Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 62
4 Krachten in de sport
4.1 Inleiding Voorkennis
1 Krachten
a Spierkracht, veerkracht, zwaartekracht, wrijvingskracht, elektrische kracht, magnetische kracht,
windkracht, opwaartse kracht. Elke kracht heeft een grootte, een richting en een aangrijpingspunt. Van sommige krachten kun je daar meer over zeggen: de zwaartekracht is naar het middelpunt van de aarde gericht en de wrijvingskracht tegengesteld aan de (eventuele) bewegingsrichting.
b Krachten meet je met een veerbalans, veerunster of dynamometer (krachtmeter). Eenheid: N (newton).
c De nettokracht is de resulterende kracht van alle op een voorwerp werkende krachten samen.
d Het moment van een kracht geeft aan ‘hoe goed de kracht in staat is het voorwerp te laten draaien’. Je kunt het moment als volgt berekenen: M = F · r (kracht maal arm). Het moment speelt vooral een rol bij gereedschappen en hefconstructies.
2 Beweging
a Als er een nettokracht op een voorwerp werkt, versnelt of vertraagt het voorwerp.
De voorwaartse krachten zijn dan niet gelijk aan de achterwaartse krachten (geen evenwicht).
b De nettokracht is nul. De voorwaartse en achterwaartse krachten heffen elkaar op (zijn in evenwicht).
c Bij een krachtenevenwicht staat een voorwerp stil of beweegt eenparig in een rechte lijn. Bij een momentenevenwicht draait het voorwerp niet of draait het eenparig (met een constante hoeksnelheid) om een ‘vast’ draaipunt of om het zwaartepunt.
N.B. Terwijl er een krachtenevenwicht is, kan het voorwerp dus wel een eenparige of versnelde draaibeweging maken (afhankelijk van of er een momentenevenwicht is). Als er momentenevenwicht is kan het voorwerp (terwijl het niet draait of eenparig draait) versneld van plaats veranderen, een cirkelbaan beschrijven, eenparig in een rechte lijn voortbewegen of stilstaan (afhankelijk van of er een krachtenevenwicht is).
4.2 Krachten Kennisvragen
5 A Fz = m · g De massa en de zwaarteversnelling, beide recht evenredig met de zwaartekracht.
B Fv = C · u De stugheid en de uitrekking van het materiaal, beide recht evenredig met de veerkracht.
C Schuifwrijving: Fw,s = cs · Fn hangt af van de ruwheid van het oppervlak en van de normaalkracht
(en dus van de massa).
D Rolwrijving: Fw,r = cr · Fn hangt af van de mate van vervorming van de oppervlakken en
van de normaalkracht (en dus van de massa).
E Luchtweerstand: Fw,l = ½ · cw · A · ρ · v2 hangt af van de stroomlijn, het frontaal oppervlak,
de luchtdichtheid en de snelheid. Hoe groter elk van de factoren, hoe groter de wrijving (cw is groter bij een slechtere stroomlijn).
F De normaalkracht Fn : hangt af van de grootte van de zwaartekracht Fz en dus van de massa m.
Bovendien hangt deze kracht ook nog af van de helling van de ondergrond. Hoe groter de massa des te groter is de normaalkracht en hoe groter de hellingshoek is des te kleiner is de normaalkracht.
G De spankracht Fn : hangt af van de grootte van de kracht die op het koord werkt.
De spankracht is even groot als de kracht die op het koord werkt en die de spanning veroorzaakt.
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 63
6 a Fz en Fn heffen elkaar op.
b In de figuur wordt naar rechts geduwd (Fd is naar rechts gericht). Als de snelheid constant is, geldt: Fw is even groot als Fd én tegengesteld gericht.
c De tilkrachten kun je het beste als
één kracht Ft weergeven (de som van de twee tilkrachten). Als de kist stil hangt in de lucht geldt: Ft is even groot als Fz maar tegengesteld van richting. Elk van de twee tilkrachten is uiteraard de helft van Ft.
7 a De trampoline moet bij de zwaardere springer
een grotere kracht uitoefenen om de zwaartekracht tegen te werken. Dat gebeurt dus bij een grotere vervorming van de trampoline.
b Zie figuur hiernaast. Ft is de veerkracht van de trampoline.
8 a Het is het makkelijkste om alle krachten
vanuit één punt te tekenen. De motorfiets heeft in verticale richting geen snelheid. De krachten in verticale richting zijn dus in evenwicht. De normaalkracht Fn (loodrecht op het vlakke wegdek) is dus even groot als de zwaartekracht Fz.
In horizontale richting is de snelheid constant en is er dus ook evenwicht. De kracht van de motor Fm is dus even groot als de wrijvingskracht Fw (die nog te splitsen is in rolwrijving en luchtweerstand).
b De luchtweerstand is groter, dus is
de kracht van de motor ook evenveel groter. 9 Zie figuur hiernaast.
De gravitatiekracht die de aarde op de satelliet uitoefent (FG,2) is naar het middelpunt van de aarde gericht. De satelliet oefent een even grote gravitatiekracht (FG,1)
uit op de aarde (actie/reactiekracht). 10 a Zie figuur hiernaast.
b De voorwaartse kracht wordt alleen
uitgeoefend tijdens de trap. De normaalkracht werkt alleen als de bal nog op de grond is. De wrijvingskracht is tegengesteld aan de snelheid en neemt af als de snelheid kleiner wordt (tengevolge van wrijving) en verandert van richting. De zwaartekracht verandert niet omdat de massa constant is.
11 a De kracht F vormt samen met de normaalkracht Fn een krachtenpaar omdat er sprake is
van 2 voorwerpen die op elkaar een kracht uitoefenen die even groot zijn en tegengesteld van richting.
b De normaalkracht Fn heft de zwaartekracht Fz op. Beide krachten werken op de persoon en
zijn even groot en tegengesteld van richting.
c Doordat de zwaartekracht Fz de persoon naar beneden trekt, kan deze persoon met dezelfde grootte een kracht F op de plank uitoefenen. De plank buigt dan enigszins door en gaat op zijn beurt weer een even grootte, omhoog gerichte kracht op de persoon uitoefenen, de normaalkracht Fn.
