1
2.5. RDZEŃ PRZEKROJU Rdzeniem przekroju nazywamy obszar wypukły wokół jego środka ciężkości, w którym przyłożona siła rozciągająca (ściskająca) wywołuje naprężenia jednakowego znaku w całym przekroju
Równanie osi obojętnej
0122
=++ oy
Po
z
P ziz
yiy
można przedstawić w dwóch, alternatywnych postaciach
1=+z
o
y
o
az
ay
(1)
albo
1=+z
P
y
P
bz
by
(2)
gdzie
o
yz
o
zy
P
yz
P
zy
z
ib
yi
b
z
ia
yi
a
22
22
,
,
−=−=
−=−= (3)
Równanie (1) możemy interpretować jako zależność między ustalonymi współrzędnymi
PP zy , punktu przyłożenia siły a zmiennymi współrzędnymi oo zy , punktów leżących na osi obojętną (rys. 1).
Rys. 1
2
Natomiast równanie (2) – jako zależność między ustalonymi współrzędnymi oo zy , punktu
przecięcia się osi obojętnych (środka pęku prostych) a zmiennymi współrzędnymi PP zy , punktów przyłożenia siły leżących na prostej (rys. 2).
Rys. 2
Z analizy powyższych równań możemy wyciągnąć następujące wnioski: Wniosek 1. Oddalaniu (przybliżaniu) się punktu przyłożenia siły od (do) środka ciężkości przekroju poprzecznego towarzyszy przybliżanie (oddalanie) się osi obojętnej do (od) środka ciężkości i odwrotnie.
Wniosek 2. Osi obojętnej stycznej do boku wieloboku wypukłego obrysowanego na przekroju przypisany jest punkt przyłożenia siły będący wierzchołkiem rdzenia przekroju.
Wniosek 3. Obrotowi osi obojętnej wokół ustalonego punktu odpowiada przemieszczanie się punktu przyłożenia siły po prostej.
Wniosek 4. Pękowi osi obojętnych przechodzących przez wierzchołek wieloboku wypukłego obrysowanego na przekroju przypisana jest prosta przechodząca przez bok rdzenia przekroju. Z powyższego wynikają następujące dwa następujące sposoby wyznaczania rdzenia przekroju: Sposób 1. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym i wyznaczamy współrzędne i
Py
i iPz wierzchołków iW jego rdzenia z następujących wzorów
nia
iz
ai
yiz
yiPi
y
ziP ...1,,
22
=−=−= (4)
gdzie i
ya i iza oznaczają odpowiednio odcięte i rzędne punktów przecięcia osi obojętnych
iO przechodzących przez boki wieloboku z osiami głównymi, natomiast n jest liczbą tych
wierzchołków. Jeśli punkty te nie leżą na osiach głównych, to ich współrzędne iya i i
za
wyznaczamy z zależności
izik
oijo
iko
ijoi
yiko
ijo
iko
ijo
iko
ijoi
z azzyy
ayy
yzzya
−−−=
−−= , (5)
3
gdzie iko
iko
ijo
ijo zyzy ,,, są znanymi współrzędnymi wierzchołków j i k wieloboku leżących
na osi obojętnej iO . Następnie łączymy otrzymane wierzchołki otrzymując rdzeń przekroju. Sposób 2. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym i wyznaczamy współrzędne i
yb
i izb punktów przecięcia prostych ip przechodzących przez boki rdzenia przekroju
z osiami głównymi
niz
ib
yi
bio
yizi
o
ziy ...1,,
22
=−=−= (6)
gdzie i
oy i ioz są współrzędnymi wierzchołków (środka pęku osi obojętnych) i wieloboku
wypukłego obrysowanego na przekroju, natomiast n jest liczbą tych wierzchołków. Punkty przecięcia się prostych wyznaczają wierzchołki rdzenia przekroju. Jeśli punkty te nie leżą na osiach głównych należy wyznaczyć ich współrzędne ij
Py i ijPz . Wykorzystujemy w tym
celu zależności
iz
ijPi
y
izij
P
jy
jz
iy
iz
jz
izij
P bybb
z
bb
bb
bby +−=
−
−= , (7)
albo
iy
ijPi
z
iyij
P
jz
jy
iz
iy
jy
iyij
P bzb
by
b
b
b
b
bbz +−=
−
−= , (7’)
gdzie
iz
iy bb , współrzędne przecięcia prostej ip z osiami okładu
jz
jy bb , współrzędne przecięcia prostej jp z osiami okładu
Wnioski − rdzeń przekroju jest zawsze figurą wypukłą,
− ma tyle wierzchołków, ile boków ma wielobok wypukły obrysowany na przekroju,
− w przypadku symetrycznego przekroju jest figurą symetryczną,
− jego wierzchołek leży na osi głównej, jeśli bok wieloboku jest do niej prostopadły.
