Download pdf - 65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan · PDF fileLimit www. matikzone.wordpress.com 2. Jika diketahui ( ) + ≥ − < = 3; 2 4 1; 2 x2 jkx jkx f x maka tentuka nilai dari lim

April 2012

65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan

Galeri Soal

Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd

Email : [email protected] Blog : www.matikzone.wordpress.com HP : 085 233 897 897 © Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…

MatikZone’s Series

Limit www.matikzone.wordpress.com

Soal-soal Limit dan Penyelesaiannya

1.

Dari gambar di samping, tentukan: a). )(lim

2xf

x −→, )(lim

2xf

x +→ dan )(lim

2xf

x→jika ada.

b). )(lim

5xf

x −→, )(lim

5xf

x +→ , dan )(lim

5xf

x→ jika ada.

Jawab:

Limit kanan dan limit kiri *) Lxf

ax=

+→)(lim , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x)

mendekati L. *) Lxf

ax=

−→)(lim , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x)

mendekati L. Definisi limit Lxf

ax=

→)(lim (ada) ⇔ =

+→)(lim xf

axLxf

ax=

−→)(lim

Dari soal di atas dapat ditentukan bahwa:

a). 3)(lim

2

=−→

xfx

dan 3)(lim2

=+→

xfx

maka 3)(lim2

=→

xfx

b). 3)(lim

5

=−→

xfx

dan 4)(lim5

=+→

xfx

, limit kiri dan limit kanan tidak sama maka

)(lim5

xfx→

Tidak Ada

2 5

4

3

x

y f(x)

a

L

x

y f(x)

kiri kanan


2. Jika diketahui ( )

≥+<−

=2;32;14

2 xjkxxjkx

xf maka tentuka nilai dari )(lim2

xfx −→

, )(lim2

xfx +→

,

dan )(lim2

xfx→

Jawab:

• 71812.414lim)(lim22

=−=−=−−

=− →→

xxfxx

(limit kiri, dari kiri, digunakan

fungsi pertama) • 734323lim)(lim 22

22

=+=+=++

=+ →→

xxfxx

(limit kanan, dari kanan,

digunakan fungsi kedua) • 7)(lim

2=

→xf

x (limit kiri = limit kanan)

3. Tentukan nilai limit dari:

a). 788lim9→x

c). ( )65lim3

−→

xx

e). 22

lim2 +

−→ x

xx

b). xx

7lim8→

d). 165

lim3 +

−−→ x

xx

f). 4

8lim

4 +−

−→ xx

x

Jawab: Untuk )(lim xf

ax→ diselesaikan dengan cara subtitusi (langkah ini tidak boleh

ditinggalkan) Ø Jika f (a) = c maka )(lim xf

ax→= c

Ø Jika f (a) = 0c

maka )(lim xfax→

Tidak Ada, Tak Hingga, atau Min Tak Hingga

(cek grafik)

Ø Jika f (a) = c0

maka 0)(lim =→

xfax

Ø Jika f (a) = 00

maka dilakukan faktorisasi atau perkalian dengan sekawan.

Sehingga:

a). 788788lim

9=

→x

b). 568.77lim8

==→

xx

c). ( ) 961563.565lim3

=−=−=−→

xx

d). 221

221

2615

136)3(5

165

lim3

=−

−=

−−−

=+−−−

=+−

−→ xx

x

e). 040

2222

22

lim2

==+−

=+−

→ xx

x

f). ( )

012

4448

48

lim4

=+−−−

=+−

−→ xx

x Tidak ada (berdasar grafik)


4. Penyelesaian dengan faktorisasi

a). 00

62.5222

652

lim222

=+−

−=

+−−

→ xxx

x BTT, maka

( )( ) ( )

11

132

13

1lim

322

lim65

2lim

2222−=

−=

−=

−=

−−−

=+−

−→→→ xxx

xxx

xxxx

b). ( )

00

651231

6)1(5)1(2)1(31

6523

lim2

2

2

2

1=

−++−

=−−−−+−+−

=−−++

−→ xxxx

x BTT, maka

( )( )( )( )

( )( ) 7

17

16121

62

lim6121

lim6523

lim112

2

1−=

−=

−−+−

=−+

=−+++

=−−++

−→−→−→ xx

xxxx

xxxx

xxx

c). 00

0.70.20.30.50

7235

lim2

23

2

23

0=

−+−

=−

+−→ xx

xxxx

BTT, maka

( )

( )( )

( ) 23

0.7230.50

7235

lim72

35lim

7235

lim2

0

2

02

23

0=

−+−

=−

+−=

−+−

=−

+−→→→ x

xxxx

xxxxx

xxxxxx

d). ( )( )

( )( ) 38

1222.32

123

lim12

232lim

2248

lim2

2

2

2

22

2

223

23

2=

−−+

=−

−+=

−−−+−

=+−−+−+

→→→ xxx

xxxxx

xxxxxx

xxx

e). ( )( )( )

( )( )16444

lim1644

4lim

644

lim242434 ++−

−−=

++−−

=−−

→→→ xxxx

xxxx

xx

xxx

( ) 481

164.441

1641

lim224

−=++

−=++

−=→ xxx

f).

