Electro
65/108
Solucin
126
Como
no haycorrientes
:
-VV^y
tambin
seve-
rihca
V.H
:
Oy'ya
ue
al
estar a esfera
niformemente
imanada
V.M
:
0.
Por
tanto, el
potencial
magntico
escalar
erifica
a ecuacin
e
Laplace
YzV-:0 dentro
y
fuera
de a esfera.
omando
coordenadas
sfricas
on
origenen
el centro
de a
esfera, iendo
a direccin
polar
definida
por
el vector
imanacin
M,
el
potencial
slo
depende
e las coordenadas y
0. Las
soluciones
ara
el potencialson de a forma (vase roblema40):
V$t(r,
0
:
Ar,r'P,(0)
crnr-{ '+l tP,(o)
r >
a.
vff) ( r ,o) :
i
or ,r ,r ,(o)+
i
crnr-@+rrp,(o)
7/25/2019 100problemas Electro
66/108
mente.Para
cada valor
de
n"
se ienen
dos ecuaciones.
Las ecuaciones
orrespondientes
n
:
0 son:
(Croa-z
,+roa-\.ff:
O
'comoPo 1,es
Csa-zPr:
g
dpo:O
10
:
y
se obtiene
Cro
:0
y
Aro indetetminado,
e
toma
Azo: 0,
ya que
al ser
el trmino cotistante
slo afecta
l origen del
potencial,
no a los valores
del campo.
Las ecuaciones
orrespondientes
n: 1 son:
Ctta-t
-
Ar,
0
zCta-t+A)t-M:0
de donde se
obtienen
c, , :Y -
v
A,, :Y
De las ecuaciones
ara
n
:
2,3,...,
r?, eobtienen
Ctz:
CLt: Ct+:
. . .
:
Crn.: 0
Azz:
Azs: Az+:
.- .
Azn:
0
Los
potenciales
en
el exterior
y
en el interior de
esferason
la
,4lrt,0):H*:U
vf)(r,0): "o"e
100
roblemas
e
Electromagnetsml
Magnetosttic
m=narM
que
el
potencial nterior
es
el
potencial
de
un
uniforme.
obtiene
el
campo
H, fuera
y
dentro
de
la
esfera,
ndo
H
-
-VV^
,
y
e
os vectores
unitarios,
radial
y
azimutal,
H,
creado
por
la esfera
manada
en un
punto
cxterior
a
la
misma
es:
Ma 3
Hte:
3
seno
Hze:{r"ne
H,
=#(24cosg
*
urseng)
2Ma3
H, ' :
3
coso
M
H?,:
-
,
cos9
En puntos nteriores as componentes
el
campo
son
'Campo
magntico
H,
en el
interior
de
la esfera
es
O?ucsto
a
la
imanacin
y
se
lama
campo
desimanador:
[
, El
campo
magntico
B, en el
interior
de
a esfera
iene
l'lf direcciny pntido de la imanacin
i
$''
t,
:
ro(M
H,)
ro
rvr
T)
:',
uo*'
,,. j {.
\
J
/
M
H2
129
*f
FFF
u)
l i l c i t tnrol
en
n csl 'eru
s nicrrncntel
produ-
eldo
por
os
polos
magnticositundos
n a supcrf icic
(cnnrpo
lcsimanudor).:s
un campo niforme c valor
M
-T
7/25/2019 100problemas Electro
67/108
130
Una
esfera
erromagntica
e radio
B est
unifor_
memente
manada.
La
curva
de
desimanacin
el
material
ferromagntico
que
constituye
ta
esfera
est
representada
en
la
grfica
de
la figura.
Util i-
zando
el valor
del
campo
desimanador
la
esfera,
hal lar:
a)
El
punto
de trabajodel imn.
B(7)
1,0
0,8
0,6
0,4
0.2
aH(m7)
=
Itor anto,
l campomagntico
es
lM \
2
B
:
ro(H
+
M)
:
r.
( -
1
*
*
) :
t
ro M
Severifica
B
-: -2u^
H
La recta
1)
corta a la curva
de desimanacinn el
punto
de trabajodel mn:
trtoH
200
mT, B:0,4 T
b)
La imanacinde a esfera
s
B
0.2
M --- H---- -:1.59.105 Am-|
Ito
4n. O-
La densidad uperficialde
polos
magnticos s
ou: M
cos0:
1,59' lOs
os0
La densidad uperficial e corrientesde manacin
es
K,
:
M
x
u,, Ku)r:
y*
:
1,59. 0s en0
-- t
--J
Un circuito
magntico
est ormado
por
un n-
cleo erromagntico n orma de oroidede
seccin
s:2
cm?,longitud :
60 cm
y
un entrehierro : 2
(l )
100.
50
b)
El valor
de
la imanacin
de
la
esfera,
a
den_
sidad
de
polos
magnticosy
las
corrientes
de ima_
nacin.
100
roblenas
de
Electromagnetsmo
Magnetosttic
131
mm,
rodeado
de N:
300
espiras
recorr idas
po r
una
corr iente
de 2,5
A.
Determinar
os
campos
en
el
entrehierro
i la
curva
de
primera
manacin
de l
materal
erromagntico
e corresponde
on
la
si _
guiente
abla.