Fw Fd
A B C
Fz
Fn
Fz
Fn
Fz
Ft
Fz
Ft
Fz
Ft
satelliet aarde
FG,2 FG,1
Fv
Fz
Fw
Fz
Fw
Fz
Fw
Fz
Fn
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 64
12 A Door de draaiende beweging oefent het wiel een achterwaartse kracht F op het wegdek uit.
Als reactie hierop oefent het wegdek een voorwaartse kracht Fvw uit op het wiel.
B Bij het remmen oefent het wiel een voorwaartse kracht F op het wegdek uit. Het wegdek oefent tegelijkertijd een achterwaartse (rem)kracht Frem op het wiel uit.
C In het geval van een beijzelde weg treedt er weinig wrijving op tussen de band en het wegdek.
De achterwaartse kracht kan dan niet zo groot worden. Het wiel gaat snel slippen. Daardoor is de voorwaartse kracht ook maar klein en kom je dus moeilijk op gang.
D Door zijn vorm kan een draaiende schroef het water naar achteren duwen. Het water heeft echter massa
en laat zich niet zonder meer naar achteren duwen. In zijn verzet oefent het zelf een voorwaartse kracht op de schroef uit.
E In een straalmotor wordt de sterk verhitte lucht door de straalmotor naar achteren geduwd.
Ook lucht heeft een zekere massa en kan in zijn verzet tegen deze duwkracht naar achteren zelf een voorwaartse kracht op de straalmotor uitoefenen.
13 a Optellen van twee krachten
in dezelfde richting: Optellen van twee krachten in tegengestelde richting: Optellen van twee krachten in willekeurige richting m.b.v. parallellogram-methode (of: kop aan staart leggen):
b Voorbeeld van ontbinden van een kracht F in twee onderling
loodrechte componenten bijvoorbeeld Fx (x-richting) en Fy (y-richting) d.m.v. de ‘omgekeerde parallellogram-methode’:
Als je de vectoren nauwkeurig volgens een krachtenschaal hebt getekend, kun je de grootte in de tekening opmeten.
14 a Zie figuur hiernaast.
22
21 FFFr
1
2tanF
F
b Zie figuur hiernaast.
cos1 FF
sin2 FF
15 N.B. De figuren die hier getekend staan, zijn niet op dezelfde schaal getekend als in het verwerkingsboek!
A Optellen van twee krachten
in willekeurige richting m.b.v. parallellogram-methode:
Fr : 2,3 cm Fr = 2,3 25 = 57,5 N Afgerond: Fr = 58 N
Vervolg op volgende bladzijde.
x
F FY
FX
x
F
y
y
F2
F1FR+ F2F1
F2 F1
FR-F2F1
F2
F1
F2
FR
F1
FR
F2
F1
x
y
F2
F1
x
y
F2
F1
x
y
A
F2
F1
FR
F1
x
Fy
Fx
x
y
F
x
y
y
FF
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 65
Vervolg van opgave 15.
B Optellen van twee krachten
in dezelfde richting:
Fr : 2,0 cm Fr = 2,0 25 = 50 N Afgerond: Fr = 50 N
C Optellen van twee krachten
in tegengestelde richting:
Fr : 0,5 cm Fr = 0,5 25 = 12,5 N
Afgerond: Fr = 1 101 N
16 2222
21 15075FFFr = 168 N (zie figuur hiernaast)
17 Zie figuur hiernaast.
30cos500cos1 FF = 433 N = 4,3·102 N
30sin500sin2 FF = 250 N = 2,5·102 N
18 De grootte kun je opmeten en omrekenen volgens de krachtenschaal waarop je getekend hebt
(in de figuur van het boek is dat 1 cm ≡ 25 N).
19 Linkerfiguur Rechterfiguur
In de linkerfiguur hoef je alleen de zwaartekracht te ontbinden. De andere krachten (spierkracht Fs,
wrijvingskracht Fw en normaalkracht Fn) hebben alleen een component in de getekende x- of y-richting.
In de rechterfiguur moet je zowel de normaalkracht, de spierkracht als de wrijvingskracht ontbinden in x- en y-componenten. Je kunt dus het beste de situatie van de linkerfiguur kiezen, want dan hoef je minder krachten te ontbinden.
F1 = 75 N
F2 = 150 N
Fr
x
y
Fy
Fx
F
A
y
Fy
Fx
F
B
xy
Fy
Fx
F
C
Fn
Fw
FS
y
FZ
x
Fn
Fw
FS
y
FZ
x
F2
F1FR+ F2F1
F2 F1
FR-F2F1C
B
= 30 o
F = 500 N
Fy
Fx
x
y
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 66
20 A Op de slee werken de zwaartekracht Fz, de normaalkracht Fn, de trekkracht Fs en de wrijvingskracht Fw (zie figuur A hiernaast).
Door een horizontale x-as en verticale y-as te kiezen, hoef je alleen de spankracht te ontbinden:
N 96,2337cos30cosss,x FF Afgerond: Fs,x = 24 N
N 05,1837sin30sinsys, FF Afgerond: Fs,y = 18 N
De zwaartekracht Fz = m · g = 9,5 · 9,81 = 93,2 N Afgerond: Fz = 93 N
De wrijvingskracht Fw = Fs,x Afgerond: Fw = 24 N
De normaalkracht Fn = Fz - Fs,y = 93,2 - 18,05 = 75,15 N
Afgerond: Fn = 75 N
B Op de wielrenner werken de zwaartekracht Fz, de normaalkracht Fn
en de wrijvingskracht Fw (zie figuur B hiernaast).