( )( )

( )( )( )( ) 32

964lim

323296432

lim3232

lim94

278lim

2

23

2

2322

33

232

3

23 +

++=

+−++−

=−−

=−

−→→→→ x

xxxx

xxxxx

xx

xxxx

21

329

627

33999

323

.2

923

.623

.42

===+

++=

+

+

+

=

5. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan (merasionalkan bentuk akar)

a). 00

22183

2143

lim2

=−

+−=

−+−

→ xx

x BTT, maka

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( ) 32

64

334

12.434

1434

lim

143224

lim1432

48lim

1432

149lim

143

1432

143lim

2143

lim

2

22

222

−=−=+

−=

++−

=++

−=

++−−−

=++−

−=

++−

+−=

++

++⋅

−+−

=−

+−

→

→→

→→→

x

xxx

xxx

xx

x

x

xx

xx

x

x

xx

xxx


b). 00

32122

lim3

=−−

−−+→ xx

xxx

BTT, maka

( )( )

( )( )

( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )53

5232

5533

13.223333.2

12232

lim

3122323

lim

)(32122323

lim

3232

.12232

3lim

122323

lim

12232)12()2(

lim

122122

.32

122lim

32122

lim

3

3

3

3

3

3

33

−=−=++−

=−++

+−−=

−+++−−

=

−−+++−−−

=

−−−+++−+−

=

+−+−

−++−−+−

=

−++−−+−

=

−++−−−−+

=

−++−++

−−−−+

=−−

−−+

→

→

→

→

→

→

→→

xxxx

xxxxxx

xxxxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

x

x

x

x

x

x

xx

c).

( )( )716

749lim

74

74.

74

9lim

74

9lim 2

22

32

2

2

2

32

2

3 +−++−

=++

++

+−

−=

+−

−−→−→−→ x

xx

x

x

x

x

x

xxxx

( )( ) ( ) 84479474lim9

749lim 2

32

22

3=+=++=++=

−++−

=−→−→

xx

xxxx

(gabungan cara penyelesaian dengan pemfaktoran dan perkalian dengan sekawan)

6. .....

13

11

lim31

=

−−

−→ xxx

Jawab:

( )( )( )

( )( )( )

++−−++

=

−

−++−

++=

−−

− →→→ 2

2

132

2

131 1131

lim1

311

1lim

13

11

limxxx

xxxxxx

xxxx xxx

( )( )( )( )

( )( )( )

( ) 133

11121

12

lim

1112

lim11

2lim

221

212

2

1

==++

+=

+++

=

++−−+

=

++−

−+=

→

→→

xxx

xxxxx

xxxxx

x

xx

Dikali sekawan pembilang

Dikali sekawan penyebut

Jika disubtitusi, masih didapat 0/0

( )( )2233 babababa ++−=−


7. .....

11lim

3 2

2

0=

+−→ x

xx

Jawab:

( )( )( )

( )( )2

23 23 22

023 23 2

23 23 2

3 2

2

03 2

2

0 11

111lim

111

111.

11lim

11lim

x

xxx

xx

xx

x

x

x

xxxx +−

++++

=

++++

++++

+−=

+− →→→

( )

( )( ) 3111

111lim111

lim2

3 23 2

02

23 23 22

0

−=++−=

++++−=

−

++++

=→→

xxx

xxx

xx

8. Jika )32(lim)1(lim −=+→→

xxnxnx

, maka tentukan nilai dari )16(lim 2 −→

xnx

Jawab:

4321)32(lim)1(lim =⇒−=+⇒−=+→→

nnnxxnxnx

maka

01616164)16(lim)16(lim 22

4

2 =−=−=−=−→→

xxxnx

9. Jika 73

10252

lim2

2

2=

−+++

−→ axxxx

x, maka nilai a adalah …

Jawab:

10252

lim2

2

2 −+++

−→ axxxx

x, karena ketika disubtitusi pembilang bernilai 0, sedangkan nilai

limitnya adalah 73

, maka penyebut dipastikan bernilai 0. Sehingga diperoleh

( )

3

62210401022 2

−=⇒

−=⇒=−⇒=−−−

a

aa

a

10. 04

2222

22

lim2

=−+

=−+

→ xx

x berarti

22

lim2 −

+→ x

xx

tidak ada. Lihat grafiknya berikut ini:

( )( )( )( )

( )73

73

52122

512

lim52122

lim103

252lim

222

2

2

=−−

=−−

+−=

−+

=−+++

=−−

++−→−→−→ x

xxxxx

xxxx

xxx


11.

014

9313.23

912

lim2

2

2

2

3=

−−+

=−

−+→ x

xxx

berarti 9

12lim

2

2

3 −−+

→ xxx

x tidak ada. Demikian juga

untuk 9

12lim

2

2

3 −−+

−→ xxx

x, karena

( ) ( )( ) 0

293

13239

12lim

2

2

2

2

3=

−−−−+−

=−

−+−→ x

xxx

. Grafiknya

adalah:

12. Untuk menentukan nilai )(lim xf

x ∞→ adalah dengan SUBTITUSI,

f(x)=(x+2)/(x-2)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

f(x)=(x^2+2x-1)/(x^2-9)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Limit kiri ≠ Limit kanan

Limit kiri ≠ Limit kanan


Ø Jika =)(xf ±c∞

maka )(lim xfx ∞→

= ± ∞

Ø Jika =)(xf∞c

maka )(lim xfx ∞→

= 0

Ø Jika =)(xf∞∞

(Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan

penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.

Ø Jika =)(xf ∞ – ∞ (Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan penyebut dikalikan dengan bentuk sekawannya dan dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.

Soal-soal:

a. 99lim =

∞→x

b. ∞=+∞=+

∞→9.292lim x

x

c. ∞=

+∞=

+∞→ 8

9.78

97lim

xx

d. 0

61

61

6lim

22=

∞=

+∞=

+∞→ xx

13. Penyelesaian dengan pembagian variabel pangkat tertinggi.

a). ∞∞

=−+∞→ 13

2lim

2 xxx

x BTT maka

030

0030

1lim1lim3lim

2lim

113

2lim

13

2

lim13

2lim

22222

2

2

2

==−+

=

−+=

−+=

−+=

−+∞→∞→∞→

∞→

∞→∞→∞→

xx

x

xx

x

xxx

xx

xx

xxx

xxx

x

xxx

b). ∞∞

=−+∞→ 13

2lim

2

2

xxx

x BTT, maka

Variabel Pangkat Tertinggi (VPT)

adalah 2x , maka pembilang dan

penyebut dibagi dengan 2x

Lihat Teorema Limit


32

0032

1lim1lim3lim

2lim

113

2lim

13

2

lim13

2lim

22222

2

2

2

2

2

=−+

=

−+=

−+=

−+=

−+∞→∞→∞→

∞→

∞→∞→∞→

xxxxxx

xxx

xx

xxx

xxx

x

xxx

c). ∞∞

=−+

+∞→ 13

52lim

2

3

xxxx

x BTT maka

14. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan kemudian membaginya dengan

variabel pangkat tertinggi.