(r /r ,
-
0 Af
nt,8, , :0,470
7' )
l,t
intcrscccin
e esta
cctacon
a curvade
primcra
7/25/2019 100problemas Electro
68/108
Solucin
132
BIT)
0
0,120
0,325
0,550
0,690
0,720
0,740
H(Nml
0
200
400
600
BOO
1.000
1.200
600
800 1.000
r.2ffi
t.4N
H(Am-t\
Llamando
B
y
Hn
a
los
campos
en
el hierro y
B
y H en el entrehierro,as dosecuacionesundamenialei
del
circuito
magntico
on:
Hr(l
e) H e:
NI
11,,0,598
H 2'10-3
:750A
l-toH
:
B
Eliminando
.Ef,
entre
estas
dos ecuaciones.
e
iene:
B,
Hh0,s98*;r .10-3:750
ecuacinde una recta,que corta a los ejesdel diagrama
de la
figura
en
los
puntos
(Hn:1.254
Afm,
Br:0
?)
Imnlltcin
ctcrmina
l
punto
de trabajo
del
nclco c-
fromugntico,
ue
corresponde
los campos
H:400
Alm,
En cl entrehierroe iene
Bn:0,325
T
B :
Bn: 0,325
B^
H.:t :259'
10'A/m
trto
Un
circui to
magnt ico onsiste
n un toroide
or -
mado
por
25
cm
de
mater ialmagnt icamente
ineal
de
permeabi l idad
elat ivd
r:100
y
un
rozode
on -
gi tud
5 cm
de
un
mater ial
erromagntico
manado,
cuya
curva
de desimanacin
e da
en la ablaadjun-
ta,
La
seccin el
oro es de 3
cm2.Calcular:
a)
La
manacin e
ambos mater iales.
b)
El valorde
los camposen
el c ircui to
magnt i-
co
si , en
las
condiciones
el apartado
), se
abre un
entrehierro
e longitud0,2
cm
y
seccin
1 cm2en el
material erromagntico.
81(n
o
o'30
0'60 o'90
1'20
poHrlTl
55
10-3
53,1
10-3
50
10-3
45
10
3
0
0,8
0,6
0,4
^)
100
roblemas
e Electromagnetismo
Magnetosttica
Problemr
e
($F
133
btlenen
l l l
*
Br:
rnl00
I,
:
6,9,,
l l ,=7'16' l , tAm
7/25/2019 100problemas Electro
69/108
Solucin
134
poH(mT)
50
-40 -30
-20
-1 0
(a)
a)
Siendo
Bt
y
Ht
los campos
en el
material ferro-
magntico
manado y
Bz
y
,EI,
os
campos
en el material
lineal y
aplicando
as
ecuaciones
undamentales
e los
t to(Ht
t
Mr):
toI}}H,
Hr5. 10-2 +
H225.
10-2
:
0
M
r:
7,52'105
lm
(b)
campos,
e
obtiene
Br:
82 ,
f
QH.ar:
o
I
Entre
estas
dos ecuaciones
e
elimina .Ef,
esultando
: :
-ro
(r)
UoH
Esta
ecuacin
determina
a
recta
(1)
que
corta a la
curva
de
desimanacin
n
el
punto
(8,
:
0,90T,
poH
t.
:
-45.10-3
z) .
De
nr ' :L
-
n'
Fo
siendo
45.
10-3
Hr--d:-3,58' l \aAlm' 4n.10-'
se
obtiene
|
00
problemas
e Electromagnetismo
Magnetosttica
Buprniendo
que
no
hay fugas, s decir,
que
se
ol
flujo
magntico,
as ecuaciones
ue
deben
lon
eampos
n
las res egiones on
Ot:{Dr:
7/25/2019 100problemas Electro
70/108
$
f
13 6
100
roblenas
de
Electronagnetismo
Magnetosttica
Los
campos
en el
entrehierro
son
.
Br:
3Bt
:
0,90
T
B^
0.g0
H^:
-:
. - : -- :7,16'105
Am-l
"
lto
4n.
IO-
'
Una
esfera
erromagntica
e radio
a est mana-
da uniformemente
on imanacin
M.
Si una
espira
de radio
a se
coloca nicialmente
n el
crculo mxi-
mo
de la
esfera,
perpendicular
la manacin,
des-
pus
se desplaza
aralelamente
s misma
una
dis-
tancia
d
ld>
a). calcular
a
variacin
del
flujo.
mag-
ntico
a travs
de la
espira
al
pasar
de la
posicin
inic ial
a la
f inal .
n
puntos
exteriores
l campo magnticoes el
que
un
{ ru e
de
grg{reto
4,
m:na5M
en
el centro de
la
esfera.
Por
tanto,
el flujo
magnticoen
a
primera
posicin
es
.2
Qt: Bna2:1tona2M
?' "
En
la
segunda
osicin
. , : f f B.ds:fo:A*2na
,dendo
A, tangente a
la espira, el
potencial
magntico
vGctor
creado
por
el
dipolo:
lomxr
A:;-
"
n r-
,
Irom
sen 0
toma
:-
"e
4nr2 4nrj
l,lnffl0
(Dr:
Ar2na: '# 2na:
y la variacin e lujo es
2tonasM
3(a2
+
dzttz
@, o,
luono't t
( t-@f)
137
$
Un
imn
permanente
i
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