We nemen aan dat de wielrenner bij de afdaling niet nog eens extra trapkracht uitoefent.
In dit geval kun je het beste een x-richting kiezen evenwijdig aan de berghelling en een y-richting daar loodrecht op.
Je hoeft dan alleen de zwaartekracht Fz te ontbinden in componenten.
De zwaartekracht Fz = m · g = 80 · 9,81 = 785 N Afgerond: Fz = 78 101 N
N 3,13610sin785sinzz,x FF Afgerond: Fz,x = 14 101 N
N 9,77210cos785coszyz, FF Afgerond: Fz,y = 77 101 N
De normaalkracht Fn = Fz,y Afgerond: Fn = 77 101 N
C Op de kogel werken de zwaartekracht Fz en
de spierkracht Fs (zie figuur C hiernaast).
In dit geval kun je het beste de x-richting horizontaal kiezen evenwijdig en de y-richting verticaal.
Je hoeft dan alleen de spierkracht Fs te ontbinden in componenten:
N 7,7141cos95cossxs, FF Afgerond: Fs,x = 72 N
N 3,6241sin95sinss,y FF Afgerond: Fs,y = 62 N
De zwaartekracht Fz = m · g = 6,0 · 9,81 = 58,9 N Afgerond: Fz = 59 N
21 en 22 Kijk ook nog eens in het informatieboek.
23 Via het tekenen van een krachtenparallellogram: teken de krachten nauwkeurig op schaal.
Bepaal de grootte van de resultante in de tekening en bereken met behulp van de schaal de grootte van de kracht.
Via het ontbinden van één van de twee krachten:
kies een rechthoekig assenstelsel, waarbij één van de krachten langs één van de assen ligt bijvoorbeeld F1 (zie hiernaast). Ga na dat m.b.v. de ontbindingsregels van een krachtenrechthoek en de stelling van Pythagoras:
cos2 212
22
12
y2,2
x2,1r FFFFFFFF
figuur B N.B. Krachten zijn niet in verhouding!
Fn
Fw
Fz
x
y
10o
Fz,x
Fz,y
figuur C
Fz
Fs
x
y
41o
Fs,y
Fs,x
F2 y
F2 x
x
y
F1
F2
F1 + F2 x
Fr
F2 y
figuur A
Fz
Fn
Fw
x
y
Fs,y37o
Fs,x
Fs
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 67
Oefenopgaven
27 Parasailing
a Zie figuur hiernaast. De parasailer gaat horizontaal vooruit,
dus de luchtwrijvingskracht op het lichaam werkt horizontaal naar achteren. De luchtwrijvingskracht op het lichaam is overigens klein ten opzichte van de overige krachten.
b De parachute oefent een kracht uit op de parasailer:
schuin naar boven/achter. Deze kracht wordt uitgeoefend door de gezamenlijke parachutetouwen. De (gemiddelde) richting van de kracht is te vinden door ongeveer het midden te nemen van de parachutetouwen.
28 Skiën
a Op de skiër werken de zwaartekracht Fz, de normaalkracht Fn
en de wrijvingskracht Fw = Fw,lucht + Fw,schuif (zie figuur hiernaast).
b De luchtwrijvingskracht is te verkleinen
door een lage lichaamshouding aan te nemen. De schuifwrijving is te verminderen door een nieuwe, gladde waxlaag aan te brengen onder de ski’s.
c Door de schuifwrijving te vergroten door de ski’s overdwars
te zetten of door een minder sterk dalende baan te volgen, meer dwars over de piste.
29 Fietshouding
a De luchtweerstand wordt gegeven door: 2w2
1lw , vAρcF Bij de voorovergebogen houding
worden de cw-waarde en het frontaal oppervlak A (het oppervlak van voren gezien) kleiner.
b Om het frontaal oppervlak uit te rekenen moet je het aantal mm2 proberen te tellen en/of te schatten.
Hierbij kom je waarschijnlijk uit in de buurt van 630 mm2. De schaal is 1 mm 3 cm in werkelijkheid,
dus 1 mm2 komt overeen met 9 cm
2 .
A = 630 9 = 5670 cm2 = 0,567 m
2 Afgerond: A = 0,57 m
2
v = 15 km/h = 4,17 m/s 2
212
w21
lw, )17,4(57,02,11,1vAρcF = 6,53 N
Afgerond: Fw,l = 6,5 N
c De grootte van het frontaal oppervlak is in de voorovergebogen houding naar schatting
ongeveer 400 mm2 A = 400 9 = 3600 cm
2 = 0,360 m
2 A = 0,36 m
2.
Ingevuld levert dit op: 221
lw, )17,4(36,02,188,0F = 3,30 N
Daarmee is de luchtwrijvingskracht 3,3
5,6= 2,0 keer zo klein.
30 Kogelstoten
a Een voorwerp versnelt in de richting van de resulterende kracht (tweede wet van Newton: Fres = m · a).
Het voorwerp wordt onder een hoek van 45º weggestoten, dus de resulterende kracht staat ook onder een hoek van 45º met de grond.
De spierkracht Fs moet hoger gericht zijn
dan de resultante Fr omdat deze laatste de som is
van spierkracht Fs en zwaartekracht Fz.
Dat betekent dat Fr de diagonaal moet vormen
van een parallellogram waarvan Fz en Fs de zijden zijn.
b Teken de bekende krachten Fr en Fz nauwkeurig op schaal.
Verplaats de vector van de zwaartekracht (zonder de richting te veranderen), zodat deze met zijn kop aan de kop van de resulterende kracht komt te liggen. De spierkracht is dan de vector die van de bal naar de staart van de zwaartekracht gaat. (Bedenk dat Fr de diagonaal moet vormen van een parallellogram waarvan Fz en Fs de zijden zijn.)
Je vindt dan: - de spierkracht Fs = 134 N en deze staat onder - een hoek van 60° met de horizontale richting.
