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Vibração e Ruido
Universidade Metodista de Angola Faculdade de Engenharia Mecâtronica
Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala
Davyd da Cruz Chivala 2
Programa
5-Vibração de Sistemas Continuos
5.1-Introdução 5.2- Vibração transversal de cordas e cabos 5.3- Vibração longitudinal de barras 5.4-Vibração lateral de Vigas 5.5-Metodo de Rayleigh 5.6-Metodo de Rayleigh-Ritz
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5-Vibração de Sistemas Continuos 5.1-Introdução
Ate agora vimos casos discretos aonde a massa a mola
e amortecedor são assumidos estar em certos pontos discretos. Contudo, exitem sistemas aonde esta abordagem não é possivel.
Para tal nos devemos considerar uma distribuição continua da massa, mola e amortecedor, e assumimos que todas as infinitas partes que constituem o corpo vibram livremente, por esta razão diz-se que sistemas continuos são sistemas com infinitos graus de liberdade
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5-Vibração de Sistemas Continuos 5.1-Introdução
Quando o sistema é modelado como discreto as
equações diferenciais ordinarias que descrevem os movimentos são simples de resolver, por outro lado quando sistemas é modelado como continuo as equaçes diferenciais parciais que o descrevem tem solução mais complexa.
A equação diferencial parcial para obtenção das frequencias é de quarta ordem e para resolução da mesma teremos de recorrer as soluçoes iniciais e as condições de fronteira.
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
Considere o sistema constituido de um cabo de
comprimento l sugeito a uma força por unidade de comprimento como mostrado na figura abaixo
( )txf ,
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
O deslocamento transversal é assumido como
sendo pequeno. Olhando para o troço AB ( )txw ,
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
A somatoria de forças que actuam sobre a corda é:
(1)
Aonde P é a força nas extremidades da secção AB, ρ a
massa por unidade de comprimento, e θ o angulo que a AB faz com o eixo x. para o comprimento elementar dx temos:
( ) ( ) ( ) 2
2
sin,sintwdxPtxfddPP
∂∂
=−+++ ρθθθ
xw
dxxPdP
∂∂
=≈
∂∂
=
θθ tansin
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
E
Simplificando (1) vem:
se admitir-mos que a corda é uniforme e que a força longuitudinal é constante teremos então:
( ) ( ) dxxw
xwdd 2
2
tansin∂∂
+∂∂
=+≈+ θθθθ
( ) ( ) ( ) ( )2
2 ,,,t
txwxtxfx
txwPx ∂
∂=+
∂∂
∂∂ ρ
( ) ( ) ( )2
2
2
2 ,,,t
txwtxfx
txwP∂
∂=+
∂∂ ρ
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
Se , o sistema vibra em vibração livre e a
equação sera:
ou
(2) que é a equacão da onda.
( ) ( )2
2
2
2 ,,t
txwx
txwP∂
∂=
∂∂ ρ
( ) 0, =txf
( ) ( )2
2
2
22 ,,
ttxw
xtxwc
∂∂
=∂
∂
ρPc =2
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
A equação (2) é resolvida por separação de variaveis, ou
seja tem como solução: (3) Subistindo em (2) obtemos:
(4)
Verifica-se que o lado esquerdo tem dependençia
apenas de x e o lado direito apenas de t, então o valor comun a estas equações é uma constante qualquer a .
( ) ( ) ( )tTxWtxw =,
( ) ( )2
2
2
22 1dt
tTdTdx
xWdWc
=
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
dito isto tens que: :
(5)
Que é escrita
(6)
(7)
( ) ( ) adt
tTdTdx
xWdWc
== 2
2
2
22 1
( ) 022
2
=− Wca
dxxWd
( ) 02
2
=− aTdt
tTd
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
Sendo que a e uma constante geralmente negativa
podemos então escrever subistituindo em (6) e (7) obtemos:
(8)
(9)
Que tem soluções dada por:
2ω−=a
( ) 02
2
2
2
=+ Wcdx
xWd ω
( ) 022
2
=+ Tdt
tTd ω
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
(10) (11)
Aonde é a frequencia de vibração e A, B,C e D contantes obtidas pelas condições de fronteira e condições iniciais.
( )
( ) tDtCtTcxB
cxAxW
ωω
ωω
sincos
sincos
+=
+=
ω
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
Condições de fronteira
( ) 0,0 == txw( ) ( )tlwkwx
txwPlx
,,=−=
∂∂
=
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
Condições de fronteira
( ) 0,
,0
=∂
∂
= lxxtxw
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5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos
Exemplo 1: determine a equação de movimento de uma
corda fixada nos dois extremos?