Przykłady Przykład 1. W przypadku przekroju jak na rys. P1.1 należy wyznaczyć jego rdzeń. Dane: hb, Szukane: Współrzędne wierzchołków rdzenia przekroju
4
Rozwiązanie Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju
1212,
1212
12,
12,
2
3
22
3
2
33
bhb
bh
AI
ih
hb
hb
A
Ii
bhI
hbIhbA
zz
yy
zy
=⋅
⋅
===⋅
⋅
==
⋅=⋅=⋅=
rys. P1.1 Krok 2. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym, który w analizowanym przypadku jest prostokątem będącym obrysem zadanego przekroju (rys. P1.1). Sposób 1 Sprowadzamy wzory (4) do postaci
4,3,2,1,12
,12
2222
=−=−=−=−= ia
ha
iz
ab
ai
yiz
iz
yiPi
yiy
ziP
Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i
ya i iza punktów przecięcia osi obojętnych iO przechodzących przez
boki obrysu przekroju (prostokąta) z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku osi 1O i 2O (rys. P1.2)
2, 11
1
haaO zy =∞→→
∞→=→ 222 ,
2 zy ab
aO
Krok 4. Obliczamy współrzędne i
Py i iPz wierzchołków iW rdzenia przekroju. Z uwagi na symetrię przekroju
wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1W i 2W
−→−=−=−==−=6
,0,6
21212
,012 1
2
1
21
1
21 h
Wh
hh
ah
za
by
zP
yP
5
−→=−=−=−=−= 0,6
,012
,6
21212 21
21
2
2
22 b
Wa
hz
bb
ba
by
zP
yP
Z symetrii przekroju wynika, że ( )6,03 hW , ( )0,64 bW .
rys. P1.2 Krok 5. Łączymy wyznaczone wierzchołki (wszystkie leżą na osiach głównych) otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju (rys. P1.2). Sposób 2. Sprowadzamy wzory (6) do postaci
4...1,12
,12
2222
=−=−=−=−= iz
h
z
ib
y
b
y
ib
io
io
yizi
oio
ziy
Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i
oy i ioz wierzchołków obrysu przekroju (prostokąta). Z uwagi na symetrię
przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1 i 2 (rys. P1.3)
2,
21 11 h
zb
y oo ==→
2,
22 22 h
zb
y oo −==→
Krok 4. Obliczamy współrzędne i
yb i izb punktów przecięcia prostych ip przechodzących przez boki rdzenia
przekroju z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku prostych
1p i 2p
62
1212,
62
1212
2
1
21
2
1
21
1h
hh
z
hb
bb
b
y
bbp
oz
oy −=
⋅−=−=−=
⋅−=−=→
622
1212,
62
1212
2
2
22
2
2
22
2h
hhh
z
hb
bb
b
y
bbp
oz
oy =
−⋅−=−=−=
⋅−=−=→
6
Z symetrii przekroju wynika, że proste 3p i 4p są zwierciadlanym odbiciem prostych 1p i 2p .
rys. P1.3 Krok 5. Nanosimy wyznaczone proste na rysunek otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju, którego wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia tych prostych (rys. P1.3). Ponieważ punkty te leżą na osiach głównych przekroju, to jak łatwo sprawdzić ich współrzędne są identyczne jak wyznaczone sposobem 1. Przykład 2. W przypadku przekroju jak na rys. P2.1 należy wyznaczyć jego rdzeń.