a). ( ) ∞−∞=−+−+−∞→

274154lim 22 xxxxx

BTT, maka

( )( ) ( )

( )( ) ( )

34

1242

12004004

012

274154

312lim

274154

312lim

274154

312lim

274154

274154lim

274154

274154274154lim

274154lim

22

2222

2222

22

22

22

22

2222

22

−=−=−=

−+++−+−

=

−+++−

+−=

−+++−

+−=

−+++−

+−=

−+++−

−+−+−=

−+++−

−+++−⋅−+−+−=

−+−+−

∞→

∞→

∞→

∞→

∞→

∞→

xxxx

x

xxx

xx

xxx

xx

xxx

xxxx

xxxxx

xxxx

xxxx

xxxxxxxx

xxxx

x

x

x

x

x

x

3

3 2 2

222

2 2 2

2 5 522 5 0lim lim lim

1 13 13 1 3 0 03x x x

x xxx x x x x

x xx xx x

x x x

→∞ →∞ →∞

+ ++ ∞ += = = = ∞

+ − + −+ −+ −

Sama nilainya dengan (diambil suku yang memuat pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut):

22 44

12lim

xx

xx +

−∞→

VPT pembilang adalah x,

dan VPT penyebut 2x

(setara), maka pembilang dan penyebut dibagi dengan x (jk dlm akar

menjadi 2x ) Lihat catatan 2

Dikalikan sekawan


b). ( ) ∞−∞=+−+∞→

36lim xxx

, BTT maka:

15. Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga:

Ø Jika ......

)(1

1

++++

=−

−

nm

nn

qxpxbxax

xf

maka m

n

xx pxax

xf∞→∞→

= lim)(lim

n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut.

Ø Jika rqxpxcbxaxxf ++−++= 22)( maka )(lim xfx ∞→

<∞−

=−

>∞

=

pajk

pajka

qbpajk

,

,2

,

Ø Jika qpxbaxxf +−+=)( maka )(lim xfx ∞→

<∞−=

>∞

=pajk

pajk

pajk

,,0

,

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )( )

6 3lim 6 3 lim 6 3

6 3

3lim

6 3

3lim

6 3

3lim

6 31 1

0

1 1

0

x x

x

x

x

x xx x x x

x x

x x

xx x

x x x x

x

x x

→∞ →∞

→∞

→∞

→∞

+ + ++ − + = + − +

+ + +

=+ + +

=+ + +

=+ + +

=+

=


Soal-soal:

a). 3

53

5lim

3

3

−=

−−

∞→ xxxx

x (pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut)

b). ( ) ( )34

68

92715

1792159lim 22 −=−

=−−−

=+−−+−∞→

xxxxx

( nilai a = p )

c). ( ) 05242lim =+−−

∞→xx

x ( nilai a = p )

16. Teorema Limit Untuk ∈n bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi- fungsi dalam x yang mempunyai limit di a, maka berlaku:

Soal-soal: a). a. 2525lim

6=

→x b. 3636lim

0=

→x c. 99lim

2=

−→x

b). 813lim 44

3==

→x

x

c). 572.5275lim 33

2=+−=+−

→xx

x

e). 10)2.(5lim55lim22

−=−==−→−→

xxxx

f). 6848204.34.53lim5lim35lim 22

44

2

4=+=+=+=+

→→→xxxx

xxx

g). 2848204.34.53lim5lim35lim 22

44

2

4−=−=−=−=−

→→→xxxx

xxx

h). ( )( ) ( ) ( ) 324.815lim.35lim1535lim1

2

1

2

1==−+=−+

→→→xxxxxx

xxx

i). ( )

( )( )

( ) 248

15lim

35lim

1535

lim1

2

12

1==

−

+=

−+

→

→

→ x

xx

xxx

x

x

x

j). ( ) ( )( ) ( ) 343721.525lim25lim 333

1

3

1==+=+=+

→→xx

xx

k). ( ) ( ) 3331

3

1721.525lim25lim =+=+=+

→→xx

xx

a. ccax

=→

lim

b. nn

axax =

→lim

c. )()(lim afxfax

=→

d. )(lim)(lim afcxcfaxax →→

=

e. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax →→→

+=+

f. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax →→→

−=−

g. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax →→→

•=•

h. )(lim

)(lim

)()(

limxg

xf

xgxf

ax

ax

ax→

→

→=

; 0)(lim ≠

→xg

ax

i. n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

→→=

j. nax

nax

xfxf )(lim)(lim→→

= ; 0)(lim ≥→

xfax


l). ( )( ) 3

1007107525

7)5.(2)5.(3)5.(5

7lim2lim

3lim5lim

72lim

35lim

7235

lim2

222

5

−=

+−−−

=+−

−−−=

+

−=

+

−=

+−

∞→∞→

∞→∞→

∞→

∞→

−→xx

xx

x

x

x x

xx

x

xx

xxx

17. Limit Fungsi Trigonometri

Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar. Beberapa persamaan khusus: Soal-soal:

a). 010

0cos0

coslim

0===

→ xx

x

b). 10121

cos21

sincossinlim21

=+=+=+→

πππ

xxx

c). 21.22

2sinlim.2

22

.2sin

lim2sin

lim0200

====→→→ x

xx

xx

xxxx

(jika 0→x maka 02 →x )

d). 00

2tan54sin3

lim0

=−+

→ xxxx

x BTT, maka

(khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x)

37

2543

2tanlim5lim

4sinlim3lim

2tan5

4sin3

lim2tan5

4sin3lim

2tan54sin3

lim

00

00

000=

−+

=−

+=

−

+=

−

+=

−+

→→

→→

→→→

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xxxx

xx

xx

xxx

e). 00

sin4cos1

lim0

=−

→ xxx

x BTT, maka

( )( ) ( )( )

( )

84.21

.4.1.1

4.