Fw
Fz
Fs
Fp
FZ = 49,1 N
Fr = 95 N
Fs = 134 N
FZ
Fr
45o 60o
Fw
Fn
Fz
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 68
31 Tuibrug
a Kabels (en ook touwen, koorden etc.) kunnen alleen een kracht uitoefenen in de richting van de kabel.
De spankracht van de kabel heeft dus een hoek van 45º met het wegdek.
b Zie de figuur hiernaast.
Je bepaalt eerst op welke schaal je de krachten
gaat tekenen. Daarna teken je de kracht Ft nauwkeurig én in de goede richting. Vervolgens kun je deze kracht ontbinden in twee componenten in de richting van de tuikabels, die elk een hoek van 45º met het wegdek hebben.
Hiermee vind je de spankrachten Fs.
Door hun lengte op te meten, kun je daarna bereken hoe groot de krachten zijn:
Fs = 1,4·108 N zowel naar links als rechts.
Controle met berekening:
Door de aanwezigheid van de hoeken van 45º krijg je in de contructie-figuur driehoeken met een hoek van 90º. Hierdoor geldt:
45cost
s
F
F N 1041,145cos100,245cos 88
ts FF Afgerond: Fs = 1,4·108 N
c 2
9
8989
maxs, m 47,0100,30
10,411 1030,010,411 1030,0 AAAF Afgerond: A ≥ 0,47 m
2
De kabel zal dikker moeten zijn, want bij het berekende dwarsdoorsnedeoppervlak wordt de kabel maximaal belast en staat de kabel dus al op knappen. Bovendien moet in verband met de veiligheid misschien ook rekening gehouden worden met een grotere belasting dan hier opgegeven.
Dikte (of diameter) kabel: cirkel m 774,047,04
4
0,47 4
222 d
ddrA
Afgerond: d = 0,77 m
4.3 Krachten in evenwicht Kennisvragen
33 Als de som van alle krachten die op het voorwerp werken nul is ( 0F oftwel: Fr = 0).
Dat wil zeggen dat de (componenten van) de krachten die naar boven werken samen even groot zijn
als de (componenten van) de krachten die naar beneden werken samen: FF .
Hetzelfde geldt voor naar links en rechts: FF .
Het voorwerp voert dan een eenparige rechtlijnige beweging uit of is in een bijzonder geval in rust.
(N.B. Tegelijkertijd kan het voorwerp een roterende beweging maken om een as of om zijn zwaartepunt.) 34 Bijvoorbeeld bij een voorwerp dat op een tafel staat of aan een touw hangt.
Andere voorbeelden zijn: een lamp die aan een kabel hangt dat over een straat gehangen is of een auto die met constante snelheid rijdt. Zie figuren hieronder.
35 Zie figuur hiernaast. In alle gevallen
is sprake van een krachtenevenwicht, want de kast staat stil of beweegt eenparig. In het tweede geval B is de duwkracht gelijk aan de schuifwrijvingskracht (die kleiner is dan de maximale statische schuifwrijvingskracht). In het derde geval C is de duwkracht gelijk aan de dynamische schuifwrijvingskracht (die in het algemeen iets kleiner is dan de maximale statische schuifwrijvingskracht).
Fn
FvwFw
Fs
Fz
Fs
Fs
Fz
Fn
Fz
FZ
FN
FZ
FN
Fw Fd
A B C
FZ
FN
FwFd
FS
45 o
FS
Ft
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 69
36 A De krachten houden elkaar in evenwicht, zowel in horizontale richting als in verticale richting.
B De krachten houden elkaar in evenwicht, zowel in horizontale richting als in verticale richting.
C De voorwaartse kracht op het voorwerp is groter dan de achterwaartse kracht.
De resulterende kracht in horizontale richting veroorzaakt een versnelde beweging. In verticale richting houden de krachten elkaar in evenwicht.
D De achterwaartse kracht op het voorwerp is groter dan de voorwaartse kracht.
De resulterende kracht in horizontale richting veroorzaakt een vertraagde beweging. In verticale richting houden de krachten elkaar in evenwicht.
37 a Zie figuur a hiernaast. Als je de momenten
van de krachten mag verwaarlozen, kun je voor de overzichtelijkheid van de tekening alle krachten op één punt laten aangrijpen, bijvoorbeeld op het zwaartepunt.
b 10 N, zie figuur b hiernaast.
38 a Zie figuur a hieronder.
In dit geval is opwsz FFF 40,048,0zopws FFF = 0,08 N.
b Zie bovenstaande figuur b1.
Het beste is om hier te kiezen voor een verticale en horizontale asrichting. Ontbind de spankracht Fs in een verticale component Fs,y en een horizontale component Fs,x (zie figuur b2). De verticale component van de spankracht blijft 0,08 N omdat in de verticale richting blijft gelden
dat opwys,z FFF . Er is nog steeds sprake van evenwicht.
Berekeningen: De rechthoekige driehoek tussen Fs en Fs,y is gelijkvormig met de driehoek die wordt gevormd
door het touw en de denkbeeldige lijn vanaf de ballon loodrecht naar de grond.
Uit de stelling van Pythagoras volgt dat de afstand van de ballon tot de grond 22 3050 = 40 cm is.
De zijden van de driehoek verhouden zich dus als 3 : 4 : 5.
De kracht van de wind: Fw = Fs,x 4
3
ys,
xs,
F
F
4
3
08,0
xs,F Fw = Fs,x = 0,06 N.
De (totale) spankracht: 4
5
ys,
s
F
F
4
508,0
4
5ys,s FF = 0,10 N
c In verticale richting verandert het evenwicht niet: Fs,y blijft hetzelfde.
Fs,x houdt de windkracht in evenwicht en moet dus groter worden. Als Fs,x groter wordt en Fs,y hetzelfde blijft, staat de resultante van die twee, Fs, dus schuiner. Zie bovenstaande figuur c. De hoek wordt dus kleiner.
