AMEI EscolarMatemática9º AnoResumo nº1Os números reais. Inequações (parte 1)
Os números irracionais. O conjunto dos números reais
São números naturais os números que usamos para contar, ou seja, todos os números positivos e inteiros. O conjunto dos números naturais representa-se por .
0 é o conjunto dos números naturais mais o 0.
São números inteiros os números que não possuem uma parte decimal. O conjunto dos números inteiros representa-se por .
Conteúdos desta unidade: Os números
irracionais. O conjunto dos números reais;
Operações e problemas com números reais. Equações e problemas de 1º grau (revisões);
Inequações e intervalos de números reais. Monotonia da adição;
Resolução de inequações. Monotomia parcial da multiplicação.
0
Exemplos:
5 6 0 0 8,5 - 7 0 152 0
Exemplos:-5 - 6,25 0 8,5 7
São números racionais todos os números inteiros mais os números fraccionários (frações, números com dízimas finitas ou infinitas periódicas). Uma dízima finita periódica é uma dízima infinita em que uma certa parte se repete sempre (período) e que se coloca entre parênteses. O conjunto dos números racionais representa-se por .
São números reais todos os números racionais mais os números irracionais. São exemplos de números irracionais as raízes e números como (pi) e (phi), ou seja, todos os números que
possuem uma dízima infinita não periódica. O conjunto dos números reais representa-se por .
Todos os números reais podem ser representados na recta real. A recta real tem de ter obrigatoriamente representado os números 0,
e e os números que forem necessários representar. A recta
real é muito útil para colocar números por ordem crescente ou decrescente.
Exemplos:-5 0,5
Exemplos:
-7 0,8
----------------------------|----------------------------> 0
Resumindo:
Na vida prática, normalmente, usamos valores aproximados para os números irracionais e também para os racionais.
Exercício resolvido:Calcule de 500 euros.
x 500 = x = = 333,333333….
Não faz sentido responder com mais de duas casas decimais.
R: de 500 euros são 333,33 euros.
Operações e problemas com números reais. Equações e problemas do 1º grau (revisões)
Exercícios 1:1. Completa usando os sinais .
-1…. -75,68 …. …. 2,5 …. 9,8 …. ….
…. - …. 8,99(9) …. …. 0 …. 354 …. …. -8 …. ….
2. Representa na recta real os seguintes números.
------------------------------------------|------------------------------------------> 0
3. Escreve com duas casas decimais o valor de:a) x 450 b) x 45c) x 60
Exercício resolvido - Adição e subtracção de números representados por fracções
Apresentação da expressão Reduz-se ao mesmo denominador
Soma-se os numeradoresTorna-se a fracção irredutível
Apresentação da expressão Reduz-se ao mesmo denominador
Subtrai-se os numeradoresTorna-se a fracção irredutível
Exercício resolvido - Multiplicação de números representados por fracções
Apresentação da expressão Multiplica-se os denominadores e os numeradores
Torna-se a fracção irredutível
Nota: = =
Exercício resolvido - Divisão de números representados por fracções
Apresentação da expressão Troca-se o denominador pelo multiplicador da segunda fracção, e multiplica-se
os denominadores e os numeradores Torna-se a fracção irredutível
Regras das Potências
an = a x a n vezes 35 = 3x3x3x3x3a1= a 41 = 4a0 = 1 com a 0 60 = 1a-m = m com a 0 7-1 = 1 ou -5 = 5
Produto de potências com a mesma baseam x an = am+nQuociente de potências com a mesma baseam : an = am-n, a 0Potência de um produto(a x b)m = am x
bmPotência de um quociente(a : b)m = am : bm, b 0Potência de uma potência(am)n = amxn
Exercícios 2:1. Resolve:1.1)
Exercícios 2:1.2) 2-1 x 30 + 52 x 31
1.3) 2-3 - -1
1.4) - (51)0 x -1 x
2. O Pedro tem uma taça com rebuçados. O Pedro comeu dos rebuçados da taça e o António comeu dos restantes.2.1 Qual a fracção do número inicial de rebuçados comeu o António?