4cos11

.sin4

.4

4sin.

44sin

lim4.44.4

.4cos1

1.

sin4sin.4sin

lim

4cos1sin4sin

lim4cos1sin

4cos1lim

4cos14cos1

.sin

4cos1lim

sin4cos1

lim

00

2

0

2

000

==

+=

+=

+=

+−

=++−

=−

→→

→→→→

xx

xxx

xx

xx

xxxx

xxxxx

xxxx

xxxx

xx

xxx

xxx

xx

xxxx

f). 00

2

coslim

2

=

−→ ππx

x

x BTT, maka Diketahui rumus trigonometri:

−= xx

2sincos

π

a. 1sin

limsin

lim00

==→→ x

xx

xxx

b. 1tan

limtan

lim00

==→→ x

xx

xxx

c. ba

bxax

bxax

xx==

→→ sinlim

sinlim

00

d. ba

bxax

bxax

xx==

→→ tanlim

tanlim

00

e. ba

bxax

bxax

xx==

→→ tansin

limsintan

lim00


1

2

2sin

lim

2

2sin

lim

2

2sin

lim

2

2sin

lim

2

coslim

22222

−=−

−

−=−

−−

=−

−−

=−

−

=

− →→→→→ π

π

π

π

π

π

π

π

π πππππx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxxx

g). 00coscos

lim =−−

→ axax

ax, BTT maka

( ) ( )( )

( )

aa

ax

axax

ax

axax

axax

axaxaxax

sin21

.sin2

21

sinlim.

21

sinlim221

sin21

sin2lim

coscoslim

−=−=

−

−+−=

−

−+−=

−−

→→→→

h). ( )

( ) ( ) 00

1tan11

lim2

23

1=

−+−++−

→ xxaxxax

x, BTT maka

( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )aa

xx

x

axx

xx

x

axx

xxxaxxx

xxxaxaxx

xxaxxax

xx

x

x

xxx

−=+−

=

−−

++

−=

−−

++

−=

−++−−−

=−++−

++−=

−+−++−

→−→

→

→

→→→

131

121

11tan

lim1lim

lim

11tan

1lim

1tan111

lim1tan11

1lim

1tan11

lim

011

1

1

1

2

12

23

1

i). 00

tantan11

tantanlim =

−+−

−→

yxyx

yx

yxyx

BTT maka

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

y

yxyx

y

yxyx

yyx

xyy

yx

yx

yyyx

yx

yx

yxyx

yx

yx

yx

yxyx

yxyxyx

−=

−

−−=

−−

−=−

−=

−

−

=

+

−

−

=

−+−

−

→−

→→

→→→

tanlim

tanlimtanlim

tan1

limtantan1tantan

1

1lim

tantan11

tantanlim

0


18.

Apakah fungsi 12)( += xxf , kontinu di x = 1 ? Jawab: Kekontinuan Suatu Fungsi Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika: a. f (a) ada b. )(lim xf

ax→ ada

c. )(lim xfax→

= f (a)

Fungsi 12)( += xxf , kontinu di x = 1 karena ( ) ( )1312lim

1fx

x==+

→

19.

Apakah fungsi ( )

=

≠−−

=3;3

3;392

x

xxx

xf , kontinu di x = 3 ?

Jawab:

Fungsi ( )

=

≠−−

=3;3

3;392

x

xxx

xf maka f(x) tidak kontinu di x = 3, karena

a. 633)3(lim)3(

)3)(3(lim

39

lim33

2

3=+=+=

−+−

=−−

→→→x

xxx

xx

xxx

b. f(3) = 3 maka )3()(lim

3fxf

x≠

→

20. Tentukan nilai ( ) ( )

hxfhxf

h

−+→0

lim untuk fung[si 32)( xxf =

Jawab:

( ) ( ) 3223322333 26623322)(2)( hxhhxxhxhhxxhxhxfxxf +++=+++=+=+⇒=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2222

0

22

0

322

0

33223

00

6006266lim266

lim

266lim

22662limlim

xxhxhxh

hxhxhh

hxhhxh

xhxhhxxh

xfhxf

hh

hhh

=++=++=++

=

++=

−+++=

−+

→→

→→→

21. Tentukan nilai ( ) ( )

hxfhxf

h

−+→0

lim untuk fungsi xxxf 3)( 2 +=

Jawab:

xxxf 3)( 2 +=

Ciri: Grafiknya merupakan lengkungan (kurva) yang tidak terputus.


( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) 3230232lim32

lim32

lim

3332lim

33limlim

00

2

0

222

0

22

00

+=++=++=++

=++

=

+−++++=

+−+++=

−+

→→→

→→→

xxhxhhxh

hhhxh

hxxhxhxhx

hxxhxhx

hxfhxf

hhh

hhh

22. Limit Barisan Bilangan

ex

x

x=

+

∞→

11lim.1

111lim.3 −

∞→=

− e

x

x

x

( ) ex xx

=+∞→

1

1lim.2

( ) 11

1lim.4 −

∞→=− ex x

x

Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 + ...!3

1!2

1++ (bilangan Euler)

Soal-soal:

11111

11

1lim1

111

lim1

11lim

1lim. −

+

∞→

+

∞→

+

∞→

+

∞→=

+−=

+−

++

=

+−+

=

+e

xxxx

xx

xx

ax

x

x

x

x

x

x

x

Atau

( )

( )

( )1

1111

1111

11

1lim1

11lim

11

1lim1

111

lim1

11lim

1lim

−

−+−

∞→

−+−

∞→

+

∞→

+

∞→

+

∞→

+

∞→

=

+−

+=

+−=

+−=

+−

++

=

+−+

=

+

exx

xxxx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

( ) ( ) ( ) ( )( ) 33

313

31

13

.311

31lim31lim31lim31lim. −−

−∞→

−−

∞→

−−

∞→∞→=

−+=

−=−=− exxxxb x

xx

xx

xx

x

( )

( ) 4646

4

23

64

23

642

32

01.3

21lim.

