5. Fungsi dari Peubah Acak
EL2002-Probabilitas dan StatistikDosen: Andriyan B. Suksmono
Isi
1. Transformasi Peubah Acak2. Fungsi Pembangkit Momen3. Pencuplikan Acak4. Teori Pencuplikan5. Pencuplikan Sebaran Mean6. Pencuplikan Sebaran (n-1)S2/σ2
7. Sebaran t8. Sebaran F
5.1 Transformasi Peubah Acak
Pendahuluan• Seringkali kita perlu menurunkan sebaran peluang
dari fungsi satu peubah atau lebih. • Misalnya, andaikan X peubah acak diskrit dengan
sebaran f(x) dan andaikan lagi Y=u(X) transformasisatu-ke-satu dari X ke Y. Kita ingin menentukansebaran peluang dari Y.
• Dari pembahasan pada Bab 2, jelas bahwa peubahacak Y bernilai y saat peubah acak X punya nilaitertentu, misalnya, w(y). Akibatnya, sebaran Yakan diberikan oleh
g(y) =P(Y=y) = P(X=w(y)) = f[w(y)]
• Hasil ini kita rangkum dalam teorema berikut.
Transformasi satu peubah acak• TEOREMA 5.1 Andaikan X peubah acak diskrit dengan
sebaran peluang f(x). Andaikan Y=u(X) adalah transformasisatu-ke-satu antara nilai-nilai X dng Y sedemikian hinggapersamaan y=u(x) dapat dipecahkan secara unik untuk xdalam y, misalkan berbentuk x=w(y). Maka, sebaranpeluang dari Y adalah
g(y) = f[w(y)]
• Contoh 5.1: Andaikan X peubah acak geometrik dengan sebaranpeluang f(x) = (3/4)(1/4)x-1, x = 1, 2, 3, … Tentukan sebaranpeluang dari peubah acak Y=X2.
• Jawab: karena semua nilai X positif, transformasi inimenyatakan korespondensi satu-ke-satu antara x dengan y, dimana y = x2 dan x = √y. Dengan demikian
g(y) = f(√y) = (3/4)(1/4)√y – 1 , y=1, 4, 9, …= 0 , lainnya
Transformasi dua peubah acak• Teorema 5.2 Andaikan X1 dan X2 peubah acak diskrit dengan
sebaran peluang gabungan f(x1,x2). Andaikan Y1 = u1(X1,X2) danY2=u2(X1,X2) menyatakan transformasi antara titik (x1,x2) dan(y1,y2) sedemikian hingga y1=u1(x1,x2) dan y2=u2(x1,x2) secaraunik dapat dipecahkan untuk x1 dan x2 yang dinyatakan dalam y1dan y2, misalnya x1=w1(y1,y2) dan x2=w2(y1,y2). Maka sebaranpeluang gabungan dari Y1 dan Y2 adalah
g(y1,y2) = f[w1(y1,y2), w2(y1,y2)]
• Contoh 5.2: Andaikan X1 dan X2 dua peubah acak saling bebas yang memiliki sebaran Poisson dengan parameter μ1 dan μ2. Tentukansebaran dari peubah acak Y1 = X1+ X2
• Jawab: Karena X1 dan X2 saling bebas, maka
dimana x1= 0, 1, 2, … dan x2 = 0, 1, 2, ….
( ) ( ) ( )( )
!!!!
,
21
21
2
2
1
1
2121
21212211
xxe
xe
xe
xfxfxxfxxxx μμμμ μμμμ +−−−
==
=
Lanjutan …• Sekarang kita definisikan peubah acak kedua, mis. Y2=X2.
Fungsi inverse diberikan oleh x1=y1-y2 dan x2 = y2. DenganTeorema 5.2, kita temukan sebaran peluang bersama dari Y1 danY2, yakni:
( )( )
( ) !!,
221
2121
22121
yyyeyyg
yyy
−=
−+− μμμμ
dimana y1 = 0, 1, 2, …, dan y2 = 0, 1, 2, …Karena x1>0, transformasi x1=y1-x2 berimplikasi bahwa x2 dan y2 harus selalukurang dari atau sama dengan y1. Akibatnya, sebaran marjinaldari Y1 adalah
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
2211
2
21221
1
2
21
1
2
22121
1
2
210 2
1
121
0 221
1
1
0 221
21
0211
!!!!
!
!!,
yyyy
y
yyyy
y
y
y
yyyy
y
yy
ye
yyyy
ye
yyyeyygyh
μμμμ
μμ
μμμμ
μμ
−
=
+−−
=
+−
=
−+−
=
∑∑
∑∑
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
−==
Lanjutan …• Penjumlahan tsb adalah ekspansi binomial (μ1+μ2)y1.