2.2 Sobraram 9 rebuçados. Quantos rebuçados havia inicialmente na taça?
3. Para a quinta vai uma mulher que leva uma caixa com 4 cestas. Cada cesta leva 4 galinhas e por cada galinha há 4 ovos. Quantos ovos há?
Exercício resolvido - Como resolver uma equação do primeiro grau por etapasApresentação da equação
Tira-se os parêntesesSepara-se as fracções
Tira-se os denominadores (2) (2) (1) (1) (6)
Muda-se os termos em x para um membro e os termos independentes para outroSimplifica-se os dois membrosDivide-se o membro dos termos independentes
pelo coeficiente de xApresenta-se a solução
Como resolver um problema com uma equação por etapasLê-se com atenção o enunciado do problema, de modo que sejam capazes de o expor, usando as tuas próprias palavrasA idade actual de um pai é cinco vezes a idade do
filho. Daqui a cinco anos o pai terá o triplo da idade do filho.Qual é a idade actual de cada um?Escolhe-se a incógnita e forma-se uma equação
relacionando a incógnita com os dados do problemax = idade do filho
ActualmenteDaqui a 5 anos
Paix
x + 5
Filho5x
5x + 5
5x + 5 = 3(x + 5)Resolve-se a equação5x + 5 = 3(x + 5) 5x + 5 = 3x + 15
Interpreta-se a solução obtida no contexto do problema e dá-se uma resposta5 é a idade actual do filho.
5 x 5 = 25 é a idade actual do pai.R: O pai tem 25 anos e o filho tem 5 anos.
Exercícios 3:1. Resolve cada uma das seguintes equações e apresenta o seu conjunto-solução.1.1) 2(x - 1) - = 0
1.2) 1 -
1.3)
2. Actualmente, a idade da mãe é seis vezes a idade do filho. Daqui a vinte e quatro anos a mãe terá o dobro da idade do filho. Qual é a idade actual de cada um?
3. A soma de três números naturais consecutivos é 33. Quais são esses números?
Inequações e intervalos de números reais.
Uma inequação “é” uma equação, cujo sinal de igualdade (=) é
substituído por um sinal de desigualdade ( .
O conjunto-solução de uma inequação é um intervalo de números reais. A inequação pode também ser representada na recta real.
Exemplos:x 1 é uma inequaçãox 5 é uma inequaçãox 6 é uma inequaçãox 8 é uma inequação
Exemplos:x 1 lê-se “x é maior que 1” ou seja x poderá ser qualquer números maior que 1S = usamos parênteses abertos porque 1 não pertence ao conjunto-solução e porque se usa sempre parênteses abertos no infinito
----------------------------|-----o-----------------------> 0 1 Usamos bolinha aberta na representação na recta real porque 1 não pertence ao conjunto-solução.
x 6 lê-se “x é menor ou igual que 6” S = usamos parênteses fechados porque 6 pertence ao conjunto-solução.
----------------------------|----------------------------> 0 6 Usamos bolinha fechada na representação na recta real porque 6 pertence ao conjunto-solução.
Resolução de inequações: monotonia da adição e monotonia parcial da multiplicação
A monotonia da adição é uma propriedade que se aplica em inequações do tipo a + x b. Esta propriedade consiste em:
adicionando ou subtraindo a ambos os membros de uma
Exercícios 4:1. Representa sob a forma de intervalo e na recta real:1.1)
1.2)
1.3)
1.4)
Exemplo:a b a+c b+c
inequação um número, obtém-se uma inequação equivalente à dada.
A monotonia parcial da multiplicação é outra propriedade que se aplica em inequações que consiste em: multiplicando ou dividindo ambos os membros de uma inequação por um número, obtém-se uma inequação equivalente à dada. Mas quando se multiplica ou
divide por um número negativo, o sinal de desigualdade inverte-se.
Podemos assim concluir que a resolução de uma inequação é muito
semelhante à resolução de uma equação.
Exemplos:a b e c 0ac bc
mas quando
a b e c 0ac bc
Exercícios 5:1. Resolve as seguintes inequações.1.1)
1.2)
1.3)
Exercícios 5:1.3)
1.4)
1.5)
1.6)
2. Determina x sabendo que o perímetro do rectângulo representado na figura abaixo é menor que 50 cm.
l = 2x
c = 3x + 1