UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍACIVIL
“ MÉTODOS DE RIGIDECES PARA
ARMADURAS PLANAS”CURSO
: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
DOCENTE : ING. IVAN LEON MALO
NUEVO CHIMBOTE - OCTUBRE , 2015
Las estructuras articuladas pueden considerarse una particularización de lasreticuladas, en el caso de tener ambos extremos articulados. Por dichomotivo, los momentos en extremo del elemento son nulos.
Si existen directamente aplicadas en las piezas, las piezas o elementosbiarticulados solo sufren flexión local y los momentos flectores y esfuerzos cortantes pueden hallarse directamente estudiando las piezas aisladas como biapoyadas. Por tanto, en una estructura como de la “Figura 1” se tendrán,en primer lugar, unos esfuerzos locales de flexión y cortante debidos a la carga directamente aplicada sobre las piezas y, en segundo lugar, unas fuerzas aplicadas en los nudos, resultantes de trasladar la carga de las piezas a los nudos. Este segundo caso de carga da lugar únicamente a esfuerzos axiales en las piezas y es el que se estudia en el cálculo matricialde la estructura
Pque queda, de esta manera muy
Psimplificado.
PL PLA B2 2A B A B
PL PL2 2
FLEXIÓN LOCAL SOLO AXIALES
FIGURA 1. ESTRUCTURA ARTICULADA PLANAUNS / AE-II / IVAN
I.- MATRICES DE ELEMENTO DE ARMADURA:Al desarrollar las matrices para un elemento, hay dos matrices que debedesarrollarse. Estas son la matriz de rigidez y la matriz de transformación.
KA) MATRIZ DE RIGIDEZ: 1 2
F F F FPara 1: Para 2:
X1 X 2X -KX2
KX2-KX1
F1 K -K-K K
X1
X2x=Ensamblando tenemos: F2
Pero las estructuras no están realmente compuestas de resortes. Ellas estáncompuestas de vigas, columnas y barras.Si usamos la ecuación para la deformación de una barra prismática cargada axialmente se tiene:
FL AEF x=AE= ………Ecuación 1L
UNS / AE-II / IVAN
1K
En la ecuación 1 observamos que el término (AE/L) es análogo a laconstante de resorte en la ley de Hooke. (AE/L) es la rigidez de una
barraaxial. Por lo tanto, reemplazando en la matriz de rigidez se tiene:
E AELAE
LK =
AEL L
B) MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN:
La matriz de transformación para el elemento de armadura puede desarrollarsecon base en los principios de equilibrio. En cada nodo del elemento, las fuerzasresultantes que actúan en éste deben ser las mismas, expresadas ya sea encoordenadas del elemento (fa y fb) o en coordenadas globales (f1g, f2g,
f4g
f3g, f4g)
(Coordenada global en el extremo j)f3g
j(Coordenada local en el extremo j)fbf2g i
fa
O
(Coordenada local en el extremo i)(Coordenada global en el extremo i)f1g
FIGURA 2. COORDENADAS DE ELEMENTO – LOCALES Y GLOBALESUNS / AE-II / IVAN
A
Las cuatro ecuaciones siguientes pueden escribirse como se muestra en la“Figura 2”.
EN FORMA MATRICIAL
cos O 0
0f1gf2g f3g f4g
====
fa cos O 1g
sen O0
0
fa
fb
fa sen O 2g x= cos Ofb cos O 3g
sen Ofb sen O 4g
El lado izquierdo de esta ecuación es el vector de las fuerzas de extremodel elemento en coordenadas globales. El último término en el lado derecho es el vector de las fuerzas de extremo en coordenadas del elemento (coordenadas locales). El primer término en el lado derecho es la matriz que mapea las coordenadas del elemento en coordenadas globales. Esta matriz es la traspuesta de la matriz de transformación [T] para el elemento de armadura. Ecuaciones similares pueden plantearse si consideramos desplazamientos en los extremos del miembro en lugar de fuerzas. Lamatriz de transformación mapea fuerzas y desplazamientos de un sistemacoordenado al otro; sin embargo, ella no mapea la rigidez del elemento.UNS / AE-II / IVAN
f
f f f
II.- MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LOCALES ACOORDENADAS GLOBALES:Se tiene: [F] = [K] [D]Donde la matriz de rigidez de toda la estructura está formada por el ensamblaje dela matriz de rigidez individual deSe ha visto que:
cada elemento o miembro.