Dengan demikian, kita peroleh:
( )( )( ) ...,2,1,0,
! 11
211
121
=+
=+−
yy
eyhyμμμμ
• Kesimpulan: penjumlahan dia peubah acak saling bebasyang memiliki sebaran Poisson dengan parameter μ1 danμ2 adalah suatu sebaran Poisson dengan parameter (μ1+ μ2)
Transformasi satu peubah acak kontinyu• Teorema 5.3 Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran
peluang f(x). Andaikan Y=u(X) menyatakan korespondensi satu-ke-satuantara X dengan Y sedemikian hingga persamaan y=u(x) dapatdipecahkan secara unik untuk x dalam y, misalnya x=w(y). Makasebaran peluand dari Y adalah
g(y) = f[w(y)]|J|dimana J=w’(y) adalah Jacobian dari transformasi.
• Bukti: (1) Andaikan y=u(x) fungsimonoton naik spt pd Gb5.1. Makaterlihat bahwa jika Y jatuh antara nilai a dan b, maka peubah acak X akan beradaantara w(a) dan w(b). Dengan demikian,P(a<Y<b) = P[w(a)<X<w(b)]
= ∫w(a)w(b) f(x) dx
• Perubahan variabel integrasi dari x ke y dng x=w(y), diperoleh dx=w’(y)dy, makaP(a<Y<b) = ∫a
b f[w(y)]w’(y) dy
a
b
w(a) w(b)
y = u(x)y
x
Gambar .5.1
Lanjutan …• Karena integral tsb memberikan nilai yng diinginkan untuk setiap a<b
dalam rentang y yang diijinkan, maka sebaran peluang dari Y adalahg(y) = f[w(y)]w’(y) = f[w(y)]J
• Jika J=w’(y) adalah kemiringan resiprokal (invers) dari garis tangen(sentuh) ke kurva naik y=u(x), tentulah J=|J|, sehingga
g(y) =f[w(y)]|J|• (2) Andaikan y=u(x) fungsi monoton turun
spt pd Gb5.2. Maka bisa kita tuliskanP(a<Y<b)= P[w(b)<X<w(a)]= ∫w(b)
w(a) f(x) dx• Sekali lagi, perubahan variabel integrasi dari
x ke y memberikanP(a<Y<b) = ∫b
a f[w(y)]w’(y) dy= - ∫b
a f[w(y)]w’(y) dydapat disimpulkan bahwag(y) = -f[w(y)]w’(y) = -f[w(y)]J
• Karena slope dari kurva adalah negatif, danJ=-|J|, maka
g(y) = f[w(y)]|J|seperti sebelumnya. Q.E.D
a
b
w(b) w(a)
y=u(x)y
x
Gambar .5.2
Contoh 5.3• Soal: Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran
peluangf(x) = x/12 ; 1<x<5
= 0 ; lainnyaTentukan sebaran peluang dari peubah acak Y=2X-3
• Jawab: inverse dari y=2x-3 adalah x=(y+3)/2, dan kitaperoleh J=dx/dy = ½. Berdasar teorema 5.3, kita temukanfungsi kerapatan Y
g(y) = f[(y+3)/2]|J| = {[(y+3)/2]/12}(1/2) = (y+3)/48 ; -1<y<7= 0 ; lainnya
Transformasi dua peubah acak kontinyu• Teorema 5.4. Andaikan X1 dan X2 peubah acak kontinyu dengan
sebaran peluang f(x1,x2). Andaikan Y1=u1(X1,X2) danY2=u2(X1,X2) menyatakan transformasi satu-ke-satu antara titik(x1,x2) dan (y1,y2) sehingga persamaan y1=u1(x1,x2) dany2=u2(x1,x2) dapat secara unik dipecahkan untuk x1 dan x2 dalamy1 dan y2, misalnya x1= w1(y1,y2) dan x2=w2(y1,y2). Makasebaran peluang bersama dari Y1 dan Y2 adalah
g(y1,y2) = f[w1(y1,y2), w2(y1,y2)]|J|
dimana Jacobian merupakan determinan matriks 2 ×2 sbb:
dan ∂x1/∂y1 adalah turunan dari x1 = w1(y1,y2) terhadap y1dengan menganggap y2 konstan, seperti pada proses penurunanx1 terhadap y1 pada kalkulus. Turunan parsial lain didefinisikandengan cara yang sama.
