THEORY OF STRUCTURES
By
Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
บทท 8Analysis of Indeterminate Structures by Force Method
วตถประสงค1. เพอใหเขาใจถงขอไดเปรยบและเสยเปรยบระหวางโครงสรางแบบ
statically determinate และแบบ statically indeterminate2. เพอใหเขาใจและสามารถวเคราะหโครงสราง statically
indeterminate โดยวธ force method: method of consistent deformation และ method of least work ไดอยางถกตอง
8.1 Statically Indeterminate Structuresโครงสราง statically indeterminate เปนโครงสรางทมผลรวมของจานวนแรงปฏกรยา (reactions) และจานวนแรงและโมเมนตภายใน (internal loads) ทไมทราบคามากกวาจานวนสมการความสมดลของโครงสรางและเปนโครงสรางทมเสถยรภาพ
“จานวนแรงและโมเมนตทไมทราบคามากกวาจานวนสมการความสมดล”
โครงสราง โดยเฉพาะโครงสรางคอนกรตเสรมเหลก มกเปนโครงสราง statically indeterminate เนองจากการกอสราง
โครงสรางเหลกทมจดเชอมตอแบบ rigid joint เปนโครงสราง statically indeterminate
ขอดของโครงสราง statically indeterminate1. ใชวสดนอยกวาและมการโกงตวนอยกวา
2. มการกระจายแรงภายในทดกวา แตการกระจายแรงภายในจะทาใหโครงสรางแตกราวได ในกรณทโครงสรางมการทรดตวไมเทากน (differential settlement)
3. ทาใหเกดเทคนคการกอสรางแบบ cantileverขอเสยของโครงสราง statically indeterminate
1. การวเคราะหและการออกแบบมความยงยากมากกวา2. ในบางกรณ คากอสราง (จดเชอมตอและฐานราก) มราคาแพงกวา
3. การทรดตวทไมเทากน การเปลยนแปลงของอณหภม และความผดพลาดทเกดขนในการกอสรางจะกอใหเกดหนวยแรงขนภายในโครงสราง statically indeterminate
ตวอยาง: โครงสราง statically determinate ไมมหนวยแรงภายในเกดขนเนองจากการทรดตวทไมเทากนของจดรองรบ
4. การเปลยนแปลงรปแบบของแรงกระทาตอโครงสรางอาจจะทาใหเกด stress reversal ขนในโครงสราง statically indeterminate ไดงายกวาในโครงสราง statically determinate
Method of Analysisโครงสราง statically determinate ถกวเคราะหไดโดยใชสมการความสมดลเพยงอยางเดยว
โครงสราง statically indeterminate ไมสามารถถกวเคราะหไดโดยใชสมการความสมดลเพยงอยางเดยว
โดยตองใชเงอนไขความสอดคลอง (compatibility conditions) และความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนตาแหนง (force-displacement relationship) ชวยในการวเคราะห
0;F+ ↑ =∑Equilibrium Equation;
0B AF F P+ − =
Compatibility Condition;/ 0A Bδ =
Force-Displacement Relationship;FLAE
δ =
0A AC B CBF L F LAE AE
− =
CBA
LF PL
= ACB
LF PL
=
เนองจากแรงทไดมคาเปนบวก ดงนน ทศทางของแรงทสมมตขนเปนทศทางทเกดขนจรง
Displacement Method of Analysis Force Method of Analysisจาก principle of superposition
Compatibility Condition;0 P Bδ δ= −
Force-Displacement Relationship;
ACPPLAE
δ = BBF LAE
δ =
0 AC BPL F LAE AE
= −
ACB
LF PL
=
Equilibrium Equation;
0;yF+ ↑ =∑0AC
ALP F PL
+ − =
CBA
LF PL
=equilibrium equations และ force-
displacement relationshipsdisplacementsDisplacement
method
compatibility equations และ force-displacement relationships
forcesForce methodสมการทใชในการหาคาตอบUnknownวธการ
8.2 วธเปลยนรปรางตอเนอง (method of consistent deformation)
1. เลอก reaction By เปนแรงเกนจาเปน (redundant force)
โครงสราง statically indeterminate 1 degree
2. Compatibility equation ทจด B:0 B BB′= ∆ − ∆+ ↓
BB y BBB f′∆ =
0 B y BBB f= ∆ −
By
BB
Bf∆
=
แทนจดทหา deflectionแทนจดทแรงเกนจาเปนกระทา
3. หาคา deflection และแทนคาหา By ……….
กาหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาทระยะ L/2 จากจดรองรบ A จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหคานเพอเขยน shear และ moment diagram และหาสมการของการโกงตวของคานทจดทแรงกระทา
EXAMPLE
By
BB
Bf∆
=
3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนจาเปน2 35 5
8 6 48BPL PLLEI EI
⎛ ⎞∆ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 322 3 3BBL Lf LEI EI
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
516yPB =
1. เลอก reaction By เปนแรงเกนจาเปน2. Compatibility equation ทจด B:
4. ใชสมการสมดลหาคาแรงปฏกรยา Ay และ MA และเขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน
หาสมการของการโกงตวในแนวดงทจด C
3
'7
768C CPLMEI
= ∆ = −
5. ราง elastic curve ของคาน
MA
Hinge/Pin
1. เลอก reaction MA เปนแรงเกนจาเปนโครงสราง statically indeterminate 1 degree
2. Compatibility equation ทจด A:
0 A A AAMθ α= +
AA
AAM α
θ−=
0 A AAθ θ′= +
แทนจดทหา slopeแทนจดทแรงเกนจาเปนกระทา
3. หาคา slope และแทนคาหา MA4. เขยน V- และ M-diagram ของคาน
5. ราง elastic curve ของคาน
+
AA
AAM α
θ−=
LEI
EIPLM A )1(
316
2
= PL163
=
ใชสมการสมดลหาคาแรงปฏกรยา Ay และ By
กาหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาทระยะ L/2 จากจดรองรบ A จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหคานเพอเขยน shear และ moment diagram และหาสมการการโกงตวของคานทจดทแรงกระทา
EXAMPLE
AA
AA
M θα
= −
2 218 2 16APL PLEI EI
θ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
22 3 3AAL LEI EI
α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
316APLM = −
1. เลอก reaction MA เปนแรงเกนจาเปน2. Compatibility equation ทจด A:
3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนจาเปน
ตารางแสดงสมการของ slope และ deflection ของคานทควรทราบ
4. ใชสมการสมดลหาคาแรงปฏกรยา Ay และ By
1116yPA =
516yPB =
เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน
หาสมการของการโกงตวในแนวดงทจด C
3
'7
768C CPLMEI
= ∆ = −
5. ราง elastic curve ของคาน
316APLM =
จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหคานเพอเขยน shear และ moment diagram และหาการโกงตวของคานทจด D และราง elastic curve
EXAMPLE
1. เลอก reaction By เปนแรงเกนจาเปน
2. Compatibility equation ทจด B:
By
BB
Bf∆
=
∆B
1 unit
fBB
0 B y BBB f= ∆ −+ ↓
แทนจดทหา deflectionแทนจดทแรงเกนจาเปนกระทา
3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนจาเปน
∆B
Note: แรง w อยคนละดาน ดงนน คาการโกงตวทกงกลางคานจะหาไดจาก
x
↓=∆ 7685 4
EIwL
B
EI76812)2(5 4
=
EI270
=
1 unit
fBB
Note: หาคาการโกงตว fBB ทจดทแรง 1 unit กระทา