Atendendo a que a corda esta fixada nos dois extremos teremos condições de fronteira dada por
Subistituindo em 10 teremos: sendo que B não pode ser igual a zero teremos
( ) 0,0 == txw ( ) 0, == tlxw
0sin =clB ω
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5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra
Considere uma barra elastica de comprimento l e de
secção transversal variavel A(x)
(1) σ tensão axial , E modulo de elasticidade do corpo
( ) 0,0 == txw ( ) 0, == tlxw
xuEAAP∂∂
==σ
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5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra
U deslocamento axial e extensão axial. Se
assumir-mos a existençia de forças externas por unidade de comprimento f(x,t), teremos que a soma das forças será:
teremos
( ) 2
2
tuAdxPfdxdPP
∂∂
=−++ ρ
xu∂∂
dxxPdP∂∂
=
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5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra
(2) Subistituindo 1 em 2 teremos
(3)
Para uma barra uniforme teremos:
2
2
tuAdxfdxdx
xP
∂∂
=+∂∂ ρ
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
,,tuxAtxf
xtxuxEA
x ∂∂
=+
∂∂
∂∂ ρ
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5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra
Se vibra livremente:
(4)
( ) ( ) ( )2
2
2
2 ,,,t
txuAtxfx
txuEA∂
∂=+
∂∂ ρ
( ) ( )
ρEc
ttxu
xtxuc
=
∂∂
=∂
∂2
2
2
22 ,,
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5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra
A solução será dada por:
Aonde U(x) depende simplemente de x e T(t) depende do tempo.
( ) ( ) ( ) ( )tDtCcxB
cxAtTxUtxu ωωωω sincossincos, +
+==
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5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra
Condições de Fronteira
( )
( ) 0,
0,0
=∂∂
=
tlxu
tu( )
( ) 0,
0,0
=∂∂
=∂∂
tlxu
txu
( )( ) 0,
0,0==
tlutu
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5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra
Exemplo: calcule a frequência natural da barra
apresentada na figura abaixo
Em x=o teremos u(0,t)=0 ou A=0 Em x=l teremos
( ) ( )tltuMtl
xuAE ,, 2
2
∂∂
−=∂∂
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5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra
Teremos então:
Simplificando teremos:
ou e
( ) ( )tDtclMtDt
cl
cAE ωωωωωωωω sincossinsincoscos 2 +=+
clM
cl
cAE ωωωω sincos 2=
βαα =tan
clωα =
Mm
MlA
McAEl
===ρβ 2
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5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra
Estimando o valor de ω com base no racio β teremos
Valor de β
0.01 0.1 1 10.0 100.0 ω 0.1 0.3113 0.8602 1.4291 1.5549
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5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas
Consideremos o diagrama de corpo livre da viga
apresentado abaixo:
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5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas
Secçionado-a teremos:
M(x,t) momento flector , V(x,t) esforço cortante e f(x,t) força externa por unidade de comprimento
Davyd da Cruz Chivala 28
5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas
a soma de força aplicada a viga será:
(1)
Somando os momentos de força aplicadop em O
teremos:
(2)
e
( ) ( ) ( )txtwdxxAVdxtxfdVV ,)(, 2
2
∂∂
=+++− ρ
( ) ( ) ( ) 02
, =−++−+ MdxdxtxfdxdVVdMM
dxxVdV∂∂
= dxx
MdM∂∂
=
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5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas
arranjando as equações (1) e (2) teremos:
(3)
(4)
Subistituindo (4) em (3) teremos:
(5)
( ) ( ) ( )txtwxAtxftx
xV ,)(,, 2
2
∂∂
=+∂∂ ρ
( ) ( ) 0,, =−∂∂ txVtx
xM
( ) ( ) ( )txtwxAtxftx
xM ,)(,, 2
2
2
2
∂∂
=+∂∂
− ρ
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5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas
Usando a teoria de Euler-Bernoulli:
(6)
Subistituindo (6) em (5) teremos:
(7)
Para vigas uniforme teremos:
(8)
( ) ( ) ( )txxwxEItxM ,, 2
2
∂∂
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )txftxtwxAtx
xwxEI
x,,, 2
2
2
2
2
2
=∂∂
+
∂∂
∂∂ ρ
( ) ( ) ( )txftxtwAtx
xwEI ,,, 2
2
4
4
=∂∂
+∂∂ ρ
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5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas
Para vivração livre teremos:
(9)
Derivada de segunda ordem no tempo: duas condições iniciais
Derivada de quarta ordem no espaço : 4 condiçoes de fronteira
( ) ( )
AEIc
txtwtx
xwc
ρ=
=∂∂
+∂∂ 0,, 2
2
4
42
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5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas
Solução: separação de variaveis. (10)
Subistituindo em (9) teremos:
(10)
Aonde é uma constante positiva
(11)
( ) ( ) ( )tTxWtxw =,
( )( )
( )( ) 22
2
4
42 1 ω==−= adt
tTdtTdx
xWdxW
c
2ω=a( ) ( ) 044
4
=− xWdx
xWd β
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5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas
(12) Aonde: A equação (12) tem como solução:
EIA
c
2
2
24 ωρωβ ==
( ) ( ) 022
2
=+ tTdt
tTd ω
( ) tBtAtT ωω sincos +=
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5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas
A solução da equação (11)será dada por: (13) Aonde: C e s são constantes. Subistituindo em (11) (14)
( ) sxCexW =
044 =− βs