xLyg yL
xg
Sistema Global del elementofg dg
Sistema Local del elementof L d L
Debemos buscar la forma de transformar las fuerzas “f” de miembro y losdesplazamientos “d” de miembro definidos en coordenadas locales a unde coordenadas globales o de estructura.
sistema
xLyg
yL Oxg
UNS / AE-II / IVAN
Relacionando desplazamientos, tenemos:4g 4L
3L2L3g2gO
1L1gSistema Local
f L d LSistema Global
fg dg
dL = Tg x dgPor tanto:
Donde:dL: Matriz de desplazamientos de extremo
en su sistema local.Tg: Matriz de transformación.dg: Matriz de desplazamientos de extremo en su sistema global.
UNS / AE-II / IVAN
DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN:Esta matriz es generada dando desplazamientos unitarios a cada GDL.
Para d1g = 1, resto =1) 0
d4L
d3L d1Ld2L d3L d4L
1cos O-1sen OOd2L
d1L
d
= =L 00
d1g = 1
2) Para d2g = 1, resto = 0
d4Ld1L 1sen Od2g = 1 d3L d 1cos O2Ld
L
= =O d3Ld4L
00
d2L
d1L
UNS / AE-II / IVAN
1senO
1cosO
1cos O
1sen O
Para d3g = 1,3) resto = 0
d4L d3L
d1Ld2Ld3L
001cos O
d2L
dd
= =d3g = 1 LO d 1sen O1L 4L
4) Para d4g = 1, resto = 0
d4g = 1d4L d1L
d2L d3L d4L
001sen O
d3L d
L
= =d2L
d1L
1cos OO
UNS / AE-II / IVAN
1senO
1cosO
1cos O
1sen O
-
PROPIEDAD
Se tiene:
DE ORTOGONALIDAD:
yg
xLyL d2g
d2L
xgd1g
Por Pitágoras:
………Ecuación 21L 2L 1g 2g
Matricialmente:
d 1L
d 2L
d 1g
d 2g
d 1L d2L d 1g d2g=x x
T T=d L d L d g d g ………Ecuación 3x x
UNS / AE-II / IVAN
2 2 2 2 2D = d + d = d + d
D d1L
-1
Tgd L Tg d g
C
d g d L= =Y se sabe que: x x
T T TA B C A B= =x xPero:
T T Td L d g Tg= xTenemos: ………Ecuación 4
Reemplazando la Ecuación 4 en la Ecuación 3, se tiene:
T Td L
x Tg
d L
d L
d g
d g
d g
Tg
=x x
TT -1Td L=d g x x x ………Ecuación 5
Para que la Ecuación 5 cumpla:
T -1Tg = Tg
UNS / AE-II / IVAN
III.- MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE MIEMBRO O ELEMENTO:-1
d L Tg d g d g Tg…x…d…L Ecuación
6
= =Se sabe que: x
Podemos relacionar las cargas nodales y desplazamientos nodales de un sistemalocal mediante: f KL d L= x ………Ecuación 7LDonde:
f LKLd L
:::
Vector de cargas del elemento o miembro.Matriz de Rigidez local del elemento o miembro.Matriz de desplazamiento local del elemento o miembro.