( )↑−−= 6
222 abLEILPbafBB
[ ]222 661212)(66)6(1
−−=EI
EI36
=
จาก compatibility equation ทจด B:B
yBB
Bf∆
=
kN 5.736
270==
EIEI
4. ใชสมการสมดลหาคาแรงปฏกรยา Ay และ Cy
7.5 kNAy Cy
Ax = 0
7.5 kN 5.25 kN
Ax = 0
0.75 kN
เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน
7.5 kN 5.25 kN
Ax = 0
0.75 kN
-0.75 kN
6.75 kN
-5.25 kN
2.625 mslope = -2
slope = -0.75-4.5 kN-m
slope = 6.75
slope = 0 6.891 kN-m
slope = -5.25
5. ราง elastic curve ของคาน
หาสมการของการโกงตวในแนวดงทจด D
4.5/EI
6.891/EI
D´A´ B´ C´
4.5/EI
D´A´ B´
yA′
∑ =′ 0BM
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=′
3665.4
21)6(EI
Ay
EIAy
5.4=′
2.25/EI
D´A´
4.5/EI
∑ =′ 0DM
ckwisecountercloAθ=
DM ′⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−==∆ ′ 3
3325.221)3(45EIEI
MDD
↑=∆EID125.10
By Cy
1. สมมตให reaction force ท B (By) และ C (Cy) เปน redundant forces
3.1 หา deflection เนองจากแรง P1 และ P2 ทจด B = ∆B และทจด C = ∆C
โครงสราง statically indeterminate 2 degree
2. Compatibility equation ทจด B และจด C:
3. หาคา deflection และแรงเกนจาเปน
3.2. ให redundant = 1 หนวยกระทาทจด B ทาใหเกด deflection ทจด B= fBB และทจด C = fCB
3.3 ให redundant = 1 หนวยกระทาทจด C ทาใหเกด deflection ทจด B = fBC และทจด C = fCC
Compatibility ทจด B:+
+
Compatibility ทจด C:
0 B y BB y BCB f C f= ∆ + +
0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +
3.4 แกสมการหาคา reaction force By และ Cy
4. เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน
5. ราง elastic curve ของคาน
จงหาวเคราะหคานโดยวธเปลยนรปรางตอเนอง จากนน จงเขยน shear และ moment diagram และรางรปรางการโกงตวของคาน
EXAMPLE
คานเปนคานทสมมาตรทจดกงกลางคาน
1. ใหโมเมนตปฏกรยาทจดรองรบ A(MA) และ B (MB) เปน redundant ของคาน
MA
Hinge
MB
Hinge
เมอไมพจารณาแรงในแนวแกนแลว indeterminacy ลดลงเหลอ 2 degree
โครงสราง statically indeterminate 3 degree
2. จาก compatibility condition
+
+
0 A A AA B ABM Mθ α α= + +
0 B A BA B BBM Mθ α α= + +
3. หาคา slope และหาคาแรงเกนจาเปน2 31 2
2 3 8 24AwL wLLEI EI
θ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 31 22 3 8 24B
wL wLLEI EI
θ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
22 3 3AAL LEI EI
α ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
AB BAα α=
12 3 6BAL LEI EI
α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
22 3 3BBL LEI EI
α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
จากสมการ compatibility0 A A AA B ABM Mθ α α= + + 0 B A BA B BBM Mθ α α= + +
