M AT E M AT I K A E K O N O M I
FUNGSI EKSPONENSIAL
DAN FUNGSI LOGARITMIK
TO N I BA K H TI A R
I N S TI TU T P ERTA N I A N BO G O R
2 0 1 2
Pangkat
2
� Jika suatu bilangan a dikalikan dirinya sendiri sebanyak n kali
maka ditulis
� Bilangan n disebut eksponen atau pangkat.
� Beberapa sifat:
kali
n
n
a a a a a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋯�������
� Beberapa sifat:
� Eksponen n dapat diperluas ke bilangan real.
( )
1
n m n m
n m nm
n
n
a a a
a a
aa
+
−
=
=
=
( )
0
1
1
nn m n m n m n
m m
nn n
n
aa a a a a
a a
aa a
a
− + − −
−
= = = =
= = =
Fungsi Pangkat
3
� Fungsi pangkat memiliki bentuk:
� Jika p = 1 maka f fungsi linear, jika p = 2 maka f fungsi kuadratik.
� Untuk x taknegatif, beberapa grafik fungsi f diberikan oleh:
: ( ) py f x kx= =
x x x
y
1p < −
y
1p =
y
1p >
Fungsi Eksponensial
4
� Jika eksponen dipandang sebagai variabel dalam fungsi, maka
diperoleh fungsi eksponensial:
� Bilangan k adalah koefisien dan a disebut basis.
� Untuk k = 1:
( ) , 0.xf x ka a= >
� Untuk k = 1:
x
y
0 1
1
y = ax , a > 1
x
y
0 1
1 y = ax , 0 < a < 1
Fungsi Eksponensial Natural
5
� Di banyak aplikasi, basis a dipilih sama dengan e (bilangan
natural), sehingga diperoleh fungsi eksponensial natural
� e = 2. 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572
4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178
( ) xf x e=
4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178
5251664274 ...
� Rekor: 1012 dijit, Shigeru Kondo & Alexander Yee (5 Juli 2010),
224 jam
Sejarah e
6
� Muncul pertama kali tidak secara eksplisit pada 1618 di sebuah
tabel lampiran oleh John Napier.
� Jacob Bernoulli mencoba menghitung nilai konstanta tersebut
menggunakan rumus:( )1lim 1
x
xx→∞
+
� Gottfried Leibniz dan Christiaan Huygens menggunakan
konstanta tersebut, dilambangkan dengan b, pada 1690-1691.
� Pada 1727 Leonhard Euler menggunakan bilangan tersebut dan
melambangkannya dengan e.
( )xx→∞
Berbagai Rumus e
7
( )1lim 1x
xx
e→∞
= +
( )1
= +
0
1
!n
en
∞
=
=∑
12
1e = +
( )1
0lim 1 x
xe x
→= +
lim!nn
ne
n→∞=
11
12
11
11
14
11
1
+
+
+
+
+
++⋱
1
2
3
4y
1
2
3
4y
Kurva Grafik
8
( ) xf x e= ( ) x
f x e−=
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
x
y
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x
( )1
x
x
ef x
e=
+
Kurva Grafik
9
xy e=
2xy e=xy e=
2 xy e=
0t1
02t 0t
Interpretasi e
10
� Pokok A yang diinvestasikan pada tingkat bunga r per tahun akan
bernilai V setelah t tahun, yaitu:
� Jika dalam satu tahun pokok dan bunga dibayarkan sebanyak m
kali, maka pada periode m pokok A akan bernilai
(1 ) .tV A r= +
kali, maka pada periode m pokok A akan bernilai
� Suku r/m menunjukkan bahwa di setiap periode dalam satu tahun,
hanya 1/m bagian dari sukubunga r yang dibayarkan. Sedangkan
eksponen mt menyatakan bahwa, karena bunga harus dibayarkan
sebanyak m kali setahun maka ada sebanyak mt kali pembayaran
dalam t tahun.
( ) (1 ) .mtrm
V m A= +
Interpretasi e
11
� Jika pokok dan bunga dibayarkan secara kontinu sepanjang
tahun, yaitu m menjadi takhingga, maka diperoleh
lim ( )
lim(1 )
m
mtrm
m
V V m
A
→∞
→∞
=
= +
� Jadi, di ruang kontinu, pokok A yang diinvestasikan dengan
bunga r per tahun akan bernilai V setelah t tahun dengan
.rtV Ae= Jika A = 1, r = 100%,
t = 1, maka V = e.
Diperoleh: A = Ve−rt.
e−rt disebut faktor diskon.