39 Ga zelf nog eens na én overleg met een klasgenoot welke stappen die achtereenvolgens gezet heeft.
Fz
Fop
Fz
Fop
a
Fs
b1
Fs
Fw
50 cm
b2
Fs,v
Fs,h
30 cm
Fz
Fop
Fs
Fw
c
Fs,v
Fs,h
Fz
Fop
Fs
Fw
Fz = 63 N
Fn
a
Fw,sF = 7,5 N
Fz = 63 N
Fn
b
Fw,s F = 10 N
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 70
Oefenopgaven
43 Gewichtheffen
a De spierkracht moet even groot zijn als de zwaartekracht:
81,9)454510(z gmF = 981 N.
Per arm is de spierkracht de helft: 491 N. In de tweede situatie geldt:
verts,s 75sin FF = 491 N (zie nevenstaande figuur)
75sin
491sF = 5,1·10
2 N
b In het tweede geval is de kracht groter (de gewichtheffer is namelijk tegelijkertijd de stang
aan het ‘uitrekken’). De stang is op deze manier echter dichter langs het lichaam te tillen, waardoor de kracht op de rug van de gewichtheffer kleiner is (blessures!) en de halter beter stabiel is te houden.
44 Plankzeilen
a In de linker situatie geldt: F2 = F1 = 250 N
omdat beide krachten tegengesteld gericht zijn.
In de rechtersituatie moet de kacht F2
ontbonden worden in een x-component tegengesteld aan de windkracht F1 en een y-component. De x-component F2,x moet even groot zijn als F1 .
Uit de figuur hiernaast is af te leiden dat: cos2
2,x
F
F.
Meting van de hoek levert op: = 15 .
N 8,25815cos
25015cos
250cos 2
22
2,xF
FF
F
Afgerond: F2 = 2,6·102 N
b De tweede houding geeft meer stabiliteit. Veranderingen in de windkracht kunnen gemakkelijker
opgevangen worden omdat je je gewicht vanuit die lichaamshouding gemakkelijker kunt verplaatsen en daardoor de kracht F2 beter kunt variëren zowel van grootte als van richting.
45 Vliegtuig
a Ja. Als een voorwerp met constante
snelheid in een rechte lijn beweegt, is er sprake van een krachten-evenwicht. De resulterende kracht is dan 0 N.
b Neem de bewegingsrichting van
het vliegtuig en de richting daar loodrecht op. Je hoeft dan alleen de zwaartekracht te ontbinden
(zie de figuren a en b hiernaast). Evenwicht in de x-richting:
xFFF z,ws
xFFF z,sw
15sinzsw FFF
15sin)81,91020(1011 34wF = 5,9·10
4 N
Evenwicht in de y-richting: 15coszz,L FFF y = 1,9·105 N
F1
F2
F2,x
F1 F2
y
Fs Fs,y
75o75o
x
Fs
FL
Fz
Fw
Fz,y
Fz,x
figuur a
Fz
15 o
Fz,y
Fz,x
figuur b
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 71
4.4 Momentenevenwicht Kennisvragen
47 Als de som van alle momenten die op het voorwerp werken nul is ( 0M ). Dat wil zeggen dat
de krachtmomenten die het voorwerp linksom zouden kunnen doen draaien bij elkaar opgeteld even groot
zijn als de krachtmomenten die het voorwerp rechtsom zouden kunnen doen draaien: rechtsomlinksom MM .
In veel voorbeelden zal het voorwerp stilstaan en niet draaien, maar het kan ook eenparig roteren
(met constante rotatiesnelheid). Het voorwerp (als geheel) kan tegelijkertijd elk soort beweging maken (want er hoeft geen krachtenevenwicht te zijn): het kan in rust zijn, eenparig voortbewegen (al dan niet in een rechte lijn) en het kan versneld bewegen.
N.B. Ingeval van een statisch voorwerp (dat in rust is), is er dus zowel een momentenevenwicht als een krachtenevenwicht. De krachten met een moment kun je berekenen met het momentenevenwicht, de kracht die in het draaipunt wordt uitgeoefend, bereken je vervolgens met het krachtenevenwicht.
48 Bijvoorbeeld een wipwap met twee personen (die in balans) is of bij een kruiwagen die opgetild is.
Een ander voorbeeld: de momenten op een tandwiel bij het fietsen, waarbij de snelheid constant is. Verder zie voorbeelden uit het boek.
49 Met de kruissleutel kun je met dezelfde kracht een groter moment uitoefenen omdat de krachtarm
over het algemeen wat groter is én er bovendien door 2 krachten een moment kan worden uitgeoefend aan weerszijden van de draaias (koppel van krachten).
50 a Fz = m · g = 30 · 9,81 = 294,3 N Afgerond: Fz = 2,9·10
2 N
b De as van de kruiwagen is het draaipunt.
Evenwicht, dus: M = 0 of Mlinksdraaiend = Mrechtsdraaiend Fs·rs = Fz·rz s
zzs
r
rFF
Meet de armen op in de figuur: de lengte van de loodlijntjes van de as naar de werklijnen
van de krachten 0,3
2,1294sF =117,7 N Afgerond: Fs = 1,7·10
2 N
c Het draaipunt (de as van de kruiwagen) levert het resterende deel
van de benodigde kracht om het gewicht van de kruiwagen te dragen. 51 Bij het kantelen kan de kist gaan draaien om het punt rechtsonder
(zie figuur hiernaast). Als de kracht net niet groot genoeg is om de kist te laten kantelen, is er momentenevenwicht:
Mrechtsdraaiend = Mlinksdraaiend F·r = Fz·rz (Fz heeft een linksdraaiend moment t.o.v. het draaipunt)
F =120
36)81,984(z
zr
rF = 247,2 N Afgerond: F = 2,5·10
2 N
De kist gaat kantelen als de kracht F net iets groter is dan in de situatie van momentenevenwicht.