Reemplazando la Ecuación 6 en la 7:
Tg ffTg
Tg
d g =f KL= xx , perox gLL
f Tg d gKL= ………Ecuación 8x xxg
Si a la Ecuación 8 le multiplicamos:-1
TgTg
f
f Tg
Tg
d g
d g
KL
KL
=x xxg
-1Tg= xx xg
UNS / AE-II / IVAN
-1Tg
-1Tgf Tg d g Kg TgKL
Kg
KL= =, En otras palabras:xx x x xg
T -1Tg
Tg
= TgPor Ortogonalidad, se tiene:
TKg Tg KL= x x ………Ecuación 9
Donde:21 2
-1 1
2AEKL = -1L 1
Pero: 41 2 3 4 3000
0
000
0
-101
0
12
3
4
2AELKL = 1-1
UNS / AE-II / IVAN
10
0
1
1
Así que, operando la Ecuación 9, tenemos:
1cos O -1sen O 001cos O
00
1cos O 1sen O 001cos O
001sen O
00
-1 0
0
-101
0
000
0
1sen00
1cos O00
-1sen O
00
1cos O00
OKg = AE
L -1sen O1sen 1cos O -1sen O 1cos OO
Resulta:2 2
cos O sen O cos O
-cos O -sen O cos O2 2
sen O cos O
sen O -sen O cos O
-senOAELKg =
2 2-cos O -sen O cos
Ocos O sen O cos
O2 2-sen O cos O
-senO sen O cos O
sen O
UNS / AE-II / IVAN
10
0
EJERCICIO N°1:Hallar las reacciones y desplazamientos del sistema siguiente:
AE = Constante2-3A = 5.806 x 10 mL 2E = 703 069.62 Kg/Cm
L = 3.00m10tnL
Solución:
1.- Etiquetamos en cada nodo los GDL.2.- Enumeramos cada elemento y la dirección de análisis respectivo.
4g 6g
: Elemento, ,5g 2g , 3g , 4g , 5g , 6g : GDL1g ,
TKg Tg TgKL= x x
1g
UNS / AE-II / IVAN
1
3g
22g
3213
10
4gPara el elemento 1:3g
cos Osen O
= cos 90º = 0= sen 90º = 1
O=90°
1g
0010
cos O sen O 0
0 cos O
0
0 sen O
0-100
1000
000-1
sen O00
cos O00
T = =g
-sen O cos O
00
-1 0
0
-101
0
000
0
TTgKg TgKL
AEL
=KL = x x
1g 2g
010-1
3g
0000
4g
00000
1g00
-10
0000
000-1
0010
0100
-1000
0001
10
-10
0 -1 0-100
1000
-1 2g000
010
KgAE LKg
AE L
== 01
3g
4g
UNS / AE-II / IVAN
10
0
-
12g
6gPara el elemento 2:5g
cos O = cos 45º =sen O = sen 45º =
2/22/2
O=45°2g
1g
00
0 0cos O sen O 0
0 sen O
1-100
1100
sen O00
cos O00
01-1
011
T g 2= =cos O 2-sen O cos O
00
-1 0
0
-101
0
000
0
TTg Tg
AE Kg KL=K = x xL 2 L
1g
2/42/4
2g 5g 6g
- 2/4- 2/4
2/42/4
0 0 0 -1 0 01100
-1100
10
1 1-1 10 0
0 2/4 - 2/4 1g
- 2/42/4
0-11
00
0
0 01 0
0 0
011
0 01 1
2/4-
2/4
2gKg
2 x 2 KgAE2 L
AE L
x= =2 2 -10
- 2/4- 2/4
5g
0 0 -1 1 - 2/4 2/4 6g
UNS / AE-II / IVAN
10
0
-
2
Para el elemento 3:4g 6g
cos Osen O
= cos 0º = 1= sen 0º = 0
=0°O
5g
0 0cos O sen O 0
0 cos O
0
0 sen O
1000
0100
sen O00
cos O00
010
001
T g = =
-sen O cos O
00
-1 00
-1010
0000
T
gK T TK=AEL
x xKL = g gL
3g
10
4g
000
0
5g
-101
0
6g
000
0
3g0 0 10
-1
0
0 -1 000
0
0 01000
0100
1000
0100
00
0
01
0
001
010
001
010
4gKgKg
AE L
AE L ==
-10
5g
6g
UNS / AE-II / IVAN
10
0
-
3g3
Ahora procedemos a ensamblar (expandir) la matriz del sistema.1g
2/42/400
2/4
2g
2/41+ 2/40-1
- 2/4
3g
0010
-10
4g
0-101
00
5g
- 2/4- 2/4-10
1+ 2/4
2/4
6g
- 2/4- 2/4
002/42/4