32

1lim

32

13

21lim

32

1lim3

21lim.

−−

∞→

−

+

∞→

−

+

∞→

+−

+

∞→

−

∞→

=+=

++

++=

++

++=

++=

++

eexx

xxxxc

x

x

x

x

x

x

x

x

x


Bentuk Sekawan: a. ba − sekawannya ba + b. cba −+ sekawannya cba −− c. cba − sekawannya cba + d. dcba −++ sekawannya dcba −−+ e. cba −+ sekawannya cba ++ dan lain sebagainya..

Catatan: a. ( )( )bababa +−=− 22 b. ( )( )2233 babababa ++−=− c. ( )( )2233 babababa +−+=+

d. ( ) 222 2 bababa ++=+

e. ( ) 222 2 bababa +−=−

f. ( ) aaaa =⋅=2

g. ( ) babababa +=+⋅+=+2

Catatan 2:

a. ba

ba

= b. 22 xa

x

axa

== c. 44442 xb

xax

xbax

x

baxx

bax+=

+=

+=

+

dan lain- lain.

Keterangan: Sebagian materi adalah materi pengayaan, tidak semuanya dipelajari di kelas.


Soal-Soal Latihan Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya.

1. Jika ( )

>≤

=0;0;2

2 xjkxxjk

xf , tentukan: a. ( )xfx −→0

lim , b. ( )xfx +→0

lim , c. ( )xfx 0lim

→ jk ada.

2. Jika ( )

≥+<+

=1;41;23

xjkxxjkx


lim , b. ( )xfx +→1


→.

3. Jika ( )

>+≤+

=1;321;14

2 xjkxxjkx


lim , b. ( )xfx +→1


→.

4. Jika ( )

−>−=

−<−

=1;11;0

1;1

xjkxjk

xjk

xf , tentukan: a. ( )xfx −−→ 1

lim , b. ( )xfx +−→ 1


−→.

5. Ditentukan ( )

≥<≤−−

−<

=1;0

11;1

1;2

xjkxjkx

xjk

xf

Selidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. ( )xfx 1lim

−→ b. ( )xf

x 1lim

→

6. Tentukan nilai dari: a. 1lim1

−+→

xx

b. 2

1

lim xx +−→

c. 20

1lim

xx +→

7. Tentukan nilai dari: a. xx

4lim4−→

b. xx −−→ 2

lim c. xx 23

lim0−→

8. Diketahui fungsi ( ) xxf = . Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit

kanan). a. ( )xfx 1lim

→ b. ( )xf

x 3lim

→ c. ( )xf

x 16lim

→ d. ( )xf

x 0lim

→

9. Selidikilah, apakah xx

1lim

0→ ada? (cari limit kiri dan limit kanan).

10. Tentukan ( )xfx 2lim

−→ dan ( )xf

x 4lim

→ dari gambar berikut:

-2 4

1

3

2

x

y

( )xf


Carilah Nilai Limit Berikut:

11. 1000lim5→x

12. 12345lim1→x

13. 52lim2

+−→

xx

14. 1053lim 2

0−+

→xx

x

15. ( )( )14lim3

+−−→

xxx

16. ( ) ( )[ ]35

3.74lim xxx

−−−→

17. 2

lim4 +→ x

xx

18.

−

+−

→ 3213

lim4 x

xxx

x

19. 4561053

lim3

2

0 −++−

→ xxxx

x

20. 10796

lim2 −

+→ x

xx

21. 114lim9

−→

xx

22. 7lim 2

4−

→x

x

23. 3

2

1

6lim

xx

x −−

→

24. 1

63lim 3

2

2 +++

→ xxx

x

25. 2

1lim

2 −→ xx

26. 242

4lim

24 −−+

→ xxx

x

27. 242

5lim

21 −−+

−→ xxx

x

28. 6

6lim

3 +−

−→ xx

x

29. x

xx

3lim

3

−→

30.

−+

−→ x

xx

xx 76

232lim

2

31.

++

+−→145

589

lim2

xx

xx

32. ( )( )

1253

lim5 −

−−→ x

xxx

33. ( )( )

xxxx

x 52253

lim7 ++

−−→

34. 12615

453lim

1 −−−+++

→ xxxx

x

35. ( )5528lim4

+−+−−→

xxx

36. ( )342232lim 22

3+−−−+

→xxxx

x

37. 12

9lim

−+

→ xx

ax

38. mx

mx

7lim

→

39. n

xxnx

+→

2

lim

40. Jika ( ) ( )32lim1lim −=+→→

xxnxnx

, maka tentukan nilai dari: ( )16lim 2 −→

xnx

41. Jika axxxx

x=

+−−−

→ 211076

lim2

2

7, berapakah nilai dari

143274

lim2

+−−−

→ xxx

ax?


42. Jika 73

10252

lim2

2

2=

−+++

−→ axxxx

x, maka a = …

43. Jika 1311

3013

lim2

2

3=

−−−+

→ axxaxx

x, maka a = …

44. 1

1lim

1 −−

→ xx

x

45. x

xx −

−→ 1

1lim

1

46. 11

lim1 −

−→ x

xx

47. x

xx −

−→ 1

1lim

1

48. 1

65lim

2

1 −−+

→ xxx

x

49. 6

62lim

23 −++

−→ xxx

x

50. x

xxx

53lim

2

0

−→

51. xx

xx +→0lim

52. 2

4lim

4 −−

→ xx

x

53. Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah:

a.