2212
2111
yxyxyxyx
J∂∂∂∂∂∂∂∂
=
Contoh 5.4• Soal: Andaikan X1 dan X2 dua buah peubah acak kontinyu dengan
sebaran peluang gabunganf(x1,x2) = 4x1x2 ;0<x1<1, 0<x2<1
= 0 ; lainnyaTentukan sebaran peluang gabungan dari Y1=X1
2 dan Y2=X1X2.• Jawab: Solusi invers dari y1=x1
2 dan y2=x1x2 adalah x1=√y1 danx2=y2/√y1 , sehingga diperoleh Jacobian berikut:
Transformasi ini bersifat satu-ke-satu, memetakan titik-titik{(x1,x2)|0<x1<1, 0<x2<1} ke himpunan {(y1,y2)| y2
2 <y1<1, 0<y2<1}. Dari teorema 5.4, maka sebaran peluang dari Y1 dan Y2 adalah
g(y1,y2) = 4(√y1) (y2/√y1) (1/2y1)= 2y2/y1 ; y2
2<y1<1, 0<y2<1= 0 ; lainnya
11
2/312
1 21
12/
02
1
yyyyyJ =
−=
Jika pemetaan tidak satu-ke-satu …• Penerapan prinsip transformasi peubah acak bisa muncul
masalah jika kita ingin menentukan sebaran peubah acakY=u(X), dimana X kontinyu dan transformasinya tidak satu ke-satu. Yakni, setiap nilai x ada satu nilai y, tapi setiap y berkorespondensi dengan lebih dari satu nilai x.
• Contoh: andaikan f(x) positif pada interval -1<x<2 dan nol ditempat lain. Tinjau transformasi y=x2. Dalam kasus ini, x=±√y untuk 0<y<1 dan x=√y untuk 1<y<4.Untuk selang 1<y<4, kita bisamenentukan sebaran peluang Y dng carasebelumnya, dng Teorema 5.3, yakni: g(y) = f[w(y)]|J|
= f(√y)/(2√y) , 1<y<4Tapi, untuk 0<y<1, interval -1 <x<1 dipartisi sbbx = -√y , -1<x<0
= √y , 0 <x<1
-√a √a-√b √b-1 1
y = x2
y
x
2
1
0
Gambar .5.3
Lanjutan …• Maka, bagi setiap nilai y akan ada nilai x tunggal untuk setiap partisi.
Dari Gambar 5.3P(a<Y<b) = P(-√b<X<-√a) + P(√a<X<√b)
= ∫-√b-√a f(x) dx + ∫√a
√b f(x) dxPerubahan variabel integrasi dari x ke y memberikan
P(a<Y<b) = ∫ba f(-√y)J1dy + ∫a
b f(√y)J2dy= -∫a
b f(-√y)J1dy + ∫ab f(√y)J2dy
dimana: J1 = d(-√y)/dy = -1/(2√y) = -|J1| danJ2 = d(√y)/dy = 1/(2√y) = |J2|
Sehingga bisa dituliskanP(a<Y<b) = ∫a
b [ f(-√y)|J1| + f(√y) |J2|] dySelanjutnya: g(y) = f(-√y) |J1| + f(√y) |J2|
= [f(-√y) + f(√y)]/(2√y) , 0<y<1Dengan demikian, untuk selurh Y pada selang 0<y<4, bisa ditulis
g(y) = [f(-√y) + f(√y)]/(2√y) , 0<y<1= f(√y)/(2√y) , 1<y<4= 0 , lainnya
Transformasi untuk k-buah fungsi invers• Teorema 5.5 Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran
peluang f(x). Andaikan Y=u(X) menyatakan transformasi yang tidak satu-ke-satu antara nilai X dengan Y. Jika selang keseluruhX dpt dipartisi menjai k-buah himpunan tak beririsansedemikian hingga setiap fungsi inverse x1=w1(y), x2=w2(y), …, xk=wk(y) dari y=u(x) berkorespondensi satu-ke-satu, makasebaran peluang dari Y adalah
dimana Ji=wi’(y), i =1, 2, …, k
( ) ( )[ ] i
k
ii Jywfyg ∑
=
=1
• Latihan: Soal no. 1, 2, 4, 6, 10 dalam buku teks
Contoh 5.5• Soal: Tunjukkan bahwa Y=(X-μ)2/σ2 memiliki sebaran chi-
kuadrat dengan derajat bebas 1, jika X tersebar normal denganmean μ dan variansi σ2.
• Jawab: Andaikan Z=(X-μ)/σ, dimana peubah acak Z memilikisebaran normal baku
f(z) = (1/2π)1/2exp(-z2/2) ; -∞<z<∞
Kita sekarang akan mencari sebaran dari peubah acak Y=Z2. Solusi invers dari y=z2 adalah z=±√y. Kita namakan z1=-√y danz2=√y; J1=-1/(2√y) dan J2=1/(2√y). Maka berdasarkan Teorema5.5, akan diperoleh
( )
0,2
1
21
21
21
21
212121
22
>=
+−
=
−−
−−
yey
ye
yeyg
y
yy
π
ππ
Lanjutan …• Karena g(y) fungsi kerapatan peluang, maka
integral ini menyatakan luas daerah dibawah kurva peluanggamma dengan parameter α=1/2 dan β=2. Oleh karena itu, √π= Γ(1/2) dan sebaran peluang Y diberikan oleh
yaitu sebaran Chi-kuadrat dengan derajat bebas 1.