52 De as van de aanhangwagen vormt het draaipunt.
Het zwaartepunt moet links van de as liggen omdat er anders geen kracht op de trekhaak wordt uitgeoefend (kans op rechtsom kantelen).
Mlinksdraaiend = Mrechtsdraaiend Fz·rz = Fv·rv
81,9250
)50,125,1(150
z
vvz
F
rFr = 0,1682 m Afgerond:rz = 0,168 m links van de as
werklijn
Fz
z
F
r =
120 c
m
rz = 36 cm
draaipunt
Fz,l Fz,r
Fz
Ft
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 72
53 a De horizontale component van de spankracht
in de scheerlijn is gelijk aan F1 (de spankracht van het tentdoek). De spankracht in de scheerlijn is dus groter, want die heeft ook nog een verticale component. (De tentstok houdt deze verticale component in evenwicht.)
b F2,hor = F1 = 200 N. Uit figuur b hiernaast volgt dat
de hoek tussen F2,hor en F2 gelijk is aan de hoek tussen de scheerlijn en de grond (z-hoeken).
35,1
80,1tan = 53,1º
1,53cos
200
cos
hor,22
FF = 333 N
Andere manier (gelijkvormige driehoeken): ∆ABC ~ ∆CDE, dus:
35,1
scheerlijn
hor,2
2
F
F
35,1
80,135,1
200
222F
F2 = 333 N
c Vergelijk figuur c met figuur b.
Hoe schuiner de scheerlijn staat (hoe meer in de richting van de horizontale component), hoe kleiner de verticale component van kracht F2 is
(bij gelijkblijvende horizontale component). F2 wordt dus kleiner, want F2 =2
ver,22
hor,2 )()( FF .
54 Ga zelf nog eens na én overleg met een klasgenoot welke stappen die achtereenvolgens gezet heeft.
Oefenopgaven
57 Armspieren
a Zie figuur hiernaast.
b Mbiceps = Mzwaarte Fbi · rbi = Fz · rz
4
2481,95
bi
zzbi
r
rFF = 294 N Afgerond: Fbi = 3·10
2 N
N.B. Fel, de kracht die de bovenarm in het ellebooggewricht
uitoefent op de onderarm heeft geen moment ten opzichte van het draaipunt, want hiervan is de arm r = 0 cm. Deze kracht is uit te rekenen m.b.v. het krachtenevenwicht.
c Onderbeen (knie), bovenarm (schouder), hand (pols).
58 Slagboom
a Zie de linker figuur hiernaast.
b Gevraagd: x, de afstand van links tot het draaipunt
(de ‘ligging’ van het draaipunt). Het zwaartepunt van het contragewicht ligt op 20 cm van het linker uiteinde
van de slagboom. Momentenevenwicht: Mcontra = Mslagboom
Fcontra · rcontra = Fslagboom · rslagboom
)50,1(81,912)20,0(81,940 xx
xx 7,1176,17648,784,392
2,510
1,255x = 0,50 m
c Door de slagboom over 45 te kantelen worden de krachtarmen korter.
Omdat het zwaartepunt van het contragewicht zich lager bevindt dan dat van de slagboom, neemt de krachtarm rc,nieuw echter meer af dan rs,nieuw van de slagboom.
Uit de figuur hiernaast blijkt: rs,nieuw = rs · cos 45 .
Dit geldt echter niet voor het contragewicht: rc,nieuw < rc · cos 45 . Dat betekent dat in deze situatie Mcontra < Mslagboom Conclusie: er is geen evenwicht.
c
F2
scheerlijn
F1F2,h
F2,v
Fz,s = 118 N
40 cm
Fn = 510 N
draaipunt
x3,00 m
Fz,c = 392 N
rs,nieuw
Fz,c
Fz,s45orc,nieuw
b
F2
scheerlijn
F1 = 200 NF2,h
1,80 m
1,35 mA B
CD
E
Fz = 49 NFel
Fbi
4 cm33 cm
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 73
59 Mobile
De ophangpunten van de staafjes dienen als draaipunt. Het lange deel van de staafjes is twee keer zo groot als het korte deel, dus op het korte deel moet een twee keer zo grote kracht worden uitgeoefend.
Links van B werkt een kracht van 1,5 N, dus in B moet Fz,B half zo groot zijn: Fz,B = 0,75 N.
Rechts van C werkt in totaal een kracht van 1,5 + 0,75 = 2,25 N, dus Fz,C moet twee keer zo groot zijn: Fz,C = 4,50 N.
Links van A werkt in totaal een kracht van 4,50 + 2,25 = 6,75 N, dus Fz,A moet half zo groot zijn: Fz,A = 3,38 N.
60 Fietsoverbrenging
a Kort: 52
32
35
1518
a
v
w
ttw
N
N
r
rFF = 4,7 N (de straal van het voortandwiel is een overbodig gegeven)
Uitgebreid: Voor de kracht op het voortandwiel Fv (= de kracht op de ketting = de kracht op
het achtertandwiel) geldt: ttvv rFrF 10
1518
v
ttv
r
rFF = 27 N
Het aantal tanden op een tandwiel is recht evenredig met de omtrek en dus met de straal (omtrek = 2 r).
Voor de straal van het achtertandwiel geldt dus:52
3210
v
aa
N
Nrr v = 6,15 cm
Voor de kracht op het achterwiel geldt: aaww rFrF 35
15,627
w
aaw
r
rFF = 4,7 N
b Dan wordt rv 52
42keer zo groot, dus wordt de kracht:
42
527,4
42
52w ,1w ,2 FF = 5,8 N
4.5 Afsluiting Oefenopgaven
64 Kabelbaan
In beide plaatjes kun je de krachten het beste ontbinden in de bewegingsrichting (de richting van de trekkabel) en de richting loodrecht daarop, want dan hoef je alleen Fz te ontbinden.