+

−→ xxxx

11lim 20

b.

−−

−→ 11

12

lim 20 xxx c.

−−

−→ 31 13

11

limxxx

d.

−+−

−→ 823

42

lim 222 xxxx

54. 43

22lim

21 −−+

−→ xxx

x

55. 263

lim2

2 −−

→ xxx

x

56. ( )

312

lim2

3 −−−

→ xx

x (Ebtanas IPS 99)

57. 232

12lim 2

21 −+

−

→ xxx

x

58. 1243

lim2

2

1 +−−+

→ xxxx

x

59. xxx

xxx 3

2lim

23

2

0 +++

→

60. 23

24

0 26

limxxxx

x +−

→

61. nn

nnn

x xxxxx

26

lim4

13

0 +−+

+

++

→

62. 1

3232lim

2

23

1 −−−+

→ xxxx

x

63. 2248

lim23

23

2 +−−+−+

→ xxxxxx

x

64. 1262

6lim

23

23

2 −+−−+

→ xxxxxx

x

65. 28

lim3

2 −−

→ xx

x

66. x

xx −

−→ 1

1lim

3

1

67. 273

lim33 −

−→ x

xx

68. 64

4lim

34 −−

→ xx

x


69. 1

1lim

31 −−

→ xx

x

70. 94278

lim 2

3

23 −

−→ x

xx

**

71. 2

82lim

2

4 −−−

→ xxx

x

72. xx

xx −

−→ 41

1lim

73. Diketahui ( ) xxg 21+= , maka nilai

( ) ( ).....

11lim

0=

−−+→ x

xgxgx

74. 132

1lim

1 +−−

→ xx

x

75. 752

23lim

2

2 +−++−

→ xxxx

x

76. 656

102lim

6 +−−−−

→ xxxx

x

77. xx

xxx −−

−−+→ 32

122lim

3

78. 315133

lim1 +−−

−−−→ xx

xxx

79. xx

xxxxx −−+

+−−++→ 33

3232lim

22

0

80. 9

415lim

23 −−+

→ xx

x

81. 10

31lim

10 −−−

→ xx

x

82. 9

32lim

23 −+−

→ xxx

x

83. 2

2

1 113

limx

xxx −

−−+→

84.

−

+→ xxx

xxx

1lim

2

0

85.

+−

+−→ 1

1

1lim

2

1 xx

xx

86. 74

9lim

2

2

3 +−

−−→ x

xx

87. xxx

x +−−

→ 9352

lim2

0

88. x

xx −

−−→ 5

94lim

2

5

89. 3

124lim

3 −+−+

→ xxx

x

90. 5

44lim

5 −−−+

→ xxx

x

91. xx

xx −++

−→ 212

2lim

2

92. 153153

lim1 −−+

−++→ xx

xxx

93. xx

xxx −+

+−−→ 63

32lim

2

94. 33

65lim

2

3 −−−+−

−→ xxxx

x

95. x

xxx

−−+→

11lim

0

96. xx

xx 2121

4lim

0 −−+→

97. 11

1lim

1 −−−−

→ xxx

x

98. 3 2

2

0 11lim

x

xx +−→

99. 68223

lim1 +−

+−→ xx

xxx


100. px

ppxxpx −

−→

lim

101. ( )2

33 2

1 11.2

lim−

+−→ x

xxx

**

102. 11

lim1 −

−→ x

xn

x **

103. Diketahui ( ) xxxf 23 2 −= , tentukan ( )

2

2)2(.41

)(lim

2 −

+−

→ x

xfxf

x

104. Diketahui ( )2

3x

xf = , tentukan ( )

2)2()(

lim2 −

−→ x

fxfx

Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:

105. xx

2lim

∞→

106. 105

6lim

xx ∞→

107. 2529

limxx

−∞→

108. xxx 52

7lim

3 +∞→

109. 20

3lim

3 −−

∞→ xx

110. 994lim +∞→

xx

111. 159lim 2 −+∞→

xxx

112. 1003

limx

x ∞→

113. 55

47lim

+∞→

xx

114. 12

25lim

2 −∞→

xx

115. 12

5lim

−+

∞→ xx

x

116. 5234

lim+−

∞→ xx

x

117. 5

86lim

+−

∞→ xx

x

118. 59

310lim

−+

∞→ xx

x

119. xx

x 93310

lim−+

∞→

120. 3

523

lim

+−

∞→ xx

x

121. 2

2

12357

limxx

xx +

−∞→

122. 3

23

123115

limxxxx

x +−

∞→

123. ( )( )( )( )1123

3215lim

−++−

∞→ xxxx

x

124. ( )( )1335

lim2

−−−+

∞→ xxxx

x

125. ( )( )

153231

lim2 −+

−−∞→ xx

xxx

126. ( )

1214

lim3

3

−−

∞→ xx

x

127. ( )

xxx

x 53324

lim3

3

++

∞→


128. 2

4

284

limx

xxx

+∞→

129. 253134

lim2

2

−+−+

∞→ xxxx

x

130. 23

3lim

3

3

−+

∞→ xxx

x

131. ( )

( )22

4

23

52lim

+

−∞→ x

xx

132. 43

43

256

limxx

xxxx −

−+∞→

133. ( )

3

2

4512

limxx

xxx −

+∞→

134. ( )

112

lim3

3

+−

∞→ xx

x

135. ( )( )1326

lim3

+−+

∞→ xxxx

x

136. ( )( )

( )( )1122

lim22

+−+−

∞→ xxxxx

x

137. xxxx

x −−+

∞→ 2

3 572lim

138. 3

2

36

2lim

xx

xxx +

+∞→

139. 32

2lim

4

−+

∞→ xxx

x

140. 32

49lim

xxxx

x −+

∞→

141. 12

53lim

3

2

−+−

∞→ xxx

x

142. 542

53lim

2 +++

∞→ xxx

x

143. xx

xxx 510

753lim

3

2

+−+

∞→

144. 55

17lim

36

2

−+

−∞→ xx

xx

145. 93

15lim

2

2

−−+

∞→ xxx

x

146.