( )( )
( )ππ
π
21212
121
211
0
212121
0
212121
Γ=
ΓΓ
=
=
∫
∫∞
−−
∞−−
dyey
dyey
y
y
( ) ( ) 0,212
1 212121 >Γ
= −− yeyyg y
5.2 Fungsi pembangkit momen
Pendahuluan• Disamping metoda transformasi variabel spt
yang sudah dijelaskan, ada cara lain untukmenentukan fungsi sebaran peluang daribanyak peubah acak, terlebih jika fungsi inimerupakan penjumlahan beberapa peubahacak yang saling bebas.
• Metoda ini disebut teknik fungsipembangkit momen.
Fungsi pembangkit momen• DEF.5.1 Fungsi pembangkit-momen dari peubah acak X
diberikan oleh E(etX) dan dituliskan sebagai MX(t), yakni( ) ( )
( )
( ) kontinyuXuntukdxxfe
diskritXuntukxfe
eEtM
tx
n
ii
tx
tXX
i
,
,1
∫
∑∞
∞−
=
=
=
=
• Fungsi pembangkit momen ini ada jika jumlah atauintegral di ruas kanan pada DEF.5.1 konvergen.
• Jika fungsi ini ada, fungsi ini dapat dipakai untukmembangkitkan/menentukan semua nilai momen darivariabel ybs, spt dinyatakan dalam Teorema berikut.
Perhitungan momen• TEOREMA 5.6. Andaikan X peubah acak dengan fungsi
pembangkit momen MX(t). Maka
( )r
trX
r
dttMd '
0
μ==
• Bukti: dengan asumsi proses diferensiasi dapat dilakukan, maka
Dng membuat t=0, kedua kasus akan menghasilkan E(Xr) =μ’r.
( ) ( )
( ) kontinyuXdxxfex
diskritXxfexdt
tMd
txr
n
ii
txrir
Xr
i
,
,1
∫
∑∞
∞−
=
=
=
Contoh 5.6• Soal: Tentukan fungsi pembangkit momen utk peubah acak
binomial X dan gunakan utk membuktikan μ=np dan σ2=npq.• Jawab: Dari definisi 5.1, kita dapatkan
( ) ( )∑∑=
−
=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
n
x
xnxtn
x
xnxtxX qpe
xn
qpxn
etM00
Yang tak lain adalah ekspansi binomial (pet + q)n, sehinggadiperoleh: MX(t) = (pet + q)n
Selanjutnya: dMX(t)/dt = n (pet + q)n-1 pet dand2MX(t)/dt2 = np[et(n-1)(pet + q)n-2 pet + (pet + q)n-1et]
Dengan membuat t=0, maka diperolehμ1’ = np dan μ2’=np [(n-1)p +1]
Akibatnya: μ = μ1’ = np danσ2 = μ2’ - μ1
2 = np(1-p) = npq
Contoh 5.8• Soal: Tunjukkan bahwa fungsi pembangkit momen dari peubah
acak X yang tersebar Chi-kuadrat dengan derajat bebas v adalahMX(t)=(1-2t)exp(-v/2).
• Jawab: Sebaran Chi-kuadrat adalah kasus khusus dari sebarangamma dengan membuat α=v/2 dan β=2. Dari DEF 5.1 diperoleh
Dengan menuliskan y=x(1-2t)/2 dan dx=[2/(1-2t)]dy diperoleh
( ) ( ) ( )( )∫∫
∞−−−−−
∞
Γ=
Γ=
0
221122
212
02 22
122
1 dxexv
dxexv
etM txvv
xvv
txX
( ) ( )
( )( )( ) 2
0
1222
0
12
2
21
21221
212
212
221
v
yvvv
yv
vX
t
dyeytv
dyt
et
yv
tM
−
∞−−
∞−
−
−=
−Γ=
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−Γ=
∫
∫
Komb. linier peubah acak yang saling bebas• TEOREMA 5.7 (T. KEUNIKAN) Andaikan X dan Y dua
peubah acak yang memiliki fungsi pembangkit momen, berturut-turut, MX(t) dan MY(t). Jika MX(t)=MY(t) untuksemua nilai t, maka X dan Y akan memiliki sebaranpeluang yang sama.
• TEOREMA 5.8: MX+a(t) = eatMX(t)
• Bukti: MX+a(t) = E[et(X+a)] = eatE[etX] = eatMX(t)
• TEOREMA 5.9: MaX (t) = MX(at)
• Bukti: MaX(t) = E[et(aX)] = E[e(at)X] = MX(at)
Lanjutan …• TEOREMA 5.10 Jika X1 dan X2 peubah acak yang saling
bebas dengan fungsi pembangkit momen MX1(t) danMX2(t), dan Y=X1 + X2, maka
MY(t) = MX1+X2(t) = MX1(t)MX2(t)
• BUKTI:MY(t) = E[etY] = E[et(X1+X2)]
= ∫-∞∞ ∫-∞∞ et(X1+X2) f(x1,x2)dx1dx2
Karena semua peubah saling bebas, maka f(x1,x2)=g(x1)h(x2) danMY(t) = ∫-∞
∞ etX1 g(x1) dx1 ∫-∞∞ etX2 g(x2) dx2= MX1(t)MX2(t)
Bukti untuk kasus diskrit sejalan dengan yang diatas, dimanaintegral digantikan dengan penjumlahan.
