SIMULADO Matemática
1
31 (UFT-TO)
Uma empresa do ramo de confecções produz e comer-cializa calças jeans. Se x representa a quantidade pro-duzida e comercializada (em milhares de unidades) e l(x) = − x2 + 48x − 10 representa o lucro (em milhares de reais) da empresa para x unidades, então o lucro máximo que a empresa poderá obter é:
a) R$ 566 000,00
b) R$ 423 000,00
c) R$ 653 000,00
d) R$ 745 000,00
e) R$ 358 000,00
2 (FGV-SP)
O gráfi co de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características:• O vértice é o ponto (4, −1).• Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0). O ponto de intersecção do gráfi co com o eixo das orde-nadas é:
a) (0, 14)
b) (0, 15)
c) (0, 16)
d) (0, 17)
e) (0, 18)
Resolução
Considerando a função f(x) = ax2 + bx + c, sendo a , 0, a fun-ção terá como valor máximo a ordenada do vértice da parábola que corresponde à sua representação gráfi ca. Para a função l(x) dada, teremos:
yaV
· ( ) · ( )
· ( )= − =
− − − − −
∆4
48 4 1 10
4 1
2
=− −
−=
= −−
=
2 304 40
4
2 2644
566
Portanto, o lucro máximo será R$ 566 000,00.
Resolução
Uma função quadrática f(x), de raízes x′ e x″, pode ser escrita na forma f(x) = a(x − x′)(x − x″), com a ≠ 0. Lembrando que a abscis-sa do vértice é a média das abscissas das raízes, sabendo que xV = 4 e que uma das raízes é x′ = 5, teremos:
x xX
xxV
î ì ì ì+ = ⇔ + = ⇔ =2
52
4 3
Desse modo, f(x) = a(x − 5)(x − 3).
Sabendo que (4, −1) pertence ao gráfi co da função, então f(4) = −1, ou seja:
f(4) = a(4 − 5)(4 − 3) = −1 a ⋅ (−1) ⋅ 1 = −1 −a = −1 ⇒ a = 1
A função é da forma f(x) = 1 ⋅ (x − 5)(x − 3) ou f(x) = (x − 5)(x − 3), e o ponto de intersecção com o eixo das ordenadas é o ponto de abscissa igual a 0. Logo:f(0) = (0 − 5)(0 − 3) = 15O ponto procurado é o ponto de coordenadas (0, 15).
SIMULADO Matemática
2
33 (UFAL)
Suponha que a estatura média H da população do litoral norte de Paripueira a Maragogi verifi ca a desigualdade
H − 1726
1< , em que H é medida em centímetros. O in-
tervalo da reta real em que essas alturas se situam está contido no intervalo:
a) [160; 175]
b) [164; 176]
c) [166; 176]
d) [166; 179]
e) [168; 180]
4 (UFTM-MG)
A função f(x) = |x + 3| − |x + 1| tem valor maior que zero, para x real obedecendo à condição:
a) x , − 3
b) − 3 , x , 3
c) x . 3
d) x , 2
e) x . − 2
Resolução
H − 1726
< 1 ⇔ −1 < H − 172
6 < 1 ⇔ −6 < H − 172 < 6 ⇔ −6 +
+ 172 < H < 6 + 172 ⇔ 166 < H < 178Portanto, 166 < H < 178, intervalo contido em [166; 179].
Resolução
|x + 3| − |x + 1| . 0 |x + 3| . |x + 1| ou |x + 1| , |x + 3|
Resolvendo I, temos:− (x + 3) , x + 1−x − 3 , x + 1−x − x , 1 + 3−2x , 4 ⇒ x . −2
Resolvendo II, temos: x + 1 , x + 31 , 3 (válida para qualquer x real)
Portanto, f(x) tem valor maior que zero para qualquer x real tal que x . −2.
SIMULADO Matemática
3
35 (UEL-PR)
Uma universidade tem 5 000 alunos e uma estimativa de crescimento do número de alunos de 10% ao ano. Com base nessas informações, o tempo previsto para que a população estudantil da universidade ultrapasse 10 000 alunos é de: (Dados: log102 = 0,30; log101,1 = 0,04)
a) 6 anos.
b) 7 anos.
c) 8 anos.
d) 9 anos.
e) 10 anos.
6 (UEPB)
Seja V o conjunto de todas as soluções reais de 5
315
2 2 2 .+ −x x
< Então:
a) V = {x ∈ R | x > −1}
b) V = {x ∈ R | x < −1 ou x > 3}
c) V = {x ∈ R | x < 3}
d) V = {x ∈ R | −1 < x < 3}
e) V = {x ∈ R | x > 0}
Resolução
A função que defi ne o número de alunos no decorrer do tempo será A(n) = 5 000 ⋅ (1 + 0,1)n, em que A(n) é o número de alunos e n é o número de anos decorridos. Assim, a universidade atingi-rá 10 000 alunos quando: 10 000 = 5 000 ⋅ (1 + 0,1)n 2 = (1,1)n log10 2 = log10 (1,1)n log10 2 = n ⋅ log10 (1,1)
0,30 = n ⋅ 0,04
n = 0 300 04,,
= 7,5 ⇒ n = 7,5 anos
Logo, o tempo previsto para que a população estudantil ultra-passe 10 000 alunos é de 8 anos.