Bij een eenparige, rechtlijnige beweging is de resultante nul. Zowel in de x- als in de y-richting is de som van de krachten nul.
De trekkracht van de hijskabel is te berekenen met het evenwicht in de x-richting:
xFFF z,wt 30sin81,960030sin0 zt FF = 2,9·103 N
De spankracht in de vaste kabel is te berekenen met het evenwicht in de y-richting. De spankrachten van de kabel in de y-richting leveren namelijk de normaalkracht. Als je de spankracht in de y-richting hebt berekend, kun je de werkelijke spankracht in de kabel berekenen:
30cos81,960030coszz,n FFF y = 5,1·103 N
De normaalkracht is in feite de spankracht in de kabel in de y-richting (Fs,y), dus geldt:
2
ns2,s1,
FFF yy De normaalkracht wordt door Fs1,y en door Fs1,y samen geleverd, daarom moet
de normaalkracht door 2 gedeeld worden.
24sin n
s
FF Fs,1 en Fs,2 zijn even groot en worden hier beide even Fs genoemd.
4sin2
101,5
4sin2
3n
s
FF = 3,7·10
4 N
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 74
65 Ongelijkarmige balans
Om te bepalen of de schaalverdeling lineair is, kun je berekenen of de verschuiving van het contragewicht twee keer zo groot wordt als je een gewicht en vervolgens een twee keer zo zwaar gewicht op het schaaltje zet. Het is dan wel handig om eerst de massa van het contragewicht bepalen, zodat je die bij de berekeningen kunt gebruiken:
Fz,c rz,c = Fz,g r z,g gz,gz,cz,cz, rgmrgm 0,4
30060,0
cz,
gz,
gz,cz,r
rmm = 0,45 kg
Als je twee verschillende gewichten op het schaaltje zet, kun je bepalen of de schaalverdeling lineair is:
100 g erbij: gz,gz,cz,cz, rmrm 30450
60100gz,
cz,
gz,
cz, rm
mr = 10,67 cm
De verschuiving: ∆r = 10,67 – 4,0 = 6,67 cm
200 g erbij: gz,gz,cz,cz, rmrm 30450
60200gz,
cz,
gz,
cz, rm
mr = 17,33 cm
De verschuiving: ∆r = 17,33 – 4,0 = 13,33 cm
Als de massa twee keer zo groot wordt, wordt de verschuiving 2 6,67 = 13,33 cm dus ook twee keer zo groot. De schaalverdeling is dus lineair.
De schaalwaarde is 67,6
100
r
m= 15 g/cm.
66 Jetski
Oriëntatie: Gevraagd: grootte van de topsnelheid vmax. Gegeven: Fvw = 20 · (40 - v) ; Fw,l = 1,0 · v
2; andere wrijvingskrachten zijn verwaarloosbaar klein.
Planning: Als de jetski een constante snelheid heeft geldt: Fr = 0 d.w.z. Fvw = Fw,l Als je de gegeven wiskundige uitdrukkingen voor Fvw en Fw,l gaat invullen, krijg je een vergelijking waarin de snelheid v als enige onbekende voorkomt. Deze kun je dus oplossen.
Uitvoering:
Fvw = Fw,l 20 · (40 - v) = 1,0 · v2
1,0 · v2 + 20 · v - 800 = 0
Dit is een kwadratische vergelijking waaruit je de mogelijke oplossingen voor v kunt bepalen met de vergelijkingsoplosser van je grafische rekenmachine of de abc-formule of door te ontbinden.
Ontbinden: 0)20()40( vv . Dit geeft 2 oplossingen: v = - 40 m/s én v = 20 m/s.
Controle: De oplossing v = – 40 m/s is natuurkundig gezien geen zinnig antwoord. De oplossing v = 20 m/s is de juiste.
N.B. Een andere manier is de grafische oplossing. Je tekent in één diagram de grafieklijnen voor zowel Fvw als Fw,l. (Hiervoor moet je eerst een aantal punten uitrekenen). Zie diagram hiernaast. Vervolgens ga je na bij welke snelheid Fvw = Fw,l. Dit levert dan de gevraagde snelheid v = 20 m/s.
Conclusie: de topsnelheid vmax = 20 m/s (= 72 km/h).
N.B. De vergelijking 1,0 · v
2 + 20 · v - 800 = 0
kun je oplossen, door de vergelijkingen voor Fv = 20 · (40 - v) en Fa = 1,0 · v
2 in te voeren in je grafische
rekenmachine (zie schermafbeeldingen) en het snijpunt te berekenen (want daar is Fv gelijk aan Fa). Doe dit als volgt:
Druk op Y=. Y1 is de formule voor de voorwaartse kracht Fv (X = v).
Y2 is de formule voor de achterwaartse kracht Fa.
Druk op GRAPH. Het snijpunt van Y1 en Y2 moet zichtbaar zijn in het scherm wil je dat kunnen
berekenen. Dit kun je instellen onder WINDOW (zie het hierboven afgebeelde schermpje). Je kunt ook de
ZOOM-functie gebruiken om het snijpunt in beeld te krijgen.
Bereken het snijpunt van Y1 en Y2: toets in 2nd [CALC] 5:intersect ENTER ENTER ENTER.
Lees af: de snelheid v = 20 m/s (= 72 km/h) (X). Hierbij zijn Fv en Fa beide gelijk aan 400 N (Y).