AplikasiContoh: • Tinjau dua peubah acak Poisson X1 dan X2 yang saling bebas
dengan fungsi pembangkit momenMX1(t) = eμ1(exp(t) – 1) dan MX2(t) = eμ2(exp(t) – 1)
Maka, menurut Teorema 5.10, fungsi pembangkit momen untukpeubah acak Y1=X1+X2 adalah
MY1(t) = MX1(t) MX2(t)= eμ1(exp(t) – 1) eμ2(exp(t) – 1)
= e(μ1+ μ2)(exp(t) – 1)
Yang tak lain adalah fungsi pembangkit momen untuk peubahacak Poisson dengan parameter μ1+ μ2.
• Berdasarkan contoh ini dan Teorema 5.7, kita simpulkan sekalilagi bahwa jumlah dua peubah acak bebas yang masing-masingtersebar Poisson dengan parameter μ1dan μ2, juga akan memilikisebaran Poisson dengan parameter μ1+ μ2.
Penjumlahan dua peubah acak normal• Dalam statistik terapan, seringkali kita ingin tahu sebaran peluang dari
kombinasi linier sejumlah peubah acak saling bebas yang tersebarsecara normal (Gaussian).
• Tinjau dua peubah acak, X1 dan X2 yang tersebar normal yang masing-masing memiliki mean μ1 dan μ2 dan variansi σ1
2 dan σ22 .
Berdasarkan Teorema 5.10, kita dapatkan fungsi pembangkitmomennya
MY(t) = Ma1X1(t) Ma2X2(t)dan berdasarkan Teorema 5.9, maka
MY(t) = MX1(a1t) MX2(a2t)Berdasarkan contoh 5.7, maka
MY(t) = exp[(a1μ1t +a12σ1
2 t2)/2]⋅exp[(a2μ2t+a22σ2
2 t2)/2]= exp[{(a1μ1+a2μ2)t]+[(a1
2σ12+a2
2σ22) t2}/2]
Yakni fungsi pembangkit momen dari sebaran normal denganmean a1μ1+a2μ2 dan variansi a1
2σ12+a2
2σ22.
• Hasil terakhir dapat diperumum sbb.
Sifat reproduktif sebaran• TEOREMA 5.11 Jika X1, X2, …, Xn adalah peubah acak
saling bebas yang tersebar normal dengan mean μ1, μ2, …, μn dan variansi σ1
2, σ22, …, σn
2, maka peubah acakY = a1X1+ a2X2+ …+ anXn
akan tersebar normal dengan meanμY = a1μ1+ a2μ2+ … +anμn
dan variansiσY
2 = a12σ1
2 + a22σ2
2 + …+ an2σn
2
terlihat bahwa sebaran Poisson dan sebaran Normal punyasifat reproduktif, yakni, jumlah peubah acak saling bebasdengan sebaran Poisson atau normal akan menghasilkansebaran yang tipenya sama.
• Sifat reproduktif ini dimiliki juga oleh sebaran Chi-kuadrat, spt dinyatakan dalam Teorema berikut.
Reproduksibilitas sebaran Chi-kuadrat
• Bukti: berdasarkan Teorema 5.10MY(t) = MX1(t)MX2(t) … MXn(t)
dari Contoh 5.8 diperoleh fungsi pembangkit momenMX1(t) = (1-2t) -vi/2
oleh karena ituMY(t) = (1-2t) –v1/2(1-2t) –v2/2 … (1-2t) -vn/2
= (1-2t) –(v1+v2+ …+vn)/2
yang tak lain adalah fungsi pembangkit momen sebaran Chi-kuadrat dengan v = v1+ v2+ … + vn derajat bebas.
• TEOREMA 5.12 Jika X1, X2, …, Xn adalah peubah acakyang saling bebas dengan sebaran sebagai Chi-kuadratdengan derajat bebas v1, v2, …, vn, maka peubah acak
Y = X1+X2+ …+ Xnakan tersebar secara Chi-kuadrat pula dengan derajat bebas
v = v1+ v2+ … + vn
• COROLLARY Jika X1, X2,… , Xn adalah peubah acakyang memiliki sebaran normal dengan mean μ dan variansiσ2, maka peubah acak
akan memiliki sebaran Chi-kuadrat dengan derajat bebasv=n.
• Corrolary ini adalah konsekuensi langsung daricontoh 5.5, yang menyatakan bahwa, masing-masing dari n peubah acak bebas [(Xi -μ)/σ]2, i=1, 2, …,. n tersebar Chi-kuadrat dengan derajatbebas 1.