Resolução
5
315
515
3
13
3
2 2
2 2
2 2
2
2
+ −
+ −
+
x x
x x
<
<
< xx x
x x
x x
−
− + −
− + −− −
2
2
3 3
1 2 2
1 2
1 2 2
2
<<
− +− −
2 0
2 3 0
2
2
x x
x x
<<
Resolvendo a equação x2 − 2x − 3 = 0, encontramos as raízes x′ = −1 ou x″ = 3. Fazendo o estudo do sinal, encontramos o conjunto verdade da inequação: V = {x ∈ R | −1 < x < 3}
SIMULADO Matemática
4
37 (UFV-MG)
Para resolver a equação exponencial 42x − 2 − 24 ⋅ 4x − 2 + + 8 = 0, Aline tomou o cuidado de inicialmente multiplicar ambos os membros da equação por 16. Tendo resolvido corretamente, Aline encontrou dois números reais cujo produto vale:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
8 (Mack-SP)
Adotando-se log2 = 0,3 e log5 = 0,7, assinale, dentre as alternativas abaixo, o valor mais próximo de x tal que 200x = 40.
a) 0,3
b) 0,5
c) 0,2
d) 0,4
e) 0,7
Resolução
16 ⋅ (42x − 2 − 24 ⋅ 4x − 2 + 8) = 16 ⋅ 0 16 ⋅ 42x − 2 − 16 ⋅ 24 ⋅ 4x − 2 + 16 ⋅ 8 = 0
16 ⋅ 44
2
2
x
− 16 ⋅ 24 ⋅ 442
x
+ 16 ⋅ 8 = 0
16 ⋅ 416
2x
− 16 ⋅ 24 ⋅ 416
x
+ 16 ⋅ 8 = 8
42x − 24 ⋅ 4x + 128 = 0 (4x)2 − 24 ⋅ 4x + 128 = 0Substituindo 4x = y, teremos a seguinte equação do 2.º grau: y2 − 24y + 128 = 0
Resolvendo essa equação, encontramos as raízes y′ = 8 e y″ = 16. Lembrando que y = 4x, teremos: 4x = 8 ou 4x = 16.
22x = 23 ou 22x = 24
2x = 3 2x = 4
x = 32
x = 2
Logo, o produto dos números encontrados por Aline será igual a 3.
Resolução
200x = 40 ⇔ log200x = log40 ⇔ x ⋅ log200 = log40 ⇔ x ⋅ log(2 ⋅ 100) == log(4 ⋅ 10) ⇔ x ⋅ (log2 + log100) = log22 + log10 ⇔ x ⋅ (0,3 + 2) =
= 2 ⋅ 0,3 + 1 ⇔ x ⋅ 2,3 = 1,6 ⇔ x = 162 3,,
⇔ x = 0,695652 ⇔ x q 0,7
SIMULADO Matemática
5
39 (Uespi-PI)
Se x = log1012 e y = log212, qual o valor de log610 em termos de x e y?
10 (Unifesp-SP)
A tabela apresenta valores de uma escala logarítmica de-cimal das populações de grupos A, B, C, ... de pessoas.
Grupo População (p) log10(p)
A 5 6,69897
B 35 1,54407
C 1 800 3,25527
D 60 000 4,77815
E 5,54407
F 10 009 000 7,00039
Por algum motivo, a população do grupo E está ilegível. A partir de valores da tabela, pode-se deduzir que a po-pulação do grupo E é:
a) 170 000
b) 180 000
c) 250 000
d) 300 000
e) 350 000
ay
x y
byxy
cxy
x
d
)( )
)( )
)( )
)
+ −
+
1
1
1
xxy y
ey
x y
( )
)( )
+
−
1
1
Resolução
Sendo x = log1012, pela mudança de base, temos:
x = log1012 = log
log6
6
12
10 ⇒ log610 =
log6 12
x (I)
Sendo y = log212, podemos escrever:
y = log212 = log
log6
6
12
2 ⇒ log612 = y ⋅ log62 (II)
Considerando y = log212, também podemos escrever: y = log212 = log2(2 ⋅ 6) = log22 + log26 = 1 + log26
y ylog
log log log= + = + ⇒ − =1
6
21
12
116
6 6 6 222
116log ( )⇒ =
−yIII
Portanto, de I, II e III, teremos:
loglog · log
·
66 61012 2
11= = = − =
x
y
x
yyx
yxx y· ( )− 1
Resolução
Sabendo que log35 = 1,54407, temos:
101,54407 = 35 ⇔ 101 ⋅ 100,54407 = 35 ⇔ 100,54407 = 3510
⇔ 100,54407 = 3,5
Sendo pe a população do grupo E, temos:logpe = 5,54407 ⇔ pe = 105,54407 ⇔ pe = 105 ⋅ 100,54407 ⇔ pe = = 100 000 ⋅ 3,5 ⇔ pe = 350 000Portanto, a população do grupo E é 350 000 pessoas.
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