F
(N)
0
100
200
300
400
500
600
0
v (m/s)
10 20 30 40 50
Fvw
Fw,l
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 75
67 Afdaling
Oriëntatie: Gevraagd: maximale snelheid vmax van wielrenner zonder te trappen. Gegeven: helling 15% d.w.z. 15 m dalen op 100 m afgelegde weg; m = 81 kg;
Fw = Fw,r + Fw,l = cr Fn + 1/2 cw A v
2 of Fw = 0,003 Fn +
1/2 0,88 1,2 0,36 v
2
Planning: Een wielrenner die zonder trappen een afdaling maakt, ondervindt een voorwaartse kracht Fvw die veroorzaakt wordt door de component van de zwaartekracht Fz,x evenwijdig aan het wegdek (zie de figuur). In eerste instantie zal de snelheid toenemen én tegelijkertijd ook de wrijvingskracht Fw. De snelheid blijft constant als Fvw = Fw . De wielrenner heeft dan zijn maximale snelheid vmax bereikt.
Fvw = Fw Fz,x = 0,03 Fn + 1/2 0,88 1,2 0,36 v
2
Nieuwe onbekenden: Fz,x en Fn
100
15sin
z
xz,
F
F
100
15sin zzxz, FFF Nieuwe onbekende: Fz
Fz,m = m g = 81 9,81 = 794,6 N
Fn = Fz,y en cosz
yz,
F
Fcoszyz, FF Nieuw onbekende:
Uitvoering:
100
15sin
100
15sin 1 = 8,63º
N 6,78563,8cos6,794yz,n FF
N 2,119100
156,794xz,vw FF
119,2 = 0,003 785,6 + 1/2 0,88 1,2 0,36 v
2
119,2 = 2,357 + 0,190 v2
m/s 79,24190,0
357,22,119v Afgerond: v = 25 m/s
Controle: Conclusie: de wielrenner behaalt op deze manier een snelheid van 25 m/s (= 89 km/h)
100 m
Fz,y
Fz,x
Fz
15 m
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 76
Z l
Z r
50o
r l
r m
A B C
50o
50o
Zm
68 Catamaran
Oriëntatie
Gevraagd Kan de catamaran met de nieuwe mast slagzij maken tot 50 . Gegeven: nieuwe mast m = 600 kg met lengte ℓ = 20 m; elke romp heeft een massa mromp = 1000 kg;
afstand Zl tot Zr is 6,0 m (zie figuur).
Stel dat de catamaran over
een hoek van 50 kantelt rond het zwaartepunt Zr. Je krijgt dan de situatie zoals in de figuur hiernaast is weergegeven.
Het zwaartepunt Zm van
de mast bevindt zich halverwege op een afstand
van 10 m van de lijn Zl -Zr.
De catamaran is nog stabiel als in deze situatie geldt dat Ml > Mm . of Fz,l · rl > Fz,m · rm . Planning
Ml > Mm
Fz,l · rl > Fz,m · rm. Nieuwe onbekenden: Fz,l , rl , Fz,m en rm.
Fz,l = m g = 1000 9,81 = 9,81 103 N en Fz,m = 600 9,81 = 5,89 10
3 N
rl is te bereken m.b.v. m 86350cos6,0 cos cos lrl
lr
l ,ZZrα ZZ
r
rm is moeilijker te bereken. Door de figuur nauwkeurig op schaal te tekenen is echter ook een redelijke schatting voor de arm rm te maken: rm = ca. 5,7 m.
Uitvoering Figuur op schaal: rr = ca. 5,7 m.
Ml = Fz,l · rl = 9,81 103 · 3,86 = 37,8 10
3 Nm Ml = 38 10
3 Nm
Mr = Fz,m · rm = 5,89 103 · 5,7 = 33,6 10
3 Nm Mr = 34 10
3 Nm
Controle
Conclusie: Het moment Ml is inderdaad groter dan Mm bij een kanteling over 50 .
De nieuwe mast voldoet aan de gestelde eis van stabiliteit tot 50 slagzij.
N.B. rm is ook te bereken: rm = AC - AB (zie de figuur hiernaast).
m 66,750sin10sin A ACsinA
ACm
m
ZZ
m 93,150cos0,3cos A ABcosA
ABr
r
ZZ
rm = 7,66 - 1,93 = 5,73 m
Je kunt ook berekenen tot welke hoek precies de boot nog stabiel is. Als de catamaran op het punt staat om te kantelen
(rond Zr), geldt: iendrechtsdraaendlinksdraai MM , dus:
mmz,llz, rFrF
cosAZsinAZABAC rmmr
)cosAZsinAZ()()cosZZ()( rmmrll gmgm
)cos2
0,6sin
2
20()81,9600()cos0,6()81,91000(
)cos3sin10(5886cos0,69810
cos3sin10cos10 sin10cos13 10
13
cos
sin
Uit nevenstaande driehoek volgt: tancos
sin
b
a
cb
ca
10
13
cos
sin 3,1tan = 52,4º Afgerond: = 52º
a
b c
Z l
Z r50o
Fz,l
Fz,m
r l r m
Z l Z r
Zm
6,0 m
3,0 m
10 m
Newton vwo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport 77
69 Lier
Kort: 8
8030350
2
0,8klein
groot
last
spier
spierlastN
N
r
rFF = 26250 N
81,9
26250
g
lastlast
Fm = 2675,8 kg
Afgerond: mlast = 2,7·103 kg
Uitgebreid: (zie onderstaande figuur)
g
lastlast
Fm
grootgrootlastlast rFrF Nieuwe onbekende: Fgroot = Fklein
spierspierkleinklein rFrF
80
840
groot
kleingrootklein
N
Nrr = 4,0 cm
(De omtrek = 2 r, dus als de omtrek 10 keer zo klein wordt, wordt r ook 10 keer zo klein.)
0,4
30350
klein
spier
spierkleinr
rFF = 2625 N
grootgrootlastlast rFrF waarbij Fgroot = Fklein = 2625 N en waarbij 2
0,8
2
asdiameterlastr = 4,0 cm
1026250,4
402625
last
groot
grootlastr
rFF = 26250 N
81,9
26250
g
lastlast
Fm = 2675,8 kg Afgerond: mlast = 2,7·10
3 kg
Fspier
Fklein
Fgroot
Flast
Flast
rlast
rgroot rklein
rspier