∑=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=n
i
iXY1
2
σμ
5.3 Pencuplikan Acak
Populasi• DEF 5.2 Suatu populasi terdiri dari keseluruhan
pengamatan yang menjadi perhatian kita.
• Jumlah pengamatan disebut besar (size) dari populasi. Mis. 600 orang mahasiswa, sejumlah tak-hingga lantunan dadu, jumlah kartu, tinggi badan penduduk kota tertentu, dst.
• Setiap pengamatan dari populasi merupakan peubah acak Xdng sebaran f(x).
• Populasi binomial, populasi normal, dst akan mengacupada nilai peubah acak yang tersebar secarac binomial, normal, … dst.
Cuplikan acak• DEF. 5.3 Andaikan X1, X2, …, Xn adalah peubah acak
saling-bebas yang masing-masing memiliki sebaranpeluang f(x). Kita akan mendefinisikan X1, X2, …, Xnsebagai cuplikan acak berukuran n dari populasi f(x) danmenuliskan sebaran peluang gabungannya sebagai
f(x1, x2, …, xn) = f(x1)⋅f(x2) ⋅ ⋅ ⋅ f(xn)
5.4 Teori Pencuplikan
Statistik• Tujuan pemilihan cuplikan acak adalah untuk mengetahui
lebih jelas perihal parameter dari suatu populasi. • Andaikan kita ingin tahu pendapat masyarakat suatu
negara mengenai merk kopi-kopi tertentu, tidak mungkinkita bertanya ke semua penduduk satu per satu. Yang bisadilakukan, ambil sejumlah besar cuplikan acak dan analisapendapatnya.
• Nilai yang dihitung dari suatu cuplikan disebut sebagaistatistik. Karena dari suatu populasi kita bisa mengambilberbagai sampel, maka nilai statistik dapat bervariasi. Dengan demikian, statistik adalah suatu peubah acak.
• DEFINISI 5.4 Suatu statistik adalah peubah acak yang nilai-nya hanya bergantung pada cuplikan acak yang sedang diamati.
Mean cuplikan (sample mean)• Statistik akan kita tuliskan sebagai P^, sedangkan nilainya adalah p^.
Tingkat ketelitian p^ dalam menggambarkan populasi sesungguhnya, yaitu p, terlebih dahulu kita lihat sebaran dari statistik P^.
• Salah satu statistik yang paling populer adalah ukuran pusat data, yaitumean, median, dan mode.
• DEFINISI 5.5 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan cuplikanacak berdimensi n, maka mean dari cuplikan (sample mean) didefinisikan dengan statistik berikut:
• Catat bahwa statistik X mengasumsikan bahna nilai x= Σi=1
N(xi/n) saat X1 bernilai x1, X2 bernilai x2, … dst.
n
XX
n
ii∑
== 1
Contoh 5.9• Soal: Tentukan mean dari cuplikan acak yang nilai
pengamatannya adalah 20, 27, dan 25.• Jawab: Nilai x teramati dari statistik X adalah
x = (20 + 27 +25)/3 = 24
MEDIAN• DEFINISI 5.6 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan cuplikan
acak berukuran n yang diurutkan secara meningkat, makamedian X~ dari cuplikan dinyatakan oleh statistik
X~ = X(n+1)/2 jika n ganjil= (Xn/2 + X(n/2)+1)/2 jika n genap
• Contoh 5.10: Tentukan median dari cuplikan acak yang nilaipengamatannya adalah 8, 3, 9, 5, 6, 8, dan 5.
• Jawab: Pengurutan yang meningkat 3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, memberikan nilai median x~ = 6.
• Contoh 5.11 Tentukan median dari cuplikan acak yang nilaipengamatannya adlah 10, 8, 4, dan 7.
• Jawab: Pengurutan dari hasil pengamatan secara meningkat 4, 7, 8, 10 dan DEF 5.6, maka median adalah mean aritmetik darititik tengah kedua nilai. Jadi, x~ = (7+8)/2 = 7.5
MODE• DEFINISI 5.7 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan cuplikan
acak berukuran n yang tidak perlu berlainan nilainya, makamode M dari cuplikan adalah nilai yang paling seringmuncul atau yang frekuensi nya paling besar. Mode bisajadi tidak ada, dan jika adapun belum tentu unik.
• Contoh 5.12: Tentukan mode dari cuplikan acak yang nilaipengamatannya adalah 2, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, dan 8.
• Jawab: mode m = 6.• Contoh 5.13: Hasil pengamatan 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 8, dan 9
memiliki dua mode, yaitu 4 dan 8. Sebaran yang demikiandisebut bimodal.
• Jika deretan cuplikan punya dua mode berurutan, kita ambilrata-rata aritmetikanya. Dengan demikian 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 9 adalah (5+6)/2 = 5.5 dan 9.