3
024 3 6A BwL L LM MEI EI EI
= + +
03 6 3A BL L LM MEI EI EI
= + +
แกสมการหาคา reaction force MA และ MB
2
12AwLM =
2
12BwLM =
+
+
2
12wL
2
12wL
Ay By
2ywLA =
2ywLB =
4. เขยน shear diagram และ moment diagram
5. ราง elastic curve ของคาน
Maxwell’s Theorem of Reciprocal Displacementsในกรณของ deflection, กฎผกผนของ Maxwell กลาววา
BA ABf f=
“คา displacement ทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจาก unit force ทจด A ในทศทาง a = คา displacement ทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจาก unit force ทจด B ในทศทาง b”
ในกรณของ slope, กฎผกผนของ Maxwell กลาววา BA ABθ θ=
“คามมลาดเอยงทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทาทจด A ในทศทาง a = คามมลาดเอยงทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทาทจด B ในทศทาง b”
ในกรณของ deflection และ slope, กฎผกผนของ Maxwell กลาววา
“คามมลาดเอยงทมหนวยเปนเรเดยนทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจากแรงขนาด 1 หนวยกระทาทจด A ในทศทาง a = คาระยะโกงตวทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทาทจด B ในทศทาง b”
BA ABfθ =
8.4 ขอสงเกตเพมเตมเมอโครงสรางมจานวนดกรของอนดเทอรมเนทเทากบ n แลว โครงสรางนนจะมจานวนของแรงเกนจาเปนเทากบ n คา หรอ Rn
และสมการความสอดคลองโดยวธ force method มจานวน n สมการ1 11 1 12 2 1 0n nf R f R f R∆ + + + + =L
2 21 1 22 2 2 0n nf R f R f R∆ + + + + =L
M
1 1 2 2 0n n n nn nf R f R f R∆ + + + + =L
M
ในรปของเมตรกซ (matrix)
1 111 12 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n n
Rf f ff f f R
f f f R
∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L
L
M M M
L
fR= − ∆
จากกฎผกผนของ Maxwell, fij = fjiดงนน เมตรกซ f จงเปนเมตรกซสมมาตร
8.5 Moment Diagram ของคาน Statically Indeterminate
จดรองรบแบบหมดและ roller ทอยทปลายคาน และ internal hinge เปนจดทมคาโมเมนตดดเทากบศนย จดรองรบยดแนนและจดรองรบหมดทอยภายในชวง span ของคานจะมคาโมเมนตดดเกดขน แรงกระทาเปนจดจะทาให moment diagram มลกษณะเปนเสนตรงทมความชน แรงแผกระจายสมาเสมอจะทาให moment diagram ทมลกษณะเปนเสนโคง parabola
จงหาวเคราะหคานโดยวธเปลยนรปรางตอเนองและเขยน shear และ moment diagram และรางรปรางการโกงตวของคาน เมอจดรองรบ B เกดการทรดตวในแนวดง 0.10 m E = 200 GPa และ I = 179(106) mm4
EXAMPLE
1. ใหแรงปฏกรยาทจดรองรบ B (By) และ C (Cy) เปน redundant
By Cy
10 kN
โครงสราง statically indeterminate 3 degree แตเนองจาก Ax = 0 ดงนน จงเหลอ 2 degree
2. จาก compatibility condition
3. หาระยะโกงตวตางๆ และแรงเกนจาเปน
0.010 B y BB y BCB f C f= ∆ + ++ ↓
+ ↓ 0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +
3.1 ใชตารางหาระยะโกงตว 3.2 ใชวธ conjugate beam หาระยะ
โกงตว
a = 10.5 mb = 2.5 m2 2 2(10)(2.5)(8) [(13) (2.5) (8) ]
6 (13)B EI∆ = − −
3253.205 kN.mEI
=xB = 8.0 m
2 2 2(10)(2.5)(4) [(13) (2.5) (4) ]6 (13)C EI
∆ = − −
3188.141 kN.mEI
=
xC = 4.0 m
3.1 ใชตารางหาระยะโกงตว
a = 8 mb = 5 m
xB = 8.0 m xC = 4.0 m
2 2 2(1)(5)(8) [(13) (5) (8) ]6 (13)BBf EI
= − −
341.026 kN.mEI
=
2 2 2(1)(5)(4) [(13) (5) (4) ]6 (13)CBf EI
= − −
332.821 kN.mEI
=a = 4 mb = 9 m
xC = 4.0 m2 2 2(1)(9)(4) [(13) (9) (4) ]
6 (13)CCf EI= − −
333.231 kN.mEI
=
3.2 ใชวธ conjugate beam หาระยะโกงตว
Ay By
1yPbA xL
= 2yPaB xL
=
ทาการเขยน moment diagram
หาแรงปฏกรยา
ทาการเขยน conjugate beam
หาแรงปฏกรยาของ conjugate beam
11 1 1 1
1 ( )2 3 6Pb x Pab L bM x x xEIL EIL
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
211( )
6Pbx x aL abEIL
= − −
22 2 2 2
1 ( )'2 3 6Pa x Pab L aM x x xEIL EIL
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
222( )
6Pax x bL abEIL
= − −
( )2 2 2116
Pbx L b xEIL
= − + +
หาระยะ ∆B โดยท a = 2.5 m b = 10.5 m และ x2 = 8.0 m
2(10 kN)(2.5 m)(8 m)[(8 m) (10.5 m)(13 m) (2.5 m)(10.5 m)]6 (13 m)B EI
∆ = − − −
หาระยะ ∆C โดยท a = 2.5 m b = 10.5 m และ x2 = 4.0 m
2(10 kN)(2.5 m)(4 m)[(4 m) (10.5 m)(13 m) (2.5 m)(10.5 m)]6 (13 m)C EI
∆ = − − −
3253.205 kN.mEI
=
3188.141 kN.mEI
=
222( )
6Pax x bL abEIL
∆ = − −x2
หาระยะ fBB โดยท a = 5.0 m b = 8.0 m และ x2 = 8.0 m
2(1 kN)(5 m)(8 m)[(8 m) (8 m)(13 m) (5 m)(8 m)]6 (13 m)BBf EI
= − − −
หาระยะ fCB โดยท a = 5.0 m b = 8.0 m และ x2 = 4.0 m2(1 kN)(5 m)(4 m)[(4 m) (8 m)(13 m) (5 m)(8 m)]
6 (13 m)CB BCf fEI
= = − − −
332.821 kN.mEI
=
341.026 kN.mEI
=
x2 222( )
6Pax x bL abEIL
∆ = − −
หาระยะ fCC โดยท a = 9.0 m b = 4.0 m และ x2 = 4.0 m
2(1 kN)(9 m)(4 m)[(4 m) (4 m)(13 m) (4 m)(9 m)]6 (13 m)CCf EI
= − − −
333.231 kN.mEI
=
222( )
6Pax x bL abEIL
∆ = − −x2
4. แกสมการ compatibility เพอหาแรงเกนจาเปน
0.010 B y BB y BCB f C f= ∆ + +
0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +
253.205 41.0260.010 m
32.821
y
y
BEI EI
CEI
⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦
188.141 32.8210
33.231
y
y
BEI EI
CEI
⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦
333.231 kN.mCCf EI
=
341.026 kN.mBBf EI=
332.821 kN.mCBf EI=
332.821 kN.mBCf EI=
3253.205 kN.mB EI
∆ =3188.141 kN.m
C EI∆ =
6 2 6 4 2200(10 kN/m )179(10 m ) 35800 kN.mEI −= =เมอแรงปฏกรยาเกนจาเปนมคาเทากบ
33.753 kNyB = ↓ 39.00 kNyC = ↑