1lim[(1 ) ] , :
.
mm
k rt mk r
m
rt
A k
Ae
→∞
→∞= + =
=
Fungsi Logaritmik
12
� Didefinisikan:
� Contoh:
log .x
bx y y b= ⇔ =
Fungsi Logaritmik Natural
13
� Jika diambil basis b = e, maka
� Dapat ditulis juga
� Terlihat bahwa fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik saling
log ln .x
ex y y y e= = ⇔ =
lnln .x yx y y e y e= ⇔ = ⇔ =
� Terlihat bahwa fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik saling
invers.
-2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y xy e=
lny x=
Sifat-sifat Fungsi Logaritmik
14
ln 1, ln1 0,
ln( ) ln ln ,
ln ln ln ,
e
ab a b
aa b
b
= =
= +
= −ln ln ln ,
ln ln ,
lnlog ,
ln
log log log .
b
a
a a c
a bb
a b a
bb
a
b c b
= −
=
=
= ⋅
Terapan Logaritma
15
� Penskalaan logaritmik: penyajian data dalam skala logaritma
seringkali bermanfaat apabila data memiliki range yang sangat
besar (atau sangat kecil). Contoh: Skala Richter: log(energy),
pH: −log(aktivitas ion hidronium).
� Pelinearan� Pelinearan
1
1
Fungsi produksi Cobb-Douglas:
log log( )
log log log (1 ) log
(1 ) .
Y K L
Y K L
Y K L
Y K L
α α
α α
β
β
β α α
β α α
−
−
=
⇔ =
⇔ = + + −
⇔ = + + −
Terapan Logaritma
16
� Pelinearan (regresi logistik):
0 1 1 2 2
0 1 1 2 21
n n
n n
b b X b X b X
b b X b X b X
b b X b X b X
eP
e
Pe
+ + + +
+ + + +
+ + + +
=+
⇔ =
⋯
⋯
⋯0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
1
log1
logit( ) .
n nb b X b X b X
n n
n n
Pe
P
Pb b X b X b X
P
P b b X b X b X
+ + + +⇔ =−
⇔ = + + + + −
⇔ = + + + +
⋯
⋯
⋯
Terapan Logaritma
17
� Menyelesaikan persamaan:
0 ( , , 0)x
x
x c
ab c a b c
ab c
b
− = >
⇔ =
⇔ =
ln ln
ln ln ln
ln ln.
ln
x ca
x ca
b
b
x b c a
c ax
b
⇔ =
⇔ =
⇔ = −
−⇔ =
Turunan
18
� Turunan fungsi logaritmik:
� Secara umum dengan aturan rantai:
1ln ' .y x y
x= ⇒ =
1ln ( ) ' '( )
( )y g x y g x
g x= ⇒ = ⋅
� Turunan fungsi eksponensial:
� Secara umum:
( )g x
1ln ' 1 ' .x x
y e y x y y y ey
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =
( ) ( )' '( ).g x g xy e y e g x= ⇒ =
Penurunan Logaritmik
19
� Perhatikan bahwa:
( ) ( )
ln ln ( ) ln ( )
1 1 1' '( ) '( )
( ) ( )
1 1
y f x g x
y f x g x
y f x g xy f x g x
=
⇒ = +
⇒ = +
( )( )
ln ( ) ln ( )
1 1' '( ) ln ( ) ( ) '( )
( )
1
g xy f x
y g x f x
y g x f x g x f xy f x
=
⇒ =
⇒ = +
1 1' '( ) '( ) .
( ) ( )
( )
( )
ln ln ( ) ln ( )
1 1 1' '( ) '( )
( ) ( )
1 1' '( ) '( ) .
( ) ( )
y y f x g xf x g x
f xy
g x
y f x g x
y f x g xy f x g x
y y f x g xf x g x
⇒ = +
=
⇒ = −
⇒ = −
⇒ = −
1' '( ) ln ( ) ( ) '( ) .
( )y y g x f x g x f x
f x
⇒ = +
Penurunan Logaritmik
20
� Contoh: Tentukan dy/dx dari
2 2
2
,
3sin,
( 1)(2 1)
xy x e
xy
x x
=
=+ −
3
2
2 2
2 2
( 1)(2 1)
( ) ,
ln( ).
x x x
y
x x
y x e
x y e x y
−
+ −
= +
− = −
Terapan Ekonomi
21
� Penyimpanan anggur: Nilai penjualan anggur (wine) V setelah
disimpan selama t tahun diberikan oleh
dengan K konstanta dan r tingkat bunga. Tentukan t yang
memaksimumkan V.
( ) ,t rtV t Ke e
−=
memaksimumkan V.
� Pemanenan kayu: Nilai penjualan kayu (timber) V setelah t
tahun diberikan oleh
Tentukan waktu pemanenan kayu yang memaksimumkan V.
( ) 2 .t rtV t e
−=