Kelebihan dan kekurangan mean• Keuntungan mean:
– paling umum dipakai dalam menggambarkan pusatkecenderungan data.
– Mudah dihitung dan menggunakan semua informasiyang ada.
– Sifat sebaran mean cuplikan sudah banyak dipelajari, shg inferensi statistik didasarkan pada sample mean.
• Kerugian: – mudah terpengaruh nilai ekstrim. Jika dalam
pengumpulan dana sebagian besar orang menyumbang$5, maka sumbangan seseorang sebesar $10,000 menghasilkan rata-rata sumbangan yang jauh lebihbesar dari seharusnya.
Kelebihan dan kekurangan median• Keuntungan median:
– Mudah dihitung– Tak terpengaruh nilai ekstrim, akan
memberikan nilai tengah yang sebenarnyadalam contoh donasi.
• Kerugian median– Dalam penanganan cuplikan populasi, mean
tidak akan se-variatif median sehingga mean lebih stabil. Dengan demikian, mean cuplikanlebih mewakili mean populasi dibandingkanmedian cuplikan menyatakan median pupulasi.
Kelebihan dan kekurangan mode
• Mode lebih jarang dipakai dibandingkan dengandua ukuran pusat yang lain, yaitu mean danmedian.
• Jika cuplikannya sedikit, nilai mode hampirsamasekali tidak ada gunanya. Jika ukuran data besar, manfaatnya baru kelihatan.
• Keuntungan satu-satunya dari mode adalah: tidakperlu melakukan kalkulasi apapun untukmendapatkan mode.
Ukuran penyebaran data• Ketiga statistik yang telah disebut (mean, median, mode)
tidak menggambarkan apapun mengenai penyebaran data.• Tinjau kasus berikut berkaitan dengan isi jus buah didalam
botol dari dua merek A dan B.
Cuplikan A 75 80 74 83 86Cuplikan B 86 80 69 71 94
• Kedua cuplikan punya nilai mean cuplikan yang samasebesar 80, tapi terlihat jelas bahwa jus merek A lebihseragam dibandingkan dengan merek B.
• Statistik paling penting dalam menyatakan variabilitascuplikan acak adalah jangkauan (range) dan variansi.
• Dari kedua macam statistik ini, yang paling mudahdihitung adalah jangkauan.
Jangkauan (range)• DEFINISI 5.8 Jangkauan dari cuplikan acak X1,
X2, …, Xn yang diurutkan meningkat, didefinisikansebagai statistik Xn-X1.
• Contoh 5.14. Nilai jangkauan dari kumpulanpengamatan 10, 12, 12, 18, 19, 22, dan 24 adalah24-10=14.
• Untuk kasus jus buah pada contoh sebelumnya, jangkauan dari merek A adalah 12, sedangkanuntuk merek B adalah 25.
Kelemahan jangkauan• Jangkauan bukanlah ukuran variabilitas data yang baik
karena hanya mempertimbangkan dua nilai ekstrim tanpamengatakan apapun mengenai nilai diantara dua ekstrim tsb.
• Tinjau dua kumpulan data berikut3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 153, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 15
kedua data ini memiliki jangkauan 12.• Data pertama memiliki mean dan median sebesar 8, tetapi
nilai-nilai diantaranya sangat bervariasi.• Data kedua memiliki mean dan median sebesar 9, tetapi nilai
diantaranya dekat ke mean maupun median.• Untuk mengatasi kelemahan jangkauan, diperkenalkanlah
variansi cuplikan yang menyatakan variabilitas data denganmempertimbangkan posisi setiap data pengamatan terhadapmean cuplikan.
Variansi cuplikan• DEFINISI 5.9 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan peubah acak
berukuran n, maka variansi cuplikan didefinisikan sebagaistatistik
( )1
1
2
2
−
−=
∑=
n
XXS
n
ii
• Nilai hasil hitungan S2 dinyatakan sebagai s2. • Perhatikan bahwa S2 pada dasarnya adalah rata-rata dari
simpangan kuadrat data pengamatan terhadap mean. Penggunan n-1 sebagai pembagi dan bukannya n, sebenarnya jelas dengan sendirinya. Penjelasan lebih lanjutakan dibahas pada Bab VI.
Variansi cuplikan• TEOREMA 5.13 Jika S2 adalah variansi dari
cuplikan acak berukuran n, kita bisa menuliskan
( )1
2
11
2
2
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=∑∑
==
nn
XXnS
n
ii
n
ii
• Bukti: --lakukan sendiri• Simpangan baku cuplikan S didefinisikan sebagai akar
kuadrat positif dari variansi cuplikan.
Contoh 5.15• Soal: Tentukan variansi dari cuplikan
pengamatan berikut: 3, 4, 5, 6, 6, dan 7• Jawab: Kita mendapatkan Σi=1
6(xi)2 = 171, Σi=1
6(xi) = 31, dan n = 6. Dengan demikians2 = [(6)⋅(171) - 312]/[(6)⋅(5)]
= 13/6.