33.753 kN 39.00 kN
10 kN
Ay Dy
16.848 kNyA = ↑
12.093 kNyD = ↓
5. เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน
6. รางรปรางการโกงตวของคาน
33.753 kN 39.00 kN
10 kN
16.848 kN 12.093 kN
จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหโครงขอแขงเพอเขยน shear และ moment diagram เมอ EI ของชนสวนตางๆ มคาคงท
โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏกรยา Ay เปน redundant
EXAMPLE
Ay
8.6 การวเคราะหโครงขอแขง (frame) โดยวธเปลยนรปรางตอเนอง 2. compatibility condition ทจดรองรบ A
3. หาคาการเปลยนตาแหนง ∆A และ fAA
Ay
Ay
yAAA Af−∆=↓+ 0
AA
Ay fA ∆
=
3400 kN-mA EI
∆ = ↓
3400 kN-mEI
= −
หาคาการเปลยนตาแหนง ∆A
0
L
AmM dxEI
∆ = ∫2
33
0
( 4)(50 )x dxEI
−= ∫
M3 = +50x3 m3 = -4
m2 = -4
2 m
2 m4 m
แสดงวามทศตรงกนขามกบแรง 1 หนวย ดงนน385.333 kN-m
AAf EI= ↑
หาคาการเปลยนตาแหนง fAA0
L
AAmmf dxEI
= ∫
400 85.33( ) 0 yAEI EI+ ↓ = −
4.688 kNyA = ↓
4 2 22 2 21
1 2 30 0 0
( 4) ( 4)x dx dx dxEI EI EI
− −= + +∫ ∫ ∫
4. แกสมการหาคาแรง Ay
3400 kN-mA EI
∆ = ↓
m2 = -4
m3 = -4
2 m
2 m4 m1 หนวย
5. เขยน shear diagram และ moment diagram
4.688 kN
= 50 kN
= 4.688 kN
= 81.25 kN-m
50.0 kNxC =
Cy
Cx
MC
4.688 kNyC =
81.25 kN-mCM =
∑ = ;0xF
∑ = ;0yF
∑ = ;0CM4.688 kN
50 kN
4.688 kN
81.25 kN-m
6. รางรปรางการโกงตวของคาน
4.688 kN
-50 kN
18.75 kN-m
81.25 kN-m
-18.75 kN-m
Slope = 4.688
Slope = 0
Slop
e =
0
Slope = -50
Slope = 0
โครงสราง statically indeterminate 1 degree
จงวเคราะหโครงขอแขง โดยวธเปลยนรปรางตอเนอง กาหนดให EI มคาคงท
EXAMPLE
1. ใหโมเมนตดดปฏกรยาทจดรองรบ A(MA) เปน redundant
MA
Hinge/Pin
2. compatibility condition ทจดรองรบ A0 A A AAMθ α= ++
AA
AA
M θα
= −
MA
ใชวธ virtual work หา θA
x1
x2
x3
M3 = 40+12x3-4x32CA
M2 = -20x2DCM1 = 0BD
Mmember0
L
Am M dxEIθθ = ∫
3. หาคาการเปลยนตาแหนงและแกสมการ
By
Ay
Ax
= 12.0 kN
= 18.0 kN
= 20.0 kN
2 m
2 m5 m
x3/5CA0DC0BD
mθmember1
Ay= 1/5 kNAx= 0 kN
By = 1/5 kN
5 m
0-5.0 m0-2.0 m0-2.0 mจาก-ถง
x3/5M3 = 40+12x3-4x32CA
0M2 = -20x2DC0M1 = 0BD
mθMmember
2 35 3 3
0
(40 12 4 )( )50 0
xx xdx
EI
+ −= + + ∫
75EI
=
0
L
Am M dxEIθθ = ∫
2 m
2 m
5 m
ใชวธ virtual work หา αAA0
L
AAm m dxEIθ θα = ∫
x3/50-5.0 mCA00-2.0 mDC00-2.0 mBD
mθจาก-ถงmember
52 2
0
0 05 5x x dx
EI= + + ∫
53EI
=
1
Ay= 1/5 kNAx= 0 kN
By = 1/5 kN
ใชวธ castiglino หา θA
x1
x2
x3
M'
M3 = 40+12x3-4x32x3/5M3 = 40+12x3-4x3
2+M'x3/5CAM2 = 20x20M2 = 20x2DC
M1 = 00M1 = 0BDM เมอ M' = 0∂M/∂M'Mmember
0 '
L
AM dxMM EI
θ ∂=
∂∫2 35 3 3
0
(40 12 4 )( )50 0
xx xdx
EI
+ −= + + ∫