Rys. P2.1 Dane: a Szukane: Współrzędne wierzchołków rdzenia przekroju Rozwiązanie Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju
( ) ( ) ( )
22
2
422
2
42
4323
43
2
67.03
2
12
8,2
12
24
812
262
32
226
3626
2,2436
622
122
622
aa
a
aAI
iaa
aA
Ii
aaa
aaaaa
Iaaa
I
aaa
A
zz
yy
zy
=======
=⋅⋅=
⋅⋅+⋅==⋅⋅=
=⋅⋅=
7
Krok 2. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym, który w analizowanym przypadku jest trójkątem będącym obrysem zadanego przekroju (rys. P2.1). Sposób 1 Sprowadzamy wzory (4) do postaci
3,2,1,2
,3
2 2222
=−=−=−=−= ia
a
a
iz
a
a
a
iy
iz
iz
yiPi
yiy
ziP
Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i
ya i iza punktów przecięcia osi obojętnych iO przechodzących przez
boki obrysu przekroju (trójkąta) z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku osi 1O i 2O (rys. P2.2)
Rys. P2.2
aaaaaO zy 4,33.134 11
1 ===→
aaaO zy 2, 22
2 −=∞→→
Krok 4. Obliczamy współrzędne i
Py i iPz wierzchołków iW rdzenia przekroju. Z uwagi na symetrię przekroju
wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1W i 2W
( )aaWaa
aa
a
aza
aa
a
a
ay
zP
yP 5.0;5.05.0
2422
,5.02
34
3
2
3
21
2
1
21
2
1
21 −−→−=−=−=−=−=−=
⋅−=−=
( )aWaa
a
a
az
a
ay
zP
yP ;0
222
,03
22
2
2
22
2
22 →=
−−=−==−=
Z symetrii przekroju wynika, że ( )aaW 5.0,5.03 − . Krok 5. Łączymy wyznaczone wierzchołki otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju (rys. P2.2). Sposób 2. Sprowadzamy wzory (6) do postaci
8
3...1,2
,3
2 2222
=−=−=−=−= iz
a
z
ib
y
a
y
ib
io
io
yizi
oio
ziy
Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i
oy i ioz wierzchołków obrysu przekroju (prostokąta). Z uwagi na symetrię
przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1 i 2 (rys. P2.3)
azy oo 4,01 11 ==→
azay oo 2,22 22 −==→
Rys. P2.3 Krok 4. Obliczamy współrzędne i
yb i izb punktów przecięcia prostych ip przechodzących przez boki rdzenia
przekroju z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku prostych
1p i 2p
aa
aa
by
abp zi
oy 5.0
242
,3
2 21
21
1 −=−=−=−∞→−=→
aa
a
z
aba
aa
a
y
abp
oz
oy =
−−=−=−=−=
⋅−=−=→
222
,33.0323
2
3
2 2
2
22
2
2
22
2
Z symetrii przekroju wynika, że prosta 3p jest zwierciadlanym odbiciem prostej 2p . Krok 5. Nanosimy wyznaczone proste na rysunek otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju, którego wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia tych prostych (rys. P2.3). Ponieważ punkt przecięcia się prostych 1p i 2p nie leży na żadnej z osi głównych, to do wyznaczenia jego współrzędnych wykorzystamy zależności (7), z których wynika, że
aaa
byb
bza
aa
aa
b
b
b
b
bby zP
y
zP
y
z
y
z
zzP 5.0
220,5.0
2302 112
1
112
2
2
1
1
2112 −=−=−=+−=−=−=
+
−−=
−
−=
Przykład 3. W przypadku przekroju jak na rys. P3.1 należy wyznaczyć jego rdzeń. Dane: a