1g
2g
3gK AE
L=4g
5g-- 2/4 - 2/4 6g
Operando se tiene:
1g
4810.714810.7100
2g
4810.7118417.45
0-13606.74
-4810.71-4810.71
3g
00
13606.740-13606.740
4g
0-13606.740
13606.7400
5g
-4810.71-4810.71
-13606.74
018417.454810.71
6g
-4810.71-
4810.71
00
4810.714810.71
1g
2g
3gK Tn/m=
4g
5g-4810.71-4810.71 6g
UNS / AE-II / IVAN
Aplicando la Ley de Hooke, se tiene:
K x DF =
-4810.71-4810.71
-13606.74
0
18417.454810.71
-4810.71-4810.71
0
04810.714810.71
100
F3
F4
F5
F6
4810.714810.7100
-4810.7
1-
4810.71
4810.7118417.45
0-13606.74
-4810.71-4810.71
00
13606.740
-13606.740
0-13606.740
13606.74
00
D 1D 20000
= …Ecuación 1
Se puede apreciar que la Ecuación 1 es un poco dificultosa el poder resolverla yesto se complica mas aún cuando la estructura o sistema tiene mas Número denodos y con ello mas número de GDL.Pero podemos simplificar el cálculo de la siguiente manera:
1g 2g 3g 4g 5g 6g
3g 1gK K5g LL LR 2g
4g3g
K =4g
KRL KRR5g
1g 6g
UNS / AE-II / IVAN
6g
2g
El Vector de Fuerzas: El Vector de Desplazamientos:
F1 D1F = F D = DLibres LLD2
Libres LL F2
D3
D4
D5
D6
F3 DF ==F4 D = DF = F Restringidas RRRestringidas RRF5
F6
Así que tenemos: Multiplicando tenemos:
DRR
DRR
KLL KLR F D KLR
KRR
F D K= x + xLL LLLL LL LL= x
FRR = DLLFRR
KRL KRR DRR KRL x + x
Pero se sabe que el o los desplazamientos en los apoyos es cero “0”.Por tanto se tiene:
y
UNS / AE-II / IVAN
FRR = KRL x DLLFLL = KLL x DLL
KLL
KRL
Así que: Los desplazamientos nodales globales lo podemos determinar con lasiguiente Ecuación:
..…Ecuación 2
Las reacciones del sistema se calcula con la siguiente Ecuación:
FLL DLLKLL= x y ..…Ecuación 3
Así que, volviendo a la Ecuación 1, tenemos:
KLRKLL-4810.71 -4810.71
-4810.71 -48 10 .71
100
4810.71 4810.71 0 0
0-13 60 6. 74
D 1F DLL LLD 20000
4810.71 18417.45 F3
F4
F5F6
-13606.740
18417.454810.71
00
4810.714810.71
00
4810.714810.71
0 13606.740
-13606.740
013606.74
00
=-13606.74-4810.71-4810.71
KRL
F DRR RR
KRR
UNS / AE-II / IVAN
--
FRR = KRL x DLL
-1DLL = KLL
x FLL
Utilizando la Ecuación 2, obtenemos los desplazamientos:-1
4810.714810.71
4810.7118417.4
5
D1 100
D1 0.00281m= x =D D -0.000735 m2 2
Asimismo utilizando la Ecuación 3, obtenemos las reacciones:
F3
F4
F5
F6
F3
F4
F5
F6
010
-10-
10
00
-4810.71-4810.71
0
-13606.74 0.00281 = x = Tn-0.000735-4810.71
-4810.71
Graficando Los Desplazamientos Graficando Las Reacciones
F4 = 10 tn F6 = 10 tn
F5 = 10 tn
D2 = 0.000735 m10 tn
D1 = 0.00281 mUNS / AE-II / IVAN
-1DLL = KLL x FLL
AHORA TE TOCA A TI: HALLAR REACCIONES Y DESPLAZAMIENTOS
EXITOS!!!!
UNS / AE-II / IVAN
HALLAR REACCIONESESTRUCTURAS:
Y DESPLAZAMIENTOS DE LAS SIGUIENTES
EXITOS!!!!UNS / AE-II / IVAN