75EI
=
3. หาคาการเปลยนตาแหนงและแกสมการ ใชวธ castiglino หา αAA0 '
L
AAM dxMM EI
α ∂=
∂∫
M3 = x3/5x3/5M3 = M'x3/5CAM2 = 00M2 = 0DCM1 = 00M1 = 0BD
M เมอ M' = 1 kN-m∂M/∂M'Mmember
52 2
0
0 05 5x x dx
EI= + + ∫
53EI
=
4. แกสมการ compatibility เพอหาคาแรงเกนจาเปน 75 50
3AM
EI EI= +
45.0 kN-mAM = −
เครองหมายลบ MA มทศทางตรงกนขามกบทไดสมมตไว (ทวนเขมฯ)45.0 kN-m
By
AyAx
37.0 kNyA =
20.0 kNxA =
3.0 kNyB =
0 A A AAMθ α= +
53AA EI
α =
75A EI
θ =
5 m2 m
2 m
5. เขยน shear และ moment diagram45.0 kN-m
3.0 kN
37.0 kN20.0 kN 5 m 2 m
2 m
6. รางรปรางการโกงตวของคาน
จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหโครงขอแขงเพอเขยน shear และ moment diagram เมอ E = 200 GPa และ I = 250(106) mm4 ของชนสวนมคาคงท
โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏกรยา Cx เปน redundant
EXAMPLE
Cx
Cx2. compatibility condition ทจดรองรบ C
3. หาคาการเปลยนตาแหนง ∆CH และ fCC
xCCCH Cf+∆′=→+
0 )(
หาคาการเปลยนตาแหนง ∆CH
M m
dxEIMmL
CH ∫=∆0
)0.1(
M 6 kN
6 kN12 kN
x1
x2
21
1111 1
122
212 xxxxxM −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
22 6xM =
1
11
x1
x2
11 xm =
22 xm =
dxEIMmL
CH ∫=∆0
)0.1(
∫∫ +−=∆6
0
222
6
0
11
211 ))(6())(12(
EIdxxx
EIdxxxxCH
→= 972EI
หาคาการเปลยนตาแหนง fCC
0
L
CCmmf dxEI
= ∫
4. แกสมการหาคาแรง Cx
1
11
x1
x2
11 xm =
22 xm =
∫∫ +=6
0
222
6
0
111 ))(())((
EIdxxx
EIdxxx
→= 144EI
→=∆ 972EICH
xCEIEI1449720 )( +=→
+
kN 75.6144
972−=−=
EIEI
Cx
→= kN 75.6xC
5. เขยน shear diagram และ moment diagram
6.75 kN
5.25 kN
0.75 kN
0.75 kN
จงใชวธเปลยนรปรางตอเนองวเคราะหโครงขอแขงเพอเขยน shear และ moment diagram เมอ E = 200 GPa และ I = 250(106) mm4 ของชนสวนตางๆ มคาคงท และจดรองรบ C เกดการเคลอนตวในแนวดงขน 4 mm
โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏกรยา Cy เปน redundant
EXAMPLE
Cy
2. compatibility condition ทจดรองรบ C
3. หาคาการเปลยนตาแหนง ∆C และ fCC
( ) 0.004 m C y CCC f+ ↑ = −∆ +
Cy
Cy
หาคาการเปลยนตาแหนง ∆C
354.0 kN-mC EI
∆ = ↓
354.0 kN-mEI
= −
0
L
CmM dxEI
∆ = ∫3
11
0
(3 )( 12)x dxEI
− −= ∫
39 kN-mCCf EI
= ↑
หาคาการเปลยนตาแหนง fCC
0
L
CCmmf dxEI
= ∫
54 9( ) 0.004 m yCEI EI+ ↑ = − +
28.2 kNyC = ↑
3 21
10
(3 )x dxEI−
= ∫ 9EI
=
6 6 6 654 90.004 m
200(10 )250(10 ) 200(10 )250(10 ) yC− −= − +
4. แกสมการหาคาแรง Cy354.0 kN-m
C EI∆ = ↓
5. เขยน shear diagram และ moment diagram
28.2 kN
= 0 kN
= 28.2 kN
= 72.7 kN-m
Ay
Ax
MA
0 kNxA =
28.0 kNyA =
72.7 kN-mAM =
6. รางรปรางการโกงตวของคาน
28.2 kN
0 kN
28.2 kN
72.7 kN-m
-28.2 kN
72.7 kN-m
-12 kN-m