9
Szukane: Współrzędne wierzchołków rdzenia przekroju Rozwiązanie Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju
( ) ( )
22
2
4
222
2
42
4433
433
2
917.012
11
62
11
,667.03
2
6
4
5.52
1112
2124
,432
34
624
aa
a
a
AI
iaa
a
aA
Ii
aaaaaa
Iaaaaa
I
aaaaaA
zz
yy
zy
========
==⋅+⋅==⋅+⋅=
=⋅+⋅=
Rys. P3.1 Krok 2. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym, który w analizowanym przypadku jest sześciobokiem (rys. P3.2) Sposób 1 Sprowadzamy wzory (4) do postaci
6,...,1,32
,1211 2222
=−=−=−=−= iaa
a
iz
aa
ai
yiz
iz
yiPi
yiy
ziP
Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i
ya i iza punktów przecięcia osi obojętnych iO przechodzących przez
boki obrysu przekroju (sześciokąta) z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku osi 1O do 4O (rys. P3.2)
aaaO zy 2, 111 =∞→→
38
,2 222
aaaaO zy ==→
∞→=→ 33
3 ,2 zy aaaO
aaaO zy −=∞→→ 44
4 ,
Uwaga. Współrzędną 2
za obliczono z zależności (5), przyjmując, że 2,1,22 ===→ kjiO
10
aaa
aa
azz
yyaaa
aa
aaa
yy
yzzya Z
oo
ooy
oo
ooooz 2
38
02
22,67.2
38
22
2202 2
2221
22212
2221
222122212 =⋅
−
−−=
−−−===
−
⋅−⋅=
−−=
gdzie wykorzystano współrzędne punktów ( )aa 2,21 i ( )0,22 a ; można ją też wyznaczyć z warunku
38
232
22
2 aa
aa
aa
zz =→=
Rys. P3.2 Krok 4. Obliczamy współrzędne i
Py i iPz wierzchołków iW rdzenia przekroju. Z uwagi na symetrię przekroju
wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1W do 4W
( )aWaa
aa
aa
zaa
y iz
Py
P 33.0;0,333.0323
232
,01211
1
221
1
21 −→−=−=
⋅−=−==−=
( )aaWaa
aa
aa
zaaa
aa
aa
yz
Pyy
P 25.0;46.0,25.04
38
3
232
,458.02411
21211
1211
2
2
2
22
1
2
2
22 −−→−=−=
⋅−=−=−=−=
⋅−=−=
( )0;46.0,032
,458.02411
21211
1211
33
23
1
2
3
23 aW
aa
zaaa
aa
aa
yz
Pyy
P −→=−=−=−=⋅
−=−=
( ) ( )aWaa
aa
a
az
a
ay
zP
yP 67.0;0,667.0
32
32
3
2,0
12
114
2
4
24
4
24 →==
−⋅−=−==−=
Z symetrii przekroju wynika, że ( )0,46.05 aW , ( )aaW 25.0,46.06 − . Krok 5. Łączymy wyznaczone wierzchołki (wszystkie leżą na osiach głównych) otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju (rys. P3.2). Sposób 2. Sprowadzamy wzory (6) do postaci
6,...,1,3
2,
12
11 2222
=−=−=−=−= iz
a
z
ib
y
a
y
ib
io
io
yizi
oio
ziy
11
Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i
oy i ioz wierzchołków i obrysu przekroju (sześciokąta). Z uwagi na
symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1 do 3 (rys. P3.3)
aza
y oo 2,2
1 11 ==→
0,22 22 ==→ oo zay
azay oo −==→ 33 ,23
Rys. P3.3 Krok 4. Obliczamy współrzędne i
yb i izb punktów przecięcia prostych ip przechodzących przez boki rdzenia
przekroju z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku prostych
1p do 3p
aa
aa
z
aba
aa
a
y
abp
oz
oy 33.0
3232
3
2,83.1
611
212
11
12
11 2
1
21
2
1
21
1 −=−=⋅
−=−=−=−=⋅
−=−=→
−∞→−=−=⋅