−+−+

∞→ 3124

limx

xxx

147. 2355

17lim

636

2

−+−+

−∞→ xxx

xx

148. 1624

2lim

22 +−−−

−∞→ xxx

xx

149. 193

15lim

4

2

+−

−+∞→ xx

xxx

150. ( )36lim +−+∞→

xxx

151. ( )23lim +−+∞→

xxx

152. ( )412lim +−−∞→

xxx

153. ( )324lim −−+∞→

xxx

154. ( )xxx

−+∞→

5lim

155. ( )1313lim −−+∞→

xxx

156. ( )321lim −−+∞→

xxx

157. ( )xxx

−−+∞→

1263lim

158. ( )qpxbaxx

+−+∞→

lim

untuk: a = p, a > p dan a < p

159. ( )xxxxx

+−++∞→

22 21lim

160. ( )95164lim 22 +−−−+∞→

xxxxx

161. ( )( )( )92212lim 2 +−−−+∞→

xxxxx

162. ( )xxxx

354lim 22 −−−∞→

163. ( )12352lim 22 +−−−+∞→

xxxxx


164. ( )( )( )17513lim 2 ++−−+∞→

xxxxx

165. ( )( )( )173453lim 2 +−−+−∞→

xxxxx

166. ( )174lim 2 −−−∞→

xxxx

167. ( )( )8742lim 2 +−−+∞→

xxxx

168. ( )95lim 2 −−−+∞→

xxxx

169. ( ) ( )( )( )333lim +−−+∞→

xxxx

170. ( )4533lim 2 +−−+∞→

xxxx

171. ( )456lim 2 −−++∞→

xxxx

172. ( )321lim 2 −−−∞→

xxx

173. ( )( )32534lim 2 −−−+∞→

xxxx

174. ( )( )5349lim 2 +−−+∞→

xxxx

175. ( )532lim 2 +−∞→

xxx

176. ( )823lim 22 +−−∞→

xxxx

177.

−+−−−

∞→52343lim xxxx

x

178. ( )154134lim 2424 ++−−+∞→

xxxxx

179. ( )84lim 33 +−−∞→

xxx

180.

+−+∞→ x

xxx

22 9141lim

181.

+−+∞→ x

xxx

22 41lim

182. ( )( )xxxx

−+∞→

2lim 2

183.

+−

∞→2

34lim 2 xxx

184.

−+

−−

+∞→ 7

5212

3lim

xx

xx

x

185.

+

−−+

−∞→ 5

3592

4lim 2

2

xx

xxx

x

186. 2

33 2

limx

xxxx

+∞→

**

187. xx

xxxx 2

23 2

63

lim+

−∞→

**


188. xxx

cos5sinlim2

+→

π

189. ( )xxx

cot.2sinlim0→

190.

+

→ xxx

x sin3cos5

6sin

lim2π

191. xx

x 2cos

lim0→

192. x

xx cos

5lim

0

+→

193. xx

x 5sin2tan

lim0→

194. x

xx 5

3sinlim

0→

195. xxx

x 3sin5sin

lim20→


196. xx

x

x 2sin3sin21

tanlim

2

0→

197. x

xx 2

2

0 sin2

lim→

198. ( )2

2

0 33sin

limx

xx→

199. xx

xx 2sec

2tanlim

0→

200.

2cos

2sin

lim0 xx

xx→

201. x

xx cos

2lim

0→

202. 2

2

0

2sinlim

xx

x→

203. 20

3coscoslim

xxx

x

−→

204. x

xxx

4sin3sinlim

0

+→

205. x

xx

2cos1lim

0

−→

206. xx

x 2sincos1

lim+

→π

207. 20 2

2cos1lim

xx

x

−→

208. ( )

xxx

x 3sin2sin

lim22

2

0 +→

209. xxxxxx

x 2cos3sin263tan4sin

lim2

32

0

+→

210. ax

axax −

−→

coscoslim

211. x

xxx cos1

3coscoslim

0 −−

→

212. x

xxx cos1

9cos5coslim

0 −−

→

213. xx

x 42cos

lim4

−→ ππ

214. x

xx sin1

coslim

2

4−→

π

215. ( ) ( )

( ) ( )1sin1

1tan1lim

21

2

21

3

1−−

−−→

xx

xxx

216. ( ) ( )

( )1sin212sin1

lim2

2

1 −−−−

→ xxx

x

217. xxx

x sincos1

lim0

−→

218. ( )xxx

tanseclim2

−→

π

219. 30

tansinlim

xxx

x

−→

220. ( ) ( )

yxyxyx

yx 99tan33

lim+

+++−→

221. ( )xxx

2cotlim0→

222. x

xx πtan

1lim

1

−→

223. x

x

x 2cos1tan

lim4

−

→π

224. ( )1tan2cos

lim4

−→ xxx

xπ

225. 923

2sinlim

0 +−→ xx

x

226. x

xx −−→ 11

4sinlim

0

227. 1

11cos

11sin

lim1 −

−

−

→ xxx

x

228. ( )

22sin

lim2 −

−→ x

xx


229. ( )

ππ

π −−

→ xx

x

sinlim

230. ( ) ( )

321sin13

lim21 −+

−+→ xx

xxx

231. ( )

321sin

lim3 −

−+→ x

xx

232. x

xx −

−→

2

sin1lim

2ππ

233.

