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SEMANA 4:
Derivadas e integrales, Movimiento
rectilíneo y curvilíneo, Velocidadmedia e instantánea, Aceleración
media e instantánea, MRU, MUA,
Aplicaciones
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Derivadas e integrales
Fuente: http://ocw.um.es/cc.-sociales/matematicas-cero/material-de-clase-
1/derivadasyprimitivastrasp.pdf
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Derivadas e integrales
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Derivadas e integrales
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Derivadas e integrales: Reglas
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Derivadas e integrales
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Derivadas e integrales
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Integrales
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Integrales
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Integrales
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Movimiento rectilíneo, velocidad media e
instantánea
Cuando una partícula se mueve en línea recta, describimossu posición con respecto al origen O mediante una
coordenada como x .
La velocidad media de la partícula,
v med- x , durante un intervalo Dt = t 2 – t 1 es igual a
su desplazamiento D x = x 2 – x 1 dividido entre Dt .
La velocidad instantánea v 1 en cualquier instante t es igual
a la velocidad media en el intervalo de tiempo de t a t + Dt
en el limite cuando Dt tiende a cero. De forma equivalente,v x es la derivada de la función de posición con respecto
al tiempo.
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Aceleración media e instantáneaLa aceleración media a
med-x durante un intervalo Dt es igual al
cambio de velocidadD
vx = v2x –
v1x durante ese lapso divididoentre Dt.
La aceleración instantánea a x
es el límite de
amed-x cuando Dt tiende a cero, o la derivada de vx con
respecto a t.
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Aceleración media e instantánea
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Movimiento rectilíneo con aceleración constanteCuando la aceleración es constante, cuatro ecuaciones
relacionan la posición x y la velocidad vx en cualquier
instante t con la posición inicial xo, la velocidad inicial vox (ambas medidas en t = 0) y la aceleración ax.
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Cuerpos en caída libreLa caída libre es un caso del movimiento con aceleración
constante.La magnitud de la aceleración debida a la gravedad es una
cantidad positiva g. La aceleración de un cuerpo en caída libre
siempre es hacia abajo.
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Movimiento rectilíneo con aceleración variableCuando la aceleración no es constante, sino una función
conocida del tiempo, podemos obtener la velocidad y laposición en función del tiempo integrando la función de la
aceleración.
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Vectores de posición, velocidad y aceleraciónEl vector de posición de un punto P en el espacio es el vector del
origen a P. Sus componentes son las coordenadas x , y y z.
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El vector de velocidad media durante el intervalo Dt es eldesplazamiento (el cambio del vector de posición ∆ ) divididoentre Dt .
El vector de velocidad instantánea es la derivada de conrespecto al tiempo, y sus componentes son las derivadas de x , y y z
con respecto al tiempo.
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La rapidez instantánea es la magnitud de . La velocidad de unapartícula siempre es tangente a la trayectoria de la partícula.
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El vector de aceleración media durante el intervalo de tiempoDt es igual a ∆ (el cambio en el vector de velocidad ) divididoentre Dt .
El vector de aceleración instantánea es la derivada de conrespecto al tiempo, y sus componentes son las derivadas de v x , v y y v z
con respecto al tiempo.
La componente de aceleración paralela a la dirección
de la velocidad instantánea afecta la rapidez; en tantoque la componente de perpendicular a afecta la
dirección del movimiento.
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P bl t
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Problemas propuestos
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10. Una partícula parte del origen en t = 0 s con una velocidadinicial que tiene una componente x de 20 m/s y otra componente y
de -15 m/s. La partícula se mueve en el plano xy solo con una
componente x de aceleración, dada por a x = 4.0 m/s2.
A) Determine el vector velocidad total en cualquier tiempo.
B) Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en t = 5.0 s.
C) Determine las coordenadas x y y de la partícula en cualquier
tiempo t y su vector de posición en este instante.
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Movimiento circular uniforme y no uniforme Cuando una partícula se mueve en una trayectoria circular de
radio R con rapidez constante v (movimiento circular
uniforme), su aceleración está dirigida hacia el centro delcírculo y es perpendicular a . La magnitud arad de laaceleración se puede expresar en términos de v y R, o en
términos de R y el periodo T (el tiempo que tarda en dar una
vuelta), donde = 2/ Aunque la rapidez en un movimiento circular no
sea constante (movimiento circular no uniforme), habrá una
componente radial de dada por la ecuacióno la ecuación ,
pero también habrá una componente de paralela(tangencial) a la trayectoria; esta componente tangencial es
igual a la tasa de cambio de la rapidez, dv/dt .
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Problemas propuestos
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Problemas propuestos
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Ecuaciones Cinemáticas en 3 dimensiones
= +
= + +
1
2
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