−=−=→ 22
2
22
2 ,46.02411
21211
12
11z
oy ba
aa
a
y
abp
( ) aa
aa
z
aba
aa
a
y
abp
oz
oy 67.0
32
32
3
2,46.0
2411
21211
12
11 2
3
23
2
3
23
3 ==−⋅
−=−=−=−=⋅
−=−=→
Z symetrii przekroju wynika, że proste 4p i 5p są zwierciadlanym odbiciem prostych 3p i 2p . Krok 5. Nanosimy wyznaczone proste na rysunek otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju, którego wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia tych prostych (rys. P3.3). Ponieważ punkt przecięcia się prostych 1p i 2p nie leży na żadnej z osi głównych, to do wyznaczenia jego współrzędnych wykorzystamy zależności (7’), z których wynika, że
aaa
a
bzb
bya
a
a
a
aa
b
b
b
b
bbz yP
z
yP
z
y
z
y
yyP 46.0
2411
611
142
11
,25.04
0
3
611
2411
611
1121
112
2
2
1
1
2112 −=−=−=+−=−=−=
+−
−
+−=
−
−=
12
Przykład 4 . W przypadku przekroju jak na rys. P4.1 należy wyznaczyć jego rdzeń. Dane dotyczące charakterystyk geometrycznych przekroju pochodzą z przykładu 3 wykładu „Charakterystyki geometryczne przekroju”. Dane: 442o 76,232,5.36,43.31, aIaIaAa zyG ====ϕ
Współrzędne środka ciężkości przekroju
( )aaC 79.4;42.5 Współrzędne jego wierzchołków w układzie osi głównych ggzCy
( ) ( ) ( ) ( )aaaaaaaa 87.3,85.24,43.5;29.03,4.1;87.32,56.5;96.21 −−−−−
Szukane: Współrzędne wierzchołków rdzenia przekroju
Rys. P4.1 Rozwiązanie Krok 1. Wyznaczamy charakterystyki geometryczne przekroju. W rozważanym przykładzie są to promienie bezwładności
22
422
2
42 09.2
5.3676
,36.65.36
232a
aa
AI
iaaa
A
Ii z
zy
y ======
Krok 2. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym, który w analizowanym przypadku jest czworobokiem (rys. P4.2) Sposób 1 Sprowadzamy wzory (4) do postaci
4,...,1,36.6
,09.2 2222
=−=−=−=−= ia
aa
iz
aa
ai
yiz
iz
yiPi
yiy
ziP
Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i
ya i iza punktów przecięcia osi obojętnych iO przechodzących przez
boki obrysu przekroju (czworokąta) z osiami głównymi (rys. P4.2). Wykorzystujemy w tym celu zależności (5)
2,1,11 ===→ kjiO
13
aaaa
aaa
zz
yyaa
aaaaaa
yy
yzzya i
zio
io
ooy
oo
ooooz 17.676.3
4.156.587.396.2
,76.387.396.2
87.356.54.196.21211
12111
1211
121112111 =⋅
−−−−=
−−−==
−−⋅−⋅−=
−−=
3,2,22 ===→ kjiO
( ) ( ) ( ) aa
aaaa
azz
yyaa
aaaaaa
yy
yzzya zi
oio
ooy
oo
ooooz 01.395.4
43.54.129.087.3
,95.429.087.3
29.04.143.587.3 22322
23222
2322
232223222 =−⋅
++−=
−−−=−=
+−⋅−−⋅=
−−=
4,3,33 ===→ kjiO
( ) ( ) aaaa
azz
yyaa
aaaa
yy
yzzya zi
oio
ooy
oo
ooooz 21.961.5
87.343.585.229.0
,61.585.229.0
85.243.587.329.0 33433
34333
3433
343334333 −=−⋅
+−+−−=
−−−=−=
+−−⋅+⋅=
−−=
1,4,44 ===→ kjiO
( ) ( ) ( ) aaa
azz
yyaa
aa
yy
yzzya zi
oio
ooy
oo
ooooz 90.23.248
56.587.396.285.2
,3.24896.285.2
96.287.356.585.2 44144
41444
4144
414441444 −=−
−−+−−=
−−−=−=
+−−⋅−−⋅−=