4

4sinsin

lim4

π

π

π−

−

→ x

x

x

234. xx

x sectan2

lim2π

→

235. 20 5

3tan.2tanlim

xxx

x→

236. xx

x sin1cos1

lim0 +

+→

237. xx

x cos12cos1

lim0 −

−→

238. x

xxx sin

3lim

2

0

+→

239. x

xx

21

cos1

2lim

2

2

0−

→

240. 30 4

2cos.3sin3sinlim

xxxx

x

−→

241. ( ) ( )

( )22

2

2 2

2sin65lim

−−

−+−→ xx

xxxx

242. ( )

xxxxx

x 236sin1

lim23

2

0 ++−

→

243. xx

xxx 3cos4

2sin8sinlim

0

+→

244. 923

2sinlim

0 +−→ xx

x

245.

−−

→ xxxx

x 3sin8sin2sin5sin

lim0

246.

−−

→ xxxx

x sin2sintan2tan

lim0

247.

−

−

→ x

x

x

4

tan1lim

4ππ

248.

−

→ xxx

x sin4cos1

lim2π

249.

→ xx

x cos)sin(cos

lim2π

250. ππ

41sincos

lim41

−

−→ x

xxx

251.

32

2

34

sin3

3sinlim

3π

ππ

π+

−+

+

−→ x

xx

x

252. x

xx

x 2sin1cossin

lim21 −

−

→ π

253. ( )

11sin

lim2

1 −−

→ xx

x

254. x

x

x cos2cos1

lim21

+

→ π

255. ( )

( ) axaxax

ax 22sin3

lim−+−

−→

256. ( ) )1tan(1)1(

lim2

23

1 −+−++−

→ xxaxxax

x

257. ππ −

+→ x

xx

cos1lim

258. ( )

( )xxxx

x sec31tancos12sin

lim0 +

+→

259. ( )xx

xxx 3cos1

3sin22sin3lim

0 −−

→


260. xx

xx 2tan2sinlim

3

0 −→

261. 30

sintanlim

xxx

x

−→

262. ( )

963cos1

lim23 ++

+−−→ xx

xx

263. ( )

( ) ( )axaxax

ax −−−−−

→ 5tansin11

lim2

264. ( )

−−−

−→ 33sin

3lim

3 xxx

x

265. xx

xxxxx 3sinsin3

18sin10sin6sin2sinlim

0 −−++

→

266.

−+−

−→

yxyx

yx

yxyx

tantan11

tantanlim **

Tentukan, jika ada, titik-titik yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak kontinu:

267. ( )xx

xxf

+−

=2

2 1

268. ( )32 −

=xx

xf

269. ( )23

42

2

+−

−=

xx

xxf

270. ( )1

323

2

−++

=x

xxxf

271. ( )2352

2

2

−+−−

=xxxx

xf

272. ( )103

12

2

−++

=xx

xxf

273. ( )1

122 +−

+=

xxx

xf

274. ( )

≥−<

=0;10;1

xuntxxunt

xf

275. ( )

≥−<

=0;0;2

xuntxxuntx

xf

276. ( )

>=

<

=0;0;1

0;

2 xuntxxunt

xuntx

xf

277. ( )112

−−

=xx

xf

278. ( )

=

≠−−

=

1;2

1;112

xunt

xuntxx

xf

Selidikilah, apakah fungsi-fungsi berikut kontinu pada titik yang diberikan:

279. ( ) 5=xf , pada x = 1

280. ( ) 105 −= xxf , pada x = – 3

281. ( )3

8−

=x

xf , pada x = 3

282. ( )6

12 −−

=xx

xf , pd x = 3 dan x = –2


283. ( )127

1232 +−

−=

xxx

xf , pada x = 4

284. ( )1222633

2

2

−−−+

=xxxx

xf , pada x = – 2


285. 1

1lim

+

∞→

+

x

x xx

286. x

x x

2

32

1lim−

∞→

++

287. 6

35

lim+

∞→

++ x

x xx

288. x

x xx 2

6222

lim

++

∞→

289. x

x xa

+

∞→1lim

290. ax

x x

+

∞→

11lim

291. 32

5313

lim+

∞→

++ x

x xx

292. 32

5152

lim+

∞→

−− x

x xx

293. 27

1656

lim+

∞→

−+ x

x xx

294. 1

1

2

2

2

1523

lim++

∞→

++++ x

x

x xxxx

Hitunglah nilai dari ( ) ( )

hxfhxf

h

−+→0

lim dari fungsi-fungsi berikut:

295. ( ) 9=xf

296. ( ) xxf 5=

297. ( ) 108 −= xxf

298. ( ) 2xxf =

299. ( ) 23xxf =

300. ( ) 12 2 +−= xxf

301. ( ) xxxf 32 2 +=

302. ( ) 3xxf =

303. ( ) 32xxf =

304. ( ) xxf =

305. ( ) xxf 2=

306. ( ) 12 += xxf


Kerjakan dengan benar soal-soal berikut:

307. Jika ( )( )49

12lim 2 =−−+∞→

xaxaxx

, carilah nilai a yang memenuhi.

308. Diketahui ( ) 6lim2

=→

xfx

. Nilai ( )( ) ( )

135

lim2

2 +−++

→ xxfxxf

xadalah ...

309. Diketahui ( ) 16lim10

=→

xfx

dan ( ) 2lim10

−=→

xgx

. Maka nilai ( ) ( )( )4

103lim xgxf

x+

→adalah ...

310. Buktikan bahwa 22

sinlim =∞→ x

xx

311. Buktikan bahwa 2

cos1lim2

2 ana

nn

=

−

∞→

312. Diketahui 245

lim1

−=+−

−→ xp

x. Maka nilai p adalah...

313. Hitunglah a dan b jika diketahui 29

lim23

−=−−

→ xbax

x.

314. Jika ( ) 42741lim 22 =+−−−+∞→

xxbxaxx

, maka tentukan nilai a + b.

315. Hitunglah nilai a + b, jika 31

453

lim4

=−

+−−→ x

bxaxx

.

Catatan: ....................................................... ............................................................................................................................. .

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................. .......

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

..................................... ............................................................................................................................. ...................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................