Sebaran cuplikan• Statistika induktif berkaitan dng generalisasi dan prediksi.
Generalisasi dari parameter statistik dapat dilakukan jikaperilakuk fluktuatif dari statistik diketahui.
• DEFINISI 5.10 Sebaran peluang dari suatu statistik disebutsebaran cuplikan (sampling distribution).
• DEFINISI 5.11Simpangan baku dari sebaran cuplikan darisuatu statistik disebut sebagai kesalahan baku dari statistik(standard error of statistic).
• Sebaran peluang dari X disebut sebagai sebaran cuplikandari mean, sedangkan kesalahan baku dari mean adalahsimpangan baku dari sebaran cuplikan dari X.
5.5 Sebaran cuplikan dari mean
Pendahuluan• Pokok bahasan pertama ttg sebaran cuplikan penting ( important
sampling distribution ) adalah mean X. • Andaikan cuplikan acak dari n buah pengamatan diambil dari populasi
normal dengan mean μ dan sebaran σ 2. Setiap pengamatan Xi, i=1,2, …,n dari cuplikan acak akan punya sebaran normal yang sama denganpopulasi yang dicuplik.
• Berdasarkan sifat reproduktif dari sebaran normal pada Teoriema 5.11, maka
X = (X1 + X2 + … + Xn)/nakan tersebar normal dengan mean
μX = (μ + μ + … + μ)/n = μdan variansinya
σX2 = (σ2 + σ2 + … + σ2)/n2 = σ2/n2
• Jika pencuplikan dilakukan pada popolasi yang sebarannya takdiketahui, berhingga maupun takhingga, sebaran cuplikan X akan tetapmendekatai normal dengan mean μ dan variansi σ2/n jika jumlahcuplikan cukup banyak. Hasil yang menakjubkan ini adalahkonsekuansi langsung dari Central Limit Theorem.
Central Limit Theorem• THEOREM 5.14 Jika X adalah mean dari cuplikan
acak berukuran n yang diambil dari suatu populasidengan mean μ dan variansi berhingga σ2, makalimit dari bentuk sebaran
ketika n →∞, adalah sebaran normal baku n(z;0,1)n
XZσ
μ−=
• Pada umumnya, hampiran normal dari X akan baik jika n ≥30, apapun bentuk populasinya. Jika n<30, hampiran akan baik hanyajika populasi tidak terlalu menyimpang dari bentuk normal.
• Jika populasinya normal, sebaran cuplikan X akan mengikutisebaran normal secara tepat, seberapapun ukuran cuplikan.
Contoh 5.16• Soal: sebuah pabrik memproduksi lampu listrik yang memiliki
waktu-hidup hampir tersebar normal, dengan mean 800 jam dansimpangan baku 40 jam. Tentukan peluang bahwa suatucuplikan acak 6 buah lampu akan memiliki waktu hidup kurangdari 775 jam.
• Jawab: Sebaran cuplikan dari X akan mendekati normal denganμX =800 dan σX=40/√(16) =10. Peluang yang diinginkan akandiberikan oleh daerah diarsir pada Gb 5.4.
• Untuk x=775, maka kita akanmendapatkan
z = (775-800)/10 = -2.5
Oleh karena ituP(X<775) = P(Z<-2.5)
= 0.006 775x
800
σX=10
Contoh 5.17• Soal: Suatu populasi memiliki sebaran seragam
f(x) = ¼ ; x=0, 1, 2, 3= 0 ; lainnya
tentukan peluang bahwa suatu cuplikan acak berukuran 36, yang diambil dengan penggantian, akan menghasilkan mean cuplikanlebih dari 1.4, tetapi kurang dari 1.8, jika mean diukur kepersepuluhan terdekat.
• Jawab: Perhitungan mean dan variansi dari sebaran seragam darirumus pada Teorema 3.1 menghasilkan
μ = (0+1+2+3)/4 = 3/2σ2 = {(0-3/2)2 + (1-3/2)2 + (2-3/2)2 + (2-3/2)2 }/4 = 5/4
Sebaran cuplikan X dapat didekati dengan sebaran normal dengan mean μX=3/2 dan variansi σX
2 = σ2/n = 5/144. Dengandemikian, simpangan bakunya adalah σX=0.186. Peluang bahwa X akan lebih dari 1.4 tetapi kurang dari 1.8 diberikan oleh daerah diarsir pada Gb.5.5
Lanjutan …• Nilai z yang untuk x1=1.45 dan x2=1.75 adalah
z1= (1.45-1.5)/0.186 = -0.269z2= (1.75-1.5)/0.186 = 1.344
Oleh karena ituP(1.4<X<1.8) ~ P(-0.269<Z<1.344)
= P(Z<1.344) – P(Z<-0.269)= 0.9105 – 0.3932= 0.5173
1.51.45 1.75
x
σX= 0.186
Selesai