−−=
Rys. P4.2 Krok 4. Obliczamy współrzędne i
Py i iPz wierzchołków iW rdzenia przekroju
( )aaWaaa
aa
zaaa
aa
y iz
Py
P 69.1,34.069.176.336.636.6
,34.017.609.209.2
1
221
2
1
21 −−→−=−=−=−=−=−=
( )aaWaa
aa
aza
aa
aa
yz
Py
P 28.1,69.028.195.4
36.636.6,69.0
01.309.209.2
2
2
2
22
2
2
22 −→=
−−=−=−=−=−=
( )aaWaa
aa
aza
aa
aa
yz
Py
P 13.1,23.013.161.5
36.636.6,23.0
21.909.209.2
3
2
3
23
2
3
23 →=
−−=−==
−−=−=
( )aaWaa
aa
aza
aa
aa
yz
Py
P 026.0,72.003.027,248
36.636.6,72.0
90.209.209.2
4
2
4
24
2
4
24 →=
−−=−==
−−=−=
a więc ( )aaW 69.1,34.01 −− , ( )aaW 28.1,69.02 − , ( )aaW 13.1,23.03 , ( )aaW 026.0,72.04 .
14
Krok 5. Łączymy wyznaczone wierzchołki otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju (rys. P4.2). Sposób 2 Sprowadzamy wzory (6) do postaci
4,...,1,36.6
,09.2 2222
=−=−=−=−= iz
a
z
ib
y
a
y
ib
io
io
yizi
oio
ziy
Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i
Oy i iOz wierzchołków i obrysu przekroju (czworokąta rys. P4.3). W
rozważanym przykładzie współrzędne te są dane
azay oo 56.5,96.21 11 =−=→
azay oo 4.1,87.32 22 ==→
azay oo 43.5,29.03 33 −=−=→
azay oo 87.3,85.24 44 −=−=→
Rys. P4.3
Krok 4. Obliczamy współrzędne iyb i i
zb punktów przecięcia prostych ip przechodzących przez boki rdzenia
przekroju z osiami głównymi
aaa
z
iba
aa
y
ibp
o
yz
o
zy 14.1
56.536.6
,71.096.2
09.2 2
1
21
2
1
21
1 −=−=−==−
−=−=→
aaa
z
iba
aa
y
ibp
o
yz
o
zy 54.4
4.136.6
,54.087.309.2 2
2
22
2
2
22
2 −=−=−=−=−=−=→
aa
a
z
iba
aa
y
ibp
o
yz
o
zy 17.1
43.536.6
,21.729.0
09.2 2
3
23
2
3
23
3 =−
−=−==−
−=−=→
aa
a
z
iba
aa
y
ibp
o
yz
o
zy 64.1
87.336.6
,73.085.2
09.2 2
4
24
2
4
24
4 =−
−=−==−
−=−=→
15
Krok 5. Nanosimy wyznaczone proste na rysunek otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju, którego wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia tych prostych (rys. P4.3). Ponieważ punkty przecięcia się wyznaczonych prostych nie leży na żadnej z osi głównych, to do wyznaczenia ich współrzędnych wykorzystamy zależności (7), z których wynika, że
( ) aaaaa
bybb
za
aa
aa
aa
bb
bb
bby zP
y
zP
y
z
y
z
zzP 69.114.134.0
71.014.1
,34.0
54.054.4
71.014.1
54.414.1 1121
112
2
2
1
1
2112 −=−−−−=+−=−=
−−−−
+−=−
−=
( ) aaaaa
bybb
za
aa
aa
aa
bb
bb
bby zP
y
zP
y
z
y
z
zzP 26.154.469.0
54.054.4
,69.0
21.717.1
54.054.4
17.154.4 2232
223
3
3
2
2
3223 =−−
−−−=+−=−=
−−−−
−−=−
−=
aaaaa
bybb
za
aa
aa
aa
bb
bb
bby zP
y
zP
y
z
y
z
zzP 13.117.123.0
21.717.1
,23.0
73.064.1
21.717.1
64.117.1 3343
334
4
4
3
3
4334 =+⋅−=+−==
−
−=−
−=
aaaaa
bybb
za
aa
aa
aa
bb
bb
bby zP
y
zP
y
z
y
z
zzP 022.064.172.0
73.064.1
,72.0
71.014.1
73.064.1
14.164.1 4414
441
1
1
4
4
1441 =+⋅−=+−==−−
+=−
−=
a więc ( )aaW 69.1,34.01 −− , ( )aaW 26.1,69.02 − , ( )aaW 13.1,23.03 , ( )aaW 02.0,72.04
Zagadnienia na egzamin
1. Zdefiniować rdzeń przekroju i omówić sposób jego wyznaczenia na przykładzie przekroju prostokątnego.
Dodatki
D1. Wyznaczenie współrzędnych iz
iy aa , punktu przecięcia osi obojętnej iO z osiami
układu odniesienia Oyz
Równanie osi obojętnej iO przechodzącej przez punkty j i k ma postać (rys. D1)
Rys. D1
16
iz
ikoi
y
izik
oiz
ijoi
y
izij
o aya
azay
a
az +−=+−= ,
gdzie
iko
iko
ijo
ijo yzyz ,,, znane współrzędne punktów j i k , leżących na osi obojętnej iO
iz
iy aa , poszukiwane współrzędne punktów przecięcia osi obojętnej iO z osiami Oy i Oz
Odejmując powyższe równania stronami otrzymujemy
( )iko
ijoi
y
izik
oijo yy
a
azz +−=−
Z powyższego wynika, że
iko
ijo
iko
ijo
iy
iz
yy
zz
a
a
−−−=
Zatem
iz
ijoik
oijo
iko
ijoi
zijoi
y
izij
o ayyy
zzay
a
az +
−−=+−=
Przekształcając powyższe wyrażenie dostajemy
( ) ( )iko
ijo
iko
ijo
iko
ijo
iko
ijo
iko
ijo
ijo
iko
ijo
ijoj
oiko
ijo
iko
ijoij
oiz
yy
yzzy
yy
zzyyyzy
yy
zzza
−−=
−−−−=
−−−=
Ostatecznie
izik
oijo
iko
ijoi
yiko
ijo
iko
ijo
iko
ijoi
z azz
yya
yy
yzzya
−−−=
−−= ,
D2. Wyznaczenie współrzędnych ij
PijP yy , punktu przecięcia prostych ip i jp
Sprowadzamy równanie (2) do postaci kierunkowej, którą w przypadku dwóch prostych ip i jp określają
równania (rys. D2)
17
Rys. D2
jz
jPj
y
jzj
Piz
iPi
y
izi
P bybb
zbybb
z +−=+−= ,
albo
jy
jPj
j
jyj
Piy
iPi
z
iyi
P bzb
bybz
b
by +−=+−= ,
gdzie
iz
iy bb , współrzędne przecięcia prostej ip z osiami okładu
jz
jy bb , współrzędne przecięcia prostej jp z osiami okładu
Podstawiając do powyższych równań współrzędne punktu przecięcia tych prostych ij
Py i ijPz , czyli
przyjmując, że jP
iP
ijP yyy == oraz j
PiP
ijP zzz == , dostajemy
jz
ijPj
y
jzij
Piz
ijPi
y
izij
P bybb
zbybb
z +−=+−= ,
albo
jy
ijPj
z
jyij
Piy
ijPi
z
iyij
P bzb
bybz
b
by +−=+−= ,
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy
iz
ijPi
y
izij
P
jy
jz
iy
iz
jz
izij
P bybb
z
bb
bb
bby +−=
−
−= ,
albo
iy
ijPi
z
iyij
P
jz
jy
iz
iy
jy
iyij
P bzb
by
b
b
b
b
bbz +−=
−
−= ,